Cursul de geometrie este larg, voluminos și cu mai multe fațete: include multe diverse subiecte, reguli, teoreme și cunoștințe utile. Se poate imagina că totul în lumea noastră constă în cele mai simple, chiar și cele mai complexe. Puncte, linii, avioane - toate acestea sunt în viața ta. Și sunt supuși legilor lumii existente privind relația dintre obiectele din spațiu. Pentru a demonstra acest lucru, se poate încerca să demonstreze paralelismul dreptelor și planelor.

O linie dreaptă este o linie care leagă două puncte de-a lungul drumului cel mai scurt, fără a se termina și durează pe ambele părți până la infinit. Un plan este o suprafață formată în timpul mișcării cinematice a unei generatoare a unei linii drepte de-a lungul unui ghidaj. Cu alte cuvinte, dacă oricare două drepte au un punct de intersecție în spațiu, ele se pot afla și în același plan. Totuși, cum să le exprim pe cele directe dacă aceste date nu sunt suficiente pentru o astfel de afirmație?

Condiția principală pentru paralelismul unei drepte și a unui plan este să nu aibă puncte comune. Spre deosebire de liniile drepte, care, în absența punctelor comune, pot să nu fie paralele, ci divergente, planul este bidimensional, ceea ce exclude așa ceva ca liniile drepte divergente. În cazul în care un această condiție paralelismul nu se observă - înseamnă că linia intersectează planul dat într-un punct sau se află complet în el.

Ce ne arată cel mai clar condiția de paralelism a unei drepte și a unui plan? Faptul că în orice punct al spațiului distanța dintre o dreaptă paralelă și un plan va fi o constantă. Cu existența chiar și a celei mai mici pante, în miliarde de grad, linia dreaptă va traversa mai devreme sau mai târziu planul datorită infinitului reciproc. De aceea paralelismul unei drepte și al unui plan este posibil doar dacă se respectă această regulă, altfel condiția sa principală - absența punctelor comune - nu va fi respectată.

Ce se mai poate adăuga, vorbind despre paralelismul dreptelor și planelor? Faptul că, dacă una dintre liniile paralele aparține planului, atunci a doua este fie paralelă cu planul, fie îi aparține și acestuia. Cum să demonstrezi? Paralelismul unei drepte și al unui plan care conține o dreaptă paralelă cu una dată este dovedit foarte simplu. nu au puncte comune - prin urmare, ele nu se intersectează. Și dacă linia nu intersectează planul într-un punct, atunci este fie paralelă, fie se află pe plan. Aceasta dovedește încă o dată paralelismul unei drepte și al unui plan care nu au puncte de intersecție.

Există și o teoremă în geometrie care afirmă că dacă există două plane și o dreaptă perpendiculară pe ambele, atunci planurile sunt paralele. O teoremă similară afirmă că, dacă două drepte sunt perpendiculare pe un plan, ele vor fi neapărat paralele între ele. Este paralelismul dreptelor și planelor, exprimat prin aceste teoreme, corect și demonstrabil?

Se dovedește că este. Drept, perpendicular pe plan, va fi întotdeauna strict perpendiculară pe orice dreaptă care se află în planul dat și are, de asemenea, un punct de intersecție cu o altă dreaptă. Dacă o dreaptă are intersecții similare cu mai multe plane și este perpendiculară pe acestea în toate cazurile, atunci toate aceste planuri sunt paralele între ele. bun exemplu o piramidă pentru copii poate servi: axa ei va fi linia perpendiculară dorită, iar inelele piramidei vor fi plane.

Prin urmare, este destul de ușor să demonstrezi paralelismul unei drepte și al unui plan. Aceste cunoștințe sunt obținute de școlari atunci când studiază elementele de bază ale geometriei și determină în mare măsură asimilarea ulterioară a materialului. Dacă știi să folosești corect cunoștințele acumulate la începutul antrenamentului, vei putea opera unde cantitate mare formule și săriți peste legăturile logice inutile dintre ele. Principalul lucru este înțelegerea elementelor de bază. Dacă nu există, atunci studiul geometriei poate fi comparat cu construcția fără fundație. De aceea Acest subiect necesită o atenție deosebită și o cercetare amănunțită.

Definiția dreptelor paralele și proprietățile lor în spațiu sunt aceleași ca și în plan (vezi punctul 11).

În același timp, este posibil încă un caz de aranjare a liniilor în spațiu - linii oblice. Liniile care nu se intersectează și nu se află în același plan se numesc drepte de intersectare.

Figura 121 prezintă aspectul sufrageriei. Vedeți că liniile cărora le aparțin segmentele AB și BC sunt oblice.

Unghiul dintre liniile care se intersectează este unghiul dintre liniile care se intersectează paralele cu acestea. Acest unghi nu depinde de ce linii de intersectare sunt luate.

Se presupune că gradul de măsurare a unghiului dintre liniile paralele este zero.

O perpendiculară comună a două drepte care se intersectează este un segment cu capete pe aceste drepte, care este o perpendiculară pe fiecare dintre ele. Se poate dovedi că două drepte care se intersectează au o perpendiculară comună și, în plus, doar una. Este o perpendiculară comună a planurilor paralele care trec prin aceste drepte.

Distanța dintre liniile care se intersectează este lungimea perpendicularei lor comune. Este egală cu distanța dintre planele paralele care trec prin aceste drepte.

Astfel, pentru a afla distanța dintre dreptele care se intersectează a și b (Fig. 122), este necesar să se traseze plane paralele a și prin fiecare dintre aceste drepte. Distanța dintre aceste planuri va fi distanța dintre liniile care se intersectează a și b. În figura 122, această distanță este, de exemplu, distanța AB.

Exemplu. Dreptele a și b sunt paralele și liniile c și d se intersectează. Fiecare dintre liniile a și poate intersecta ambele linii

Decizie. Dreptele a și b se află în același plan și, prin urmare, orice dreaptă care intersectează fiecare dintre ele se află în același plan. Prin urmare, dacă fiecare dintre liniile a, b intersectează ambele drepte c și d, atunci liniile s-ar afla în același plan cu liniile a și b și acest lucru nu poate fi, deoarece liniile se intersectează.

42. Paralelismul unei drepte și al unui plan.

O dreaptă și un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează, adică nu au puncte comune. Dacă dreapta a este paralelă cu planul a, atunci se scrie:.

Figura 123 prezintă o dreaptă a paralelă cu planul a.

Dacă drept, nu aparținând avionului, este paralelă cu o dreaptă din acest plan, apoi este și paralelă cu planul însuși (un semn de paralelism al dreptei și al planului).

Această teoremă permite situație specifică Demonstrați că o dreaptă și un plan sunt paralele. Figura 124 prezintă o dreaptă b paralelă cu o dreaptă a situată în planul a, adică de-a lungul dreptei b paralelă cu planul a, adică.

Exemplu. Prin vârf unghi drept Din dreptunghiular triunghiul ABC Un plan este trasat paralel cu ipotenuza la o distanta de 10 cm de aceasta. Proiecțiile catetelor pe acest plan sunt de 30 și 50 cm.Aflați proiecția ipotenuzei pe același plan.

Decizie. Din triunghiuri dreptunghiulare BBVC și (Fig. 125) găsim:

Din triunghiul ABC găsim:

Proiecția ipotenuzei AB pe planul a este . Deoarece AB este paralel cu planul a, atunci So,.

43. Planuri paralele.

Două plane se numesc paralele. dacă nu se intersectează.

Două plane sunt paralele” dacă unul dintre ele este paralel cu două drepte care se intersectează situate într-un alt plan (un semn de paralelism a două plane).

În figura 126, planul a este paralel cu liniile de intersectare a și b aflate în plan, apoi de-a lungul acestor plane sunt paralele.

Printr-un punct din afara unui plan dat, se poate trasa un plan paralel cu cel dat și, în plus, doar unul.

Dacă două plane paralele se intersectează cu un al treilea, atunci liniile de intersecție sunt paralele.

Figura 127 prezintă două plane paralele, iar planul y le intersectează de-a lungul liniilor drepte a și b. Apoi, prin teorema 2.7, putem afirma că dreptele a și b sunt paralele.

Segmentele de drepte paralele cuprinse între două plane paralele sunt egale.

Conform T.2.8, segmentele AB și prezentate în Figura 128 sunt egale, deoarece

Lasă aceste planuri să se intersecteze. Desenați un plan perpendicular pe dreapta intersecției lor. El intersectează aceste planuri de-a lungul a două linii drepte. Unghiul dintre aceste drepte se numește unghiul dintre aceste planuri (Fig. 129). Unghiul dintre planele astfel definite nu depinde de alegerea planului secant.

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru un succes promovarea examenului la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide solutii, capcane si UTILIZAȚI secrete. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul contine 5 subiecte mari, 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de textși teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referinta, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltare imaginația spațială. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicație vizuală concepte complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru solutie sarcini provocatoare 2 părți ale examenului.

Geometria inițială studiază conceptele și relațiile obiectelor. Fără o justificare clară, este imposibil să navighezi zona de aplicare. Semnul paralelismului unei drepte și al unui plan este primul pas în geometria spațiului. Stăpânirea categoriilor inițiale va aduce mai aproape către lumea fascinantă a preciziei, logicii, clarității.

In contact cu

Raport obiect: opțiuni posibile

Stereometria este un instrument de înțelegere a lumii. Examinează relația dintre obiecte între ele, învață cum să calculezi distanțe fără riglă. Practica de succes necesită stapaneste conceptele de baza.

Există o suprafață a și o linie l. Există trei cazuri de corelare obiect. Ele sunt definite de puncte de intersecție. Usor de amintit:

• 0 puncte - paralel;
• 1 punct - se intersectează reciproc;
• infinit de multe - linia se află în plan.

Este ușor de descris semnul paralelismului obiectelor. Pe suprafața a există o linie cu || l, apoi l || A.

O cerere simplă necesită dovezi. Lăsați suprafața să fie trasată prin linii: l || c. În Ω, a = c. Să am un punct comun cu a. Ar trebui să se afle la p. Aceasta contrazice condiția: l || c. Atunci l este paralel cu planul a. Poziția de pornire dreapta.

Important! Există cel puțin o linie în spațiu || suprafață plană. Aceasta este în consonanță cu afirmația geometriei inițiale (planimetrie).

Un gând simplu: a aparține mai mult de un punct l, deci linia l aparține în întregime lui a.

a || Eu doar dacă absența unui singur punct de intersecție.

Aceasta este o definiție logică a paralelismului unei linii drepte și a unui plan.

Usor de gasit uz practic prevederi. Cum se demonstrează că o dreaptă este paralelă cu un plan?

Este suficient să folosiți caracteristica investigată.

Ce este util de știut

Pentru o soluție competentă a problemelor, este necesar să se studieze aranjamente suplimentare ale obiectelor. Baza este un semn de paralelism al unei drepte și al unui plan. Utilizarea sa va facilita înțelegerea altor elemente. Geometria spațiului are în vedere cazuri speciale.

Intersecții în stereometrie

Obiectele sunt aceleași: suprafața plană a, liniile c, l. Cum coexistă ele? Cu || l. L intersectează a. Este ușor de înțeles: c va intersecta cu siguranță a. Această idee este o lemă privind intersecția unui plan cu drepte paralele.

Domeniul de activitate se extinde. La obiectele studiate se adaugă o suprafață. Ea deține l. Nu se schimbă nimic în obiectele originale: l || A. Din nou, este simplu: în cazul intersectării planelor linie comună d || l. Urmează imediat conceptul: care două plane se numesc intersectări. Cele care au o linie comună.

Ce teoreme trebuie studiate

Principalele concepte ale relației obiectelor conduc la descrierea principalelor afirmații. Sunt necesită dovezi extinse.În primul rând: teoreme privind paralelismul unei drepte și a unui plan. Sunt luate în considerare diverse cazuri.

1. Obiecte: suprafete P, Q, R, linii AB, CD. Condiție: P||Q, R le intersectează. Desigur, AB||CD.

1. Subiecte de studiu: liniile AB, CD, A1B1, C1D1. AB intersectează CD într-un plan, A1B1 intersectează C1D1 în altul. AB||A1B1, CD||C1D1. Concluzie: suprafețe care se intersectează în perechi linii paralele, ||.

Apare un nou concept . Liniile de trecere nu sunt ele însele paralele. deși se află în planuri paralele. Acestea sunt C1D1 și AB, A1B1 și CD. Acest fenomen este utilizat pe scară largă în stereometria practică.

Declarație firească: printr-una dintre liniile de trecere, este real trece printr-un singur plan paralel.

1. Atunci este ușor să ajungem la teorema urmei. Aceasta este a treia dintre afirmațiile despre paralelismul unei drepte și al unei suprafețe. Există o linie l. Ea || A. i apartin. În Ω, a = d. Singura opțiune posibilă este: d || l.

Important! Linia și planul se numesc || în lipsa obiectelor comune – puncte.

Proprietățile paralelismului și dovezile lor

Este ușor să ajungeți la conceptul de amplasare a suprafețelor plane:

• set gol de puncte comune (numite paralele);
• se intersectează în linie dreaptă.

Sunt folosite în stereometrie proprietăți paralele. Orice imagine spațială are suprafețe și linii. Pentru solutie de succes probleme este necesară studierea principalelor teoreme:

• Obiecte investigate: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Ieșire: l||m. Presupunerea necesită dovezi. Locația lui l și m este una din două: intersectare sau paralelă. Dar în al doilea caz suprafețele nu au puncte comune. Apoi l || m. Afirmația a fost dovedită. Trebuie reținut: dacă linia se află într-un plan, atunci au mai multe puncte de intersecție.

• Există o suprafață a, punctul A nu aparține lui a. Atunci există o singură suprafață b || a trecere prin A. Propoziţia este uşor de demonstrat. Fie l Ω m; l, m aparțin lui a. Prin fiecare dintre ele este construit un avion și A. Ea traversează o. Are o linie care trece prin A și || A. În punctul A se intersectează. Ele formează singura suprafață b || A.

• Există drepte care se intersectează l și m. Apoi sunt || suprafețele a și b cărora le aparțin l și m. Este logic să faceți acest lucru: pe l și m alegeți puncte arbitrare. Mutați m1 || m, l1 || l. Liniile care se intersectează în perechi || => a || b. Poziția a fost dovedită.

Cunoașterea proprietăților paralelismului unei linii drepte și unui plan vă va permite să le aplicați cu pricepere în practică. Dovezile simple și logice vă vor ajuta să navigați lume fascinantă stereometrie.

Planuri: evaluarea paralelismului

Descrierea conceptului este ușoară. Întrebare: ce înseamnă, o dreaptă și un plan sunt paralele, rezolvate. Studiul categoriilor inițiale ale geometriei spațiului a condus la o afirmație mai complexă.

La hotărâre sarcini aplicate se aplică paralelismul. Descriere simplă: fie l Ω m, l1 Ω m1, l, m să aparțină lui a, l1, m1 – b. În acest caz, l || l1, m || m1. Apoi un || b.

Fara aplicatie simboluri matematice: se spune că planurile sunt paralele dacă sunt desenate prin linii paralele care se intersectează.

Stereometria consideră proprietățile planelor paralele. Ele sunt descrise prin teoreme:

Obiecte investigate: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Apoi l || m. Dovada evident. iar Liniile se află în același plan dacă || sau se intersectează. Ar trebui aplicată afirmația despre paralelismul dreptei și al suprafeței. Apoi devine evident: l și m nu se pot intersecta. Singurul lucru rămas este l || m.

O dreaptă și un plan se numesc paralele dacă nu au puncte comune. Dacă o dreaptă care nu se află într-un plan dat este paralelă cu o dreaptă din acel plan

1. Dacă un plan trece printr-o dreaptă dată paralelă cu un alt plan și intersectează acest plan, atunci linia de intersecție a planurilor este paralelă cu dreapta dată.

2. Dacă una dintre cele două drepte paralele este paralelă cu un plan dat, iar cealaltă dreaptă are un punct comun cu planul, atunci această dreaptă se află în planul dat. plan, atunci este paralel cu planul însuși.

Cazuri de aranjare reciprocă a unei drepte și a unui plan: a) linia se află într-un plan;

b) o dreaptă și un plan au un singur punct comun; c) o dreaptă și un plan nu au punct comun.

2. Determinarea mărimii naturale a unui segment de dreaptă în poziţie generală prin metoda unui triunghi dreptunghic.

Valoarea naturală (n.v.) a unui segment de dreaptă AB în poziție generală este ipotenuza unui triunghi dreptunghic ABK. În acest triunghi, cateta AK este paralelă cu planul proiecțiilor π1 și este egală cu proiecția orizontală a segmentului A"B". Categorul BK este egal cu diferența dintre distanțele punctelor A și B față de planul π1.

În cazul general, pentru a determina dimensiunea naturală a unui segment de linie dreaptă, este necesar să se construiască ipotenuza unui triunghi dreptunghic, al cărui catet este proiecția orizontală (frontală) a segmentului, celălalt catete este un segment egal. în mărime la diferența algebrică a coordonatelor Z (Y) ale punctelor extreme ale segmentului.

Unghiul α se găsește dintr-un triunghi dreptunghic - unghiul de înclinare al unei linii drepte față de planul orizontal al proiecțiilor.

Pentru a determina unghiul de înclinare al unei linii drepte față de planul de proiecție frontală, este necesar să se execute construcții similare pe proiecția frontală a segmentului.

3. Principalele linii ale planului (orizontală, frontală).

Orizontală a planului P este o dreaptă care se află în acest plan și este paralelă cu planul orizontal. Orizontală ca linie dreaptă paralelă cu planul orizontal are o proiecție frontală ѓ paralelă cu axa x.

Frontul planului P este o linie dreaptă care se află în acest plan și este paralelă cu planul frontal.

Frontul este o linie dreaptă paralelă cu planul frontal, iar proiecția sa orizontală f este paralelă cu axa x.

4. Poziția reciprocă a liniilor drepte în spațiu. Determinarea vizibilității prin puncte concurente. Două drepte în spațiu pot avea o locație diferită: A) se intersectează (se află în același plan). Un caz special de intersecție - în unghi drept; B) poate fi paralel (se află în același plan); C) coincide - un caz special de paralelism; D) cruce (se află în planuri diferite și nu se intersectează).

Se numesc puncte ale căror proiecții pe P1 coincid concurând faţă de planul P1, iar punctele ale căror proiecţii pe P2 coincid se numesc concurând faţă de planul P2.

Punctele K și L concurează față de planul P1, deoarece pe planul P1 punctele K și L sunt proiectate într-un singur punct: K1 = L1.

Punctul K este mai mare decât punctul L, deoarece K2 este mai mare decât punctul L2, prin urmare K1 este vizibil pe P1.