Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte informații publice. ocazii importante.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Instruire

Găsiți domeniul de aplicare al funcției. De exemplu, funcția sin(x) este definită pe întregul interval de la -∞ la +∞, iar funcția 1/x este definită de la -∞ la +∞, cu excepția punctului x = 0.

Definiți zonele de continuitate și punctele de întrerupere. De obicei, o funcție este continuă în același domeniu în care este definită. Pentru a detecta discontinuități, trebuie să calculați când argumentul se apropie de puncte izolate din domeniul definiției. De exemplu, funcția 1/x tinde spre infinit când x→0+ și spre minus infinit când x→0-. Aceasta înseamnă că în punctul x = 0 are o discontinuitate de al doilea fel.
Dacă limitele la punctul de discontinuitate sunt finite, dar nu sunt egale, atunci aceasta este o discontinuitate de primul fel. Dacă sunt egale, atunci funcția este considerată continuă, deși nu este definită într-un punct izolat.

Găsi asimptote verticale, daca sunt. Calculele de la pasul anterior vă vor ajuta aici, deoarece asimptota verticală se află aproape întotdeauna în punctul de discontinuitate al celui de-al doilea fel. Cu toate acestea, uneori nu punctele individuale sunt excluse din domeniul definiției, ci intervale întregi de puncte, iar apoi asimptotele verticale pot fi localizate la marginile acestor intervale.

Verificați dacă funcția are proprietăți speciale: par, impar și periodic.
Funcția va fi chiar dacă pentru orice x din domeniul f(x) = f(-x). De exemplu cos(x) și x^2 - chiar și funcții.

Periodicitatea este o proprietate care spune că există un anumit număr T numit perioadă, care pentru orice x f(x) = f(x + T). De exemplu, toate majore funcții trigonometrice(sinus, cosinus, tangentă) - periodic.

Găsiți puncte. Pentru a face acest lucru, calculați derivata lui funcţie datăși găsiți acele valori x unde dispare. De exemplu, funcția f(x) = x^3 + 9x^2 -15 are o derivată g(x) = 3x^2 + 18x care dispare la x = 0 și x = -6.

Pentru a determina care puncte extreme sunt maxime și care sunt minime, urmăriți modificarea semnelor derivatei în zerourile găsite. g(x) schimbă semnul de la plus la x = -6 și înapoi de la minus la plus la x = 0. Prin urmare, funcția f(x) are un minim în primul punct și un minim în al doilea.

Astfel, ați găsit și zone de monotonitate: f(x) crește monoton pe intervalul -∞;-6, scade monoton pe -6;0 și crește din nou pe 0;+∞.

Găsiți derivata a doua. Rădăcinile sale vor arăta unde graficul unei anumite funcții va fi convex și unde va fi concav. De exemplu, derivata a doua a funcției f(x) va fi h(x) = 6x + 18. Ea dispare la x = -3, schimbându-și semnul din minus în plus. Prin urmare, graficul f (x) înainte de acest punct va fi convex, după el - concav, iar acest punct în sine va fi un punct de inflexiune.

O funcție poate avea alte asimptote, cu excepția celor verticale, dar numai dacă domeniul său de definiție include . Pentru a le găsi, calculați limita lui f(x) când x→∞ sau x→-∞. Dacă este finită, atunci ați găsit asimptota orizontală.

Asimptota oblică este o linie dreaptă de forma kx + b. Pentru a găsi k, calculați limita lui f(x)/x ca x→∞. Pentru a găsi b - limită (f(x) – kx) cu același x→∞.

Unul dintre sarcini critice calcul diferenţial este dezvoltarea exemple comune studii ale comportamentului funcţiilor.

Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe interval, iar derivata sa este pozitivă sau egală cu 0 pe intervalul (a, b), atunci y \u003d f (x) crește cu (f "(x) 0). Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe segment și derivata sa este negativă sau egală cu 0 pe intervalul (a,b), atunci y=f(x) scade cu (f"( x)0)

Intervalele în care funcția nu scade sau nu crește se numesc intervale de monotonitate a funcției. Natura monotonității unei funcții se poate modifica numai în acele puncte ale domeniului său de definiție, la care semnul derivatei întâi se schimbă. Punctele în care derivata întâi a unei funcții dispare sau se rupe se numesc puncte critice.

Teorema 1 (1 condiție suficientă existenţa unui extremum).

Fie definită funcția y=f(x) în punctul x 0 și să existe o vecinătate δ>0 astfel încât funcția să fie continuă pe segmentul , diferențiabilă pe intervalul (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , iar derivata ei se conservă marca permanenta la fiecare dintre aceste intervale. Atunci, dacă pe x 0 -δ, x 0) și (x 0, x 0 + δ) semnele derivatei sunt diferite, atunci x 0 este un punct extrem, iar dacă se potrivesc, atunci x 0 nu este un punct extrem. . Mai mult, dacă, la trecerea prin punctul x0, derivata își schimbă semnul din plus în minus (la stânga lui x 0, se execută f „(x)> 0, atunci x 0 este punctul maxim; dacă derivata își schimbă semnul de la minus la plus (la dreapta lui x 0 este executat de f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme ale funcției, iar maximele și minimele funcției se numesc valorile sale extreme.

Teorema 2 (criteriul necesar pentru un extremum local).

Dacă funcția y=f(x) are un extremum la curentul x=x 0, atunci fie f'(x 0)=0, fie f'(x 0) nu există.
La punctele extreme ale unei funcții diferențiabile, tangenta la graficul acesteia este paralelă cu axa Ox.

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru un extremum:

1) Aflați derivata funcției.
2) Găsiți punctele critice, de ex. punctele în care funcția este continuă și derivata este zero sau nu există.
3) Luați în considerare vecinătatea fiecăruia dintre puncte și examinați semnul derivatei la stânga și la dreapta acestui punct.
4) Determinați coordonatele punctelor extreme, pentru această valoare puncte critice conectați la această funcție. Folosind suficiente condiții extreme, trageți concluziile adecvate.

Exemplul 18. Investigați funcția y=x 3 -9x 2 +24x

Decizie.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Echivalând derivata cu zero, găsim x 1 =2, x 2 =4. În acest caz, derivata este definită peste tot; prin urmare, în afară de cele două puncte găsite, nu există alte puncte critice.
3) Semnul derivatei y "=3(x-2)(x-4) se modifică în funcție de interval, așa cum se arată în figura 1. Când trece prin punctul x=2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, iar la trecerea prin punctul x=4 - de la minus la plus.
4) În punctul x=2, funcția are un maxim y max =20, iar în punctul x=4 - un minim y min =16.

Teorema 3. (a 2-a condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie f "(x 0) și f "" (x 0) există în punctul x 0. Atunci dacă f "" (x 0)> 0, atunci x 0 este punctul minim și dacă f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pe segment, funcția y \u003d f (x) poate atinge cea mai mică (cel puțin) sau cea mai mare (cel mult) valoare fie în punctele critice ale funcției aflate în intervalul (a; b), fie la capete a segmentului.

Algoritmul pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue y=f(x) pe segment:

1) Găsiți f „(x).
2) Găsiți punctele în care f „(x) = 0 sau f” (x) - nu există și selectați dintre ele pe cele care se află în interiorul segmentului.
3) Calculați valoarea funcției y \u003d f (x) la punctele obținute la paragraful 2), precum și la capetele segmentului și alegeți cel mai mare și cel mai mic dintre ele: acestea sunt, respectiv, cele mai mari ( pentru cele mai mari) și cele mai mici (pentru cele mai mici) valori ale funcției de pe segment.

Exemplul 19. Aflați cea mai mare valoare a unei funcții continue y=x 3 -3x 2 -45+225 pe segmentul .

1) Avem y "=3x 2 -6x-45 pe segment
2) Derivata y" există pentru tot x. Să găsim punctele în care y"=0; primim:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Calculați valoarea funcției în punctele x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Numai punctul x=5 aparține segmentului. Cea mai mare dintre valorile găsite ale funcției este 225, iar cea mai mică este numărul 50. Deci, la max = 225, la max = 50.

Investigarea unei funcții pe convexitate

Figura prezintă graficele a două funcții. Primul dintre ele este răsturnat cu o umflătură în sus, al doilea - cu o umflătură în jos.

Funcția y=f(x) este continuă pe un segment și diferențiabilă în intervalul (a;b), se numește convexă sus (jos) pe acest segment dacă, pentru axb, graficul său nu este mai sus (nu mai jos) decât tangenta trasata in orice punct M 0 (x 0 ;f(x 0)), unde axb.

Teorema 4. Fie funcția y=f(x) să aibă o derivată a doua în orice punct interior x al segmentului și să fie continuă la capetele acestui segment. Atunci dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (a;b), atunci funcția este convexă în jos pe segment ; dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (а;b), atunci funcția este convexă în sus pe .

Teorema 5. Dacă funcția y \u003d f (x) are o derivată a doua pe intervalul (a; b) și dacă își schimbă semnul la trecerea prin punctul x 0, atunci M (x 0 ; f (x 0)) este un punct de inflexiune.

Regula pentru găsirea punctelor de inflexiune:

1) Găsiți punctele în care f""(x) nu există sau dispare.
2) Examinați semnul f""(x) la stânga și la dreapta fiecărui punct găsit la primul pas.
3) Pe baza teoremei 4, trageți o concluzie.

Exemplul 20. Găsiți punctele extreme și punctele de inflexiune ale graficului funcției y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Avem f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Evident, f"(x)=0 pentru x 1 =0, x 2 =1. Derivata, la trecerea prin punctul x=0, isi schimba semnul din minus in plus, iar la trecerea prin punctul x=1, nu isi schimba semnul. Aceasta înseamnă că x=0 este punctul minim (y min =12) și nu există un extremum în punctul x=1. În continuare, găsim . A doua derivată dispare în punctele x 1 =1, x 2 =1/3. Semnele derivatei a doua se schimba astfel: Pe raza (-∞;) avem f""(x)>0, pe intervalul (;1) avem f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prin urmare, x= este punctul de inflexiune al graficului funcției (tranziția de la convexitate în jos la convexitate în sus) și x=1 este, de asemenea, un punct de inflexiune (tranziție de la convexitate în sus la convexitate în jos). Dacă x=, atunci y= ; dacă, atunci x=1, y=13.

Un algoritm pentru găsirea asimptotei unui grafic

I. Dacă y=f(x) ca x → a , atunci x=a este o asimptotă verticală.
II. Dacă y=f(x) ca x → ∞ sau x → -∞ atunci y=A este asimptota orizontală.
III. Pentru a găsi asimptota oblică, folosim următorul algoritm:
1) Calculați. Dacă limita există și este egală cu b, atunci y=b este asimptota orizontală; dacă , atunci treceți la pasul al doilea.
2) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu k, atunci treceți la pasul al treilea.
3) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu b, atunci treceți la pasul al patrulea.
4) Notați ecuația asimptotei oblice y=kx+b.

Exemplul 21: Găsiți o asimptotă pentru o funcție

1)
2)
3)
4) Ecuația asimptotă oblică are forma

Schema studiului funcției și construcția graficului acesteia

I. Găsiți domeniul funcției.
II. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.
III. Găsiți asimptote.
IV. Găsiți puncte de extremum posibil.
V. Găsiți punctele critice.
VI. Folosind desenul auxiliar, investigați semnul primei și a doua derivate. Determinați zonele de creștere și descreștere ale funcției, găsiți direcția convexității graficului, punctele extreme și punctele de inflexiune.
VII. Construiți un grafic, ținând cont de studiul efectuat în paragrafele 1-6.

Exemplul 22: Trasează graficul unei funcții conform schemei de mai sus

Decizie.
I. Domeniul funcției este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x=1.
II. Deoarece ecuația x 2 +1=0 nu are rădăcini reale, atunci graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axa Ox, ci intersectează axa Oy în punctul (0; -1).
III. Să clarificăm problema existenței asimptotelor. Investigăm comportamentul funcției în apropierea punctului de discontinuitate x=1. Deoarece y → ∞ pentru x → -∞, y → +∞ pentru x → 1+, atunci linia x=1 este o asimptotă verticală a graficului funcției.
Dacă x → ​​+∞(x → -∞), atunci y → +∞(y → -∞); prin urmare, graficul nu are o asimptotă orizontală. Mai departe, din existența limitelor

Rezolvând ecuația x 2 -2x-1=0, obținem două puncte ale unui extremum posibil:
x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2

V. Pentru a găsi punctele critice, calculăm derivata a doua:

Deoarece f""(x) nu dispare, nu există puncte critice.
VI. Investigăm semnul primei și a doua derivate. Posibile puncte extreme de luat în considerare: x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2, împarte aria de existență a funcției în intervale (-∞;1-√2),(1-√2). ;1+√2) și (1+√2;+∞).

În fiecare dintre aceste intervale, derivata își păstrează semnul: în primul - plus, în al doilea - minus, în al treilea - plus. Secvența de semne a primei derivate se va scrie astfel: +, -, +.
Obținem că funcția pe (-∞;1-√2) crește, pe (1-√2;1+√2) scade, iar pe (1+√2;+∞) crește din nou. Puncte extreme: maxim la x=1-√2, în plus f(1-√2)=2-2√2 minim la x=1+√2, în plus f(1+√2)=2+2√2. Pe (-∞;1) graficul este convex în sus, iar pe (1;+∞) - în jos.
VII Să facem un tabel cu valorile obţinute

VIII Pe baza datelor obținute, construim o schiță a graficului funcției

Dacă sarcina cere studiu complet funcțiile f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 cu construcția graficului său, atunci vom lua în considerare acest principiu în detaliu.

Pentru a rezolva o problemă de acest tip, ar trebui să folosiți proprietățile și graficele principale functii elementare. Algoritmul de cercetare include următorii pași:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Găsirea domeniului definiției

Deoarece cercetarea se efectuează pe domeniul funcției, este necesar să începem cu acest pas.

Exemplul 1

In spate exemplu dat presupune găsirea zerourilor numitorului pentru a le exclude din DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ca rezultat, puteți obține rădăcini, logaritmi și așa mai departe. Atunci ODZ poate fi căutată pentru rădăcina unui grad par de tip g (x) 4 prin inegalitatea g (x) ≥ 0 , pentru logaritmul log a g (x) prin inegalitatea g (x) > 0 .

Investigarea limitelor ODZ și găsirea asimptotelor verticale

Există asimptote verticale la limitele funcției, când limitele unilaterale în astfel de puncte sunt infinite.

Exemplul 2

De exemplu, considerați punctele de frontieră egale cu x = ± 1 2 .

Apoi este necesar să se studieze funcția pentru a găsi limita unilaterală. Atunci obținem că: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Aceasta arată că limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că liniile x = ± 1 2 sunt asimptotele verticale ale graficului.

Investigarea funcției și pentru par sau impar

Când condiția y (- x) = y (x) este îndeplinită, funcția este considerată a fi pară. Aceasta sugerează că graficul este situat simetric în raport cu O y. Când condiția y (- x) = - y (x) este îndeplinită, funcția este considerată impară. Aceasta înseamnă că simetria merge în raport cu originea coordonatelor. Dacă cel puțin o inegalitate eșuează, obținem o funcție de formă generală.

Îndeplinirea egalității y (- x) = y (x) indică faptul că funcția este pară. La construcție, este necesar să se țină cont de faptul că va exista simetrie față de O y.

Pentru a rezolva inegalitatea, se folosesc intervale de creștere și descreștere cu condițiile f „(x) ≥ 0 și, respectiv, f” (x) ≤ 0.

Definiția 1

Puncte staționare sunt puncte care transformă derivata la zero.

Puncte critice sunt puncte interioare din domeniul în care derivata funcției este egală cu zero sau nu există.

Atunci când luați o decizie, trebuie luate în considerare următoarele aspecte:

• pentru intervalele existente de creștere și scădere a inegalității de forma f „(x) > 0, punctele critice nu sunt incluse în soluție;
• punctele la care funcția este definită fără o derivată finită trebuie incluse în intervalele de creștere și scădere (de exemplu, y \u003d x 3, unde punctul x \u003d 0 face ca funcția să fie definită, derivata are valoarea infinitului în acest moment, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 este inclus în intervalul de creștere);
• pentru a evita neînțelegerile, se recomandă utilizarea literaturii matematice, care este recomandată de Ministerul Educației.

Includerea punctelor critice în intervalele de creștere și scădere în cazul în care acestea satisfac domeniul funcției.

Definiția 2

Pentru determinand intervalele de crestere si scadere a functiei, este necesar sa se gaseasca:

• derivat;
• puncte critice;
• spargeți domeniul definiției cu ajutorul punctelor critice în intervale;
• determinați semnul derivatei la fiecare dintre intervale, unde + este o creștere și - este o scădere.

Exemplul 3

Aflați derivata pe domeniul f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Decizie

Pentru a rezolva ai nevoie de:

• găsiți puncte staționare, acest exemplu are x = 0 ;
• găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero la x = ± 1 2 .

Expunem puncte de pe axa numerică pentru a determina derivata pe fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din interval și să faceți un calcul. Dacă rezultatul este pozitiv, desenăm + pe grafic, ceea ce înseamnă o creștere a funcției și - înseamnă scăderea acesteia.

De exemplu, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ceea ce înseamnă că primul interval din stânga are semnul +. Luați în considerare numărul linia.

Răspuns:

• are loc o creştere a funcţiei pe intervalul - ∞ ; - 1 2 și (- 1 2 ; 0 ] ;
• are loc o scădere a intervalului [ 0 ; 1 2) și 1 2 ; +∞ .

În diagramă, folosind + și -, sunt prezentate pozitivitatea și negativitatea funcției, iar săgețile indică scăderea și creșterea.

Punctele extreme ale unei funcții sunt punctele în care funcția este definită și prin care derivata își schimbă semnul.

Exemplul 4

Dacă luăm în considerare un exemplu în care x \u003d 0, atunci valoarea funcției din aceasta este f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Când semnul derivatei se schimbă de la + la - și trece prin punctul x \u003d 0, atunci punctul cu coordonatele (0; 0) este considerat punctul maxim. Când semnul este schimbat de la - la +, obținem punctul minim.

Convexitatea și concavitatea se determină prin rezolvarea inegalităților de forma f "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0 . Mai rar folosesc denumirea de umflare în jos în loc de concavitate și umflare în loc de bombare.

Definiția 3

Pentru determinarea golurilor de concavitate si convexitate necesar:

• găsiți derivata a doua;
• găsiți zerourile funcției derivatei a doua;
• rupe domeniul definirii prin punctele care apar pe intervale;
• determina semnul decalajului.

Exemplul 5

Găsiți derivata a doua din domeniul definiției.

Decizie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Găsim zerourile numărătorului și numitorului, unde, folosind exemplul nostru, avem că zerourile numitorului x = ± 1 2

Acum trebuie să puneți puncte axa numericași determinați semnul derivatei a doua din fiecare interval. Înțelegem asta

Răspuns:

• funcţia este convexă din intervalul - 1 2 ; 12;
• funcţia este concavă din golurile - ∞ ; - 1 2 și 1 2 ; +∞ .

Definiția 4

punct de inflexiune este un punct de forma x 0 ; f(x0). Când are o tangentă la graficul funcției, atunci când trece prin x 0, funcția își schimbă semnul opus.

Cu alte cuvinte, acesta este un astfel de punct prin care derivata a doua trece și își schimbă semnul, iar în punctele în sine este egală cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate a fi domeniul funcției.

În exemplu, s-a văzut că nu există puncte de inflexiune, deoarece derivata a doua își schimbă semnul în timp ce trece prin punctele x = ± 1 2 . Ele, la rândul lor, nu sunt incluse în domeniul definiției.

Găsirea asimptotelor orizontale și oblice

Când definiți o funcție la infinit, trebuie să căutați asimptote orizontale și oblice.

Definiția 5

Asimptote oblice reprezentate prin linii drepte dat de ecuaţie y = k x + b , unde k = lim x → ∞ f (x) x și b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Pentru k = 0 și b nu este egal cu infinitul, obținem asta asimptotă oblică devine orizontală.

Cu alte cuvinte, asimptotele sunt liniile pe care graficul funcției se apropie la infinit. Aceasta contribuie la construirea rapidă a graficului funcției.

Dacă nu există asimptote, dar funcția este definită la ambele infinitate, este necesar să se calculeze limita funcției la aceste infinitități pentru a înțelege cum se va comporta graficul funcției.

Exemplul 6

Ca exemplu, luați în considerare asta

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

este o asimptotă orizontală. După ce ați cercetat funcția, puteți începe să o construiți.

Calcularea valorii unei funcții în puncte intermediare

Pentru a face graficul cel mai precis, se recomandă să găsiți mai multe valori ale funcției în puncte intermediare.

Exemplul 7

Din exemplul pe care l-am luat în considerare, este necesar să găsim valorile funcției în punctele x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Deoarece funcția este pară, obținem că valorile coincid cu valorile din aceste puncte, adică obținem x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Să scriem și să rezolvăm:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pentru a determina maximele și minimele unei funcții, punctele de inflexiune, puncte intermediare este necesar să se construiască asimptote. Pentru o desemnare convenabilă, intervalele de creștere, scădere, convexitate, concavitate sunt fixe. Luați în considerare figura de mai jos.

Este necesar să trasați linii grafice prin punctele marcate, ceea ce vă va permite să vă apropiați de asimptote, urmând săgețile.

Aceasta încheie studiul complet al funcției. Există cazuri de construire a unor funcții elementare pentru care se folosesc transformări geometrice.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Efectuați un studiu complet și trasați un grafic al funcției

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Domeniul de aplicare a funcției. Deoarece funcția este o fracție, trebuie să găsiți zerourile numitorului.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Excludem singurul punct x=1x=1 din zona de definire a funcției și obținem:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Să studiem comportamentul funcției în vecinătatea punctului de discontinuitate. Găsiți limite unilaterale:

Deoarece limitele sunt egale cu infinit, punctul x=1x=1 este o discontinuitate de al doilea fel, linia x=1x=1 este o asimptotă verticală.

3) Să determinăm punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

Să găsim punctele de intersecție cu axa ordonatelor OyOy, pentru care echivalăm x=0x=0:

Astfel, punctul de intersecție cu axa OyOy are coordonatele (0;8)(0;8).

Să găsim punctele de intersecție cu axa absciselor OxOx, pentru care setăm y=0y=0:

Ecuația nu are rădăcini, deci nu există puncte de intersecție cu axa OxOx.

Rețineți că x2+8>0x2+8>0 pentru orice xx. Prin urmare, pentru x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funcția y>0y>0(ia valori pozitive, graficul este deasupra axei x), pentru x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funcția y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funcția nu este nici pară, nici impară deoarece:

5) Investigăm funcția pentru periodicitate. Funcția nu este periodică, deoarece este o funcție rațională fracțională.

6) Investigăm funcția pentru extreme și monotonitate. Pentru a face acest lucru, găsim derivata întâi a funcției:

Să echivalăm prima derivată cu zero și să găsim punctele staționare (la care y′=0y′=0):

Avem trei puncte critice: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Împărțim întregul domeniu al funcției în intervale de puncte date și determinăm semnele derivatei în fiecare interval:

Pentru x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivata y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Pentru x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivata y′>0y′>0, funcția crește pe aceste intervale.

În acest caz, x=−2x=−2 este un punct minim local (funcția scade și apoi crește), x=4x=4 este un punct maxim local (funcția crește și apoi scade).

Să găsim valorile funcției în aceste puncte:

Astfel, punctul minim este (−2;4)(−2;4), punctul maxim este (4;−8)(4;−8).

7) Examinăm funcția de îndoire și convexitate. Să găsim derivata a doua a funcției:

Echivalează derivata a doua cu zero:

Ecuația rezultată nu are rădăcini, deci nu există puncte de inflexiune. Mai mult, când x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 este satisfăcută, adică funcția este concavă când x∈(1;+∞)x∈(1) ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Investigam comportamentul functiei la infinit, adica la .

Deoarece limitele sunt infinite, nu există asimptote orizontale.

Să încercăm să determinăm asimptote oblice de forma y=kx+by=kx+b. Calculăm valorile lui k,bk,b conform formulelor cunoscute:

Am descoperit că funcția are o asimptotă oblică y=−x−1y=−x−1.

9) Puncte suplimentare. Să calculăm valoarea funcției în alte puncte pentru a construi un grafic mai precis.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Pe baza datelor obținute, vom construi un grafic, îl vom completa cu asimptotele x=1x=1 (albastru), y=−x−1y=−x−1 (verde) și vom marca punctele caracteristice (intersecția cu y -axa este violet, extremele sunt portocalii, punctele suplimentare sunt negre):

Sarcina 4: Sarcini geometrice, economice (habar nu am ce, iată o selecție aproximativă de sarcini cu o soluție și formule)

Exemplul 3.23. A

Decizie. Xși y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa/4 S "> 0 și pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24.

Decizie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplul 3.22. Aflați extremele funcției f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Decizie. Deoarece f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), atunci punctele critice ale funcției x 1 \u003d 2 și x 2 \u003d 3. Punctele extreme pot fie numai în aceste puncte. Deci, ca atunci când trece prin punctul x 1 \u003d 2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci în acest punct funcția are un maxim. Când trece prin punctul x 2 \u003d 3, derivata schimbă semnul de la minus la plus, prin urmare, în punctul x 2 \u003d 3, funcția are un minim. Calcularea valorilor funcției în puncte
x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f(2) = 14 și minim f(3) = 13.

Exemplul 3.23. Este necesar să construiți o zonă dreptunghiulară lângă zidul de piatră, astfel încât să fie împrejmuită cu plasă de sârmă pe trei laturi și să se învețe cu peretele pe a patra latură. Pentru asta există A metri liniari ai grilei. La ce raport de aspect va avea site-ul cea mai mare suprafață?

Decizie. Indicați părțile laterale ale site-ului prin Xși y. Aria sitului este S = xy. Lasa y este lungimea laturii adiacente peretelui. Atunci, prin condiție, egalitatea 2x + y = a trebuie să fie valabilă. Prin urmare y = a - 2x și S = x(a - 2x), unde
0 ≤ x ≤ a/2 (lungimea și lățimea zonei nu pot fi negative). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pentru x = a/4, de unde
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa/4 S "> 0 și pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24. Se cere realizarea unui rezervor cilindric închis cu o capacitate de V=16p ≈ 50 m 3 . Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H) pentru a utiliza cea mai mică cantitate de material pentru fabricarea lui?

Decizie. Suprafața totală a cilindrului este S = 2pR(R+H). Cunoaștem volumul cilindrului V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Prin urmare, S(R) = 2p(R2+16/R). Găsim derivata acestei funcții:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 pentru R 3 \u003d 8, prin urmare,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informații similare.