Corpurile revoluției studiate la școală sunt un cilindru, un con și o minge.

Dacă într-o sarcină USE în matematică trebuie să calculați volumul unui con sau aria unei sfere, considerați-vă norocos.

Aplicați formule pentru volumul și suprafața unui cilindru, con și sfere. Toate sunt în masa noastră. Invata pe derost. De aici începe cunoașterea stereometriei.

Uneori este bine să desenezi o vedere de sus. Sau, ca în această problemă, de jos.

2. De câte ori volumul unui con circumscris lângă cel corect piramida patruunghiulara, mai mare decât volumul conului înscris în această piramidă?

Totul este simplu - desenăm o vedere de jos. Vedem că raza cercului mai mare este de câteva ori mai mare decât raza celui mai mic. Înălțimile ambelor conuri sunt aceleași. Prin urmare, volumul con mai mare va fi de două ori mai mult.

O alta punct important. Amintiți-vă că în sarcinile din partea B UTILIZAȚI opțiuniîn matematică, răspunsul este scris ca un întreg sau finit fracție zecimală. Prin urmare, nu ar trebui să aveți niciunul sau în răspunsul dvs. în partea B. De asemenea, nu este necesară înlocuirea valorii aproximative a numărului! Trebuie redus! Pentru aceasta, în unele sarcini, sarcina este formulată, de exemplu, după cum urmează: „Găsiți aria suprafeței laterale a cilindrului împărțită la”.

Și unde mai sunt folosite formulele pentru volumul și suprafața corpurilor de revoluție? Desigur, în problema C2 (16). Vă vom spune și despre asta.

Știm ce este un con, să încercăm să-i găsim suprafața. De ce este necesar să se rezolve o astfel de problemă? De exemplu, trebuie să înțelegeți cât de mult testul va merge sa fac un con de vafe? Sau de câte cărămizi ar fi nevoie pentru a așeza acoperișul de cărămidă al unui castel?

Nu este ușor să măsurați suprafața laterală a unui con. Dar imaginați-vă același corn învelit în pânză. Pentru a găsi zona unei bucăți de material, trebuie să o tăiați și să o întindeți pe masă. Se dovedește figură plată, îi putem găsi zona.

Orez. 1. Secțiunea conului de-a lungul generatricei

Să facem același lucru cu conul. Să „tăiem” suprafața laterală de-a lungul oricărei generatrice, de exemplu (vezi Fig. 1).

Acum „desfășurăm” suprafața laterală pe un plan. Primim un sector. Centrul acestui sector este vârful conului, raza sectorului este egală cu generatricea conului, iar lungimea arcului său coincide cu circumferința bazei conului. Un astfel de sector se numește dezvoltare a suprafeței laterale a conului (vezi Fig. 2).

Orez. 2. Dezvoltarea suprafeței laterale

Orez. 3. Măsurarea unghiului în radiani

Să încercăm să găsim zona sectorului în funcție de datele disponibile. Mai întâi, să introducem o notație: să fie unghiul din vârful sectorului în radiani (vezi Fig. 3).

Vom întâlni adesea unghiul din partea de sus a maturii în sarcini. Între timp, să încercăm să răspundem la întrebarea: acest unghi nu se poate dovedi a fi mai mare de 360 ​​de grade? Adică, nu se va dovedi că măturarea se va suprapune? Desigur că nu. Să demonstrăm asta matematic. Lăsați măturarea să se „suprapună”. Aceasta înseamnă că lungimea arcului de măturare este mai mare decât circumferința razei. Dar, după cum sa menționat deja, lungimea arcului de baleiaj este circumferința razei. Și raza bazei conului, desigur, este mai mică decât generatricea, de exemplu, deoarece catetul unui triunghi dreptunghic este mai mic decât ipotenuza

Apoi să ne amintim două formule din cursul planimetriei: lungimea arcului. Zona sectorului: .

În cazul nostru, rolul este jucat de generatrix , iar lungimea arcului este egală cu circumferința bazei conului, adică. Noi avem:

În sfârșit obținem:

Alături de suprafața laterală, se poate găsi și zona suprafata intreaga. Pentru a face acest lucru, adăugați zona de bază la suprafața laterală. Dar baza este un cerc cu raza , a cărui zonă, conform formulei, este .

În sfârșit avem: , unde este raza bazei cilindrului, este generatoarea.

Să rezolvăm câteva probleme pe formulele date.

Orez. 4. Unghiul dorit

Exemplul 1. Dezvoltarea suprafeței laterale a conului este un sector cu unghi la vârf. Găsiți acest unghi dacă înălțimea conului este de 4 cm și raza bazei este de 3 cm (vezi Fig. 4).

Orez. cinci. Triunghi dreptunghic formând un con

Prin prima acțiune, conform teoremei lui Pitagora, găsim generatria: 5 cm (vezi Fig. 5). Mai mult, știm asta .

Exemplul 2. Pătrat sectiune axiala conul este , înălțimea este . Găsiți suprafața totală (vezi Fig. 6).

Aici sunt probleme cu conurile, starea este legată de suprafața sa. În special, în unele probleme există o întrebare despre schimbarea zonei cu o creștere (scădere) a înălțimii unui con sau a razei bazei acestuia. Teoria pentru rezolvarea problemelor în . Luați în considerare următoarele sarcini:

27135. Circumferința bazei conului este 3, generatria este 2. Aflați aria suprafeței laterale a conului.

Aria suprafeței laterale a conului este:

Conectarea datelor:

75697. De câte ori va crește aria suprafeței laterale a conului dacă generatria acestuia este mărită de 36 de ori, iar raza bazei rămâne aceeași?

Aria suprafeței laterale a conului:

Generatrixul este mărit de 36 de ori. Raza rămâne aceeași, ceea ce înseamnă că circumferința bazei nu s-a schimbat.

Deci, zona suprafeței laterale a conului modificat va arăta astfel:

Astfel, acesta va crește de 36 de ori.

* Dependența este simplă, astfel încât această problemă poate fi rezolvată cu ușurință pe cale orală.

27137. De câte ori va scădea aria suprafeței laterale a conului dacă raza bazei sale este redusă de 1,5 ori?

Aria suprafeței laterale a conului este:

Raza este redusă de 1,5 ori, adică:

S-a constatat că suprafața laterală a scăzut de 1,5 ori.

27159. Înălțimea conului este 6, generatria este 10. Aflați aria suprafeței totale împărțite la pi.

Suprafața completă a conului:

Găsiți raza:

Înălțimea și generatria sunt cunoscute, prin teorema lui Pitagora se calculează raza:

Prin urmare:

Împărțiți rezultatul la Pi și scrieți răspunsul.

76299. Suprafața totală a conului este de 108. O secțiune este trasată paralelă cu baza conului, împărțind înălțimea la jumătate. Aflați suprafața totală a trunchiului de con.

Secțiunea trece prin înălțimea mijlocie paralelă cu baza. Deci raza bazei și generatoarea trunchiului de con va fi de 2 ori mai mică decât razași generatoarea conului original. Să scriem cu ce este egală cu suprafața conului tăiat:

Am făcut-o de 4 ori zonă mai mică suprafața originalului, adică 108:4 = 27.

* Deoarece originalul și conul tăiat sunt corpuri similare, a fost, de asemenea, posibilă utilizarea proprietății de similaritate:

27167. Raza bazei conului este 3, înălțimea este 4. Aflați suprafața totală a conului împărțit la pi.

Formula pentru suprafața totală a unui con este:

Raza este cunoscută, este necesar să se găsească generatoarea.

Conform teoremei lui Pitagora:

Prin urmare:

Împărțiți rezultatul la Pi și scrieți răspunsul.

Sarcină. Suprafața laterală a conului este de patru ori mai multă zonă temeiuri. Gaseste ce este egal cu cosinus unghiul dintre generatoarea conului și planul bazei.

Aria bazei conului este:

Adică cosinusul va fi egal cu:

Răspuns: 0,25

Decideți singur:

27136. De câte ori va crește aria suprafeței laterale a conului dacă generatria acestuia este mărită de 3 ori?

27160. Aria suprafeței laterale a conului este de două ori mai mare decât aria bazei. Aflați unghiul dintre generatoarea conului și planul bazei. Dați răspunsul în grade. .

27161. Suprafața totală a conului este de 12. O secțiune este trasată paralelă cu baza conului, împărțind înălțimea la jumătate. Aflați suprafața totală a trunchiului de con.

Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexandru.

*Partajați informații despre site cu prietenii prin intermediul rețelelor sociale.

Suprafața unui con (sau pur și simplu suprafața unui con) este egală cu suma suprafețelor bazei și a suprafeței laterale.

Aria suprafeței laterale a conului se calculează cu formula: S = πR l, unde R este raza bazei conului și l- generatria unui con.

Deoarece aria bazei conului este πR 2 (ca aria cercului), atunci aria întregii suprafețe a conului va fi egală cu : πR 2 + πR l= πR (R + l).

Obținerea formulei pentru aria suprafeței laterale a unui con poate fi explicată printr-un astfel de raționament. Fie ca desenul să indice o dezvoltare a suprafeței laterale a conului. Împărțiți arcul AB în posibil Mai mult părti egaleși conectați toate punctele de diviziune cu centrul arcului, iar cele învecinate între ele cu coarde.

Primim o serie triunghiuri egale. Aria fiecărui triunghi este Ah / 2, unde A- lungimea bazei triunghiului, a h- susul lui.

Suma ariilor tuturor triunghiurilor este: Ah / 2 n = anh / 2, unde n este numărul de triunghiuri.

La numere mari diviziunile, suma ariilor triunghiurilor devine foarte apropiată de zona de dezvoltare, adică de zona suprafeței laterale a conului. Suma bazelor triunghiurilor, i.e. un, devine foarte aproape de lungimea arcului AB, adică de circumferința bazei conului. Înălțimea fiecărui triunghi devine foarte apropiată de raza arcului, adică de generatoarea conului.

Neglijând diferențele ușoare ale dimensiunilor acestor cantități, obținem formula pentru aria suprafeței laterale a conului (S):

S=C l / 2, unde C este circumferința bazei conului, l- generatria unui con.

Știind că C \u003d 2πR, unde R este raza cercului bazei conului, obținem: S \u003d πR l.

Notă.În formula S = C l / 2, este dat semnul egalității exacte, și nu aproximative, deși pe baza raționamentului de mai sus, am putea considera această egalitate ca fiind aproximativă. Dar la liceu liceu se dovedeşte că egalitatea

S=C l / 2 este exact, nu aproximativ.

Teorema. Suprafața laterală a conului este egală cu produsul dintre circumferința bazei și jumătatea generatricei.

Să înscriem într-un con (Fig.) câteva piramida corectași notează prin litere Rși l numere care exprimă lungimile perimetrului bazei și apotema acestei piramide.

Apoi suprafata laterala se va exprima prin produsul 1/2 R l .

Să presupunem acum că numărul de laturi ale poligonului înscris în bază crește la nesfârșit. Apoi perimetrul R va tinde spre limita luată ca lungime C a circumferinței bazei și apotema l va avea ca limită un generator de con (deoarece ΔSAK implică faptul că SA - SK
1 / 2 R l, va tinde spre limita 1/2 C L. Această limită se ia ca valoare a suprafeţei laterale a conului. Indicând suprafața laterală a conului cu litera S, putem scrie:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Consecințe.
1) Deoarece C \u003d 2 π R, atunci suprafața laterală a conului este exprimată prin formula:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Obținem întreaga suprafață a conului dacă adăugăm suprafața laterală la zona de bază; prin urmare, notând suprafața completă cu T, vom avea:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Suprafata laterala trunchi de con este egal cu produsul dintre jumătate din suma circumferințelor bazelor și generatricei.

Să înscriem într-un trunchi de con (Fig.) unele regulate trunchi de piramidăși notează prin litere r, r 1 și l numere care exprimă în aceleași unități liniare lungimile perimetrelor bazelor inferioare și superioare și apotema acestei piramide.

Atunci suprafața laterală a piramidei înscrise este 1/2 ( p + p 1) l

Cu o creștere nelimitată a numărului de fețe laterale ale piramidei înscrise, perimetrele Rși R 1 tind spre limitele luate ca lungimi C și C 1 ale cercurilor bazelor și apotema l are ca limită generatoarea L a trunchiului de con. În consecință, valoarea suprafeței laterale a piramidei înscrise tinde spre limita egală cu (С + С 1) L. Această limită este luată ca valoare a suprafeței laterale a trunchiului de con. Notând suprafața laterală a trunchiului de con cu litera S, vom avea:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Consecințe.
1) Dacă R și R 1 înseamnă razele cercurilor bazelor inferioare și superioare, atunci suprafața laterală a trunchiului de con va fi:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Dacă în trapezul OO 1 A 1 A (Fig.), Din rotația căruia se obține un trunchi de con, se trag linia de mijloc BC, obținem:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R1 = 2BC.

Prin urmare,

S=2 π BC L,

adică suprafața laterală a unui trunchi de con este egală cu produsul dintre circumferința secțiunii medii și generatricea.

3) Suprafața totală T a unui trunchi de con se exprimă astfel:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)