Conceptul de monom

Definiția unui monom: un monom este expresie algebrica, care folosește doar înmulțirea.

Forma standard a unui monom

Care este forma standard a unui monom? Monomul se scrie în formă standard, dacă are în primul rând un factor numeric și acest factor, se numește coeficientul monomului, doar unul în monom, literele monomului sunt situate în ordine alfabetică iar fiecare literă apare o singură dată.

Un exemplu de monom în formă standard:

aici, pe primul loc este numărul, coeficientul monomului, iar acest număr este doar unul în monomul nostru, fiecare literă apare o singură dată și literele sunt aranjate în ordine alfabetică, în acest caz este alfabetul latin.

Un alt exemplu de monom în formă standard:

fiecare literă apare o singură dată, sunt aranjate în ordinea alfabetică latină, dar unde este coeficientul monomului, adică. factorul numeric care ar trebui să fie primul? El este aici egal cu unu: 1adm.

Poate fi coeficientul monomial negativ? Da, poate, exemplu: -5a.

Un coeficient monomial poate fi fracționat? Da, poate, exemplu: 5.2a.

Dacă monomul constă numai dintr-un număr, i.e. nu are litere, cum se aduce la forma standard? Orice monom care este un număr este deja în formă standard, de exemplu: numărul 5 este un monom în formă standard.

Reducerea monomiilor la forma standard

Cum se aduce monomiul la forma standard? Luați în considerare exemple.

Fie dat monomiul 2a4b, trebuie să-l aducem la forma standard. Înmulțim doi dintre factorii săi numerici și obținem 8ab. Acum monomul este scris în forma standard, adică. are un singur factor numeric, scris în primul rând, fiecare literă din monom apare o singură dată, iar aceste litere sunt aranjate în ordine alfabetică. Deci 2a4b = 8ab.

Dat: monomul 2a4a, aduceți monomul la forma standard. Înmulțim numerele 2 și 4, produsul aa este înlocuit cu a doua putere a 2 . Se obține: 8a 2 . Aceasta este forma standard a acestui monom. Deci, 2a4a = 8a 2 .

Monomii similare

Care sunt monomiile asemănătoare? Dacă monomiile diferă doar în coeficienți sau sunt egale, atunci se numesc similare.

Un exemplu de monomii similare: 5a și 2a. Aceste monomii diferă doar în coeficienți, ceea ce înseamnă că sunt similare.

Sunt monomiile 5abc și 10cba similare? Aducem al doilea monom la forma standard, obținem 10abc. Acum este clar că monomiile 5abc și 10abc diferă doar prin coeficienți, ceea ce înseamnă că sunt similare.

Adăugarea monomiilor

Care este suma monomiilor? Nu putem decât să însumăm monomii similare. Luați în considerare exemplul de adăugare a monomiilor. Care este suma monomiilor 5a și 2a? Suma acestor monomii va fi un monom similar cu ele, al cărui coeficient este egală cu suma coeficienții termenilor. Deci, suma monomiilor este 5a + 2a = 7a.

Mai multe exemple de adăugare de monomii:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Din nou. Puteți adăuga doar monomii similare; adăugarea se reduce la adăugarea coeficienților lor.

Scăderea monomiilor

Care este diferența dintre monomii? Putem scădea doar monomii similare. Luați în considerare un exemplu de scădere a monomiilor. Care este diferența dintre monomiile 5a și 2a? Diferența acestor monomii va fi un monom similar cu ele, al cărui coeficient este egal cu diferența coeficienților acestor monomii. Deci, diferența de monomii este egală cu 5a - 2a = 3a.

Mai multe exemple de scădere a monomiilor:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Înmulțirea monomiilor

Care este produsul monomiilor? Luați în considerare un exemplu:

acestea. produsul monomiilor este egal cu monomiul ai cărui factori sunt alcătuiți din factorii monomiilor originale.

Alt exemplu:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Cum a apărut acest rezultat? Fiecare factor are „a” în grad: în primul - „a” în gradul 2, iar în al doilea - „a” în gradul 5. Aceasta înseamnă că produsul va avea „a” în grad din 7, deoarece la înmulțirea literelor identice, exponenții acestora se adună:

A 2 * a 5 = a 7 .

Același lucru este valabil și pentru factorul „b”.

Coeficientul primului factor este egal cu doi, iar al doilea - cu unu, deci obținem 2 * 1 = 2 ca rezultat.

Așa s-a calculat rezultatul 2a 7 b 12.

Aceste exemple arată că coeficienții monomiilor sunt înmulțiți și litere identice sunt înlocuite cu sumele puterilor lor în produs.

Raportul ariilor a 2 triunghiuri asemanatoare este egal cu patratul coeficientului de asemanare. Teorema (al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor). Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altuia, atunci aceste triunghiuri sunt similare. Se numesc triunghiuri similare, în care unghiurile sunt egale, iar laturile similare sunt proporționale: , unde este coeficientul de asemănare.

Pentru exemple de aplicare a acestui corolar, vezi mai jos în secțiunile: „Exemple de triunghiuri similare” și „Proprietățile paralelismului (anti-paralelismului) laturilor triunghiurilor înrudite”. Prin urmare, de exemplu, ortotriunghiul unui ortotriunghi și triunghiul original sunt similare, la fel ca și triunghiurile cu laturi paralele. Punctele care nu se află pe o linie dreaptă, cu orice asemănare, merg la punctele care nu se află pe o singură dreaptă. O asemănare se numește proprie (improprie) dacă mișcarea D(\displaystyle D) este proprie (improprie).

În triunghiuri asemănătoare loc important ocupă conceptul de raport al segmentelor. Triunghiurile sunt similare în anumite privințe. Pentru a stabili asemănarea triunghiurilor, este necesar să se stabilească validitatea celor șase egalități de mai sus (unghiuri și rapoarte ale laturilor), dar nu este întotdeauna posibil să se facă acest lucru. Există trei asemănări în total. Explicație: aria unui triunghi este produsul a două elemente liniare - o latură și o înălțime.

Perimetrul triunghiului ne este dat, putem găsi perimetrul triunghiului, deoarece ni se dau lungimile laturilor sale, deci vom găsi coeficientul de asemănare și vom determina lungimile dorite ale laturilor. Coeficientul de similitudine exprimă proporționalitatea, acesta este raportul dintre lungimile laturilor unui triunghi și laturile similare ale altuia: k = AB/A’B’= BC/B’C’ = AC/A’C’.

Aflați raportul laturilor similare, care va fi coeficientul de asemănare

De exemplu, în sarcina dată triunghiuri similare iar lungimile laturilor lor sunt date. Deoarece triunghiurile sunt similare din punct de vedere al stării, găsiți laturile lor similare. Împărțiți ariile triunghiurilor similare una câte una și extrageți Rădăcină pătrată din rezultat. Rapoartele perimetrelor, lungimile medianelor, mediatricelor construite pe laturi similare sunt egale cu coeficientul de similaritate.

Legile similarității – în aerodinamică

Prin teorema sinusului, pentru orice triunghi al raportului dintre laturi și sinusuri colțuri opuse egal cu diametrul cercului circumscris în jurul lui. Utilizați un mod similar pentru a găsi coeficientul dacă aveți cercuri înscrise în triunghiuri similare cu raze cunoscute.

Asemănarea proprie păstrează orientarea figurilor, iar improprie - schimbă orientarea la opus. Asemănarea este definită în mod similar (cu păstrarea proprietăților de mai sus) în spațiul euclidian tridimensional, precum și în spațiile euclidiene și pseudo-euclidiene n-dimensionale. Laturile similare din triunghiuri sunt opuse unghiuri egale. Coeficientul de similaritate poate fi găsit căi diferite. Pentru a face acest lucru, notați lungimile laturilor uneia și celeilalte în ordine crescătoare.

Puteți calcula factorul de similitudine pentru triunghiuri dacă le cunoașteți zonele. Dacă împărțiți lungimea bisectoarelor sau a înălțimilor desenate din aceleași unghiuri, veți obține și un coeficient de similitudine.

Utilizați această proprietate pentru a găsi coeficientul dacă aceste valori sunt date în enunțul problemei

Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare. Coeficientul de similitudine k este egal cu raportul dimensiunile liniare corespunzătoare figurilor F și deci aria cifre similare sunt legate ca pătratele dimensiunilor lor liniare respective. Am aflat că egalitatea triunghiurilor este caz special asemănări.

Este un . În acest articol, vom defini termeni similari, vom descoperi ceea ce se numește reducerea termenilor similari, vom lua în considerare regulile prin care se realizează această acțiune și vom da exemple de reducere a termenilor similari cu descriere detaliata solutii.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de termeni similari.

O conversație despre astfel de termeni apare după familiarizarea cu expresiile literale, când devine necesar să se efectueze transformări cu ele. Conform manualelor de matematică N. Ya. Vilenkin definirea unor termeni similari se da in clasa a VI-a si are urmatoarea redactare:

Definiție.

Termeni similari sunt termeni care au aceeași parte de literă.

Merită să luați în considerare această definiție cu atenție. În primul rând, vorbim despre termeni și, după cum se știe, termenii sunt elementele constitutive sume. Mijloace, termeni asemănători pot fi prezente numai în expresii care reprezintă sume. În al doilea rând, în definiția vocală a unor astfel de termeni există un concept necunoscut de „parte literală”. Ce se înțelege prin partea scrisă? Când această definiție este dată în clasa a șasea, partea de litere se referă la o literă (variabilă) sau la produsul mai multor litere. În al treilea rând, rămâne întrebarea: „Care sunt acești termeni cu o parte de literă”? Aceștia sunt termenii, care sunt produsul unui anumit număr, așa-numitul coeficient numeric și partea de literă.

Acum poți aduce exemple de termeni similari. Se consideră suma a doi termeni 3·a și 2·a de forma 3·a+2·a . Termenii din această sumă au aceeași parte de literă, care este reprezentată de litera a , prin urmare, prin definiție, acești termeni sunt similari. Coeficienții numerici ai acestor termeni similari sunt numerele 3 și 2 .

Un alt exemplu: total 5 x y 3 z+12 x y 3 z+1 termenii 5·x·y 3 ·z și 12·x·y 3 ·z cu aceeași parte literală x·y 3 ·z sunt similari. Rețineți că y 3 este prezent în partea literală, prezența sa nu încalcă definiția părții literale dată mai sus, deoarece este, de fapt, produsul lui y·y·y .

Separat, observăm că coeficienții numerici 1 și −1 pentru astfel de termeni nu sunt adesea scrisi în mod explicit. De exemplu, în suma 3 z 5 +z 5 −z 5 toți cei trei termeni 3 z 5 , z 5 și −z 5 sunt similari, au aceeași parte de literă z 5 și coeficienții 3 , 1 și −1, respectiv, de care 1 și −1 nu sunt clar vizibile.

Pornind de la aceasta, în suma 5+7 x−4+2 x+y, nu numai 7 x și 2 x sunt termeni similari, ci și termenii fără litera 5 și −4 .

Mai târziu, se extinde și conceptul de parte literală - încep să consider partea literală nu numai produsul literelor, ci o expresie literală arbitrară. De exemplu, în manualul de algebră pentru autorii de clasa a 8-a Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov, editat de S. A. Telyakovsky, este dată o sumă a formei și se spune că termenii ei componente sunt similari. Partea literală comună a acestor termeni similari este o expresie cu o rădăcină a formei .

În mod similar, termeni similari în expresie 4 (x 2 +x−1/x)−0,5 (x 2 +x−1/x)−1 putem considera termenii 4 (x 2 +x−1/x) și −0,5 (x 2 +x−1/x) , deoarece au aceeași parte de literă (x 2 +x−1/x) .

Rezumând toate informațiile de mai sus, putem da următoarea definiție a termenilor similari.

Definiție.

Termeni similari se numesc termeni in expresie literală, având aceeași parte literală, precum și termeni care nu au o parte literală, unde partea literală este înțeleasă ca orice expresie literală.

Separat, spunem că termeni similari pot fi aceiași (când coeficienții lor numerici sunt egali) sau pot fi diferiți (când coeficienții lor numerici sunt diferiți).

În încheierea acestui paragraf, vom discuta un punct foarte subtil. Se consideră expresia 2 x y+3 y x . Termenii 2 x y și 3 y x sunt similari? Această întrebare poate fi formulată și după cum urmează: „Sunt părțile literale x y și y x ale termenilor indicați la fel”? Ordinea factorilor literali în ei este diferită, astfel încât de fapt nu sunt la fel, prin urmare, termenii 2·x·y și 3·y·x în lumina definiției introduse mai sus nu sunt similari.

Cu toate acestea, destul de des astfel de termeni sunt numiți termeni similari (dar de dragul rigurozității este mai bine să nu faceți acest lucru). În acest caz, ei sunt ghidați de următoarele: în funcție de permutarea factorilor din produs, nu afectează rezultatul, astfel încât expresia originală 2 x y+3 y x poate fi rescrisă ca 2 x y+3 x y , ai căror termeni sunt similari. Adică, când vorbesc despre termeni similari 2 x y și 3 y x în expresia 2 x y+3 y x , ei înseamnă termenii 2 x y și 3 x y în expresie transformată de forma 2 x y+3 x y .

Reducerea termenilor similari, regulă, exemple

Transformarea expresiilor care conțin termeni similari implică adăugarea acestor termeni. Această acțiune are un nume special - reducerea termenilor similari.

Reducerea termenilor similari se realizează în trei etape:

• mai întâi, termenii sunt rearanjați astfel încât termenii similari să fie unul lângă celălalt;
• după aceea, partea literală a termenilor similari este scoasă din paranteze;
• în final, se calculează valoarea expresiei numerice formate între paranteze.

Să analizăm pașii înregistrați cu un exemplu. Prezentăm termeni similari în expresia 3 x y+1+5 x y . Mai întâi, rearanjam termenii astfel încât termenii similari 3 x y și 5 x y să fie unul lângă celălalt: 3 x y+1+5 x y=3 x y+5 x y+1. În al doilea rând, scoatem partea literală a parantezelor, obținem expresia x·y·(3+5)+1 . În al treilea rând, calculăm valoarea expresiei care s-a format între paranteze: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1 . Deoarece se obișnuiește să scrieți coeficientul numeric înaintea părții de litere, îl vom transfera în acest loc: x·y·8+1=8·x·y+1. Aceasta completează reducerea termenilor similari.

Pentru comoditate, cei trei pași de mai sus sunt combinați în regula pentru reducerea termenilor similari: pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să înmulțiți rezultatul cu partea de litere (dacă există).

Soluția exemplului anterior folosind regula reducerii termenilor similari va fi mai scurtă. Să-l aducem. Coeficienții termenilor similari 3 x y și 5 x y din expresia 3 x y+1+5 x y sunt numerele 3 și 5, suma lor este 8, înmulțind cu litera x y , obținem rezultatul reducerii acestor termeni este 8·x·y . Rămâne să nu uităm de termenul 1 din expresia originală, ca urmare avem 3 x y+1+5 x y=8 x y+1 .

Primul nivel

Conversia expresiei. Teorie detaliată (2019)

Conversia expresiei

Adesea auzim asta o frază neplăcută: „simplificați expresia”. De obicei, în acest caz, avem un fel de monstru ca acesta:

„Da, mult mai ușor”, spunem noi, dar un astfel de răspuns de obicei nu funcționează.

Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini. Mai mult, la sfârșitul lecției, tu însuți vei simplifica acest exemplu la (doar!) număr obișnuit(da, la naiba cu acele scrisori).

Dar înainte de a începe această lecție, trebuie să fiți capabil să gestionați fracțiile și polinoamele factorizați. Prin urmare, mai întâi, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, asigurați-vă că stăpâniți subiectele „” și „”.

Citit? Dacă da, atunci ești gata.

Operații de simplificare de bază

Acum vom analiza principalele tehnici care sunt folosite pentru simplificarea expresiilor.

Cel mai simplu dintre ele este

1. Aducerea asemănătoare

Ce sunt asemănătoare? Ai trecut prin asta în clasa a VII-a, când literele au apărut pentru prima dată la matematică în loc de cifre. Asemănători sunt termenii (monoamele) cu aceeași parte de literă. De exemplu, în suma, termenii similari sunt și.

Amintit?

A aduce termeni asemănători înseamnă a adăuga mai mulți termeni similari unul altuia și a obține un singur termen.

Dar cum putem pune litere împreună? - tu intrebi.

Acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă vă imaginați că literele sunt un fel de obiecte. De exemplu, scrisoarea este un scaun. Atunci care este expresia? Două scaune plus trei scaune, cât va fi? E drept, scaune: .

Acum încearcă această expresie:

Ca să nu te încurci, hai litere diferite reprezintă lucruri diferite. De exemplu, - acesta este (ca de obicei) un scaun și - aceasta este o masă. Apoi:

scaune mese scaune mese scaune scaune mese

Se numesc numerele cu care se înmulțesc literele din astfel de termeni coeficienți. De exemplu, în monom coeficientul este egal. Și el este egal.

Deci, regula pentru a aduce similare:

Exemple:

Aduceți similare:

Raspunsuri:

2. (și sunt asemănătoare, întrucât, deci, acești termeni au aceeași parte de literă).

2. Factorizarea

Acesta este de obicei cel mai mult parte principalăîn simplificarea expresiilor. După ce ai dat altele asemănătoare, de cele mai multe ori expresia rezultată trebuie factorizată, adică prezentată ca produs. Acest lucru este deosebit de important în fracții: la urma urmei, pentru a reduce o fracție, numărătorul și numitorul trebuie reprezentate ca un produs.

Ați trecut prin metodele detaliate de factorizare a expresiilor din subiectul „”, așa că aici trebuie doar să vă amintiți ce ați învățat. Pentru a face acest lucru, rezolvați câteva exemple(de luat în calcul):

Solutii:

3. Reducerea fracțiilor.

Ei bine, ce poate fi mai frumos decât să tai o parte din numărător și numitor și să le arunci din viața ta?

Aceasta este frumusețea abrevierilor.

E simplu:

Dacă numărătorul și numitorul conțin aceiași factori, ei pot fi redusi, adică îndepărtați din fracție.

Această regulă rezultă din proprietatea de bază a unei fracții:

Adică, esența operației de reducere este aceea Împărțim numărătorul și numitorul unei fracții la același număr (sau la aceeași expresie).

Pentru a reduce o fracție, aveți nevoie de:

1) numărătorul și numitorul factorizați

2) dacă numărătorul și numitorul conțin factori comuni , acestea pot fi șterse.

Principiul, cred, este clar?

Vreau să atrag atenția asupra unuia greseala tipica la reducerea. Deși acest subiect este simplu, mulți oameni fac totul greșit, fără să-și dea seama de asta a tăia- inseamna divide numărător și numitor cu același număr.

Fără abrevieri dacă numărătorul sau numitorul este suma.

De exemplu: trebuie să simplificați.

Unii fac asta: ceea ce este absolut greșit.

Un alt exemplu: reduce.

„Cel mai deștept” va face asta:.

Spune-mi ce e în neregulă aici? S-ar părea: - acesta este un multiplicator, așa că puteți reduce.

Dar nu: - acesta este un factor de un singur termen în numărător, dar numărătorul în sine în ansamblu nu este descompus în factori.

Iată un alt exemplu: .

Această expresie este descompusă în factori, ceea ce înseamnă că puteți reduce, adică împărțiți numărătorul și numitorul cu, apoi cu:

Puteți împărți imediat la:

Pentru a evita astfel de greșeli, amintiți-vă calea ușoară cum să determinați dacă o expresie este factorizată:

Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”. Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori). Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru a o repara, rezolvați singur câteva exemple:

Raspunsuri:

1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:

Primul pas ar trebui să fie factorizarea:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunare si scadere fracții obișnuite- operația este binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii. Să ne amintim:

Raspunsuri:

1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Primul lucru aici fractii mixte transforma-le în unele greșite și apoi - conform schemei obișnuite:

Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem simplu:

a) Numitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:

acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:

Incearca-l tu insuti:

b) Numitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

În primul rând, determinăm factorii comuni;

Apoi scriem toți factorii comuni o dată;

și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:

Subliniem factorii comuni:

Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:

Descompunem numitorii în factori;

determina multiplicatori comuni (identici);

scrie toți factorii comuni o dată;

Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Deci, in ordine:

1) descompuneți numitorii în factori:

2) determinați factorii comuni (identici):

3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):

Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:

Apropo, există un truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori în numitori, doar totul cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

in masura

in masura

in masura

în grad.

Să complicăm sarcina:

Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!

Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când aduci fracții la numitor comun, foloseste doar operatia de inmultire!

Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?

Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:

Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”. De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: se descompune în factori.

Ce zici de exprimare? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).

Deci, factorii elementari în care descompuneți expresia cu litere este un analog factori primiîn care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.

Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).

Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:

Alt exemplu:

Decizie:

Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:

Amenda! Apoi:

Alt exemplu:

Decizie:

Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:

Deci hai sa scriem:

Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum aducem la un numitor comun:

Am înţeles? Acum să verificăm.

Sarcini pentru soluție independentă:

Raspunsuri:

Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:

Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel:

A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublat. Pătratul incomplet al sumei este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:

Ce se întâmplă dacă există deja trei fracții?

Da, la fel! În primul rând, să facem astfel încât suma maxima factorii din numitori au fost aceiași:

Atenție: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției este inversat din nou. Drept urmare, el (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.

Scriem primul numitor în întregime în numitorul comun, apoi adăugăm la el toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă sunt mai multe fracții). Adică merge așa:

Hmm... Cu fracții, este clar ce să faci. Dar ce zici de cei doi?

Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să vă asigurați că zeul devine o fracțiune! Amintiți-vă: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul este împărțit la numitor, în cazul în care ați uitat brusc). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:

Exact ce este nevoie!

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura de numărare expresie numerică? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:

ai numarat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, vă reamintesc.

Primul pas este să calculezi gradul.

Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.

Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.

Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.

Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):

Bine, totul este simplu.

Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?

Nu, este la fel! Doar în schimb operatii aritmetice trebuie să faceți algebric, adică acțiunile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să scoateți factorul comun din paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificați mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).

2) obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.

3) Acum puteți scurta:

Asta e. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.

În primul rând, să definim procedura. Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una. Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție. Voi numerota schematic pașii:

Acum voi arăta întregul proces, colorând acțiunea curentă cu roșu:

În cele din urmă, vă voi oferi două sfaturi utile:

1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. In orice moment avem altele asemanatoare, este indicat sa le aducem imediat.

2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și a promis chiar de la început:

Soluții (pe scurt):

Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.

Acum, la învățare!

CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Operatii de simplificare de baza:

• Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
• Factorizare: scoaterea din paranteze a factorului comun, aplicarea etc.
• Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
  1) numărătorul și numitorul factorizați
  2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.

  IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!

• Adunarea și scăderea fracțiilor:
  ;
• Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
  ;