गुरुत्वाकर्षण (सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण, गुरुत्वाकर्षण)(अक्षांश से। गुरुत्वाकर्षण - "गुरुत्वाकर्षण") - प्रकृति में एक लंबी दूरी की मौलिक बातचीत, जिसके अधीन सभी भौतिक निकाय हैं। आधुनिक आंकड़ों के अनुसार, यह इस अर्थ में एक सार्वभौमिक अंतःक्रिया है कि, किसी भी अन्य बलों के विपरीत, यह बिना किसी अपवाद के सभी निकायों को समान त्वरण देता है, चाहे उनका द्रव्यमान कुछ भी हो। मुख्य रूप से गुरुत्वाकर्षण ब्रह्मांडीय पैमाने पर निर्णायक भूमिका निभाता है। अवधि गुरुत्वाकर्षणभौतिकी की एक शाखा के नाम के रूप में भी प्रयोग किया जाता है जो गुरुत्वाकर्षण बातचीत का अध्ययन करती है। सबसे सफल आधुनिक भौतिक सिद्धांतशास्त्रीय भौतिकी में, गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करना, सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत है, गुरुत्वाकर्षण बातचीत का क्वांटम सिद्धांत अभी तक नहीं बनाया गया है।

गुरुत्वाकर्षण संपर्क

गुरुत्वाकर्षण संपर्क चार में से एक है मौलिक बातचीतहमारी दुनिया में। शास्त्रीय यांत्रिकी के भीतर, गुरुत्वाकर्षण संपर्क का वर्णन द्वारा किया गया है कानून गुरुत्वाकर्षण न्यूटन जो उस बल को कहते हैं गुरुत्वाकर्षण आकर्षणदो के बीच में भौतिक बिंदुजनता एम 1 और एम 2 दूरी से अलग आर, दोनों द्रव्यमानों के समानुपाती होता है और दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है - अर्थात।

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यहां जी- गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, लगभग . के बराबर एम³/(किलो s²)। माइनस साइन का मतलब है कि शरीर पर अभिनय करने वाला बल हमेशा शरीर को निर्देशित त्रिज्या वेक्टर की दिशा में बराबर होता है, अर्थात गुरुत्वाकर्षण संपर्क हमेशा किसी भी पिंड के आकर्षण की ओर ले जाता है।

सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम व्युत्क्रम वर्ग कानून के अनुप्रयोगों में से एक है, जो विकिरण के अध्ययन में भी सामने आया है (उदाहरण के लिए, प्रकाश दबाव देखें), और जो कि क्षेत्र में द्विघात वृद्धि का प्रत्यक्ष परिणाम है बढ़ती त्रिज्या के साथ क्षेत्र, जो पूरे क्षेत्र के क्षेत्र में किसी भी इकाई क्षेत्र के योगदान में द्विघात कमी की ओर जाता है।

सबसे आसान काम आकाशीय यांत्रिकीमें दो पिंडों की गुरुत्वाकर्षण बातचीत है खाली जगह. यह समस्या विश्लेषणात्मक रूप से अंत तक हल हो गई है; इसके समाधान का परिणाम अक्सर तैयार किया जाता है तीनकेप्लर के नियम।

जैसे-जैसे परस्पर क्रिया करने वाले निकायों की संख्या बढ़ती है, समस्या और अधिक जटिल होती जाती है। तो, पहले से ही प्रसिद्ध तीन-शरीर की समस्या (अर्थात, आंदोलन तीन शरीरगैर-शून्य द्रव्यमान के साथ) विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है सामान्य दृष्टि से. एक संख्यात्मक समाधान के साथ, प्रारंभिक स्थितियों के संबंध में समाधानों की अस्थिरता जल्दी से सेट हो जाती है। जब सौर मंडल पर लागू किया जाता है, तो यह अस्थिरता सौ मिलियन वर्ष से अधिक के पैमाने पर ग्रहों की गति की भविष्यवाणी करना असंभव बना देती है।

कुछ विशेष मामलों में, अनुमानित समाधान खोजना संभव है। सबसे महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब एक शरीर का द्रव्यमान महत्वपूर्ण रूप से होता है अधिक द्रव्यमानअन्य निकाय (उदाहरण: सौर प्रणालीऔर शनि के छल्लों की गतिशीलता)। इस मामले में, पहले सन्निकटन में, हम यह मान सकते हैं कि प्रकाश पिंड एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया नहीं करते हैं और एक विशाल पिंड के चारों ओर केप्लरियन प्रक्षेपवक्र के साथ चलते हैं। उनके बीच की बातचीत को गड़बड़ी सिद्धांत के ढांचे में ध्यान में रखा जा सकता है, और समय के साथ औसत किया जा सकता है। इस मामले में, गैर-तुच्छ घटनाएं उत्पन्न हो सकती हैं, जैसे प्रतिध्वनि, आकर्षित करने वाले, यादृच्छिकता, आदि। निदर्शी उदाहरणऐसी घटनाएं - शनि के छल्लों की गैर-तुच्छ संरचना।

से सिस्टम के व्यवहार का वर्णन करने के प्रयासों के बावजूद एक लंबी संख्यालगभग समान द्रव्यमान के पिंडों को आकर्षित करना, गतिशील अराजकता की घटना के कारण ऐसा नहीं किया जा सकता है।

मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र

मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में, साथ चलते समय सापेक्ष गति, सामान्य सापेक्षता के प्रभाव प्रकट होने लगते हैं:

• न्यूटनियन से गुरुत्वाकर्षण के नियम का विचलन;
• गुरुत्वाकर्षण गड़बड़ी के परिमित प्रसार वेग से जुड़े संभावित विलंब; गुरुत्वाकर्षण तरंगों की उपस्थिति;
• गैर-रैखिक प्रभाव: गुरुत्वाकर्षण लहरोंएक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, इसलिए तरंगों के सुपरपोजिशन का सिद्धांत मजबूत क्षेत्रअब प्रदर्शन नहीं किया गया;
• अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति में परिवर्तन;
• ब्लैक होल का उद्भव;

गुरुत्वाकर्षण विकिरण

सामान्य सापेक्षता की महत्वपूर्ण भविष्यवाणियों में से एक गुरुत्वाकर्षण विकिरण है, जिसकी उपस्थिति अभी तक प्रत्यक्ष टिप्पणियों द्वारा पुष्टि नहीं की गई है। हालांकि, इसके अस्तित्व के पक्ष में अप्रत्यक्ष अवलोकन संबंधी साक्ष्य हैं, अर्थात्: PSR B1913+16 पल्सर के साथ एक बाइनरी सिस्टम में ऊर्जा की हानि - हल्स-टेलर पल्सर - उस मॉडल के साथ अच्छे समझौते में हैं जिसमें यह ऊर्जा किसके द्वारा दूर की जाती है गुरुत्वाकर्षण विकिरण।

गुरुत्वाकर्षण विकिरण केवल चर चौगुनी क्षणों या उच्च बहुध्रुव क्षणों वाले सिस्टम द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, यह तथ्य बताता है कि अधिकांश का गुरुत्वाकर्षण विकिरण प्राकृतिक स्रोतोंदिशात्मक, जो इसकी पहचान को काफी जटिल करता है। गुरुत्वाकर्षण शक्ति मैं-पॉली स्रोत आनुपातिक है (वी / सी) 2मैं + 2 , यदि गुणक विद्युत प्रकार का है, तथा (वी / सी) 2मैं + 4 - यदि बहुध्रुव चुंबकीय प्रकार, कहाँ पे वीविकिरण प्रणाली में स्रोतों का अभिलक्षणिक वेग है, और सीप्रकाश की गति है। इस प्रकार, प्रमुख क्षण विद्युत प्रकार का चौगुना क्षण होगा, और संबंधित विकिरण की शक्ति इसके बराबर होगी:

कहाँ पे क्यू मैंजेविकिरण प्रणाली के बड़े पैमाने पर वितरण के चौगुनी क्षण का टेंसर है। नियत (1/W) विकिरण शक्ति के परिमाण के क्रम का अनुमान लगाना संभव बनाता है।

1969 से (वेबर के प्रयोग (अंग्रेजी)) और वर्तमान (फरवरी 2007) तक, गुरुत्वाकर्षण विकिरण का सीधे पता लगाने के प्रयास किए गए हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका, यूरोप और जापान में इस पलकई सक्रिय ग्राउंड-आधारित डिटेक्टर (GEO 600), साथ ही साथ तातारस्तान गणराज्य के अंतरिक्ष गुरुत्वाकर्षण डिटेक्टर के लिए एक परियोजना है।

गुरुत्वाकर्षण के सूक्ष्म प्रभाव

गुरुत्वाकर्षण आकर्षण और समय के फैलाव के शास्त्रीय प्रभावों के अलावा, सामान्य सापेक्षता गुरुत्वाकर्षण की अन्य अभिव्यक्तियों के अस्तित्व की भविष्यवाणी करती है, जिसमें सांसारिक परिस्थितियाँबहुत कमजोर हैं और इसलिए उनका पता लगाना और प्रायोगिक सत्यापन बहुत मुश्किल है। कुछ समय पहले तक, इन कठिनाइयों पर काबू पाना प्रयोगकर्ताओं की क्षमताओं से परे था।

उनमें से, विशेष रूप से, कोई जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम (या लेंस-थिरिंग प्रभाव) और गुरुत्वाकर्षण चुंबकीय क्षेत्र के ड्रैग को नाम दे सकता है। 2005 में स्वचालित उपकरणनासा के ग्रेविटी प्रोब बी ने पृथ्वी के पास इन प्रभावों को मापने के लिए अभूतपूर्व सटीकता का एक प्रयोग किया है, लेकिन पूर्ण परिणाम अभी तक प्रकाशित नहीं हुए हैं।

गुरुत्वाकर्षण का क्वांटम सिद्धांत

आधी सदी से अधिक के प्रयासों के बावजूद, गुरुत्वाकर्षण ही एकमात्र मौलिक अंतःक्रिया है जिसके लिए एक सुसंगत पुनर्सामान्यीकरण योग्य क्वांटम सिद्धांत अभी तक नहीं बनाया गया है। हालांकि, कम ऊर्जा पर, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की भावना में, गुरुत्वाकर्षण बातचीत को गुरुत्वाकर्षण के आदान-प्रदान के रूप में दर्शाया जा सकता है - स्पिन 2 के साथ गेज बोसॉन।

गुरुत्वाकर्षण के मानक सिद्धांत

इस तथ्य के कारण क्वांटम प्रभावसबसे चरम प्रयोगात्मक और अवलोकन स्थितियों के तहत भी गुरुत्वाकर्षण बेहद छोटा है, फिर भी उनका कोई विश्वसनीय अवलोकन नहीं है। सैद्धांतिक अनुमानदिखाएँ कि अधिकांश मामलों में प्रतिबंधित करना संभव है क्लासिक विवरणगुरुत्वाकर्षण बातचीत।

एक आधुनिक विहित है शास्त्रीय सिद्धांतगुरुत्वाकर्षण - सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत, और कई परिकल्पनाएं और सिद्धांत जो इसे परिष्कृत करते हैं बदलती डिग्रीविकास, एक दूसरे के साथ प्रतिस्पर्धा (लेख गुरुत्वाकर्षण के वैकल्पिक सिद्धांत देखें)। ये सभी सिद्धांत उस सन्निकटन के भीतर बहुत समान भविष्यवाणियां देते हैं जिसमें वर्तमान में प्रायोगिक परीक्षण किए जा रहे हैं। निम्नलिखित कुछ मुख्य, सबसे अच्छी तरह से विकसित या हैं: प्रसिद्ध सिद्धांतगुरुत्वाकर्षण।

• गुरुत्वाकर्षण एक ज्यामितीय क्षेत्र नहीं है, बल्कि एक टेंसर द्वारा वर्णित एक वास्तविक भौतिक बल क्षेत्र है।

• गुरुत्वाकर्षण संबंधी घटनाओं को फ्लैट मिंकोव्स्की अंतरिक्ष के ढांचे के भीतर माना जाना चाहिए, जिसमें ऊर्जा-गति और कोणीय गति के संरक्षण के नियम स्पष्ट रूप से पूरे होते हैं। फिर मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में निकायों की गति प्रभावी रीमैनियन अंतरिक्ष में इन निकायों की गति के बराबर है।

• टेंसर समीकरणों में, मीट्रिक निर्धारित करने के लिए, गुरुत्वाकर्षण के द्रव्यमान को ध्यान में रखना चाहिए, और मिंकोव्स्की अंतरिक्ष के मीट्रिक से जुड़ी गेज स्थितियों का भी उपयोग करना चाहिए। यह संदर्भ के कुछ उपयुक्त फ्रेम को चुनकर स्थानीय स्तर पर भी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को नष्ट करने की अनुमति नहीं देता है।

सामान्य सापेक्षता के रूप में, आरटीजी में, पदार्थ के अपवाद के साथ, पदार्थ के सभी रूपों (विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र सहित) को संदर्भित करता है गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र. आरटीजी सिद्धांत के परिणाम इस प्रकार हैं: सामान्य सापेक्षता में भविष्यवाणी की गई भौतिक वस्तुओं के रूप में ब्लैक होल मौजूद नहीं हैं; ब्रह्मांड सपाट, सजातीय, समदैशिक, गतिहीन और यूक्लिडियन है।

दूसरी ओर, कम से कम ठोस तर्कआरटीजी के विरोधी, जो निम्नलिखित प्रावधानों पर आधारित हैं:

आरटीजी में भी ऐसा ही होता है, जहां गैर-यूक्लिडियन स्पेस और मिंकोवस्की स्पेस के बीच संबंध को ध्यान में रखते हुए दूसरा टेंसर समीकरण पेश किया जाता है। जॉर्डन-ब्रान्स-डिके सिद्धांत में एक आयामहीन फिटिंग पैरामीटर की उपस्थिति के कारण, इसे चुनना संभव हो जाता है ताकि सिद्धांत के परिणाम गुरुत्वाकर्षण प्रयोगों के परिणामों के साथ मेल खाते हों।

गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत

न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का शास्त्रीय सिद्धांत सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत क्वांटम गुरुत्व विकल्प सामान्य सापेक्षता का गणितीय सूत्रीकरण बड़े पैमाने पर गुरुत्वाकर्षण के साथ गुरुत्वाकर्षण जियोमेट्रोडायनामिक्स (अंग्रेज़ी) सेमीक्लासिकल ग्रेविटी (अंग्रेज़ी) द्विमितीय सिद्धांत अदिश-टेन्सर-वेक्टर गुरुत्वाकर्षण व्हाइटहेड का गुरुत्वाकर्षण का सिद्धांत संशोधित न्यूटनियन गतिकी समग्र गुरुत्वाकर्षण

स्रोत और नोट्स

साहित्य

• विज़गिन वी.पी.गुरुत्वाकर्षण का सापेक्षवादी सिद्धांत (उत्पत्ति और गठन, 1900-1915)। एम.: नौका, 1981. - 352सी।
• विज़गिन वी.पी. एकीकृत सिद्धांतबीसवीं सदी के पहले तीसरे में। एम.: नौका, 1985. - 304 सी।
• इवानेंको डी.डी., सरदानशविली जी.ए.गुरुत्वाकर्षण, तीसरा संस्करण। एम.: यूआरएसएस, 2008. - 200पी।

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• ग्रेविमीटर

लिंक

• सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम या "चंद्रमा पृथ्वी पर क्यों नहीं गिरता?" - बस परिसर के बारे में

भौतिकी में प्रमुख उपखंड
प्रायोगिक भौतिकी सैद्धांतिक भौतिकी
एग्रोफिजिक्स एकॉस्टिक्स एस्ट्रोफिजिक्स एटॉमिक, मॉलिक्यूलर एंड ऑप्टिकल फिजिक्स बायोफिजिक्स जियोफिजिक्स डायनेमिक्स (हाइड्रोडायनामिक्स थर्मोडायनामिक्स) मैथमेटिकल फिजिक्स चिकित्सा भौतिकीतत्वमीमांसा यांत्रिकी (शास्त्रीय यांत्रिकी क्वांटम यांत्रिकी सांख्यिकीय यांत्रिकी) अनुभवहीन भौतिकीन्यूरोफिज़िक्स स्टेटिक्स (हाइड्रोस्टैटिक्स) थ्योरी क्वांटम क्षेत्रसापेक्षता (विशेष सिद्धांत सामान्य सिद्धांत) वायुमंडलीय भौतिकी संघनित पदार्थ भौतिकी प्लाज्मा भौतिकी मृदा भौतिकी

सोकोल-कुटिलोव्स्की ओ.एल.

गुरुत्वाकर्षण संपर्क की ताकतों पर

यदि आप किसी भी विश्वविद्यालय के भौतिकी या यांत्रिकी और गणित विभागों के किसी भी छात्र या प्रोफेसर से गुरुत्वाकर्षण बातचीत की ताकतों के बारे में पूछते हैं, तो ऐसा लगता है कि सभी ज्ञात बल अंतःक्रियाओं का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है, तो वे केवल न्यूटन के बल के लिए सूत्र लिख सकते हैं और केन्द्रापसारक बल के लिए, जिसे वे समझ से बाहर कोरिओलिस बल और कुछ रहस्यमय जाइरोस्कोपिक बलों के अस्तित्व को याद रखेंगे। और यह सब इस तथ्य के बावजूद कि सभी गुरुत्वाकर्षण बल प्राप्त किए जा सकते हैं सामान्य सिद्धांतोंशास्त्रीय भौतिकी।

1. गुरुत्वाकर्षण बलों के बारे में क्या जाना जाता है

1.1. यह ज्ञात है कि शरीरों के बीच उत्पन्न होने वाला बल गुरुत्वाकर्षण बातचीत, इन पिंडों के द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती (सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम या न्यूटन का नियम):

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(1)

कहाँ पे जी" 6.6720Ch 10 -11 LF m 2Ch kg -2 - गुरुत्वीय स्थिरांक, एम, एम- परस्पर क्रिया करने वाले निकायों का द्रव्यमान और आर- परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों के द्रव्यमान के केंद्रों के बीच की सबसे छोटी दूरी। यह मानते हुए कि शरीर द्रव्यमान एमदूरी पर आरअपने द्रव्यमान के केंद्र की ओर निर्देशित एक गुरुत्वाकर्षण त्वरण क्षेत्र बनाता है,

बल (1) द्रव्यमान के पिंड पर कार्य करना एम, प्रपत्र में भी प्रस्तुत किए जाते हैं:

जहाँ w एक धुरी के चारों ओर पिंड के घूमने का कोणीय वेग है जो पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से नहीं गुजरता है, वी शरीर की सीधी गति की गति है और आर रेडियल वेक्टर है जो घूर्णन की धुरी को कण के साथ या घूर्णन पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से जोड़ता है। पहला पद गुरुत्वीय बल (1) से मेल खाता है, दूसरा पद सूत्र (3) में कोरिओलिस बल कहलाता है, और तीसरा पद है अभिकेन्द्रीय बल. संदर्भ के फ्रेम के आधार पर कोरिओलिस बल और केन्द्रापसारक बल को कल्पित माना जाता है, जो बिल्कुल अनुभव और प्राथमिक के अनुरूप नहीं है व्यावहारिक बुद्धि. अगर कोई बल काम कर सकता है तो उसे कैसे काल्पनिक माना जा सकता है? असली काम? स्पष्ट है कि ये काल्पनिक नहीं हैं शारीरिक बल, लेकिन वर्तमान में उपलब्ध ज्ञान और इन ताकतों की समझ।

कोरिओलिस बल में संख्यात्मक गुणांक "2" की उत्पत्ति संदिग्ध है, क्योंकि यह गुणांक उस स्थिति के लिए प्राप्त किया गया था जब संदर्भ के घूर्णन फ्रेम में शरीर के बिंदुओं की तात्कालिक गति गतिमान पिंड की गति के साथ मेल खाती है या है इसके खिलाफ निर्देशित, यानी कोरिओलिस बल की रेडियल दिशा के साथ। दूसरा मामला, जब शरीर की गति ओर्थोगोनल है तत्काल गतिसंदर्भ के घूर्णन फ्रेम के बिंदु, पर विचार नहीं किया गया। में वर्णित विधि के अनुसार, दूसरे मामले में कोरिओलिस बल का परिमाण निकलता है शून्य, जबकि दिए गए कोणीय और रैखिक वेगों पर यह समान होना चाहिए।

1.3. कोणीय वेग एक अक्षीय सदिश है, अर्थात यह एक निश्चित मान की विशेषता है और इसे एकल चयनित अक्ष के साथ निर्देशित किया जाता है। रास्ते का दिशा चिह्न कोणीय गतिसही पेंच नियम द्वारा निर्धारित। घूर्णन के कोणीय वेग को प्रति इकाई समय में घूर्णन कोण में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है, ( टी)=¶ φ/¶ टी. इस परिभाषा में ( टी) – आवधिक कार्य 2π रेडियन की अवधि के साथ समय। उसी समय, कोणीय वेग है उलटा काम करनासमय। यह इस प्रकार है, विशेष रूप से, इसके आयाम से। इन कारणों से, समय के संबंध में कोणीय वेग का व्युत्पन्न: ¶ /¶ टी=-ω 2 . कोणीय वेग का समय व्युत्पन्न कोणीय त्वरण के अक्षीय वेक्टर से मेल खाता है। भौतिक में दी गई सशर्त परिभाषा के अनुसार विश्वकोश शब्दकोश, कोणीय त्वरण के अक्षीय वेक्टर को रोटेशन की धुरी के साथ निर्देशित किया जाता है, और उसी दिशा में कोणीय वेग के रूप में, यदि रोटेशन को तेज किया जाता है, और कोणीय वेग के खिलाफ, यदि रोटेशन धीमा है।

2. पिंड के द्रव्यमान के केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल

गुरुत्वाकर्षण और यांत्रिक बलबातचीत की प्रकृति में एक दूसरे से भिन्न होते हैं: निकायों के "संपर्क" संपर्क के साथ, यांत्रिक बल उत्पन्न होते हैं, और निकायों के दूरस्थ गुरुत्वाकर्षण संपर्क के साथ - गुरुत्वाकर्षण बल।

2.1. आइए हम एक भौतिक पिंड के द्रव्यमान के केंद्र पर कार्य करने वाले सभी गुरुत्वाकर्षण बलों को परिभाषित करें। शरीर के चारों ओर घूमना अपनी धुरी, इसके द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने पर अभी विचार नहीं किया जाएगा। यांत्रिकी के सामान्य सिद्धांतों से यह ज्ञात होता है कि किसी पिंड के तात्कालिक संवेग में परिवर्तन होने पर बल उत्पन्न होता है। चलो अभिनय करें एक समान तरीके सेके साथ जुड़े बलों का निर्धारण करने के रूप में सीधा आंदोलनशरीर, और बाहरी अक्ष के सापेक्ष इसके घूर्णन से जुड़े बलों को निर्धारित करने में:

या विस्तारित रूप में:

कहाँ पे आर =आर·[ क्योंकि (ω टी)· एक्स + पाप (ω टी)· आप ], एक्स और आप संगत निर्देशांक अक्षों की दिशा में इकाई सदिश हैं, आररेडियल वेक्टर का मापांक है आर , आर 1 =आर /आररेडियल वेक्टर की दिशा में इकाई वेक्टर है आर , टीसमय है, और समन्वय अक्ष जेड रोटेशन की धुरी के साथ मेल खाता है। यूनिट वेक्टर व्युत्पन्न मूल्य आर 1 समय तक, ¶ आर 1 /¶ टी=ω· आर 1^ , जहां आर 1^ रेडियल वेक्टर के लिए रोटेशन और ऑर्थोगोनल के विमान में स्थित इकाई वेक्टर है आर (चित्र .1)।

पर ध्यान दें संभावित परिवर्तनरेडियल वेक्टर, समीकरण (7) के अनुसार, सूत्र (6) रूप लेता है:

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(8)

चावल। एक। आपसी व्यवस्थारेडियल वेक्टर आर , कोणीय गति ω और तात्कालिक गति वी एमशरीर का द्रव्यमान एम, समन्वय प्रणाली में ( एक्स, आप, जेड) अक्ष के साथ निर्देशित रोटेशन की धुरी के साथ जेड. इकाई वेक्टर आर 1 =आर /r इकाई वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल है आर 1^ .

2.2. समीकरण (8) में शामिल सभी बल समान हैं और सदिश योग नियम के अनुसार जोड़े जाते हैं। बलों के योग (8) को चार पदों के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एफ जी = एफ ए+एफ ω1 + एफ ω2 + एफ 3।

बल एफ एएक सीधी रेखा में होता है तेज़ गतिशरीर या किसी अन्य पिंड के साथ किसी पिंड की गुरुत्वाकर्षण स्थैतिक बातचीत में। बल एफ ω1 उस मामले के लिए कोरिओलिस बल से मेल खाता है जब एक भौतिक शरीर रेडियल दिशा (घूर्णन की त्रिज्या के साथ) में घूर्णन प्रणाली में चलता है। यह बल पिंड के तात्कालिक वेग की ओर या उसके विरुद्ध निर्देशित होता है। बल एफ 2 घूर्णन पिंड के किसी भी बिंदु पर कार्य करने वाला बल है। इसे केन्द्रापसारक बल कहा जाता है, लेकिन उसी बल को कोरिओलिस बल कहा जाता है यदि घूर्णन प्रणाली में शरीर घूर्णन की त्रिज्या को बदले बिना तात्कालिक गति की दिशा में चलता है। बल एफ ω2 हमेशा रेडियल रूप से निर्देशित होता है। समानता को ध्यान में रखते हुए आर 1 /¶ टी=ω· आर 1^ , और परिणामी वेक्टर की दिशा in वेक्टर उत्पाद, हम प्राप्त करते हैं कि शरीर के प्रत्येक बिंदु के कोणीय वेग के साथ घूमने के दौरान ω उस पर बल कार्य करता है एफ 2 = एम 2 आर , जो सूत्र (3) में केन्द्रापसारक बल के साथ मेल खाता है।

बल एफ ω3 जड़ता का बल है चक्रीय गति. घूर्णी गति का जड़त्व बल तब उत्पन्न होता है जब घूर्णन प्रणाली का कोणीय वेग और इससे जुड़े पिंड बदल जाते हैं और शरीर के तात्कालिक वेग वेक्टर के साथ निर्देशित होते हैं डीडब्ल्यू/डीटी<0 и против вектора мгновенной скорости тела при डीडब्ल्यू/डीटी>0. यह केवल क्षणिक प्रक्रियाओं के दौरान होता है, और शरीर के एक समान घूर्णन के साथ, यह बल अनुपस्थित होता है। दिशा गुरुत्वाकर्षण बलघूर्णन जड़त्व

(9)

चित्र में दिखाया गया है 2. यहाँ आर रेडियल वेक्टर कनेक्टिंग है सबसे छोटा रास्ताघूर्णन पिंड के द्रव्यमान के केंद्र के साथ रोटेशन की धुरी, ω कोणीय वेग का अक्षीय सदिश है।

चावल। 2.घूर्णी गति की जड़ता के गुरुत्वाकर्षण बल की दिशा, एफ 3, शरीर को बिंदु 1 से बिंदु 2 पर ले जाने पर जब डीडब्ल्यूई / डीटी<0; आर रेडियल वेक्टर है , घूर्णन की धुरी को गतिमान पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से जोड़ना; एफ टी - रस्सी का आकर्षण बल या तन्यता बल। केन्द्रापसारक बल नहीं दिखाया गया है।

बलों का वेक्टर योग एफ 1 और एफ 2 परिणामी बल बनाता है (कोरिओलिस बल एफ क) जब कोई पिंड घूर्णन प्रणाली में मनमानी दिशा में चलता है:

3. शरीर के घूर्णन की धुरी के घूर्णन से उत्पन्न होने वाले गुरुत्वाकर्षण और यांत्रिक बल

न केवल द्रव्यमान के केंद्र पर, बल्कि भौतिक शरीर के किसी भी अन्य बिंदु पर अभिनय करने वाले सभी गुरुत्वाकर्षण बलों को निर्धारित करने के लिए, जब इस शरीर के घूर्णन की धुरी किसी अन्य धुरी के चारों ओर घूमती है, तो सूत्र पर वापस जाना आवश्यक है (5 )

पहले प्राप्त सभी गुरुत्वाकर्षण और यांत्रिक बलों के लिए सामान्य सूत्र मान्य रहता है, लेकिन अब तक प्राप्त सभी बलों को शरीर के द्रव्यमान के केंद्र पर लागू माना जाता था। शरीर के अलग-अलग बिंदुओं पर घूर्णन की अपनी धुरी के घूर्णन का प्रभाव जो द्रव्यमान के केंद्र से मेल नहीं खाता है, को ध्यान में नहीं रखा गया था। फिर भी, यांत्रिकी के सामान्य सिद्धांतों से पहले प्राप्त सूत्र (5) में घूर्णन शरीर के किसी भी बिंदु पर कार्य करने वाले सभी बल शामिल हैं, जिसमें इस शरीर के घूर्णन के अपने अक्ष के स्थानिक घूर्णन से उत्पन्न होने वाली ताकतें शामिल हैं। इसलिए, सूत्र (5) से, एक घूर्णन सामग्री निकाय के मनमाने बिंदु पर कार्य करने वाले बल के लिए स्पष्ट रूप से एक समीकरण प्राप्त कर सकता है जब घूर्णन की अपनी धुरी अंतरिक्ष में एक निश्चित कोण के माध्यम से घूमती है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में समीकरण (5) का प्रतिनिधित्व करते हैं:

(12)

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जहां र डब्लू एस वेक्टर मापांक है आरडब्ल्यू डब्ल्यू , ए ( आरडब्ल्यू डब्ल्यू ) 1 सदिश के अनुदिश निर्देशित एक इकाई सदिश है आरडब्ल्यू डब्ल्यू . जैसा कि दिखाया गया है, वेक्टर का समय व्युत्पन्न आरडब्ल्यू डब्ल्यू जब इस वेक्टर का मान बदलता है, तो यह घूर्णन के गुरुत्वाकर्षण और यांत्रिक बल देता है, जिससे केन्द्रापसारक बल, कोरिओलिस बल और घूर्णन गति की जड़ता बल प्राप्त होता है:

जहाँ पाँचवाँ पद बल है, या यों कहें, यह इस पिंड के सभी बिंदुओं पर पिंड के घूमने की धुरी के स्थानिक घुमाव से उत्पन्न होने वाली शक्तियों का समूह है, और प्रत्येक बिंदु पर उत्पन्न होने वाला बल इस के स्थान पर निर्भर करता है बिंदु। संक्षेप में, सभी गुरुत्वाकर्षण बलों के कुल योग का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक है:

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(15)

कहाँ पे फा गुरुत्वाकर्षण त्वरण वेक्टर के साथ न्यूटन बल है ए , परिवार कल्याण 1 – परिवार कल्याण 3 - कोणीय वेग w और e . के गुरुत्वाकर्षण वेक्टर के साथ घूर्णी गति के बल एफडब्ल्यू डब्ल्यू आई सभी में शरीर के घूर्णन के अक्ष के घूर्णन से उत्पन्न होने वाली शक्तियों का समूह है एनजिन बिंदुओं में शरीर समान रूप से विभाजित होता है।

आइए हम पांचवें पद को विस्तारित रूप में प्रस्तुत करें। परिभाषा के अनुसार, रेडियल वेक्टर आर कोणीय वेग वेक्टर w के लिए ओर्थोगोनल है, इसलिए वेक्टर का मापांक आरडब्ल्यू डब्ल्यू इसके घटक वैक्टर के मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर है:

एक इकाई वेक्टर का समय व्युत्पन्न ( आरडब्ल्यू डब्ल्यू ) 1 इसे कोण की ओर बदलने पर j एक अन्य इकाई सदिश, r 1 देता है, जो घूर्णन S के तल के समानांतर स्थित है ( एक्स, जेड) और सदिश के लिए ओर्थोगोनल आरडब्ल्यू डब्ल्यू (चित्र 3)। इसके अलावा, एक कारक के रूप में, उसके पास रोटेशन के कोण के समय व्युत्पन्न के बराबर संख्यात्मक रूप से गुणांक है, W =¶ जे /¶ टी:

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(16)

चूँकि जब घूर्णन अक्ष को घुमाया जाता है, तो भौतिक शरीर के बिंदुओं की गति त्रि-आयामी होती है, और अक्ष का घूर्णन किसी समतल S में होता है ( एक्स, जेड), तो रोटेशन के विमान के सापेक्ष यूनिट वेक्टर का मापांक स्थिर नहीं होता है, और रोटेशन के दौरान यह शून्य से एक तक भिन्न होता है। इसलिए, इस तरह के एक इकाई वेक्टर को अलग करते समय, उस विमान के सापेक्ष इसका मूल्य जिसमें यह इकाई वेक्टर घूमता है, को ध्यान में रखा जाना चाहिए। इकाई वेक्टर की लंबाई ( आरडब्ल्यू डब्ल्यू ) 1 घूर्णन S के तल के संबंध में ( एक्स, जेड) रोटेशन के विमान पर इस यूनिट वेक्टर का प्रक्षेपण है। यूनिट वेक्टर व्युत्पन्न ( आरडब्ल्यू डब्ल्यू ) 1 घूर्णन के तल में S ( एक्स, जेड) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

,

(17)

जहाँ a सदिश के बीच का कोण है आरडब्ल्यू डब्ल्यू और घूर्णन का तल S ( एक्स, जेड).

घूर्णन अक्ष को घुमाते समय घूर्णन पिंड के किसी भी बिंदु पर कार्य करने वाला बल इस पिंड के द्रव्यमान के केंद्र पर नहीं, बल्कि सीधे प्रत्येक दिए गए बिंदु पर लगाया जाता है। इसलिए, शरीर को कई बिंदुओं में विभाजित किया जाना चाहिए, और विचार करें कि ऐसे प्रत्येक बिंदु का द्रव्यमान होता है मैं मैं. शरीर के किसी दिए गए बिंदु के वजन के तहत, मैं मैं, का अर्थ है पूरे शरीर के संबंध में छोटी मात्रा में केंद्रित द्रव्यमान छठीइसलिए:

शरीर के एक समान घनत्व के साथ r द्रव्यमान, और बल के आवेदन का बिंदु किसी दिए गए आयतन के द्रव्यमान का केंद्र होता है छठीद्रव्यमान के साथ एक भौतिक शरीर के एक हिस्से द्वारा कब्जा कर लिया गया मैं मैं. बल अभिनय मैंघूर्णन के अपने अक्ष को मोड़ते समय घूर्णन शरीर का -वां बिंदु, निम्न रूप लेता है:

,

(18)

कहाँ पे मैं मैंशरीर के दिए गए बिंदु का द्रव्यमान है, मैंकिसी दिए गए बिंदु (जिस पर बल निर्धारित होता है) से शरीर के रोटेशन की धुरी तक की सबसे छोटी दूरी है, w शरीर के रोटेशन का कोणीय वेग है, W अक्ष के रोटेशन के कोणीय वेग का मापांक है रोटेशन, ए वेक्टर के बीच का कोण है आरडब्ल्यू डब्ल्यू और घूर्णन का तल S ( एक्स, जेड), और r 1 एक इकाई वेक्टर है जो रोटेशन के विमान के समानांतर और तात्कालिक वेग वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल निर्देशित है आरडब्ल्यू डब्ल्यू .

चावल। 3.बल दिशा एफडब्ल्यू डब्ल्यू , जो तब उत्पन्न होता है जब पिंड के घूर्णन की धुरी विमान S . में घूमती है (एक्स, जेड)कोणीय वेग W के साथ। बिंदु पर एएक बिंदु से निकलने वाले त्रिज्या वेक्टर के साथ साथरोटेशन की धुरी, बल एफडब्ल्यू डब्ल्यू = 0; बिंदु पर बीशरीर के केंद्र से निकलने वाले त्रिज्या वेक्टर के साथ, बल एफडब्ल्यू डब्ल्यू अधिकतम मूल्य है।

सभी बलों का योग (18) हर चीज पर कार्य करता है एनजिन बिंदुओं में शरीर समान रूप से विभाजित है,

(19)

बलों का एक क्षण बनाता है जो शरीर को Y तल में घुमाता है ( वाई, ज़ू), रोटेशन एस के विमान के लिए ओर्थोगोनल ( एक्स, जेड) (चित्र 4)।

घूर्णन पिंडों के प्रयोगों से, बलों की उपस्थिति (19) ज्ञात होती है, लेकिन उन्हें स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है। विशेष रूप से, जाइरोस्कोप के सिद्धांत में, जाइरोस्कोप के बीयरिंगों पर कार्य करने वाले बलों को "जाइरोस्कोपिक" बल कहा जाता है, लेकिन इन भौतिक बलों की उत्पत्ति का खुलासा नहीं किया गया है। जाइरोस्कोप में, जब इसके घूर्णन की धुरी को घुमाया जाता है, तो बल (18) शरीर के प्रत्येक बिंदु पर कार्य करता है, जो यहां शास्त्रीय भौतिकी के सामान्य सिद्धांतों से प्राप्त होता है और एक विशिष्ट समीकरण के रूप में मात्रात्मक रूप से व्यक्त किया जाता है।

समरूपता की संपत्ति से यह निम्नानुसार है कि शरीर का प्रत्येक बिंदु रोटेशन की धुरी के संबंध में सममित रूप से स्थित एक अन्य बिंदु से मेल खाता है, जिसमें समान परिमाण का बल, लेकिन विपरीत दिशा में, कार्य करता है (18)। घूर्णन पिंड की धुरी के घूर्णन के दौरान बलों के ऐसे सममित युग्मों की संयुक्त क्रिया बलों का एक क्षण बनाती है जो इस पिंड को तीसरे विमान Y में घुमाती है ( वाई, ज़ू), जो घूर्णन S के तल का लंबकोणीय है ( एक्स, जेड) और विमान L (एक्स, वाई), जिसमें शरीर के बिंदु घूमते हैं:

.

(20)

चावल। 4. द्रव्यमान के केंद्र के संबंध में सममित रूप से स्थित शरीर के बिंदुओं पर बलों के जोड़े की कार्रवाई के तहत बलों के एक क्षण का उद्भव। 1 और 2 कोणीय वेग w से घूर्णन करने वाले पिंड के दो सममित बिंदु हैं, जिसमें, जब पिंड के घूर्णन की धुरी कोणीय वेग W से घूमती है, तो समान बल उत्पन्न होते हैं एफडब्ल्यू डब्ल्यू 1 और एफडब्ल्यू डब्ल्यू 2, क्रमशः।

इस मामले में, कोणीय वेग के इकाई वैक्टर के लिए उनकी दिशा को चिह्नित करते हुए, शरीर के किसी भी बिंदु पर जो समरूपता के केंद्र (द्रव्यमान के केंद्र) से मेल नहीं खाता है, वेक्टर पहचान पूरी होती है:

,

(21)

जहां क्यू 1 कोणीय वेग का इकाई अक्षीय वेक्टर है जो बल की क्रिया के क्षण में होता है (18), डब्ल्यू 1 शरीर के घूर्णन के कोणीय वेग का इकाई अक्षीय वेक्टर है और डब्ल्यू 1 इकाई अक्षीय वेक्टर है घूर्णन अक्ष के घूर्णन का कोणीय वेग (चित्र 2)। चूंकि रोटेशन की धुरी, रोटेशन डब्ल्यू के कोणीय वेग के वेक्टर के साथ मेल खाती है, हमेशा रोटेशन की धुरी के लिए ऑर्थोगोनल होती है, शरीर के रोटेशन के कोणीय वेग के वेक्टर के साथ मेल खाती है, तो कोणीय वेग वेक्टर क्यू है हमेशा सदिश w और W : के लिए ओर्थोगोनल।

अंतरिक्ष में समन्वय प्रणाली को घुमाकर, बल (18) को खोजने की समस्या को हमेशा अंजीर में विचार किए गए मामले के समान ही कम किया जा सकता है। 3. केवल कोणीय वेग w के अक्षीय वेक्टर की दिशा और रोटेशन की धुरी के घूर्णन की गति के अक्षीय वेक्टर की दिशा बदल सकती है, और, उनके परिवर्तन के परिणामस्वरूप, यह बदल सकता है बल की विपरीत दिशा एफडब्ल्यू डब्ल्यू .

तीन परस्पर ओर्थोगोनल अक्षों के साथ शरीर के मुक्त घूर्णन के दौरान कोणीय वेगों के निरपेक्ष मूल्यों के बीच संबंध को घूर्णी गति की ऊर्जा के संरक्षण के कानून को लागू करके पाया जा सकता है। सरलतम मामले में, द्रव्यमान के साथ एक सजातीय शरीर के लिए एमएक त्रिज्या के साथ एक गोले के रूप में आरअपने पास:

,

हमें कहाँ से मिलता है:

.

4. शरीर पर कार्य करने वाले प्राथमिक गुरुत्वाकर्षण और यांत्रिक बलों का कुल योग

4.1. शरीर के घूर्णन अक्ष के घूमने पर उत्पन्न होने वाली शक्तियों (19) को ध्यान में रखते हुए, रेक्टिलिनियर और घूर्णी गति में भाग लेने वाले भौतिक शरीर के किसी भी बिंदु पर कार्य करने वाले सभी गुरुत्वाकर्षण बलों के योग के लिए पूर्ण समीकरण, जिसमें एक स्थानिक रोटेशन भी शामिल है। घूर्णन की अपनी धुरी, निम्नलिखित रूप है:

(22)

कहाँ पे ए द्रव्यमान के साथ एक पिंड का सीधा त्वरण वेक्टर है एम, आर बल के आवेदन के बिंदु के साथ शरीर के रोटेशन की धुरी को जोड़ने वाला रेडियल वेक्टर है, आररेडियल वेक्टर का मापांक है आर ,आर 1 - इकाई वेक्टर, त्रिज्या वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाता है आर , w शरीर के घूर्णन का कोणीय वेग है, S र डब्लू एस तात्कालिक वेग वेक्टर का मॉड्यूल है आरडब्ल्यू डब्ल्यू , (आरडब्ल्यू डब्ल्यू ) 1 एक इकाई वेक्टर है जो वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाता है आरडब्ल्यू डब्ल्यू , आर 1^ एक इकाई वेक्टर है जो रोटेशन के विमान में स्थित है और वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है आर 1, डब्ल्यू घूर्णन की धुरी के घूर्णन के कोणीय वेग का मॉड्यूल है, आर 1 एक इकाई वेक्टर है जो घूर्णन के विमान के समानांतर निर्देशित होता है और तात्कालिक वेग वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल होता है आरडब्ल्यू डब्ल्यू , a वेक्टर के बीच का कोण है आरडब्ल्यू डब्ल्यू और रोटेशन का विमान मैं मैं- वजन मैं- शरीर का वह बिंदु, जो शरीर के एक छोटे से आयतन में केंद्रित होता है छठी, जिसका केंद्र बल लगाने का बिंदु है, और एनशरीर को विभाजित करने वाले बिंदुओं की संख्या है। दूसरे, तीसरे और चौथे बलों के लिए सूत्र (22) में, संकेत को सकारात्मक लिया जा सकता है, क्योंकि सामान्य सूत्र में ये बल निरपेक्ष मूल्य के संकेत के तहत हैं। बलों के संकेत प्रत्येक विशिष्ट बल की दिशा को ध्यान में रखते हुए निर्धारित किए जाते हैं। सूत्र (22) में शामिल बलों की मदद से, किसी भौतिक शरीर के किसी भी बिंदु की यांत्रिक गति का वर्णन करना संभव है, जब यह एक मनमानी प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है, जिसमें घूर्णन की धुरी के स्थानिक घूर्णन भी शामिल है।

4.2. तो, गुरुत्वाकर्षण बातचीत में इस शरीर के अनुवाद और घूर्णन गति के दौरान द्रव्यमान के केंद्र और भौतिक शरीर के प्रत्येक बिंदु पर अभिनय करने वाले केवल पांच अलग-अलग भौतिक बल होते हैं, और इनमें से केवल एक बल (न्यूटन का बल) कर सकता है दूसरे शरीर की तरफ से एक स्थिर शरीर पर कार्य करें। गुरुत्वाकर्षण संपर्क के सभी बलों का ज्ञान गतिशील यांत्रिक प्रणालियों (उदाहरण के लिए, ग्रहों वाले) की स्थिरता के कारण को समझना संभव बनाता है, और, परमाणु की स्थिरता की व्याख्या करने के लिए विद्युत चुम्बकीय बलों को ध्यान में रखते हुए।

साहित्य:

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3. सोकोल-कुटिलोव्स्की ओ.एल. गुरुत्वाकर्षण और विद्युत चुम्बकीय बल। येकातेरिनबर्ग, 2005

सोकोल-कुटिलोव्स्की ओ.एल., गुरुत्वाकर्षण बातचीत की ताकतों पर // "अकादमी ऑफ़ ट्रिनिटेरियनिज़्म", एम।, एल नंबर 77-6567, प्रकाशन। 13569, 18.07.2006

गुरुत्वाकर्षण बल

बल

यांत्रिकी का आधार न्यूटन का द्वितीय नियम है। जब कोई कानून गणितीय रूप से लिखा जाता है, तो कारण दाईं ओर और प्रभाव बाईं ओर लिखा जाता है। कारण बल है, और बल का प्रभाव त्वरण है। तो दूसरा नियम इस प्रकार लिखा गया है:

किसी पिंड का त्वरण शरीर पर लगने वाले परिणामी बल के समानुपाती होता है और शरीर के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है। परिणामी बल की दिशा में निर्देशित त्वरण। परिणामी बल शरीर पर कार्य करने वाले सभी बलों के सदिश योग के बराबर होता है: .

वास्तविक बल दो निकायों के बीच परस्पर क्रिया के माप की विशेषता है। भविष्य में, हम कई प्रकार की अंतःक्रियाओं पर विचार करेंगे - गुरुत्वाकर्षण, विद्युत, आणविक। प्रत्येक प्रकार की बातचीत की अपनी ताकत होती है। यदि कोई अंतःक्रिया नहीं है, तो कोई बल नहीं हैं। इसलिए, सबसे पहले, यह पता लगाना आवश्यक है कि कौन से निकाय आपस में बातचीत करते हैं।

गुरुत्वाकर्षण बल

शरीर को फेंक दिया जाता है और पृथ्वी पर उड़ जाता है (चित्र 1.1)। केवल उपलब्ध

चावल। 1.1. एक फेंके गए पत्थर पर कार्य करने वाले बल ( ए), पत्थर त्वरण ( बी) और इसकी गति ( में)

पृथ्वी के साथ शरीर की परस्पर क्रिया, जो आकर्षण के गुरुत्वाकर्षण बल (गुरुत्वाकर्षण) की विशेषता है। सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है और बराबर होता है

कहाँ पे एमपृथ्वी का द्रव्यमान है, टी- शरीर का द्रव्यमान, आरपृथ्वी के केंद्र से शरीर की दूरी है, γ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। कोई अन्य बातचीत नहीं है, इसलिए कोई अन्य बल नहीं हैं।

पत्थर का त्वरण ज्ञात करने के लिए सूत्र 1.2 से गुरुत्वाकर्षण बल को न्यूटन के द्वितीय नियम के सूत्र 1.1 में प्रतिस्थापित किया जाता है। जाहिर है, पत्थर का त्वरण हमेशा नीचे की ओर निर्देशित होता है (चित्र 1.1, बी) उसी समय, उड़ने वाले पत्थर की गति बदल जाती है और प्रक्षेपवक्र के प्रत्येक बिंदु पर इस प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित होती है (चित्र। 1.1, में).

न्यूटन का दूसरा नियम सदिश राशियों से संबंधित है - त्वरण एऔर परिणामी बल। कोई भी सदिश परिमाण (मापांक) और दिशा द्वारा दिया जाता है। आप निर्देशांक अक्षों पर तीन अनुमानों के साथ एक वेक्टर निर्दिष्ट कर सकते हैं, अर्थात तीन संख्याएँ। इस मामले में, कुल्हाड़ियों की पसंद सुविधा द्वारा निर्धारित की जाती है। अंजीर पर। 1.1 धुरा एक्सनीचे की ओर निर्देशित किया जा सकता है। तब त्वरण अनुमान के बराबर होगा एक एक्स, 0, 0. यदि अक्ष एक्सऊपर की ओर इंगित करें, तो त्वरण अनुमान समान हो जाएंगे - एक एक्स,0,0. निम्नलिखित में हम अक्ष की दिशा चुनेंगे एक्सताकि यह त्वरण के साथ दिशा में मेल खाता हो और सादगी के लिए हम मात्रा नहीं लिखेंगे एक एक्स, लेकिन बस ए।तो, गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा निर्मित त्वरण है

(1.3)

पृथ्वी की सतह के करीब निकायों के लिए, आर» आर(पृथ्वी त्रिज्या आर= 6400 किमी), तो

एम/एस 2 (1.4)

इसलिए, ऊर्ध्वाधर दिशा में फेंका गया पिंड एकसमान त्वरण से गति करता है।

सूत्र 1.3 से यह निम्नानुसार है कि मुक्त गिरने का त्वरण उड़ने वाले (गिरने वाले) पिंड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है और केवल ग्रह के द्रव्यमान से निर्धारित होता है एमऔर ग्रह के केंद्र से शरीर की दूरी आर. ग्रह के केंद्र से दूर शरीर है, मुक्त गिरने का कम त्वरण।

गुरुत्वाकर्षण संपर्क- सबसे कमजोर चार मौलिकबातचीत। न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, दो बिंदु द्रव्यमान m1 और m2 के गुरुत्वाकर्षण संपर्क Fg का बल है

जी \u003d 6.67 10 -11 मीटर 3 किग्रा -1 सेमी -2 - गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, r - अंतःक्रियात्मक द्रव्यमान m 1 और m 2 के बीच की दूरी। दो प्रोटॉन के बीच गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रिया की ताकत का उनके बीच कूलम्ब इलेक्ट्रोस्टैटिक इंटरैक्शन की ताकत का अनुपात 10 -36 है।
G 1/2 m की मात्रा को गुरुत्वीय आवेश कहते हैं। गुरुत्वाकर्षण आवेश पिंड के द्रव्यमान के समानुपाती होता है। इसलिए, गैर-सापेक्ष मामले के लिए, न्यूटन के नियम के अनुसार, गुरुत्वाकर्षण संपर्क F g के बल के कारण होने वाला त्वरण त्वरित शरीर के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है। यह कथन है तुल्यता सिद्धांत .
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की मौलिक संपत्ति यह है कि यह अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति को निर्धारित करता है जिसमें पदार्थ चलता है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, कणों के बीच की बातचीत उनके बीच कणों के आदान-प्रदान के माध्यम से होती है - बातचीत के वाहक। यह माना जाता है कि गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रिया का वाहक गुरुत्वाकर्षण है - स्पिन J = 2 वाला एक कण। प्रयोगात्मक रूप से गुरुत्वाकर्षण का पता नहीं चला है। गुरुत्वाकर्षण का क्वांटम सिद्धांत अभी तक नहीं बनाया गया है।

त्रिज्या के एक सजातीय क्षेत्र के बीच गुरुत्वाकर्षण बातचीत पर विचार करें आर, और जनता एमऔर द्रव्यमान का भौतिक बिंदु एमदूरी पर स्थित है आरगोले के केंद्र से (चित्र 116)।

बलों की गणना के लिए उपरोक्त विधि के अनुसार, गोले को छोटे वर्गों में विभाजित करना और क्षेत्र के सभी वर्गों से भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले बलों का योग करना आवश्यक है। इस तरह का योग सबसे पहले आई न्यूटन ने किया था। गणना की गणितीय सूक्ष्मताओं में जाने के बिना, हम अंतिम परिणाम प्रस्तुत करते हैं: परिणामी बल गेंद के केंद्र की ओर निर्देशित होता है (जो काफी स्पष्ट है), और इस बल का परिमाण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

दूसरे शब्दों में, परस्पर क्रिया का बल दो बिंदु पिंडों के परस्पर क्रिया बल के समान निकला, जिनमें से एक को गोले के केंद्र में रखा गया है और इसका द्रव्यमान गोले के द्रव्यमान के बराबर है। तथ्य यह है कि गुरुत्वाकर्षण संपर्क का बल बिंदु निकायों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इस गणना में आवश्यक हो गया; दूरी पर बल की किसी अन्य निर्भरता के लिए, गणना का दिया गया परिणाम गलत होगा।
प्राप्त निष्कर्ष को एक बिंदु आवेश और एक सजातीय गेंद की परस्पर क्रिया के लिए एक स्पष्ट तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसे साबित करने के लिए, गेंद को पतली गोलाकार परतों में तोड़ना पर्याप्त है।
इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि दो गोलाकार सममित निकायों के बीच गुरुत्वाकर्षण संपर्क बल निकायों के केंद्रों पर स्थित समान द्रव्यमान के भौतिक बिंदुओं के बीच बातचीत के बल के बराबर है। यही है, गुरुत्वाकर्षण बातचीत की गणना करते समय, गोलाकार रूप से सममित निकायों को इन निकायों के केंद्रों पर स्थित भौतिक बिंदु माना जा सकता है, भले ही स्वयं निकायों का आकार और उनके बीच की दूरी (चित्र। 117) हो।

आइए हम प्राप्त परिणामों को पृथ्वी की सतह के पास स्थित सभी पिंडों पर कार्य करने वाले बल पर लागू करें। बॉडी मास होने दें एमशीर्ष पर है एचपृथ्वी की सतह के ऊपर। अच्छी सटीकता के साथ, पृथ्वी के आकार को गोलाकार माना जा सकता है, इसलिए पृथ्वी की तरफ से शरीर पर अभिनय करने वाला बल उसके केंद्र की ओर निर्देशित होता है, और इस बल का मापांक सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है।

कहाँ एमपृथ्वी का द्रव्यमान है, आरइसकी त्रिज्या है। यह ज्ञात है कि पृथ्वी की औसत त्रिज्या बराबर है: आर 6350 किमी. यदि शरीर पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में कम ऊंचाई पर है, तो शरीर की ऊंचाई की उपेक्षा की जा सकती है, और इस मामले में आकर्षण बल के बराबर है:

जहां संकेत दिया गया है

पृथ्वी की सतह के पास सभी पिंडों पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण कहा जाता है। विभिन्न बिंदुओं पर मुक्त गिरावट के त्वरण सदिश समानांतर नहीं हैं, क्योंकि वे पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होते हैं। हालाँकि, यदि हम उन बिंदुओं पर विचार करते हैं जो पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में कम ऊंचाई पर हैं, तो हम मुक्त गिरावट त्वरण की दिशाओं में अंतर की उपेक्षा कर सकते हैं और मान सकते हैं कि पृथ्वी की सतह के पास विचाराधीन क्षेत्र के सभी बिंदुओं पर, त्वरण सदिश परिमाण और दिशा दोनों में स्थिर है (चित्र 118)।

इस सन्निकटन के ढांचे में, हम गुरुत्वाकर्षण बल को सजातीय कहेंगे।

6.7 गुरुत्वीय आकर्षण की स्थितिज ऊर्जा।

द्रव्यमान वाले सभी पिंड एक दूसरे के प्रति आकर्षित होते हैं, जो कि I. न्यूटन द्वारा सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम का पालन करता है। इसलिए, आकर्षित करने वाले निकायों में एक अंतःक्रियात्मक ऊर्जा होती है।

हम दिखाएंगे कि गुरुत्वाकर्षण बलों का कार्य प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात गुरुत्वाकर्षण बल भी संभावित हैं। ऐसा करने के लिए, द्रव्यमान के साथ एक छोटे से शरीर की गति पर विचार करें एमद्रव्यमान के एक और विशाल पिंड के साथ बातचीत एम, जिसे हम निश्चित मानेंगे (चित्र 90)। न्यूटन के नियम के अनुसार, निकायों के बीच कार्य करने वाला बल \(~\vec F\) इन निकायों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश निर्देशित होता है। इसलिए, जब शरीर चलता है एमउस बिंदु पर केन्द्रित वृत्त के चाप के अनुदिश जहाँ पिंड स्थित है एम, गुरुत्वाकर्षण बल का कार्य शून्य है, क्योंकि बल और विस्थापन सदिश हर समय परस्पर लंबवत रहते हैं। शरीर के केंद्र की ओर निर्देशित एक खंड के साथ चलते समय एम, विस्थापन और बल सदिश समानांतर हैं, इसलिए, इस मामले में, जब पिंड एक दूसरे के पास आते हैं, तो गुरुत्वाकर्षण बल का कार्य सकारात्मक होता है, और जब पिंड दूर जाते हैं, तो यह नकारात्मक होता है। इसके अलावा, हम देखते हैं कि रेडियल गति के दौरान, आकर्षक बल का कार्य केवल निकायों के बीच प्रारंभिक और अंतिम दूरी पर निर्भर करता है। इसलिए खंडों के साथ चलते समय (चित्र 91 देखें) डेऔर डी 1 इ 1 पूर्ण कार्य समान हैं, क्योंकि दोनों खंडों पर दूरी से बलों के परिवर्तन के नियम समान हैं। अंत में, एक मनमाना शरीर प्रक्षेपवक्र एमचाप और रेडियल वर्गों के एक सेट में विभाजित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, एक टूटी हुई रेखा एबीसीडीई) चापों के साथ चलते समय, कार्य शून्य के बराबर होता है, रेडियल खंडों के साथ चलते समय, कार्य इस खंड की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है - इसलिए, गुरुत्वाकर्षण बल का कार्य केवल निकायों के बीच प्रारंभिक और अंतिम दूरी पर निर्भर करता है, जिसे साबित करना जरूरी था।

ध्यान दें कि क्षमता को साबित करने में, हमने केवल इस तथ्य का उपयोग किया कि गुरुत्वाकर्षण बल केंद्रीय हैं, जो कि निकायों को जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ निर्देशित है, और दूरी पर बल की निर्भरता के विशिष्ट रूप का उल्लेख नहीं किया है। इसलिये, सभी केंद्रीय बल संभावित हैं.

हमने दो बिंदु निकायों के बीच गुरुत्वाकर्षण संपर्क के बल की क्षमता को साबित कर दिया है। लेकिन गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रियाओं के लिए, सुपरपोजिशन का सिद्धांत मान्य है - बिंदु निकायों की एक प्रणाली की ओर से शरीर पर अभिनय करने वाला बल युग्म अंतःक्रियाओं के बलों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक संभावित है, इसलिए, उनका योग है संभावित भी। वास्तव में, यदि जोड़ी अंतःक्रिया के प्रत्येक बल का कार्य प्रक्षेपवक्र पर निर्भर नहीं करता है, तो उनका योग भी प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, सभी गुरुत्वाकर्षण बल संभावित हैं.

गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रिया की संभावित ऊर्जा के लिए एक ठोस अभिव्यक्ति प्राप्त करना हमारे लिए बाकी है।

दो बिंदु निकायों के बीच आकर्षक बल के कार्य की गणना करने के लिए, दूरी में परिवर्तन के साथ रेडियल खंड के साथ चलते समय इस कार्य की गणना करने के लिए पर्याप्त है आर 1 से आर 2 (चित्र। 92)।

एक बार फिर, हम ग्राफिकल विधि का उपयोग करेंगे, जिसके लिए हम दूरी पर आकर्षक बल \(~F = G\frac(mM)(r^2)\) की निर्भरता को प्लॉट करते हैं आरनिकायों के बीच, फिर संकेतित सीमा के भीतर इस निर्भरता के ग्राफ के तहत क्षेत्र वांछित कार्य (चित्र। 93) के बराबर होगा। इस क्षेत्र की गणना करना कोई बहुत कठिन कार्य नहीं है, हालांकि इसके लिए कुछ निश्चित गणितीय ज्ञान और कौशल की आवश्यकता होती है। इस गणना के विवरण में जाने के बिना, हम अंतिम परिणाम प्रस्तुत करते हैं, दूरी पर बल की दी गई निर्भरता के लिए, ग्राफ के तहत क्षेत्र, या आकर्षक बल का कार्य, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

\(~A_(12) = GmM \left(\frac(1)(r_2) - \frac(1)(r_1) \right)\) ।

चूँकि हमने यह सिद्ध कर दिया है कि गुरुत्वाकर्षण बल संभावित हैं, यह कार्य अंतःक्रिया की स्थितिज ऊर्जा में कमी के बराबर है, अर्थात्

\(~A_(12) = GmM \left(\frac(1)(r_2) - \frac(1)(r_1) \right) = -\Delta U = -(U_2 - U_1)\) ।

इस व्यंजक से गुरुत्वीय अंतःक्रिया की स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक का निर्धारण किया जा सकता है

\(~U(r) = - G \frac(mM)(r)\) । (एक)

इस परिभाषा के साथ, स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक होती है और निकायों के बीच अनंत दूरी पर शून्य हो जाती है \(~U(\infty) = 0\) । फॉर्मूला (1) उस कार्य को निर्धारित करता है जो गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल से बढ़ती दूरी के साथ करेगा आरअनंत तक, चूंकि इस तरह के आंदोलन के साथ बल और विस्थापन के वैक्टर विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं, तो यह कार्य नकारात्मक होता है। विपरीत गति के साथ, जब पिंड अनंत दूरी से दूर की ओर आते हैं, तो आकर्षण बल का कार्य सकारात्मक होगा। इस कार्य की गणना स्थितिज ऊर्जा की परिभाषा द्वारा की जा सकती है \(~A_(\infty \to r)U(r) = - (U(\infty)- U(r)) = G \frac(mM)(r) \) ।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि संभावित ऊर्जा कम से कम दो निकायों की बातचीत की विशेषता है। यह कहना असंभव है कि बातचीत की ऊर्जा निकायों में से एक से "संबंधित" है, या "इस ऊर्जा को निकायों के बीच कैसे विभाजित किया जाए।" इसलिए, जब हम संभावित ऊर्जा में बदलाव के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब है कि परस्पर क्रिया करने वाले निकायों की एक प्रणाली की ऊर्जा में बदलाव। हालांकि, कुछ मामलों में एक शरीर की संभावित ऊर्जा में बदलाव की बात करना अभी भी स्वीकार्य है। इसलिए, पृथ्वी की तुलना में, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में शरीर की तुलना में एक छोटे से गति का वर्णन करते समय, हम पृथ्वी से शरीर पर अभिनय करने वाले बल के बारे में बात करते हैं, एक नियम के रूप में, बिना उल्लेख किए और समान बल अभिनय को ध्यान में रखते हुए नहीं। पृथ्वी पर शरीर से। तथ्य यह है कि पृथ्वी के विशाल द्रव्यमान के साथ, इसकी गति में परिवर्तन गायब हो रहा है। इसलिए, अंतःक्रिया की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन से शरीर की गतिज ऊर्जा में ध्यान देने योग्य परिवर्तन होता है और पृथ्वी की गतिज ऊर्जा में एक असीम परिवर्तन होता है। ऐसी स्थिति में, पृथ्वी की सतह के पास किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा के बारे में बात करने की अनुमति है, अर्थात गुरुत्वाकर्षण संपर्क की सभी ऊर्जा को एक छोटे से पिंड को "विशेषता" देना। सामान्य स्थिति में, कोई व्यक्ति किसी एक निकाय की स्थितिज ऊर्जा के बारे में बात कर सकता है यदि अन्य परस्पर क्रिया करने वाले निकाय गतिहीन हों।

हमने बार-बार इस बात पर जोर दिया है कि जिस बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा को शून्य मान लिया जाता है, उसे मनमाने ढंग से चुना जाता है। इस मामले में, ऐसा बिंदु अनंत पर एक बिंदु निकला। एक निश्चित अर्थ में, इस असामान्य निष्कर्ष को उचित माना जा सकता है: वास्तव में, एक अनंत दूरी पर अंतःक्रिया गायब हो जाती है - संभावित ऊर्जा भी गायब हो जाती है। इस दृष्टि से स्थितिज ऊर्जा का संकेत भी तार्किक लगता है। दरअसल, दो आकर्षित करने वाले निकायों को अलग करने के लिए, बाहरी बलों को सकारात्मक कार्य करना चाहिए, इसलिए, ऐसी प्रक्रिया में, सिस्टम की संभावित ऊर्जा बढ़नी चाहिए: यहां यह बढ़ता है, बढ़ता है और ... शून्य के बराबर हो जाता है! यदि आकर्षित करने वाले पिंड संपर्क में हों, तो आकर्षण बल सकारात्मक कार्य नहीं कर सकता है, लेकिन यदि शरीर अलग हो जाते हैं, तो ऐसे कार्य तब किए जा सकते हैं जब शरीर एक दूसरे के पास आते हैं। इसलिए अक्सर कहा जाता है कि आकर्षित करने वाले पिंडों में नकारात्मक ऊर्जा होती है, जबकि प्रतिकर्षित करने वाले पिंडों में सकारात्मक ऊर्जा होती है. यह कथन तभी सत्य है जब अनंत पर स्थितिज ऊर्जा का शून्य स्तर चुना जाता है।

इसलिए यदि दो पिंड एक स्प्रिंग से जुड़े हैं, तो पिंडों के बीच की दूरी में वृद्धि के साथ, उनके बीच एक आकर्षक बल कार्य करेगा, हालांकि, उनकी बातचीत की ऊर्जा सकारात्मक है। यह मत भूलो कि संभावित ऊर्जा का शून्य स्तर एक विकृत वसंत (और अनंत नहीं) की स्थिति से मेल खाता है।