Rezolvați sistemul cu două necunoscute - aceasta înseamnă găsirea tuturor perechilor de valori variabile care satisfac fiecare dintre ecuațiile date. Fiecare astfel de pereche este numită soluție de sistem.

Exemplu:
Perechea de valori \(x=3\);\(y=-1\) este o soluție pentru primul sistem, deoarece prin înlocuirea acestor triple și minus în sistem în loc de \(x\) și \ (y\), ambele ecuații devin egalități valide \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

Dar \(x=1\); \(y=-2\) - nu este o soluție pentru primul sistem, deoarece după înlocuire a doua ecuație „nu converge” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Rețineți că astfel de perechi sunt adesea scrise mai scurt: în loc de „\(x=3\); \(y=-1\)” se scriu astfel: \((3;-1)\).

Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?

Există trei moduri principale de a rezolva sistemele ecuatii lineare:

1. Metoda de substituire.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cazuri)\)\(\Săgeată la stânga\)

Înlocuiți expresia rezultată în locul acestei variabile într-o altă ecuație a sistemului.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   În a doua ecuație, fiecare termen este par, așa că simplificăm ecuația împărțind-o la \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Acest sistem poate fi rezolvat în oricare dintre moduri, dar mi se pare că metoda de substituție este cea mai convenabilă aici. Să exprimăm y din a doua ecuație.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Înlocuiți \(6x-13\) cu \(y\) în prima ecuație.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Prima ecuație a devenit normală. O rezolvam.

   Să deschidem mai întâi parantezele.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Să ne deplasăm \(117\) la dreapta și să dăm termeni similari.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Împărțiți ambele părți ale primei ecuații la \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ura, am găsit \(x\)! Înlocuiți valoarea acesteia în a doua ecuație și găsiți \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)

   Să scriem răspunsul.

Vom analiza două tipuri de sisteme de rezolvare de ecuații:

1. Rezolvarea sistemului prin metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii metoda de substitutie trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Ne exprimăm. Din orice ecuație, exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate, valoarea rezultata.
3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.

A rezolva sistem prin adunare (scădere) termen cu termen nevoie:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face aceiași coeficienți.
2. Adunăm sau scădem ecuațiile, ca rezultat obținem o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvăm ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.

Soluția sistemului este punctele de intersecție ale graficelor funcției.

Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.

Exemplul #1:

Să rezolvăm prin metoda substituției

Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda substituției

2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)

1. Express
Se poate observa că în cea de-a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, deci rezultă că este mai ușor să exprimați variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y

2. După exprimare, înlocuim 3 + 10y în prima ecuație în locul variabilei x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (paranteze deschise)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Soluția sistemului de ecuații este punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y. Să găsim x, în primul paragraf unde am exprimat înlocuim y acolo.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând, scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)

Exemplul #2:

Să rezolvăm prin adunare (scădere) termen cu termen.

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda adunării

3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)

1. Selectați o variabilă, să presupunem că selectăm x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțim prima ecuație cu 2, iar a doua cu 3 și obținem un coeficient total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Din prima ecuație, scădeți a doua pentru a scăpa de variabila x. Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)

Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online gratuit. Fara gluma.

Mai fiabilă decât metoda grafică discutată în paragraful anterior.

Metoda de înlocuire

Am folosit această metodă în clasa a VII-a pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare. Algoritmul care a fost dezvoltat în clasa a VII-a este destul de potrivit pentru rezolvarea sistemelor de oricare două ecuații (nu neapărat liniare) cu două variabile x și y (desigur, variabilele pot fi notate cu alte litere, ceea ce nu contează). De fapt, am folosit acest algoritm în secțiunea anterioară, când problema de Două cifre a condus la model matematic, care este un sistem de ecuații. Am rezolvat mai sus acest sistem de ecuații prin metoda substituției (vezi exemplul 1 din § 4).

Algoritm pentru utilizarea metodei substituției la rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două variabile x, y.

1. Exprimați y în termeni de x dintr-o ecuație a sistemului.
2. Înlocuiți expresia rezultată în loc de y într-o altă ecuație a sistemului.
3. Rezolvați ecuația rezultată pentru x.
4. Înlocuiți pe rând fiecare dintre rădăcinile ecuației găsite la a treia etapă în loc de x în expresia y prin x obținută la prima etapă.
5. Notați răspunsul sub formă de perechi de valori (x; y), care au fost găsite, respectiv, în pasul al treilea și respectiv al patrulea.

4) Înlocuiți pe rând fiecare dintre valorile găsite ale lui y în formula x \u003d 5 - Zy. Daca atunci
5) Perechi (2; 1) și soluții ale unui sistem de ecuații dat.

Răspuns: (2; 1);

Metoda adunării algebrice

Această metodă, ca și metoda substituției, vă este familiară de la cursul de algebră de clasa a VII-a, unde a fost folosită pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Să ne amintim esența metodei următorul exemplu.

Exemplul 2 Rezolvați un sistem de ecuații

Înmulțim toți termenii primei ecuații a sistemului cu 3 și lăsăm neschimbată a doua ecuație:
Scădeți a doua ecuație a sistemului din prima sa ecuație:

Ca rezultat al adunării algebrice a două ecuații sistem original ecuația rezultată este mai simplă decât prima și a doua ecuație a sistemului dat. Cu această ecuație mai simplă, avem dreptul de a înlocui orice ecuație a unui sistem dat, de exemplu, pe a doua. Apoi sistemul de ecuații dat va fi înlocuit cu un sistem mai simplu:

Acest sistem poate fi rezolvat prin metoda substituției. Din a doua ecuație găsim Înlocuind această expresie în loc de y în prima ecuație a sistemului, obținem

Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale x în formulă

Dacă x = 2 atunci

Astfel, am găsit două soluții la sistem:

Metoda de introducere a noilor variabile

Te-ai familiarizat cu metoda de introducere a unei noi variabile la rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă la cursul de algebră de clasa a VIII-a. Esența acestei metode în rezolvarea sistemelor de ecuații este aceeași, dar cu punct tehnic viziune, există câteva caracteristici pe care le vom discuta în exemplele următoare.

Exemplul 3 Rezolvați un sistem de ecuații

Să introducem o nouă variabilă Apoi prima ecuație a sistemului poate fi rescrisă în mai multe formă simplă: Să rezolvăm această ecuație pentru variabila t:

Ambele valori satisfac condiția și, prin urmare, sunt rădăcini ecuație rațională cu variabila t. Dar asta înseamnă fie de unde găsim că x = 2y, fie
Astfel, folosind metoda introducerii unei noi variabile, am reușit, parcă, să „stratificăm” prima ecuație a sistemului, care este destul de complexă în aparență, în două ecuații mai simple:

x = 2 y; y - 2x.

Ce urmeaza? Și apoi fiecare dintre cei doi a primit ecuații simple este necesar să luăm în considerare la rândul său în sistemul cu ecuația x 2 - y 2 \u003d 3, pe care nu ne-am amintit încă. Cu alte cuvinte, problema se reduce la rezolvarea a două sisteme de ecuații:

Este necesar să găsiți soluții pentru primul sistem, al doilea sistem și să includeți toate perechile de valori rezultate în răspuns. Să rezolvăm primul sistem de ecuații:

Să folosim metoda substituției, mai ales că totul este gata pentru asta aici: înlocuim expresia 2y în loc de x în a doua ecuație a sistemului. obține

Deoarece x \u003d 2y, găsim x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Astfel, se obțin două soluții pentru sistemul dat: (2; 1) și (-2; -1). Să rezolvăm al doilea sistem de ecuații:

Să folosim din nou metoda substituției: înlocuim expresia 2x în loc de y în a doua ecuație a sistemului. obține

Această ecuație nu are rădăcini, ceea ce înseamnă că sistemul de ecuații nu are soluții. Astfel, doar soluțiile primului sistem ar trebui incluse în răspuns.

Răspuns: (2; 1); (-2;-1).

Metoda introducerii de noi variabile în rezolvarea sistemelor de două ecuații cu două variabile este utilizată în două versiuni. Prima opțiune: o nouă variabilă este introdusă și utilizată într-o singură ecuație a sistemului. Este exact ceea ce sa întâmplat în exemplul 3. A doua opțiune: două variabile noi sunt introduse și utilizate simultan în ambele ecuații ale sistemului. Acesta va fi cazul în exemplul 4.

Exemplul 4 Rezolvați un sistem de ecuații

Să introducem două variabile noi:

Învățăm asta atunci

Acest lucru vă va permite să rescrieți acest sistemîntr-o formă mult mai simplă, dar cu privire la noile variabile a și b:

Deoarece a \u003d 1, atunci din ecuația a + 6 \u003d 2 găsim: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Astfel, pentru variabilele a și b, avem o soluție:

Revenind la variabilele x și y, obținem sistemul de ecuații

Pentru a rezolva acest sistem, aplicăm metoda adunare algebrică:

De atunci din ecuația 2x + y = 3 găsim:
Astfel, pentru variabilele x și y, avem o soluție:

Să încheiem această secțiune cu o scurtă, dar destul de serioasă discuție teoretică. Ai acumulat deja ceva experiență în rezolvare diverse ecuații: liniar, pătrat, rațional, irațional. Știți că ideea principală a rezolvării unei ecuații este trecerea treptat de la o ecuație la alta, mai simplă, dar echivalentă cu cea dată. În secțiunea anterioară, am introdus noțiunea de echivalență pentru ecuațiile cu două variabile. Acest concept este folosit și pentru sistemele de ecuații.

Definiție.

Două sisteme de ecuații cu variabile x și y se spune că sunt echivalente dacă au aceleași soluții sau dacă ambele sisteme nu au soluții.

Toate cele trei metode (substituția, adunarea algebrică și introducerea de noi variabile) pe care le-am discutat în această secțiune sunt absolut corecte din punct de vedere al echivalenței. Cu alte cuvinte, folosind aceste metode, înlocuim un sistem de ecuații cu altul, mai simplu, dar echivalent cu sistemul original.

Metoda grafica de rezolvare a sistemelor de ecuatii

Am învățat deja cum să rezolvăm sisteme de ecuații în moduri atât de comune și de încredere, cum ar fi metoda de substituție, adunarea algebrică și introducerea de noi variabile. Și acum să ne amintim metoda pe care ați studiat-o deja în lecția anterioară. Așa că haideți să recapitulăm despre ceea ce știți metoda grafica solutii.

Metoda de rezolvare a sistemelor de ecuații grafic este construcția unui grafic pentru fiecare dintre ecuațiile specifice care sunt incluse în acest sistem și sunt într-una plan de coordonate, precum și acolo unde este necesar să se găsească intersecțiile punctelor acestor grafice. Pentru a rezolva acest sistem de ecuații sunt coordonatele acestui punct (x; y).

Trebuie amintit că pt sistem grafic ecuațiile tind să aibă fie unul unic decizia corectă, sau set infinit soluții sau nu au deloc soluții.

Acum să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre aceste soluții. Și astfel, sistemul de ecuații poate avea singura decizie dacă liniile, care sunt graficele ecuațiilor sistemului, se intersectează. Dacă aceste drepte sunt paralele, atunci un astfel de sistem de ecuații nu are absolut nicio soluție. În cazul coincidenței graficelor directe ale ecuațiilor sistemului, atunci un astfel de sistem vă permite să găsiți multe soluții.

Ei bine, acum să aruncăm o privire la algoritmul pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu 2 necunoscute folosind o metodă grafică:

Mai întâi, la început construim un grafic al primei ecuații;
Al doilea pas va fi trasarea unui grafic care se referă la a doua ecuație;
În al treilea rând, trebuie să găsim punctele de intersecție ale graficelor.
Și, ca rezultat, obținem coordonatele fiecărui punct de intersecție, care va fi soluția sistemului de ecuații.

Să ne uităm la această metodă mai detaliat cu un exemplu. Ni se oferă un sistem de ecuații de rezolvat:

Rezolvarea ecuațiilor

1. În primul rând, vom construi un program ecuația dată: x2+y2=9.

Dar trebuie remarcat faptul că acest grafic al ecuațiilor va fi un cerc centrat la origine, iar raza lui va fi egală cu trei.

2. Următorul nostru pas va fi reprezentarea unei ecuații precum: y = x - 3.

În acest caz, trebuie să construim o dreaptă și să găsim punctele (0;−3) și (3;0).

3. Să vedem ce avem. Vedem că linia intersectează cercul în două dintre punctele sale A și B.

Acum căutăm coordonatele acestor puncte. Vedem că coordonatele (3;0) corespund punctului A, iar coordonatele (0;−3) corespund punctului B.

Și ce obținem ca rezultat?

Numerele (3;0) și (0;−3) obținute la intersecția unei drepte cu un cerc sunt tocmai soluțiile ambelor ecuații ale sistemului. Și de aici rezultă că aceste numere sunt și soluții ale acestui sistem de ecuații.

Adică răspunsul acestei soluții sunt numerele: (3;0) și (0;−3).

Sisteme de ecuații primite aplicare largăîn sectorul economic modelare matematică diverse procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.

Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în domeniul matematicii, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.

Un sistem de ecuații liniare este un termen pentru două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să se găsească o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.

Ecuație liniară

Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele, a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea ecuației prin reprezentarea graficului acesteia va arăta ca o dreaptă, toate punctele căreia sunt soluția polinomului.

Tipuri de sisteme de ecuații liniare

Cele mai simple sunt exemplele de sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.

F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.

Rezolvați un sistem de ecuații - înseamnă să găsești astfel de valori (x, y) pentru care sistemul devine o egalitate adevărată sau să stabilești că nu există valori adecvate ale lui x și y.

O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonate punctuale, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.

Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, se numesc echivalente.

Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme partea dreaptă care este egal cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul „egal” are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem nu este omogen.

Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.

În fața sistemelor, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă neapărat cu numărul de necunoscute, dar nu este așa. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile, poate exista un număr arbitrar de mare al acestora.

Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații

Nu există comun metoda analitica soluții de sisteme similare, toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul școlar de matematică descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și metoda grafică și matriceală, soluția prin metoda Gauss.

Sarcina principală în predarea metodelor de rezolvare este de a preda cum să analizăm corect sistemul și să găsim algoritm optim soluții pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorați un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegeți principiile aplicării unei anumite metode.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare din clasa a VII-a a programului școală gimnazială destul de simplu și explicat în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda lui Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primele cursuri ale instituțiilor de învățământ superior.

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile prin a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o singură formă variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem

Să dăm un exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa a 7-a prin metoda substituției:

După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în ecuația a 2-a. . Decizie acest exemplu nu provoacă dificultăți și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas este verificarea valorilor primite.

Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și expresia variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, soluția de substituție este, de asemenea, nepractică.

Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:

Rezolvare folosind adunarea algebrică

Când se caută o soluție pentru sisteme prin metoda adunării, adunarea termenilor și înmulțirea ecuațiilor cu diverse numere. scopul suprem operatii matematice este o ecuație cu o variabilă.

Pentru aplicații aceasta metoda este nevoie de practică și observație. Nu este ușor să rezolvi un sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării cu numărul de variabile 3 sau mai mult. Adunarea algebrică este utilă atunci când ecuațiile conțin fracții și numere zecimale.

Algoritm de acțiune a soluției:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un număr. Ca urmare operație aritmetică unul dintre coeficienții variabilei trebuie să devină egal cu 1.
2. Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
3. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.

Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile

O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul trebuie să găsească o soluție pentru nu mai mult de două ecuații, numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.

Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată în raport cu necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este utilizată pentru a determina variabila inițială.

Exemplul arată că prin introducerea unei noi variabile t a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la standard. trinom pătrat. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.

Este necesar să se găsească valoarea discriminantului prin formula binecunoscuta: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt multiplicatorii polinomului. LA exemplu dat a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul mai putin de zero, atunci există o singură soluție: x= -b / 2*a.

Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.

O metodă vizuală pentru rezolvarea sistemelor

Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda este de a construi pe axa de coordonate grafice ale fiecărei ecuații incluse în sistem. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor și vor fi solutie comuna sisteme.

Metoda grafică are o serie de nuanțe. Luați în considerare câteva exemple de rezolvare vizuală a sistemelor de ecuații liniare.

După cum se poate observa din exemplu, s-au construit două puncte pentru fiecare linie, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.

Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.

Următorul exemplu trebuie găsit solutie grafica sisteme de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.

După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite, devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie reținut că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă sistemul are o soluție sau nu, este întotdeauna necesar să construim un grafic.

Matrix și soiurile sale

Matricele sunt folosite pentru abreviere sisteme de ecuații liniare. Un tabel se numește matrice. un fel special plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.

O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice cu o singură coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. Matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și altele zero elemente numit singular.

O matrice inversă este o astfel de matrice, atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-una unitară, o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.

Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice

În ceea ce privește sistemele de ecuații, coeficienții și membrii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere ale matricei, o ecuație este un rând al matricei.

Un rând de matrice este numit diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.

Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.

La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite secvenţial cu un număr.

Opțiuni pentru găsirea matricei inverse

Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 - matrice inversă, și |K| - determinant matriceal. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.

Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice două câte două, este necesar doar să înmulțim elementele în diagonală între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numerele coloanei și rândurilor elementelor să nu se repete în produs.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda matricei

Metoda matriceală de găsire a unei soluții face posibilă reducerea notațiilor greoaie la rezolvarea sistemelor cu cantitate mare variabile și ecuații.

În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabilele, iar b n sunt termenii liberi.

Rezolvarea sistemelor prin metoda Gauss

LA matematica superioara metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a unei soluții la sisteme se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabile de sistem cu o mulțime de ecuații liniare.

Metoda Gaussiană este foarte asemănătoare cu soluțiile de substituție și adiție algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlii, soluția Gauss este folosită pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a aduce sistemul la forma unui trapez inversat. cale transformări algebrice iar substituțiile este valoarea unei variabile într-una dintre ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute și 3 și 4 - cu 3 și, respectiv, 4 variabile.

După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.

LA manualele școlare pentru gradul 7, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:

După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.

Teorema 5, care este menționată în text, spune că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.

Metoda Gauss este greu de înțeles de către elevi liceu, dar este una dintre cele mai multe moduri interesante pentru a dezvolta ingeniozitatea copiilor înscriși în program studiu aprofundat la orele de matematică și fizică.

Pentru ușurința înregistrării calculelor, este obișnuit să faceți următoarele:

Coeficienții ecuației și termenii liberi se scriu sub forma unei matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de partea dreaptă. Numerele romane denotă numerele de ecuații din sistem.

În primul rând, notează matricea cu care să lucreze, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată este scrisă după semnul „săgeată” și continuă să efectueze ceea ce este necesar actiuni algebrice până la atingerea rezultatului.

Ca rezultat, ar trebui să se obțină o matrice în care una dintre diagonale este 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o singură formă. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numerele ambelor părți ale ecuației.

Această notație este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.

Aplicarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și o anumită experiență. Nu toate metodele sunt aplicate. Unele moduri de a găsi soluții sunt mai preferabile într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopul învățării.