परिचय

1. सैद्धांतिक भाग

1.1 बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

1.3 कार्डानो फॉर्मूला

2. समस्या समाधान

निष्कर्ष

परिचय

समीकरण। यह निश्चित रूप से कहा जा सकता है कि एक भी व्यक्ति ऐसा नहीं है जो उनसे परिचित नहीं होगा। कम उम्र से, बच्चे "X के साथ समस्याओं" को हल करना शुरू कर देते हैं। आगे। सच है, कई लोगों के लिए, समीकरणों से परिचित होना स्कूल के मामलों के साथ समाप्त होता है। प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ कूरेंट ने लिखा: "दो हजार से अधिक वर्षों के लिए, गणित के क्षेत्र में कुछ लोगों का अधिकार, बहुत सतही नहीं, ज्ञान एक आवश्यक था अभिन्न अंगप्रत्येक की बौद्धिक सूची में शिक्षित व्यक्ति". और इस ज्ञान के बीच समीकरणों को हल करने की क्षमता थी।

पहले से ही प्राचीन समय में, लोगों ने महसूस किया कि फॉर्म के बीजीय समीकरणों को हल करना सीखना कितना महत्वपूर्ण है

a0xn + a1xn ​​- 1 + ... + एक = 0

आखिरकार, अभ्यास और प्राकृतिक विज्ञान के बहुत सारे और बहुत विविध प्रश्न उनके लिए कम कर दिए गए हैं (बेशक, यहाँ हम तुरंत मान सकते हैं कि a0 ¹ 0, क्योंकि अन्यथा समीकरण की डिग्री वास्तव में n नहीं है, लेकिन कम है)। कई, निश्चित रूप से, n की किसी भी शक्ति के लिए सूत्र खोजने के लिए आकर्षक विचार के साथ आए, जो इसके गुणांक के संदर्भ में समीकरण की जड़ों को व्यक्त करेगा, अर्थात, रेडिकल में समीकरण को हल करेगा। हालाँकि, चर्चा के तहत समस्या के संबंध में "उदास मध्य युग" जितना संभव हो उतना उदास निकला - सात पूरी शताब्दियों तक किसी को भी आवश्यक सूत्र नहीं मिले! केवल 16 वीं शताब्दी में, इतालवी गणितज्ञ आगे बढ़ने में कामयाब रहे - n \u003d 3 और 4 के लिए सूत्र खोजने के लिए। उनकी खोजों का इतिहास और यहां तक ​​​​कि पाए गए सूत्रों का लेखकत्व आज तक अस्पष्ट है, और हम इसका पता नहीं लगा पाएंगे यहाँ उलझा हुआ रिश्ताफेरो, कार्डानो, टार्टाग्लिया और फेरारी के बीच, लेकिन आइए इसे बेहतर रखें गणितीय सारमामले

कार्य का उद्देश्य थर्ड डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों का पता लगाना है।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, कई कार्यों को करना आवश्यक है:

-विश्लेषण वैज्ञानिक साहित्य;

-स्कूल की पाठ्यपुस्तकों का विश्लेषण;

-समाधान के लिए उदाहरणों का चयन;

-विभिन्न विधियों द्वारा समीकरणों का समाधान।

कार्य में दो भाग होते हैं। पहला समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों से संबंधित है। दूसरा भाग समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित है विभिन्न तरीके.

1. सैद्धांतिक भाग

1 बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

एक घन समीकरण फॉर्म की तीसरी डिग्री का समीकरण है:

वह संख्या x जो समीकरण को एक सर्वसमिका में बदल देती है, समीकरण का मूल या हल कहलाती है। यह तीसरी डिग्री के बहुपद का मूल भी है, जो विहित संकेतन के बाईं ओर है।

जटिल संख्याओं के क्षेत्र में, बीजगणित के मूल प्रमेय के अनुसार, एक घन समीकरण में हमेशा 3 मूल होते हैं (बहुलता को ध्यान में रखते हुए)।

चूँकि प्रत्येक वास्तविक बहुपद नहीं होता है सम डिग्रीकम से कम एक वास्तविक जड़ है, घन समीकरण की जड़ों की संरचना के सभी संभावित मामलों को नीचे वर्णित तीनों द्वारा समाप्त कर दिया गया है। इन मामलों को विवेचक का उपयोग करके आसानी से पहचाना जा सकता है

तो केवल तीन संभावित मामले हैं:

यदि एक? > 0, तो समीकरण के तीन भिन्न वास्तविक मूल हैं।

यदि एक?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

यदि एक? = 0, तो कम से कम दो मूल संपाती होते हैं। यह तब हो सकता है जब समीकरण का दोहरा वास्तविक मूल हो और दूसरा वास्तविक मूल उनसे भिन्न हो; या, सभी तीन जड़ें मेल खाती हैं, बहुलता की जड़ बनाती हैं। घन समीकरण और इसके दूसरे व्युत्पन्न का परिणाम इन दो मामलों को अलग करने में मदद करता है: बहुपद में गुणन 3 की जड़ होती है यदि और केवल तभी संकेतित परिणामी भी होता है शून्य.

घन समीकरण के मूल निम्न प्रकार से गुणांकों से संबंधित हैं:

1.2 घन समीकरणों को हल करने की विधियाँ

घन समीकरणों को हल करने की सबसे आम विधि गणना विधि है।

सबसे पहले, गणना द्वारा, हम समीकरण की जड़ों में से एक पाते हैं। तथ्य यह है कि घन समीकरणहमेशा होना चाहिए कम से कमएक असली जड़, और पूर्णांक गुणांक वाले घन समीकरण का पूर्णांक मूल मुक्त पद d का भाजक है। इन समीकरणों के गुणांकों को आमतौर पर चुना जाता है ताकि वांछित मूल छोटे पूर्णांकों के बीच हो, जैसे: 0, ± 1, ± 2, ± 3। इसलिए, हम इन संख्याओं के बीच मूल की तलाश करेंगे और इसे प्रतिस्थापित करके इसकी जांच करेंगे। समीकरण। इस दृष्टिकोण के साथ सफलता दर बहुत अधिक है। आइए इस जड़ को मान लें।

समाधान का दूसरा चरण द्विपद x - x1 द्वारा बहुपद का विभाजन है। बेज़ाउट के प्रमेय के अनुसार, यह विभाजन शेषफल के बिना संभव है, और इसके परिणामस्वरूप हमें दूसरी डिग्री का एक बहुपद मिलता है, जिसे शून्य के बराबर होना चाहिए। परिणामी द्विघात समीकरण को हल करके, हम शेष दो मूल ज्ञात करेंगे (या नहीं)।

दो पदों के घन समीकरण का हल

दो-अवधि के घन समीकरण का रूप है (2)

इस समीकरण को गैर-शून्य गुणांक A से विभाजित करके रूप में घटाया जाता है। अगला, घनों के योग के संक्षिप्त गुणन का सूत्र लागू किया जाता है:

पहले कोष्ठक से हम पाते हैं, और वर्ग त्रिपद में केवल जटिल जड़ें.

आवर्तक घन समीकरण

पारस्परिक घन समीकरण में रूप और बी-गुणांक होते हैं।

आइए समूह बनाएं:

जाहिर है, x=-1 इस तरह के समीकरण की जड़ है, और परिणामी वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ें विवेचक के माध्यम से आसानी से मिल जाती हैं।

1.3 कार्डानो फॉर्मूला

पर सामान्य मामला, घन समीकरण के मूल कार्डानो सूत्र द्वारा ज्ञात किए जाते हैं।

क्यूबिक समीकरण (1) के लिए, प्रतिस्थापन का उपयोग करके मान पाए जाते हैं: x= (2), और समीकरण को फॉर्म में घटाया जाता है:

एक अधूरा घन समीकरण जिसमें दूसरी डिग्री वाला कोई पद नहीं होगा।

हम मानते हैं कि समीकरण में गुणांक हैं जटिल आंकड़े. इस समीकरण की हमेशा जटिल जड़ें होंगी।

आइए इनमें से किसी एक मूल को निरूपित करें: . हम एक सहायक अज्ञात u का परिचय देते हैं और बहुपद f(u)= पर विचार करते हैं।

आइए इस बहुपद की जड़ों को किसके माध्यम से निरूपित करें? और?, वियत प्रमेय के अनुसार (पृष्ठ 8 देखें):

समीकरण (3), व्यंजक (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

दूसरी तरफ से (5): (7)

यह यहाँ से, अर्थात् सूत्रों (6), (7) से इस प्रकार है कि संख्याएँ समीकरण की जड़ें हैं:

अंतिम समीकरण से:

अन्य दो जड़ें सूत्र द्वारा पाई जाती हैं:

1.4 त्रिकोणमितीय सूत्रवियतनाम

यह सूत्र घटे हुए घन समीकरण का हल ढूंढता है, यानी फॉर्म का एक समीकरण

जाहिर है, किसी भी घन समीकरण को केवल गुणांक a से विभाजित करके फॉर्म (4) के समीकरण में घटाया जा सकता है। तो, इस सूत्र को लागू करने के लिए एल्गोरिथ्म:

गणना

2. गणना करें

3. क) यदि, तो गणना करें

और हमारे समीकरण के 3 मूल (वास्तविक) हैं:

बी) यदि, तो प्रतिस्थापित करें त्रिकोणमितीय कार्यअतिपरवलिक।

गणना

तब एकमात्र जड़ (वास्तविक):

काल्पनिक जड़ें:

सी) यदि, तो समीकरण तीन . से कम है विभिन्न समाधान:

2. समस्या समाधान

उदाहरण 1. एक घन समीकरण के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए

हम घनों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र लागू करते हैं:

पहले कोष्ठक से हम पाते हैं कि दूसरे कोष्ठक में वर्ग त्रिपद का कोई वास्तविक मूल नहीं है, क्योंकि विवेचक ऋणात्मक है।

उदाहरण 2. समीकरण को हल करें

यह समीकरण पारस्परिक है। आइए समूह बनाएं:

समीकरण का मूल है। एक वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात करना

उदाहरण 3. एक घन समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

आइए समीकरण को घटाए गए समीकरण में बदलें: दोनों भागों से गुणा करें और चर का परिवर्तन करें।

मुक्त सदस्य 36 है। आइए इसके सभी भाजक लिखें:

जब तक हमें पहचान नहीं मिलती तब तक हम उन्हें समानता में बदल देते हैं:

इस प्रकार जड़ है। यह मिलान करता है

हॉर्नर की योजना का उपयोग करके विभाजित करें।

बहुपद गुणांक2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

हम पाते हैं

आइए वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात करें:

जाहिर है, यानी इसकी बहुमूलक जड़ है।

उदाहरण 4. समीकरण के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए

समीकरण का मूल है। एक वर्ग त्रिपद के मूल ज्ञात कीजिए।

भेदभाव करने वाले के बाद से शून्य से कम, तो त्रिपद का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

उदाहरण 5. घन समीकरण 2 के मूल ज्ञात कीजिए।

इसलिये,

हम कार्डानो सूत्र में स्थानापन्न करते हैं:

तीन मान लेता है। आइए उन्हें लिख लें।

जब हम रखते है

जब हम रखते है

जब हम रखते है

आइए इन मूल्यों को जोड़े में तोड़ दें, जो उत्पाद में देते हैं

मूल्यों की पहली जोड़ी और

मूल्यों की दूसरी जोड़ी और

मूल्यों की तीसरी जोड़ी और

कार्डानो सूत्र पर वापस जाएं

इस प्रकार,

निष्कर्ष

घन त्रिपद समीकरण

निष्पादन के परिणामस्वरूप टर्म परीक्षातीसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों की जांच की गई, जैसे कि गणना विधि, कैरानो का सूत्र, वीटा का सूत्र, पारस्परिक हल करने के तरीके, दो-अवधि के समीकरण।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

1)ब्रोंस्टीन आई.एन., सेमेंडेव के.ए. "तकनीकी विश्वविद्यालयों के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका", एम।, 1986।

2)कोलमोगोरोव ए.एन. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। 9वीं कक्षा के लिए अध्ययन मार्गदर्शिका उच्च विद्यालय, 1977.

)ओमेलचेंको वी.पी. गणित: ट्यूटोरियल/ वी.पी. ओमेलचेंको, ई.वी. कुर्बातोवा। - रोस्तोव एन / ए .: फीनिक्स, 2005.- 380 एस।

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घन समीकरणों को हल करना सीखें। मामला जब एक जड़ ज्ञात होता है तो माना जाता है। पूर्णांकों और को खोजने की विधियाँ तर्कसंगत जड़ें. किसी भी घन समीकरण को हल करने के लिए कार्डानो और वीटा फ़ार्मुलों का अनुप्रयोग।

यहां हम फॉर्म के घन समीकरणों के समाधान पर विचार करते हैं
(1) .
इसके अलावा, हम मानते हैं कि यह है वास्तविक संख्या.

(2) ,
फिर इसे से विभाजित करके, हम गुणांक के साथ फॉर्म (1) का एक समीकरण प्राप्त करते हैं
.

समीकरण (1) के तीन मूल हैं: , तथा । जड़ों में से एक हमेशा वास्तविक होती है। हम वास्तविक जड़ को निरूपित करते हैं। जड़ें और या तो वास्तविक या जटिल संयुग्म हो सकती हैं। असली जड़ें कई हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि , तो और दोहरे मूल (या बहुलता 2 के मूल) हैं, और एक साधारण जड़ है।

यदि केवल एक जड़ ज्ञात हो

आइए जानते हैं घन समीकरण (1) का एक मूल। निरूपित ज्ञात जड़जैसा । फिर समीकरण (1) को से भाग देने पर हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। द्विघात समीकरण को हल करने पर हमें दो और मूल मिलते हैं।

प्रमाण के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि घन बहुपद को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
.
फिर, (1) को से भाग देने पर हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है।

पृष्ठ पर बहुपदों के विभाजन के उदाहरण प्रस्तुत किए गए हैं
"एक कोने और एक स्तंभ द्वारा एक बहुपद को एक बहुपद से भाग और गुणा करना"।
द्विघात समीकरणों का हल पृष्ठ पर माना जाता है
"एक द्विघात समीकरण की जड़ें"।

यदि जड़ों में से एक है

यदि मूल समीकरण है:
(2) ,
और इसके गुणांक , , , पूर्णांक हैं, तो आप एक पूर्णांक मूल खोजने का प्रयास कर सकते हैं। यदि इस समीकरण का एक पूर्णांक मूल है, तो यह गुणांक का भाजक है। पूर्णांक मूलों को खोजने की विधि यह है कि हम किसी संख्या के सभी भाजक ढूंढते हैं और जांचते हैं कि क्या समीकरण (2) उनके लिए सही है। यदि समीकरण (2) संतुष्ट हो जाता है, तो हमें उसका मूल ज्ञात हो जाता है। आइए इसे इस रूप में निरूपित करें। इसके बाद, हम समीकरण (2) को से विभाजित करते हैं। हमें द्विघात समीकरण मिलता है। इसे हल करने पर हमें दो और जड़ें मिलती हैं।

पूर्णांक जड़ों को परिभाषित करने के उदाहरण पृष्ठ पर दिए गए हैं
बहुपदों के गुणनखंडन के उदाहरण > > > ।

तर्कसंगत जड़ें ढूँढना

यदि समीकरण (2) में, , , पूर्णांक हैं, और , और कोई पूर्णांक मूल नहीं हैं, तो आप परिमेय मूल, अर्थात् रूप के मूल, जहां और पूर्णांक हैं, को खोजने का प्रयास कर सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, हम समीकरण (2) को गुणा करते हैं और प्रतिस्थापन करते हैं:
;
(3) .
इसके बाद, हम मुक्त पद के भाजक के बीच समीकरण (3) के पूर्णांक मूल की तलाश करते हैं।

यदि हमें समीकरण (3) का एक पूर्णांक मूल मिल गया है, तो, चर पर लौटने पर, हम प्राप्त करते हैं तर्कसंगत जड़समीकरण (2):
.

घन समीकरण को हल करने के लिए कार्डानो और वीटा सूत्र

यदि हम एक भी मूल नहीं जानते हैं, और कोई पूर्णांक मूल नहीं हैं, तो हम कार्डानो के सूत्रों का उपयोग करके एक घन समीकरण के मूल ज्ञात कर सकते हैं।

घन समीकरण पर विचार करें:
(1) .
आइए एक प्रतिस्थापन करें:
.
उसके बाद, समीकरण अपूर्ण या कम रूप में कम हो जाता है:
(4) ,
कहाँ पे
(5) ; .

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, लैन, 2009।
जी. कॉर्न, गणित की हैंडबुक फॉर वैज्ञानिकऔर इंजीनियर, 2012।

घन समीकरण - बीजीय समीकरणथर्ड डिग्री। घन समीकरण का सामान्य दृश्य: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a 0

इस समीकरण में x को एक नए अज्ञात y के साथ x के साथ समानता x \u003d y - (b / 3a) से बदलकर, घन समीकरण को एक सरल (विहित) रूप में घटाया जा सकता है: y3 + pу + q \u003d 0, जहाँ p \u003d - b2 + c , q = 2b - bc + d

3a2 a 27a3 3a2 a इस समीकरण का हल कार्डानो सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

1.1 घन समीकरणों का इतिहास

शब्द "घन समीकरण" आर. डेसकार्टेस (1619) और डब्ल्यू. आउट्रेड (1631) द्वारा पेश किया गया था।

घन समीकरणों को कम करने वाली समस्याओं के समाधान खोजने का पहला प्रयास प्राचीन गणितज्ञों द्वारा किया गया था (उदाहरण के लिए, एक घन को दोगुना करने और एक कोण को त्रिभुज करने की समस्या)।

पूर्व के मध्य युग के गणितज्ञों ने काफी रचना की विकसित सिद्धांत(में ज्यामितीय आकार) घन समीकरण; बीजगणित और अलमुकबाला "उमर हया" (लगभग 1070) की समस्याओं के प्रमाण पर ग्रंथ में इसका सबसे अधिक विस्तार से वर्णन किया गया है, जहां खोजने का प्रश्न है सकारात्मक जड़ें 14 प्रकार के घन समीकरण जिनमें दोनों भागों में केवल धनात्मक गुणांक वाले पद होते हैं।

यूरोप में पहली बार त्रिकोणमितीय रूपवियत (1953) ने घन समीकरण के एक मामले का हल दिया था।

एक प्रकार के घन समीकरणों के मूलकों में पहला समाधान एस. फेरो (लगभग 1515) द्वारा खोजा गया था, लेकिन इसे प्रकाशित नहीं किया गया था। खोज को स्वतंत्र रूप से टार्टाग्लिया (1535) द्वारा दोहराया गया था, जो दो अन्य प्रकार के घन समीकरणों को हल करने के लिए एक नियम का संकेत देता है। इन खोजों को 1545 में जी. कार्डानो द्वारा प्रकाशित किया गया था, जिन्होंने एन. टार्टाग्लिया के लेखकत्व का उल्लेख किया था।

XV सदी के अंत में। रोम और मिलान विश्वविद्यालयों में गणित के प्रोफेसर लुका पैसीओली ने अपनी प्रसिद्ध पाठ्यपुस्तक "अंकगणित, ज्यामिति, संबंधों और आनुपातिकता में ज्ञान का योग" खोजने की समस्या में सामान्य विधिघन समीकरणों को हल करने के लिए, उन्होंने इसे एक वृत्त के वर्ग की समस्या के सममूल्य पर रखा। और फिर भी, इतालवी बीजगणितविदों के प्रयासों के माध्यम से, ऐसी विधि जल्द ही खोजी गई थी।

आइए सरलीकरण से शुरू करें

यदि घन समीकरण सामान्य दृष्टि से ax3 + bx2 + cx + d = 0, जहाँ a 0, a से विभाजित होता है, तो x3 पर गुणांक 1 के बराबर हो जाता है। इसलिए, भविष्य में हम समीकरण x3 + Px2 + Qx + R = 0 से आगे बढ़ेंगे। (1)

समाधान के केंद्र के समान द्विघात समीकरणयोग के वर्ग के लिए सूत्र निहित है, घन समीकरण का समाधान योग के घन के सूत्र पर आधारित है:

(ए + बी) 3 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3 एबी 2 + बी 3।

गुणांकों में भ्रमित न होने के लिए, यहाँ हम a को x से प्रतिस्थापित करते हैं और पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3। (2)

हम देखते हैं कि एक उचित तरीके से b, अर्थात्, b = P/3 लेकर, हम इसे प्राप्त कर सकते हैं दाहिना भागइस सूत्र का समीकरण x3 + Px2 + Qx + R = 0 के बाईं ओर से केवल x पर गुणांक और मुक्त पद से भिन्न होगा। हम समीकरण x3 + Px2 + Qx + R = 0 और (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 जोड़ते हैं और समान देते हैं:

(x + b)3 + (Q - 3b2)x + R - b3 = 0.

यदि हम यहाँ y = x + b परिवर्तन करते हैं, तो हमें y के लिए एक घन समीकरण प्राप्त होता है, जिसमें y2: y3 + py + q = 0 नहीं होता है।

इसलिए, हमने दिखाया है कि घन समीकरण x3 + Px2 + Qx + R = 0 में, एक उपयुक्त प्रतिस्थापन का उपयोग करके, आप अज्ञात के वर्ग वाले पद से छुटकारा पा सकते हैं। इसलिए, अब हम x3 + px + q = 0 के रूप का एक समीकरण हल करेंगे। (3)

1.2 कार्डानो फॉर्मूला का इतिहास

कार्डानो फॉर्मूला का नाम जे। कार्डानो के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे पहली बार 1545 में प्रकाशित किया था।

इस सूत्र के लेखक निकोलो टार्टाग्लिया हैं। उन्होंने यह समाधान 1535 में विशेष रूप से एक गणितीय प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए बनाया था, जिसमें निश्चित रूप से, उन्होंने जीत हासिल की थी। टार्टाग्लिया, सूत्र दे रहा है (in .) काव्यात्मक रूप) कार्डानो ने घन समीकरण के समाधान के केवल उस भाग को प्रस्तुत किया जिसमें मूल का एक (वास्तविक) मान होता है।

इस सूत्र में कार्डानो के परिणाम तथाकथित इरेड्यूसिबल केस के विचार को संदर्भित करते हैं, जिसमें समीकरण के तीन मान होते हैं (वास्तविक मान, उन दिनों कोई काल्पनिक या नकारात्मक संख्या नहीं थी, हालांकि इसमें प्रयास किए गए थे) दिशा)। हालांकि, इस तथ्य के विपरीत कि कार्डानो ने अपने प्रकाशन में टार्टाग्लिया के लेखकत्व का संकेत दिया, सूत्र को कार्डानो के नाम से पुकारा जाता है।

1. 3 कार्डानो फॉर्मूला

अब आइए एक बार फिर से सम क्यूब फॉर्मूले को देखें, लेकिन इसे अलग तरह से लिखें:

(ए + बी) 3 = ए 3 + बी 3 + 3 एबी (ए + बी)।

इस प्रविष्टि की तुलना समीकरण x3 + px + q = 0 से करें और उनके बीच संबंध स्थापित करने का प्रयास करें। हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करें x = a + b: x3 = a3 + b3 + 3abx, या x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0

अब यह पहले से ही स्पष्ट है: समीकरण x3 + px + q = 0 की जड़ को खोजने के लिए, यह समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए पर्याप्त है a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q, या

3एबी \u003d - पी, ए3बी3 \u003d - पी 3,

3 और x के रूप में a और b का योग लें। u = a3, v = b3 को बदलने से यह प्रणाली पूरी तरह से कम हो जाती है सादे दृष्टि: और + वी = - क्यू, और वी = - पी 3।

फिर आप अलग-अलग तरीकों से कार्य कर सकते हैं, लेकिन सभी "सड़कें" समान द्विघात समीकरण की ओर ले जाएंगी। उदाहरण के लिए, विएटा प्रमेय के अनुसार, दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग ऋण चिह्न के साथ x पर गुणांक के बराबर होता है, और गुणनफल मुक्त पद होता है। इसका तात्पर्य यह है कि और v समीकरण t2 + qt - (p/3)3 = 0 के मूल हैं।

आइए इन मूलों को लिखें: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

चर a और b, t1 और t2 के घनमूलों के बराबर हैं, और घन समीकरण x3 + px + q = 0 का वांछित हल इन मूलों का योग है: x = 3 - q + q 2 + p 3+ 3 - क्यू - क्यू 2 + पी 3।

इस सूत्र को कार्डानो सूत्र के रूप में जाना जाता है।

समीकरण हल करना

काम में कार्डानो सूत्र को देखने से पहले, आइए समझाएं कि क्यूबिक समीकरण x3 + px + q = 0 के एक मूल से इसकी अन्य जड़ें, यदि कोई हों, कैसे खोजें।

बता दें कि हमारे समीकरण का मूल h है। फिर इसके बाएँ हाथ को रैखिक में विघटित किया जा सकता है और वर्ग गुणक. यह बहुत ही सरलता से किया जाता है। हम मुक्त पद की अभिव्यक्ति को रूट q \u003d - h3 - ph के माध्यम से समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और क्यूब्स के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

0 \u003d x3 - h3 + px - ph \u003d (x - h) (x2 + hx + h2) + p (x - h) \u003d (x - h) (x2 + hx + h2 + p)।

अब आप द्विघात समीकरण x2 + hx + h2 + p = 0 को हल कर सकते हैं और इस घन समीकरण के शेष मूल ज्ञात कर सकते हैं।

इसलिए, हम पूरी तरह से सशस्त्र हैं और ऐसा प्रतीत होता है, हम किसी भी घन समीकरण का सामना कर सकते हैं। चलो हाथ आजमाते हैं।

1. आइए समीकरण x3 + 6x - 2 = 0 . से शुरू करें

हम कार्डानो सूत्र में p = 6 और q = -2 को प्रतिस्थापित करते हैं और साधारण कटौती के बाद हमें उत्तर मिलता है: x = 3√4 - 3√2। खैर, सूत्र काफी अच्छा है। केवल समीकरण के बाईं ओर से कारक x - (3√4 - 3√2) लेने और अन्य जड़ों की गणना करने के लिए "भयानक" गुणांक के साथ शेष द्विघात समीकरण को हल करने की संभावना बहुत प्रेरक नहीं है। हालाँकि, समीकरण को अधिक बारीकी से देखने पर, हम शांत हो सकते हैं: बाईं ओर का कार्य सख्ती से बढ़ रहा है और इसलिए केवल एक बार गायब हो सकता है। इसका अर्थ है कि प्राप्त संख्या ही समीकरण का एकमात्र वास्तविक मूल है।

वाई वाई \u003d x3 + 6x - 2

3√4 - 3√2 x

चावल। 1 फ़ंक्शन y \u003d x3 + 6x - 2 का ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदु - 3√4 - 3√2 पर पार करता है।

2. अगला उदाहरण- समीकरण x3 + 3x - 4 = 0।

कार्डानो का सूत्र x = 3 2 + √5 + 3 2 - 5 देता है।

पिछले उदाहरण की तरह, हम देखते हैं कि यह मूल अद्वितीय है। लेकिन आपको समीकरण को देखने और इसकी जड़ का अनुमान लगाने के लिए सुपर अंतर्दृष्टिपूर्ण होने की आवश्यकता नहीं है: x = 1। हमें यह स्वीकार करना होगा कि सूत्र ने सामान्य इकाई को इतने विचित्र रूप में दिया है। वैसे, इस बोझिल को आसान बनाने के लिए लेकिन बिना शान की अभिव्यक्ति के नहीं बीजीय परिवर्तनविफल रहता है - इसमें घन अपरिमेयताएँ अपरिहार्य हैं।

3. खैर, अब एक समीकरण लेते हैं जिसके स्पष्ट रूप से तीन वास्तविक मूल हैं। इसे बनाना आसान है - x - b के रूप के केवल तीन कोष्ठकों को गुणा करें। आपको बस इस बात का ध्यान रखने की जरूरत है कि जड़ों का योग शून्य के बराबर हो, क्योंकि, के अनुसार सामान्य प्रमेय Vieta, यह केवल चिह्न में x2 के गुणांक से भिन्न होता है। ऐसे मूलों का सरलतम समुच्चय 0, 1 और -1 है।

आइए कार्डानो फॉर्मूला को समीकरण x (x - 1) (x + 1) = 0, या x3 - x = 0 पर लागू करें।

इसमें p = -1 और q = 0 मानते हुए, हमें x = 3 - 1/27 + 3 - - 1/27 मिलता है।

वाई वाई \u003d एक्स (एक्स - 1) (एक्स + 1)

चावल। 2 समीकरण x (x - 1) (x + 1) \u003d 0 की तीन वास्तविक जड़ें हैं: -1, 0 और 1. तदनुसार, फ़ंक्शन y \u003d x (x - 1) (x + 1) का ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

वर्गमूल के चिन्ह के नीचे दिखाई दिया एक ऋणात्मक संख्या. द्विघात समीकरणों को हल करते समय भी ऐसा होता है। लेकिन इस मामले में द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें नहीं हैं, जबकि घन में उनमें से तीन हैं!

एक करीबी विश्लेषण से पता चलता है कि हम संयोग से इस जाल में नहीं पड़े। समीकरण x3 + px + q = 0 के तीन वास्तविक मूल हैं यदि और केवल यदि व्यंजक = (q/2)2 + (p/3)3 के अंतर्गत वर्गमूलकार्डानो फॉर्मूला में नकारात्मक है। यदि Δ > 0 है, तो एक वास्तविक मूल है (चित्र 3ख), और यदि Δ = 0 है, तो उनमें से दो हैं (उनमें से एक दुगना है), स्थिति p = q = 0 को छोड़कर, जब तीनों जड़ें विलीन हो जाती हैं।

y 0 y \u003d -px - q y \u003d x3

0 x 0 x y \u003d -px - q y \u003d x3 a) b)

चावल। 3 घन समीकरण x3 + px + q = 0 को x3 = -px - q के रूप में दर्शाया जा सकता है। इससे पता चलता है कि समीकरण की जड़ें दो ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के एब्सिसास के अनुरूप होंगी: y \u003d x3 और y \u003d -px - q। यदि 0 एक है।

1.4 वीटा की प्रमेय

विएटा का प्रमेय। यदि एक पूर्णांक तर्कसंगत समीकरणडिग्री n घटाकर मानक दृश्य, के n भिन्न वास्तविक मूल x1, x2 हैं। xn, तो वे समानता को संतुष्ट करते हैं: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 x2 xn = (-1)nаn।

तीसरी डिग्री के समीकरण की जड़ों के लिए a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, जहां a0 0, समानताएं x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3 वैध हैं।

1. 5 बेज़ौट का प्रमेय। हॉर्नर की योजना

समीकरणों का हल बहुपदों के गुणनखंडन से निकटता से संबंधित है। इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, बहुपद में चयन से जुड़ी हर चीज महत्वपूर्ण होती है रैखिक कारक, अर्थात्, बहुपद A(x) को द्विपद x - α से भाग देने पर। द्विपद x - α द्वारा बहुपद A(x) के विभाजन के बारे में अधिक जानकारी का आधार एक प्रमेय है फ्रांसीसी गणितज्ञएटिने बेज़ (1730-1783) और उनके नाम के साथ।

बेजआउट का प्रमेय। द्विपद x - α द्वारा बहुपद A (x) के विभाजन का शेष भाग A (α) के बराबर होता है (अर्थात x = α पर बहुपद A (x) का मान)।

बहुपद A(x) = x4 - 6x3 + 8 को x + 2 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

फेसला। बेज़ाउट प्रमेय के अनुसार, x + 2 से शेष भाग A (-2) \u003d (-2) 4 - 6 (-2) 3 + 8 \u003d 72 है।

एक बहुपद का मान ज्ञात करने का एक सुविधाजनक तरीका जब मूल्य ते करनाचर x को अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम्स जॉर्ज हॉर्नर (1786-1837) द्वारा पेश किया गया था। इस विधि को बाद में हॉर्नर योजना कहा गया। इसमें दो पंक्तियों की किसी तालिका को भरना शामिल है। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण में ए (-2) की गणना करने के लिए, तालिका की शीर्ष पंक्ति में हम गुणांक सूचीबद्ध करते हैं दिया गया बहुपद, मानक रूप x4 - 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8 में लिखा गया है।

हम गुणांक को नीचे की रेखा में उच्चतम डिग्री पर डुप्लिकेट करते हैं, और इससे पहले हम चर x = -2 का मान लिखते हैं, जिस पर बहुपद के मूल्य की गणना की जाती है। इसका परिणाम निम्न तालिका में होता है:

तालिका के खाली सेल निम्नलिखित नियम के अनुसार भरे जाते हैं: नीचे की पंक्ति की सबसे दाईं ओर की संख्या को -2 से गुणा किया जाता है और खाली सेल के ऊपर की संख्या में जोड़ा जाता है। इस नियम के अनुसार, पहले खाली सेल में नंबर (-2) 1 + (-6) = -8 होता है, दूसरे सेल में नंबर (-2) (-8) + 0 = 16 होता है, तीसरे सेल में नंबर होता है। संख्या (- 2) 16 + 0 = - 32, in अंतिम पिंजरा- संख्या (-2) (-32) + 8 \u003d 72. हॉर्नर की योजना के अनुसार पूरी तरह से भरी हुई तालिका इस तरह दिखती है:

2 1 -8 16 -32 72

अंतिम सेल में संख्या x + 2, A(-2) = 72 से बहुपद को विभाजित करने का शेषफल है।

वास्तव में, हॉर्नर की योजना के अनुसार भरी गई परिणामी तालिका से, न केवल शेष, बल्कि अपूर्ण भागफल भी लिखा जा सकता है

Q(x) \u003d x3 - 8x2 + 16x - 32, क्योंकि दूसरी पंक्ति पर संख्या (पिछले एक से गिनती नहीं) बहुपद Q (x) के गुणांक है - x + 2 से विभाजन का अधूरा भागफल।

समीकरण को हल करें x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0

हम समीकरण के मुक्त पद के सभी भाजक लिखते हैं: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6।

एक्स = 1, एक्स = -2, एक्स = 3

उत्तर: x = 1, x = -2, x = 3

2. निष्कर्ष

मैं किए गए कार्य के बारे में मुख्य निष्कर्ष तैयार करूंगा।

काम की प्रक्रिया में, मैं तीसरी डिग्री के समीकरण को हल करने की समस्या के विकास के इतिहास से परिचित हुआ। प्राप्त परिणामों का सैद्धांतिक महत्व इस तथ्य में निहित है कि यह जानबूझकर तीसरी डिग्री के कुछ समीकरणों को हल करने में कार्डानो सूत्र की जगह लेता है। मैंने सुनिश्चित किया कि तीसरी डिग्री के समीकरण को हल करने का सूत्र मौजूद है, लेकिन इसकी बोझिलता के कारण यह लोकप्रिय नहीं है और बहुत विश्वसनीय नहीं है, क्योंकि यह हमेशा अंतिम परिणाम तक नहीं पहुंचता है।

भविष्य में, हम इस तरह के प्रश्नों पर विचार कर सकते हैं: पहले से कैसे पता लगाया जाए कि तीसरी डिग्री के समीकरण की जड़ें क्या हैं; क्या घन समीकरण को हल किया जा सकता है रेखांकनयदि संभव हो तो कैसे; एक घन समीकरण की लगभग जड़ों का अनुमान कैसे लगाएं?

सबक लक्ष्य।

1. "उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करना" विषय पर छात्रों के ज्ञान को गहरा करना और शैक्षिक सामग्री को संक्षेप में प्रस्तुत करना।
2. छात्रों को उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीकों से परिचित कराना।
3. उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करते समय विभाज्यता के सिद्धांत को लागू करने के लिए छात्रों को पढ़ाने के लिए।
4. छात्रों को यह सिखाने के लिए कि "कोने" द्वारा बहुपद को बहुपद में कैसे विभाजित किया जाए।
5. उच्च डिग्री के समीकरणों के साथ काम करने के लिए कौशल और क्षमताओं का विकास करना।

विकसित होना:

1. छात्र ध्यान का विकास।
2. कार्य के परिणाम प्राप्त करने की क्षमता का विकास।
3. बीजगणित सीखने और स्वतंत्र कार्य कौशल में रुचि का विकास।

पोषण:

1. सामूहिकता की भावना जगाना।
2. काम के परिणाम के लिए जिम्मेदारी की भावना का गठन।
3. छात्रों में गठन पर्याप्त आत्म-सम्मानपाठ में काम के लिए चिह्न चुनते समय।

उपकरण: कंप्यूटर, प्रोजेक्टर।

कक्षाओं के दौरान

काम का 1 चरण। आयोजन का समय।

काम का 2 चरण। प्रेरणा और समस्या समाधान

समीकरण एक सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएंअंक शास्त्र। एक विज्ञान के रूप में गणित के जन्म से लेकर समीकरणों को हल करने की विधियों का विकास, लंबे समय तकबीजगणित के अध्ययन का मुख्य विषय था।

पर स्कूल पाठ्यक्रमगणित के अध्ययन में विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने पर बहुत ध्यान दिया जाता है। नौवीं कक्षा तक, हम केवल रैखिक और द्विघात समीकरणों को ही हल कर सकते थे। तीसरे, चौथे, आदि के समीकरण। डिग्री को उच्च डिग्री के समीकरण कहा जाता है। नौवीं कक्षा में, हम तीसरी और चौथी डिग्री के कुछ समीकरणों को हल करने के लिए दो बुनियादी तरीकों से परिचित हुए: बहुपद को कारकों में विभाजित करना और चर के परिवर्तन का उपयोग करना।

क्या उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करना संभव है? हम आज इस सवाल का जवाब खोजने की कोशिश करेंगे।

काम का 3 चरण। पहले सीखी गई सामग्री की समीक्षा करें। उच्च डिग्री के समीकरण की अवधारणा का परिचय दें।

1) एक रैखिक समीकरण का हल।

रैखिक रूप का एक समीकरण है, जहां परिभाषा के अनुसार। इस समीकरण का केवल एक मूल है।

2) द्विघात समीकरण का हल।

फॉर्म का एक समीकरण , कहाँ पे । जड़ों और जड़ों की संख्या स्वयं समीकरण के विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है। क्योंकि समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि इसका एक मूल है (दो .) समान जड़ें)

, के लिए दो अलग-अलग जड़ें हैं।

माना रैखिक और द्विघात समीकरणों से, हम देखते हैं कि समीकरण की जड़ों की संख्या इसकी डिग्री से अधिक नहीं है। उच्च बीजगणित के क्रम में, यह सिद्ध हो जाता है कि -th डिग्री के समीकरण में n से अधिक मूल नहीं होते हैं। जहां तक ​​जड़ों की बात है, तो स्थिति कहीं अधिक जटिल है। तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के लिए, सूत्रों को जड़ों को खोजने के लिए जाना जाता है। हालाँकि, ये सूत्र बहुत जटिल और बोझिल हैं और व्यावहारिक आवेदननहीं है। पाँचवीं और उच्चतर डिग्री के समीकरणों के लिए सामान्य सूत्रमौजूद नहीं है और मौजूद नहीं हो सकता है (जैसा कि 19 वीं शताब्दी में एन। एबेल और ई। गैलोइस द्वारा सिद्ध किया गया था)।

हम समीकरणों को तीसरा, चौथा, आदि कहेंगे। उच्च डिग्री के समीकरणों द्वारा डिग्री। कुछ समीकरण उच्च डिग्रीदो बुनियादी तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है: एक बहुपद को कारकों में विभाजित करना या चर के परिवर्तन का उपयोग करना।

3) घन समीकरण का हल।

आइए घन समीकरण को हल करें

हम बहुपद के पदों को समीकरण के बाईं ओर समूहबद्ध करते हैं और उसका गुणनखंड करते हैं। हम पाते हैं:

यदि कारकों में से एक शून्य के बराबर है, तो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है। हमें तीन रैखिक समीकरण मिलते हैं:

तो, इस घन समीकरण के तीन मूल हैं: ; ;.

4) द्विघात समीकरण का हल।

द्विघात समीकरण बहुत सामान्य होते हैं, जिनका रूप होता है (अर्थात वे समीकरण जो के संबंध में द्विघात होते हैं)। उन्हें हल करने के लिए, एक नया चर पेश किया गया है।

हम तय करेंगे द्विघात समीकरण.

आइए एक नए चर का परिचय दें और एक द्विघात समीकरण प्राप्त करें, जिसकी जड़ें संख्याएँ और 4 हैं।

आइए पुराने चर पर वापस जाएं और दो सरल द्विघात समीकरण प्राप्त करें:

(जड़ें और) (जड़ें और)

तो, इस द्विघात समीकरण की चार जड़ें हैं:

; ;.

आइए उपरोक्त विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करने का प्रयास करें।

विफल!!!

काम का 4 चरण। इस रूप के बहुपद के मूल के बारे में कुछ कथन दीजिए, जहाँ बहुपद nthडिग्री

फॉर्म के बहुपद की जड़ों के बारे में यहां कुछ कथन दिए गए हैं:

1) वें डिग्री के बहुपद की जड़ें सबसे अधिक होती हैं (उनकी बहुलता को ध्यान में रखते हुए)। उदाहरण के लिए, एक तृतीय डिग्री बहुपद के चार मूल नहीं हो सकते हैं।

2) विषम घात वाले बहुपद का कम से कम एक मूल होता है। उदाहरण के लिए, पहले, तीसरे, पांचवें आदि के बहुपद। डिग्री में कम से कम एक जड़ होती है। सम घात वाले बहुपदों की जड़ें हो भी सकती हैं और नहीं भी।

3) यदि खंड के सिरों पर बहुपद के मानों के अलग-अलग चिह्न हों (अर्थात, ), तो अंतराल में कम से कम एक रूट होता है। बहुपद के मूलों की अनुमानित गणना के लिए इस कथन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

4) यदि संख्या रूप के बहुपद का मूल है, तो इस बहुपद को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां बहुपद (-थ डिग्री। दूसरे शब्दों में, रूप के बहुपद को शेषफल के बिना विभाजित किया जा सकता है) द्विपद। यह वें डिग्री के समीकरण को समीकरण (-थ डिग्री (समीकरण की डिग्री कम करें) तक कम करने की अनुमति देता है।

5) यदि सभी पूर्णांक गुणांक वाले समीकरण (इसके अलावा, मुक्त पद) का पूर्णांक मूल है, तो यह मूल मुक्त पद का भाजक है। ऐसा कथन आपको बहुपद का संपूर्ण मूल चुनने की अनुमति देता है (यदि यह मौजूद है)।

काम का 5 चरण। दिखाएँ कि उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए विभाज्यता सिद्धांत कैसे लागू किया जाता है। उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें, जिसमें एक बहुपद को एक "कोने" द्वारा बहुपद से विभाजित करने की विधि का उपयोग करके बाईं ओर का गुणनखंड किया जाता है।

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें .

यदि इस समीकरण का एक पूर्णांक मूल है, तो यह मुक्त पद (-1) का भाजक है, अर्थात। संख्याओं में से एक के बराबर होती है: . चेक से पता चलता है कि समीकरण की जड़ संख्या -1 है। इसलिए, बहुपद को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात्। एक बहुपद को बिना किसी शेषफल के द्विपद में विभाजित किया जा सकता है। आइए "कोने" द्वारा निम्नलिखित विभाजन करें:

इस प्रकार, हमने वास्तव में समीकरण के बाईं ओर को कारकों में विघटित कर दिया है:

यदि कारकों में से एक शून्य के बराबर है, तो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है। हमें दो समीकरण मिलते हैं।

घन समीकरणों का रूप होता है कुल्हाड़ी 3 + बीएक्स 2 + सीएक्स + डी= 0)। इस तरह के समीकरणों को हल करने की एक विधि कई शताब्दियों के लिए जानी जाती है (इसकी खोज 16 वीं शताब्दी में इतालवी गणितज्ञों द्वारा की गई थी)। कुछ घन समीकरणों को हल करना काफी कठिन है, लेकिन सही दृष्टिकोण के साथ (और .) अच्छा स्तर सैद्धांतिक ज्ञान) आप सबसे जटिल घन समीकरणों को भी हल करने में सक्षम होंगे।

कदम

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र का उपयोग करके समाधान

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, घन समीकरणों का रूप है a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), जहां गुणांक सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)और d (\displaystyle d)बराबर हो सकता है 0 (\displaystyle 0), अर्थात्, एक घन समीकरण में केवल एक पद (तीसरी डिग्री में एक चर के साथ) शामिल हो सकता है। सबसे पहले, जांचें कि क्या आपको दिए गए घन समीकरण में एक अवरोधन है, अर्थात, d (\displaystyle d). यदि कोई मुक्त पद नहीं है, तो आप द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र का उपयोग करके इस घन समीकरण को हल कर सकते हैं।

• यदि कोई अवरोधन है, तो किसी भिन्न समाधान विधि का उपयोग करें (निम्न अनुभाग देखें)।

1. चूंकि दिया गया समीकरणकोई मुक्त पद नहीं है, तो इस समीकरण के सभी पदों में एक चर होता है x (\displaystyle x), जिसे ब्रैकेट किया जा सकता है: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

   • उदाहरण। 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). यदि आप सहते हैं x (\displaystyle x)कोष्ठक, आपको मिलता है x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. ध्यान दें कि कोष्ठक में दिया गया समीकरण रूप का द्विघात समीकरण है ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), जिसे सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है ((- बी +/-√ (). एक द्विघात समीकरण को हल करें और आप एक घन समीकरण को हल करेंगे।

   • हमारे उदाहरण में, गुणांक के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी), सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी) (3 (\डिस्प्लेस्टाइल 3), -2 (\displaystyle -2), 14 (\डिस्प्लेस्टाइल 14)) सूत्र में: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) - (- 2) ± ((- 2) 2 - 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2))2)) )-4(3)(14)))(2(3)))) 2 ± 4 - (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 - 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± - 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • समाधान 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12.8i)(6)))
   • समाधान 2: 2 - 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12.8i)(6)))

3. याद रखें कि द्विघात समीकरणों के दो हल होते हैं, जबकि घन समीकरणों के तीन हल होते हैं।आपको द्विघात के दो हल मिले हैं, और इसलिए एक घन समीकरण। ऐसे मामलों में जहां आप कोष्ठक में से "x" डालते हैं, तीसरा समाधान हमेशा होता है 0 (\displaystyle 0).

   • यह सत्य है क्योंकि किसी भी संख्या या व्यंजक को से गुणा किया जाता है 0 (\displaystyle 0), बराबर 0 (\displaystyle 0). जब से तुमने सहा x (\displaystyle x)कोष्ठकों में से, तो आपने घन समीकरण को दो कारकों में विघटित कर दिया है ( x (\displaystyle x)और एक द्विघात समीकरण), जिनमें से एक के बराबर होना चाहिए 0 (\displaystyle 0)ताकि पूरा समीकरण के बराबर हो 0 (\displaystyle 0).

   गुणनखंडन का उपयोग करके संपूर्ण समाधान खोजना

   1. जांचें कि क्या आपको दिए गए घन समीकरण में एक अवरोधन है।पिछले अनुभाग में वर्णित विधि घन समीकरणों को हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है जिसमें एक मुक्त शब्द है। इस मामले में, आपको इस या अगले भाग में वर्णित विधि का उपयोग करना होगा।

      • उदाहरण। 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). यहाँ, एक ढीला डिक ले जाएँ d = − 6 (\displaystyle d=-6)समीकरण के बाईं ओर ताकि दाईं ओरपाना 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. गुणांक गुणक खोजें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)(गुणांक पर x 3 (\displaystyle x^(3))) और मुक्त सदस्य d (\displaystyle d). किसी संख्या के गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें गुणा करने पर प्राप्त होता है मूल संख्या. उदाहरण के लिए, संख्या के कारक 6 (\डिस्प्लेस्टाइल 6)नंबर हैं 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2), 3 (\डिस्प्लेस्टाइल 3), 6 (\डिस्प्लेस्टाइल 6) (6×1 (\displaystyle 6\बार 1)और 2 × 3 (\displaystyle 2\बार 3)).

      • हमारे उदाहरण में a = 2 (\displaystyle a=2)और d = 6 (\displaystyle d=6). मल्टीप्लायरों 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2)नंबर हैं 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1)और 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2). मल्टीप्लायरों 6 (\डिस्प्लेस्टाइल 6)नंबर हैं 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2), 3 (\डिस्प्लेस्टाइल 3), और 6 (\डिस्प्लेस्टाइल 6).

   3. गुणांक गुणकों को विभाजित करें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)मुक्त अवधि के कारकों द्वारा d (\displaystyle d). आपको भिन्न और पूर्ण संख्याएँ मिलेंगी। आपको दिए गए घन समीकरण का पूर्णांक हल या तो इन पूर्णांकों में से एक होगा, या इनमें से किसी एक पूर्णांक का ऋणात्मक मान होगा।

      • हमारे उदाहरण में, कारकों को विभाजित करें ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए) (1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2)) कारकों द्वारा d (\displaystyle d) (1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2), 3 (\डिस्प्लेस्टाइल 3), 6 (\डिस्प्लेस्टाइल 6)) और पाओ: 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), , , , 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2)और । अब संख्याओं की इस पंक्ति में जोड़ें उनके नकारात्मक मान: 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), -1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), - 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\डिस्प्लेस्टाइल 2), -2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))और − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). आपको दिए गए घन समीकरण के पूर्णांक हल संख्याओं की इस श्रृंखला में हैं।

   4. अब आप अपने घन समीकरण में संख्याओं की मिली श्रृंखला से पूर्णांकों को प्रतिस्थापित करके पूर्णांक समाधान पा सकते हैं। लेकिन अगर आप इस पर समय बर्बाद नहीं करना चाहते हैं तो इसका इस्तेमाल करें। इस योजना में पूर्णांकों को मानों में विभाजित करना शामिल है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी), सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), d (\displaystyle d)घन समीकरण दिया है। यदि शेष है 0 (\displaystyle 0), पूर्णांक घन समीकरण के समाधानों में से एक है।

      • हॉर्नर का विभाजन एक आसान विषय नहीं है; प्राप्त करने के लिए अतिरिक्त जानकारीऊपर दिए गए लिंक का पालन करें। यहां एक उदाहरण दिया गया है कि हॉर्नर के विभाजन का उपयोग करके आपको दिए गए घन समीकरण का कोई एक हल कैसे खोजा जाए: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 शेष के बाद से 0 (\displaystyle 0), तो समीकरण के समाधानों में से एक पूर्णांक है -1 (\displaystyle -1).

   विभेदक का उपयोग करना

   1. इस विधि में, आप गुणांक मानों के साथ कार्य करेंगे ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी), सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), d (\displaystyle d). इसलिए, इन गुणांकों के मूल्यों को पहले से लिखना बेहतर है।

      • उदाहरण। गणित>x^3-3x^2+3x-1. यहां a = 1 (\displaystyle a=1), b = -3 (\displaystyle b=-3), सी = 3 (\डिस्प्लेस्टाइल सी=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). यह मत भूलो कि जब x (\displaystyle x)कोई गुणांक नहीं है, इसका मतलब है कि गुणांक बराबर है 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1).

   2. गणना △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). इस पद्धति के लिए कुछ जटिल गणनाओं की आवश्यकता होगी, लेकिन यदि आप इसे समझते हैं, तो आप सबसे जटिल घन समीकरणों को हल करने में सक्षम होंगे। शुरू करने के लिए, गणना करें 0 (\displaystyle \triangle _(0)), कई महत्वपूर्ण मात्राओं में से एक जिसकी हमें सूत्र में उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित करके आवश्यकता होगी।

      • हमारे उदाहरण में: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (- 3) 2 - 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 - 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 - 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\triangle _(0)) 2 (- 27) - 9 (- 9) + 27 (- 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) - 54 + 81 - 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 - 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\triangle _(1))

   3. गणना Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 ए 2 . अब 0 और 1 के पाए गए मानों का उपयोग करके समीकरण के विवेचक की गणना करें। विभेदक एक संख्या है जो आपको बहुपद की जड़ों के बारे में जानकारी देती है (आप पहले से ही जानते होंगे कि द्विघात समीकरण का विवेचक है बी 2 - 4एसी) घन समीकरण के मामले में, यदि विवेचक धनात्मक है, तो समीकरण के तीन हल हैं; यदि विवेचक शून्य है, तो समीकरण के एक या दो हल हैं; यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो समीकरण का केवल एक ही हल है। एक घन समीकरण का हमेशा कम से कम एक हल होता है क्योंकि इस तरह के समीकरण का ग्राफ x-अक्ष को कम से कम एक बिंदु पर काटता है।

      • यदि आप मात्राओं के उपयुक्त मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको प्राप्त होता है संभव समाधानआपको दिया गया घन समीकरण। उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और यदि समानता मिलती है, तो समाधान सही हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप मानों को सूत्र में प्लग करते हैं और 1 प्राप्त करते हैं, तो 1 को में प्लग करें एक्स 3 - 3एक्स 2 + 3एक्स- 1 और 0 प्राप्त करें। यानी समानता देखी जाती है, और 1 आपको दिए गए घन समीकरण के समाधानों में से एक है।