बीजीय भिन्नों को कैसे हल करें। बीजीय भिन्नों की कमी: नियम, उदाहरण

यह लेख परिवर्तन के विषय को जारी रखता है बीजीय भिन्न: इस तरह की कार्रवाई को बीजीय अंशों की कमी के रूप में मानें। आइए स्वयं शब्द को परिभाषित करें, संक्षिप्त नाम नियम तैयार करें और व्यावहारिक उदाहरणों का विश्लेषण करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

बीजीय भिन्न का अर्थ

सामग्री के बारे में सामान्य अंशहमने इसकी कमी पर विचार किया। हमने एक उभयनिष्ठ भिन्न के अपचयन को उसके अंश और हर से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया है सामान्य अवयव.

बीजगणितीय अंश को कम करना एक समान ऑपरेशन है।

परिभाषा 1

बीजीय अंश में कमीएक सामान्य कारक द्वारा इसके अंश और हर का विभाजन है। इस मामले में, एक साधारण अंश (केवल एक संख्या एक सामान्य हर हो सकती है) की कमी के विपरीत, एक बहुपद, विशेष रूप से, एक मोनोमियल या संख्या, बीजीय अंश के अंश और हर के लिए एक सामान्य कारक के रूप में कार्य कर सकता है।

उदाहरण के लिए, बीजगणितीय भिन्न 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 को संख्या 3 से घटाया जा सकता है, परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. हम उसी भिन्न को चर x से घटा सकते हैं, और इससे हमें व्यंजक 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 प्राप्त होगा। किसी दिए गए भिन्न को एकपदी से घटाना भी संभव है 3 एक्सया कोई भी बहुपद एक्स + 2 वाई, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y या 3 एक्स 2 + 6 एक्स वाई।

बीजीय भिन्न को कम करने का अंतिम लक्ष्य . से बड़ा अंश है अराल तरीका, में सबसे अच्छा मामलाएक अपरिवर्तनीय अंश है।

क्या सभी बीजीय भिन्नों में कमी की जा सकती है?

फिर से, साधारण भिन्नों की सामग्री से, हम जानते हैं कि रिड्यूसिबल और इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंस हैं। इरेड्यूसिबल - ये वे भिन्न हैं जिनमें 1 के अलावा अंश और हर के सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

बीजीय भिन्नों के साथ, सब कुछ समान है: उनके अंश और हर के सामान्य गुणनखंड हो भी सकते हैं और नहीं भी। सामान्य कारकों की उपस्थिति आपको कमी के माध्यम से मूल अंश को सरल बनाने की अनुमति देती है। जब कोई सामान्य कारक नहीं होते हैं, तो कमी विधि द्वारा दिए गए अंश को अनुकूलित करना असंभव है।

सामान्य मामलों में, दिया गया रूपभिन्नों को समझना काफी कठिन है कि क्या यह कमी के अधीन है। बेशक, कुछ मामलों में अंश और हर के एक सामान्य कारक की उपस्थिति स्पष्ट है। उदाहरण के लिए, बीजीय भिन्न 3 · x 2 3 · y में यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य गुणनखंड संख्या 3 है।

एक भिन्न में - x · y 5 · x · y · z 3 हम यह भी तुरंत समझ जाते हैं कि इसे x, या y, या x · y से घटाना संभव है। और फिर भी, बीजीय अंशों के उदाहरण बहुत अधिक सामान्य हैं, जब अंश और हर का सामान्य कारक देखना इतना आसान नहीं है, और इससे भी अधिक बार - यह बस अनुपस्थित है।

उदाहरण के लिए, हम भिन्न x 3 - 1 x 2 - 1 को x - 1 से कम कर सकते हैं, जबकि निर्दिष्ट सामान्य कारक रिकॉर्ड में नहीं है। लेकिन भिन्न x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 को कम नहीं किया जा सकता, क्योंकि अंश और हर का एक सामान्य गुणनखंड नहीं होता है।

इस प्रकार, बीजगणितीय अंश की सिकुड़न का पता लगाने का प्रश्न इतना सरल नहीं है, और यह पता लगाने की कोशिश करने की तुलना में कि क्या यह संविदात्मक है, किसी दिए गए रूप के अंश के साथ काम करना अक्सर आसान होता है। इस मामले में, ऐसे परिवर्तन होते हैं जो विशेष मामलों में हमें अंश और हर के सामान्य कारक को निर्धारित करने या यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि भिन्न अपरिवर्तनीय है। आइए इस मुद्दे के बारे में विस्तार से जानें अगला पैराग्राफलेख।

बीजीय भिन्न में कमी का नियम

बीजीय भिन्न में कमी का नियमलगातार दो चरणों के होते हैं:

अंश और हर के सामान्य गुणनखंड ज्ञात करना;
ऐसा खोजने के मामले में, अंश को कम करने की सीधी कार्रवाई का कार्यान्वयन।

उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने का सबसे सुविधाजनक तरीका किसी दिए गए बीजीय भिन्न के अंश और हर में मौजूद बहुपदों का गुणनखंड करना है। यह आपको सामान्य कारकों की उपस्थिति या अनुपस्थिति को तुरंत देखने की अनुमति देता है।

एक बीजीय अंश को कम करने की क्रिया एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति पर आधारित होती है, जिसे समानता अपरिभाषित द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां ए, बी, सी कुछ बहुपद हैं, और बी और सी गैर-शून्य हैं। पहला कदम भिन्न को a c b c के रूप में कम करना है, जिसमें हम तुरंत सामान्य कारक c को नोटिस करते हैं। दूसरा चरण कमी करना है, अर्थात। फॉर्म a b के एक अंश में संक्रमण।

विशिष्ट उदाहरण

कुछ स्पष्टता के बावजूद, आइए इसके बारे में स्पष्ट करें विशेष मामलाजब किसी बीजीय भिन्न का अंश और हर बराबर हो। समान भिन्नइस भिन्न के चरों के संपूर्ण ODZ पर समान रूप से 1 के बराबर हैं:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; एक्स एक्स = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

चूँकि साधारण भिन्न बीजगणितीय भिन्नों की एक विशेष स्थिति होती है, आइए हम याद करें कि उन्हें कैसे घटाया जाता है। अंश और हर में लिखी गई प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर सार्व गुणनखंड कम हो जाते हैं (यदि कोई हो)।

उदाहरण के लिए, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

साधारण समान गुणनखंडों के गुणनफल को अंशों के रूप में लिखा जा सकता है, और अंश में कमी की प्रक्रिया में, अंशों को से विभाजित करने के गुण का उपयोग करें एक ही आधार. तो उपरोक्त समाधान होगा:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(अंश और हर को एक सामान्य गुणनखंड से विभाजित किया जाता है 2 2 3) या, स्पष्टता के लिए, गुणा और भाग के गुणों के आधार पर, हम समाधान को निम्नलिखित रूप देंगे:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

सादृश्य द्वारा, बीजीय अंशों को घटाया जाता है, जिसमें अंश और हर में पूर्णांक गुणांक वाले एकपदी होते हैं।

उदाहरण 1

एक बीजीय भिन्न दिया गया है - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z । इसे कम करने की जरूरत है।

फेसला

किसी दिए गए भिन्न के अंश और हर को गुणनफल के रूप में लिखना संभव है प्रधान कारणऔर चर, और फिर कम करें:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c z = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

हालांकि, अधिक तर्कसंगत तरीके सेसमाधान को शक्तियों के साथ एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाएगा:

27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 ए 5 बी 2 सी जेड 2 3 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 2 3 ए 5 ए 2 बी 2 बी 2 सी सी 7 जेड जेड = = - 3 3 - 1 2 ए 5 - 2 1 1 1 सी 7 - 1 1 = - 3 2 ए 3 2 सी 6 = - 9 ए 3 2 सी 6।

जवाब:- 27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 9 ए 3 2 सी 6

जब एक बीजीय भिन्न के अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक होते हैं, तो दो संभावित तरीके होते हैं आगे की कार्यवाही: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग-अलग विभाजित करें, या पहले अंश और हर को कुछ से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं प्राकृतिक संख्या. अंतिम परिवर्तन एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति के कारण किया जाता है (आप इसके बारे में "एक नए भाजक के लिए एक बीजीय अंश को कम करना" लेख में पढ़ सकते हैं)।

उदाहरण 2

भिन्न 2 5 x 0 , 3 x 3 दिया गया है। इसे कम करने की जरूरत है।

फेसला

इस तरह से अंश को कम करना संभव है:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

आइए पहले भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के बाद समस्या को अलग तरीके से हल करने का प्रयास करें - हम इन गुणांकों के हर के कम से कम सामान्य गुणक द्वारा अंश और हर को गुणा करते हैं, अर्थात। प्रति एलसीएम(5, 10) = 10. तब हमें मिलता है:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2।

उत्तर: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

जब हम बीजीय भिन्नों को घटाते हैं सामान्य दृष्टि से, जिसमें अंश और हर एकपदी और बहुपद दोनों हो सकते हैं, एक समस्या संभव है जब सामान्य कारक हमेशा तुरंत दिखाई नहीं देता है। या इससे भी अधिक, यह बस मौजूद नहीं है। फिर, सामान्य कारक को निर्धारित करने या इसकी अनुपस्थिति के तथ्य को ठीक करने के लिए, बीजीय अंश के अंश और हर को गुणनखंडित किया जाता है।

उदाहरण 3

एक परिमेय भिन्न 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 दिया गया है। इसे छोटा करने की जरूरत है।

फेसला

आइए हम अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करें। आइए कोष्ठक करते हैं:

2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49)

हम देखते हैं कि कोष्ठक में व्यंजक को संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है:

2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7)

यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि एक सामान्य कारक द्वारा भिन्न को कम करना संभव है बी 2 (ए + 7). आइए एक कमी करें:

2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी

त्वरित समाधानस्पष्टीकरण के बिना, हम समानता की एक श्रृंखला के रूप में लिखते हैं:

2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी

जवाब: 2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी।

ऐसा होता है कि सामान्य कारक संख्यात्मक गुणांक द्वारा छिपे होते हैं। फिर, अंशों को कम करते समय, अंश और हर की उच्च शक्तियों पर संख्यात्मक कारकों को निकालना इष्टतम होता है।

उदाहरण 4

एक बीजीय भिन्न 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 दिया गया है। हो सके तो इसे कम करना चाहिए।

फेसला

पहली नज़र में, अंश और हर मौजूद नहीं हैं आम विभाजक. हालांकि, आइए दिए गए भिन्न को बदलने का प्रयास करें। आइए अंश में से गुणनखंड x निकालें:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

अब आप x 2 y के कारण कोष्ठक में दिए गए व्यंजक और हर के व्यंजक में कुछ समानता देख सकते हैं . आइए हम इन बहुपदों की उच्च घातों पर संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = - 2 7 x - 7 10 + एक्स 2 वाई 5 एक्स 2 वाई - 7 10

अब उभयनिष्ठ गुणक दिखाई देता है, हम कटौती करते हैं:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

जवाब: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x।

आइए हम इस बात पर जोर दें कि परिमेय भिन्नों को कम करने का कौशल बहुपदों को गुणनखंड करने की क्षमता पर निर्भर करता है।

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इस लेख में, हम देखेंगे बीजगणितीय अंशों के साथ बुनियादी संचालन:

अंश में कमी
भिन्नों का गुणन
भिन्नों का विभाजन

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं बीजीय भिन्नों के संक्षिप्त रूप.

प्रतीत होता है, कलन विधिज़ाहिर।

सेवा बीजीय भिन्नों को कम करें, जरुरत

1. भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड कीजिए।

2. समान गुणकों को कम करें।

हालांकि, स्कूली बच्चे अक्सर कारकों को नहीं, बल्कि शर्तों को "कम" करने की गलती करते हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे शौकिया हैं जो अंशों में "कम" करते हैं और परिणामस्वरूप प्राप्त करते हैं, जो निश्चित रूप से सच नहीं है।

उदाहरणों पर विचार करें:

1. अंश कम करें:

1. हम योग के वर्ग के सूत्र के अनुसार अंश और वर्गों के अंतर के सूत्र के अनुसार हर का गुणनखंड करते हैं

2. अंश और हर को . से भाग दें

2. अंश कम करें:

1. अंश का गुणनखंड कीजिए। चूँकि अंश में चार पद होते हैं, इसलिए हम समूहीकरण लागू करते हैं।

2. हर का गुणनखंड करें। यही बात ग्रुपिंग पर भी लागू होती है।

3. आइए हम प्राप्त भिन्न को लिख लें और समान गुणनखंडों को घटा दें:

बीजीय भिन्नों का गुणन।

बीजीय भिन्नों को गुणा करते समय, हम अंश को अंश से गुणा करते हैं, और हम हर को हर से गुणा करते हैं।

जरूरी!भिन्न के अंश और हर में गुणा करने के लिए जल्दबाजी करने की आवश्यकता नहीं है। अंश में भिन्नों के अंशों का गुणनफल और हर में हर के गुणनफल को लिखने के बाद, हमें प्रत्येक गुणनखंड को गुणनखंड करने और भिन्न को कम करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरणों पर विचार करें:

3. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1. आइए भिन्नों का गुणनफल लिखें: अंश में अंशों का गुणनफल, और हर में हर का गुणनफल:

2. हम प्रत्येक ब्रैकेट को फैक्टर करते हैं:

अब हमें समान गुणकों को कम करने की आवश्यकता है। ध्यान दें कि भाव और केवल संकेत में भिन्न हैं: और पहली अभिव्यक्ति को दूसरे से विभाजित करने के परिणामस्वरूप, हमें -1 मिलता है।

इसलिए,

हम निम्नलिखित नियम के अनुसार बीजीय भिन्नों का विभाजन करते हैं:

अर्थात एक भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको "उल्टे" से गुणा करना होगा।

हम देखते हैं कि भिन्नों का विभाजन गुणन में कम हो जाता है, और गुणन अंततः भिन्नों की कमी के लिए उबलता है।

एक उदाहरण पर विचार करें:

4. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

बीजीय भिन्नों के अध्ययन की ओर बढ़ने से पहले, हम अनुशंसा करते हैं कि आप याद रखें कि साधारण भिन्नों के साथ कैसे कार्य करना है।

कोई भी भिन्न जिसका अक्षर गुणनखंड हो, बीजीय भिन्न कहलाती है।

उदाहरण बीजीय भिन्न.

एक सामान्य अंश की तरह, एक बीजीय अंश में एक अंश (ऊपर) और एक हर (नीचे) होता है।

बीजीय अंश में कमी

बीजीय भिन्न को घटाया जा सकता है. कम करते समय, साधारण अंशों को कम करने के नियमों का उपयोग करें।

हम आपको याद दिलाते हैं कि एक साधारण भिन्न को घटाते समय, हमने अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से विभाजित किया था।

एक बीजीय भिन्न को उसी तरह घटाया जाता है, लेकिन केवल अंश और हर को एक ही बहुपद से विभाजित किया जाता है।

विचार करना बीजीय अंश में कमी का उदाहरण.

आइए परिभाषित करते हैं डिग्री कम, जिसमें एकपदी "a" है। कम से कम डिग्रीएकपदी के लिए "ए" हर में है - यह दूसरी डिग्री है।

अंश और हर दोनों को "a 2" से विभाजित करें। एकपदी को विभाजित करते समय, हम भागफल की घात के गुणधर्म का उपयोग करते हैं।

हम आपको याद दिलाते हैं कि में कोई भी अक्षर या संख्या शून्य डिग्रीएक इकाई है।

हर बार विस्तार से लिखने की आवश्यकता नहीं है कि बीजगणितीय अंश को घटाकर क्या किया गया था। यह उस मात्रा को ध्यान में रखने के लिए पर्याप्त है जिसके द्वारा कटौती की गई थी, और केवल परिणाम लिखें।

एक बीजीय भिन्न के अपचयन के लिए एक संक्षिप्त संकेतन इस प्रकार है।

आप केवल एक ही अक्षर गुणक को कम कर सकते हैं।

काटा नहीं जा सकता

छोटा किया जा सकता है

बीजीय भिन्नों को घटाने के अन्य उदाहरण।

बहुपद के साथ एक अंश को कैसे कम करें

बीजीय भिन्न के एक अन्य उदाहरण पर विचार करें। यह एक बीजीय अंश को कम करने के लिए आवश्यक है, जिसमें अंश में बहुपद होता है।

आप कोष्ठक में एक बहुपद को केवल उसी बहुपद को कोष्ठक में रखकर कम कर सकते हैं!

किसी भी मामले में नहीं एक हिस्सा नहीं काट सकतेकोष्ठक के अंदर बहुपद!

सही नहीं

यह निर्धारित करना कि बहुपद कहाँ समाप्त होता है, बहुत सरल है। बहुपदों के बीच केवल गुणन का चिह्न हो सकता है। संपूर्ण बहुपद कोष्ठक के अंदर है।

एक बीजीय भिन्न के बहुपद को परिभाषित करने के बाद, हम हर में बहुपद "(m - n)" के साथ अंश में बहुपद "(m - n)" को रद्द कर देते हैं।

बहुपद के साथ बीजीय अंशों को कम करने के उदाहरण।

भिन्नों को कम करते समय एक सामान्य कारक निकालना

समान बहुपदों को बीजीय भिन्नों में प्रकट होने के लिए, कभी-कभी कोष्ठकों से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना आवश्यक होता है।

इस रूप में, बहुपद के बाद से, बीजीय अंश को कम करना असंभव है
"(3f + k)" को केवल बहुपद "(3f + k)" से कम किया जा सकता है।

इसलिए, अंश में "(3f + k)" प्राप्त करने के लिए, हम सामान्य कारक "5" निकालते हैं।

संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों के साथ अंशों को कम करना

अन्य उदाहरणों में, बीजीय भिन्नों को कम करने के लिए आवश्यक है
संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग।

अपने मूल रूप में, बीजीय अंश को कम करना असंभव है, क्योंकि कोई समान बहुपद नहीं हैं।

लेकिन अगर हम बहुपद "(a 2 - b 2)" के लिए वर्ग सूत्र का अंतर लागू करते हैं, तो वही बहुपद दिखाई देंगे।

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके बीजीय अंशों को कम करने के अन्य उदाहरण।

बीजीय (तर्कसंगत) भिन्नों की कमी उनके मुख्य गुण पर आधारित होती है: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य बहुपद से विभाजित किया जाता है, तो इसके बराबर अंश प्राप्त होगा।

आप केवल गुणकों को कम कर सकते हैं!

बहुपद के सदस्यों को कम नहीं किया जा सकता है!

बीजीय भिन्न को कम करने के लिए, अंश और हर में बहुपदों को पहले गुणनखंडित किया जाना चाहिए।

अंश में कमी के उदाहरणों पर विचार करें।

एक भिन्न के अंश और हर एकपदी होते हैं। वह प्रतिनिधित्व करते हैं काम(संख्याएं, चर और उनकी डिग्री), मल्टीप्लायरोंहम कम कर सकते हैं।

हम संख्याओं को उनके सबसे बड़े से कम करते हैं सामान्य भाजक, यानी, पर सबसे बड़ी संख्या, जिससे दी गई प्रत्येक संख्या विभाज्य है। 24 और 36 के लिए, यह 12 है। 24 से घटने के बाद, 2 शेष रहता है, 36 से - 3।

हम सबसे छोटे संकेतक के साथ डिग्री को डिग्री से कम करते हैं। भिन्न को कम करने का अर्थ है अंश और हर को एक ही भाजक से भाग देना, और घातों को विभाजित करते समय, हम संकेतक घटाते हैं।

a² और a⁷ को a² से कम किया जाता है। उसी समय, एक ए² से अंश में रहता है (हम केवल 1 लिखते हैं, यदि कमी के बाद, कोई अन्य कारक नहीं बचा है। 24 से, 2 शेष है, इसलिए हम ए से शेष 1 नहीं लिखते हैं)। कमी के बाद a⁷ से a⁵ रहता है।

b और b को b द्वारा संक्षिप्त किया जाता है, परिणामी इकाइयाँ नहीं लिखी जाती हैं।

c³º और c⁵ c⁵ से कम हो जाते हैं। c³º c²⁵ अवशेष से, c⁵ - इकाई से (हम इसे नहीं लिखते हैं)। इस प्रकार,

किसी दिए गए बीजीय भिन्न के अंश और हर बहुपद होते हैं। बहुपद की शर्तों को कम करना असंभव है! (घटाया नहीं जा सकता, उदाहरण के लिए, 8x² और 2x!)। इस भिन्न को कम करने के लिए बहुपदों का गुणनखंड करना आवश्यक है। अंश का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 4x है। आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें:

अंश और हर दोनों का गुणनखंड (2x-3) समान है। हम इस कारक से भिन्न को कम करते हैं। हमें अंश में 4x, हर में 1 मिला है। बीजीय भिन्नों के 1 गुण के अनुसार, भिन्न 4x है।

आप केवल गुणनखंडों को कम कर सकते हैं (आप किसी दिए गए अंश को 25x² तक कम नहीं कर सकते!)। इसलिए, भिन्न के अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड होना चाहिए।

अंश में - पूर्ण वर्गरकम, हर में - वर्गों का अंतर। संक्षिप्त गुणन के सूत्रों द्वारा विस्तार के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

हम भिन्न को (5x + 1) से कम करते हैं (ऐसा करने के लिए, अंश में दोनों को एक घातांक के रूप में काट दें, (5x + 1) से यह निकल जाएगा (5x + 1)):

अंश में 2 का एक सामान्य गुणनखंड होता है, आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें। हर में - घनों के अंतर का सूत्र:

अंश और हर में विस्तार के परिणामस्वरूप, हमें वही गुणनखंड (9 + 3a + a²) प्राप्त हुआ। हम उस पर अंश कम करते हैं:

अंश के बहुपद में 4 पद होते हैं। हम पहले पद को दूसरे, तीसरे - चौथे के साथ समूहित करते हैं और पहले कोष्ठक से सामान्य कारक x² निकालते हैं। हम घनों के योग के सूत्र के अनुसार हर को विघटित करते हैं:

अंश में, हम कोष्ठक में से उभयनिष्ठ गुणनखंड (x + 2) निकालते हैं:

हम भिन्न को (x + 2) से घटाते हैं:

हम केवल गुणकों को कम कर सकते हैं! इस भिन्न को कम करने के लिए, आपको अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करना होगा। अंश में, उभयनिष्ठ गुणनखंड a³ है, हर में - a⁵। आइए उन्हें कोष्ठक से बाहर निकालें:

गुणक - समान आधार a³ और a⁵ वाली घातें a³ से कम हो जाती हैं। 1 अवशेष से हम इसे नहीं लिखते हैं, से a रहता है। अंश में, कोष्ठक में व्यंजक को वर्गों के अंतर के रूप में विस्तारित किया जा सकता है:

हम भिन्न को एक उभयनिष्ठ भाजक (1 + a) से घटाते हैं:

फॉर्म के अंशों को कैसे कम करें

जिसमें अंश और हर के व्यंजक केवल चिन्हों में भिन्न होते हैं?

हम अगली बार ऐसे भिन्नों के अपचयन के उदाहरण देखेंगे।

2 टिप्पणियाँ

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बीजीय भिन्नों का न्यूनीकरण नियम

बीजीय भिन्नों की कमी

गणित में एक नई अवधारणा शायद ही कभी "कुछ नहीं से", "पर" उत्पन्न होती है खाली जगह". यह तब प्रकट होता है जब इसे महसूस किया जाता है उद्देश्य आवश्यकता. इस तरह वे गणित में दिखाई दिए ऋणात्मक संख्या, इतना साधारण और दशमलव बीजीय भिन्न.

हमारे पास "बीजीय अंश" की नई अवधारणा को पेश करने के लिए आवश्यक शर्तें हैं। आइए 12 पर लौटते हैं। वहाँ एक एकपदी द्वारा एकपदी के विभाजन पर चर्चा करते हुए, हमने कई उदाहरणों पर विचार किया। आइए उनमें से दो पर प्रकाश डालें।

1. एकपदी 36a 3 b 5 को 12 से एकपदी 4ab 2 (उदाहरण 1c देखें) से भाग दें।
हमने इसे इस तरह हल किया। 36a 3 b 5: 4ab 2 लिखने के बजाय, एक भिन्न बार का उपयोग किया गया था:

इसने प्रविष्टियों 36: 4, a 3: a, b 5: b 2 के बजाय भिन्न बार का उपयोग करने की अनुमति दी, जिससे उदाहरण का समाधान अधिक स्पष्ट हो गया:

2. एकपदी 4x 3 को 12 से एकपदी 2xy (उदाहरण 1 ई देखें) से भाग दें। उसी पैटर्न के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

12 में हमने देखा कि एकपदी 4x 3 को एकपदी 2xy से विभाजित नहीं किया जा सकता है, ताकि हम प्राप्त करें एकपद. लेकिन गणितीय मॉडल वास्तविक स्थितियांइसमें किसी एकपदी का विभाजन संक्रिया शामिल हो सकती है, जरूरी नहीं कि एक दूसरे से विभाज्य हो। यह अनुमान लगाते हुए, गणितज्ञों ने एक नई अवधारणा पेश की - एक बीजीय अंश की अवधारणा। विशेष रूप से, बीजगणितीय अंश। अब हम 18 पर लौटते हैं। वहाँ एक बहुपद को एक एकपदी से विभाजित करने की क्रिया पर चर्चा करते हुए, हमने देखा कि यह हमेशा संभव नहीं होता है। इसलिए, उदाहरण 2 में 18 से, यह द्विपद 6x 3 - 24x 2 को एकपदी 6x 2 से विभाजित करने का प्रश्न था। यह संक्रिया व्यवहार्य सिद्ध हुई और परिणामस्वरूप हमें द्विपद x - 4 प्राप्त हुआ। इसलिए, दूसरे शब्दों में, बीजगणतीय अभिव्यक्तिअधिक बदलने में कामयाब रहे सरल अभिव्यक्ति- बहुपद x - 4।

उसी समय, उदाहरण 3 में 18 से, बहुपद 8a 3 + ba 2b - b को 2a 2 से विभाजित करना संभव नहीं था, अर्थात, व्यंजक को सरल व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता था, और इसे छोड़ना पड़ा बीजगणितीय अंश के रूप में।

बहुपद को से विभाजित करने की संक्रिया के संबंध में बहुपदहमने वास्तव में इसके बारे में कुछ नहीं कहा। अब हम केवल यह कह सकते हैं कि एक बहुपद को दूसरे बहुपद से विभाजित किया जा सकता है यदि यह अन्य बहुपद पहले बहुपद के गुणनखंडों में से एक है।

उदाहरण के लिए, x 3 - 1 \u003d (x - 1) (x 2 + x + 1)। तो x 3 - 1 को x 2 + x + 1 से विभाजित किया जा सकता है, आपको x - 1 मिलता है; x 3 - 1 को x-1 से विभाजित किया जा सकता है,

आपको x 2 + x + 1 मिलता है।
बहुपद पी और क्यू। इस मामले में, संकेतन
जहाँ P अंश है, Q बीजीय भिन्न का हर है।
बीजीय भिन्नों के उदाहरण:

कभी-कभी एक बीजीय भिन्न को बहुपद से बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, जैसा कि हम पहले ही स्थापित कर चुके हैं,

(बहुपद 6x 3 - 24x 2 को 6x 2 से विभाजित किया जा सकता है, जबकि भागफल में x - 4 प्राप्त होता है); हमने यह भी नोट किया कि

लेकिन यह अपेक्षाकृत दुर्लभ है।

हालाँकि, आप पहले से ही इसी तरह की स्थिति का सामना कर चुके हैं - साधारण अंशों का अध्ययन करते समय। उदाहरण के लिए, एक भिन्न - को एक पूर्णांक 4 से, और एक भिन्न को - एक पूर्णांक 5 द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। हालाँकि, एक भिन्न - को एक पूर्णांक द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है, हालाँकि इस अंश को अंश और हर को संख्या से विभाजित करके कम किया जा सकता है। 8 - अंश और हर का उभयनिष्ठ गुणनखंड:
इसी प्रकार, अंश के अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ से विभाजित करके बीजगणितीय अंशों को एक साथ कम किया जा सकता है गुणक. और इसके लिए अंश के अंश और हर दोनों को गुणनखंडों में विघटित करना आवश्यक है। यह वह जगह है जहाँ हमें वह सब कुछ चाहिए जिसकी चर्चा हम इस अध्याय में इतने लंबे समय से कर रहे हैं।

उदाहरण। एक बीजीय अंश कम करें:

हल, क) एकपदी के लिए एक उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए
12x 3 y 4 और 8x 2 y 5 जैसा कि हमने 20 में किया था। हमें 4x 2 y 4 मिलता है। फिर 12x 3 y 4 = 4x 2 y 4 Zx; 8x 2 y 5 = 4x 2 y 4 2y।
माध्यम,

अंश और भाजकदी गई बीजीय भिन्न को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 4x 2 y 4 से घटाया गया था।
इस उदाहरण का समाधान दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है:

बी) एक अंश को कम करने के लिए, हम इसके अंश और हर को कारकों में विघटित करते हैं। हम पाते हैं:

(अंश को उभयनिष्ठ गुणनखंड a + b से घटाया गया था)।

और अब 1 की टिप्पणी 2 पर लौटते हैं। आप देखिए, हम आखिरकार वहां दिए गए वादे को पूरा करने में सक्षम थे।
ग) हमारे पास है:

(उन्होंने अंश और हर के उभयनिष्ठ गुणनखंड से भिन्न को घटाया, अर्थात x (x - y))

इसलिए, एक बीजीय भिन्न को कम करने के लिए, हमें सबसे पहले इसके अंश और हर का गुणनखंड करना चाहिए। इसलिए इस नए प्रयास (बीजीय भिन्नों को कम करना) में आपकी सफलता काफी हद तक इस बात पर निर्भर करती है कि आपने इस अध्याय के पिछले पैराग्राफों की सामग्री को कितनी अच्छी तरह अवशोषित किया है।

ए वी पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

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बीजीय भिन्नों की कमी: एक नियम, उदाहरण।

हम बीजीय भिन्नों के परिवर्तन के विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं। इस लेख में, हम पर ध्यान दिया जाएगा बीजीय भिन्नों की कमी. सबसे पहले, आइए जानें कि "बीजीय अंश की कमी" शब्द का क्या अर्थ है, और पता करें कि क्या एक बीजीय अंश हमेशा कम करने योग्य होता है। अगला, हम एक नियम देते हैं जो हमें इस परिवर्तन को करने की अनुमति देता है। अंत में, समाधान पर विचार करें विशिष्ट उदाहरणजो आपको प्रक्रिया की सभी सूक्ष्मताओं को समझने की अनुमति देगा।

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बीजीय भिन्न को कम करने का क्या अर्थ है?

साधारण भिन्नों का अध्ययन करते हुए, हमने उनकी कमी के बारे में बात की। हम एक साधारण भिन्न को उसके अंश और हर का एक सामान्य गुणनखंड से भाग कहते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 30/54 को 6 से घटाया जा सकता है (अर्थात, इसके अंश और हर 6 से विभाजित), जो हमें भिन्न 5/9 तक ले जाएगा।

एक बीजीय अंश की कमी को एक समान क्रिया के रूप में समझा जाता है। बीजीय अंश कम करेंइसके अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करना है। लेकिन यदि किसी साधारण भिन्न के अंश और हर का सार्व गुणनखंड केवल एक संख्या हो सकता है, तो एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का उभयनिष्ठ गुणनखंड एक बहुपद, विशेष रूप से, एक एकपदी या एक संख्या हो सकता है।

उदाहरण के लिए, एक बीजीय भिन्न भिन्न देने के लिए 3 से घटाया जा सकता है . चर x को कम करना भी संभव है, जिसके परिणामस्वरूप व्यंजक होगा . मूल बीजीय भिन्न को एकपदी 3 x, साथ ही किसी भी बहुपद x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y या 3 x 2 +6 x y द्वारा घटाया जा सकता है।

अंतिम लक्ष्यएक बीजीय अंश की कमी में एक सरल रूप का एक अंश प्राप्त करना होता है, सबसे अच्छा, एक इरेड्यूसबल अंश।

क्या कोई बीजीय भिन्न कमी के अधीन है?

हम जानते हैं कि साधारण भिन्नों को रिड्यूसिबल और इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंस में उप-विभाजित किया जाता है। इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंसअंश और हर में एकता के अलावा अन्य सामान्य कारक नहीं हैं, इसलिए, वे कमी के अधीन नहीं हैं।

बीजीय अंशों में सामान्य अंश और हर कारक हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं। सामान्य कारकों की उपस्थिति में, बीजीय अंश को कम करना संभव है। यदि कोई सामान्य कारक नहीं हैं, तो इसकी कमी के माध्यम से बीजीय अंश का सरलीकरण असंभव है।

पर सामान्य मामलापर उपस्थितिबीजीय भिन्न, यह निर्धारित करना काफी कठिन है कि क्या इसकी कमी करना संभव है। निस्संदेह, कुछ मामलों में अंश और हर के सामान्य गुणनखंड स्पष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का एक सामान्य गुणनखंड 3 होता है। यह देखना भी आसान है कि एक बीजीय भिन्न को x, y या तुरंत x·y से घटाया जा सकता है। लेकिन बहुत अधिक बार, बीजीय अंश के अंश और हर का सामान्य कारक तुरंत दिखाई नहीं देता है, और इससे भी अधिक बार, यह बस मौजूद नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक भिन्न को x−1 से कम किया जा सकता है, लेकिन यह सामान्य कारक स्पष्ट रूप से संकेतन में मौजूद नहीं है। और एक बीजीय भिन्न कम नहीं किया जा सकता क्योंकि इसके अंश और हर में सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

सामान्य तौर पर, बीजीय अंश की सिकुड़न का प्रश्न बहुत कठिन होता है। और कभी-कभी यह पता लगाने की तुलना में कि क्या यह अंश प्रारंभिक रूप से कम किया जा सकता है, अपने मूल रूप में बीजीय अंश के साथ काम करके किसी समस्या को हल करना आसान होता है। लेकिन फिर भी, ऐसे परिवर्तन हैं जो कुछ मामलों में, अपेक्षाकृत कम प्रयास के साथ, अंश और हर के सामान्य कारकों को खोजने के लिए, यदि कोई हो, या यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि मूल बीजगणितीय अंश इरेड्यूसेबल है। इस जानकारी का खुलासा अगले पैराग्राफ में किया जाएगा।

बीजीय भिन्न में कमी का नियम

पिछले पैराग्राफ की जानकारी आपको निम्नलिखित को स्वाभाविक रूप से समझने की अनुमति देती है बीजीय भिन्न में कमी नियम, जिसमें दो चरण होते हैं:

सबसे पहले, मूल भिन्न के अंश और हर के उभयनिष्ठ गुणनखंड पाए जाते हैं;
यदि कोई हो, तो इन कारकों द्वारा कमी की जाती है।

घोषित नियम के इन चरणों के स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

ज़्यादातर सुविधाजनक तरीकाउभयनिष्ठ ज्ञात करना मूल बीजीय भिन्न के अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करना है। इस मामले में, अंश और हर के सामान्य कारक तुरंत दिखाई देते हैं, या यह स्पष्ट हो जाता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं।

यदि कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बीजीय भिन्न अपरिमेय है। यदि सामान्य कारक पाए जाते हैं, तो दूसरे चरण में वे कम हो जाते हैं। परिणाम एक सरल रूप का एक नया अंश है।

बीजीय भिन्नों को घटाने का नियम एक बीजीय भिन्न के मुख्य गुण पर आधारित होता है, जिसे समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां a, b और c कुछ बहुपद हैं, और b और c शून्येतर नहीं हैं। पहले चरण में, मूल बीजीय अंश को उस रूप में घटाया जाता है, जिसमें से सामान्य कारक c दिखाई देता है, और दूसरे चरण में, कमी का प्रदर्शन किया जाता है - अंश में संक्रमण।

आइए उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं यह नियम. उन पर, हम उन सभी संभावित बारीकियों का विश्लेषण करेंगे जो बीजीय अंश के अंश और हर को कारकों और बाद में कमी में विघटित करते समय उत्पन्न होती हैं।

विशिष्ट उदाहरण

पहले आपको बीजीय अंशों की कमी के बारे में कहना होगा, जिनमें से अंश और हर समान हैं। इस तरह के अंश इसमें शामिल चर के संपूर्ण ODZ पर एक समान होते हैं, उदाहरण के लिए,
आदि।

अब यह याद रखने में कोई दिक्कत नहीं है कि साधारण अंशों की कमी कैसे की जाती है - आखिरकार, वे बीजीय अंशों का एक विशेष मामला हैं। एक साधारण भिन्न के अंश और हर में प्राकृत संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जाता है, जिसके बाद उभयनिष्ठ गुणनखंड कम हो जाते हैं (यदि कोई हो)। उदाहरण के लिए, . समान अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल को घातों के रूप में लिखा जा सकता है, और घटाते समय समान आधारों से घातों को विभाजित करने के गुण का उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, समाधान इस तरह दिखेगा: यहाँ हमने अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 2 3 से विभाजित किया है। या, अधिक स्पष्टता के लिए, गुणन और भाग के गुणों के आधार पर, समाधान रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

बिल्कुल समान सिद्धांतों के अनुसार, अंश और हर में बीजीय अंशों की कमी की जाती है, जिनमें पूर्णांक गुणांक वाले मोनोमियल होते हैं।

बीजीय अंश कम करें .

आप मूल बीजीय भिन्न के अंश और हर को साधारण गुणनखंडों और चरों के गुणनफल के रूप में निरूपित कर सकते हैं और फिर घटाव कर सकते हैं:

लेकिन समाधान को शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति के रूप में लिखना अधिक तर्कसंगत है:

जहां तक अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक वाले बीजगणितीय अंशों की कमी के लिए, आप दो काम कर सकते हैं: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग से विभाजित करें, या पहले अंश और हर को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। हमने लेख में अंतिम परिवर्तन के बारे में बात की, एक बीजीय अंश को एक नए हर में लाकर, इसे एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति के कारण किया जा सकता है। आइए एक उदाहरण के साथ इससे निपटें।

अंश में कमी करें।

आप अंश को इस तरह कम कर सकते हैं: .

और आप सबसे पहले इन गुणांकों के हर के कम से कम सामान्य गुणक से अंश और हर को गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पा सकते हैं, अर्थात LCM(5, 10)=10 । इस मामले में हमारे पास है .

आप एक सामान्य रूप के बीजीय भिन्नों पर आगे बढ़ सकते हैं, जिसमें अंश और हर में संख्याएं और एकपदी, साथ ही बहुपद दोनों शामिल हो सकते हैं।

इस तरह के अंशों को कम करते समय, मुख्य समस्या यह है कि अंश और हर का सामान्य कारक हमेशा दिखाई नहीं देता है। इसके अलावा, यह हमेशा मौजूद नहीं होता है। एक सामान्य कारक खोजने के लिए या यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह मौजूद नहीं है, आपको बीजीय अंश के अंश और हर का गुणनखंड करना होगा।

कम करना तर्कसंगत अंश .

ऐसा करने के लिए, हम अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करते हैं। आइए कोष्ठकों से शुरू करें: . स्पष्ट रूप से, लघु गुणन सूत्रों का उपयोग करके कोष्ठकों में व्यंजकों को परिवर्तित किया जा सकता है: . अब यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि एक सामान्य कारक b 2 ·(a+7) द्वारा भिन्न को कम करना संभव है। हो जाए .

स्पष्टीकरण के बिना एक संक्षिप्त समाधान आमतौर पर समानता की श्रृंखला के रूप में लिखा जाता है:

कभी-कभी सामान्य गुणकों को संख्यात्मक गुणांकों द्वारा छिपाया जा सकता है। इसलिए, तर्कसंगत अंशों को कम करते समय, संख्यात्मक कारकों को अंश और हर की उच्च शक्तियों पर कोष्ठक से बाहर रखना उचित है।

अंश कम करें , अगर संभव हो तो।

पहली नज़र में, अंश और हर का एक सामान्य गुणनखंड नहीं होता है। लेकिन फिर भी, आइए कुछ परिवर्तन करने का प्रयास करें। सबसे पहले, आप अंश में x कारक को ब्रैकेट कर सकते हैं: .

अब x 2 ·y के कारण कोष्ठक में दिए गए व्यंजक और हर के व्यंजक में कुछ समानता है। आइए हम इन बहुपदों की उच्च घातों पर संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं:

किए गए परिवर्तनों के बाद, सामान्य कारक दिखाई देता है, जिसके द्वारा हम कमी करते हैं। हमारे पास है

परिमेय भिन्नों की कमी के बारे में बातचीत को समाप्त करते हुए, हम देखते हैं कि सफलता काफी हद तक बहुपदों को गुणनखंड करने की क्षमता पर निर्भर करती है।

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गणित

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बीजीय भिन्नों की कमी

उपरोक्त गुण के आधार पर, हम बीजीय भिन्नों को उसी तरह सरल बना सकते हैं जैसे हम करते हैं अंकगणितीय अंशउन्हें छोटा करके।

भिन्नों की कमी यह है कि भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित किया जाता है।

यदि बीजीय भिन्न एक पद है, तो अंश और हर को कई कारकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है, और यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि कौन सा वही नंबरआप उन्हें अलग कर सकते हैं:

हम उसी भिन्न को अधिक विस्तार से लिख सकते हैं:। हम देखते हैं कि आप अंश और हर दोनों को लगातार 4 बार a से विभाजित कर सकते हैं, यानी अंत में, उनमें से प्रत्येक को 4 से विभाजित कर सकते हैं। इसलिए ; भी, आदि। इसलिए, यदि अंश और हर में गुणनखंड हैं विभिन्न डिग्रीवही अक्षर, तो आप इस भिन्न को इस अक्षर की एक छोटी घात तक कम कर सकते हैं।

यदि भिन्न बहुपद है, तो इन बहुपदों को पहले, यदि संभव हो, कारकों में विघटित किया जाना चाहिए, और फिर यह देखना संभव होगा कि अंश और हर दोनों को किन समान कारकों से विभाजित किया जा सकता है।

…. अंश को "सूत्र के अनुसार" आसानी से विभाजित किया जाता है - यह दो संख्याओं के अंतर का वर्ग है, अर्थात् (x - 3) 2 । हर सूत्र में फिट नहीं होता है और इसके लिए इस्तेमाल की जाने वाली तकनीक से विघटित होना होगा वर्ग त्रिपद: 2 संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि उनका योग -1 हो और उनका गुणनफल -6 हो, - ये संख्याएँ -3 और + 2 हों; फिर x 2 - x - 6 \u003d x 2 - 3x + 2x - 6 \u003d x (x - 3) + 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 2)।

भिन्नों की कमी, परिभाषा और सूत्र।

अंश में कमी क्या है? अंश को कम करने का क्या अर्थ है?

परिभाषा:
अंश में कमीअंश और हर का एक ही भिन्न में विभाजन है सकारात्मक संख्यानहीं शून्यऔर इकाई। कमी के परिणामस्वरूप, एक छोटे अंश और हर के साथ एक अंश प्राप्त होता है, जो पिछले अंश के बराबर होता है।

अंश कमी सूत्रमुख्य संपत्ति परिमेय संख्या.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

एक उदाहरण पर विचार करें:
भिन्न को कम करें \(\frac(9)(15)\)

फेसला:
हम भिन्न को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित कर सकते हैं और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को कम कर सकते हैं।

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

उत्तर: घटाने के बाद हमें भिन्न \(\frac(3)(5)\) मिलता है। परिमेय संख्याओं के मुख्य गुण के अनुसार, प्रारंभिक और परिणामी भिन्न बराबर होते हैं।

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

अंशों को कैसे कम करें? एक अंश को एक अपरिवर्तनीय रूप में घटाना।

परिणामस्वरूप हमें एक इरेड्यूसेबल भिन्न प्राप्त करने के लिए, हमें चाहिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें (gcd)भिन्न के अंश और हर के लिए।

GCD को खोजने के कई तरीके हैं, हम उदाहरण में संख्याओं के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में उपयोग करेंगे।

अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त करें \(\frac(48)(136)\)।

फेसला:
जीसीडी (48, 136) खोजें। आइए संख्या 48 और 136 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
जीसीडी(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \बार 2) \बार 2 \बार 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \बार 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ फ़्रैक(6)(17)\)

एक अंश को एक अपरिवर्तनीय रूप में कम करने का नियम।

अंश और हर के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें।
एक इरेड्यूसबल भिन्न प्राप्त करने के लिए आपको विभाजन के परिणामस्वरूप अंश और हर को सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण:
भिन्न \(\frac(152)(168)\) को कम करें।

फेसला:
GCD(152, 168) खोजें। आइए संख्याओं 152 और 168 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
जीसीडी(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

उत्तर: \(\frac(19)(21)\) एक इरेड्यूसबल भिन्न है।

एक अनुचित अंश का संक्षिप्त नाम।

कैसे काटें अनुचित अंश?
उचित और अनुचित भिन्नों के लिए भिन्नों को कम करने के नियम समान हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें:
अनुचित अंश को कम करें \(\frac(44)(32)\)।

फेसला:
आइए अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। और फिर हम सामान्य कारकों को कम करते हैं।

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2) \times 11)(\color(red) (2 \times 2) \times 2 \बार 2 \बार 2 )=\frac(11)(2 \बार 2 \बार 2)=\frac(11)(8)\)

मिश्रित अंशों की कमी।

मिश्रित भिन्न सामान्य भिन्नों के समान नियमों का पालन करते हैं। फर्क सिर्फ इतना है कि हम कर सकते हैं पूरे हिस्से को न छुएं, लेकिन आंशिक हिस्से को कम करेंया मिश्रित अंशएक अनुचित भिन्न में कनवर्ट करें, घटाएं और वापस उचित भिन्न में कनवर्ट करें।

एक उदाहरण पर विचार करें:
मिश्रित भिन्न \(2\frac(30)(45)\) को कम करें।

फेसला:
आइए इसे दो तरीकों से हल करें:
पहला तरीका:
हम भिन्नात्मक भाग को अभाज्य गुणनखंडों में लिखेंगे, और हम पूर्णांक भाग को स्पर्श नहीं करेंगे।

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ फ़्रैक(2)(3)\)

दूसरा तरीका:
पहले हम एक अनुचित भिन्न में अनुवाद करते हैं, और फिर हम इसे प्रमुख कारकों में लिखते हैं और इसे कम करते हैं। परिणामी अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times) 3) \बार 2 \बार 2)(3 \बार \रंग(लाल) (3 \बार 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

संबंधित सवाल:
क्या अंशों को जोड़ने या घटाने पर भिन्नों को घटाया जा सकता है?
उत्तर: नहीं, आपको पहले नियमों के अनुसार भिन्नों को जोड़ना या घटाना होगा, और उसके बाद ही घटाना होगा। एक उदाहरण पर विचार करें:

व्यंजक का मूल्यांकन करें \(\frac(50+20-10)(20)\) ।

फेसला:
वे अक्सर हमारे मामले में, संख्या 20 में अंश और हर में समान संख्याओं को कम करने की गलती करते हैं, लेकिन जब तक आप जोड़ और घटाव नहीं करते हैं, तब तक उन्हें कम नहीं किया जा सकता है।

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

आप भिन्न को किस संख्या से घटा सकते हैं?
उत्तर: आप अंश को सबसे बड़े सामान्य भाजक या अंश और हर के सामान्य भाजक से घटा सकते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(100)(150)\)।

आइए संख्या 100 और 150 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
सबसे बड़ा सामान्य भाजक gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 . की संख्या होगी

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

हमें अपरिमेय अंश \(\frac(2)(3)\) मिला है।

लेकिन जीसीडी द्वारा विभाजित करना हमेशा आवश्यक नहीं होता है, एक अपरिवर्तनीय अंश की हमेशा आवश्यकता नहीं होती है, आप अंश और हर के एक साधारण भाजक द्वारा अंश को कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 100 और 150 में एक उभयनिष्ठ भाजक है। आइए भिन्न \(\frac(100)(150)\) को 2 से कम करें।

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \बार 75)=\frac(50)(75)\)

हमें घटा हुआ अंश \(\frac(50)(75)\) मिला है।

क्या अंशों को कम किया जा सकता है?
उत्तर: आप उन भिन्नों को कम कर सकते हैं जिनमें अंश और हर का एक उभयनिष्ठ भाजक होता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(4)(8)\). संख्या 4 और 8 में एक संख्या है जिससे वे दोनों इस संख्या 2 से विभाज्य हैं। इसलिए, ऐसी भिन्न को संख्या 2 से घटाया जा सकता है।

उदाहरण:
दो भिन्नों \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(8)(12)\) की तुलना करें।

ये दोनों अंश बराबर हैं। भिन्न \(\frac(8)(12)\) पर विस्तार से विचार करें:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \गुना 1=\frac(2)(3)\)

यहाँ से हम पाते हैं, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

दो भिन्न समान होते हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अंश और हर के एक सामान्य कारक द्वारा दूसरे अंश को कम करके प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण:
यदि संभव हो तो निम्नलिखित भिन्नों को कम करें: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

फेसला:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \गुना 3 \गुना 3)(13)=\frac(18)(13)\)
बी) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
सी) \(\frac(17)(100)\) इरेड्यूसबल अंश
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ टाइम्स 5)=\frac(2)(5)\)

इस लेख में, हम पर ध्यान दिया जाएगा बीजीय भिन्नों की कमी. सबसे पहले, आइए जानें कि "बीजीय अंश की कमी" शब्द का क्या अर्थ है, और पता करें कि क्या एक बीजीय अंश हमेशा कम करने योग्य होता है। अगला, हम एक नियम देते हैं जो हमें इस परिवर्तन को करने की अनुमति देता है। अंत में, विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करें जिससे प्रक्रिया की सभी सूक्ष्मताओं को समझना संभव हो सके।

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बीजीय भिन्न को कम करने का क्या अर्थ है?

पढ़कर हमने उनकी कमी के बारे में बात की। हम इसके अंश और हर के सार्व गुणनखंड से भाग कहते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 30/54 को 6 से घटाया जा सकता है (अर्थात, इसके अंश और हर 6 से विभाजित), जो हमें भिन्न 5/9 तक ले जाएगा।

उदाहरण के लिए, एक बीजीय भिन्न को संख्या 3 से घटाया जा सकता है, जो भिन्न देता है . चर x को कम करना भी संभव है, जिसके परिणामस्वरूप व्यंजक होगा . मूल बीजीय भिन्न को एकपदी 3 x, साथ ही किसी भी बहुपद x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y या 3 x 2 +6 x y द्वारा घटाया जा सकता है।

बीजीय अंश को कम करने का अंतिम लक्ष्य एक सरल रूप का अंश प्राप्त करना है, सर्वोत्तम रूप से, एक अपरिवर्तनीय अंश।

क्या कोई बीजीय भिन्न कमी के अधीन है?

हम जानते हैं कि साधारण भिन्नों को उप-विभाजित किया जाता है। इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंस में अंश और हर में एकता के अलावा अन्य सामान्य कारक नहीं होते हैं, इसलिए उन्हें कम नहीं किया जा सकता है।

सामान्य स्थिति में, बीजीय भिन्न के प्रकट होने से, यह निर्धारित करना काफी कठिन है कि क्या इसकी कमी करना संभव है। निस्संदेह, कुछ मामलों में अंश और हर के सामान्य गुणनखंड स्पष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि एक बीजीय भिन्न के अंश और हर का एक सामान्य गुणनखंड 3 होता है। यह देखना भी आसान है कि एक बीजीय भिन्न को x, y या तुरंत x·y से घटाया जा सकता है। लेकिन बहुत अधिक बार, बीजीय अंश के अंश और हर का सामान्य कारक तुरंत दिखाई नहीं देता है, और इससे भी अधिक बार, यह बस मौजूद नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक भिन्न को x−1 से कम किया जा सकता है, लेकिन यह सामान्य कारक स्पष्ट रूप से संकेतन में मौजूद नहीं है। और एक बीजीय भिन्न कम नहीं किया जा सकता क्योंकि इसके अंश और हर में सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

बीजीय भिन्न में कमी का नियम

सबसे पहले, मूल भिन्न के अंश और हर के उभयनिष्ठ गुणनखंड पाए जाते हैं;
यदि कोई हो, तो इन कारकों द्वारा कमी की जाती है।

घोषित नियम के इन चरणों के स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

उभयनिष्ठों को खोजने का सबसे सुविधाजनक तरीका उन बहुपदों का गुणनखंड करना है जो मूल बीजीय भिन्न के अंश और हर में हैं। इस मामले में, अंश और हर के सामान्य कारक तुरंत दिखाई देते हैं, या यह स्पष्ट हो जाता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं।

आइए इस नियम का उपयोग करके उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। उन पर, हम उन सभी संभावित बारीकियों का विश्लेषण करेंगे जो बीजीय अंश के अंश और हर को कारकों और बाद में कमी में विघटित करते समय उत्पन्न होती हैं।

विशिष्ट उदाहरण

अब यह याद रखने में कोई दिक्कत नहीं है कि साधारण अंशों की कमी कैसे की जाती है - आखिरकार, वे बीजीय अंशों का एक विशेष मामला हैं। एक साधारण भिन्न के अंश और हर में प्राकृतिक संख्याएँ, जिसके बाद सामान्य गुणनखंड कम हो जाते हैं (यदि कोई हो)। उदाहरण के लिए, . समान अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल को अंशों के रूप में लिखा जा सकता है, और जब घटाया जाता है, तो उपयोग किया जाता है। इस मामले में, समाधान इस तरह दिखेगा: यहाँ हमने अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 2 3 से विभाजित किया है। या, अधिक स्पष्टता के लिए, गुणन और भाग के गुणों के आधार पर, समाधान रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

उदाहरण।

बीजीय अंश कम करें .

फेसला।

जवाब:

जहां तक अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक वाले बीजगणितीय अंशों की कमी के लिए, आप दो काम कर सकते हैं: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग से विभाजित करें, या पहले अंश और हर को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। हमने लेख में अंतिम परिवर्तन के बारे में बात की, एक बीजीय अंश को एक नए हर में लाया, यह एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति के कारण किया जा सकता है। आइए एक उदाहरण के साथ इससे निपटें।

उदाहरण।

अंश में कमी करें।

फेसला।

आप अंश को इस तरह कम कर सकते हैं: .

और पहले इन गुणांकों के हर से, यानी LCM(5, 10)=10 से अंश और हर को गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाना संभव था। इस मामले में हमारे पास है .

जवाब:

उदाहरण।

तर्कसंगत अंश कम करें .

फेसला।

ऐसा करने के लिए, हम अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करते हैं। आइए कोष्ठकों से शुरू करें: . जाहिर है, कोष्ठक के भावों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

बीजीय भिन्नों को कैसे हल करें। बीजीय भिन्नों की कमी: नियम, उदाहरण

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बीजीय भिन्न में कमी का नियम

विशिष्ट उदाहरण

बीजीय अंश में कमी

काटा नहीं जा सकता

छोटा किया जा सकता है

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सही नहीं

भिन्नों को कम करते समय एक सामान्य कारक निकालना

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