Vyriešte systém s dvoma neznámymi - to znamená nájsť všetky dvojice premenných hodnôt, ktoré spĺňajú každú z daných rovníc. Každý takýto pár je tzv systémové riešenie.

Príklad:
Dvojica hodnôt \(x=3\);\(y=-1\) je riešením prvého systému, pretože dosadením týchto trojíc a mínusových jednotiek do systému namiesto \(x\) a \ (y\), obidve rovnice sa stanú platnými rovnosťami \(\začiatok(prípady)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(prípady) \)

Ale \(x=1\); \(y=-2\) - nie je riešením prvého systému, pretože po dosadení druhá rovnica "nekonverguje" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Všimnite si, že takéto dvojice sa často píšu kratšie: namiesto "\(x=3\); \(y=-1\)" sa píšu takto: \((3;-1)\).

Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?

Existujú tri hlavné spôsoby riešenia systémov lineárne rovnice:

1. Substitučná metóda.

\(\začiatok(prípady)x-2y=5\\3x+2y=7 \koniec(prípady)\)\(\šípka vľavo\) \(\začiatok(prípady)x=5+2y\\3x+2y= 7\koniec (prípady)\)\(\šípka doľava doprava\)

Výsledný výraz namiesto tejto premennej dosaďte do inej rovnice sústavy.

\(\Šípka doľava\) \(\začiatok(prípady)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\koniec (prípady)\)\(\šípka doľava\)

1. \(\začiatok(prípadov)13x+9r=17\\12x-2y=26\koniec(prípadov)\)

   V druhej rovnici je každý člen párny, takže rovnicu zjednodušíme vydelením \(2\).
   

   \(\začiatok(prípady)13x+9y=17\\6x-y=13\koniec(prípady)\)

   Tento systém je možné vyriešiť akýmkoľvek spôsobom, ale zdá sa mi, že tu je najvhodnejšia substitučná metóda. Vyjadrime y z druhej rovnice.
   

   \(\začiatok(prípadov)13x+9r=17\\y=6x-13\koniec(prípadov)\)

   V prvej rovnici nahraďte \(y\) \(6x-13\).
   

   \(\začiatok(prípadov)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\koniec (prípadov)\)

   Prvá rovnica sa stala normálnou. Riešime to.

   Najprv otvoríme zátvorky.
   

   \(\začiatok(prípadov)13x+54x-117=17\\y=6x-13\koniec (prípadov)\)

   Posuňme \(117\) doprava a dajme podobné výrazy.

   \(\začiatok(prípadov)67x=134\\y=6x-13\koniec(prípadov)\)

   Vydeľte obe strany prvej rovnice \(67\).

   \(\začiatok(prípady)x=2\\y=6x-13\koniec(prípady)\)

   Hurá, našli sme \(x\)! Dosaďte jej hodnotu do druhej rovnice a nájdite \(y\).

   \(\začiatok(prípady)x=2\\y=12-13\koniec (prípady)\)\(\šípka doľava doprava\)\(\začiatok(prípady)x=2\\y=-1\koniec (prípady) )\)

   Zapíšme si odpoveď.

Budeme analyzovať dva typy systémov riešenia rovníc:

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučná metóda musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Vyjadrujeme. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Do inej rovnice dosadíme namiesto vyjadrenej premennej výslednú hodnotu.
3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém sčítaním (odčítaním) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme rovnaké koeficienty.
2. Rovnice sčítame alebo odčítame, vo výsledku dostaneme rovnicu s jednou premennou.
3. Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu. Nájdeme riešenie systému.

Riešením sústavy sú priesečníky grafov funkcie.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

Riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, preto sa ukazuje, že najjednoduchšie je vyjadriť premennú x z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2. Po vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3 + 10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorené zátvorky)
6 + 20 rokov + 5 rokov = 1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto potrebujeme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y. Nájdite x, v prvom odseku, kde sme vyjadrili, tam dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Na prvom mieste je zvykom písať body, napíšeme premennú x a na druhé miesto premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime sčítaním (odčítaním) po členoch.

Riešenie sústavy rovníc sčítacou metódou

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberte premennú, povedzme, že vyberieme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Prvú rovnicu vynásobíme 2 a druhú 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prvej rovnice odčítajte druhú, aby ste sa zbavili premennej x Vyriešte lineárnu rovnicu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online je zadarmo. Nežartuj.

Spoľahlivejšia ako grafická metóda diskutovaná v predchádzajúcom odseku.

Substitučná metóda

Túto metódu sme používali v 7. ročníku pri riešení sústav lineárnych rovníc. Algoritmus, ktorý bol vyvinutý v 7. ročníku je celkom vhodný na riešenie sústav dvoch ľubovoľných rovníc (nie nutne lineárnych) s dvoma premennými x a y (samozrejme, premenné sa dajú označovať aj inými písmenami, na čom nezáleží). V skutočnosti sme tento algoritmus použili v predchádzajúcej časti, keď problém dvojciferný viedlo k matematický model, čo je sústava rovníc. Túto sústavu rovníc sme riešili vyššie substitučnou metódou (pozri príklad 1 z § 4).

Algoritmus na použitie substitučnej metódy pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými x, y.

1. Vyjadrite y pomocou x z jednej rovnice sústavy.
2. Dosaďte výsledný výraz namiesto y do inej rovnice sústavy.
3. Vyriešte výslednú rovnicu pre x.
4. Do výrazu y až x získaného v prvom kroku postupne nahraďte každý z koreňov rovnice nájdenej v treťom kroku namiesto x.
5. Zapíšte odpoveď vo forme párov hodnôt (x; y), ktoré boli nájdené v treťom a štvrtom kroku.

4) Postupne nahraďte každú z nájdených hodnôt y do vzorca x \u003d 5 - Zy. Ak potom
5) Dvojice (2; 1) a riešenia danej sústavy rovníc.

Odpoveď: (2; 1);

Algebraická metóda sčítania

Túto metódu, podobne ako substitučnú metódu, poznáte z kurzu algebry 7. ročníka, kde bola použitá na riešenie sústav lineárnych rovníc. Pripomeňme si podstatu metódy ďalší príklad.

Príklad 2 Vyriešte sústavu rovníc

Všetky členy prvej rovnice systému vynásobíme 3 a druhú rovnicu necháme nezmenenú:
Odčítajte druhú rovnicu systému od jeho prvej rovnice:

Výsledkom algebraického sčítania dvoch rovníc pôvodný systém výsledná rovnica je jednoduchšia ako prvá a druhá rovnica danej sústavy. Touto jednoduchšou rovnicou máme právo nahradiť akúkoľvek rovnicu danej sústavy, napríklad tú druhú. Potom bude daný systém rovníc nahradený jednoduchším systémom:

Tento systém je možné riešiť substitučnou metódou. Z druhej rovnice zistíme Nahradením tohto výrazu namiesto y do prvej rovnice systému dostaneme

Zostáva nahradiť nájdené hodnoty x do vzorca

Ak x = 2, potom

Našli sme teda dve riešenia systému:

Metóda zavádzania nových premenných

S metódou zavádzania novej premennej pri riešení racionálnych rovníc s jednou premennou ste sa zoznámili na kurze algebry 8. ročníka. Podstata tejto metódy pri riešení sústav rovníc je rovnaká, ale s technický bod vízie, existuje niekoľko funkcií, o ktorých budeme diskutovať v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 3 Vyriešte sústavu rovníc

Zavedieme novú premennú Potom môžeme prvú rovnicu systému prepísať viac jednoduchá forma: Vyriešme túto rovnicu pre premennú t:

Obe tieto hodnoty spĺňajú podmienku, a preto sú koreňmi racionálna rovnica s premenlivým t. To ale znamená buď odkiaľ zistíme, že x = 2y, alebo
Pomocou metódy zavedenia novej premennej sme teda mohli prvú rovnicu systému, ktorá je na pohľad pomerne zložitá, „stratifikovať“ do dvoch jednoduchších rovníc:

x = 2 y; y - 2x.

Čo bude ďalej? A potom každý z tých dvoch dostal jednoduché rovnice je potrebné postupne zvážiť v systéme s rovnicou x 2 - y 2 \u003d 3, ktorú sme si ešte nepamätali. Inými slovami, problém sa redukuje na riešenie dvoch systémov rovníc:

Je potrebné nájsť riešenia pre prvý systém, druhý systém a zahrnúť všetky výsledné dvojice hodnôt do odpovede. Poďme vyriešiť prvú sústavu rovníc:

Využime substitučnú metódu, najmä keď je tu na to všetko pripravené: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto x výraz 2y. Získajte

Pretože x \u003d 2y, nájdeme x 1 \u003d 2, respektíve x 2 \u003d 2. Získajú sa teda dve riešenia pre daný systém: (2; 1) a (-2; -1). Poďme vyriešiť druhú sústavu rovníc:

Opäť použijeme substitučnú metódu: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto y výraz 2x. Získajte

Táto rovnica nemá korene, čo znamená, že sústava rovníc nemá riešenia. Do odpovede by sa teda mali zahrnúť len riešenia prvého systému.

Odpoveď: (2; 1); (-2;-1).

Metóda zavádzania nových premenných pri riešení sústav dvoch rovníc s dvoma premennými sa používa v dvoch verziách. Prvá možnosť: zavedie sa jedna nová premenná a použije sa len v jednej rovnici systému. Presne to sa stalo v príklade 3. Druhá možnosť: zavedú sa dve nové premenné a použijú sa súčasne v oboch rovniciach systému. Bude to tak v príklade 4.

Príklad 4 Vyriešte sústavu rovníc

Predstavme si dve nové premenné:

Potom sa to naučíme

To vám umožní prepísať tento systém v oveľa jednoduchšej forme, ale s ohľadom na nové premenné a a b:

Pretože a \u003d 1, potom z rovnice a + 6 \u003d 2 nájdeme: 1 + 6 \u003d 2; 6 = 1. Pre premenné a a b sme teda dostali jedno riešenie:

Ak sa vrátime k premenným x a y, dostaneme sústavu rovníc

Na vyriešenie tohto systému použijeme metódu algebraické sčítanie:

Odvtedy z rovnice 2x + y = 3 zistíme:
Pre premenné x a y teda máme jedno riešenie:

Túto časť ukončíme krátkou, ale dosť serióznou teoretickou diskusiou. Získali ste už nejaké skúsenosti s riešením rôzne rovnice: lineárny, štvorcový, racionálny, iracionálny. Viete, že hlavnou myšlienkou riešenia rovnice je postupný prechod z jednej rovnice na druhú, jednoduchšiu, ale ekvivalentnú danej rovnici. V predchádzajúcej časti sme zaviedli pojem ekvivalencie pre rovnice s dvoma premennými. Tento koncept sa používa aj pre sústavy rovníc.

Definícia.

Dve sústavy rovníc s premennými x a y sa považujú za ekvivalentné, ak majú rovnaké riešenia alebo ak obe sústavy nemajú žiadne riešenia.

Všetky tri metódy (substitúcia, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných), o ktorých sme hovorili v tejto časti, sú z hľadiska ekvivalencie absolútne správne. Inými slovami, pomocou týchto metód nahrádzame jednu sústavu rovníc inou, jednoduchšou, ale ekvivalentnou pôvodnej sústave.

Grafická metóda riešenia sústav rovníc

Už sme sa naučili, ako riešiť sústavy rovníc takými bežnými a spoľahlivými spôsobmi, ako je metóda substitúcie, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných. A teraz si spomeňme na metódu, ktorú ste už študovali v predchádzajúcej lekcii. Poďme si teda zrekapitulovať, o čom viete grafická metóda riešenia.

Metóda riešenia sústav rovníc graficky je konštrukcia grafu pre každú z konkrétnych rovníc, ktoré sú zahrnuté v tomto systéme a sú v jednej súradnicová rovina, a tiež tam, kde je potrebné nájsť priesečníky bodov týchto grafov. Na vyriešenie tohto systému rovníc sú súradnice tohto bodu (x; y).

Malo by sa pamätať na to, že pre grafický systém rovnice majú tendenciu mať jednu jedinečnú správne rozhodnutie, alebo nekonečná množina riešenia, alebo nemajú žiadne riešenia.

Teraz sa pozrime bližšie na každé z týchto riešení. A tak systém rovníc môže mať jediné rozhodnutie ak sa priamky, ktoré sú grafmi rovníc sústavy, pretínajú. Ak sú tieto čiary rovnobežné, potom takýto systém rovníc nemá absolútne žiadne riešenia. V prípade zhody priamych grafov rovníc systému potom takýto systém umožňuje nájsť veľa riešení.

Teraz sa pozrime na algoritmus riešenia sústavy dvoch rovníc s 2 neznámymi pomocou grafickej metódy:

Najprv zostavíme graf 1. rovnice;
Druhým krokom bude nakreslenie grafu, ktorý sa týka druhej rovnice;
Po tretie, musíme nájsť priesečníky grafov.
A ako výsledok dostaneme súradnice každého priesečníka, ktorý bude riešením systému rovníc.

Pozrime sa na túto metódu podrobnejšie s príkladom. Dostali sme sústavu rovníc, ktoré treba vyriešiť:

Riešenie rovníc

1. Najprv zostavíme harmonogram daná rovnica: x2+y2=9.

Treba však poznamenať, že tento graf rovníc bude kruh so stredom v počiatku a jeho polomer bude rovný trom.

2. Naším ďalším krokom bude zostrojenie rovnice ako: y = x - 3.

V tomto prípade musíme postaviť priamku a nájsť body (0;−3) a (3;0).

3. Pozrime sa, čo máme. Vidíme, že priamka pretína kružnicu v dvoch jej bodoch A a B.

Teraz hľadáme súradnice týchto bodov. Vidíme, že súradnice (3;0) zodpovedajú bodu A a súradnice (0;−3) zodpovedajú bodu B.

A čo získame ako výsledok?

Čísla (3;0) a (0;−3) získané na priesečníku priamky s kružnicou sú presne riešeniami oboch rovníc sústavy. A z toho vyplýva, že tieto čísla sú tiež riešeniami tejto sústavy rovníc.

To znamená, že odpoveďou tohto riešenia sú čísla: (3;0) a (0;−3).

Prijaté sústavy rovníc široké uplatnenie v hospodárskom sektore matematického modelovania rôzne procesy. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických trás (problém dopravy) alebo umiestnenia zariadení.

Systémy rovníc sa využívajú nielen v oblasti matematiky, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Sústava lineárnych rovníc je označenie pre dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice vynesením jej grafu bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešením polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Najjednoduchšie sú príklady sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Vyriešte sústavu rovníc - znamená to nájsť také hodnoty (x, y), pre ktoré sa systém stáva skutočnou rovnosťou, alebo zistiť, že neexistujú žiadne vhodné hodnoty x a y.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako bodové súradnice, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak majú systémy jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy pravá časť ktorá sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom „rovná sa“ hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém nie je homogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Tvárou v tvár systémom školáci predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľké množstvo.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Neexistuje žiadny spoločný analytická metóda riešenia podobných systémov, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafická a maticová metóda, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy aplikácie konkrétnej metódy.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc 7. triedy programu stredná škola celkom jednoduché a podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc metódou Gaussa a Cramera sa podrobnejšie študuje v prvých kurzoch vysokých škôl.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej prostredníctvom druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice, potom sa zredukuje na jednu premennú formu. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme príklad sústavy lineárnych rovníc 7. triedy substitučnou metódou:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tento príklad nespôsobuje ťažkosti a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola prijatých hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej v zmysle druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, substitučné riešenie je tiež nepraktické.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešenia sústav metódou sčítania, sčítania po členoch a násobení rovníc o rôzne čísla. Konečný cieľ matematické operácie je rovnica s jednou premennou.

Pre aplikácie túto metódu chce to prax a pozorovanie. Riešiť sústavu lineárnych rovníc metódou sčítania s počtom premenných 3 a viac nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je užitočné, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné čísla.

Algoritmus akcie riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice nejakým číslom. Ako výsledok aritmetická operácia jeden z koeficientov premennej sa musí rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Metóda riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém potrebuje nájsť riešenie pre nie viac ako dve rovnice, počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši vzhľadom na zadanú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Príklad ukazuje, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na normu štvorcový trojčlen. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Je potrebné nájsť hodnotu diskriminantu podľa dobre známy vzorec: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú multiplikátory polynómu. AT uvedený príklad a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menej ako nula, potom existuje len jedno riešenie: x= -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre systémy s 3 rovnicami. Metóda je stavať na súradnicová os grafy každej rovnice zahrnutej v systéme. Súradnice priesečníkov kriviek a budú spoločné riešenie systémov.

Grafická metóda má množstvo odtieňov. Zvážte niekoľko príkladov riešenia systémov lineárnych rovníc vizuálnym spôsobom.

Ako je vidieť z príkladu, pre každú čiaru boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

Nasledujúci príklad je potrebné nájsť grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, systém nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Treba mať na pamäti, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrix a jeho odrody

Matice sa používajú na skratka sústavy lineárnych rovníc. Tabuľka sa nazýva matica. špeciálny druh naplnené číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je jednostĺpcová matica s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a ďalšie nulové prvky nazývané jednotné číslo.

Inverzná matica je taká matica, ktorou sa po vynásobení pôvodná zmení na jednotkovú, takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre transformáciu sústavy rovníc na maticu

Pri sústavách rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako čísla matice, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa nazýva nenulový, ak aspoň jeden prvok v riadku nie je nulový nula. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x možno zapísať len do jedného stĺpca, napríklad prvý, koeficient neznámej y - iba do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je pomerne jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 - inverzná matica a |K| - maticový determinant. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva na dva, je len potrebné prvky navzájom diagonálne vynásobiť. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že musíte vziať jeden prvok z každého riadka a každého stĺpca, aby sa čísla stĺpcov a riadkov prvkov v produkte neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje zredukovať ťažkopádne zápisy pri riešení sústav s veľká kvantita premenné a rovnice.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie sústav Gaussovou metódou

AT vyššia matematika Gaussova metóda sa študuje spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešenia systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na hľadanie systémové premenné s množstvom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná substitučným a algebraickým riešeniam sčítania, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa Gaussovo riešenie používa pre sústavy 3 a 4 rovníc. Účelom metódy je priviesť systém do tvaru obráteného lichobežníka. spôsobom algebraické transformácie a substitúcie je hodnota jednej premennej v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi a 3 a 4 - s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

AT školské učebnice pre stupeň 7 je príklad riešenia Gaussovou metódou opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Riešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre žiakov ťažko pochopiteľná stredná škola, ale je jedným z najviac zaujímavé spôsoby rozvíjať vynaliezavosť detí zaradených do programu hĺbkové štúdium na hodinách matematiky a fyziky.

Pre uľahčenie zaznamenávania výpočtov je obvyklé robiť nasledovné:

Koeficienty rovníc a voľné členy sa zapisujú vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej strany. Rímske číslice označujú počet rovníc v sústave.

Najprv si zapíšu maticu, s ktorou majú pracovať, potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica sa zapíše za znak „šípky“ a pokračuje v vykonávaní potrebného postupu algebraické akcie kým sa nedosiahne výsledok.

V dôsledku toho by sa mala získať matica, v ktorej je jedna z uhlopriečok 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednu formu. Nesmieme zabudnúť na výpočty s číslami oboch strán rovnice.

Tento zápis je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatná aplikácia akéhokoľvek spôsobu riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy sa používajú. Niektoré spôsoby hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na účely učenia.