Punct - obiect abstractîn spațiu care nu are caracteristici măsurabile (un obiect cu dimensiune zero). Punctul este unul dintre concepte fundamentaleîn matematică.
Punct în geometria euclidiană
Euclid a definit un punct ca „un obiect fără părți”. În axiomatica modernă a geometriei euclidiene, un punct este un concept primar, dat doar de o listă a proprietăților sale - axiome.
În sistemul de coordonate ales, orice punct al spațiului euclidian bidimensional poate fi reprezentat ca o pereche ordonată ( X; y) numere reale. La fel, punct n Spațiul euclidian -dimensional (precum și spațiul vectorial sau afin) poate fi reprezentat ca un tuplu ( A 1 , A 2 , … , A n) din n numerele.
Legături
- punct(engleză) pe site-ul PlanetMath.
- Weisstein, Eric W. Punct pe site-ul Wolfram MathWorld.
punctul este:
punct punct substantiv, bine., utilizare De multe ori Morfologie: (nu) ce? puncte, ce? punct, (sa vad ce? punct, Cum? punct, despre ce? despre subiect; pl. ce? puncte, (nu ce? puncte, ce? puncte, (sa vad ce? puncte, Cum? puncte, despre ce? despre puncte 1. Punct- aceasta este o pată mică rotundă, o urmă de la o atingere cu ceva ascuțit sau scris.Model de puncte. | Punct de perforare. | Orașul de pe hartă este indicat printr-un punct mic și disponibilitatea drum ocolitor se poate doar ghici.
2. Punct- este ceva foarte mic, prost vizibil din cauza depărtării sau din alte motive.
Punct la orizont. | Pe măsură ce mingea s-a apropiat de orizontul din partea de vest a cerului, a început să scadă încet în dimensiune până s-a transformat într-un punct.
3. Punct- un semn de punctuație care se pune la sfârșitul unei propoziții sau la abreviere de cuvinte.
Pune un punct. | Nu uitați să puneți un punct la sfârșitul propoziției
4. La matematică, geometrie și fizică punct este o unitate avand o pozitie in spatiu, limita unui segment de dreapta.
5. punct numit anumit locîn spațiu, pe pământ sau pe suprafața a ceva.
punct de plasare. | Locul durerii.
6. punct denumește locul în care se află sau se desfășoară ceva, un anumit nod din sistemul sau rețeaua oricăror puncte.
Fiecare priză trebuie să aibă propriul său semn.
7. punct ei numesc limita de dezvoltare a ceva, un anumit nivel sau moment de dezvoltare.
Nai cel mai înalt punct. | punct în dezvoltare. | Starea de lucruri a atins un punct critic. | Acesta este punctul cel mai înalt de manifestare a puterii spirituale a omului.
8. punct numită limită de temperatură la care transformarea unei substanţe dintr-una starea de agregareîn alta.
Punct de fierbere. | Templeratura de inghet. | Punct de topire. | Cum mai multa inaltime cu atât este mai scăzut punctul de fierbere al apei.
9. punct și virgulă (;) numit semn de punctuație folosit pentru a separa comun, mai mult părți independente propozitie compusa.
LA Limba engleză practic se folosesc aceleași semne de punctuație ca și în rusă: punct, virgulă, punct și virgulă, liniuță, apostrof, paranteze, elipse, interogativ și semne de exclamare, cratima.
10. Când vorbesc despre punct de vedere, înseamnă părerea cuiva despre o anumită problemă, o privire asupra lucrurilor.
Mai puțin popular acum este un alt punct de vedere, anterior aproape universal recunoscut. | Nimeni nu împărtășește acest punct de vedere astăzi.
11. Dacă se spune că oamenii au puncte de contact deci au interese comune.
S-ar putea să găsim un teren comun.
12. Dacă se spune ceva punct cu punct, adică o potrivire absolut exactă.
Punct la punct în locul unde era indicat, era o mașină de culoarea cafelei.
13. Dacă se spune că o persoană este ajuns la punct, ceea ce înseamnă că a ajuns la limita extremă în manifestarea unor calități negative.
Am ajuns la punct! Nu mai poți trăi așa! | Nu-i poți spune că serviciile secrete au ajuns la punctul sub înțeleapta lui conducere.
14. Dacă cineva pune capătîn unele afaceri, înseamnă că o oprește.
Apoi s-a întors din emigrare în patria sa, în Rusia, la Uniunea Sovietică, iar asta a pus capăt tuturor căutărilor și gândurilor sale.
15. Dacă cineva punctează „și”(sau peste i), ceea ce înseamnă că aduce chestiunea la concluzia ei logică, nu lasă nimic nespus.
Să punctăm i-urile. Nu știam nimic despre inițiativa ta.
16. Dacă cineva atinge un punct, ceea ce înseamnă că și-a concentrat toate forțele pentru atingerea unui singur scop.
De aceea imaginile lui sunt atât de distincte; el lovește întotdeauna un punct, fără a se lăsa niciodată purtat de detalii secundare. | El înțelege foarte bine care este sarcina afacerii sale și atinge intenționat un punct.
17. Dacă cineva lovit la fața locului, ceea ce înseamnă că a spus sau a făcut exact ce trebuia, a ghicit.
Prima scrisoare care a venit în următoarea rundă a competiției i-a surprins plăcut pe editori - într-una dintre opțiunile enumerate, cititorul nostru a lovit imediat marca!
punct adj.Presopunctura.
Dicționar explicativ al limbii ruse Dmitriev. D.V. Dmitriev. 2003.
Punct
Punct Poate însemna:
Wiktionarul are un articol "punct"- Un punct este un obiect abstract din spațiu care nu are alte caracteristici măsurabile decât coordonatele.
- punct - diacritic, care poate fi plasat deasupra, dedesubt sau în mijlocul literei.
- Punct - o unitate de măsură a distanței în rusă și sisteme engleze măsuri.
- Punctul este una dintre reprezentările separatorului zecimal.
- Dot (tehnologii de rețea) - desemnarea domeniului rădăcină în ierarhia domeniilor rețelei globale.
- Tochka - lanț de magazine de electronice și divertisment
- Tochka - albumul grupului „Leningrad”
- Point - film rusesc din 2006 bazat pe povestea cu același nume a lui Grigory Ryazhsky
- Dot este al doilea album de studio al rapperului Sten.
- Tochka este un sistem de rachete divizional.
- Tochka - Jurnalul pentru tineret și subculturalitate din Krasnoyarsk.
- Tochka este un club și un loc de concerte din Moscova.
- Punctul este unul dintre caracterele codului Morse.
- Ideea este locul datoriei de luptă.
- Punct (prelucrare) - procesul de prelucrare, strunjire, ascuțire.
- POINT - Program informativ si analitic pe NTV.
- Tochka este o trupă rock din orașul Norilsk, fondată în 2012.
Toponim
Kazahstan
- Punct- până în 1992, numele satului Bayash Utepov din districtul Ulan din regiunea Kazahstanului de Est.
Rusia
- Tochka este un sat din districtul Sheksninsky din regiunea Vologda.
- Tochka este un sat din districtul Volotovsky din regiunea Novgorod.
- Tochka este un sat din districtul Lopatinsky din regiunea Penza.
Puteți oferi o definiție a unor astfel de concepte ca punct și linie?
Școlile și universitățile noastre nu aveau aceste definiții, deși sunt cheie în opinia mea (nu știu cum este asta în alte țări). Putem defini aceste concepte ca „de succes și nereușit” și să ne gândim dacă acest lucru este util pentru dezvoltarea gândirii.
Luptător
Ciudat, dar ni s-a dat definiția unui punct. Acesta este un obiect abstract (convenție) situat în spațiu, care nu are dimensiuni. Acesta este primul lucru care ne-a fost bătut în cap la școală - un punct nu are dimensiuni, este un obiect „zero-dimensional”. Un concept condiționat, ca orice altceva în geometrie.
Liniile drepte sunt și mai dificile. În primul rând, este o linie. În al doilea rând, este un set de puncte situate într-un anumit mod în spațiu. În chiar definiție simplă este o linie definită de cele două puncte prin care trece.
Medivh
Un punct este un fel de obiect abstract. Un punct are coordonate, dar nu are masă sau dimensiuni. În geometrie, totul începe exact de la un punct, acesta este începutul tuturor celorlalte figuri (în scris, de altfel, și fără punct nu va exista început de cuvânt). O linie dreaptă este distanța dintre două puncte.
Leonid Kutny
Puteți defini orice și orice. Dar există o întrebare: va „funcționa” această definiție într-o anumită știință? Pe baza a ceea ce avem, nu are sens să definim un punct, o dreaptă și un plan. Mi-au plăcut foarte mult remarcile lui Arthur. Aș dori să adaug că un punct are multe proprietăți: nu are lungime, lățime, înălțime, nici masă și greutate etc. Dar principala proprietate a unui punct este că indică clar locația unui punct. obiect, un obiect în plan, în spațiu. De aceea avem nevoie de un punct!Dar, un cititor inteligent va spune că atunci o carte, un scaun, un ceas și alte lucruri pot fi luate drept punct. Absolut corect! Prin urmare, nu are sens să definim un punct. Cu stimă, L.A. Kutniy
O linie dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei.
Punctul este un semn de punctuație în scris în multe limbi.
De asemenea, punctul este unul dintre simbolurile codului Morse
Atâtea definiții :D
Definițiile unui punct, unei linii, unui plan au fost date de mine la sfârșitul anilor 80 și începutul anilor 90 ai secolului XX. dau un link:
https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP
Într-un volum de 328 de pagini, esența cognitivă a acestor concepte este descrisă într-un aspect complet nou, care sunt explicate pe baza unei viziuni fizice reale asupra lumii și a unui sentiment de eu exist, ceea ce înseamnă „eu” exist, la fel ca Universul. însuși căruia îi aparțin există.
Tot ce este scris acest lucru este confirmat de cunoștințele omenirii despre natură și proprietățile ei descoperite cu mult timp în urmă și încă studiate acest moment timp. Matematica a devenit atât de complexă de înțeles și de înțeles pentru a-și aplica imaginile abstracte la practica descoperirilor tehnologice. După ce a dezvăluit Fundamentele, care sunt principiile fundamentale, este posibil să se explice chiar și unui student scoala elementara motivele care stau la baza existenței universului. Citiți și apropiați-vă de Adevăr. Îndrăznește, lumea în care existăm se deschide înaintea ta într-o lumină nouă.
Există o definiție a conceptului de „punct” în matematică, geometrie.
Mihail Levin
„concept indefinibil” este o definiție?
De fapt, incertitudinea conceptelor face posibilă aplicarea matematicii la diferite obiecte.
Un matematician poate spune chiar „prin un punct mă voi referi la un plan euclidian, printr-un plan – un punct euclidian” - verificați toate axiomele și obțineți geometrie nouă sau noi teoreme.
Ideea este că pentru a defini termenul A, trebuie să folosiți termenul B. Pentru a defini B, aveți nevoie de termenul C. Și așa mai departe la infinit. Și pentru a fi salvat de această infinitate, trebuie să acceptăm unii termeni fără definiții și să construim pe ei definițiile altora. ©
Grigory Piven
În matematică, Piven Grigory Un punct este o parte a spațiului care este abstract (oglindită) luată ca segment de lungime minimă egal cu 1, care este folosit pentru a măsura alte părți ale spațiului. Prin urmare, o persoană alege scara unui punct pentru comoditate, pentru un proces de măsurare productiv: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. e., 1 St. an. etc.
Vezi și: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07
Abstracția a fost folosită în matematică timp de două milenii și jumătate. punct adimensional, ceea ce contrazice nu numai bun simț, dar și cunoștințe despre lumea înconjurătoare, obținute de științe precum fizica, chimia, mecanica cuantică si informatica.
Spre deosebire de alte abstracții, abstracția unui punct matematic adimensional nu idealizează realitatea, simplificându-i cunoașterea, ci o distorsionează în mod deliberat, dându-i sensul opus, ceea ce, în special, face fundamental imposibilă înțelegerea și studierea spațiilor de dimensiuni superioare!
Utilizarea abstractizării unui punct fără dimensiune în matematică poate fi comparată cu utilizarea elementului de bază unitate monetara cu cost zero. Din fericire, economia nu s-a gândit la asta.
Să demonstrăm absurditatea abstracției unui punct adimensional.
Teorema. Punctul matematic este voluminos.
Dovada.
Din moment ce la matematică
Dimensiunea punctului = 0,
Pentru un segment de lungime finită (diferită de zero), avem
Dimensiunea_segmentului = 0 + 0 + ... + 0 = 0.
Dimensiunea zero obținută a segmentului, ca succesiune a punctelor sale constitutive, contrazice condiția de lungime finită a segmentului. În plus, dimensiunea punctului zero este absurdă prin faptul că suma zerourilor nu depinde de numărul de termeni, adică numărul de puncte „zero” din segment nu afectează dimensiunea segmentului.
Prin urmare, ipoteza originală despre dimensiunea zero a unui punct matematic este GREȘITĂ.
Astfel, se poate argumenta că un punct matematic are o dimensiune diferită de zero (finită). Întrucât punctul aparține nu numai segmentului, ci și spațiului în care se află segmentul, el are dimensiunea spațiului, adică punctul matematic este volumetric. Q.E.D.
Consecinţă.
Demonstrarea de mai sus, realizată cu ajutorul aparatului matematic grupa de juniori grădiniţă insuflă mândrie în înțelepciunea nemărginită a preoților și adepților „reginei tuturor științelor”, care au reușit să ducă de-a lungul mileniilor și să păstreze pentru posteritate în forma sa originală amăgirea arhantică a omenirii.
Recenzii
Dragă Alexandru! Nu sunt puternic la matematică, dar poate TU îmi poți spune unde și de către cine se afirmă că punctul este egal cu zero? Alt lucru, ea are infinit cantitate mică, până la convenție, dar deloc zero. Astfel, orice segment poate fi considerat zero, deoarece există un alt segment care conține set infinit segmentele inițiale, aproximativ vorbind. Poate că nu ar trebui să confundăm matematica cu fizica. Matematica este știința ființei, fizica este despre existent. Cu sinceritate.
L-am menționat pe Ahile de două ori în detaliu și de multe ori în treacăt:
„De ce nu va ajunge Ahile din urmă cu broasca testoasă”
„Achile și broasca țestoasă - un paradox într-un cub”
Poate că o soluție la paradoxul lui Zeno este aceea că spațiul este discret și timpul este continuu. A considerat, după cum este posibil pentru tine, că ambele sunt discrete. Corpul poate rămâne la un moment dat în spațiu pentru o perioadă de timp. Dar nu poate fi în locuri diferite în același timp, în același timp. Toate acestea sunt, desigur, amatorism, ca întregul nostru dialog. Cu sinceritate.
Apropo, dacă un punct este 3D, care sunt dimensiunile lui?
Discretitatea timpului decurge, de exemplu, din aporia „Săgeată”. „Rămâneți simultan în locuri diferite” nu poate fi decât un electron pentru fizicienii care, în principiu, nu înțeleg și nu acceptă nici structura eterului, nici structura spațiului 4-dimensional. Nu cunosc alte exemple ale acestui fenomen. Nu văd niciun „amatorism” în conversația noastră. Dimpotrivă, totul este extrem de simplu: un punct fie este adimensional, fie are o dimensiune; continuitatea și infinitul fie există, fie nu există. Al treilea nu este dat - fie ADEVĂRAT, fie FALS! Fundamentele matematicienii, din păcate, sunt construiti pe dogme false, acceptate din ignoranță acum 2500 de ani.
Mărimea punctului depinde de starea problemei care se rezolvă și de precizia necesară. De exemplu, dacă un angrenaj este conceput pentru ceas de mână, atunci precizia poate fi limitată de dimensiunea atomului, adică opt zecimale. Atomul însuși aici va fi analogul fizic al punctului matematic. Este posibil să aveți nevoie de precizie de 16 caractere undeva; atunci rolul unui punct va fi jucat de o particulă de eter. Rețineți că vorbirea despre o acuratețe pretinsă „infinită” în practică se transformă în prostii sălbatice sau, pentru a spune ușor, absurd.
Inca nu inteleg: rostul exista? Dacă există obiectiv, deci are o anumită valoare fizică, dacă există subiectiv, sub forma unei abstractizări a minții noastre, atunci are o valoare matematică. Zero nu are NIMIC, nu există, aceasta este definiția abstractă a Inexistenței în matematică sau a vidului în fizică. Punctul nu există de la sine în afara relației. De îndată ce apare al doilea punct, apare un segment - Ceva etc. Acest subiect poate fi dezvoltat la nesfârșit. Cu uv.
Mi s-a părut că am adus bun exemplu, dar probabil nu suficient de detaliat. În mod obiectiv, există o Lume pe care știința o cunoaște și, în prezent, o cunoaște în principal metode matematice. Matematica cunoaște lumea construind modele matematice. Pentru a construi aceste modele, de bază abstracții matematice, în special, precum: punct, linie, continuitate, infinit. Aceste abstracții sunt de bază deoarece nu mai este posibil să le subdivizăm și să le simplificam în continuare. Fiecare dintre abstracțiile de bază poate fi fie adecvată realitatea obiectivă(adevărat) sau nu (fals). Toate abstracțiile de mai sus sunt inițial false, deoarece contrazic cele mai recente cunoștințe despre lumea reală. Deci aceste abstracții împiedică intelegere corecta lumea reala. S-ar putea cumva să suporte asta în timp ce știința studia lumea tridimensională. Cu toate acestea, abstracțiile unui punct fără dimensiuni și continuitatea fac ca toate lumile de dimensiune superioară să fie de necunoscut în principiu!
Caramida universului - un punct - nu poate fi un vid. Toată lumea știe că nimic nu vine din gol. Fizicienii, declarând eterul inexistent, au umplut lumea de gol. Cred că matematica cu punctul ei gol i-a împins la această prostie. Nu vorbesc despre atomi-puncte ale unor lumi de dimensiuni mai mari decât 4D. Deci, pentru fiecare dimensiune rolul unui punct matematic indivizibil (condițional) este jucat de atomul (condițional) indivizibil al acestei lumi (spațiu, materie). Pentru 3D - un atom fizic, pentru 4D - o particulă de eter, pentru 5D - un atom astral, pentru 6D - un atom mental și așa mai departe. Cu sinceritate,
Deci, cărămida universului are vreo valoare absolută? Și ce reprezintă, după părerea ta, în lumea eterică sau mentală. Mi-e teamă să întreb despre lumi în sine. Cu interes...
Particulele de eter (nu sunt atomi!) sunt perechi electron-pozitron, în care particulele înseși se rotesc unele față de altele cu viteza luminii. Aceasta explică pe deplin structura tuturor nucleonilor, propagarea oscilații electromagneticeși toate efectele așa-zisului vid fizic. Structura atomului gândirii este necunoscută de nimeni. Există doar dovezi că TOATE cel mai mult lumile superioare material, adică au proprii lor atomi. Până la problema Absolutului. Ești ironic, totuși. Într-adevăr găuri de viermeși breton mare Ti se pare mai credibil?
Care este ironia aici, doar puțin surprins după o asemenea avalanșă de informații. Eu, spre deosebire de tine, nu sunt un profesionist și îmi este greu să spun ceva despre cinci sau șase dimensiuni ale spațiilor. Mă refer la punctul nostru de multă suferință... Din câte am înțeles, sunteți împotriva continuității materiale, iar ideea este că aveți un atom „democratic” cu adevărat existent. „Caramida Universului”. Poate am fost neatent, dar totusi, nu ezitati sa repet care sunt structura, parametrii fizici, dimensiunile, etc.
Și mai răspundeți, unitatea există în sine, ca atare, în afara oricăror relații? Mulțumesc.
După ce ne-am ocupat de unitățile de măsură și dimensiunea, putem trece acum la măsurătorile reale. LA matematica scolara Două instrument de masurare- (1) o riglă pentru măsurarea distanțelor și (2) un raportor pentru măsurarea unghiurilor.
Punct
Distanța este întotdeauna măsurată între oricare două puncte. Din punct de vedere practic, un punct este o mică pată care rămâne pe hârtie atunci când îl înțepi cu un creion sau un stilou. Un alt mod, mai preferat, de a specifica un punct este de a trasa o cruce cu două linii subțiri, care stabilește punct intersecțiile lor. Pe desenele din cărți, punctul este adesea descris ca un mic cerc negru. Dar toate acestea sunt doar aproximări. imagini vizuale, dar în sens strict matematic, punct - este un obiect imaginar a cărui dimensiune în toate direcțiile este zero. Pentru matematicieni, întreaga lume este formată din puncte. Punctele sunt peste tot. Când împingem un pix pe hârtie sau desenăm o cruce, nu creăm punct nou, ci doar puneți un semn pe unul existent pentru a atrage atenția cuiva asupra acestuia. Dacă nu se specifică altfel, se înțelege că punctele sunt fixe și nu le schimbă poziție relativă. Dar nu este greu de imaginat un punct în mișcare care se mișcă dintr-un loc în altul, ca și cum ar fi fuzionat cu unul punct fix, apoi pe de alta.
Drept
Atașând o riglă la două puncte, putem trage o linie dreaptă prin ele și, în plus, singura cale. matematică imaginară Drept, desenat de-a lungul unei rigle ideale imaginare, are grosime zero și se extinde în ambele direcții până la infinit. Într-un desen real, acest design imaginar ia forma:
De fapt, totul în această imagine este greșit. Grosimea liniei aici este în mod clar mai mare decât zero și nu există nicio modalitate de a spune că linia se extinde la infinit. Cu toate acestea, astfel de desene incorecte sunt foarte utile ca suport pentru imaginație și le vom folosi în mod constant. Pentru a face mai convenabil distingerea unui punct de altul, acestea sunt de obicei marcate litere mari alfabet latin. În această figură, de exemplu, punctele sunt marcate cu litere Ași B. Linie care trece prin puncte Ași B, primește automat numele „direct AB". Pentru concizie, notația ( AB), unde cuvântul „drept” este omis și paranteze rotunde. Liniile pot fi, de asemenea, etichetate literă mică. În figura de mai sus, linia dreaptă AB marcat cu o literă n.
Dincolo de puncte Ași B pe o linie dreaptă n există un număr mare de alte puncte, fiecare dintre acestea putând fi reprezentat ca o intersecție cu o altă linie. Pot fi trase multe linii prin același punct.
Dacă știm că pe o linie există puncte necoincidente A, B, Cși D, atunci poate fi pe bună dreptate notat nu numai ca ( AB), dar și cum ( AC), (BD), (CD) etc.
Segment de linie. Lungimea tăiată. Distanța dintre puncte
Se numește partea unei drepte mărginită de două puncte segment. Aceste puncte limită aparțin și ele segmentului și se numesc acesta. se termină. Un segment ale cărui puncte finale sunt în puncte Ași B, notat ca „segment AB' sau, ceva mai scurt, [ AB].
Fiecare segment este caracterizat lung- numarul (eventual fractionat) de „pasi” care trebuie parcursi de-a lungul segmentului pentru a ajunge de la un capat la altul. În acest caz, lungimea „pasului” în sine este o valoare strict fixă, care este luată ca unitate de măsură. Lungimile segmentelor de linie desenate pe o coală de hârtie sunt măsurate cel mai convenabil în centimetri. Dacă punctele terminale ale segmentului cad pe puncte Ași B, atunci lungimea sa este notată cu | AB|.
Sub distanţăîntre două puncte este lungimea segmentului care le leagă. De fapt, totuși, nu este necesar să desenați un segment pentru a măsura distanța - este suficient să atașați o riglă la ambele puncte (pe care sunt pre-marcate urme de „pași”). Întrucât un punct este un obiect fictiv în matematică, nimic nu ne împiedică să folosim în imaginația noastră o riglă ideală care măsoară distanța cu o acuratețe absolută. Cu toate acestea, nu trebuie uitat că o riglă adevărată aplicată pete sau centre de cruci de pe hârtie vă permite să setați distanța doar aproximativ - cu o precizie de un milimetru. Distanța este întotdeauna nenegativă.
Poziția unui punct pe o dreaptă
Să ni se dea o linie dreaptă. Marcam un punct arbitrar pe el și îl notăm cu literă O. Să punem alături numărul 0. Unul dintre cei doi directii posibile de-a lungul liniei drepte o vom numi „pozitiv”, iar opusul acesteia - „negativ”. De obicei, direcția pozitivă este luată de la stânga la dreapta sau de jos în sus, dar acest lucru nu este necesar. Marcați direcția pozitivă cu o săgeată, așa cum se arată în figură:
Acum, pentru orice punct situat pe linie, îl putem determina poziţie. Poziția punctului A este dat de o valoare care poate fi negativă, zero sau pozitiv. A ei valoare absolută egală cu distanța dintre puncte Oși A(adică lungimea segmentului OA), iar semnul este determinat de direcția din punct O trebuie să te miști pentru a ajunge la obiect A. Dacă trebuie să vă mișcați într-o direcție pozitivă, atunci semnul este pozitiv. Dacă este negativ, atunci semnul este negativ. În loc de cuvântul „poziție”, cuvântul „ coordona».
Numere iraționale și reale (reale).
Când avem de-a face cu un desen real și determinăm poziția unui punct real pe o gaură reală folosind o riglă de școală, obținem o valoare rotunjită la milimetrul cel mai apropiat. Cu alte cuvinte, rezultatul este o valoare luată din următoarea serie:
0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm etc.
Rezultatul nu poate fi egal cu, de exemplu, 1/3 cm, deoarece, după cum știm, o treime de centimetru poate fi reprezentată ca o fracție periodică infinită
0,333333333... cm,
care după rotunjire ar trebui să fie egală cu 0,3 cm.
Este o problemă diferită când manipulăm obiecte matematice ideale în imaginația noastră.
În primul rând, în acest caz, se pot elimina cu ușurință unitățile de măsură și se pot opera exclusiv cu cantități adimensionale. Apoi ajungem la construcția geometrică pe care am întâlnit-o când am trecut numere rationale, și pe care l-am numit linie numerică:
Deoarece cuvântul „linie” în geometrie este deja puternic „încărcat”, aceeași construcție este adesea numită axa numerica sau pur și simplu axă.
În al doilea rând, ne putem imagina foarte bine că coordonatele unui punct sunt date de o periodică zecimal, ca
Mai mult, ne putem imagina un infinit neperiodică fracție, cum ar fi
1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...
1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...
Astfel de numere imaginare, reprezentate ca fracții zecimale infinite nerepetabile, sunt numite iraţional. Numerele iraționale, împreună cu numerele raționale deja familiare, formează așa-numitele valabil numerele. În loc de cuvântul „valid” folosim și cuvântul „ real". Orice poziție imaginabilă a unui punct pe o dreaptă poate fi exprimată ca număr real. Și invers, dacă ni se dă un număr real X, ne putem imagina întotdeauna un punct X, a cărui poziţie este dată de număr X.
Părtinire
Lasa A- coordonata punctului A, A b- coordonata punctului B. Apoi valoarea
v = b − A
este o deplasare, care traduce punctul A exact B. Acest lucru devine deosebit de evident dacă egalitatea anterioară este rescrisă ca
b = A + v.
Uneori, în loc de cuvântul „deplasare”, ei folosesc cuvântul „ vector". Este ușor de observat că poziția X punct arbitrar X nu este altceva decât un offset care traduce punctul O(cu coordonata egala cu zero) pana la un punct X:
X= 0 + X.
Deplasările pot fi adăugate una la alta, precum și scăderea una de la alta. Deci, dacă offset-ul ( b − A) traduce punctul A exact B, și decalajul ( c − b) punct B exact C, apoi offset
(b − A) + (c − b) = c − A
traduce punctul A exact C.
Notă. Conform logicii lucrurilor, aici ar trebui clarificat modul de adunare și scădere numere irationale, deoarece părtinirea poate fi irațională. Desigur, matematicienii au avut grijă să elaboreze procedurile formale adecvate, dar în practică nu ne vom ocupa de acest lucru, deoarece pentru rezolvare sarcini practice calculele aproximative cu valori rotunjite sunt întotdeauna suficiente. Deocamdată, pur și simplu vom crede că conceptele de „adunare” și „scădere” – precum și „înmulțire” și „împărțire” – sunt definite corect pentru oricare două numere reale (cu avertismentul că nu puteți împărți la zero).
Aici, poate, ar fi potrivit să remarcăm diferența subtilă dintre conceptele de „deplasare” și „distanță”. Distanța este întotdeauna nenegativă. Este, de fapt, un offset luat din valoare absolută. Deci, dacă compensarea
v = b − A
traduce punctul A exact B, apoi distanța sîntre puncte Ași B egală
s = |v| = |b − a|.
Această egalitate rămâne adevărată, indiferent care dintre cele două numere este mai mare - A sau b.
Avion
În sens practic, un avion este o foaie de hârtie pe care ne desenăm desenele geometrice. imaginar plan matematic diferă de o foaie de hârtie prin faptul că are o grosime zero și o suprafață nelimitată care se extinde în laturi diferite catre infinit. În plus, spre deosebire de o foaie de hârtie, planul matematic este absolut rigid: nu se îndoaie și nu se șifonează niciodată – chiar dacă este rupt de pe birou și plasat în spațiu în vreun fel.
Locația avionului în spațiu este dată în mod unic de trei puncte (cu excepția cazului în care acestea se află pe o singură linie dreaptă). Pentru a vizualiza mai bine acest lucru, să desenăm trei puncte arbitrare, O, Ași B, și trageți două linii drepte prin ele OAși OB, așa cum se arată în imagine:
Este deja oarecum mai ușor să „întinzi” un plan în imaginație pe două linii care se intersectează decât să îl „reprezinți” pe trei puncte. Dar pentru o claritate și mai mare, vom face câteva construcții suplimentare. Să luăm câteva puncte la întâmplare: unul oriunde pe linie OA, iar celălalt - oriunde pe linie OB. Desenați o nouă linie prin această pereche de puncte. Apoi, într-un mod similar, selectăm o altă pereche de puncte și tragem o altă linie prin ele. Repetând această procedură de mai multe ori, obținem ceva ca o rețea:
Impunerea unui plan pe o astfel de structură este deja destul de simplă – mai ales că această pânză imaginară poate fi făcută atât de groasă încât va acoperi întregul plan fără goluri.
Rețineți că dacă luăm o pereche de puncte non-coincidente dintr-un plan și tragem o linie prin ele, atunci această linie se va afla în mod necesar în același plan.
Abstract
Punct (A, B, etc.): un obiect imaginar a cărui dimensiune în toate direcțiile este zero.
Drept (n, m sau ( AB)): linie infinit de subțire; a trecut prin două puncte ( Ași B) de-a lungul riglei într-un mod lipsit de ambiguitate; se extinde în ambele direcții până la infinit.
Segment de linie ([AB]): parte a unei drepte delimitată de două puncte ( Ași B) - capetele segmentului, care sunt de asemenea considerate ca aparținând segmentului.
Lungimea tăiată(|AB|): numărul (fracționar) de centimetri (sau altă unitate de măsură) care se potrivesc între capete ( Ași B).
Distanța dintre două puncte: lungimea segmentului de linie care se termină în aceste puncte.
Poziția unui punct pe o dreaptă (coordona): distanța de la un punct la un centru preselectat (de asemenea situat pe o linie dreaptă) cu un semn plus sau minus atribuit, în funcție de ce parte a centrului este situat punctul.
Este dată poziția unui punct pe o dreaptă valabil(real)număr, și anume, o fracție zecimală, care poate fi fie (1) periodică finită, fie infinită ( numere rationale), sau (2) infinit neperiodic ( numere irationale).
Părtinire, care traduce punctul A(cu coordonata A) exact B(cu coordonata b): v = b − A.
Distanța este egală cu deplasarea, luată în valoare absolută: | AB| = |b − A|.
Avion: o foaie de hârtie infinit de subțire care se extinde în direcții diferite până la infinit; este definit în mod unic de trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă.
Conceptul de punct critic poate fi generalizat în cazul mapărilor diferențiabile și în cazul mapărilor diferențiabile ale varietăților arbitrare. f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\la M^(m)). În acest caz, definiția unui punct critic este că rangul matricei jacobiene a mapării f (\displaystyle f) are mai putin decat maximul valoare posibilă, egal cu .
Puncte critice funcțiile și mapările sunt redate rol importantîn domenii ale matematicii, cum ar fi ecuațiile diferențiale, calculul variațiilor, teoria stabilității și în mecanică și fizică. Studiul punctelor critice ale mapărilor netede este una dintre principalele întrebări în teoria catastrofelor. Noțiunea de punct critic este generalizată și în cazul funcționalelor definite pe spații funcționale infinit-dimensionale. Căutarea punctelor critice ale unor astfel de funcționale este parte importantă calculul variațiilor. Punctele critice ale funcționalelor (care, la rândul lor, sunt funcții) sunt numite extremale.
Definiție formală
critic(sau special sau staționar) un punct al unei mapări continuu diferențiabile f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\la \mathbb (R) ^(m)) se numeşte un punct în care diferenţa acestei mapări f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))) este o degenerat transformare liniară spațiile tangente corespunzătoare T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n))și T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), adică dimensiunea imaginii de transformare f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) mai mici min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). În notația de coordonate pentru n = m (\displaystyle n=m) aceasta înseamnă că jacobianul este determinantul matricei jacobi a mapării f (\displaystyle f), compus din toate derivatele parțiale ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- dispare la un punct. Spații și R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m))în această definiţie pot fi înlocuite cu soiuri N n (\displaystyle N^(n))și M m (\displaystyle M^(m)) aceleasi dimensiuni.
teorema lui Sard
Valoarea afișată în punctul critic se numește ea critic. Conform teoremei lui Sard, setul de valori critice ale oricărei mapări suficient de netede f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\la \mathbb (R) ^(m)) are zero măsură Lebesgue (deși poate exista orice număr de puncte critice, de exemplu, pentru o mapare identică, orice punct este critic).
Mapări cu rang constant
Dacă în vecinătatea punctului x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) rangul unei mapări continuu diferențiabile f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\la \mathbb (R) ^(m)) este egal cu același număr r (\displaystyle r), apoi în vecinătatea acestui punct x 0 (\displaystyle x_(0)) sunt coordonate locale centrate pe x 0 (\displaystyle x_(0)), iar în vecinătatea imaginii sale - puncte y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- există coordonate locale (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) centrat pe f (\displaystyle f) este dat de relațiile:
Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r) ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)
În special, dacă r = n = m (\displaystyle r=n=m), apoi sunt coordonate locale (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) centrat pe x 0 (\displaystyle x_(0))și coordonatele locale (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) centrat pe y 0 (\displaystyle y_(0)), astfel încât să se afișeze f (\displaystyle f) este identic.
Se întâmplă m = 1
Când această definițieînseamnă că gradientul ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) dispare în acest moment.
Să presupunem că funcția f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\la \mathbb (R) ) are o clasă de netezime de cel puțin C 3 (\displaystyle C^(3)). Punctul critic al unei funcții f numit nedegenerat, dacă conține un hessian | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) diferit de zero. Într-o vecinătate a unui punct critic nedegenerat, există coordonate în care funcția f are o formă normală pătratică (lema lui Morse).
O generalizare naturală a lemei Morse pentru punctele critice degenerate este Teorema lui Toujron:într-o vecinătate a unui punct critic degenerat al funcţiei f, diferentiabil număr infinit ori() multiplicitate finită µ (\displaystyle \mu ) există un sistem de coordonate în care funcționare lină are forma unui polinom de grad μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(la fel de P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x)) se poate lua polinomul Taylor al funcției f (x) (\displaystyle f(x))într-un punct din coordonatele originale) .
La m = 1 (\displaystyle m=1) are sens să întrebi despre maximul și minimul unei funcții. Conform celebrei declarații analiză matematică, o funcție diferențiabilă continuu f (\displaystyle f), definit în întreg spațiul R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) sau în subsetul său deschis, poate ajunge maxim local(minim) numai în punctele critice, iar dacă punctul este nedegenerat, atunci matricea (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots,n,) trebuie să fie negativ (pozitiv) definit în ea. Acesta din urmă este, de asemenea condiție suficientă maxim local (respectiv, minim).
Se întâmplă n = m = 2
Când n=m=2 avem o mapare f plan pe un plan (sau varietate bidimensională pe o altă varietate bidimensională). Să presupunem că afișajul f diferentiabil de un numar infinit de ori ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). În acest caz, punctele critice tipice ale cartografierii f sunt acelea în care determinantul matricei Jacobi este egal cu zero, dar rangul său este egal cu 1 și, prin urmare, diferenţialul mapării f are un nucleu unidimensional în astfel de puncte. A doua condiție de tipicitate este ca într-o vecinătate a punctului considerat pe planul imaginii inverse, mulțimea punctelor critice să formeze o curbă regulată. S, și aproape în toate punctele curbei S miez ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) nu priveste S, în timp ce punctele în care nu este cazul sunt izolate și tangența la ele este de ordinul întâi. Punctele critice de primul tip sunt numite puncte de sifonare, iar al doilea tip puncte de asamblare. Pliurile și pliurile sunt singurele tipuri de singularități ale mapărilor plan-plan care sunt stabile în ceea ce privește perturbațiile mici: sub o perturbație mică, punctele de pliere și de pliere se mișcă doar ușor odată cu deformarea curbei. S, dar nu dispar, nu degenerează și nu se destramă în alte singularități.
