Название: Теория вероятностей. 1969.

Книга представляет собой учебник, предназначенный для лиц, знакомых с математикой в объеме обычного ВТУЗовского курса и интересующихся техническими приложениями теории вероятностей, в частности теорией стрельбы. Книга представляет также интерес для инженеров других специальностей, которым приходится применять теорию вероятностей в их практической деятельности.
От других учебников, предназначенных для той же категории читателей, книга отличается большим вниманием к важным для приложений новым ветвям теории вероятностей (например, теории вероятностных процессов, теории информации, теории массового обслуживания и др.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Условимся, что мы будем понимать под «случайным явлением».
При научном исследовании различных физических в технических задач часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию 9
Глава 1. Введение 11
1.1. Предмет теории вероятностей 11
1.2. Краткие исторические сведения 17
Глава 2. Основные понятия теории вероятностей 23
2.1. Событие. Вероятность события 23
2.2. Непосредственный подсчет вероятностей 24
2.3. Частота, или статистическая вероятность, события 28
2.4. Случайная величина 32
2.5. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической уверенности 34
Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей 37
3.1. Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий 37
3.2. Теорема сложения вероятностей 40
3.3. Теорема умножения вероятностей 45
3.4. Формула полной вероятности 54
3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) 56
Глава 4. Повторение опытов 59
4.1. Частная теорема о повторении опытов 59
4.2. Общая теорема о повторении опытов 61
Глава 5. Случайные величины н их законы распределения 67
5.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения 67
5.2. Функция распределения 72
5.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок 78
5.4. Плотность распределения 80
5.5. Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение 84
5.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) 85
5.7. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение 92
5.8. Закон равномерной плотности 103
5.9. Закон Пуассона. 106
Глава 6. Нормальный закон распределения 115
6.1. Нормальный закон и его параметры 116
6.2. Моменты нормального распределения 120
6.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения 122
6.4. Вероятное (срединное) отклонение 127
Глава 7. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных 131
7.1. Основные задачи математической статистики 131
7.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения 133
7.3. Статистический ряд. Гистограмма 133
7.4. Числовые характеристики статистического распределения 139
7.5. Выравнивание статистических рядов 143
7.6. Критерии согласия 149
Глава 8. Системы случайных величин 159
8.1. Понятие о системе случайных величин 159
8.2. Функция распределения системы двух случайных величин 163
8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин 163
8.4. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения 163
8.5. Зависимые и независимые случайные величины 171
8.6. Числовые характеристики системы двух случайных величии. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 175
8.7. Система произвольного числа случайных величин 182
8.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин 184
Глава 9. Нормальный закон распределения для системы случайных величин 188
9.1. Нормальный закон на плоскости 188
9.2. Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду 193
9.3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания 196
9.4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания 198
9.5. Вероятность попадания в область произвольной формы 202
9.6. Нормальный закон в пространстве трех измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин 205
Глава 10. Числовые характеристики функций случайных величин 210
10.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции 210
10.2. Теоремы о числовых характеристиках 219
10.3. Применения теорем о числовых характеристиках 230
Глава 11. Линеаризация функций 252
11.1. Метод линеаризации функций случайных аргументов 252
11.2. Линеаризация функции одного случайного аргумента 253
11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов 255
11.4. Уточнение результатов, полученных методом линеаризации 259
Глава 12. Законы распределения функций случайных аргументов 263
12.1. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента 643
12.2. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону 266
12.3. Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента 267
12.4. Закон распределения функции двух случайных величин 269
12.5. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения 271
12.6. Композиция нормальных законов 275
12.7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов 279
12.8. Композиция нормальных законов на плоскости 280
Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей 286
13.1. Закон больших чисел и центральная предельная теорема 286
13.2. Неравенство Чебышева 28713.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева) 290
13.4. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова 292
13.5. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона 295
13.6. Массовые случайные явления и центральная предельная теорема 297
13.7. Характеристические функции 299
13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 302
13.9. Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении 306
Глава 14. Обработка опытов 312
14.1. Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки для неизвестных параметров закона распределения 312
14.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии 314
14.3. Доверительный интервал. Доверительная вероятность 317
14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону 324
14.5. Оценка вероятности по частоте 330
14.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин 339
14.7. Обработка стрельб 347
14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов 351
Глава 15. Основные понятия теории случайных функций 370
15.1. Понятие о случайной функции 370
15.2. Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции 374
15.3. Характеристики случайных функций 377
15.4. Определение характеристик случайной функции из опыта 383
15.5. Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций 385
15.6. Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы 388
15.7. Линейные преобразования случайных функций 393
15.8. Сложение случайных функций 39Э
15.9. Комплексные случайные функции 402
Глава 16. Канонические разложения случайных функций 405
16.1. Идея метода канонических разложений. Представление случайной функции в виде суммы элементарных случайных функций 406
16.2. Каноническое разложение случайной функции 410
16.3. Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями 411
Глава 17. Стационарные случайные функции 419
17.1. Понятие о стационарном случайном процессе 419
17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий 427
17.3. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции 431
17.4. Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме 438
17.5. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой 447
17.6. Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем 454
17.7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций 457
17.8. Определение характеристик эртодическои стационарной случайной функции по одной реализации 462
Глава 18. Основные понятия теории информации 468
18.1. Предмет и задачи, теории информации 468
18.2. Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы 469
18.3. Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропии 475
15.1. Условная энтропия. Объединение зависимых систем 477
18.1. Энтропия н информация 481
18.2. Частная информация о системе, содержащаяся в сообщении о событии. Частная информация о событии, содержащаяся в сообщении о другом событии 489
18.7. Энтропия и информация для систем с непрерывным множеством состояний 493
18.8. Задачи кодирования сообщений. Код Шеннона - Фэно 502
18.9. Передача информации с искажениями. Пропускная способность канала с помехами 509
Глава 19. Элементы теории массового обслуживания 515
19.1. Предмет теории массового обслуживания 515
19.2. Случайный процесс со счетным множеством состояний 517
19.3. Поток событий. Простейший поток и его свойства 520
19.4. Нестационарный пуассоновский поток 527
19. 5. Поток с ограниченным последействием (поток Пальма) 529
16. 6. Время обслуживания 534
19. 7. Марковский случайный процесс 537
19. 8. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга 540
19. 9. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга 544
19.10. Система массового обслуживания с ожиданием 548
19.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди 557
Приложение. Таблицы 561
Литература 573
Предметный указатель 574

Елена Сергеевна Вентцель (литературный псевдоним И. Грекова), урождённая Долгинцева; (8 (21) марта 1907, Ревель, Российская империя, ныне Таллин, Эстония - 15 апреля 2002, Москва, Россия) - советский математик, автор учебников по теории вероятностей и исследованию операций, русский прозаик, доктор технических наук, профессор.

Работала в Московской Академии им. Жуковского (1935-1968 г.г.), затем - на кафедре прикладной математики в Московском Институте Инженеров Транспорта (1968-1987), вела научную и преподавательскую работу. Несколько поколений советских инженеров учились по ее учебнику «Теория вероятностей». Она - автор книг «Исследование операций» и «Теория игр». Была также превосходным популяризатором науки: в публичных лекциях, статьях, выступлениях.

Читателям Елена Сергеевна известна под литературным псевдонимом И.Грекова. Публиковаться начала в начале 1960-х в журнале «Новый мир», которым в то время руководил А.Т.Твардовский. Именно там вышли ее ставшие знаменитыми повести и рассказы «За проходной» (1962), «Дамский мастер» (1963), «На испытаниях» (1967). По литературным произведениям И.Грековой были поставлены спектакли и фильмы.

Книги (10)

Хозяйка гостиницы

Волнующее повествование о простой светлой русской женщине, одной из тех, на которых держится мир. Прожив непростую жизнь, героиня всегда верила во всепобеждающую силу любви и сама, словно светясь добротой, верой, надеждой, не задумываясь, всю себя отдавала людям. Большая любовь как заслуженная награда пришла к Верочке Ларичевой тогда, когда она уж и надеяться перестала…

Эта книга - литературная основа фильма С. Говорухина «Благословите женщину».

Введение в исследование операций

В книге излагаются основы науки исследования операций, занимающейся способами рациональной организации целенаправленной человеческой деятельности. Изложение предмета ведется в основном на материале задач, связанных с боевым применением техники.

Однако математические методы обоснования рациональных решений излагаются так, что могут быть приложены в любой области практики.

Задачи и упражнения по теории вероятностей

Настоящее пособие представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены ответами, а большинство - и решениями. В начале каждой главы приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.

Исследование операций: задачи, принципы, методология

Популярно излагаются основы исследования операций - науки о выборе разумных, научно обоснованных решений во всех областях человеческой деятельности.

Главное внимание уделяется не математическому аппарату, а вопросам методологии. Для инженеров, научных работников, руководителей предприятий, интересующихся проблемами выбора решений.

Прикладные задачи теории вероятностей

Содержится большое число задач прикладного характера, относящихся к разным областям практики, главным образом инженерно-техническим.

В начале каждой главы приводятся краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач. Большинство задач снабжено не только ответами, но и развернутыми решениями, демонстрирующими важные методические приемы. Для инженерно-технических работников, а также студентов и преподавателей вузов, заинтересованных в овладении вероятностными методами решения прикладных задач.

Теория вероятностей

Настоящий сборник представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены ответами, а большинство и решениями. В начале каждой главы приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.

Теория вероятностей и ее инженерные приложения

В книге дано систематическое изложение основ теории вероятностей под углом зрения их практических приложений по специальностям: кибернетика, прикладная математика, ЭВМ, автоматизированные системы управления, теория механизмов, радиотехника, теория надежности, транспорт, связь и т.д.

Несмотря на разнообразие областей, к которым относятся приложения, все они пронизаны единой методической основой.

Теория случайных процессов и её инженерные приложения

В книге дается систематическое изложение основ теории случайных процессов по специальностям: кибернетика, прикладная математика, автоматизированные системы управления и переработки информации, автоматизация технологических процессов, транспорт и т.п.

Она является логическим продолжением книги тех же авторов: «Теория вероятностей и ее инженерные приложения».

Элементы теории игр

Книга представляет собой популярное изложение элементов теории игр и некоторых способов решения матричных игр.

Она почти не содержит доказательств и иллюстрирует основные положения теории примерами. Для чтения достаточно знакомства с элементами теории вероятностей и математического анализа.

Комментарии читателей

Ягунов Е А / 19.11.2016 С Еленой Сергеевной меня познакомилп профессор, инженер-полковник Шор Яков Борисович, когда я в 1959 г. работал над своей кандидатской диссертацией.
Используя достаточно сложный математический аппарат. Она не только проконсультировала меня, но и пригласила на свои лекции в ее Академии. Я их прослушал и сразу понял, доселе сложные для меня вопросы. Ее книги по теории вероятности стали моими настольными. Это шедевр понятного и доступного изложения трудных для понимания знаний!
А ее проникновенная книга "Кафедра" , когда я, после окончания службы в НИИ-4 МО стал преподавателем университета.
Советую всем, кто изучает "Теорию вероятности и Теорию случайных функций" изучать ее по учебникам Вентцел Е. С. Всем гуманитариям прочитать ее художественную прозу. Поверьте, они этого стоят!

Сергей / 13.09.2013 Прекрасный учебник даже для таких тупиц, как я!!! Двоечник был, но теорию вероятности изучал по Вентцель-не поверите, пять баллов в военно-морском училище было по этому предмету. Прекрасный учебник!!!

Добрый Ух / 6.01.2011 Николай, я не знаю, кто делал скан, но называть человека "придурком" на том основании, что он где-то потерял страницы как минимум не вежливо. Вам книги в цифре достаются фактически бесплатно и я бы поблагодарил администрацию за то, что они хоть в каком-то виде тут появляются. Вряд ли ваше "фи" достойно того, чтобы держать оргштатную единицу, которая будет вычитывать все книги. Вы просто зажрались, уважаемый. %) Скажите лучше простое человеческое спасибо тем, кто сканирует книги и держит этот сайт.

Nikolay / 5.01.2011 Автору, конечно, огромное спасибо за такую книгу. Но придурку, который делал электронный вариант, надо оторвать руки за недостающие страницы. И администрации сайта не мешало бы проверять материалы, которые они публикуют.

Галущенко В.А. / 21.09.2010 Книга, посвященная автору
http://zhurnal.lib.ru/editors/g/galushenko_w/umnica.shtml

Татьяна / 28.06.2010 Очень полезная книга...

Ярик / 4.12.2009 Очень понравилась книга!

Александр / 15.03.2009 Чудесная женщина, великий математик, изумительный педагог доступно излагающий сложнейший материал для дилетантов!

Turtuga / 12.02.2009 Такой замечательный классический учебник, очень жаль, что в электронной версии на сайте не хватает страниц 37-40. Как раз понадобились.

***Вовочка*** / 27.11.2008 "Побольше бы таких людей"

Н.Тёмкин / 13.11.2008 Считаю книгу Е.С.Вентцель "Теория вероятностей" лучшей книгой в этой области.Она сочетает в себе фундаментальность и в то же время достуность изложения для массового читателя.А такой способ подачи материала есть свидетельство высочайшей компетентности автора.

«Игрек в русском обозначает неизвестную,

которую надо вычислить»

Е. С. Вентцель

В жизни каждого человека отражается его время. А если это долгая жизнь незаурядной творческой личности, то отражение это становится более ярким и общезначимым.

Жизнь Елены Сергеевны длиною в 95 лет охватила все существование советской власти и закончилась в начале ХХI века.

Она родилась в Ревене (ныне Таллин) в учительской семье.

Отец, Сергей Федорович Долгинцев, преподавал математику, мать — словесность. В семье росли два сына – Илья и Николай – и дочь Елена. Сергей Федорович считал, что высшая математика проще элементарной и занимался ею с дочерью, когда ей было 7-8 лет. Как сама вспоминает писательница: «в математики я пошла из-за своего отца. Математик по образованию, он мечтал хоть кого-то из своих детей видеть продолжателем своего дела. Из нас, троих детей, я была, пожалуй, наиболее к этому приспособлена...» В результате математика приобрела Елену Сергеевну. В 1923 году, шестнадцати лет от роду, она поступила в Ленинградский (тогда еще Петроградский) университет. Математический курс, надо заметить, был совершено мужским: из 280 человек девушек было всего пять.

Окончив физико-математический факультет, в 1935 г. переехала в Москву. Работала в Военно-воздушной академии им. Н. Е. Жуковского (1935—68), в Московском институте инженеров транспорта (1968—86); занималась прикладной математикой. В математике ею был выбран раздел наиболее поэтический – теория вероятностей.Круг ее исследований, научной и педагогической деятельности был огромен: повышение точности воздушной стрельбы и бомбометания, совершенствование способов пристрелки авиационного вооружения, оценка эффективности различных видов вооружения, стрельба по летящим объектам, тактика воздушного боя, способы организации средств ПВО. А ее книга «Теория вероятностей» остается по сей день важнейшим учебником для инженеров и студентов.

Список научных трудов Е. С. Вентцель насчитывает около семидесяти открытых и шестидесяти закрытых работ. Военный инженер, моряк, изобретатель Н. В. Лапцевич написал о ней:«Eе учебники по теории вероятностей и исследованию операций... принадлежат к тем …очень редким шедеврам, прорабатывая которые испытываешь… радость узнавания и чувство благодарности автору…».

О том, как в Академии им. Жуковского профессор и доктор технических наук Е. С. Вентцель читает лекции, ходили слухи во всех московских математических вузах. Учебник по теории вероятностей, написанный ею, с удовольствием брали не только в научных, но и в публичных библиотеках: те, кто желал выиграть в « Спортлото » , вычислить существование жизни на других планетах, встретить свою судьбу.

Инженер Виктор Гастелло, ныне корреспондент газеты « Щит и меч » , сын легендарного летчика вспоминал:

«У нее была своеобразная манера преподносить учебный материал. Мы называли это пикированием. Она постоянно держала аудиторию в напряжении. Например, объясняя один из разделов теории вероятностей, говорила так: «Представьте, что в аудитории сидит сотня обезьян (а нас, слушателей, была примерно сотня), все они хаотично стучат по клавиатуре. Насколько вероятно, что они напишут Большую Советскую Энциклопедию?» (http://www.aif.ru/archive/1636620).

Если Елена Сергеевна стала кумиром слушателей среди математиков, то среди литераторов внимание молодежи было обращено на некую И. Грекову, автора романа «Кафедра», повестей «Вдовий пароход», «Дамский мастер»... Мало кто знал, что Е. С. Вентцель и И. Грекова одно лицо.

В чудесных воспоминаниях филолога Александрой Александровной Раскиной, жены сына Елены Сергеевны, всемирно известного математика Александра Дмитриевича Вентцеля, записана история возникновения псевдонима, над которым ломали головы множество читателей: « Когда «За проходной» всё же собрался Твардовский печатать, встал вопрос о псевдониме. Е.С. с самого начала решила жёстко разграничить эти две свои ипостаси – писателя и учёного (причём преподавателя военной академии). Сидели дома, в столовой и всей семьёй ломали голову над этой проблемой. Шли от имени Елена. Еленина? Еленская? Таня Вентцель вспомнила троянскую Елену и говорит: Елена Грекова? И тут-то Е.С. вдруг воскликнула: «Игрекова!» И сразу стало ясно, что так тому и быть» (А.А. Раскина «Моя свекровь» )

Сама Елена Сергеевна вспоминает об этом так: «В нашей семье традиционным был интерес к литературе, все мы что-то писали. Писать я начала очень рано, печататься – поздно. ...внешне я была прирожденным математиком. А внутренне я больше тянулась к литературе. Так и сложилась моя дальнейшая жизнь – между математикой и литературой».

Выход же «в свет» произведений в какой-то мере связано с именем Фриды Абрамовны Вигдоровой (матерью А.А.Раскиной), познакомившись и сдружившись с которой, Елена Сергеевна принесла ей почитать свой рассказ «Хозяева жизни». А.А.Раскина: « Рассказ на нас всех произвёл очень большое впечатление, и совсем не только темой, хотя вспомним: это был конец шестидесятого – ещё два года до «Одного дня Ивана Денисовича»! Но он написан был здорово: я, например, именно с тех пор помню, что там в поезде подают «холодное синеватое какао». И пошло. Следующий рассказ был «Жёлтый цветок». В книге рассказов 66 года он называется «Под фонарём» – как и вся книга. И тоже очень он всем нам понравился. Но почему-то – может, по инерции, первый-то рассказ был на сто процентов непечатный! – не было разговоров о том, что надо бы напечатать его. У «Жёлтого цветка» была интересная судьба. Е.С. мало кому давала читать свои рассказы. А моя мама, если что ей нравилось, давала читать всем своим друзьям – а их было множество. И вот подходит 66 год (мамы уже не было тогда...), собирает Е.С. книжку рассказов и не может найти «Жёлтого цветка». Черновики Е.С. вообще никогда не хранила, а тут и машинописного экземпляра не нашлось. И что же оказалось? Среди тех, кому мама давала почитать рассказ, была писательница Раиса Орлова. Её дочери Маше, тогда ещё школьнице, так понравился этот рассказ, что она взяла, да и переписала его весь от руки в тетрадку. Вот в какую бескомпьютерную, да что там – догутенберговскую, эпоху мы жили! Тетрадку Маша сохранила, рассказ вошёл в книжку – в общем, рукописи не горят!»

Дебютировала рассказом «За проходной» (1969), который, кстати, написала для своей подруги Ф.А.Вигдоровой . А.А.Раскина: «А вот какая история у рассказа «За проходной».Его Е.С. написала специально для мамы, что называется, для внутреннего пользования, чтобы мама познакомилась с её, Елены Сергеевны, средой, с её любимыми научными работниками, «технарями». … Е.С. написала его на волне спора о «физиках и лириках» между писателем Эренбургом и инженером Полетаевым, захватившего чуть не всю страну. Е.С., хотя уже и выходила в «лирики», душой была с «физиками» и хотела показать их с лучшей стороны: такими, какими она их от всего сердца любила. И вот она, когда рассказ был напечатан, послала его Эренбургу с надписью по-латыни: “Audiatur et altera pars” – Пусть будет выслушана и другая сторона».

Критика называла ее «властительницей дум» образованной части населения в 1960–1970 гг. Каждое новое произведение писательницы ждали с нетерпением, за журналами в библиотеках выстраивались очереди. Мало кто из читателей мог знать, что судьба и самой писательницы, и ее произведений была очень непроста, но весьма типична для времен оттепели и застоя. Писать она начала рано, а публиковаться поздно. К моменту публикации рассказа «За проходной» (написан в 1960) «в столе» писательницы уже лежали рассказы «Хозяева жизни» (рассказ коренного ленинградца, попавшего в «кировский набор», прошедшего лагерь, потерявшего семью), «Желтый цветок» (известный под названием «Под фонарем»), «Первый налет», роман «Свежо предание» (первое название – «Кривая Пеано») о судьбах евреев в сталинское время. «Хозяева жизни» стали известны читателю спустя 28 лет (в 1988 г.), а роман «Свежо предание» пролежал в столе «былинный» срок «тридцать лет и три года (издан в 1995 г. в США). Более поздний рассказ «Без улыбок» смог увидеть свет лишь спустя 16 лет (в 1986 г.). Более 10 лет понадобилось писательнице, чтобы опубликовать повесть «Вдовий пароход» (написана вначале 1970 гг., опубликована в 1981 г).

По-прежнему самыми любимыми произведениями остаются для читателя «Кафедра», «Вдовий пароход», «Хозяйка гостиницы».

Секрет обаяния книг И. Грековой в том, что они всегда про людей и обстоятельства их жизни. Они могут быть удачны или не очень, но они страдают, борются, верят или сомневаются. И всегда главной линией проходит нравственный или поис,к или выбор героев.

Вот какую оценку И. Грековой дал С. Ицкович: « поэт в математике и математик в поэзии, вернее — в прозе, да ведь и проза-то её поэтична. Ей, по словам Пушкина, кажется, удалось поверить алгеброй гармонию: каждое слово в её рассказах, повестях, романах — выверено и поставлено к месту с математической точностью, как икс и игрек в формулу, отчего и звучит её проза, как идеально настроенный музыкальный инструмент».

Относясь к языку и сюжету с математической точностью, она преподносила сжатые тексты и лаконичные образы, которые бесконечно были близки и понятны читателям. И даже математические термины как метафоры раскрывали или дополняли представленный образ. Например,

«Несколько человек хлопотали у багажа. Высокая женщина в брюках, циркулем расставила длинные ноги, осторожно передвигала ящики с приборами». И. Грекова показывает нам, что незачем использовать большое количество метафор, если можно обойтись всего одним точным словом.

«...здесь поражало не различие, а тождество <…> и точно она была здесь: неизменная, тождественная самой себе, тревожная красота тех двоих – дамы и мальчика». Иными словами, тождественный означает равный, похожий. Так и здесь, когда военный показывает рассказчице фотографию, она мгновенно узнает его и женщину рядом с ним – это его мама, с которой он схож внешне.

И. Грекова и сама была воплощением идеального писателя: прекрасное владение материалом она сочетала с великолепной филологической эрудицией. Ею восхищались многие профессиональные литераторы. С глубокой печалью воспринял известие о смерти И. Грековой прозаик, заведующий отделом прозы журнала «Новый мир» Руслан Киреев. Когда-то он, начинающий автор, предложил журналу свою повесть о парикмахере, не зная, что к публикации уже принят «Дамский мастер» И. Грековой. Когда спустя 15 лет текст Киреева все же вышел в свет, уже знаменитейшая И. Грекова сама позвонила ему. По признанию Руслана Киреева его всегда поражала эрудиция писательницы, в подлиннике читавшей Пруста и Шекспира, наизусть цитировавшей целые страницы из Гоголя: «Это был человек культуры XIX века».

Она скончалась 15 апреля 2002 года. Сегодня ее книги, переведенные на разные языки мира, столь же быстро исчезают с полок, как и прежде. Ведь они правдивы и жизненны. Когда в очередном советском журнале ее рукопись просили подкорректировать, она просто «брала под мышку свое детище и уходила, даже с чувством облегчения – слава Б-гу, не придется резать, кромсать по живому. Конечно, если бы я жила на литературные гонорары, я была бы сговорчивее», как вспоминала Елена Сергеевна. И на склоне лет она благодарила судьбу, уберегшую ее от погружения только лишь в литературу. Ведь, по ее словам, «там, как и в любой гуманитарной науке того времени, необходимо было "лгать” в той или в другой форме. А нам, математикам, “жить не по лжи” давалось просто».

«Гармоническое сочетание литературы и точных наук, безупречный профессионализм и такое же безупречное чутье на фальшь в слове и решении задач – вот фирменная марка этого человека» – слова признательности от «Независимой газеты», 2002, 19 апреля.

А вот, что сегодня говорит и советует вам, читатели, Д.Быков: «Понимаете, ведь Грекова, как и [Вера] Панова — это такое чудо стиля, очень экономного, очень нейтрального, выдержанного, спокойного, но при этом ёмкого, и в нём есть уже какой-то ум. Знаете, почитать Грекову — это как в жару под холодным душем постоять. «Дамский мастер» — это прекрасная проза, такая ёмкая, точная. И она о самом главном — о повседневном бытовом унижении. Там очень много…»

16 марта был день рождения Фриды Абрамовны Вигдоровой (1915 – 1965), талантливой писательницы, отважной журналистки и доброго, отзывчивого человека. Корней Иванович Чуковский говорил о ней: «Самая лучшая женщина». Надписывая дочери Вигдоровой, Саше, свою книгу «Бег времени», изданную в 1966 году, Анна Ахматова назвала Фриду Вигдорову «высочайшим примером доброты, благородства, человечности для всех нас». Читайте о ней в нашем блоге « Дорога в жизнь Фриды Вигдоровой .

Зверкина Галина Александровна - кандидат физико-математических наук; выпускница мехмата и аспирантуры МГУ; доцент кафедры прикладной математики Московского государственного университета путей сообщения. Автор учебного пособия «История математики» (2005). В «Новом мире» публикуется впервые.

Эпштейн Георгий Львович (род. в 1941) - специалист в области теории игр и теории оптимального управления. Кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной мате-матики Московского государственного университета путей сообщения, автор около 60 научных публикаций. Совместно с Р. П. Вентцель составитель сборника «Е. С. Вент-цель - И. Грекова. К столетию со дня рождения» (2007). В «Новом мире» публикуется впервые.

В жизни каждого человека в той или иной мере отражается его время. А если это долгая жизнь незаурядной творческой личности, то отражение это становится наиболее ярким и общезначимым. Отдавая долг памяти Е. С. Вентцель, «Независимая газета» 19 апреля 2002 года писала: «Гармоническое сочетание литературы и точных наук, безупречный профессионализм и такое же безупречное чутье на фальшь в слове и решении задачи - вот фирменная марка этого человека».

Елена Сергеевна Вентцель прожила 95 лет. Ее жизнь охватила все существование советской власти и закончилась в начале XXI века. Она родилась 21 марта 1907 года в Ревеле (ныне Таллин) в учительской семье.

Сергей Федорович Долгинцев, отец Елены Сергеевны, преподавал математику в старших классах гимназии. Он был сыном купца первой гильдии, желавшего дать наследнику медицинское образование. Однако, увлекшись математикой, юноша самовольно перешел на физико-математический факультет, за что был лишен материальной поддержки и наследства. К тому же он рано обзавелся семьей. Поэтому его мечтам о научной математической карьере не суждено было сбыться. Но и на педагогическом поприще проявилась его незаурядность. Елена Сергеевна вспоминала: «Педагог он, видимо, был выдающийся. Никто в моей жизни не был таким педагогом - в слабой мере я от него унаследовала эту черту» 1 .

Естественно, что Сергей Федорович хотел, чтобы его дети добились того, от чего ему самому пришлось отказаться, - стали учеными-математиками. В семье росли два сына - Илья и Николай - и дочь Елена. Только она и проявила способности к математике. По словам Елены Сергеевны, уже в семь-восемь лет отец занимался с ней высшей математикой, полагая, что она проще элементарной. Не только математические способности отличали Елену. «Я любила └мальчишеские” игры - ружья, луки, духовые пистолеты. Прицелиться, нажать и попасть! - вот что было моим идеалом», - вспоминает она 2 .

Мать, Ольга Дмитриевна, преподавала в младших классах, а после рождения детей была целиком поглощена заботами о них и о доме и в самые трудные послереволюционные времена умела скрасить жизнь семьи, одевать и кормить детей и мужа. Елена Сергеевна писала: «Мама была аккуратна до педантичности» 3 .

Все же именно отец оказал решающее влияние на формирование личности и перипетии судьбы Елены Сергеевны. В повести «Кафедра» об отце профессора Завалишина сказано: «Талантлив он был необычайно, разносторонне. Прекрасно играл на скрипке. Замечательно читал вслух. Рисовал акварелью, писал стихи (главным образом шуточные). Обладал ярким актерским даром». Все это целиком и полностью относится к Сергею Федоровичу Долгинцеву. Вспоминая детство, Е. С. пишет об отце: «Он и тогда был, и потом, и до сих пор остался самым любимым человеком за всю мою жизнь». Надо еще добавить, что Сергей Федорович был «истинно и праведно православный человек <…>. Набожность свою он соединял с юмором, а что может быть прелестнее такого соединения?» 4 .

Любовь, интеллигентность и культура сочетались в семье Долгинцевых с трудолюбием и самодисциплиной. Постоянно поддерживался интерес к русскому слову. «В нашей семье традиционным был и интерес к литературе, все мы что-то писали. Писать я начала очень рано, печататься - поздно». Уже в раннем возрасте (в пять-шесть лет, как пишет С. Ицкович 5) Елена Сергеевна начинает свои первые литературные опыты: «<…> так что внешне я была прирожденным математиком. А внутренне я больше тянулась к литературе. Так и сложилась моя дальнейшая жизнь - между математикой и лите-ратурой» 6 .

В 1913 году семья переехала в Петербург. Сергей Федорович получил должность инспектора Первой петербургской гимназии. Семья поселилась в казенной квартире при гимназии. Школьные годы Елены Сергеевны прошли уже в Петрограде. Она училась в одной школе с Дмитрием Шостаковичем, на класс младше. Годы относительно обеспеченной жизни семьи коллежского советника сменились годами «военного коммунизма». «Впрочем, тогда мы не называли его ни └коммунизмом”, ни тем более └военным”, это название потом придумали. Просто было плохо, скудно, голодно…» 7

Окончив в 1923 году школу, поступила на физико-математический факультет Петроградского государственного университета - на математическом курсе из 280 студентов было всего пять девушек. «По образованию - я математик… Это, видимо, было уступкой отцу, которого я любила больше всех на свете» 8 .

О времени своего студенчества Елена Сергеевна вспоминала: «Прошло еще только несколько лет после Революции. Университет - одно из светлейших воспоминаний моей жизни. Все было прекрасно - окружающая нас действительность, новый строй (НЭП), который еще только пробивался сквозь мрак военного коммунизма. Полная наша освобожденность, раскованность. <…> В те времена мы совсем не чувствовали страха. Отсутствие страха - главная черта тех времен. Голод и отсутствие страха» 9 . Еще одно характерное воспоминание: «Главным ощущением, которое я вспоминаю, думая о том времени, была гордость. Гордость за то, что у нас - все по-новому. Никаких торжеств, никаких └свадеб”. Почему надо праздновать, если двое людей решили жить вместе? Это - их личное дело. Гордость была еще и за то, что мы отменили все └буржуазные” предрассудки. Происхождение? - Чепуха! Церковь? - Еще глупее. Как правило, женившиеся не меняли фамилий, в крайнем случае жили на разных квартирах…» 10

Главный корпус университета - здание Двенадцати коллегий - был построен в 1730-х годах по проекту архитектора Доменико Трезини. В XIX веке в этом здании разместился университет. Изначально здание совмещало две функции - административную и торговую: в первом этаже со стороны площади, под аркадой Гостиного двора, торговали, с противоположной стороны здания находилась «коммуникация» - двухэтажный коридор, в котором располагались коллегии, как назывались в XVIII веке министерства. Этот коридор, как говорили, длиннейший в Европе, объединял студентов разных факультетов (в начале XX века его намеревались перегородить, чтобы не допус-кать «брожения» среди учащихся); физико-математический факультет помещался в двух комнатах в середине коридора. Профессора университета, многие из которых преподавали там и до революции 1917 года, поощряли посещение студентами лекций на других факультетах и отстаивали право студентов на выбор изучаемых курсов. Студентка Долгинцева посещала лекции одного из выдающихся историков того времени Е. В. Тарле (1874 - 1955), физика О. Д. Хвольсона (1852 - 1934); она участвовала в собраниях «Вольфилы» - Вольной философской ассоциации во главе с Андреем Белым. Вообще, еще долгое время широкая гуманитарная образованность считалась обязательной для университетского математика.

Ко времени учебы Елены Сергеевны петербургская математическая школа приобрела мировую известность. Имена П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова 11 навсегда вошли в историю мировой математики. С общественно-политической точки зрения петербургскую математическую школу, по мнению историков математики, отличали «позитивизм, либеральный демократизм и антимонархизм» 12 . Одновременно с Еленой Сергеевной в университете учились многие будущие выдающиеся математики - Исидор Натансон, Дмитрий Фаддеев 13 и ряд других, ставших известными учеными.

Нельзя сказать, что образование в университете было систематическим и подчиненным строгим правилам: кроме стандартных курсов читались иногда весьма специальные, изюминкой которых было то, что лектор досконально знал все нюансы излагаемой теории, а зачастую был ее автором. Русских учебников по многим курсам не существовало, и часто студенты готовились к экзаменам по книгам на иностранных языках - никого не интересовало, знает ли студент иностранный язык: надо - учи! Отчисляли неуспевающих студентов безо всякой жалости.

Математические курсы в университете читали выдающиеся математики-педагоги того времени. Математический анализ преподавал Григорий Михайлович Фихтенгольц (1888 - 1959), известный своим замечательным трехтомным учебником «Курс дифференциального и интегрального исчисления», пере-издающимся и по сей день. Он не только сообщал студентам математические факты, но и учил их рассказывать, предлагая изложить содержание какой-либо темы за 20 минут, а затем, усложняя задание, - за 10 минут. В это-м упражнении Елена Сергеевна показывала наилучшие результаты. Надо отметить, что и в университет приходили малограмотные «красные профессора» руководить процессом образования: один из таких горе-профессоров, некто Лейферт, читал курс «красных» интегралов, используя для этого инженерный справочник по математике, формулы из которого одобрялись голосованием студентов; при этом не все формулы ему удавалось правильно изобразить на доске - если с латинскими буквами «красный профессор» кое-как справлялся, то греческие «буржуазные» ему никак не давались. Впрочем, этого горе-профессора вскоре вновь сменил Г. М. Фихтенгольц.

На факультете преподавала Надежда Николаевна Гернет (1877 - 1943), ученица Давида Гильберта 14 , вторая в России (после Софьи Васильевны Ковалевской) женщина-математик с ученой степенью доктора. Она не только заражала студентов своей страстью к математике, но и как могла опекала их, частенько подкармливая и успокаивая чем-то расстроенных учеников. Н. Н. Гер-нет скончалась в блокадном Ленинграде от дистрофии.

Геометрические курсы читал Борис Николаевич Делоне (1890 - 1980) - член-корреспондент АН СССР (1929), специалист по алгебре, теории чисел, математической кристаллографии, спортсмен-альпинист, позднее долго работавший в Московском университете 15 .

К этим именам можно добавить Г. В. Колосова (1867 - 1936) - члена-корреспондента АН СССР (1931), специалиста по механике твердого тела и машиноведению, И. И. Иванова (1862 - 1939) - также члена-корреспондента АН СССР (1924).

Руководителем дипломной работы Елены Сергеевны был Иван Матвеевич Виноградов (1891 - 1983), позднее академик АН СССР (1929), лауреат Сталинской премии (1941), дважды Герой Социалистического Труда (1945, 1971), с 1932 года - директор Математического института АН СССР. К сожалению, серьезного научного контакта не получилось. «Дипломную свою работу я писала формально под руководством И. М. Виноградова, но он ни разу ее не просмотрел ине обнаружил в ней ошибку (не криминальную!), которую я нашла самостоятельно год спустя» 16 .

Теорию вероятностей, ставшую впоследствии основным направлением научной и педагогической работы Елены Сергеевны, читал Андрей Митрофанович Журавский (1892 - 1969) 17 . Этот человек не скрывал своего отрицательного отношения к происходящим в стране изменениям, но не покинул Россию, хотя имел такую возможность. Он преподавал в различных вузах Ленин-града, участвовал в связанных с обороной научных разработках. В 1942 го-ду Журавский был арестован по «делу Союза старой русской интеллигенции». А. И. Солженицын сообщает об этом: «Профессор математики Журавский просил на выезд из Ленинграда три места в самолете: жене, больной свояченице и себе. Ему дали два, без свояченицы. Он отправил жену и свояченицу, сам остался. Власти не могли истолковать этот поступок иначе как то, что профессор ждал немцев. 58-1-а через 19-ю, 10 лет» 18 . Позднее в своем рассказе «Хозяева жизни» И. Грекова описала подобную историю.

В 1929 году Елена Сергеевна получила университетский диплом математика с правом преподавания этого предмета в средней и высшей школе и нача-ла работать в неком «Остехбюро», параллельно ведя занятия в ленинград-ских учебных заведениях - Техникуме печати и различных вузах. Поддерживавший с ней дружеские отношения А. М. Журавский рекомендовал ее на работу вычислителем в Артиллерийской академии, к Димитрию Александровичу Вентцелю (1898 - 1955). Как оперный Мефистофель, Журавский напутствовал девушку: «Только смотрите не увлекитесь!» Почти то же было сказано и Д. А. Вентцелю. Через несколько месяцев молодые су-пруги пришли в гости к Андрею Митрофановичу.

Д. А. Вентцель родился в Москве в семье потомственного дворянина, инженера-путейца, строившего Павелецкую железную дорогу. В силу служебных обязанностей отца семья часто меняла место жительства. Д. А. Вентцель учился в немецкой гимназии в Риге, затем в Реформатском училище в Петербурге. В 1916 году он поступил на физико-математический факультет Петроградского университета. В университете Д. А. Вентцель проучился всего один год, был призван на военную службу и направлен в Константиновское артиллерийское училище. После окончания ускоренного курса Константиновского училища Вентцель всоставе артиллерийских войск в чине прапорщика был отправлен на фронт, где находился до 1918 года. Вернувшись из армии в Петроград, Д. А. Вентцель приступил к занятиям, но не в университете, а в Институте путей сообщения, куда он перевелся осенью 1918 года. В Путейском институте он проучился только один год, так как в 1919 году поступил в Артиллерийскую академию РККА в Петрограде, созданную на базе Михайловской артиллерийской академии, которую и окончил в 1922 году по первому разряду. После окончания академии он был оставлен адъюнктом, а затем был назначен старшим преподавателем.

В дальнейшем Димитрий Александрович стал крупнейшим специалистом в теории артиллерийской стрельбы, автором учебников по внешней (1939) и внутренней (1948) баллистике, вице-президентом Академии артиллерийских наук, одним из организаторов факультета авиационного вооружения в Военно-воздушной инженерной академии имени Н. Е. Жуковского. Он внес также весомый вклад в теорию стрелкового и ракетного оружия, в создание унитарного патрона. Не участвуя официально в атомном проекте, Д. А. Вент-цель поставил своему адъюнкту Е. И. Забабахину задачу по определению параметров сходящихся сферических детонационных волн. Как писал Р. С. Сар-кисян: «Успешное завершение этой работы совпало с процессом разработки в соответствующих организациях ядерного оружия имплозивного типа, и результаты, полученные Е. И. Забабахиным, были сразу же внедрены в практику расчетов этого вида боеприпасов» 19 . Е. И. Забабахин (1917 - 1984), ученик профессора Вентцеля, стал действительным членом Академии наук СССР, лауреатом Ленинской премии, Героем Социалистического Труда.

Несмотря на все эти заслуги, жизнь независимого, смелого и острого на язык Д. А. Вентцеля, как и многих других выдающихся людей его времени, прошла в тревогах и неприятностях, а порой висела на волоске. Вот что пишет генерал Д. И. Гладков: «Общественно-политическую работу откровенно не любил. Тем самым привлекал к себе недоброе внимание соответствующих деятелей факультета и академии. Взаимная нелюбовь не проходила бесследно для талантливого человека и крупного ученого» 20 . Из воспоминаний академика Н. Н. Моисеева: «Он [Д. А. Вентцель] рассказывал мне о том, сколь дорого ему обходилась эта смелость - он всю жизнь больше всего на свете боялся ареста и считал, что это было чудо - воистину чудо, что его так ни разу и не посадили» 21 . Сама Елена Сергеевна писала: «Как забыть грозный ночной стук сапогов по лестнице (уж не за нами ли?). Как забыть вздох облегчения, когда шаги проходили мимо? Не за нами, значит, на этот раз?» 22

Елена Сергеевна и ее семья не подвергались репрессиям, но о репрессиях им было известно не понаслышке. Еще в молодости, работая в «Остехбюро», Елена Сергеевна подружилась с Вероникой Евсеевной Вульфович, позднее вышедшей замуж за полярника Константина Александровича Дублицкого 23 , который успешно провел ледокол «Федор Литке» Северным морским путем, после чего был арестован; арестовали и его супругу как ЧСИР (член семьи изменника Родины). Увидела ее позднее Елена Сергеевна только в больнице, умирающей. «Чуть ли не накануне своей смерти она подняла теневую свою руку и сказала: └Вот что они со мной сделали!” А я уже и тогда ненавидела смертной ненавистью ту пародию на └социализм”, которую нам устроил Сталин…» 24 - вспоминала Елена Сергеевна.

В 1952 году по некоторым безошибочным признакам казалось, что арест неминуем, но, к счастью, в это время работа Д. А. Вентцеля была отмечена Государственной премией, и угроза отступила. Тем не менее интриги в Академии им. Н. Е. Жуковского, где он тогда работал, продолжались. Созданную Вентцелем кафедру баллистики реорганизовывали, делили, а его самого отстранили от руководства кафедрой. Димитрий Александрович скоропостижно умер от сердечного приступа в 1955 году, в тот день, когда Елена Сергеевна хоронила мать.

В 1935 году в связи с назначением Д. А. Вентцеля (в звании бригинженера) начальником кафедры авиационной баллистики в Военно-воздушной инженерной академии РККА им. Н. Е. Жуковского семья, в которой уже была дочь Татьяна, переехала в Москву. Е. С. Вентцель была принята на должность начальника вычислительного бюро артиллерийского факультета. Так что сыновья Александр и Михаил родились в Москве. Забегая вперед, сообщим, что Татьяна долгие годы была доцентом МГУ на кафедре дифференциальных уравнений, Александр стал признанным специалистом по теори-и случайных процессов, доктором физико-математических наук, преподавал в МГУ, а теперь он профессор университета Тулейн в Нью-Орлеане, Михаил окончил Академию им. Н. Е. Жуковского и работал военным инженером-радиотехником. В 1990 году его жизнь безвременно оборвалась после нескольких лет тяжелой болезни.

В течение тридцати трех лет научная и преподавательская деятельность Елены Сергеевны была связана с ВВИА им. Н. Е. Жуковского. Работая в вычислительном бюро, Елена Сергеевна руководила недавними выпускниками школ, делавшими вычисления на арифмометрах. Задачей руководителя было таким образом организовать работу, чтобы вычислители, действуя по простым алгоритмам, могли быстро и достаточно точно рассчитывать заданные величины, и при этом возможные ошибки вычислений (человеческий фактор) не должны были влиять на окончательные результаты.

Одновременно с руководством вычислительным бюро Елена Сергеевна начинает преподавать в академии - с 1939 года ассистентом, с 1940-го - преподавателем. В 1941 году академия была эвакуирована в Свердловск. В тя-желых условиях эвакуации на плечи Е. С. легла забота о муже, троих детях и Ольге Дмитриевне, вывезенной из блокадного Ленинграда (Сергей Федорович умер во время блокады). В этих труднейших обстоятельствах Елена Сергеевна продолжала заниматься научной работой и в 1944 году защитила кандидатскую диссертацию. Из воспоминаний А. А. Раскиной: «Я [рассказывала Е. С.] писала кандидатскую диссертацию во время войны, на кухне, ночью, при свете свечи» 26 .

В 1947 году Е. С. Вентцель перешла на должность старшего преподавателя. Через десять лет после кандидатской защиты она стала доктором техниче-ских наук (в числе оппонентов был академик А. Н. Колмогоров 27) и вскоре после докторской защиты была избрана профессором. В 1955 году Е. С. Вен-т-цель получила аттестат профессора по кафедре воздушной стрельбы.

У слушателей академии остались яркие воспоминания о лекциях Елены Сергеевны, отличавшихся ясностью и продуманной последовательностью изложения, образностью и юмором.

В первый период исследовательской деятельности научные интересы Е. С. Вентцель были сосредоточены на применении вероятностных методов в целях повышения точности воздушной стрельбы и бомбометания, а также совершенствования способов пристрелки авиационного вооружения.

В послевоенные годы научная работа Елены Сергеевны была связана с объективной оценкой эффективности различных видов вооружения, боеприпасов и способов организации огневых средств при стрельбе по летящим объектам. При этом возникали две проблемы - организация испытаний и обработка результатов испытаний. По предложению академика А. Н. Колмогорова за критерий эффективности ПВО была взята вероятность поражения воздушной цели, вычисляемая с помощью распределения вероятностей точек разрыва снаряда в окрестности цели и условных вероятностей уничтожения цели, зависящих от точки, в которой произойдет этот разрыв 28 . Е. С. Вентцель входила в группу военных специалистов, организованную Евгением Васильевичем Золотовым 29 (в повести «За проходной» он послужил прототипом Мегатонны) для практической реализации подхода Колмогорова. Эта работа потребовала многомесячных выездов на полигоны и кропотливых, а порой и небезопасных экспериментов. Елена Сергеевна лично участвовала в таких испытаниях, и она, единственная женщина среди множества мужчин-офицеров, не терялась в самых сложных ситуациях и при этом еще всегда была женственна и элегантна. «Я всю жизнь жила под давлением одной и той же мысли: └Не быть хуже мужчин! Не отстать от них, чего бы это не стоило!” Эта идея не помешала мне вовремя выйти замуж, родить троих детей, но все это было как бы аккомпанементом к моей подлинной жизни. Она была - в └Деле”, как я его теперь понимаю. Быть в жизни равной с мужчинами, кое в чем даже превосходить их - вот что было моим флагом, девизом моей юности, зрелости, отчасти поздних лет» 30 .

В дальнейшем Елена Сергеевна занималась более общими вопросами тактики воздушного боя и способами организации средств ПВО. В Соединенных Штатах к решению насущных задач ВВС были привлечены крупнейшие математики, собранные в исследовательской организации «RAND Corporation». В процессе этой работы сформировался цикл прикладных математических дисциплин, объединенных названием «исследование операций». Профессор И. Б. Погожев так описывает эту ситуацию: «Книгу Ф. Морз, Д. Кимбелл └Методы исследования операций” [М., └Советское радио”, 1956] перевел с английского друг Е. С. Вентцель - ИгорьАндреевич Полетаев. Он же дал к ней важные свои комментарии. Использование названия книги для обозначения нашего нового научного направления было связано с не-отразимым аргументом эпохигонки вооружений:└У американцев это уже есть, надо и нам от них не отстать”. Известно, что и американцы в подобных ситуациях поступали так же» 31 . Именно в эту область сместились научные интересы Е. С. Вентцель.

Уже с 1941 года Елена Сергеевна начала свои научные публикации, многие из которых проходили под грифом «секретно». Кроме статей в научных изданиях в 1961 году вышла монография Е. С. Вентцель, Ю. Х. Мильграма, Я. М. Лихтерова, И. В. Худякова «Основы теории боевой эффективности и исследования операций». Издавались также учебные пособия, первым из которых в 1947 году был учебник «Воздушная стрельба» объемом в 35 печатных листов (в соавторстве с Б. В. Вороновым и Ю. А. Кочетковым). Но на-и-большую известность Е. С. Вентцель принесла ее «Теория вероятностей», и по сей день остающаяся непревзойденным руководством для инженеров и студентов. После нескольких внутренних изданий ВВИА в 1958 году эта книга была выпущена «Физматгизом» и стала доступна широкому кругу читателей. С тех пор на русском языке регулярно выходят переиздания этого замечательного учебника. Книга была переведена на немецкий, польский, французский, испанский и английский языки.

«Думаю, популярность моих учебников и монографий связана с тем, что они написаны, так сказать, └пером романиста”» 32 .

Прежде всего надо отметить язык книги. Ясный и живой русский язык, прозрачные и динамичные фразы притягивают читателя и подчиняют его авторской воле. «Пишет так, что ее не только люди, но и начальство понимает», - говорил один из сослуживцев Елены Сергеевны. Другим важнейшим обстоятельством является точное знание психологии человека, впервые систематически изучающего теорию вероятностей. Такое впечатление, что автор все время слышит вопросы, возникающие у читателя, и тут же отвечает на них. Еще одна особенность книги. Многие математические труды построены так, что первые главы содержат только вспомогательные утверждения, а основ-ные факты излагаются в самом конце. Поэтому частичное или выборочное изучение материала лишено смысла. Прервав на любой главе изучение «Теории вероятностей» Е. С. Вентцель, читатель остается с законченной суммой знаний определенного уровня.

За счет своеобразной структуры и большого числа содержательных примеров учебник исподволь приучает читателя к методологии практического применения вероятностных методов.

Само отношение Е. С. к теории вероятностей и ее приложениям можно описать фразой Пьера Симона Лапласа 33: «Вероятность - это уточненный здравый смысл».

Большой отклик в инженерной среде нашли работы Е. С. Вентцель по исследованию операций, особенно книга «Исследование операций» (1972), суммирующая цикл работ по линейной оптимизации, динамическому программированию, теории игр, теории массового обслуживания и смежным вопросам.

После выхода в свет первого издания «Теории вероятностей» в ВВИА потянулся поток инженеров для консультаций по приложениям теории вероятностей в конкретных инженерных задачах. Желающих проконсультироваться было так много, что коллеги Елены Сергеевны не в шутку задумывались о введении дополнительной ставки преподавателя-консультанта для работы с инженерами.

Общее мнение инженерно-технической общественности прекрасно выражено в частном письме военно-морского инженера Н. В. Лапцевича: «Не хочу никого обижать, но ее учебники по теории вероятностей и исследованию операций воспринимались мной, в ряду других пособий в этих областях, как живые, с богатой кроной деревья среди серого сухостоя. Они принадлежат к тем, к сожалению, очень редким шедеврам, прорабатывая которые испытываешь не натужные усилия вникнуть в смысл прочитанного, а радость узнавания и чувство благодарности автору… Именно Елене Сергеевне я обязан тем, пусть немногим, чем я владею в этих областях».

Но не только наукой и преподаванием жила Е. С. Вентцель.

Во время работы в ВВИА около Елены Сергеевны образовался кружок офицеров и ученых, неравнодушных к острому слову, издавалась стенная газета «РС», что можно было расшифровать как «Разящая Сатира» или «Реактивный Снаряд». В стенгазете публиковались острые карикатуры, дружеские шаржи, стихи и проза сотрудников ВВИА. Рисунки, как правило, принадлежали М. Герштейну, сотруднику академии и талантливому художнику, другу Кукрыниксов. Многие подписи сделаны Еленой Сергеевной. Например, дружеский шарж на Д. А. Вентцеля сопровождался таким четверостишием:

Боец без страха и упрека,
Враг конъюнктуры и покоя,
Он жил и чувствовал широко,
Любил он в жизни все земное!

В конце концов участники «РС» составили и издали альманах «Улыбнитесь», включавший в себя наиболее интересные материалы из стенгазеты. По причинам, которые сегодня трудно понять, реакция политорганов была крайне резкой: изъять все экземпляры альманаха и уничтожить. Разошедшиеся экземпляры изымали с помощью писем из парткома ВВИА, например таких:

УВАЖАЕМЫЙ ТОВАРИЩ

Хмара-Миронов П. Ф.!

Просим Вас в кратчайший срок вернуть по адресу:

Москва, А-167, ул. Серегина, 3/5, 2 факультет, партком

альбом «Улыбнитесь» / 1 экз. /, который в соответствии

с решением парткома подлежит уничтожению.

Одновременно с этим письмом высылаем Вам 6 руб.,

уплаченных Вами за 1 экз. альбома.

СЕКРЕТАРЬ ПАРТИЙНОГО КОМИТЕТА

2-го ФАКУЛЬТЕТА

Как рассказывал П. Ф. Хмара, слушатель ВВИА, военный инженер, поэт и писатель, «каждому из бывших владельцев были возвращены 6 рублей, за которые альманах был ими куплен. Мне эти деньги были присланы почтой. Я их почтой же возвратил, а книгу оставил себе» 34 .

Сохранился экземпляр альманаха и у Е. С. Вентцель, которая к тому времени уже ушла из ВВИА. У действующих сотрудников академии альманах был изъят, и сваленные в кучу экземпляры были сожжены во дворе ВВИА. Вот такое аутодафе в вузе, где учились космонавты.

Лишь ближайшие родственники и самые верные друзья знали, что Елена Сергеевна пишет не только для стенгазеты, но и «для внутреннего пользования». Уже в начале шестидесятых друзья читали рассказы «Хозяева жизни», «Под фонарем», роман «Свежо предание». Весной 1961 года была написана повесть «За проходной».

Об истории первой художественной публикации Е. С. рассказывает А. А. Раскина: «Е. С. [эту повесть] написала специально для мамы [Ф. А. Виг-доровой], что называется, для внутреннего пользования, чтобы мама познакомилась с ее, Елены Сергеевны, средой, с ее любимыми научными работниками, технарями … Мама рассказ Анне Самойловне Берзер отнесла, той понравилось, в └нужный момент” она его Твардовскому подсунула, и ему тоже понравилось - а пролежал он в журнале год! Хотя и написал Александр Трифонович на рукописи: └Автора нужно иметь в виду на будущее. У него есть перо”… Когда └За проходной” все же собрался Твардовский печа-тать, встал вопрос о псевдониме. Е. С. с самого начала решила жестко разграничить эти две свои ипостаси - писателя и ученого (причем преподавателя военной академии)… Сидели дома, в столовой, и всей семьей ломали голову над этой проблемой. Шли от имени Елена. Еленина? Еленская? Таня Вентцель вспомнила троянскую Елену и говорит: Елена Грекова? И тут-то Е. С. вдруг воскликнула: └Игрeкова!” И сразу стало ясно, что так тому и быть» 35 .

В 1962 году в журнале «Новый мир» появилась повесть, подписанная «И. Грекова». Под этим псевдонимом были опубликованы все художественные произведения Елены Сергеевны и ряд публицистических статей.

Творческий контакт с «Новым миром» продолжился. Редактор журнала Калерия Николаевна Озерова писала: «<...> в 1963 году редакция получила от автора новый рассказ └Дамский мастер”, который уже вообще всех по-корил» 36 .

В 1966 году вышел сборник рассказов И. Грековой «Под фонарем», в этом же году ее приняли в Союз писателей. А через год в «Новом мире» была опубликована ее повесть «На испытаниях». Местом действия был хорошо знакомый Е. С. испытательный полигон, а прототипами ряда персонажей - очень дорогие Елене Сергеевне люди (Д. А. Вентцель - Сиверс, В. Б. Соколовский - Скворцов…). Написана повесть со всем блеском русского реализма. Читателей она захватила, особенно тех, кто был знаком с военным бытом начала пятидесятых. Однако какому-то по сей день неизвестному высокопоставленному чиновнику, скорее всего от идеологии, повесть не понравилась. Где-то кем-то было сказано «ату!», и началась заведенная еще со сталинских времен проработочная истерия («Огонек», «Литературная газета», «Красная звезда», «Русская речь», «Молодая гвардия» - в общей сложности «более 20 ругательных статей», как подсчитала сама Елена Сергеевна). Это были разгромные рецензии с обвинениями в идейной порочности, художественной слабости, в клевете на вооруженные силы и даже на русский народ (вероятно, подлинная фамилия автора ввела «критиков» в традиционный соблазн).

Как вспоминал И. Б. Гутчин 37 , в академии организовали партийное собрание (Елена Сергеевна никогда в партии не состояла), на котором приняли решение: считать произведение идейно порочным и находящимся на низком художественном уровне.

Елена Сергеевна Вентцель была вызвана «на ковер» к заместителю начальника академии по политической части. Хозяин кабинета заявил: «Я хочу поговорить с вами не как генерал и заместитель начальника академии с преподавателем, а как читатель с писателем». Елена Сергеевна в привычном лекторском темпе, «под конспект», медленно и раздельно, ответила: «Первый раз в жизни меня вызвали к читателю», на что генерал проницательно заметил: «Видно, разговор у нас не получится».

Руководство ВВС и ВВИА не смело противоречить партийному разгулу.

Тогда Елена Сергеевна обратилась за поддержкой к литературной общественности. 16 февраля 1968 года было организовано обсуждение повести на заседании партбюро творческого объединения прозы московской писатель-ской организации Союза писателей РСФСР с участием бюро творческого объединения прозы СП и приглашенных литераторов, читателей, политработников ВВС и ВВИА (заместитель начальника Политуправления ВВС, начальник политотдела Владимирского полигона и ряд офицеров полигона, доставленных спецрейсом в Москву, руководители общественно-политических кафедр академии). Всего присутствовало человек шестьдесят-семьдесят. В стенограмме зафиксировано 27 выступлений.

Знакомство со стенограммой этого драматического заседания (ныне фрагментарно опубликованной в сборнике к столетию со дня рождения И. Грековой) приводит к мысли, что имело место не обсуждение, а нечто похожее на столкновение двух галактик - настолько далекими друг от друга были мотивы, критерии оценки и полемические приемы противников и сторонников Е. С. Вентцель.

Вот образчик партийной критики:

«На первом плане мы видим будку с буквой └М”, ветер уносит будку с └М”, а кучи остаются, окорока воняют рыбой <…> и дальше идет этот └букет” до самого конца. <…>

Считаю, что редакция журнала └Новый мир” поступила весьма плохо перед нашим обществом, опубликовав эту порочную в идейном и удивительно слабую, натуралистическую в художественном отношении вещь.

Мало было безграмотно очернить произведение, надо было еще до предела унизить автора, требуя публично отречься от своего детища, как в тридцатые годы дети отрекались от родителей, а жены - от мужей.

В ответ были выступления писателей, критиков, участников испытаний, достойные по форме и наполненные серьезной аргументацией. Среди тех, кто встал на защиту Е. С., были писатели (К. И. Чуковский, И. З. Вергасов, Г. С. Березко, А. М. Борщаговский, А. А. Крон, Н. И. Ильина), литературоведы и критики (Т. Л. Мотылева, Ф. Ф. Кузнецов, Ф. М. Левин), известный детский хирург профессор С. Я. Долецкий и еще ряд ученых и литераторов.

Следует особо отметить выступления офицеров-ученых, поддержавших И. Грекову решительно и бескомпромиссно: подполковника О. Бялковского, крупнейшего специалиста в области авиационно-космической медицины генерал-майора О. Г. Газенко, Героя Советского Союза, летчика-испытателя М. Л. Галлая, подполковника И. Б. Погожева, полковника В. Б. Соко-ловского.

От редакции «Нового мира» вступил в полемику заместитель главного редактора В. Я. Лакшин: «Наши некоторые газеты и журналы выступили с критикой этой повести, и пошел огромный поток почты, причем на 90% положительный. Люди возмущены тем проработочным, грубым и бездоказательным тоном, каким разговаривают с писателем со страниц └Красной звезды”, └Молодой гвардии” <…>». Лакшин прочитал письмо, подписанное академиком А. Д. Александровым и группой известных ученых из Новосибирска.

Единство писателей и литературных критиков произвело впечатление на команду политработников. Встретив единодушный отпор, генерал из Полит-управления «сбавил обороты» и даже простодушно признал провал своих намерений: «Я хочу выступить не как официальное лицо, а как читатель и участник того большого разговора, который здесь состоялся вокруг повести Грековой └На испытаниях”. <…> Мы собирались обсудить повесть Елены Сергеевны, а началось что? Вышли за пределы этого обсуждения… И в результате не получилось того, что нам хотелось…»

В заключительном слове Елена Сергеевна сказала: «Я в Союзе писателей всего год, в отличие от того, сколько лет я в армии, я нашла здесь такое сочувствие и такую поддержку, что я глубоко тронута отношением, которое здесь встретила».

Несмотря на подавляющий перевес положительных оценок повести, как во время этого обсуждения, так и в читательской почте, И. Грекову перестали печатать. В 1972 году Е. С. писала: «Отношение ко мне определяется полным фактическим умалчиванием и совершенной невозможностью что бы то ни было напечатать. <...> В общем, можно считать, что из числа действующих писателей я фактически выбыла. Меня это не слишком огорчает, потому что у меня есть другой род деятельности» 38 .

Подошел срок проводимого в вузах раз в пять лет конкурса на право занятия должности профессора. Политруководство ВВИА усиливало давление на Елену Сергеевну и ее единомышленников, друзей, а также на членов Ученого совета, решавших судьбу профессора Вентцель. Несмотря на это весной 1968 года Е. С. Вентцель тайным голосованием была переизбрана на очередной пятилетний срок. Из воспоминаний И. Б. Гутчина: «Говорят, что когда подсчитали голоса Ученого Совета, то оказалось, что 50 голосов было └за” Вентцель и только один - └против”» 39 . На следующий день после конкурса Елена Сергеевна подала заявление об увольнении и по приглашению известных математиков Ф. И. Карпелевича (1927 - 2000) и Л. Е. Садовского (1916 - 1988) перешла на кафедру вычислительной математики Московского института инженеров транспорта.

В этом же году Елене Сергеевне пришлось пережить еще один болезненный удар. Вместе с Александром Галичем она написала пьесу «Будни и празд-ники» по мотивам повести «За проходной». Пьесу поставил МХАТ, и спектакль шел с большим успехом. Однако через полгода пьесу запретили. На этот раз партийное руководство было недовольно некоторыми песнями Галича. Позднее Е. С. Вентцель писала: «И мне жаль этот убитый спектакль, как живого человека» 40 .

Впоследствии Галича исключили из ССП. Будучи сама в опале, Елена Сергеевна пыталась ходатайствовать за Галича перед секретарем Союза писателей генералом КГБ Ильиным. В конце концов А. Галича выслали из СССР. А. А. Раскина так описывает эти события: «Когда Галич уезжал, Е. С. воспринимала это очень тяжело. Пошла прощаться к ним домой и, вернувшись, упала в обморок: мы с Сашей еле успели ее подхватить. <…>

На прощание она подарила ему свой крестильный крестик. Галич уезжал с этим крестиком на груди. Таможенники не пропускали его, потому что он был серебряный. Но Галич заявил, что его этим крестиком крестили и он без него никуда не поедет. Блефовал, конечно, но сработало: пропустили. Уж очень власти хотели от него поскорее избавиться». На вечере памяти Александра Галича в 1987 году Елена Сергеевна говорила, что «с этим крестиком его и похоронили» 41 .

Она не участвовала непосредственно в диссидентском движении, но когда ее любимый ученик Миша Файнберг на много месяцев лишился работы, подав заявление на выезд из СССР, Елена Сергеевна немедленно оформила его своим секретарем по линии Союза писателей. Тем самым уберегла его от модного в те времена обвинения в тунеядстве.

Когда началась травля Солженицына, Е. С. от себя лично послала письмо протеста в правление Союза писателей против исключения Солженицына из ССП.

В архиве КГБ за 1987 - 1988 годы была обнаружена следующая запись: «По указанию КГБ СССР подготовлены и доложены справки в отношении И. Грековой, Т. Толстой, Э. Кардина, В. Кондратьева, И. Дедкова, А. Стреляного» 42 .

Вернемся в 1968 год. Созданная профессорами Ф. И. Карпелевичем и Л. Е. Садовским в Московском институте инженеров железнодорожного транспорта (МИИТ, ныне Московский государственный университет путей сообщения) кафедра, на которую перешла Елена Сергеевна, представляла собой уникальный научно-педагогический коллектив, неформальный центр инженерного математического образования в Советском Союзе. Очень сильным был и состав студентов на специальности «прикладная математика». Елена Сергеевна оказалась в дружеской творческой атмосфере. С 1968 по 1974 год Елена Сергеевна работала штатным профессором, а с 1974 по 1982 год - профессором-консультантом кафедры, получившей к тому времени наименование кафедры прикладной математики.

Естественно, Елена Сергеевна не бросала занятий наукой. В миитовский период она опубликовала ряд работ по применению математических методов в управлении железнодорожным транспортом. Совместно с Л. А. Овчаровым она подготовила два новых учебника по теории вероятностей и случайным процессам, а также ныне чрезвычайно популярный задачник по теории вероятностей. Эти учебные пособия также были переведены на многие языки и изданы миллионными тиражами в нашей стране и за рубежом. В эти же годы была написана и опубликована уже упомянутая прекрасная монография «Исследование операций».

Е. С. Вентцель организовала Студенческое консультационное бюро (СКБ). Научные работники и аспиранты инженерных кафедр приходили консультироваться по вопросам математического моделирования технических процессов и устройств. Студенты-математики получали ценнейшие навыки прикладных исследований, а инженеры - реальную помощь в решении своих задач.

Будучи прекрасным лектором, Елена Сергеевна тем не менее считала, что основой высшего образования является индивидуальная работа преподавателя со студентом во время руководства курсовым и дипломным проектированием или путем привлечения студентов к научной работе кафедры. Многие из тех, кому в студенческие годы посчастливилось работать под руководством Е. С. Вентцель, стали авторами серьезных научных трудов.

На годы работы в МИИТе приходится и большая часть ее публицистических выступлений по актуальным вопросам высшего образования, по методологии прикладной математики, по характерным особенностям современной научной жизни.

В одной из статей Елена Сергеевна обсуждала вопрос о том, кем должны быть преподаватели высшей школы. Дело в том, что иногда выдающийся ученый оказывается посредственным преподавателем и, наоборот, блестящий преподаватель не имеет существенных достижений в науке. Но для того, чтобы занимать должность доцента или профессора, преподаватель должен иметь кандидатскую или докторскую ученую степень. Так, может быть, следует развивать практику присвоения степеней кандидатов и докторов педагогических наук преподавателям, достигшим высоких результатов именно в деле преподавания той или иной дисциплины?

Список научных трудов Е. С. Вентцель насчитывает около семидесяти открытых и шестидесяти закрытых работ, общий объем которых приближается к трем сотням печатных листов.

Елена Сергеевна Вентцель уволилась по собственному желанию из МИИТа в 1982 году. На заявлении об увольнении стоит виза заведующего кафедрой профессора Л. Е. Садовского: «Согласен. Но крайне сожалею».

Те, кому посчастливилось в эти годы общаться с Еленой Сергеевной, навсегда сохранят в памяти ее огромное обаяние, безупречную и бескомпромиссную порядочность, удивительную работоспособность, глубокую эрудицию, педагогическое мастерство, широту кругозора и тонкий юмор. Елену Сергеевну помнят в МИИТе - и те, кто с ней работал, и те, кто у нее учился, и те, кто читал ее книги. В МИИТе учреждена именная стипендия имени Е. С. Вентцель.

Миитовские годы Е. С. были отмечены и напряженным литературным трудом, несмотря на то что с 1966 по 1980 год в СССР не вышло ни одного отдельного издания произведений И. Грековой (кроме двух детских книжек с навязанным издательством псевдонимом Ирина Николаевна Грекова). В эти- годы были написаны «Маленький Гарусов», «Вдовий пароход», «Хозяйка гостиницы», «Кафедра». Выходили в свет переводы ее повестей и рассказов на венгерский, польский, немецкий, словацкий, болгарский, швед-ский, датский, финский и английский языки. Все-таки в журнале «Звезда» в 1970 году вышел «Маленький Гарусов», а в 1976-м - «Хозяйка гостиницы». «Новый мир» опубликовал в 1978-м «Кафедру» и в 1981 году повесть «Вдовий пароход». По повести «Кафедра» был поставлен телевизионный фильм.

Инсценировку совместно с П. Лунгиным повести «Вдовий пароход» первоначально поставил Государственный русский драматический театр Литов-ской ССР (1983), а потом Театр им. Моссовета (1984, в сценической редакции театра). И поныне «Вдовий пароход» идет на сценах театров России и бывших республик СССР. А совсем недавно, в 2003 году, вышел на экраны фильм С. Говорухина «Благословите женщину» по повести «Хозяйка гос-тиницы».

После ухода с работы Елена Сергеевна почти целиком посвятила себя литературе и публицистике. Был написан роман «Пороги», повести «Фазан» и «Перелом», изданы пять сборников произведений И. Грековой, напечатаны большие публицистические статьи в «Литературной газете», «Московских новостях», «Литературном обозрении» и других изданиях.

Между тем горестно показательна история публикации некоторых ее произведений. Рассказ «Без улыбок» написан в 1970 году, опубликован в 1986-м. «Вдовий пароход» был написан не позднее 1972 года, появился в печат-и в 1981-м. Рассказ «Хозяева жизни» написан не позднее 1960 года, напечатан в 1988-м. Роман «Свежо предание» был представлен в редакцию «Нового мира» в 1962-м, опубликован в 1995-м (и то в американском издательстве «Hermitage Publichers», а в России - в 1997-м). Как заметила Руфь Зернова, пролежал былинный срок - тридцать лет и три года.

В письме к Л. С. Левитан и Л. М. Цилевичу о своих трудностях с публикациями Елена Сергеевна рассказывала так: «Последние полтора года я пытаюсь напечатать новую свою повесть под названием └Вдовий пароход” - и безуспешно. Несколько журналов совсем было ее └взяли”, но, как только заходила речь о └переработке”, я говорила └этого я не могу”, брала под мышку свое детище и уходила, даже с чувством облегчения - слава Богу, не придется резать, кромсать по живому. Конечно, если бы я жила на литературные гонорары, я была бы сговорчивее…» 43 Действительно, для Елены Сергеевны литературные занятия не были единственным источником существования, предметом карьеры и самоутверждения в конкурентной среде. Это достав-ляло ее художественному творчеству ту «тайную свободу», о которой говорил Блок.

На склоне лет она писала: «Теперь я благодарю Бога за то, что он уберег меня от литературы… Там, как и в любой гуманитарной науке того времени, необходимо было └лгать” в той или в другой форме. А нам, математикам, └жить не по лжи” давалось просто. Пробраться через частокол формул было настолько трудно, что никто (кроме самых бездарных) не профанировал науку.

А Сталин (при всей своей необразованности почти во всех науках) умел └делать вид”, что кое-что понимает. До математики он, слава Богу, не до-брался. Хотя, черт его знает - проживи он несколько дольше - возможно, добрался бы и до математики. Так и вижу заголовок в газете: └Об идеологических извращениях на нашем математическом фронте”» 44 .

Елене Сергеевне было присуще какое-то органическое чутье истинности. В годы перестроечной эйфории она предупреждала: «Непродолжителен был этот нэп, промелькнул - и нет его. У нас принято часто вспоминать то время. Логика простая: └Если было возможно тогда, почему невозможно тепе-рь?” Нет, история себя не повторяет. За 72 года нашей полной безнравственности успел сформироваться тип бесстыдного хапуги, не стесненного ну никакой нравственностью. В начале 20-х годов облик бесстыжего └жлоба” еще не приобрел таких страшных черт, которые есть у него теперь» 45 . Это было написано в 1989 году.

Роман «Свежо предание» обычно представляют как повествование о государственном антисемитизме начала пятидесятых годов прошлого века. По сюжету это действительно так. На самом же деле это прежде всего роман о России, о русской цивилизации, о той угрозе, которая нависает над этой цивилизацией, когда силы отталкивания становятся намного больше сил притяжения. Елена Сергеевна считала, что публикация безнадежно запоздала. Не-обратимый исход состоялся, и потери невосполнимы. Но все снова и снова повторяются пароксизмы отторжения теперь уже других национальностей и культурных своеобразий. И тридцать три года пролежавший под спудом роман становится тревожным предупреждением, преданием о будущем. Услышат ли этот тревожный сигнал?

По происхождению, воспитанию и самовоспитанию Елена Сергеевна - плоть от плоти той великой русской культуры, которая яркой сверхновой звездой засияла в XIX веке и блеск которой рискует потускнеть на наших глазах. Ей было бесконечно дорого все, что развивало и обогащало великие традиции, и ненавистно все, что искажало и обедняло их.

В художественном творчестве и во всем облике Е. С. Вентцель поражала удивительная гармония традиционности и приятия всего лучшего (или необходимого) в современности. Само присутствие Елены Сергеевны укрепляло связь времен и вселяло надежду на сохранение лучших начал российской ментальности. «Имейте в виду, я никогда никуда не поеду. Здесь мои корни, и здесь я и умру», - говорила своим близким Елена Сергеевна.

В беллетристике И. Грековой и в научных трудах Е. С. Вентцель важнейшую роль играет чувство родного языка, этот вечный, неотменимый праздник каждого интеллектуала. Прекрасно владея всеми оттенками русского языка, от областных говоров до профессиональных сленгов электронщиков и программистов, от архаичных церковнославянских оборотов до, мягко скажем, раскованного офицерского лексикона, И. Грекова пользовалась этим языковым богатством с безукоризненным тактом и чувством меры.

Обычно толчком к созданию ее произведений были реальные события и человеческие судьбы. Но ситуации, описанные И. Грековой, настолько жизненны и типичны, что многим кажется - именно в его городе, среди его знакомых произошла эта история. Часто сотрудники разных организаций с жаром доказывали, что именно у них работают прототипы и именно у них имели место описываемые события.

Не скрывая от читателя весь трагизм человеческой жизни вообще, а в России ХХ века в особенности, Елена Сергеевна оставила блестящие образцы благородства, достоинства и юмора. В произведениях И. Грековой есть именно то, что так важно сохранить для последующих поколений. И мы, свидетели и соучастники событий, можем с чистой совестью подтвердить, что она рассказывала правду и только правду.

В статье «Памяти Е. С. Вентцель» Д. В. Кузьмин писал: «И есть еще литература, которой по плечу особая миссия: свидетельствовать о своем времени и о людях, которые составляют его соль. Место этой литературы может показаться скромным - но страшно подумать, какая могла бы на ее месте быть пустота. Спасибо, Елена Сергеевна, что это место не осталось пустым» («Русская мысль», 2002, № 4406, 25 апреля).

Хорошо, что книги И. Грековой появляются в книжных магазинах в разделах современной классики и исчезают с этих полок так же быстро, как и учебники Е. С. Вентцель.

…Ее уход из жизни был медленным и постепенным, как закат солнца на севере. Елена Сергеевна скончалась 15 апреля 2002 года. Чем дальше от нас эта печальная дата, тем реже вспоминаются ее последние годы и тем ярче она видится во времена расцвета сил и талантов, видится такой, какой запомнилась Калерии Озеровой:

«На банкете она была посажена за └главный” стол, рядом с Твардовским. И вот передо мной стоит эта картинка: бок о бок с большим, крупным Александром Трифоновичем сидит невысокая, красивая, хорошо одетая женщина, совсем не ассоциирующаяся с образом ученой дамы, этакого сухаря в юбке. Твардовский, наклонившись, что-то говорит ей, а она, отвечая, смотрит на него и вокруг блестящими, сияющими глазами и улыбается своей замечательной улыбкой…»

1 Вентцель Е. С. Автобиографические фрагменты. - В сб.: «Е. С. Вентцель - И. Гре-кова. К столетию со дня рождения». М., ИД «Юность», 2007, стр. 16.

3 Вентцель Е. С. Что значит «Нет»? О пользе юмора в трудные времена. - «Московские новости», 1990, № 42, 21 октября.

4 Вентцель Е. С. Автобиографические фрагменты…, стр. 16.

6 Вентцель Е. С. Автобиографические фрагменты…, стр. 16.

7 Там же, стр. 17.

8 Там же, стр. 16.

9 Вентцель Е. С. Ленинградский университет в 20-х годах. - В сб.: «Е. С. Вентцель - И. Грекова. К столетию со дня рождения», стр. 20.

10 Вентцель Е. С. Ленинградский университет в 20-х годах, стр. 20.

11 Чебышев П. Л. (1821 - 1894) - математик, член Петербургской и многих зарубежных академий наук; Марков А. А. (1856 - 1922) - математик, член Петербургской академии наук; Ляпунов А. М. (1857 - 1918) - математик и механик, член Петербургской академии наук.

12 Токарева Т. А. Филоматический пролог Московского математического общества. - «Исто-рико-математические исследования». Вторая серия. Вып. 7 (42). М., 2002, стр. 39 - 62.

13 Натансон И. П. (1906 - 1964) - математик, специалист по теории функций и математическому анализу; Фаддеев Д. К. (1907 - 1989) - математик, член-корреспондент АН СССР, специалист по алгебре и теории чисел.

14 Гильберт Д. (1862 - 1943) - немецкий математик, оказавший решающее влияние на развитие математики в XX веке.

15 Внук Б. Н. Делоне Вадим Делоне (1947 - 1983) - участник демонстрации на Красной площади против введения советских войск в Чехословакию (1968).

16 Вентцель Е. С. Ленинградский университет в 20-х годах…, стр. 35.

17 См. о нем, например: Климова Д. Н., Жук В. И., Чебанов В. Д. Андрей Митрофанович Журавский. М., «Наука», 2007.

18 А. Солженицын, «Архипелаг ГУЛАГ», ч. 30, гл. 10.

19 Саркисян Р. С. Основные научные и практические результаты исследований. - В кн.: «Факультет авиационного вооружения Академии им. Н. Е. Жуковского (1934 - 1994)». М., ВВИА, 1994, стр. 38.

20 Гладков Д. И. Наука и люди - там же, стр. 45.

21 Моисеев Н. Н. Как далеко до завтрашнего дня. Свободные размышления. М., МНЭПУ, 1997, стр. 91.

22 Вентцель Е. С. Ленинградский университет в 20-х годах…, стр. 18.

23 Дублицкий К. А. - известный советский полярный моряк. Полярная экспедиция парохода «Федор Литке» была предпринята в 1929 году для снятия с острова Врангеля группы зимовщиков, у которых заканчивались запасы продовольствия.

24 Вентцель Е. С. Автобиографические фрагменты…, стр. 23.

26 Раскина А. А. Моя свекровь. - В сб.: «Е. С. Вентцель - И. Грекова. К столетию со дня рождения», стр. 228.

27 Колмогоров А. Н. (1903 - 1987) - выдающийся отечественный математик, академик, работавший во многих областях математики. Ведущий исследователь в теории вероятностей, реформировавший основания этой теории.

28 Колмогоров А. Н. Число попаданий при нескольких выстрелах и общие принципы оценки эффективности системы стрельбы. - «Труды Математического института имени В. А. Стеклова», 1945.

29 Золотов Е. В. (1922 - 1990) - тогда сотрудник НИИ-2 ПВО, майор; позднее - полковник, начальник управления, доктор технических наук, профессор. С 1987 года - академик АН СССР. Основные труды его относятся к математическому моделированию сложных систем.

30 Вентцель Е. С. Автобиографические фрагменты…, стр. 16.

31 Погожев И. Б. Елена Сергеевна Вентцель и «банда эффективщиков». - В сб.: «Е. С. Вентцель - И. Грекова. К столетию со дня рождения», стр. 83.

33 Лаплас Пьер Симон (1749 - 1827) - французский математик и астроном, один из создателей теории вероятностей.

34 Хмара П. Ф. Наша Елена Сергеевна. - В сб.: «Е. С. Вентцель - И. Грекова. К сто-летию со дня рождения», стр. 135 - 136.

35 Раскина А. А. Моя свекровь…, стр. 214.

36 Озерова К. Н. Все, что талантливо и правдиво. - «Панорама» (США), 2002, 24 - 30 апреля, стр. 5.

37 Гутчин И. Б. - слушатель ВВИА, позднее сотрудник военного НИИ, Научного совета по кибернетике АН СССР.

38 Грекова И. Из писем рижским литературоведам. - В сб.: «Е. С. Вентцель - И. Гре-кова. К столетию со дня рождения», стр. 167.

39 Гутчин И. Б. Жизнь - вкратце. Baltimore, «Via Press», 2002, стр. 123.

40 Грекова И. Из писем рижским литературоведам…, стр. 167.

41 Раскина А. А. Моя свекровь…, стр. 222, 223 соотв.

42 Урушадзе Г. Ф. Избранные места из переписки с врагами. Семь дней за кулисами власти. СПб., 1995, стр. 252.

43 Грекова И. Из писем рижским литературоведам…, стр. 168.

44 Вентцель Е. С. Автобиографические фрагменты…, стр. 17.

45 Вентцель Е. С. Ленинградский университет в 20-х годах…, стр. 24.

Транскрипт

1 Е. С. Вентцель ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений Одиннадцатое издание, стереотипное 2010

2 УДК ББК В29 Рецензенты: Г. Г. Ольховский, генеральный директор Всероссийского теплотехнического института, чл.-корр. РАН, д-р техн. наук, проф., А. М. Петрова, директор Московского политехнического колледжа, канд. экон. наук, Т. Ю. Симонова, зам. директора Московского политехнического колледжа Вентцель Е.С. В29 Теория вероятностей: учебник / Е. С. Вентцель. 11-е изд., стер. М. : КНОРУС, с. ISBN Книга представляет собой один из наиболее известных учебников по теории вероятностей и предназначена для лиц, знакомых с высшей математикой и интересующихся техническими приложениями теории вероятностей. Она представляет также интерес для тех, кто применяет теорию вероятностей в своей практической деятельности. В книге уделено большое внимание различным приложениям теории вероятностей (теории вероятностных процессов, теории информации, теории массового обслуживания и др.). Для студентов высших учебных заведений. Вентцель Елена Сергеевна ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Санитарно-эпидемиологическое заключение Д от г. Изд Подписано в печать Формат 60 90/16. Гарнитура «NewtonC». Печать офсетная. Усл. печ. л. 41,5. Уч. изд. л. 21,6. Тираж 3000 экз. Заказ. ООО «Издательство КноРус» , Москва, ул. Большая Переяславская, 46, стр. 7. Тел.: (495) , E mail: Отпечатано в ОАО «ИПК «Ульяновский Дом печати» , г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14. УДК ББК Вентцель Е. С. (наследники), 2010 ЗАО «МЦФЭР», 2010 ISBN ООО «Издательство КноРус», 2010

3 Оглавление Предисловие Глава 1. Введение 1.1. Предмет теории вероятностей Краткие исторические сведения Глава 2. Основные понятия теории вероятностей 2.1. Событие. Вероятность события Непосредственный подсчет вероятностей Частота, или Статистическая вероятность события Случайная величина Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической уверенности Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей 3.1. Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий Теорема сложения вероятностей Теорема умножения вероятностей Формула полной вероятности Теорема гипотез (формула Бейеса) Глава 4. Повторение опытов 4.1. Частная теорема о повторении опытов Общая теорема о повторении опытов Глава 5. Случайные величины и их законы распределения 5.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения Функция распределения Вероятность попадания случайной величины на заданный участок Плотность распределения Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение

4 4 Оглавление 5.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение Закон равномерной плотности Закон Пуассона Глава 6. Нормальный закон распределения 6.1. Нормальный закон и его параметры Моменты нормального распределения Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения Вероятное (срединное) отклонение Глава 7. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных 7.1. Основные задачи математической статистики Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения Статистический ряд. Гистограмма Числовые характеристики статистического распределения Выравнивание статистических рядов Критерии согласия Глава 8. Системы случайных величин 8.1. Понятие о системе случайных величин Функция распределения системы двух случайных величин Плотность распределения системы двух случайных величин Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения Зависимые и независимые случайные величины Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции Система произвольного числа случайных величин Числовые характеристики системы нескольких случайных величин

5 Глава 9. Нормальный закон распределения для системы случайных величин Оглавление Нормальный закон на плоскости Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания Вероятность попадания в эллипс рассеивания Вероятность попадания в область произвольной формы Нормальный закон в пространстве трех измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин Глава 10. Числовые характеристики функций случайных величин Математическое ожидание функции. Дисперсия функции Теоремы о числовых характеристиках Применения теорем о числовых характеристиках Глава 11. Линеаризация функций Метод линеаризации функций случайных аргументов Линеаризация функции одного случайного аргумента Линеаризация функции нескольких случайных аргументов Уточнение результатов, полученных методом линеаризации Глава 12. Законы распределения функций случайных аргументов Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента Закон распределения функции двух случайных величин Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения Композиция нормальных законов Линейные функции от нормально распределенных аргументов Композиция нормальных законов на плоскости

6 6 Оглавление Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и центральная предельная теорема Неравенство Чебышева Закон больших чисел (теорема Чебышева) Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона Массовые случайные явления и центральная предельная теорема Характеристические функции Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении Глава 14. Обработка опытов Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки для неизвестных параметров закона распределения Оценки для математического ожидания и дисперсии Доверительный интервал. Доверительная вероятность Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону Оценка вероятности по частоте Оценки для числовых характеристик системы случайных величин Обработка стрельб Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов Глава 15. Основные понятия теории случайных функций Понятие о случайной функции Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции Характеристики случайных функций Определение характеристик случайной функции из опыта

7 Оглавление Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы Линейные преобразования случайных функций Сложение случайных функций Комплексные случайные функции Глава 16. Канонические разложения случайных функций Идея метода канонических разложений. Представление случайной функции в виде суммы элементарных случайных функций Каноническое разложение случайной функции Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями Глава 17. Стационарные случайные функции Понятие о стационарном случайном процессе Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем Эргодическое свойство стационарных случайных функций Определение характеристик эргодической стационарной случайной функции по одной реализации Глава 18. Основные понятия теории информации Предмет и задачи теории информации Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы

8 8 Оглавление Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропий Условная энтропия. Объединение зависимых систем Энтропия и информация Частная информация о системе, содержащаяся в сообщении о событии. Частная информация о событии, содержащаяся в сообщении о другом событии Энтропия и информация для систем с непрерывным множеством состояний Задачи кодирования сообщений. Код Шеннона Фэно Передача информации с искажениями. Пропускная способность канала с помехами Глава 19. Элементы теории массового обслуживания Предмет теории массового обслуживания Случайный процесс со счетным множеством состояний Поток событий. Простейший поток и его свойства Нестационарный пуассоновский поток Поток с ограниченным последействием (поток Пальма) Время обслуживания Марковский случайный процесс Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга Система массового обслуживания с ожиданием Система смешанного типа с ограничением по длине очереди Приложение Предметный указатель

9 Предисловие Настоящая книга написана на базе лекций по теории вероятностей, читанных автором в течение ряда лет слушателям Военно-воздушной инженерной академии им. Н. Е. Жуковского, а также учебника автора по тому же предмету. Учебник рассчитан, в основном, на инженера, имеющего математическую подготовку в объеме обычного курса высших технических учебных заведений. При составлении книги автор ставил задачу изложить предмет наиболее просто и наглядно, не связывая себя рамками полной математической строгости. В связи с этим отдельные положения приводятся без доказательства (раздел о доверительных границах и доверительных вероятностях; теорема А. Н. Колмогорова, относящаяся к критерию согласия, и некоторые другие); некоторые положения доказываются не вполне строго (теорема умножения законов распределения; правила преобразования математического ожидания и корреляционной функции при интегрировании и дифференцировании случайной функции и др.). Применяемый математический аппарат, в основном, не выходит за рамки курса высшей математики, излагаемого в высших технических учебных заведениях; там, где автору приходится использовать менее общеизвестные понятия (например, понятие линейного оператора, матрицы, квадратичной формы и т.д.), эти понятия поясняются. Книга снабжена большим количеством примеров, в ряде случаев расчетного характера, в которых применение излагаемых методов иллюстрируется на конкретном практическом материале и доводится до численного результата. Несмотря на несколько специфический подбор примеров, иллюстративный материал, помещенный в книге, понятен и инженерам, работающим в разных областях техники, и всем, кто использует методы теории вероятностей в своей работе. Автор выражает глубокую благодарность профессору Е. Б. Дынкину и профессору В. С. Пугачеву за ряд ценных указаний. Е. Вентцель

E.С. Вентцель Л.А. Овчаров ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших технических

Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Ивановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. СПб.: БХВ- Петербург, 2008. 528 с.: ил. + CD-ROM (Учебное пособие) В

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Представленный материал охватывает элементарные вопросы

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Определение вероятности.. 8 1. Классическое и статистическое определения вероятности.. 8 2. Геометрические вероятности... 12 Глава вторая. Основные

А. М. Карлов Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов Рекомендовано УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор среднего дисперсий границ математических ожиданий границ функции среднеквадратических отклонений границ величина гиперслучайная векторная непрерывная 1.2 скалярная 1.2 интервальная

В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

РПД ЕН.Ф.03.08-2005 Пензенский государственный университет Факультет вычислительной техники Кафедра "Дискретная математика" Теория вероятностей и математическая статистика Рабочая программа учебной дисциплины

«КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Кафедра математики и экономической информатики Методическая разработка по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности Глава 1. Понятие вероятности 1.1. Виды случайных событий. Дискретное множество элементарных событий. Множество исходов опыта

Н. Ю. АФАНАСЬЕВА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ НАУЧНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Рекомендовано ГОУ ВПО «Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана» в качестве учебного пособия

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 3-й семестр п/п С1 С2 С3 С4 С5 С6 раздела дисциплины Наименование практических занятий (семинаров) Комбинаторика:

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Б А К А Л А В Р И А Т В.Я. Дерр ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Лекции и упражнения Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Институт управления» Экономический факультет Кафедра информационных технологий и прикладной математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

РПД ЕН.Ф.03-2005 Пензенский государственный университет Факультет вычислительной техники Кафедра «Дискретная математика» Теория вероятностей и математическая статистика Рабочая программа учебной дисциплины

СОДЕРЖАНИЕ 1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3 УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

1. Цели и задачи дисциплины: получение базовых знаний и формирование основных навыков по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической

О.С. Литвинская Н.И. Чернышёв Основы теории передачи информации Допущено УМО по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности 230101

Учебно-методический комплекс по курсу «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» Пояснительная записка Курс Основы теории вероятностей и математической статистики относится к циклу естественнонаучных

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Н. И. ГУСЕВА, Н. C. ДЕНИСОВА, O. Ю. ТЕСЛЯ Сборник задач по геометрии в 2-х частях Часть I Рекомендовано УМО по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших

ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Глава 22 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 22.1. Событие, классификация событий, вероятность

СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В.П. ГАЛАГАНОВ Рекомендовано Федеральным государственным учреждением «Федеральный институт развития образования» в качестве учебника для студентов образовательных учреждений

3 1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА В связи с возросшей ролью математической статистики в современной науке и технике, будущие специалисты в области энергоэффективных технологий нуждаются в серьезных знаниях теории

1. Цели и задачи дисциплины Целью дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является обучение студентов основным методам теории вероятностей и математической статистики и использованию

Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...(). б) размещения A m = ()...(m +). A! в) сочетания C = =. P ()!!. Классическое определение

2 АННОТАЦИЯ Дисциплины Б2.Б3 Теория вероятностей и математическая статистика 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса) Цель приобретение теоретических знаний по основным разделам курса, формирование

2 1. Цели и задачи дисциплины Цель изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» формирование у студентов современных теоретических знаний о вероятностных и статистических закономерностях,

1. Цели и задачи дисциплины 1.1 Цель - формирование личности, развитие интеллекта и способностей к логическому мышлению, развитие умения оперировать абстрактными объектами; усвоение математических методов,

АННОТАЦИЯ к рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Направление подготовки (специальность) 38.03.04 Государственное и муниципальное управление 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская Государственная Геодезическая Академия»

Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение

Федеральное агентство по образованию Владивостокский государственный университет экономики и сервиса ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Учебная программа дисциплины по

Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие...3 А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ...5 1. Решение систем линейных уравнений...5 1.1. Линейные уравнения...5 1.2. Системы линейных уравнений...7 1.3. Разрешенные системы линейных

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УТВЕРЖДАЮ: Зам. Директора по УР Р.В. Закомолдин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

ОДОБРЕНА решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию (протокол от 28 июня 2016 г. 2/16-з) ПРИМЕРНАЯ ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ (ФРАГМЕНТ)

Факультет геологии, геофизики и геохимии РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина «Элементы теории вероятностей и мат. статистики» УЧЕБНЫЙ ПЛАН Всего

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Razat- Fə üzrə İmtaha Sualları Rus Bölməs. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера: = 3 + 7. Исследовать сходимость ряда по интегральному признаку Коши: = 3 3. Найти радиус сходимости ряда: 3

Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет С.В. Дронов ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: элементарные методы, случайные величины, предельные теоремы Учебное пособие для студентов математических

В.Д. СЕКЕРин ОСНОВЫ МАРКЕТИНГА Допущено Учебно-методическим объединением по образованию в области коммерции и маркетинга в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся

Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» для бакалавров направления 27.03.04 «Управление в технических системах» Кисловодск,2016

Оглавление 1. Цель и задачи дисциплины... 4 2. Место дисциплины в структуре ОПОП... 4 3. Требования к результатам освоения учебной дисциплины (компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения

Белорусский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан экономического факультета М.М.Ковалев (подпись) «25» июня 2009 г. (дата утверждения) Регистрационный УД-80 /р. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

I. Организационно-методический раздел 1.1. Цель дисциплины: является фундаментальная подготовка обучающихся к усвоению основных математических методов и подготовка к проектно-конструкторской и научно-исследовательской

Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные понятия математической статистики Совокупность - это множество объектов (элементов совокупности), обладающих общим свойством. Объем совокупности - это число

В.А. КОЛЕМАЕВ, В.Н. КАЛИНИНА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Рекомендовано Учебно-методическим объединением по специальности «Менеджмент организации» в качестве учебника для студентов высших

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа «Теория вероятности и математическая статистика» разработана для специальности 1-21 06 01-01 «Современные иностранные языки» высших учебных заведений. Целью изучения

Издательско-торговая корпорация Дашков и К К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебник 2-е издание Рекомендовано ГОУ ВПО «Государственный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс теории вероятностей. Казань: Издво КГТУ, 2000. 200 с. 2. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс математической статистики. Казань: Изд-во КГТУ, 2001. 344 с. 3. Хуснутдинов,

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). 1. Кафедра Общие сведения 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) 4. Количество этапов формирования