Matematika lahir ketika seseorang menjadi sadar akan dirinya dan mulai memposisikan dirinya sebagai unit otonom dunia. Keinginan untuk mengukur, membandingkan, menghitung apa yang ada di sekitar Anda adalah yang mendasari salah satunya ilmu dasar hari hari kita. Pada awalnya, ini adalah bagian dari matematika dasar, yang memungkinkan untuk mengaitkan angka dengan ekspresi fisiknya, kemudian kesimpulan mulai disajikan hanya secara teoritis (karena abstraksinya), tetapi setelah beberapa saat, seperti yang dikatakan oleh seorang ilmuwan, " matematika mencapai langit-langit kompleksitas ketika semua angka." Konsep "akar kuadrat" muncul pada saat itu dapat dengan mudah didukung oleh data empiris, melampaui bidang perhitungan.

Bagaimana semuanya dimulai

Penyebutan pertama dari akar, yang pada saat ini dilambangkan sebagai , tercatat dalam tulisan-tulisan matematikawan Babilonia, yang meletakkan dasar bagi aritmatika modern. Tentu saja, mereka terlihat sedikit seperti bentuk saat ini - para ilmuwan pada tahun-tahun itu pertama kali menggunakan tablet besar. Namun pada milenium kedua SM. e. mereka datang dengan rumus perhitungan perkiraan yang menunjukkan bagaimana mengambil akar kuadrat. Foto di bawah ini menunjukkan sebuah batu tempat para ilmuwan Babilonia mengukir proses keluaran 2, dan ternyata sangat benar sehingga perbedaan dalam jawaban hanya ditemukan di tempat desimal kesepuluh.

Selain itu, akar digunakan jika perlu untuk menemukan sisi segitiga, asalkan dua lainnya diketahui. Nah, saat menyelesaikan persamaan kuadrat, tidak ada jalan keluar untuk mengekstrak akarnya.

Seiring dengan karya-karya Babilonia, objek artikel dipelajari dalam karya Cina "Matematika dalam Sembilan Buku", dan orang-orang Yunani kuno sampai pada kesimpulan bahwa angka apa pun dari mana akarnya tidak diekstraksi tanpa sisa memberikan hasil yang tidak rasional.

Asal istilah ini terkait dengan representasi angka dalam bahasa Arab: para ilmuwan kuno percaya bahwa kuadrat dari angka yang berubah-ubah tumbuh dari akarnya, seperti tanaman. Dalam bahasa Latin, kata ini terdengar seperti radix (Anda dapat melacak pola - segala sesuatu yang memiliki "akar" beban semantik, secara konsonan, apakah itu lobak atau linu panggul).

Para ilmuwan dari generasi berikutnya mengambil ide ini, menetapkannya sebagai Rx. Misalnya, pada abad ke-15, untuk menunjukkan bahwa akar kuadrat diambil dari bilangan arbitrer a, mereka menulis R 2 a. Biasa tampilan modern"centang" hanya muncul di abad ke-17 berkat Rene Descartes.

Hari hari kita

Secara matematis, akar kuadrat dari y adalah bilangan z yang kuadratnya adalah y. Dengan kata lain, z 2 =y setara dengan y=z. Namun definisi ini hanya relevan untuk akar aritmatika, karena ini menyiratkan nilai non-negatif dari ekspresi. Dengan kata lain, y=z, di mana z lebih besar dari atau sama dengan 0.

PADA kasus umum, yang berfungsi untuk menentukan akar aljabar, nilai ekspresi dapat berupa positif atau negatif. Jadi, karena z 2 =y dan (-z) 2 =y, kita memiliki: y=±z atau y=|z|.

Karena fakta bahwa cinta matematika hanya meningkat dengan perkembangan ilmu pengetahuan, ada berbagai manifestasi kasih sayang untuk itu, tidak diungkapkan dalam perhitungan kering. Misalnya, bersama dengan acara menarik seperti hari Pi, hari libur akar kuadrat juga dirayakan. Mereka dirayakan sembilan kali dalam seratus tahun, dan ditentukan menurut prinsip berikut: angka-angka yang menunjukkan hari dan bulan secara berurutan harus akar kuadrat dari tahun tersebut. Jadi, liburan kali ini akan dirayakan pada tanggal 4 April 2016.

Sifat-sifat akar kuadrat pada bidang R

Hampir semua ekspresi matematika memiliki basis geometris, nasib ini tidak berlalu dan y, yang didefinisikan sebagai sisi persegi dengan luas y.

Bagaimana cara menemukan akar suatu bilangan?

Ada beberapa algoritma perhitungan. Yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama cukup rumit, adalah perhitungan aritmatika biasa, yaitu sebagai berikut:

1) dari angka yang akarnya kita perlukan, angka ganjil dikurangi secara bergantian - hingga sisa keluaran lebih kecil dari yang dikurangi atau genap nol. Jumlah gerakan pada akhirnya akan menjadi jumlah yang diinginkan. Misalnya, perhitungan akar pangkat dua dari 25:

Mengikuti angka ganjil adalah 11, kita memiliki sisa berikut: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Untuk kasus seperti itu, ada ekspansi deret Taylor:

(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , di mana n mengambil nilai dari 0 hingga

+∞, dan |y|≤1.

Representasi grafis dari fungsi z=√y

Pertimbangkan fungsi dasar z=√y pada bidang bilangan real R, di mana y lebih besar dari atau sama dengan nol. Bagan nya terlihat seperti ini:

Kurva tumbuh dari titik asal dan tentu saja melintasi titik (1; 1).

Sifat-sifat fungsi z=√y pada bidang bilangan real R

1. Domain definisi dari fungsi yang dipertimbangkan adalah interval dari nol hingga ditambah tak terhingga (nol disertakan).

2. Rentang nilai dari fungsi yang dipertimbangkan adalah interval dari nol hingga plus tak terhingga (nol dimasukkan lagi).

3. Fungsi mengambil nilai minimum (0) hanya pada titik (0; 0). Tidak ada nilai maksimal.

4. Fungsi z=√y bukan genap maupun ganjil.

5. Fungsi z=√y tidak periodik.

6. Hanya ada satu titik potong grafik fungsi z=√y dengan sumbu koordinat: (0; 0).

7. Titik potong grafik fungsi z=√y juga merupakan nol dari fungsi ini.

8. Fungsi z=√y terus bertambah.

9. Fungsi z=√y hanya mengambil nilai positif, oleh karena itu, grafiknya menempati sudut koordinat pertama.

Opsi untuk menampilkan fungsi z=√y

Dalam matematika, untuk memudahkan penghitungan ekspresi kompleks, bentuk pangkat dari penulisan akar kuadrat kadang-kadang digunakan: y=y 1/2. Opsi ini cocok, misalnya, dalam menaikkan fungsi ke pangkat: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Metode ini juga merupakan representasi yang baik untuk diferensiasi dengan integrasi, karena berkat itu akar kuadrat diwakili oleh fungsi pangkat biasa.

Dan dalam pemrograman, pengganti simbol adalah kombinasi dari huruf sqrt.

Perlu dicatat bahwa di area ini akar kuadrat sangat diminati, karena ini adalah bagian dari sebagian besar rumus geometris yang diperlukan untuk perhitungan. Algoritma penghitungan itu sendiri cukup rumit dan didasarkan pada rekursi (fungsi yang memanggil dirinya sendiri).

Akar kuadrat di bidang kompleks C

Pada umumnya, subjek artikel ini yang mendorong penemuan bidang bilangan kompleks C, karena matematikawan dihantui oleh pertanyaan untuk memperoleh akar derajat genap dari bilangan negatif. Ini adalah bagaimana unit imajiner i muncul, yang dicirikan oleh properti yang sangat menarik: kuadratnya adalah -1. Berkat ini, persamaan kuadrat dan dengan diskriminan negatif mendapat solusi. Di C, untuk akar kuadrat, properti yang sama relevan seperti di R, satu-satunya batasan pada ekspresi root dihilangkan.

Eksponen menyiratkan bahwa suatu bilangan harus dikalikan dengan bilangan itu sendiri beberapa kali. Misalnya, menaikkan angka 2 ke kekuatan kelima akan terlihat seperti ini:

Angka yang perlu dikalikan dengan dirinya sendiri disebut basis derajat, dan jumlah perkalian adalah eksponennya. Menaikkan pangkat sesuai dengan dua tindakan yang berlawanan: menemukan eksponen dan menemukan basis.

ekstraksi akar

Menemukan basis eksponen disebut ekstraksi akar. Ini berarti Anda perlu menemukan bilangan yang perlu dinaikkan hingga pangkat n untuk mendapatkan bilangan yang diberikan.

Misalnya, perlu mengekstrak akar ke-4 dari angka 16, mis. untuk menentukan, Anda perlu mengalikan dengan dirinya sendiri 4 kali untuk mendapatkan 16 pada akhirnya.

Operasi aritmatika semacam itu ditulis menggunakan tanda khusus - radikal: , di atasnya eksponen ditunjukkan di sebelah kiri.

akar aritmatika

Jika pangkatnya adalah bilangan genap, maka akarnya dapat berupa dua bilangan dengan modulus yang sama, tetapi c positif dan negatif. Jadi, dalam contoh yang diberikan dapat berupa angka 2 dan -2.

Ekspresi harus jelas, mis. memiliki satu hasil. Untuk ini, konsep akar aritmatika diperkenalkan, yang hanya bisa berupa bilangan positif. Akar aritmatika tidak boleh kurang dari nol.

Jadi, dalam contoh yang dibahas di atas, hanya angka 2 yang akan menjadi akar aritmatika, dan jawaban kedua - -2 - dikecualikan menurut definisi.

Akar pangkat dua

Untuk beberapa derajat yang lebih sering digunakan daripada yang lain, ada nama khusus yang awalnya dikaitkan dengan geometri. Kita berbicara tentang menaikkan ke derajat kedua dan ketiga.

Untuk pangkat kedua, panjang sisi bujur sangkar saat Anda perlu menghitung luasnya. Jika Anda perlu mencari volume kubus, panjang rusuknya dinaikkan menjadi pangkat tiga. Oleh karena itu, disebut kuadrat dari angka, dan yang ketiga disebut kubus.

Dengan demikian, akar derajat kedua disebut kuadrat, dan akar derajat ketiga disebut kubik. Akar kuadrat adalah satu-satunya akar yang tidak memiliki pangkat di atas akar jika ditulis:

Jadi, akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan adalah bilangan positif yang harus dipangkatkan ke dua untuk mendapatkan bilangan tersebut.

Luas sebidang tanah berbentuk bujur sangkar adalah 81 dm². Temukan sisinya. Misalkan panjang sisi persegi adalah X desimeter. Maka luas petak tersebut adalah X² desimeter persegi. Karena menurut kondisinya, luas ini adalah 81 dm², maka X² = 81. Panjang sisi persegi adalah bilangan positif. Bilangan positif yang kuadratnya 81 adalah bilangan 9. Saat menyelesaikan masalah, diperlukan untuk menemukan bilangan x, kuadratnya adalah 81, yaitu menyelesaikan persamaan X² = 81. Persamaan ini memiliki dua akar: x 1 = 9 dan x 2 \u003d - 9, karena 9² \u003d 81 dan (- 9)² \u003d 81. Kedua angka 9 dan - 9 disebut akar kuadrat dari angka 81.

Perhatikan bahwa salah satu dari akar kuadrat X= 9 adalah bilangan positif. Ini disebut akar kuadrat aritmatika dari 81 dan dinotasikan 81, jadi 81 = 9.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan sebuah adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan sebuah.

Misalnya, angka 6 dan -6 adalah akar kuadrat dari 36. Angka 6 adalah akar kuadrat aritmatika dari 36, karena 6 adalah bilangan non-negatif dan 6² = 36. Angka -6 bukan akar aritmatika.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan sebuah dilambangkan sebagai berikut: sebuah.

Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika; sebuah disebut ekspresi akar. ekspresi sebuah Baca seperti ini: akar kuadrat aritmatika dari suatu bilangan sebuah. Misalnya, 36 = 6, 0 = 0, 0,49 = 0,7. Dalam kasus di mana jelas bahwa kita berbicara tentang akar aritmatika, mereka secara singkat mengatakan: "akar kuadrat dari sebuah«.

Tindakan menemukan akar kuadrat dari suatu bilangan disebut mengambil akar kuadrat. Tindakan ini adalah kebalikan dari kuadrat.

Setiap angka dapat dikuadratkan, tetapi tidak setiap angka dapat menjadi akar kuadrat. Misalnya, tidak mungkin untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka - 4. Jika akar seperti itu ada, maka, yang menunjukkannya dengan huruf X, kita akan mendapatkan persamaan yang salah x² \u003d - 4, karena ada angka non-negatif di sebelah kiri, dan angka negatif di sebelah kanan.

ekspresi sebuah hanya masuk akal ketika sebuah 0. Definisi akar kuadrat dapat ditulis secara singkat sebagai: sebuah 0, (√sebuah)² = sebuah. Kesetaraan ( sebuah)² = sebuah berlaku untuk sebuah 0. Jadi, untuk memastikan bahwa akar kuadrat dari bilangan non-negatif sebuah sama dengan b, yaitu, bahwa sebuah =b, Anda perlu memeriksa bahwa dua kondisi berikut terpenuhi: b 0, b² = sebuah.

Akar kuadrat dari pecahan

Mari kita hitung. Perhatikan bahwa 25 = 5, 36 = 6, dan periksa apakah persamaannya berlaku.

Sebagai dan , maka persamaan tersebut benar. Jadi, .

Dalil: Jika sebuah sebuah 0 dan b> 0, yaitu akar dari pecahan sama dengan akar dari pembilang dibagi dengan akar penyebut. Harus dibuktikan bahwa: dan .

Sejak sebuah 0 dan b> 0, maka .

Dengan sifat menaikkan pecahan menjadi pangkat dan menentukan akar kuadrat teorema terbukti. Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung , sesuai dengan teorema terbukti .

Contoh kedua: Buktikan bahwa , jika sebuah ≤ 0, b < 0. .

Contoh lain: Hitung .

.

Transformasi akar kuadrat

Mengambil pengganda dari bawah tanda akar. Biarkan ekspresi diberikan. Jika sebuah sebuah 0 dan b 0, maka dengan teorema pada akar produk, kita dapat menulis:

Transformasi seperti itu disebut memfaktorkan keluar tanda akar. Pertimbangkan sebuah contoh;

Hitung di X= 2. Substitusi langsung X= 2 inci ekspresi radikal mengarah pada perhitungan yang rumit. Perhitungan ini dapat disederhanakan jika pertama-tama kita menghilangkan faktor-faktor dari bawah tanda akar: . Sekarang substitusikan x = 2, kita dapatkan:.

Jadi, ketika mengambil faktor dari bawah tanda akar, ekspresi akar direpresentasikan sebagai produk di mana satu atau lebih faktor adalah kuadrat bilangan non-negatif. Teorema hasil kali akar kemudian diterapkan dan akar dari setiap faktor diambil. Perhatikan sebuah contoh: Sederhanakan ekspresi A = 8 + 18 - 4√2 dengan mengambil faktor-faktor dari bawah tanda akar pada dua suku pertama, kita peroleh:. Kami menekankan bahwa kesetaraan hanya berlaku bila sebuah 0 dan b 0. jika sebuah < 0, то .

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya dan acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai studi untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau publik lainnya acara penting.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Siswa selalu bertanya: “Mengapa saya tidak bisa menggunakan kalkulator pada ujian matematika? Bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat dari suatu angka tanpa kalkulator? Mari kita coba menjawab pertanyaan ini.

Bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat dari suatu angka tanpa bantuan kalkulator?

Tindakan ekstraksi akar kuadrat kebalikan dari kuadrat.

√81= 9 9 2 =81

Jika dari nomor positif ambil akar kuadrat dan kuadratkan hasilnya, kita mendapatkan angka yang sama.

Dari bilangan kecil yang merupakan kuadrat sempurna bilangan asli, misalnya 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 akar kuadrat dapat diekstraksi secara lisan. Biasanya di sekolah mereka mengajarkan tabel kuadrat bilangan asli hingga dua puluh. Mengetahui tabel ini, mudah untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka 121.144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Dari angka yang lebih besar dari 400, Anda dapat mengekstrak menggunakan metode seleksi menggunakan beberapa tips. Mari kita coba contoh untuk mempertimbangkan metode ini.

Contoh: Ekstrak akar angka 676.

Kami perhatikan bahwa 20 2 \u003d 400, dan 30 2 \u003d 900, yang berarti 20< √676 < 900.

Kuadrat yang tepat dari bilangan asli berakhiran 0; satu; 4; 5; 6; sembilan.
Angka 6 diberikan oleh 4 2 dan 6 2 .
Jadi, jika akarnya diambil dari 676, maka itu adalah 24 atau 26.

Masih harus diperiksa: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Menjawab: √676 = 26 .

Lagi contoh: √6889 .

Sejak 80 2 \u003d 6400, dan 90 2 \u003d 8100, maka 80< √6889 < 90.
Angka 9 diberikan oleh 3 2 dan 7 2, maka 6889 adalah 83 atau 87.

Cek: 83 2 = 6889.

Menjawab: √6889 = 83 .

Jika Anda merasa sulit untuk menyelesaikan dengan metode seleksi, maka Anda dapat memfaktorkan ekspresi akar.

Sebagai contoh, temukan 893025.

Mari kita faktorkan bilangan 893025, ingat, kamu melakukannya di kelas enam.

Didapatkan: 893025 = 3 6 5 2 7 2 = 3 3 5 7 = 945.

Lagi contoh: 20736. Memfaktorkan bilangan 20736:

Kita peroleh 20736 = 2 8 3 4 = 2 4 3 2 = 144.

Tentu saja, memfaktorkan membutuhkan pengetahuan tentang kriteria keterbagian dan keterampilan memfaktorkan.

Dan akhirnya, ada aturan akar kuadrat. Mari kita lihat aturan ini dengan sebuah contoh.

Hitung 279841.

Untuk mengekstrak akar bilangan bulat multi-digit, kami membaginya dari kanan ke kiri menjadi wajah yang masing-masing berisi 2 digit (mungkin ada satu digit di wajah ekstrem kiri). Tulis seperti ini 27'98'41

Untuk mendapatkan digit pertama dari akar (5), kami mengekstrak akar kuadrat dari kuadrat tepat terbesar yang terdapat di wajah kiri pertama (27).
Kemudian kuadrat dari digit pertama dari akar (25) dikurangi dari wajah pertama dan wajah berikutnya (98) dikaitkan (dihancurkan) dengan perbedaan.
Di sebelah kiri nomor yang diterima 298, mereka menulis dua digit akar (10), membaginya dengan jumlah puluhan dari nomor yang diperoleh sebelumnya (29/2 2), mengalami hasil bagi (102 2 = 204 tidak boleh lebih dari 298) dan tulis (2) setelah digit pertama dari akar.
Kemudian hasil bagi 204 yang dihasilkan dikurangi dari 298, dan segi berikutnya (41) dikaitkan (dihancurkan) dengan perbedaan (94).
Di sebelah kiri angka yang dihasilkan 9441, mereka menulis produk ganda dari digit akar (52 2 = 104), bagi dengan produk ini jumlah puluhan dari angka 9441 (944/104 9), pengalaman hasil bagi (1049 9 = 9441) harus 9441 dan tuliskan (9) setelah digit kedua dari akar.

Kami mendapat jawaban 279841 = 529.

Demikian pula ekstrak akar desimal. Hanya bilangan radikal yang harus dibagi menjadi wajah sehingga koma berada di antara wajah.

Contoh. Carilah nilai 0.00956484.

Anda hanya harus ingat bahwa jika desimal memiliki jumlah desimal ganjil, tidak mengambil persis akar kuadrat.

Jadi, sekarang Anda telah melihat tiga cara untuk mengekstrak root. Pilih salah satu yang paling cocok untuk Anda dan praktikkan. Untuk mempelajari cara memecahkan masalah, Anda perlu menyelesaikannya. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, daftar untuk pelajaran saya.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.