„Nu poți împărți la zero!” - majoritatea elevilor memorează această regulă pe de rost, fără să pună întrebări. Toți copiii știu ce este „nu” și ce se va întâmpla dacă întrebați ca răspuns la acesta: „De ce?” Dar, de fapt, este foarte interesant și important să știm de ce este imposibil.
Chestia este că cele patru operații de aritmetică - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea - sunt de fapt inegale. Matematicienii recunosc doar două dintre ele ca fiind cu drepturi depline - adunarea și înmulțirea. Aceste operații și proprietățile lor sunt incluse în însăși definiția conceptului de număr. Toate celelalte acțiuni sunt construite într-un fel sau altul din aceste două.
Luați în considerare, de exemplu, scăderea. Ce înseamnă 5 – 3 ? Elevul va răspunde simplu: trebuie să luați cinci articole, să luați (eliminați) trei dintre ele și să vedeți câte au mai rămas. Dar matematicienii privesc această problemă într-un mod complet diferit. Nu există nicio scădere, doar adunare. Prin urmare, intrarea 5 – 3 înseamnă un număr care, atunci când este adăugat unui număr 3 va da numarul 5 . Acesta este 5 – 3 este doar o prescurtare pentru ecuația: x + 3 = 5. Nu există nicio scădere în această ecuație. Există o singură sarcină - să găsești număr potrivit.
Același lucru este valabil și cu înmulțirea și împărțirea. Înregistrare 8: 4 poate fi înțeles ca rezultat al împărțirii a opt obiecte în patru grămezi egale. Dar este de fapt doar o formă scurtă a ecuației 4 x = 8.
Aici devine clar de ce este imposibil (sau mai degrabă imposibil) să se împartă la zero. Înregistrare 5: 0 este o abreviere pentru 0 x = 5. Adică, această sarcină este de a găsi un număr care, atunci când este înmulțit cu 0 va da 5 . Dar știm că atunci când este înmulțit cu 0 se dovedește întotdeauna 0 . Aceasta este o proprietate inerentă a lui zero, strict vorbind, parte a definiției sale.
Un număr care, înmulțit cu 0 va da altceva decât nul, pur și simplu nu există. Adică problema noastră nu are soluție. (Da, se întâmplă, nu orice problemă are o soluție.) 5: 0 nu corespunde unui anumit număr și pur și simplu nu reprezintă nimic și, prin urmare, nu are sens. Lipsa de sens a acestei intrări este exprimată pe scurt spunând că nu puteți împărți la zero.
Cei mai atenți cititori în acest moment se vor întreba cu siguranță: este posibil să împărțim zero la zero? Într-adevăr, din moment ce ecuația 0 x = 0 rezolvat cu succes. De exemplu, puteți lua x=0, și apoi obținem 0 0 = 0. Se dovedește 0: 0=0 ? Dar să nu ne grăbim. Să încercăm să luăm x=1. obține 0 1 = 0. Corect? Mijloace, 0: 0 = 1 ? Dar poți lua orice număr și poți obține 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 etc.
Dar dacă orice număr este potrivit, atunci nu avem niciun motiv să optăm pentru unul dintre ele. Adică, nu putem spune ce număr corespunde înregistrării 0: 0 . Și dacă da, atunci suntem forțați să admitem că nici această înregistrare nu are sens. Se pare că nici măcar zero nu poate fi împărțit la zero. (În analiza matematică, există cazuri când, din cauza unor condiții suplimentare ale problemei, se poate da preferință uneia dintre Opțiuni rezolvarea ecuației 0 x = 0; în astfel de cazuri, matematicienii vorbesc despre „dezvăluirea nedeterminarii”, dar în aritmetică astfel de cazuri nu apar.)
Aceasta este caracteristica operațiunii de divizare. Pentru a fi mai precis, operația de înmulțire și numărul asociat acesteia au zero.
Ei bine, cel mai meticulos, citind până în acest punct, se poate întreba: de ce nu poți împărți la zero, dar poți scădea zero? Într-un fel, aici începe matematica adevărată. Puteți răspunde numai după ce vă familiarizați cu formalul definiții matematice multimi numerice si operatii asupra acestora. Nu este atât de dificil, dar din anumite motive nu se studiază la școală. Dar în cursurile de matematică de la universitate, veți fi predat acest lucru în primul rând.
Regula matematică privind împărțirea la zero a fost spusă tuturor oamenilor din clasa I. școală gimnazială. „Nu poți împărți la zero”, ne-au învățat pe toți și ne-au interzis, sub durerea unei palme în spate, să împărțim la zero și să discutăm în general acest subiect. Deși unii profesori de școală elementară încă au încercat să explice de ce este imposibil să se împartă la zero folosind exemple simple, aceste exemple au fost atât de ilogice încât a fost mai ușor să-ți amintești această regulă și să nu pui prea multe întrebări. Dar toate aceste exemple erau ilogice pentru că profesorii nu ne-au putut explica în mod logic acest lucru în clasa I, întrucât în clasa I nici nu știam aproape ce este o ecuație, dar logic este. regula matematica poate fi explicată doar cu ajutorul ecuațiilor.
Toată lumea știe că atunci când împărțiți orice număr la zero, va ieși un gol. De ce anume golul, vom lua în considerare mai târziu.
În general, în matematică, doar două proceduri cu numere sunt recunoscute ca independente. Aceasta este adunarea și înmulțirea. Procedurile rămase sunt considerate derivate ale acestor două proceduri. Să ne uităm la asta cu un exemplu.
Spune-mi, cât va fi, de exemplu, 11-10? Cu toții vom răspunde instantaneu că va fi 1. Și cum am găsit un astfel de răspuns? Cineva va spune că deja e clar că va fi 1, cineva va spune că a luat 10 din 11 mere și a calculat că a ieșit un măr. Din punct de vedere al logicii, totul este corect, dar conform legilor matematicii, această problemă este rezolvată diferit. Trebuie amintit că adunarea și înmulțirea sunt considerate procedurile principale, așa că trebuie să faceți următoarea ecuație: x + 10 \u003d 11 și abia apoi x \u003d 11-10, x \u003d 1. Rețineți că adunarea este mai întâi și abia apoi, pe baza ecuației, putem scădea. S-ar părea, de ce atâtea proceduri? La urma urmei, răspunsul este atât de evident. Dar numai astfel de proceduri pot explica imposibilitatea împărțirii la zero.
De exemplu, facem asta problema de matematica: vrei să împarți 20 la zero. Deci 20:0=x. Pentru a afla cât va fi, trebuie să rețineți că procedura de împărțire urmează din înmulțire. Cu alte cuvinte, împărțirea este procedeul derivat al înmulțirii. Prin urmare, trebuie să faceți o ecuație din înmulțire. Deci, 0*x=20. Aici e fundătura. Orice număr înmulțim cu zero, va fi tot 0, dar nu 20. Aici urmează regula: nu poți împărți la zero. Zero poate fi împărțit la orice număr, dar un număr nu poate fi împărțit la zero.
Aceasta ridică o altă întrebare: este posibil să împărțim zero la zero? Deci 0:0=x înseamnă 0*x=0. Această ecuație poate fi rezolvată. Luați, de exemplu, x=4, ceea ce înseamnă 0*4=0. Se pare că dacă împărțiți zero la zero, obțineți 4. Dar nici aici totul nu este atât de simplu. Dacă luăm, de exemplu, x=12 sau x=13, atunci va ieși același răspuns (0*12=0). În general, indiferent de numărul pe care îl înlocuim, tot va ieși 0. Prin urmare, dacă 0: 0, atunci infinitul se va dovedi. Iată o matematică simplă. Din păcate, procedura de împărțire a zero la zero este, de asemenea, lipsită de sens.
În general, numărul zero la matematică este cel mai interesant. De exemplu, toată lumea știe că orice număr la puterea zero dă unul. Desigur, cu un astfel de exemplu în viata reala nu ne întâlnim, ci cu împărțirea la zero situatii de viataîntâlni foarte des. Așa că nu uitați că nu puteți împărți la zero.
Foarte des, mulți oameni se întreabă de ce este imposibil să folosiți împărțirea la zero? În acest articol, vom intra în detaliu despre de unde a venit această regulă, precum și ce acțiuni pot fi efectuate cu zero.
In contact cu
Zero poate fi numit unul dintre cele mai interesante numere. Acest număr nu are sens, înseamnă gol în literalmente cuvintele. Cu toate acestea, dacă puneți zero lângă orice cifră, atunci valoarea acestei cifre va deveni de câteva ori mai mare.
Numărul este foarte misterios în sine. De asemenea, a fost folosit oameni din Antichitate Mayan. Pentru Maya, zero însemna „început” și numărătoarea inversă zile calendaristice a început de asemenea de la zero.
Foarte fapt interesant este că semnul zero și semnul de incertitudine au fost similare. Cu aceasta, mayașii au vrut să arate că zero este același semn identic precum și incertitudinea. În Europa, desemnarea zero a apărut relativ recent.
De asemenea, mulți oameni cunosc interdicția asociată cu zero. Oricine va spune asta nu poate fi împărțit la zero. Acest lucru este spus de profesorii de la școală, iar copiii de obicei se cred pe cuvânt. De obicei, copiii fie pur și simplu nu sunt interesați să știe acest lucru, fie știu ce se va întâmpla dacă, după ce au auzit o interdicție importantă, ei întreabă imediat „De ce nu poți împărți la zero?”. Dar când îmbătrânești, interesul se trezește și vrei să afli mai multe despre motivele unei astfel de interdicții. Cu toate acestea, există dovezi rezonabile.
Acțiuni cu zero
Mai întâi trebuie să determinați ce acțiuni pot fi efectuate cu zero. Există mai multe tipuri de activități:
- Plus;
- Multiplicare;
- Scădere;
- Împărțirea (zero după număr);
- Exponentiație.
Important! Dacă se adaugă zero la orice număr la adăugare, atunci acest număr va rămâne același și nu își va schimba valoare numerică. Același lucru se întâmplă dacă scazi zero din orice număr.
Cu înmulțirea și împărțirea, lucrurile stau puțin diferit. În cazul în care un înmulțiți orice număr cu zero, atunci și produsul va deveni zero.
Luați în considerare un exemplu:
Să scriem asta ca adaos:
Sunt cinci zerouri adăugate în total, așa că se dovedește că
Să încercăm să înmulțim unu cu zero. Rezultatul va fi, de asemenea, nul.
Zero poate fi, de asemenea, împărțit la orice alt număr care nu este egal cu acesta. În acest caz, se va dovedi, a cărui valoare va fi, de asemenea, zero. Aceeași regulă se aplică numere negative. Dacă împărțiți zero la un număr negativ, obțineți zero.
De asemenea, puteți ridica orice număr în grad zero . În acest caz, obțineți 1. Este important să rețineți că expresia „de la zero la puterea zero” este absolut lipsită de sens. Dacă încerci să ridici zero la orice putere, obții zero. Exemplu:
Folosim regula înmulțirii, obținem 0.
Este posibil să se împartă la zero
Deci, aici ajungem la întrebarea principală. Este posibil să se împartă la zeroîn general? Și de ce este imposibil să împărțiți un număr la zero, având în vedere că toate celelalte operații cu zero există și se aplică pe deplin? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să apelezi la matematică superioară.
Să începem cu definiția conceptului, ce este zero? profesori de școală spune că zero este nimic. Goliciunea. Adica cand spui ca ai 0 pixuri inseamna ca nu ai deloc pixuri.
În matematica superioară, conceptul de „zero” este mai larg. Nu înseamnă deloc gol. Aici zero se numește incertitudine, deoarece dacă desenăm putina cercetare, se dovedește că atunci când împărțim zero la zero, putem obține orice alt număr ca rezultat, care nu poate fi neapărat zero.
Știai că acelea simple operatii aritmetice că ai studiat la școală nu sunt atât de egali între ei? Cei mai de bază pași sunt adunare si inmultire.
Pentru matematicieni, conceptele de „” și „scădere” nu există. Să presupunem: dacă trei se scad din cinci, atunci vor rămâne doi. Așa arată scăderea. Cu toate acestea, matematicienii ar scrie acest lucru:
Astfel, se dovedește că diferența necunoscută este un anumit număr care trebuie adăugat la 3 pentru a obține 5. Adică, nu trebuie să scazi nimic, trebuie doar să găsești un număr potrivit. Această regulă se aplică adăugării.
Lucrurile stau puțin diferit cu regulile de înmulțire și împărțire. Se știe că înmulțirea cu zero duce la rezultatul zero. De exemplu, dacă 3:0=x, atunci dacă întoarceți înregistrarea, obțineți 3*x=0. Și numărul care este înmulțit cu 0 va da zero în produs. Se dovedește că un număr care ar da orice altă valoare decât zero în produsul cu zero nu există. Aceasta înseamnă că împărțirea la zero este lipsită de sens, adică se potrivește regulii noastre.
Dar ce se întâmplă dacă încerci să împărțim zero la sine? Să luăm x ca un număr nedefinit. Se pare că ecuația 0 * x \u003d 0. Se poate rezolva.
Dacă încercăm să luăm zero în loc de x, obținem 0:0=0. S-ar părea logic? Dar dacă încercăm să luăm orice alt număr în loc de x, de exemplu, 1, atunci ajungem cu 0:0=1. Aceeași situație va fi dacă luați orice alt număr și conectați-l în ecuație.
În acest caz, se dovedește că putem lua ca factor orice alt număr. Rezultatul va fi un număr infinit numere diferite. Uneori, totuși, împărțirea cu 0 în matematica superioară are sens, dar de obicei există o anumită condiție datorită căreia putem alege în continuare un număr potrivit. Această acțiune se numește „dezvăluirea incertitudinii”. În aritmetica obișnuită, împărțirea la zero își va pierde din nou sensul, deoarece nu vom putea alege niciun număr din mulțime.
Important! Zero nu poate fi împărțit la zero.
Zero și infinit
Infinitul este foarte comun în matematica superioară. Deoarece pur și simplu nu este important pentru școlari să știe că mai există operații matematice cu infinit, profesorii nu pot explica corect copiilor de ce este imposibil să se împartă la zero.
Principal secrete matematice elevii încep să înveţe abia în primul an de institut. Matematica superioară oferă un set mare de probleme care nu au nicio soluție. Cele mai cunoscute probleme sunt problemele cu infinitul. Se pot rezolva cu analiză matematică.
Puteți aplica și la infinit operatii matematice elementare: adunare, înmulțire cu un număr. Scăderea și împărțirea sunt, de asemenea, utilizate în mod obișnuit, dar până la urmă ele încă se rezumă la două operații simple.
Chiar și la școală, profesorii au încercat să ne pună în cap cea mai simplă regulă: „Orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero!”, - dar totusi multe controverse apar constant in jurul lui. Cineva tocmai a memorat regula și nu se deranjează cu întrebarea „de ce?”. „Nu poți face totul aici, pentru că la școală așa spuneau, regula este regula!” Cineva poate umple o jumătate de caiet cu formule, dovedind această regulă sau, dimpotrivă, ilogicitatea ei.
Cine are dreptate până la urmă
În timpul acestor dispute, ambii oameni, având puncte opuse vedenie, priviți-vă unii pe alții ca un berbec și dovediți cu toată puterea că au dreptate. Deși, dacă te uiți la ei din lateral, poți vedea nu unul, ci doi berbeci sprijiniți unul de celălalt cu coarnele lor. Singura diferență dintre ele este că unul este puțin mai puțin educat decât celălalt. Cel mai adesea, cei care consideră că această regulă este greșită încearcă să apeleze la logică în acest fel:
Am două mere pe masă, dacă le pun zero mere, adică nu pun unul singur, atunci cele două mere ale mele nu vor dispărea din asta! Regula este ilogică!
Într-adevăr, merele nu vor dispărea nicăieri, dar nu pentru că regula este ilogică, ci pentru că aici este folosită o ecuație ușor diferită: 2 + 0 \u003d 2. Deci, să renunțăm imediat la această concluzie - este ilogică, deși are opusul scop - a chema la logica.
Acesta este interesant: Cum să găsiți diferența de numere în matematică?
Ce este înmulțirea
Regula de înmulțire inițială a fost definit doar pentru numerele naturale: înmulțirea este un număr adăugat la sine de un anumit număr de ori, ceea ce implică naturalețea numărului. Astfel, orice număr cu înmulțire poate fi redus la această ecuație:
Din această ecuație rezultă concluzia, că înmulțirea este o adunare simplificată.
Ce este zero
Orice om din copilărie știe: zero este gol, în ciuda faptului că acest gol are o denumire, nu poartă absolut nimic. Oamenii de știință din Orientul antic au gândit altfel - au abordat problema filozofic și au făcut unele paralele între gol și infinit și au văzut înțeles adânc in acest numar. La urma urmei, zero, care are valoarea golului, stând lângă oricare numar natural, îl înmulțește de zece ori. De aici toată controversa cu privire la înmulțire - acest număr are atât de multă inconsecvență încât devine dificil să nu te confuzi. În plus, zero este utilizat în mod constant pentru a identifica biții goli în fracții zecimale, acest lucru se face atât înainte, cât și după virgulă.
Este posibil să se înmulțească prin gol
Se poate înmulți cu zero, dar este inutil, pentru că, orice s-ar spune, dar și la înmulțirea numerelor negative, tot se va obține zero. Este suficient să vă amintiți această regulă cea mai simplă și să nu mai puneți niciodată această întrebare. De fapt, totul este mai simplu decât pare la prima vedere. Nu sunt sensuri ascunseși mistere, așa cum credeau savanții antici. Explicația cea mai logică va fi dată mai jos că această înmulțire este inutilă, deoarece la înmulțirea unui număr cu el, se va obține în continuare același lucru - zero.
Acesta este interesant: care este modulul unui număr?
Revenind la început, argumentul despre două mere, de 2 ori 0 arată astfel:
La urma urmei, să mănânci un măr de 0 ori înseamnă să nu mănânci unul singur. Va fi clar chiar unui copil mic. Vă place sau nu, va ieși 0, două sau trei pot fi înlocuite cu absolut orice număr și va ieși absolut același lucru. Și pentru a spune simplu, zero este nimic iar când ai nu este nimic, atunci indiferent cât de mult ai înmulți - e tot la fel va fi zero. Nu există magie și nimic nu va face un măr, chiar dacă înmulți 0 cu un milion. Aceasta este cea mai simplă, mai înțeleasă și logică explicație a regulii înmulțirii cu zero. Pentru o persoană care este departe de toate formulele și matematica, o astfel de explicație va fi suficientă pentru ca disonanța din cap să se rezolve și totul să cadă la loc.
Din toate cele de mai sus rezultă o altă regulă importantă:
Nu poți împărți la zero!
Această regulă, de asemenea, ne-a fost încăpățânată încăpățânată în capul nostru încă din copilărie. Știm doar că este imposibil și asta e totul fără să ne îngrijorăm capul Informații suplimentare. Dacă vi se pune brusc întrebarea, din ce motiv este interzisă împărțirea la zero, atunci majoritatea va fi confuză și nu va putea răspunde clar cea mai simplă întrebare din curiculumul scolar, pentru că nu există atât de multe controverse și controverse în jurul acestei reguli.
Toată lumea a memorat regula și nu împarte la zero, fără a bănui că răspunsul se află la suprafață. Adunarea, înmulțirea, împărțirea și scăderea sunt inegale, numai înmulțirea și adunarea sunt pline de cele de mai sus, iar toate celelalte manipulări cu numere sunt construite din ele. Adică, intrarea 10: 2 este o abreviere a ecuației 2 * x = 10. Prin urmare, intrarea 10: 0 este aceeași abreviere pentru 0 * x = 10. Se pare că împărțirea la zero este o sarcină de găsit un număr, înmulțind cu 0, obținem 10 Și ne-am dat deja seama că un astfel de număr nu există, ceea ce înseamnă că această ecuație nu are soluție și va fi a priori incorectă.
Lasa-ma sa iti spun
A nu împărți la 0!
Tăiați 1 după cum doriți, împreună,
Doar nu împărți la 0!
obrazovanie.guru
Impartirea cu zero. Matematică fascinantă
Numărul 0 poate fi reprezentat ca un fel de graniță care separă lumea numerelor reale de cele imaginare sau negative. Datorită poziției ambigue, multe operațiuni cu aceasta valoare numerică nu asculta logica matematica. Imposibilitatea împărțirii la zero luminos la asta exemplu. Și operațiile aritmetice permise cu zero pot fi efectuate folosind definiții general acceptate.
Istoria lui Zero
Zero este punctul de referință în toate sisteme standard calcul. Europenii au început să folosească acest număr relativ recent, dar înțelepții India antică a folosit zero timp de o mie de ani înainte ca numărul gol să fie folosit în mod regulat de matematicienii europeni. Chiar înainte de indieni, zero era o valoare obligatorie în sistemul numeric Maya. Acest popor american a folosit sistemul duozecimal și a început prima zi a fiecărei luni cu un zero. Interesant este că printre mayași, semnul pentru „zero” a coincis complet cu semnul pentru „infinit”. Astfel, vechii Maya au ajuns la concluzia că aceste cantități erau identice și de necunoscut.
Operații matematice cu zero
Standard operatii matematice cu zero poate fi redus la mai multe reguli.
Adunare: dacă adăugați zero la un număr arbitrar, atunci acesta nu își va schimba valoarea (0+x=x).
Scădere: la scăderea zero din orice număr, valoarea scăderii rămâne neschimbată (x-0=x).
Înmulțire: orice număr înmulțit cu 0 dă 0 în produs (a*0=0).
Diviziunea: zero poate fi împărțit la orice număr diferit de zero. În acest caz, valoarea unei astfel de fracții va fi 0. Și împărțirea la zero este interzisă. 
Exponentiatie. Această acțiune poate fi efectuată cu orice număr. Un număr arbitrar ridicat la puterea lui zero va da 1 (x 0 =1).
Zero la orice putere este egal cu 0 (0 a \u003d 0).
În acest caz, apare imediat o contradicție: expresia 0 0 nu are sens.
Paradoxurile matematicii
Mulți oameni știu de la faptul că împărțirea la zero este imposibilă banca de scoala. Dar din anumite motive nu este posibil să explicăm motivul unei astfel de interdicții. Într-adevăr, de ce nu există formula împărțirii cu zero, dar alte acțiuni cu acest număr sunt destul de rezonabile și posibile? Răspunsul la această întrebare este dat de matematicieni.
Chestia este că operațiile aritmetice obișnuite în care învață școlari scoala primara de fapt nu sunt atât de egali pe cât credem. Toate operațiile simple cu numere pot fi reduse la două: adunarea și înmulțirea. Aceste operații sunt esența însuși conceptului de număr, iar restul operațiunilor se bazează pe utilizarea acestor două.
Adunarea și înmulțirea
Hai sa luam exemplu standard pentru scădere: 10-2=8. La școală, se consideră simplu: dacă două sunt luate din zece obiecte, rămân opt. Dar matematicienii privesc această operație cu totul diferit. La urma urmei, nu există o astfel de operație precum scăderea pentru ei. Acest exemplu se poate scrie în alt mod: x + 2 = 10. Pentru matematicieni diferenta necunoscuta este pur și simplu numărul care trebuie adăugat la doi pentru a face opt. Și nu este necesară nicio scădere aici, trebuie doar să găsiți o valoare numerică adecvată.
Înmulțirea și împărțirea sunt tratate în același mod. În exemplul 12:4=3 se poate înțelege că vorbim despre împărțirea a opt obiecte în două grămezi egale. Dar, în realitate, aceasta este doar o formulă inversată pentru scrierea 3x4 \u003d 12. Astfel de exemple de împărțire pot fi date la nesfârșit. 
Exemple de împărțire la 0
Aici devine puțin clar de ce este imposibil de împărțit la zero. Înmulțirea și împărțirea cu zero au propriile reguli. Toate exemplele pe diviziune a acestei cantități pot fi formulate ca 6:0=x. Dar aceasta este o expresie inversată a expresiei 6 * x = 0. Dar, după cum știți, orice număr înmulțit cu 0 dă în produs doar 0. Această proprietate este inerentă însuși conceptului de valoare zero.
Se dovedește că un astfel de număr, care, înmulțit cu 0, dă orice valoare tangibilă, nu există, adică sarcina dată nu are solutie. Nu trebuie să vă fie frică de un astfel de răspuns, este un răspuns firesc pentru probleme de acest tip. Doar a scrie 6:0 nu are niciun sens și nu poate explica nimic. Pe scurt, această expresie poate fi explicată prin nemuritoarea „fără împărțire la zero”.
Există o operație 0:0? Într-adevăr, dacă operația de înmulțire cu 0 este legală, poate fi împărțit zero la zero? La urma urmei, o ecuație de forma 0x5=0 este destul de legală. În loc de numărul 5, puteți pune 0, produsul nu se va schimba de la acesta. 
Într-adevăr, 0x0=0. Dar tot nu poți împărți la 0. După cum am menționat, împărțirea este doar inversul înmulțirii. Astfel, dacă în exemplul 0x5=0, trebuie să determinați al doilea factor, obținem 0x0=5. Sau 10. Sau infinit. Împărțirea infinitului la zero - cum vă place?
Dar dacă orice număr se potrivește în expresie, atunci nu are sens, nu putem un număr infinit alege un număr. Și dacă da, înseamnă că expresia 0:0 nu are sens. Se pare că nici măcar zeroul însuși nu poate fi împărțit la zero.
matematica superioara
Împărțirea cu zero este o bătaie de cap pt matematica scolara. Studiat în universități tehnice analiza matematică extinde ușor conceptul de probleme care nu au soluție. De exemplu, deja expresie celebră 0:0 sunt adăugate altele noi care nu au nicio soluție cursuri scolare matematică:
Este imposibil să rezolvi astfel de expresii prin metode elementare. Dar matematica superioara mulțumită caracteristici suplimentare pentru un număr exemple similare ofera solutii finale. Acest lucru este evident mai ales în considerarea problemelor din teoria limitelor.
Dezvăluirea incertitudinii
În teoria limitelor, valoarea 0 este înlocuită cu infinitezimalul condiționat variabil. Și expresiile în care, la înlocuire valoarea dorită se obține împărțirea la zero, sunt convertite. Mai jos este un exemplu standard de extindere a limitei utilizând cea obișnuită transformări algebrice:
După cum puteți vedea în exemplu, o simplă reducere a unei fracții aduce valoarea acesteia la un răspuns complet rațional.
Când se iau în considerare limitele funcții trigonometrice expresiile lor tind să fie reduse la prima limita minunata. Când se iau în considerare limitele în care numitorul ajunge la 0 atunci când limita este înlocuită, se folosește a doua limită remarcabilă.
Metoda L'Hopital
În unele cazuri, limitele expresiilor pot fi înlocuite cu limita derivatelor lor. Guillaume Lopital - matematician francez, fondator scoala franceza analiză matematică. El a demonstrat că limitele expresiilor sunt egale cu limitele derivatelor acestor expresii. LA notatie matematica regula lui este următoarea. 
În prezent, metoda L'Hopital este utilizată cu succes în rezolvarea incertitudinilor de tip 0:0 sau ∞:∞.
Matematică: împărțire lungă și înmulțire
Înmulțirea și împărțirea numerelor cu o singură cifră nu vor fi dificile pentru niciun elev care a învățat tabla înmulțirii. Este inclus în programa de matematică de clasa a II-a. Un alt lucru este atunci când este necesar să se efectueze operații matematice cu numere din mai multe cifre. Ei încep astfel de acțiuni la lecțiile de matematică din clasa a 3-a. Analizare subiect nou„Împărțire și înmulțire într-o coloană”
Înmulțirea numerelor din mai multe cifre
Împărțiți și înmulțiți numere complexe cea mai ușoară cale este o coloană. Pentru a face acest lucru, aveți nevoie de cifrele numărului: sute, zeci, unități:
235 = 200 (sute) + 30 (zeci) + 5 (uni).
Vom avea nevoie de asta pentru notatie corecta numere atunci când sunt înmulțite.
Când se scriu două numere care trebuie înmulțite, ele se scriu unul sub celălalt, plasând numerele în cifre (unități sub unități, zeci sub zeci). Când înmulțiți un număr cu mai multe cifre cu un număr cu o singură cifră, nu vor fi dificultăți:
Înregistrarea se face astfel: 
Calculul se efectuează de la final - din categoria unităților. La înmulțirea cu prima cifră - din categoria unităților - înregistrarea se efectuează și de la sfârșit:
- 3 x 5 = 15, notează 5 (uni), zeci (1) reține;
- 2 x 5 \u003d 10 și 1 zece pe care ni le-am amintit, doar 11, notăm 1 (zeci), ne amintim sute (1);
- deoarece nu avem alte cifre în exemplu, notăm sute (1 - care a fost amintit).
Următorul pas este înmulțirea cu a doua cifră (locul zecilor):
Deoarece am înmulțit cu un număr de la locul zecilor, vom începe să scriem la fel, de la final, începând de la locul doi din dreapta (unde este locul zecilor).
1. trebuie să notați înmulțirea într-o coloană cu cifre;
2. efectuați calcule pornind de la unități;
3. notam totalul cu cifre - daca inmultim cu o cifra din rangul unitatilor - incepem inregistrarea din ultima coloana, din cifra - zeci - din aceasta coloana si tinem evidenta.
Regula care se aplică înmulțirii într-o coloană cu un număr din două cifre se aplică și numerelor cu cantitate mare evacuări.
Pentru a vă ușura amintirea regulilor de scriere a exemplelor de înmulțire numere din mai multe cifreîntr-o coloană, puteți face cărți prin evidențierea Culori diferite grade diferite.
Dacă numerele sunt înmulțite într-o coloană cu zerouri la sfârșit, acestea nu sunt luate în considerare la calcul, iar evidența se ține în așa fel încât cifră semnificativă era sub semnificant, iar zerourile rămân la dreapta. După calcule, numărul lor este adăugat în dreapta:
Matematicianul Yakov Trakhtenberg a dezvoltat un sistem de numărare rapidă. Metoda Trachtenberg facilitează înmulțirea dacă se aplică un anumit sistem de calcule. De exemplu, înmulțind cu 11. Pentru a obține rezultatul, trebuie să adăugați un număr la următorul:
2,253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.
Demonstrarea adevărată este simplă: 11 = 10 + 1
2,253 x 10 + 2,253 = 22,530 + 2,253 = 24,783.
Algoritmii de calcul pentru numere diferite sunt diferiți, dar vă permit să efectuați rapid calcule.
Videoclipul „Înmulțirea coloanelor”
Împărțirea numerelor din mai multe cifre
Împărțirea după o coloană poate părea dificilă pentru copii, dar amintirea algoritmului nu este dificilă. Luați în considerare împărțirea numerelor cu mai multe cifre prin o singură cifră:
215: 5 = ?
Calculul se scrie astfel: 
Sub divizor vom scrie rezultatul. Împărțirea se face astfel: comparăm cifra din stânga a dividendului cu divizorul: 2 este mai mic decât 5, nu putem împărți 2 la 5, așa că mai luăm o cifră: 21 este mai mare decât 5, la împărțirea rezultă : 20: 5 = 4 (restul 1)
Demolăm următoarea cifră la restul rezultat: obținem 15. 15 este mai mult decât 5, împărțim: 15: 5 = 3
Soluția va arăta astfel:
Așa se face împărțirea fără rest. Conform aceluiași algoritm, împărțirea într-o coloană cu un rest se realizează cu singura diferență că în ultima intrare nu va fi zero, ci restul.
Dacă este necesar să împărțiți numerele din trei cifre dintr-o coloană cu două cifre, procedura va fi aceeași ca și atunci când împărțiți cu un număr cu o singură cifră.
Iată câteva exemple de împărțire:
În mod similar, calculul se efectuează atunci când se împarte un număr din mai multe cifre la un număr din două cifre cu un rest: 853: 15 = 50 și (3) restul 
Fiți atenți la această intrare: dacă calcule intermediare rezultatul este 0, dar exemplul nu este rezolvat până la sfârșit, zero nu este notat, dar următoarea cifră este imediat demolată, iar calculul este efectuat în continuare.
Vă va ajuta să învățați regulile de împărțire a numerelor cu mai multe cifre într-o coloană de tutorial video. După ce am memorat algoritmul și urmând succesiunea calculelor de înregistrare, exemplele de înmulțire și împărțire într-o coloană în clasa a 4-a nu vor mai părea atât de complicate.
Important! Urmăriți înregistrarea: cifrele trebuie scrise sub cifre, într-o coloană.
Videoclipul „Diviziunea într-o coloană”
Dacă în clasa a 2-a copilul a învățat tabla înmulțirii, exemple de înmulțire și împărțire a două cifre sau număr din trei cifre la lecţiile de matematică pentru clasa a 4-a nu-i va provoca dificultăţi.
www.razvitiedetei.info
Reguli de înmulțire și împărțire
După ce se învață tabla înmulțirii, elevilor li se explică regulile de înmulțire și împărțire, învățați să le folosească la calculul expresiilor matematice.
Ce este înmulțirea? Este un plus inteligent
La adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor în expresii simple copiii nu au dificultăți:
În astfel de calcule, trebuie să cunoașteți doar regulile de adunare și scădere și tabelul înmulțirii.
Când încep mai multe exerciții complexe, exemplele constau în două sau mai multe acțiuni și chiar și cu paranteze, la rezolvarea copiilor apar erori. Iar principalul este comandă greșită actiuni.
Care este diferența?
Într-adevăr, este atât de important - ce acțiune din exemplu să efectuați prima, care a doua?
Dacă parcurgem pașii în ordine, obținem:
Avem două răspunsuri diferite. Dar nu ar trebui să fie așa, așadar, contează ordinea în care se desfășoară acțiunile. Mai ales dacă expresia conține paranteze:
Încercăm să o rezolvăm în două moduri:
Răspunsurile sunt diferite și, pentru a determina ordinea acțiunilor, există paranteze în expresie - arată care acțiune trebuie efectuată mai întâi. Deci soluția corectă ar fi:
Nu ar trebui să existe altă soluție pentru răspunsul din exemplu.
Care este mai important, înmulțirea sau adunarea?
La rezolvarea exemplelor
Aranjați cursul acțiunii.
Înmulțiți sau împărțiți - pe primul loc.
Pentru expresiile în care nu există adunare sau scădere, ci înmulțire sau împărțire, se aplică aceeași regulă: toate operațiile cu numere se fac în ordine, începând de la stânga:
Un caz mai dificil este atunci când înmulțirea sau împărțirea cu adunarea sau scăderea apar într-o singură problemă. Care este ordinea calculelor atunci?
Dacă efectuați toți pașii în ordine, prima împărțire, apoi adăugare. Ca rezultat, obținem:
Deci exemplul este corect. Dacă conține paranteze?
Orice dintre paranteze are întotdeauna prioritate. De aceea stau în expresie. Prin urmare, ordinea calculelor în expresii similare va fi după cum urmează:
Exemplu:
81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?
81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.
Și care va fi prioritatea: înmulțirea - sau împărțirea, scăderea - sau adunarea, dacă ambele acțiuni apar în sarcină? Nimic, sunt egali, în acest caz se aplică prima regulă - acțiunile se execută una după alta, începând din stânga.
Algoritm pentru rezolvarea expresiei:
28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?
- 11 – 4 = 7;
- 25 – 8 = 17;
- 28: 7 = 4;
- 4 + 18 = 22;
- 22 – 17 = 5.
Răspuns: 28: (11 - 4) + 18 - (25 - 8) = 5.
Important! Dacă expresia conține litere, procedura rămâne aceeași.
Rotunda zero este atât de frumoasă
Dar nu înseamnă nimic.
În exemple, zero nu apare ca număr, dar poate fi rezultatul unei acțiuni intermediare, de exemplu:
La înmulțirea cu 0, regula spune că rezultatul va fi întotdeauna 0. De ce? Se poate explica simplu: ce este înmulțirea? Acesta este același număr, adăugat la felul său de mai multe ori. In caz contrar:
0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;
Împărțirea la 0 nu are sens, iar împărțirea zero la orice număr va avea întotdeauna ca rezultat 0:
0: 5 = 0.
Amintiți-vă alte operații aritmetice cu zero:
Înmulțirea și împărțirea cu unu
Operațiile matematice cu unu sunt diferite de operațiile cu zero. Când un număr este înmulțit sau împărțit cu 1, se obține numărul original în sine:
7 x 1 = 7;
7: 1 = 7.
Desigur, dacă ai 7 prieteni, și fiecare ți-a dat câte o bomboană, vei avea 7 bomboane, iar dacă le-ai mâncat singur, adică împărțit doar cu tine, atunci toate au ajuns în stomac.
Calcule cu fracții, puteri și funcții complexe
aceasta cazuri dificile informatică, care nu sunt acoperite în școala elementară.
Multiplicare fracții simple unul pe celălalt nu este dificil, este suficient doar să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul.
Exemplu:
După reducere obținem: \(\) = \(\).
Împărțirea fracțiilor simple nu este atât de dificilă pe cât pare la prima vedere. Este suficient să transformi problema - transformă-o într-un exemplu cu înmulțire. Pentru a face acest lucru este simplu - trebuie să răsturnați fracția astfel încât numitorul să devină numărător, iar numărătorul să devină numitorul.
Exemplu:
Dacă în problemă se întâlnește un număr, reprezentat ca putere, valoarea acestuia este calculată înaintea tuturor celorlalte (vă puteți imagina că este cuprins între paranteze - iar acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi).
Exemplu:
Prin conversia unui număr reprezentat ca putere într-o expresie regulată cu o acțiune de înmulțire, rezolvarea exemplului s-a dovedit a fi simplă: mai întâi înmulțirea, apoi scăderea (pentru că este între paranteze) și împărțirea.
Întrucât astfel de funcții sunt studiate numai în cadrul liceu, nu le vom lua în considerare, este suficient să spunem că, ca și în cazul puterilor, au prioritate în calcul: mai întâi se găsește valoarea acestei expresii, apoi ordinea de calcul este normală - paranteze, înmulțirea cu împărțire, apoi în ordine de la stânga la dreapta.
Reguli principale pe tema
Vorbind despre major și minor operatii matematice, trebuie spus că cele patru operații de bază pot fi reduse la două: adunarea și înmulțirea. Dacă scăderea și împărțirea par dificile pentru școlari, ei își amintesc mai repede regulile de adunare și înmulțire. Într-adevăr, expresia 5 - 2 poate fi scrisă diferit:
În cazurile de înmulțire, se aplică reguli similare cu proprietățile adunării: produsul nu se va schimba dintr-o rearanjare a factorilor:
La hotărâre sarcini provocatoare prima actiune este cea evidentiata intre paranteze, apoi impartirea sau inmultirea, apoi toate celelalte actiuni in ordine.
Când trebuie să rezolvați exemple fără paranteze, se efectuează mai întâi înmulțirea sau împărțirea, apoi scăderea sau adunarea.
Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi
La înmulțirea și împărțirea numerelor întregi se aplică mai multe reguli. LA această lecție ne vom uita la fiecare dintre ele.
Când înmulțiți și împărțiți numerele întregi, acordați atenție semnelor numerelor. Va depinde de ei ce regulă să aplice. De asemenea, trebuie să înveți câteva legi ale înmulțirii și împărțirii. Învățarea acestor reguli vă va ajuta să evitați unele greșeli jenante în viitor.
Legile înmulțirii
Câteva dintre legile matematicii am considerat în lecție legile matematicii. Dar nu am luat în considerare toate legile. Există multe legi în matematică și ar fi mai înțelept să le studiem succesiv, după cum este necesar.
În primul rând, să ne amintim în ce constă înmulțirea. Înmulțirea constă în trei parametri: inmultindu-se, multiplicatorși lucrări. De exemplu, în expresia 3 × 2 = 6, numărul 3 este multiplicatorul, numărul 2 este multiplicatorul și numărul 6 este produsul.
Deînmulţit arată ce anume creștem. În exemplul nostru, creștem numărul 3.
Factor Arată de câte ori trebuie să măriți multiplicandul. În exemplul nostru, multiplicatorul este numărul 2. Acest multiplicator arată de câte ori trebuie să crești multiplicatorul 3. Adică, în timpul operației de înmulțire, numărul 3 va fi dublat.
Muncă acesta este de fapt rezultatul operației de înmulțire. În exemplul nostru, produsul este numărul 6. Acest produs este rezultatul înmulțirii a 3 cu 2.
Expresia 3 × 2 poate fi înțeleasă și ca suma a două triple. Multiplicator 2 in acest caz va arăta de câte ori trebuie să luați numărul 3:
Astfel, dacă luați numărul 3 de două ori la rând, obțineți numărul 6.
Legea comutativă a înmulțirii
Multiplicatorul și multiplicatorul se numesc unul cuvânt comun – factori. Legea comutativă a înmulțirii arată astfel:
Din permutarea locurilor factorilor, produsul nu se schimbă.
Să verificăm dacă acesta este cazul. Înmulțiți de exemplu 3 cu 5. Aici 3 și 5 sunt factori.
Acum să schimbăm factorii:
În ambele cazuri, obținem răspunsul 15, ceea ce înseamnă că putem pune un semn egal între expresiile 3 × 5 și 5 × 3, deoarece sunt egale cu aceeași valoare:
Și cu ajutorul variabilelor legea deplasării inmultirea se poate scrie asa:
Unde Ași b- factori
Legea asociativă a înmulțirii
Această lege spune că dacă o expresie constă din mai mulți factori, atunci produsul nu va depinde de ordinea operațiilor.
De exemplu, expresia 3 × 2 × 4 constă din mai mulți factori. Pentru a-l calcula, puteți înmulți 3 și 2, apoi înmulțiți produsul rezultat cu numărul rămas 4. Va arăta astfel:
3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24
Aceasta a fost prima soluție. A doua opțiune este să înmulțiți 2 și 4, apoi să înmulțiți produsul rezultat cu numărul rămas 3. Va arăta astfel:
3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24
În ambele cazuri, obținem răspunsul 24. Prin urmare, între expresiile (3 × 2) × 4 și 3 × (2 × 4) putem pune un semn egal, deoarece sunt egale cu aceeași valoare:
(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)
iar cu ajutorul variabilelor legea asociativă a înmulțirii se poate scrie astfel:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
unde în loc de a, b, c poate fi orice număr.
Legea distributivă a înmulțirii
Legea distributivă a înmulțirii vă permite să înmulțiți o sumă cu un număr. Pentru a face acest lucru, fiecare termen al acestei sume este înmulțit cu acest număr, apoi se adună rezultatele.
De exemplu, să găsim valoarea expresiei (2 + 3) × 5
Expresia dintre paranteze este suma. Această sumă trebuie înmulțită cu numărul 5. Pentru a face acest lucru, fiecare termen al acestei sume, adică numerele 2 și 3, trebuie înmulțit cu numărul 5, apoi se adună rezultatele:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Deci valoarea expresiei (2 + 3) × 5 este 25 .
Cu ajutorul variabilelor, legea distributivă a înmulțirii se scrie astfel:
(a + b) × c = a × c + b × c
unde în loc de a, b, c poate fi orice număr.
Legea înmulțirii cu zero
Această lege spune că dacă în orice înmulțire există cel puțin un zero, atunci răspunsul va fi zero.
Produsul este zero dacă cel puțin unul dintre factori zero.
De exemplu, expresia 0 × 2 este zero
În acest caz, numărul 2 este un multiplicator și arată de câte ori trebuie să crești multiplicandu-ul. Adică de câte ori să crească zero. Literal, această expresie este citită ca „mărește zero de două ori”. Dar cum poți dubla zero dacă este zero?
Cu alte cuvinte, dacă „nimic” este dublat, sau chiar de un milion de ori, va fi tot „nimic”.
Și dacă în expresia 0 × 2 schimbăm factorii, din nou obținem zero. Știm acest lucru din legea anterioară a deplasării:
Exemple de aplicare a legii înmulțirii cu zero:
2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0
În ultimele două exemple, există mai mulți factori. Văzând zero în ele, punem imediat zero în răspuns, aplicând legea înmulțirii cu zero.
Am luat în considerare legile de bază ale înmulțirii. În continuare, luați în considerare înmulțirea numerelor întregi.
Înmulțirea întregului
Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei −5 × 2
Aceasta este înmulțirea numerelor cu semne diferite. −5 este negativ și 2 este pozitiv. În astfel de cazuri, trebuie aplicată următoarea regulă:
Pentru a înmulți numerele cu semne diferite, trebuie să le înmulți modulele și să pui un minus înainte de răspunsul primit.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
De obicei scris mai scurt: −5 × 2 = −10
Orice înmulțire poate fi reprezentată ca o sumă de numere. De exemplu, luați în considerare expresia 2 × 3. Este egală cu 6.
multiplicator în expresie dată este numărul 3. Acest multiplicator arată de câte ori trebuie să crești cele două. Dar expresia 2 × 3 poate fi înțeleasă și ca suma a trei doi:
Același lucru se întâmplă cu expresia −5 × 2. Această expresie poate fi reprezentată ca o sumă
Și expresia (-5) + (-5) este egală cu -10 și știm asta din ultima lecție. Aceasta este adunarea numerelor negative. Amintiți-vă că rezultatul adunării numerelor negative este un număr negativ.
Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei 12 × (−5)
Aceasta este înmulțirea numerelor cu semne diferite. 12 - număr pozitiv, (−5) este negativ. Din nou, aplicăm regula anterioară. Înmulțim modulele de numere și punem un minus înaintea răspunsului primit:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
De obicei scris mai scurt: 12 × (−5) = −60
Exemplul 3 Găsiți valoarea expresiei 10 × (−4) × 2
Această expresie constă din mai mulți factori. Mai întâi, înmulțiți 10 și (−4), apoi înmulțiți numărul rezultat cu 2. Pe parcurs, aplicați regulile studiate anterior:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
A doua acțiune:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
Deci valoarea expresiei 10 × (−4) × 2 este −80
De obicei scris mai scurt: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80
Exemplul 4 Găsiți valoarea expresiei (−4) × (−2)
Aceasta este înmulțirea numerelor negative. În astfel de cazuri, ar trebui să se aplice următoarea regulă:
Pentru a înmulți numerele negative, trebuie să înmulțiți modulele acestora și să puneți un plus în fața răspunsului primit.
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
În plus, prin tradiție, nu notăm, așa că notăm doar răspunsul 8.
De obicei scris mai scurt (−4) × (−2) = 8
Se pune întrebarea de ce, la înmulțirea numerelor negative, apare brusc un număr pozitiv. Să încercăm să demonstrăm că (−4) × (−2) este egal cu 8 și nimic altceva.
Mai întâi scriem următoarea expresie:
Să-l anexăm între paranteze:
Să adăugăm expresia noastră (−4) × (−2) la această expresie. Să-l punem și în paranteză:
Echivalăm toate acestea cu zero:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
Acum începe distracția. Concluzia este că trebuie să calculăm partea stângă a acestei expresii și, ca rezultat, obținem 0.
Deci primul produs (4 × (−2)) este −8. Să scriem numărul −8 în expresia noastră în loc de produsul (4 × (−2))
Acum, în locul celui de-al doilea produs, punem temporar o elipsă
Acum să ne uităm cu atenție la expresia −8 + […] = 0. Ce număr ar trebui folosit în loc de elipse pentru ca egalitatea să fie respectată? Răspunsul se sugerează de la sine. În loc de o elipsă, ar trebui să existe un număr pozitiv 8 și nu altul. Numai așa se va menține egalitatea. Deoarece −8 + 8 este egal cu 0.
Revenim la expresia −8 + ((−4) × (−2)) = 0 și în locul produsului ((−4) × (−2)) scriem numărul 8
Exemplul 5 Aflați valoarea expresiei −2 × (6 + 4)
Aplicam legea distributiva a inmultirii, adica inmultim numarul −2 cu fiecare termen al sumei (6 + 4)
−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)
Acum să evaluăm expresiile dintre paranteze. Apoi adunăm rezultatele. Pe parcurs, aplicați regulile învățate anterior. Intrarea cu module poate fi omisă pentru a nu aglomera expresia
−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12
−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8
A treia acțiune:
Deci valoarea expresiei −2 × (6 + 4) este −20
De obicei scris mai scurt: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
Exemplul 6 Găsiți valoarea expresiei (−2) × (−3) × (−4)
Expresia constă din mai mulți factori. În primul rând, înmulțim numerele -2 și -3, iar produsul rezultat este înmulțit cu numărul rămas -4. Omitem intrarea cu module pentru a nu aglomera expresia
Deci valoarea expresiei (−2) × (−3) × (−4) este −24
De obicei scris mai scurt: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
Legile diviziunii
Înainte de a împărți numerele întregi, este necesar să studiem două legi ale diviziunii.
În primul rând, să ne amintim în ce constă divizarea. Împărțirea constă din trei parametri: divizibil, separatorși privat. De exemplu, în expresia 8: 2 = 4, 8 este dividendul, 2 este divizorul, 4 este câtul.
Dividend arată exact ceea ce împărtășim. În exemplul nostru, împărțim numărul 8.
Divizor Afișează câte părți trebuie împărțite dividendul. În exemplul nostru, divizorul este numărul 2. Acest divizor arată câte părți trebuie împărțit dividendul 8. Adică, în timpul operației de împărțire, numărul 8 va fi împărțit în două părți.
Privat este rezultatul real al operațiunii de divizare. În exemplul nostru, câtul este 4. Acest cât este rezultatul împărțirii a 8 la 2.
Nu se poate împărți la zero
Orice număr nu poate fi împărțit la zero. Acest lucru se datorează faptului că împărțirea este inversul înmulțirii. De exemplu, dacă 2 × 6 = 12, atunci 12:6 = 2
Se poate observa că a doua expresie este scrisă în ordine inversă.
Acum vom face același lucru pentru expresia 5 × 0. Știm din legile înmulțirii că produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Deci expresia 5 × 0 este, de asemenea, zero
Dacă scriem această expresie în ordine inversă, obținem:
Răspunsul atrage imediat atenția este 5, care este rezultatul împărțirii zero la zero. Este imposibil și stupid.
O altă expresie similară poate fi scrisă în ordine inversă, de exemplu 2 × 0 = 0
În primul caz, împărțind zero la zero, obținem 5, iar în al doilea caz, 2. Adică, de fiecare dată când împărțim zero la zero, putem obține sensuri diferite, ceea ce este inacceptabil.
A doua explicație este că împărțirea dividendului la divizor înseamnă găsirea unui număr care, atunci când este înmulțit cu divizor, va da dividendul.
De exemplu, expresia 8: 2 înseamnă a găsi un număr care, înmulțit cu 2, va da 8
Aici, în loc de elipse, ar trebui să existe un număr care, înmulțit cu 2, dă răspunsul 8. Pentru a găsi acest număr, este suficient să scrieți această expresie în ordine inversă:
Acum imaginați-vă că trebuie să găsiți valoarea expresiei 5: 0. În acest caz, 5 este dividendul, 0 este divizorul. A împărți 5 la 0 înseamnă a găsi un număr care, înmulțit cu 0, va da 5
Aici, în loc de elipse, ar trebui să existe un număr care, înmulțit cu 0, să dea răspunsul 5. Dar nu există un număr care, înmulțit cu zero, să dea 5.
Expresia […] × 0 = 5 contrazice legea înmulțirii cu zero, care spune că produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.
Deci, scrierea expresiei […] × 0 = 5 în ordine inversă, împărțind 5 la 0 nu are sens. De aceea se spune că nu poți împărți la zero.
Utilizarea variabilelor această lege se scrie astfel:
La b ≠ 0
Număr A poate fi împărțit la un număr b, cu conditia ca b nu este egal cu zero.
proprietate privată
Această lege spune că dacă dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul nu se va modifica.
De exemplu, luați în considerare expresia 12: 4. Valoarea acestei expresii este 3
Să încercăm să înmulțim dividendul și divizorul cu același număr, de exemplu, cu numărul 4. Dacă credem proprietatea coeficientului, ar trebui să obținem din nou numărul 3 în răspuns
(12×4) : (4×4)
(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3
Acum să încercăm să nu înmulțim, ci să împărțim dividendul și divizorul la numărul 4
(12: 4) : (4: 4)
(12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3
A primit un răspuns 3.
Vedem că dacă dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul nu se modifică.
Împărțirea numerelor întregi
Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei 12: (−2)
Aceasta este împărțirea numerelor cu semne diferite. 12 este un număr pozitiv, (−2) este negativ. În astfel de cazuri, aveți nevoie
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
De obicei scris mai scurt decât 12: (−2) = −6
Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei −24: 6
Aceasta este împărțirea numerelor cu semne diferite. −24 este negativ, 6 este pozitiv. În astfel de cazuri, din nou, împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și puneți un semn minus în fața răspunsului primit.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
De obicei scris mai scurt decât -24: 6 = -4
Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei (−45) : (−5)
Aceasta este împărțirea numerelor negative. În astfel de cazuri, aveți nevoie împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și puneți un semn plus în fața răspunsului primit.
(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
De obicei scris mai scurt (−45) : (−5) = 9
Exemplul 4 Aflați valoarea expresiei (−36) : (−4) : (−3)
După ordinea operațiilor, dacă expresia conține doar înmulțire sau împărțire, atunci toate acțiunile trebuie efectuate de la stânga la dreapta în ordinea în care apar.
Împărțiți (−36) la (−4) și împărțiți numărul rezultat la (−3)
Prima actiune:
(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
De obicei scris mai scurt (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă grup nou Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții
Toată lumea își amintește de la școală că nu poți împărți la zero. Studenților mai tineri nu li se spune niciodată de ce nu ar trebui să o facă. Se oferă doar să o ia de la sine înțeles, împreună cu alte interdicții precum „nu poți să-ți bagi degetele în prize” sau „nu ar trebui să pui întrebări stupide adulților”.
Numărul 0 poate fi reprezentat ca un fel de graniță care separă lumea numerelor reale de cele imaginare sau negative. Din cauza poziției ambigue, multe operații cu această valoare numerică nu se supun logicii matematice. Imposibilitatea împărțirii la zero este un prim exemplu în acest sens. Și operațiile aritmetice permise cu zero pot fi efectuate folosind definiții general acceptate.
Explicație algebrică pentru imposibilitatea împărțirii la zero
Din punct de vedere algebric, nu poți împărți la zero pentru că nu are niciun sens. Să luăm două numere arbitrare, a și b, și să le înmulțim cu zero. a × 0 este zero și b × 0 este zero. Se dovedește că a × 0 și b × 0 sunt egale, deoarece produsul în ambele cazuri este egal cu zero. Astfel, putem scrie ecuația: 0 × a = 0 × b. Acum să presupunem că putem împărți la zero: împărțim ambele părți ale ecuației la zero și obținem că a = b. Se pare că dacă permitem operația de împărțire la zero, atunci toate numerele sunt aceleași. Dar 5 nu este egal cu 6, iar 10 nu este egal cu ½. Apare incertitudinea despre care profesorii preferă să nu spună elevilor curioși din școala elementară.
Există o operație 0:0?
Într-adevăr, dacă operația de înmulțire cu 0 este legală, poate fi împărțit zero la zero? La urma urmei, o ecuație de forma 0x5=0 este destul de legală. În loc de numărul 5, puteți pune 0, produsul nu se va schimba de la acesta. Într-adevăr, 0x0=0. Dar tot nu poți împărți la 0. După cum s-a spus, împărțirea este doar inversul înmulțirii. Astfel, dacă în exemplul 0x5=0, trebuie să determinați al doilea factor, obținem 0x0=5. Sau 10. Sau infinit. Împărțirea infinitului la zero - cum vă place? Dar dacă orice număr se încadrează în expresie, atunci nu are sens, nu putem alege unul dintr-un set infinit de numere. Și dacă da, înseamnă că expresia 0:0 nu are sens. Se pare că nici măcar zeroul însuși nu poate fi împărțit la zero.
Explicația imposibilității împărțirii la zero în ceea ce privește analiza matematică
În liceu, se studiază teoria limitelor, care vorbește și despre imposibilitatea împărțirii la zero. Acest număr este interpretat acolo ca „la nesfârșit nedefinit valoare mică". Deci, dacă luăm în considerare ecuația 0 × X = 0 în cadrul acestei teorii, vom descoperi că X nu poate fi găsit deoarece pentru aceasta ar trebui să împărțim zero la zero. Și acest lucru nu are nici un sens, deoarece atât dividendul, cât și divizorul în acest caz sunt cantități nedefinite, prin urmare, este imposibil să tragem o concluzie despre egalitatea sau inegalitatea lor.
Când poți împărți la zero?
Spre deosebire de școlari, studenții universităților tehnice pot împărți la zero. O operație imposibilă în algebră poate fi efectuată în alte domenii ale cunoștințelor matematice. Au noi termeni suplimentari sarcini care permit această acțiune. Împărțirea la zero va fi posibilă pentru cei care ascultă un curs de prelegeri despre analiză non-standard, studiază funcția delta Dirac și se familiarizează cu planul complex extins.
Istoria lui Zero
Zero este punctul de referință în toate sistemele de numere standard. Utilizarea numărului de către europeni este relativ recentă, dar înțelepții Indiei antice au folosit zero timp de o mie de ani înainte ca numărul gol să fie folosit în mod regulat de matematicienii europeni. Chiar înainte de indieni, zero era o valoare obligatorie în sistemul numeric Maya. Acest popor american a folosit sistemul duozecimal și a început prima zi a fiecărei luni cu un zero. Interesant este că printre mayași, semnul pentru „zero” a coincis complet cu semnul pentru „infinit”. Astfel, vechii Maya au ajuns la concluzia că aceste cantități erau identice și de necunoscut.
matematica superioara
Împărțirea cu zero este o bătaie de cap pentru matematica de liceu. Analiza matematică studiată în universitățile tehnice extinde ușor conceptul de probleme care nu au soluție. De exemplu, la expresia deja cunoscută 0:0 se adaugă altele noi care nu au soluție la cursurile școlare de matematică: infinit împărțit la infinit: ∞:∞; infinit minus infinit: ∞−∞; unitate ridicată la o putere infinită: 1∞; infinitul înmulțit cu 0: ∞*0; unele altele.
Este imposibil să rezolvi astfel de expresii prin metode elementare. Dar matematica superioară, datorită posibilităților suplimentare pentru un număr de exemple similare, oferă soluții finale. Acest lucru este evident mai ales în considerarea problemelor din teoria limitelor.
Dezvăluirea incertitudinii
În teoria limitelor, valoarea 0 este înlocuită cu o variabilă infinitezimală condiționată. Și sunt convertite expresiile în care se obține împărțirea la zero la înlocuirea valorii dorite.
Mai jos este un exemplu standard de extindere a limitei folosind transformările algebrice obișnuite: După cum puteți vedea în exemplu, o simplă reducere a unei fracții aduce valoarea acesteia la un răspuns complet rațional.
Când se iau în considerare limitele funcțiilor trigonometrice, expresiile acestora tind să fie reduse la prima limită remarcabilă. Când se iau în considerare limitele în care numitorul ajunge la 0 atunci când limita este înlocuită, se folosește a doua limită remarcabilă.
Metoda L'Hopital
În unele cazuri, limitele expresiilor pot fi înlocuite cu limita derivatelor lor. Guillaume Lopital - matematician francez, fondator al școlii franceze de analiză matematică. El a demonstrat că limitele expresiilor sunt egale cu limitele derivatelor acestor expresii.
În notația matematică, regula lui este următoarea.
