Esta liçãoé uma aula sobre a generalização e sistematização de conhecimentos sobre o tema estudado. Durante a aula, os alunos têm a oportunidade de testar os seus conhecimentos sobre os temas "Ângulo inscrito" e "Proporcionalidade de segmentos de cordas e círculos secantes", resolver problemas banco aberto OGE.

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"O tópico da lição é "Proporcionalidade de segmentos de cordas e círculos secantes" Grau 9"

Lição nº ____ (geometria 9º ano)

Proporcionalidade de segmentos, cordas e secantes

O objetivo da lição: corrigir as propriedades dos segmentos de cordas que se cruzam e as propriedades dos segmentos secantes e mostrar como eles são usados ​​na resolução de problemas.

Lições objetivas:

educacional: testar conhecimento material teórico sobre o tema “Ângulos inscritos em um círculo. Proporcionalidade de segmentos, cordas e secantes"

em desenvolvimento: desenvolvimento interesse cognitivo, curiosidade, capacidade de analisar, observar e tirar conclusões;

educacional: aumentar o interesse em estudar a disciplina de matemática; educação da independência, atividade.

Durante as aulas

Momento de organização (1 min)

Exame trabalho de casa(frontal) (3 min.)

Atualizar conhecimento básico alunos. Trabalho frontal com a turma. (7 min.)

	O que é um círculo, centro de círculo, raio? É o raio deste círculo segmento OS; Segmento OD; Segmento OB, OA? O que é um acorde circular? Qual é o diâmetro de uma corda? Construa um DC de meia linha. Qual é o nome dessa meia linha?
	Com quais ângulos associados a um círculo você já está familiarizado? Defina e nomeie-os no desenho. Como os graus desses ângulos estão relacionados? Como suas medidas de grau estão relacionadas ao arco no qual eles dependem?
	Que consequências do teorema sobre o ângulo inscrito em um círculo estudamos?
	Formule a propriedade dos segmentos de cordas circulares que se cruzam.
	Formule a propriedade dos segmentos de círculos secantes.

Exercícios de treino. Resolução de problemas (14 min.)

As cordas MK e RT se cruzam no ponto A. Encontre o comprimento de AM se AP = 2 dm, AT = 24 dm, AM: KA = 3: 4.

Duas secantes são desenhadas de um ponto ao círculo, cujos segmentos internos são respectivamente iguais a 8 e 16. O segmento externo da segunda secante é 1 a menos que o segmento externo da primeira. Encontre o comprimento de cada secante.

Trabalho independente com cheque mútuo (12 min).

Opção 1	opção 2
O ângulo central é 59 0 maior que o ângulo agudo inscrito baseado no mesmo arco circular. Encontre o ângulo inscrito. Dê sua resposta em graus.	O ângulo central é 52º maior que o ângulo agudo inscrito baseado no mesmo arco circular. Encontre o ângulo inscrito. Dê sua resposta em graus.
Em um círculo com um centro O CA e BD AODé igual a 138 0 . Encontrar um ângulo inscrito ACB. Dê sua resposta em graus.	2) Em um círculo com um centro O CA e BD- diâmetros. Canto central AODé igual a 146 0 . Encontrar um ângulo inscrito ACB. Dê sua resposta em graus.
Os acordes AB e CD se cruzam no ponto M. CM=2 cm, MD=6 cm, BM=3 cm. Encontre o comprimento do segmento AM.	Os acordes AB e CD se cruzam no ponto M. CM=2 cm, MD=12 cm, BM=3 cm. Encontre o comprimento do segmento AM.
Dado: BC = 12 cm. BE = 4 cm. VA = 16 cm.	Dado: BC = 12 cm. BE = 5 cm. VA = 15 cm.

Opção 1	opção 2

Resumindo a lição (2 min). Reflexão.

Mensagem de dever de casa (2 min)

Cartão de lição de casa.

Resolver problemas:

1. As cordas MN e KL se cruzam no ponto A, e a corda MN é dividida pelo ponto A em segmentos iguais a 1 cm e 15 cm. Em quais segmentos o ponto A divide a corda KL se KL é duas vezes menor que MN.

2. As cordas AB e CD se cruzam no ponto M. Encontre o comprimento da corda AB se CM=4 cm, DM=9 cm, AM:MB=4.

Teorema 1. Se os acordes AB e CD círculos se cruzam em um ponto S, então (Figura 1).
Teorema 2. Se de um ponto P duas secantes são desenhadas para o círculo, intersectando o círculo, respectivamente, nos pontos UMA,B,C,D, então (Figura 2).
Ou seja, o produto de uma secante traçada a um círculo de um determinado ponto até sua parte externa é um número constante.
Teorema 3. Se de um ponto P uma tangente desenhada para o círculo que passa pelo ponto de tangência UMA, e uma secante que intercepta o círculo em pontos B e C, então (Figura 3).

Arroz. 1

Arroz. 2 Fig. 3
Ou seja, para uma secante e uma tangente traçadas a um círculo a partir de um ponto, o quadrado da tangente é igual ao produto secante à sua parte externa.
Teorema 4. Acordes conectando as extremidades de cordas paralelas, nível.

Quadriláteros inscritos e circunscritos

Teorema 1. Um círculo pode ser circunscrito em torno de um quadrilátero se e somente se sua soma cantos opostosé igual a .
Na imagem.
Disso segue-se que um círculo pode ser descrito em torno de um retângulo (figura abaixo à esquerda), em particular um quadrado (figura à direita), seu centro será o ponto de intersecção de suas diagonais. O raio é metade da diagonal.

Um círculo pode ser descrito em torno de um trapézio se e somente se for igual (veja a figura). O centro do círculo é o ponto de intersecção das perpendiculares mediais aos lados. Em torno de um paralelogramo e um trapézio visão geral círculo não pode ser descrito. (Em particular, um círculo pode ser circunscrito em torno de um losango.)

Teorema 2. Um quadrilátero pode ser circunscrito em torno de um círculo se e somente se suas somas lados opostos são iguais entre si.
Na imagem .

Assim, um círculo pode ser inscrito em um losango (em particular, em um quadrado), mas não em um retângulo ou paralelogramo geral.
O centro de um círculo inscrito em um losango é o ponto de interseção das diagonais (figura abaixo à esquerda). O raio do círculo é igual à metade da altura do losango e no quadrado - metade do lado (figura à direita).

Nota: o raio de um círculo inscrito em um losango ( SOBRE) é a altura do triângulo retângulo COB, que é desenhado a partir do topo ângulo certo e tem todas as propriedades da altura de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice do ângulo reto.
Teorema 3. Um trapézio pode ser descrito em torno de um círculo se e somente se a soma de suas bases for igual à soma dos lados (figura abaixo à esquerda). O centro deste círculo é o ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos do trapézio. O raio é metade da altura do trapézio. No caso de um trapézio igual, o centro do círculo inscrito fica no meio da altura do trapézio, que passa pelos pontos médios das bases (figura à direita). O lado lateral do trapézio neste caso é igual à sua linha média.

"Equação do Círculo" Grau 9 "- Construir círculos em um caderno de acordo com os dados obtidos. Preencha a tabela. Equação do círculo. Coordenadas do ponto do círculo. Coordenadas do centro. Anote a fórmula. Círculo. Trabalho em equipe. Encontre as coordenadas do centro e do raio. Desenhe círculos em seu caderno dado por equações. Origem. Escreva uma equação para um círculo.

"Circle Grade 8" - Um círculo pode ser inscrito em qualquer triângulo. Tracemos as bissetrizes do triângulo que se intersectam no ponto O. Teorema. Consequências: Vamos traçar perpendiculares OK, OL e OM aos lados?ABC. Círculo inscrito.

"Construção de uma tangente a um círculo" - Um círculo e uma linha reta têm um ponto comum. Pontos comuns. Acordo mútuo linha reta e círculo. Círculo e linha. Círculo. Solução. Teorema do segmento tangente. Repetição. Acorde. Tangente a um círculo. Diâmetro.

"Como encontrar a circunferência de um círculo" - Que desigualdades valem para um número. Como a circunferência muda. Como os perímetros de dois n-gons regulares estão relacionados? Teorema. Como os comprimentos de dois círculos estão relacionados? Encontre o perímetro regular n-gon. Encontre a medida em radianos dos ângulos. Qual é o valor aproximado do número. Encontre o comprimento do arco de um círculo com raio um.

"Tangente ao círculo" - Propriedade + sinal: se K é um ponto do círculo, então KM é uma tangente? KM? OK. Prova. Sinal tangente. Então. A tangente ao círculo é perpendicular ao raio desenhado ao ponto tangente. Os segmentos AK e AM são chamados de segmentos de tangentes traçadas de A. Seja d a distância do centro O até a reta KM.

"Elipse" - Prenda as pontas do fio aos truques. O que é uma elipse. Vamos mover o lápis no papel para que o fio permaneça esticado. Os pontos F1, F2 são chamados de focos da elipse. Construindo uma elipse. ponto comum chamado de ponto de contato. Tangente. Elipse. Fatos interessantes. Crateras na Lua também são de forma elíptica.

No total são 21 apresentações no tema

ÂNGULOS INSCRITOS EM UM CÍRCULO

O ângulo divide o plano em duas partes. Cada uma das partes é chamada de canto plano. Na Figura 13, um dos cantos planos com os lados a e b está sombreado. cantos planos com lados comuns são chamados de complementares.

Se um ângulo plano é parte de um semiplano, então sua medida em graus é a medida em graus de um ângulo comum com os mesmos lados. Se o ângulo plano contém um semiplano, sua medida de grau é igual a 360 ° - b, onde b é a medida de grau do ângulo plano adicional (Fig. 14).

Arroz. 13

Um ângulo central em um círculo é um ângulo plano com um vértice em seu centro. A parte do círculo localizada dentro do ângulo plano é chamada de arco do círculo correspondente a esse ângulo central (Fig. 15). A medida em grau de um arco de círculo é a medida em grau do ângulo central correspondente.

Arroz. quinze

Um ângulo cujo vértice está em um círculo e cujos lados interceptam este círculo é chamado de ângulo inscrito. O ângulo BAC na Figura 16 está inscrito em um círculo. Seu vértice A está no círculo, e os lados interceptam o círculo nos pontos B e C. Eles também dizem que o ângulo A repousa sobre a corda BC. A linha BC divide o círculo em dois arcos. O ângulo central correspondente a um desses arcos que não contém o ponto A é chamado de ângulo central correspondente ao ângulo inscrito dado.

Teorema 5. Um ângulo inscrito em um círculo é metade do ângulo central correspondente.

Prova. Considere primeiro caso especial quando um dos lados do ângulo passa pelo centro do círculo (Fig. 17, a). O triângulo AOB é isósceles, pois seus lados OA e OB são iguais aos raios. Portanto, os ângulos A e B do triângulo são iguais. E como sua soma é igual ao ângulo externo do triângulo no vértice O, então o ângulo B do triângulo é igual à metade do ângulo AOC, que precisava ser provado.

O caso geral é reduzido ao caso particular considerado pelo desenho do diâmetro auxiliar BD (Fig. 17, b, c). No caso mostrado na Figura 17, b, ABC= CBD+ ABD= S COD + S AOD= S AOC.

No caso mostrado na Figura 17, c,

CBD - ABD = S COD - S AOD = S AOC.

O teorema está completamente provado.

PROPORCIONALIDADE DE LINHAS DE ACORDOS E SEÇÕES DE UM CÍRCULO

Se as cordas AB e CD do círculo se cruzam no ponto S

Então AS?BS=CS?DS.

Vamos primeiro provar que os triângulos ASD e CSB são semelhantes (Fig. 19). Os ângulos inscritos DCB e DAB são iguais pelo corolário do Teorema 5. Os ângulos ASD e BSC são iguais aos verticais. Segue-se da igualdade dos ângulos acima que os triângulos ASZ e CSB são semelhantes.

Da semelhança de triângulos segue a proporção

AS?BS = CS?DS, que deveria ser provado

Fig.19

Se duas secantes são desenhadas do ponto P ao círculo, interceptando o círculo nos pontos A, B e C, D, respectivamente, então

Sejam os pontos A e C os pontos de intersecção das secantes com o círculo mais próximo do ponto P (Fig. 20). Os triângulos PAD e RSV são semelhantes. Eles têm um ângulo comum no vértice P, e os ângulos nos vértices B e D são iguais pela propriedade dos ângulos inscritos em um círculo. Da semelhança de triângulos segue a proporção

Daí PA?PB=PC?PD, que deveria ser provado.

Proporcionalidade de segmentos de cordas e secantes.

A propriedade dos segmentos tangentes.

Teorema sobre o lugar geométrico dos pontos.

Perpendicular Médio.

círculo circunscrito. Triângulo inscrito em um círculo.

Um círculo inscrito em um triângulo.

Para todos os conceitos e afirmações, são propostas tarefas.

A apresentação é projetada como uma série de lições. Pode ser usado para ensino a distância.

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Legendas dos slides:

TÓPICO: “CÍRCULO” .

Círculo. Raio. Acorde. Diâmetro. Canto central. Canto central. Ângulo inscrito. Uma tarefa. Uma propriedade do ângulo inscrito. Uma tarefa. Teorema da semi-soma dos arcos. Uma tarefa. Teorema da meia diferença de arcos. Uma tarefa. O produto de segmentos de cordas que se cruzam. Proporcionalidade de segmentos de cordas e secantes. A propriedade dos segmentos tangentes. Uma tarefa. Lugar geométrico dos pontos. Teorema sobre o lugar geométrico dos pontos. Perpendicular Médio. círculo circunscrito. Triângulo inscrito em um círculo. Uma tarefa. Uma tarefa. Tangente a um círculo. Um círculo inscrito em um triângulo. Uma tarefa. Um círculo circunscrito a um quadrilátero. Uma tarefa. Um círculo inscrito em um quadrilátero. Uma tarefa.

Um círculo é uma figura que consiste em todos os pontos do plano equidistantes de um determinado ponto - o centro do círculo. A distância do centro O do círculo ao ponto A sobre ele é de 5 cm. Prove que a distância do ponto O ao ponto B deste círculo é de 5 cm, e a distância de O aos pontos C e D que não se encontram nele não é igual a 5 cm. Circunferência. O C D A B voltar

RAIO. Um raio é um segmento de linha que liga o centro a qualquer ponto do círculo. Pontos X,Y,Z deite sobre um círculo de centro M. É o raio desse círculo Segmento MX; Segmento YZ? Y X Z de volta

ACORDE. O que é um acorde circular? Uma corda é um segmento de linha que conecta dois pontos em um círculo. voltar O A V

DIÂMETRO. Qual é o diâmetro de um círculo? O diâmetro é a corda que passa pelo centro. voltar O A V

ÂNGULO CENTRAL Um ângulo central é um ângulo com um vértice no centro do círculo. A medida em graus do ângulo central corresponde a medida de grau o arco em que se apoia (se o arco for menor que um semicírculo). Nomeie tudo da imagem. cantos centrais. O C A B m de volta

Se os ângulos centrais de um determinado círculo são iguais, então os arcos correspondentes são iguais aos pares. Formule a afirmação oposta. A O C B D voltar

ÂNGULO INCLUÍDO. Um ângulo cujo vértice está em um círculo e cujos lados interceptam este círculo é chamado de ângulo inscrito. Quais dos ângulos estão inscritos em um círculo? voltar A B C

O ângulo ABC está inscrito em um círculo. AC - diâmetro. Prove que ângulo ABC- direto. Uma tarefa. voltar O A C B

PROPRIEDADE DE UM ÂNGULO INCORDADO. Prove que todos os ângulos inscritos no círculo são iguais, cujos lados passam por dois pontos dados do círculo e os vértices estão do mesmo lado da linha que liga esses pontos. de volta

UMA TAREFA. Os pontos A, B e C estão em um círculo com centro O,  ABC \u003d 50 ,  AB:  CB \u003d 5: 8. Encontre esses arcos e  AOC. de volta

PROVE O TEOREMA A PARTIR DO DESENHO. O ângulo ( ABC), cujo vértice está dentro do círculo, é medido pela meia-soma de dois arcos (AC e D E), um dos quais está contido entre seus lados e o outro entre as extensões dos lados .  ABC = 0,5 ( D E +  AC). D E A C voltar

UMA TAREFA. Os acordes MK e RT se cruzam no ponto A. Encontre o comprimento de AM se AP = 2 dm, AT = 24 dm, AM: KA = 3: 4. voltar

PROVE O TEOREMA A PARTIR DO DESENHO. O ângulo ( ABC), cujo vértice está fora do círculo e os lados se cruzam com o círculo, é medido pela meia-diferença de dois arcos (AC e D E) encerrados entre seus lados.  ABC = 0,5 ( D E +  AC). B D E A C voltar

UMA TAREFA. A distância do ponto A ao centro de um círculo de raio 5 cm é 10 cm. Uma secante é desenhada através do ponto A, que intercepta o círculo nos pontos B e C. Encontre AC se o ponto B divide o segmento AC ao meio. de volta

PRODUTO DE LINHAS DE ACORDOS DE INTERCÇÃO. O produto dos comprimentos dos segmentos de cordas que se cruzam são iguais. Formule este teorema com as palavras "se", "então". Verifique você mesmo: “Se os acordes AB e C D se cruzam no ponto M, então AM  VM \u003d CM  D M C B m A D de volta

PROPORCIONALIDADE DE LINHAS DE ACORDOS E SECUTIVOS. O produto dos comprimentos dos segmentos secantes é igual ao quadrado do comprimento do segmento tangente. Se uma secante ao círculo e uma tangente são traçadas através do ponto M, e os pontos A e B são os pontos de interseção do círculo com a secante, e C é o ponto de contato, então AM  VM = SM. M C B A voltar

PROPRIEDADES DOS SEGMENTOS DA TANGENTE. Os segmentos de duas tangentes traçadas a um círculo a partir de um ponto fora dele são iguais e formam ângulos iguais com uma linha que une este ponto com o centro. Prove o teorema você mesmo. A O C B voltar

UMA TAREFA. As tangentes AM e VM são traçadas do ponto M a um círculo de centro O e raio de 8 cm (A e B são pontos tangentes). Encontre o perímetro do triângulo AVM se o ângulo AOB for 120 . de volta

LUGAR GEOMÉTRICO DE PONTOS. O lugar geométrico dos pontos é uma figura que consiste em todos os pontos de um plano que possuem uma determinada propriedade. Explique por que um círculo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado. voltar O A V

TEOREMA DA LOCALIZAÇÃO GEOMÉTRICA DE PONTOS. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é uma reta perpendicular ao segmento de reta que liga esses pontos e passa pelo seu ponto médio. Dado: a; AB  a; AO = OB. Prove: a- lugar geométrico pontos equidistantes de A e B. O teorema será provado se for estabelecido que qualquer ponto da reta a é equidistante de A e B. voltar A B O M a

MEIO PERPENDICULAR. A mediatriz do segmento AB é uma linha reta que passa pelo ponto médio do segmento AB perpendicular a ele. Prove que o centro do círculo está na mediatriz de qualquer corda desse círculo. de volta

O CIRCULO. INSCRIÇÃO TRIÂNGULO. Diz-se que um círculo está circunscrito perto de um triângulo se ele passa por todos os seus vértices. Nesse caso, diz-se que o triângulo está inscrito em um círculo. Prove que os lados de um triângulo inscrito são cordas de um círculo circunscrito a ele. Onde está o centro do círculo circunscrito ao triângulo? de volta

Onde está o centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo? Uma tarefa. voltar O A C B

UMA TAREFA. Encontre o raio de um círculo circunscrito por um triângulo com lados 10, 12 e 10 cm atrás

TANGENTE A UM CÍRCULO Uma linha reta que tem apenas um ponto comum com um círculo é chamada de tangente a um círculo.O ponto comum de um círculo e uma tangente é chamado de ponto tangente. O que pode ser dito sobre os lados do triângulo C D E em relação ao círculo? de volta

UM CÍRCULO SE INSCREVE EM UM TRIÂNGULO. Diz-se que um círculo está inscrito em um triângulo se ele toca todos os seus lados. Neste caso, diz-se que o triângulo está circunscrito a um círculo. Onde está o centro da circunferência inscrita no triângulo? O triângulo ABC está circunscrito a um círculo. Quais dos triângulos AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA são iguais? de volta

UMA TAREFA. NO triângulo retângulo um dos ângulos é 30°. Encontre o lado menor do triângulo se o raio do círculo inscrito for 4 cm atrás

UM CÍRCULO SOBRE UM QUADRÂNGULO. Se sobre quadrilátero convexo circunscrever um círculo, então a soma de seus ângulos opostos é igual a dois ângulos retos. Prove:  A +  C = 180  . Formule a afirmação oposta. Sobre quais quadriláteros um círculo pode ser circunscrito? Por quê? B C D A volta

UMA TAREFA. A diagonal de um trapézio faz um ângulo de 30° com uma base grande, e o centro do círculo descrito próximo ao trapézio pertence a esta base. Encontre a área do trapézio se lado igual a 2 cm de volta

UM CÍRCULO INSCRITO EM UM QUADRÂNGULO Se um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero, então a soma dos comprimentos de seus lados opostos são iguais. Prove: AB+C D = BC+A D . Formule a afirmação oposta. Em que quadriláteros pode ser inscrito um círculo? B C D A N P K M voltar

UMA TAREFA. Encontre a área trapézio isósceles circunscrito a um círculo se suas bases estão 2 cm e 8 cm atrás