संख्या के पूर्णांक घातांक से ए में संक्रमण तर्कसंगत सूचक. नीचे हम एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित करेंगे, और हम इसे इस तरह से करेंगे कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के सभी गुण संरक्षित रहें। यह आवश्यक है क्योंकि पूर्णांक परिमेय संख्याओं का भाग होते हैं।

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्न, और प्रत्येक शामिल होते हैं एक भिन्नात्मक संख्यासकारात्मक या नकारात्मक के रूप में दर्शाया जा सकता है सामान्य अंश. हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित किया था, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें संख्या की डिग्री को अर्थ देने की आवश्यकता है एसाथ भिन्नात्मक सूचक एम/एन, कहाँ एमएक पूर्णांक है, और एन- प्राकृतिक। चलो यह करते हैं।

आइए प्रपत्र के भिन्नात्मक घातांक वाली एक डिग्री पर विचार करें। सत्ता से सत्ता की संपत्ति वैध बने रहने के लिए समानता का होना जरूरी है . यदि हम परिणामी समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने डिग्री की nवीं जड़ को कैसे निर्धारित किया है, तो इसे स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिया गया हो एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है.

यह जांचना आसान है कि पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के सभी गुण मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के गुण अनुभाग में किया गया था)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि डेटा दिया गया है एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है, फिर संख्या की शक्ति एएक भिन्नात्मक सूचक के साथ एम/एनजड़ कहा जाता है एनकी डिग्री एएक स्तर तक एम.

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। जो कुछ बचा है, उसका वर्णन करना बाकी है एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है. पर लगाए गए प्रतिबंधों पर निर्भर करता है एम, एनऔर एदो मुख्य दृष्टिकोण हैं.

1. सबसे आसान तरीका है प्रतिबंध लगाना ए, स्वीकार कर लिया है a≥0सकारात्मक के लिए एमऔर ए>0नकारात्मक के लिए एम(कब से एम≤0डिग्री 0 मीनिर्धारित नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की निम्नलिखित परिभाषा मिलती है।

परिभाषा।

एक धनात्मक संख्या की शक्ति एएक भिन्नात्मक सूचक के साथ एम/एन , कहाँ एम- संपूर्ण, और एन – प्राकृतिक संख्या, जड़ कहा जाता है एनसंख्या का -वां एएक स्तर तक एम, वह है, ।

परिभाषित भी किया गया आंशिक शक्तिशून्य एकमात्र चेतावनी के साथ कि सूचक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

भिन्नात्मक धनात्मक घातांक के साथ शून्य की शक्ति एम/एन , कहाँ एमएक धनात्मक पूर्णांक है, और एन- प्राकृतिक संख्या, के रूप में परिभाषित .
जब डिग्री निर्धारित नहीं की जाती है, तो अंश के साथ संख्या शून्य की डिग्री निर्धारित नहीं की जाती है नकारात्मक सूचककोई मतलब नहीं.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की इस परिभाषा के साथ, एक चेतावनी है: कुछ नकारात्मक के लिए एऔर कुछ एमऔर एनअभिव्यक्ति समझ में आती है, लेकिन हमने शर्त लगाकर इन मामलों को खारिज कर दिया a≥0. उदाहरण के लिए, प्रविष्टियाँ समझ में आती हैं या, और ऊपर दी गई परिभाषा हमें यह कहने के लिए बाध्य करती है कि घातों का रूप भिन्नात्मक घातांक है इसका कोई अर्थ नहीं है, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

2. भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री निर्धारित करने का एक और तरीका एम/एनइसमें मूल के सम और विषम घातांकों पर अलग-अलग विचार करना शामिल है। इस दृष्टिकोण की आवश्यकता है अतिरिक्त शर्त: की डिग्री ए, जिसका घातांक एक न्यूनीकरणीय साधारण भिन्न है, संख्या की घात मानी जाती है ए, जिसका सूचक संगत है अघुलनशील अंश(इस स्थिति का महत्व नीचे बताया जाएगा)। अर्थात यदि एम/एनकिसी भी प्राकृत संख्या के लिए यह एक अपरिवर्तनीय भिन्न है कडिग्री को प्रारंभिक रूप से प्रतिस्थापित किया जाता है।

एक जैसे के लिए एनऔर सकारात्मक एमयह अभिव्यक्ति किसी भी गैर-नकारात्मक के लिए अर्थपूर्ण है ए(जड़ सम डिग्रीऋणात्मक संख्या से कोई मतलब नहीं है), ऋणात्मक के साथ एमसंख्या एअभी भी शून्य से भिन्न होना चाहिए (अन्यथा शून्य से विभाजन होगा)। और विषम के लिए एनऔर सकारात्मक एमसंख्या एकोई भी हो सकता है (किसी के लिए एक विषम मूल परिभाषित किया गया है वास्तविक संख्या), और नकारात्मक के लिए एमसंख्या एगैर-शून्य होना चाहिए (ताकि शून्य से कोई विभाजन न हो)।

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की इस परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

होने देना एम/एन– अपरिवर्तनीय अंश, एम- संपूर्ण, और एन- प्राकृतिक संख्या। किसी भी कम करने योग्य अंश के लिए, डिग्री को प्रतिस्थापित किया जाता है। की डिग्री एएक अघुलनशील भिन्नात्मक घातांक के साथ एम/एन- के लिए है

o कोई वास्तविक संख्या ए, पूर्णतः सकारात्मक एमऔर अजीब प्राकृतिक एन, उदाहरण के लिए, ;

o कोई गैर-शून्य वास्तविक संख्या ए, ऋणात्मक पूर्णांक एमऔर अजीब एन, उदाहरण के लिए, ;

o कोई भी गैर-नकारात्मक संख्या ए, पूर्णतः सकारात्मक एमऔर भी एन, उदाहरण के लिए, ;

ओ कोई सकारात्मक ए, ऋणात्मक पूर्णांक एमऔर भी एन, उदाहरण के लिए, ;

o अन्य मामलों में, भिन्नात्मक सूचक के साथ डिग्री निर्धारित नहीं की जाती है, उदाहरण के लिए डिग्री परिभाषित नहीं की जाती है .ए हम प्रविष्टि को कोई अर्थ नहीं देते हैं; हम सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए संख्या शून्य की शक्ति को परिभाषित करते हैं एम/एनकैसे , ऋणात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए संख्या शून्य की घात निर्धारित नहीं की जाती है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक भिन्नात्मक घातांक को दशमलव भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है या मिश्रित संख्या, उदाहरण के लिए, . इस प्रकार के भावों के मानों की गणना करने के लिए, आपको घातांक को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखना होगा, और फिर भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा का उपयोग करना होगा। उपरोक्त उदाहरणों के लिए हमारे पास है और

एमबीओयू "सिदोर्स्काया"

समावेशी स्कूल»

एक रूपरेखा योजना का विकास खुला पाठ

विषय पर 11वीं कक्षा में बीजगणित में:

तैयार कर क्रियान्वित किया गया

गणित शिक्षक

इशाकोवा ई.एफ.

11वीं कक्षा में बीजगणित के एक खुले पाठ की रूपरेखा।

विषय : "एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ एक डिग्री।"

पाठ का प्रकार : नई सामग्री सीखना

पाठ मकसद:

पहले से अध्ययन की गई सामग्री (एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री) के आधार पर, छात्रों को एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री की अवधारणा और उसके मूल गुणों से परिचित कराएं।

कम्प्यूटेशनल कौशल और तर्कसंगत घातांक के साथ संख्याओं को परिवर्तित करने और तुलना करने की क्षमता विकसित करें।

छात्रों में गणितीय साक्षरता और गणितीय रुचि विकसित करना।

उपकरण : टास्क कार्ड, एक पूर्णांक संकेतक के साथ डिग्री के अनुसार छात्र प्रस्तुति, एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री के अनुसार शिक्षक प्रस्तुति, लैपटॉप, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन।

कक्षाओं के दौरान:

आयोजन का समय.

व्यक्तिगत कार्य कार्डों का उपयोग करके कवर किए गए विषय की महारत की जाँच करना।

कार्य क्रमांक 1.

=2;

बी) =x + 5;

सिस्टम को हल करें तर्कहीन समीकरण: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

कार्य क्रमांक 2.

अपरिमेय समीकरण को हल करें: = - 3;

बी) = एक्स - 2;

अपरिमेय समीकरणों की प्रणाली को हल करें: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

पाठ के विषय और उद्देश्यों के बारे में बताएं।

आज हमारे पाठ का विषय है " तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति».

पहले से अध्ययन की गई सामग्री के उदाहरण का उपयोग करके नई सामग्री की व्याख्या।

आप पूर्णांक घातांक वाली डिग्री की अवधारणा से पहले से ही परिचित हैं। उन्हें याद रखने में मेरी मदद कौन करेगा?

प्रस्तुति का उपयोग करके पुनरावृत्ति " पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री».

किसी भी संख्या a, b और किसी भी पूर्णांक m और n के लिए समानताएँ सत्य हैं:

ए एम * ए एन =ए एम+एन ;

ए एम: ए एन =ए एम-एन (ए ≠ 0);

(ए एम) एन = ए एमएन ;

(ए बी) एन =ए एन * बी एन ;

(ए/बी) एन = ए एन /बी एन (बी ≠ 0) ;

ए 1 =ए ; ए 0 = 1(ए ≠ 0)

आज हम किसी संख्या की घात की अवधारणा का सामान्यीकरण करेंगे और भिन्नात्मक घातांक वाले भावों को अर्थ देंगे। आइए परिचय कराते हैं परिभाषाएक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री (प्रस्तुति "एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री"):

ए की शक्ति > 0 परिमेय घातांक के साथ आर = , कहाँ एम एक पूर्णांक है, और एन - प्राकृतिक ( एन > 1), नंबर पर कॉल किया गया एम .

तो, परिभाषा के अनुसार हमें वह मिलता है = एम .

आइए किसी कार्य को पूरा करते समय इस परिभाषा को लागू करने का प्रयास करें।

उदाहरण संख्या 1

मैं व्यंजक को किसी संख्या के मूल के रूप में प्रस्तुत करता हूँ:

ए) बी) में) .

आइए अब इस परिभाषा को उल्टा लागू करने का प्रयास करें

II अभिव्यक्ति को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक घात के रूप में व्यक्त करें:

ए) 2 बी) में) 5 .

0 की घात केवल सकारात्मक घातांक के लिए परिभाषित की गई है।

0 आर= किसी के लिए 0 आर> 0.

का उपयोग करते हुए यह परिभाषा, मकानोंआप #428 और #429 को पूरा कर लेंगे।

आइए अब हम दिखाते हैं कि ऊपर तैयार की गई तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के साथ, डिग्री के मूल गुणों को संरक्षित किया जाता है, जो किसी भी घातांक के लिए सत्य हैं।

किसी भी परिमेय संख्या r और s और किसी भी सकारात्मक a और b के लिए, निम्नलिखित समानताएँ होती हैं:

1 0 . ए आर ए एस =ए र+स ;

उदाहरण: *

20 . ए आर: ए एस =ए आर-एस ;

उदाहरण: :

3 0 . (ए आर ) एस =ए आरएस ;

उदाहरण: ( -2/3

4 0 . ( अब) आर = ए आर बी आर ; 5 0 . ( = .

उदाहरण: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

एक साथ कई संपत्तियों का उपयोग करने का उदाहरण: * : .

शारीरिक शिक्षा मिनट.

हमने पेन डेस्क पर रख दिए, पीठ सीधी कर ली और अब हम आगे बढ़े, हम बोर्ड को छूना चाहते हैं। अब हमने इसे उठा लिया है और दाएं, बाएं, आगे, पीछे झुक गए हैं। तुमने मुझे अपने हाथ दिखाए, अब मुझे दिखाओ कि तुम्हारी उंगलियाँ कैसे नाच सकती हैं।

सामग्री पर काम कर रहे हैं

आइए तर्कसंगत घातांक वाली घातों के दो और गुणों पर ध्यान दें:

6 0 . होने देना r एक परिमेय संख्या है और 0 है< a < b . Тогда

ए आर < b आरपर आर> 0,

ए आर < b आरपर आर< 0.

7 0 . किसी भी तर्कसंगत संख्या के लिएआरऔर एसअसमानता से आर> एसउसका अनुसरण करता है

ए आर>ए आरएक > 1 के लिए,

ए आर < а आर 0 पर< а < 1.

उदाहरण: संख्याओं की तुलना करें:

और ; 2 300 और 3 200 .

पाठ सारांश:

आज पाठ में हमने एक पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के गुणों को याद किया, एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री की परिभाषा और बुनियादी गुणों को सीखा, और इसके अनुप्रयोग पर विचार किया सैद्धांतिक सामग्रीअभ्यास करते समय अभ्यास में। मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा कि "तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ प्रतिपादक" विषय अनिवार्य है एकीकृत राज्य परीक्षा असाइनमेंट. होमवर्क तैयार करते समय (नंबर 428 और नंबर 429

वीडियो पाठ "तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ प्रतिपादक" में एक दृश्य शामिल है शैक्षणिक सामग्रीइस विषय पर सबक सिखाने के लिए. वीडियो पाठ में तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री की अवधारणा, ऐसी डिग्री के गुणों के साथ-साथ हल करने के लिए शैक्षिक सामग्री के उपयोग का वर्णन करने वाले उदाहरणों के बारे में जानकारी शामिल है। व्यावहारिक समस्याएँ. इस वीडियो पाठ का उद्देश्य शैक्षिक सामग्री को स्पष्ट और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना, छात्रों द्वारा इसके विकास और याद रखने की सुविधा प्रदान करना और सीखी गई अवधारणाओं का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता विकसित करना है।

वीडियो पाठ के मुख्य लाभ दृश्य रूप से परिवर्तन और गणना करने की क्षमता, सीखने की दक्षता में सुधार के लिए एनीमेशन प्रभावों का उपयोग करने की क्षमता हैं। आवाज मार्गदर्शन सही विकास में मदद करता है गणित भाषण, और शिक्षक के स्पष्टीकरण को प्रतिस्थापित करना भी संभव बनाता है, जिससे वह व्यक्तिगत कार्य करने के लिए मुक्त हो जाता है।

वीडियो पाठ की शुरुआत विषय का परिचय देने से होती है। पढ़ाई को जोड़ना नया विषयपहले अध्ययन की गई सामग्री के साथ, यह याद रखने का सुझाव दिया गया है कि n √a को अन्यथा प्राकृतिक n और सकारात्मक a के लिए 1/n द्वारा दर्शाया जाता है। यह प्रस्तुतिएन-रूट स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है। इसके बाद, हम इस बात पर विचार करने का प्रस्ताव करते हैं कि अभिव्यक्ति a m/n का क्या अर्थ है, जिसमें a है सकारात्मक संख्या, और m/n कुछ अंश है। एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा a m/n = n √a m के रूप में दी गई है, जिसे फ्रेम में हाइलाइट किया गया है। यह ध्यान देने योग्य है कि n एक प्राकृतिक संख्या हो सकती है, और m एक पूर्णांक हो सकता है।

एक डिग्री को तर्कसंगत घातांक के साथ परिभाषित करने के बाद, इसका अर्थ उदाहरणों के माध्यम से पता चलता है: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3। एक उदाहरण भी दिखाया गया है जिसमें डिग्री को दर्शाया गया है दशमलव, में परिवर्तित किया जाता है साधारण अंशमूल के रूप में प्रदर्शित करने के लिए: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 और उदाहरण के साथ नकारात्मक मूल्यडिग्री: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

विशेष मामले की विशिष्टता जब डिग्री का आधार शून्य है, अलग से दर्शाया गया है। यह ध्यान दिया गया है कि यह डिग्री केवल सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के साथ ही समझ में आती है। इस स्थिति में, इसका मान शून्य है: 0 m/n =0.

तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री की एक और विशेषता नोट की गई है - कि भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को भिन्नात्मक घातांक के साथ नहीं माना जा सकता है। डिग्रियों के गलत अंकन के उदाहरण दिए गए हैं: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।

वीडियो पाठ में आगे हम एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर चर्चा करते हैं। यह ध्यान दिया जाता है कि पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के गुण तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए भी मान्य होंगे। उन संपत्तियों की सूची को वापस बुलाने का प्रस्ताव है जो वैध भी हैं इस मामले में:

1. शक्तियों को गुणा करते समय उसी आधार परउनके संकेतक जोड़ते हैं: a p a q = a p+q।
2. समान आधार वाली डिग्री का विभाजन किसी दिए गए आधार और घातांक में अंतर वाली डिग्री तक कम हो जाता है: a p:a q =a p-q।
3. यदि हम डिग्री को एक निश्चित घात तक बढ़ाते हैं, तो हमें एक दिए गए आधार और घातांक के उत्पाद के साथ एक डिग्री मिलती है: (ए पी) क्यू = एक पीक्यू।

ये सभी गुण तर्कसंगत घातांक p, q और सकारात्मक आधार a>0 वाली घातों के लिए मान्य हैं। इसके अलावा, कोष्ठक खोलते समय डिग्री परिवर्तन सत्य रहते हैं:

1. (एबी) पी = ए पी बी पी - तर्कसंगत घातांक के साथ कुछ घात तक बढ़ाने से दो संख्याओं का गुणनफल कम हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक को एक निश्चित घात तक बढ़ाया जाता है।
2. (ए/बी) पी =ए पी /बी पी - एक भिन्न को तर्कसंगत घातांक के साथ एक घात तक बढ़ाने पर एक अंश कम हो जाता है जिसके अंश और हर को एक दिए गए घात तक बढ़ाया जाता है।

वीडियो ट्यूटोरियल उन उदाहरणों को हल करने पर चर्चा करता है जो तर्कसंगत घातांक के साथ शक्तियों के सुविचारित गुणों का उपयोग करते हैं। पहला उदाहरण आपसे उस अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करने के लिए कहता है जिसमें आंशिक घात में चर x शामिल है: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1)। अभिव्यक्ति की जटिलता के बावजूद, शक्तियों के गुणों का उपयोग करके इसे काफी सरलता से हल किया जा सकता है। समस्या का समाधान अभिव्यक्ति को सरल बनाने से शुरू होता है, जिसमें एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ एक घात को एक घात तक बढ़ाने के नियम का उपयोग किया जाता है, साथ ही समान आधार के साथ घातों को गुणा किया जाता है। प्रतिस्थापन के बाद मूल्य ते करनासरलीकृत अभिव्यक्ति x 1/3 +48 में x=8, मान प्राप्त करना आसान है - 50।

दूसरे उदाहरण में, आपको उस भिन्न को कम करना होगा जिसके अंश और हर में तर्कसंगत घातांक वाली घातें हों। डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम अंतर से कारक x 1/3 निकालते हैं, जिसे फिर अंश और हर में घटाया जाता है, और वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके, अंश को गुणनखंडित किया जाता है, जो समान की और कटौती देता है अंश और हर में गुणनखंड. ऐसे परिवर्तनों का परिणाम लघु अंश x 1/4 +3 है।

शिक्षक द्वारा किसी नए पाठ विषय को समझाने के बजाय वीडियो पाठ "तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ प्रतिपादक" का उपयोग किया जा सकता है। भी यह मैनुअलपर्याप्त मात्रा में है पूरी जानकारीके लिए स्वयं अध्ययनविद्यार्थी। यह सामग्री दूरस्थ शिक्षा के लिए भी उपयोगी हो सकती है।

इस लेख में हम जानेंगे कि यह क्या है की डिग्री. यहां हम किसी संख्या की शक्ति की परिभाषा देंगे, जबकि हम सभी संभावित घातांकों पर विस्तार से विचार करेंगे, प्राकृतिक घातांक से शुरू होकर अपरिमेय घातांक तक। सामग्री में आपको डिग्रियों के बहुत सारे उदाहरण मिलेंगे, जो उत्पन्न होने वाली सभी सूक्ष्मताओं को कवर करते हैं।

पेज नेविगेशन.

प्राकृतिक घातांक के साथ घात, किसी संख्या का वर्ग, किसी संख्या का घन

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं । आगे देखते हुए, मान लीजिए कि किसी संख्या की शक्ति की परिभाषा a के साथ है प्राकृतिक सूचक a के लिए n दिया गया है, जिसे हम कहेंगे डिग्री आधार, और n, जिसे हम कहेंगे प्रतिपादक. हम यह भी ध्यान देते हैं कि एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक उत्पाद के माध्यम से निर्धारित की जाती है, इसलिए नीचे दी गई सामग्री को समझने के लिए आपको संख्याओं को गुणा करने की समझ होनी चाहिए।

परिभाषा।

प्राकृतिक घातांक n के साथ किसी संख्या की शक्तिफॉर्म a n की एक अभिव्यक्ति है, जिसका मान n कारकों के उत्पाद के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है, अर्थात।
विशेष रूप से, घातांक 1 वाली संख्या a की घात स्वयं संख्या a है, अर्थात a 1 =a।

डिग्री पढ़ने के नियमों का तुरंत उल्लेख करना उचित है। अंकन a n को पढ़ने का सार्वभौमिक तरीका है: "a से n की घात तक"। कुछ मामलों में, निम्नलिखित विकल्प भी स्वीकार्य हैं: "a से nवीं शक्ति" और "a की nवीं शक्ति"। उदाहरण के लिए, आइए घात 8 12 लें, यह "बारह की घात आठ" या "बारहवीं घात आठ" या "आठ की घात बारहवीं" है।

किसी संख्या की दूसरी घात और किसी संख्या की तीसरी घात के अपने-अपने नाम होते हैं। किसी संख्या की दूसरी घात कहलाती है संख्या का वर्ग करेंउदाहरण के लिए, 7 2 को "सात का वर्ग" या "संख्या सात का वर्ग" के रूप में पढ़ा जाता है। किसी संख्या की तीसरी घात कहलाती है घनांकित संख्याएँउदाहरण के लिए, 5 3 को "पांच घन" के रूप में पढ़ा जा सकता है या आप "संख्या 5 का घन" कह सकते हैं।

लाने का समय हो गया है प्राकृतिक घातांक वाली डिग्रियों के उदाहरण. आइए घात 5 7 से शुरू करें, यहाँ 5 घात का आधार है, और 7 घातांक है। आइए एक और उदाहरण दें: 4.32 आधार है, और प्राकृतिक संख्या 9 घातांक (4.32) 9 है।

कृपया ध्यान दें कि इसमें अंतिम उदाहरणडिग्री 4.32 का आधार कोष्ठक में लिखा गया है: विसंगतियों से बचने के लिए, हम डिग्री के उन सभी आधारों को कोष्ठक में रखेंगे जो प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न हैं। उदाहरण के तौर पर, हम प्राकृतिक घातांक के साथ निम्नलिखित डिग्रियाँ देते हैं , उनके आधार प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं, इसलिए उन्हें कोष्ठक में लिखा गया है। खैर, पूर्ण स्पष्टता के लिए, इस बिंदु पर हम फॉर्म (−2) 3 और −2 3 के रिकॉर्ड में निहित अंतर दिखाएंगे। अभिव्यक्ति (−2) 3, 3 के प्राकृतिक घातांक के साथ −2 की घात है, और अभिव्यक्ति −2 3 (इसे −(2 3) के रूप में लिखा जा सकता है) संख्या से मेल खाता है, घात 2 3 का मान .

ध्यान दें कि a^n रूप के घातांक n के साथ संख्या a की घात के लिए एक अंकन है। इसके अलावा, यदि n एक बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या है, तो घातांक को कोष्ठक में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, 4^9, 4 9 की घात के लिए एक और संकेतन है। और यहां प्रतीक "^" का उपयोग करके डिग्री लिखने के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं: 14^(21) , (−2,1)^(155) . निम्नलिखित में, हम मुख्य रूप से फॉर्म a n के डिग्री नोटेशन का उपयोग करेंगे।

किसी प्राकृतिक प्रतिपादक के साथ किसी घात को बढ़ाने की विपरीत समस्याओं में से एक घात का आधार खोजने की समस्या है ज्ञात मूल्यडिग्री और ज्ञात संकेतक। इस कार्य की ओर ले जाता है.

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्न होते हैं, और प्रत्येक भिन्न को धनात्मक या ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित किया था, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें एक भिन्नात्मक घातांक एम/एन के साथ संख्या ए की डिग्री को अर्थ देने की आवश्यकता है, जहां m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है। चलो यह करते हैं।

आइए प्रपत्र के भिन्नात्मक घातांक वाली एक डिग्री पर विचार करें। सत्ता से सत्ता की संपत्ति वैध बने रहने के लिए समानता का होना जरूरी है . यदि हम परिणामी समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने कैसे निर्धारित किया है, तो इसे स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिए गए एम, एन और ए के लिए अभिव्यक्ति समझ में आती है।

यह जांचना आसान है कि पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के सभी गुण मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के गुण अनुभाग में किया गया था)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि m, n और a दिया गया है तो अभिव्यक्ति समझ में आती है, तो भिन्नात्मक घातांक m/n के साथ a की घात को m की घात के लिए a का nवाँ मूल कहा जाता है।

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। जो कुछ बचा है वह यह वर्णन करना है कि एम, एन और ए अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है। एम, एन और ए पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर, दो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

सबसे आसान तरीका यह है कि धनात्मक m के लिए a≥0 और ऋणात्मक m के लिए a>0 लेकर a पर एक अवरोध लगाया जाए (चूंकि m≤0 के लिए m की डिग्री 0 परिभाषित नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की निम्नलिखित परिभाषा मिलती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक घातांक m/n के साथ एक धनात्मक संख्या a की घात, जहां m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है, उसे m की घात तक संख्या a का nवाँ मूल कहा जाता है, अर्थात।

शून्य की भिन्नात्मक शक्ति भी एकमात्र चेतावनी के साथ निर्धारित की जाती है कि संकेतक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

भिन्नात्मक धनात्मक घातांक m/n के साथ शून्य की शक्ति, जहां m एक धनात्मक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है, को इस प्रकार परिभाषित किया गया है .
जब डिग्री निर्धारित नहीं की जाती है, यानी, आंशिक नकारात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की इस परिभाषा के साथ, एक चेतावनी है: कुछ नकारात्मक ए और कुछ एम और एन के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने शर्त ए≥0 पेश करके इन मामलों को खारिज कर दिया है। उदाहरण के लिए, प्रविष्टियाँ समझ में आती हैं या, और ऊपर दी गई परिभाषा हमें यह कहने के लिए बाध्य करती है कि घातों का रूप भिन्नात्मक घातांक है इसका कोई अर्थ नहीं है, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

भिन्नात्मक घातांक m/n के साथ डिग्री निर्धारित करने का एक अन्य तरीका मूल के सम और विषम घातांकों पर अलग से विचार करना है। इस दृष्टिकोण के लिए एक अतिरिक्त शर्त की आवश्यकता होती है: संख्या a की घात, जिसका घातांक है, को संख्या a की घात माना जाता है, जिसका घातांक संगत अघुलनशील अंश है (हम इस स्थिति के महत्व को नीचे समझाएंगे) ). अर्थात्, यदि m/n एक अप्रासंगिक अंश है, तो किसी भी प्राकृतिक संख्या k के लिए डिग्री को पहले प्रतिस्थापित किया जाता है।

सम n और धनात्मक m के लिए, अभिव्यक्ति किसी भी गैर-ऋणात्मक a के लिए समझ में आती है (किसी ऋणात्मक संख्या का सम मूल कोई अर्थ नहीं रखता); ऋणात्मक m के लिए, संख्या a अभी भी शून्य से भिन्न होनी चाहिए (अन्यथा विभाजन होगा)। शून्य से)। और विषम n और धनात्मक m के लिए, संख्या a कोई भी हो सकती है (विषम डिग्री का मूल किसी भी वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित किया गया है), और ऋणात्मक m के लिए, संख्या a शून्य से भिन्न होनी चाहिए (ताकि कोई विभाजन न हो) शून्य)।

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की इस परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

मान लीजिए m/n एक अपरिवर्तनीय भिन्न है, m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृतिक संख्या है। किसी भी कम करने योग्य अंश के लिए, डिग्री को प्रतिस्थापित किया जाता है। एक अघुलनशील भिन्नात्मक घातांक m/n वाली संख्या की घात किसके लिए है?



आइए हम बताएं कि क्यों एक कम करने योग्य भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को पहले एक अपरिवर्तनीय घातांक वाली डिग्री से बदल दिया जाता है। यदि हमने डिग्री को केवल इस प्रकार परिभाषित किया है, और अंश एम/एन की अपरिवर्तनीयता के बारे में कोई आरक्षण नहीं दिया है, तो हमें निम्नलिखित जैसी स्थितियों का सामना करना पड़ेगा: चूंकि 6/10 = 3/5, तो समानता कायम रहनी चाहिए , लेकिन , ए ।

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

खस्यानोवा टी.जी.,

गणित शिक्षक

प्रस्तुत सामग्री गणित शिक्षकों के लिए "तर्कसंगत घातांक के साथ घातांक" विषय का अध्ययन करते समय उपयोगी होगी।

प्रस्तुत सामग्री का उद्देश्य: "तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ प्रतिपादक" विषय पर एक पाठ आयोजित करने के मेरे अनुभव को प्रकट करना कार्यक्रमअनुशासन "गणित"।

पाठ आयोजित करने की पद्धति इसके प्रकार से मेल खाती है - अध्ययन में एक पाठ और शुरू में नए ज्ञान को समेकित करना। अद्यतन पृष्ठभूमि का ज्ञानऔर पहले प्राप्त अनुभव पर आधारित कौशल; प्राथमिक स्मरण, समेकन और नई जानकारी का अनुप्रयोग। नई सामग्री का समेकन और अनुप्रयोग मेरे द्वारा परीक्षण की गई समस्याओं को हल करने के रूप में हुआ अलग-अलग जटिलता का, विषय पर महारत हासिल करने में सकारात्मक परिणाम दे रहा है।

पाठ की शुरुआत में, मैंने छात्रों के लिए निम्नलिखित लक्ष्य निर्धारित किए: शैक्षिक, विकासात्मक, शैक्षिक। पाठ के दौरान मैंने प्रयोग किया विभिन्न तरीकेगतिविधियाँ: ललाट, व्यक्तिगत, जोड़ी, स्वतंत्र, परीक्षण। कार्यों को अलग-अलग किया गया और पाठ के प्रत्येक चरण में, ज्ञान प्राप्ति की डिग्री की पहचान करना संभव हो गया। कार्यों की मात्रा और जटिलता मेल खाती है आयु विशेषताएँछात्र. मेरे अनुभव से - गृहकार्य, में हल की गई समस्याओं के समान अध्ययन कक्ष, आपको अर्जित ज्ञान और कौशल को विश्वसनीय रूप से समेकित करने की अनुमति देता है। पाठ के अंत में, चिंतन किया गया और व्यक्तिगत छात्रों के कार्य का मूल्यांकन किया गया।

लक्ष्य प्राप्त किये गये। छात्रों ने एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री की अवधारणा और गुणों का अध्ययन किया, और व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय इन गुणों का उपयोग करना सीखा। पीछे स्वतंत्र कामग्रेड की घोषणा अगले पाठ में की जाएगी।

मेरा मानना ​​है कि गणित पढ़ाने के लिए मैं जिस पद्धति का उपयोग करता हूं उसका उपयोग गणित शिक्षक कर सकते हैं।

पाठ विषय: तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

पाठ का उद्देश्य:

ज्ञान और कौशल के परिसर में छात्रों की महारत के स्तर की पहचान और, उसके आधार पर, अनुप्रयोग कुछ निर्णयशैक्षिक प्रक्रिया में सुधार करना।

पाठ मकसद:

शैक्षिक:तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री निर्धारित करने के लिए बुनियादी अवधारणाओं, नियमों, कानूनों के बारे में छात्रों के बीच नया ज्ञान बनाना, मानक परिस्थितियों में, संशोधित और गैर-मानक परिस्थितियों में ज्ञान को स्वतंत्र रूप से लागू करने की क्षमता;

विकसित होना:तार्किक ढंग से सोचें और अमल करें रचनात्मक कौशल;

उठाना:गणित में रुचि विकसित करना, फिर से भरना शब्दावलीनई शर्तें, प्राप्त करें अतिरिक्त जानकारीहमारे आसपास की दुनिया के बारे में. धैर्य, दृढ़ता और कठिनाइयों पर विजय पाने की क्षमता विकसित करें।

आयोजन का समय

संदर्भ ज्ञान का अद्यतनीकरण

समान आधारों से घातों को गुणा करते समय, घातांक जोड़े जाते हैं, लेकिन आधार वही रहता है:

उदाहरण के लिए,

2. समान आधारों से अंशों को विभाजित करने पर अंशों के घातांक घटा दिए जाते हैं, लेकिन आधार वही रहता है:

उदाहरण के लिए,

3. किसी डिग्री को घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है, लेकिन आधार वही रहता है:

उदाहरण के लिए,

4. उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण के लिए,

5. भागफल की डिग्री लाभांश और भाजक की डिग्री के भागफल के बराबर होती है:

उदाहरण के लिए,

समाधान के साथ अभ्यास

अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

समाधान:

इस मामले में, प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री के किसी भी गुण को स्पष्ट रूप से लागू नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सभी डिग्री में ऐसा होता है विभिन्न कारणों से. आइए कुछ शक्तियों को भिन्न रूप में लिखें:

(उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है);

(समान आधारों से घातों को गुणा करते समय, घातांक जोड़े जाते हैं, लेकिन आधार वही रहता है; किसी डिग्री को घात तक बढ़ाने पर, घातांकों को गुणा किया जाता है, लेकिन आधार वही रहता है)।

तब हमें मिलता है:

में इस उदाहरण मेंप्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के पहले चार गुणों का उपयोग किया गया था।

अंकगणित वर्गमूल
- यह नहीं एक ऋणात्मक संख्या, जिसका वर्ग बराबर हैए,
. पर
- अभिव्यक्ति
परिभाषित नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग ऋणात्मक संख्या के बराबर होए.

गणितीय श्रुतलेख(8-10 मिनट)

विकल्प

द्वितीय. विकल्प

1.अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए

ए)

बी)

1.अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए

ए)

बी)

2.गणना करें

ए)

बी)

में)

2.गणना करें

ए)

बी)

वी)

आत्म परीक्षण(लैपेल बोर्ड पर):

प्रतिक्रिया मैट्रिक्स:

№ विकल्प/कार्य

समस्या 1

समस्या 2

विकल्प 1

ए) 2

बी) 2

ए) 0.5

बी)

वी)

विकल्प 2

ए) 1.5

बी)

ए)

बी)

4 पर

द्वितीय. नए ज्ञान का निर्माण

आइए विचार करें कि अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है, कहाँ है - सकारात्मक संख्या- भिन्नात्मक संख्या और एम-पूर्णांक, एन-प्राकृतिक (एन›1)

परिभाषा: तर्कसंगत घातांक के साथ a›0 की शक्तिआर = , एम-साबुत, एन-प्राकृतिक ( एन›1) नंबर पर कॉल किया जाता है.

इसलिए:

उदाहरण के लिए:

टिप्पणियाँ:

1. किसी भी सकारात्मक ए और किसी तर्कसंगत आर संख्या के लिए सकारात्मक रूप से.

2. कब
तर्कसंगत डिग्रीनंबरएनिर्धारित नहीं है।

जैसे भाव
कोई मतलब नहीं.

3. अगर एक भिन्नात्मक धनात्मक संख्या है
.

अगर आंशिक तो, ऋणात्मक संख्या -कोई मतलब नहीं.

उदाहरण के लिए: - कोई मतलब नहीं.

आइए एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के गुणों पर विचार करें।

चलो a >0, b>0; आर, एस - कोई भी भिन्नात्मक संख्याएं. फिर किसी भी तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1.
2.
3.
4.
5.

तृतीय. समेकन। नए कौशल और क्षमताओं का निर्माण।

टास्क कार्ड परीक्षण के रूप में छोटे समूहों में काम करते हैं।