Tindakan dengan pecahan. Pada artikel ini, kami akan menganalisis contoh, semuanya terperinci dengan penjelasan. Kami akan mempertimbangkan pecahan biasa. Di masa depan, kami akan menganalisis desimal. Saya sarankan untuk menonton secara keseluruhan dan belajar secara berurutan.
1. Jumlah pecahan, selisih pecahan.
Aturan: saat menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, sebagai hasilnya kita mendapatkan pecahan - penyebutnya tetap sama, dan pembilangnya adalah sama dengan jumlah pembilang pecahan.
Aturan: ketika menghitung selisih pecahan dengan penyebut yang sama, kami mendapatkan pecahan - penyebutnya tetap sama, dan pembilang kedua dikurangi dari pembilang pecahan pertama.
Notasi formal jumlah dan selisih pecahan yang penyebutnya sama:
Contoh (1):
Jelas bahwa ketika pecahan biasa diberikan, maka semuanya sederhana, tetapi jika dicampur? Tidak ada yang rumit...
Pilihan 1- Anda dapat mengubahnya menjadi yang biasa dan kemudian menghitungnya.
pilihan 2- Anda dapat "bekerja" secara terpisah dengan bagian bilangan bulat dan pecahan.
Contoh (2):
Lagi:
Dan jika selisih dua pecahan campuran diberikan dan pembilang pecahan pertama lebih kecil dari pembilang kedua? Bisa juga dengan dua cara.
Contoh (3):
* Dikonversi ke pecahan biasa, hitung selisihnya, terjemahkan hasilnya fraksi yang tidak tepat menjadi satu campuran.
* Dibagi menjadi bagian bilangan bulat dan pecahan, didapat tiga, kemudian disajikan 3 sebagai jumlah dari 2 dan 1, dengan unit yang disajikan sebagai 11/11, kemudian temukan perbedaan antara 11/11 dan 7/11 dan hitung hasilnya. Arti dari transformasi di atas adalah mengambil (memilih) suatu satuan dan menyajikannya sebagai pecahan dengan penyebut yang kita butuhkan, kemudian dari pecahan ini kita sudah dapat mengurangi yang lain.
Contoh lain:
Kesimpulan: ada pendekatan universal - untuk menghitung jumlah (selisih) pecahan campuran dengan penyebut yang sama, mereka selalu dapat dikonversi ke yang tidak tepat, lalu jalankan tindakan yang diperlukan. Setelah itu, jika hasilnya kita mendapatkan pecahan biasa, kita terjemahkan ke dalam pecahan campuran.
Di atas, kita melihat contoh pecahan yang penyebutnya sama. Bagaimana jika penyebutnya berbeda? Dalam hal ini, pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama dan tindakan yang ditentukan dilakukan. Untuk mengubah (mengubah) pecahan, digunakan sifat utama pecahan.
Pertimbangkan contoh sederhana:
Dalam contoh ini, kita langsung melihat bagaimana salah satu pecahan dapat dikonversi untuk mendapatkan penyebut yang sama.
Jika kita menentukan cara untuk mengurangi pecahan menjadi satu penyebut, maka yang ini akan disebut METODE SATU.
Artinya, segera ketika "mengevaluasi" pecahan, Anda perlu mencari tahu apakah pendekatan seperti itu akan berhasil - kami memeriksa apakah penyebut yang lebih besar dapat dibagi dengan yang lebih kecil. Dan jika dibagi, maka kami melakukan transformasi - kami mengalikan pembilang dan penyebutnya sehingga penyebut kedua pecahan menjadi sama.
Sekarang lihat contoh-contoh ini:
Pendekatan ini tidak berlaku untuk mereka. Ada cara lain untuk mengurangi pecahan menjadi faktor persekutuan Mari kita lihat mereka.
Metode KEDUA.
Kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan penyebut pertama:
*Faktanya, kita akan mengubah bentuk pecahan jika penyebutnya sama. Selanjutnya, kita menggunakan aturan penjumlahan malu-malu dengan penyebut yang sama.
Contoh:
*Metode ini bisa disebut universal, dan selalu berhasil. Satu-satunya negatif adalah bahwa setelah perhitungan, mungkin ada pecahan yang perlu dikurangi lebih lanjut.
Pertimbangkan sebuah contoh:
Terlihat bahwa pembilang dan penyebutnya habis dibagi 5:
Metode KETIGA.
Temukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebutnya. Ini akan menjadi penyebut yang sama. Nomor apa ini? Itu yang terkecil bilangan asli, yang habis dibagi masing-masing bilangan.
Lihat, ini ada dua angka: 3 dan 4, ada banyak angka yang habis dibagi - ini adalah 12, 24, 36, ... Yang terkecil adalah 12. Atau 6 dan 15, 30, 60, 90 adalah dibagi oleh mereka .... Terkecil 30. Pertanyaan - bagaimana menentukan kelipatan persekutuan terkecil ini?
Ada algoritma yang jelas, tetapi seringkali ini dapat dilakukan segera tanpa perhitungan. Misalnya, sesuai dengan contoh di atas (3 dan 4, 6 dan 15), tidak diperlukan algoritma, kami mengambil angka besar (4 dan 15), menggandakannya dan melihat bahwa mereka dapat dibagi dengan angka kedua, tetapi pasangan angka bisa yang lain, seperti 51 dan 119.
Algoritma. Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan, Anda harus:
- dekomposisi setiap angka menjadi faktor SEDERHANA
- tuliskan dekomposisi LEBIH BESAR dari mereka
- kalikan dengan faktor HILANG dari angka lain
Pertimbangkan contoh:
50 dan 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
dalam dekomposisi lagi ketinggalan satu lima
=> KPK(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 dan 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
dalam perluasan jumlah yang lebih besar, dua dan tiga hilang
=> KPK(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan prima sama dengan produk mereka
Pertanyaan! Dan mengapa berguna untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, karena Anda dapat menggunakan metode kedua dan cukup mengurangi pecahan yang dihasilkan? Ya, Anda bisa, tetapi itu tidak selalu nyaman. Lihat apa penyebut untuk angka 48 dan 72 jika Anda cukup mengalikannya 48∙72 = 3456. Setuju bahwa lebih menyenangkan untuk bekerja dengan angka yang lebih kecil.
Pertimbangkan contoh:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
dalam perluasan angka yang lebih besar, tiga kali lipat hilang
=> KPK(51,119) = 3∙7∙17
Dan sekarang kita terapkan cara pertama:
* Lihatlah perbedaan dalam perhitungan, dalam kasus pertama ada minimum, dan yang kedua Anda harus bekerja secara terpisah pada selembar kertas, dan bahkan fraksi yang Anda dapatkan perlu dikurangi. Menemukan KPK sangat menyederhanakan pekerjaan.
Contoh lainnya:
* Pada contoh kedua, jelas bahwa bilangan terkecil, yang dibagi dengan 40 dan 60 sama dengan 120.
TOTAL! ALGORITMA PERHITUNGAN UMUM!
- kami membawa pecahan ke pecahan biasa, jika ada bagian bilangan bulat.
- kita membawa pecahan ke penyebut yang sama (pertama kita melihat untuk melihat apakah satu penyebut habis dibagi dengan yang lain, jika itu habis dibagi, maka kita kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan lain ini; jika tidak habis dibagi, kita bertindak menggunakan metode lain yang ditunjukkan di atas).
- setelah menerima pecahan dengan penyebut yang sama, kami melakukan tindakan (penambahan, pengurangan).
- jika perlu, kami mengurangi hasilnya.
- jika perlu, pilih seluruh bagian.
2. Hasil kali pecahan.
Aturannya sederhana. Saat mengalikan pecahan, pembilang dan penyebutnya dikalikan:
Contoh:
Tingkat pertama
konversi ekspresi. teori rinci (2019)
Konversi ekspresi
Sering kita mendengar ini ungkapan yang tidak menyenangkan: "sederhanakan ekspresi." Biasanya, dalam hal ini, kami memiliki beberapa jenis monster seperti ini:
"Ya, jauh lebih mudah," kata kami, tetapi jawaban seperti itu biasanya tidak berhasil.
Sekarang saya akan mengajari Anda untuk tidak takut dengan tugas seperti itu. Selain itu, di akhir pelajaran, Anda sendiri akan menyederhanakan contoh ini menjadi (hanya!) nomor biasa(ya, persetan dengan surat-surat itu).
Tetapi sebelum Anda memulai pelajaran ini, Anda harus mampu menangani pecahan dan polinomial faktor. Karena itu, pertama-tama, jika Anda belum pernah melakukan ini sebelumnya, pastikan untuk menguasai topik "" dan "".
Membaca? Jika ya, maka Anda siap.
Operasi penyederhanaan dasar
Sekarang kita akan menganalisis teknik utama yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi.
Yang paling sederhana adalah
1. Membawa yang serupa
Apa yang mirip? Anda mengalami ini di kelas 7, ketika huruf pertama kali muncul dalam matematika, bukan angka. Serupa adalah istilah (monomial) dengan bagian huruf yang sama. Misalnya, total seperti istilah- ini dan.
Ingat?
Membawa istilah yang sama berarti menambahkan beberapa istilah yang mirip satu sama lain dan mendapatkan satu istilah.
Tapi bagaimana kita bisa menyatukan huruf? - Anda bertanya.
Ini sangat mudah dipahami jika Anda membayangkan bahwa huruf-huruf itu adalah semacam benda. Misalnya, surat itu adalah kursi. Lalu apa ekspresinya? Dua kursi ditambah tiga kursi, berapa harganya? Betul, kursi: .
Sekarang coba ekspresi ini:
Agar tidak bingung, yuk huruf yang berbeda mewakili hal yang berbeda. Misalnya, - ini (seperti biasa) kursi, dan - ini meja. Kemudian:
kursi meja kursi meja kursi kursi meja
Angka-angka dengan mana huruf-huruf dalam istilah tersebut dikalikan disebut koefisien. Misalnya, dalam monomial koefisiennya sama. Dan dia setara.
Jadi, aturan untuk membawa yang serupa:
Contoh:
Bawa yang serupa:
Jawaban:
2. (dan serupa, karena, oleh karena itu, istilah-istilah ini memiliki bagian huruf yang sama).
2. Faktorisasi
Ini biasanya yang paling bagian utama dalam menyederhanakan ekspresi. Setelah Anda memberikan yang serupa, paling sering ekspresi yang dihasilkan harus difaktorkan, yaitu, disajikan sebagai produk. Ini sangat penting dalam pecahan: lagi pula, untuk mengurangi pecahan, pembilang dan penyebutnya harus direpresentasikan sebagai produk.
Anda telah mempelajari metode terperinci dari ekspresi pemfaktoran dalam topik "", jadi di sini Anda hanya perlu mengingat apa yang telah Anda pelajari. Untuk melakukan ini, selesaikan beberapa contoh(untuk difaktorkan):
Solusi:
3. Pengurangan pecahan.
Nah, apa yang bisa lebih baik daripada mencoret bagian dari pembilang dan penyebut, dan membuangnya dari hidup Anda?
Itulah indahnya singkatan.
Itu mudah:
Jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor yang sama, mereka dapat direduksi, yaitu dikeluarkan dari pecahan.
Aturan ini mengikuti dari sifat dasar pecahan:
Artinya, inti dari operasi reduksi adalah bahwa Kami membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan angka yang sama (atau dengan ekspresi yang sama).
Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu:
1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali
2) jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor umum, mereka dapat dihapus.
Prinsipnya, saya pikir, sudah jelas?
Saya ingin menarik perhatian pada satu kesalahan tipikal saat mengurangi. Meskipun topik ini sederhana, tetapi banyak orang melakukan kesalahan, tidak menyadarinya memotong- itu berarti membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.
Tidak ada singkatan jika pembilang atau penyebutnya adalah jumlah.
Misalnya: Anda perlu menyederhanakan.
Beberapa melakukan ini: yang benar-benar salah.
Contoh lain: mengurangi.
"Yang paling pintar" akan melakukan ini:.
Katakan apa yang salah di sini? Tampaknya: - ini adalah pengganda, sehingga Anda dapat mengurangi.
Tapi tidak: - ini adalah faktor dari hanya satu istilah dalam pembilang, tetapi pembilang itu sendiri secara keseluruhan tidak didekomposisi menjadi faktor.
Ini contoh lainnya: .
Ekspresi ini diuraikan menjadi faktor-faktor, yang berarti Anda dapat mengurangi, yaitu, membagi pembilang dan penyebut dengan, dan kemudian dengan:
Anda dapat langsung membagi dengan:
Untuk menghindari kesalahan seperti itu, ingatlah jalan mudah cara menentukan apakah ekspresi difaktorkan:
Operasi aritmatika yang dilakukan terakhir saat menghitung nilai ekspresi adalah "utama". Artinya, jika Anda mengganti beberapa (apa saja) angka alih-alih huruf, dan mencoba menghitung nilai ekspresi, maka jika tindakan terakhir adalah perkalian, maka kami memiliki produk (ekspresi didekomposisi menjadi faktor). Jika tindakan terakhir adalah penambahan atau pengurangan, ini berarti bahwa ekspresi tidak difaktorkan (dan karena itu tidak dapat direduksi).
Untuk memperbaikinya, selesaikan sendiri beberapa contoh:
Jawaban:
1. Saya harap Anda tidak segera buru-buru memotong dan? Itu masih belum cukup untuk "mengurangi" unit seperti ini:
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memfaktorkan:
4. Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Membawa pecahan ke penyebut yang sama.
Penambahan dan pengurangan pecahan biasa- operasinya terkenal: kami mencari penyebut yang sama, kami mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambah / mengurangi pembilangnya. Mari kita ingat:
Jawaban:
1. Penyebut dan koprima, yaitu tidak memiliki faktor persekutuan. Oleh karena itu, KPK dari angka-angka ini sama dengan produk mereka. Ini akan menjadi penyebut umum:
2. Di sini penyebutnya adalah:
3. Hal pertama di sini pecahan campuran mengubahnya menjadi yang salah, dan kemudian - sesuai dengan skema yang biasa:
Lain halnya jika pecahan mengandung huruf, misalnya:
Mari kita mulai dengan sederhana:
a) Penyebut tidak mengandung huruf
Di sini semuanya sama dengan pecahan numerik biasa: kami menemukan penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambahkan / mengurangi pembilangnya:
sekarang di pembilang Anda dapat membawa yang serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:
Cobalah sendiri:
b) Penyebutnya mengandung huruf
Mari kita ingat prinsip menemukan penyebut yang sama tanpa huruf:
Pertama-tama, kita tentukan faktor persekutuannya;
Kemudian kami menulis semua faktor persekutuan satu kali;
dan kalikan dengan semua faktor lain, bukan faktor umum.
Untuk menentukan faktor persekutuan penyebut, pertama-tama kita uraikan menjadi faktor-faktor sederhana:
Kami menekankan faktor umum:
Sekarang kami menulis faktor umum satu kali dan menambahkan semua faktor non-umum (tidak digarisbawahi):
Ini adalah penyebut umum.
Mari kita kembali ke surat-surat. Penyebut diberikan dengan cara yang persis sama:
Kami menguraikan penyebut menjadi faktor;
menentukan pengganda umum (identik);
tuliskan semua faktor persekutuan satu kali;
Kami mengalikannya dengan semua faktor lain, bukan yang umum.
Jadi, secara berurutan:
1) uraikan penyebutnya menjadi faktor-faktor:
2) menentukan faktor-faktor umum (identik):
3) tuliskan semua faktor persekutuan satu kali dan kalikan dengan semua faktor lainnya (tidak digarisbawahi):
Jadi penyebut umum ada di sini. Pecahan pertama harus dikalikan dengan, yang kedua - dengan:
Omong-omong, ada satu trik:
Sebagai contoh: .
Kami melihat faktor yang sama dalam penyebut, hanya semuanya dengan indikator yang berbeda. Penyebut yang sama akan menjadi:
sejauh
sejauh
sejauh
dalam derajat.
Mari kita memperumit tugas:
Bagaimana cara membuat pecahan memiliki penyebut yang sama?
Mari kita ingat sifat dasar pecahan:
Tidak ada tempat yang mengatakan bahwa bilangan yang sama dapat dikurangkan (atau dijumlahkan) dari pembilang dan penyebut suatu pecahan. Karena itu tidak benar!
Lihat sendiri: ambil pecahan apa saja, misalnya, dan tambahkan beberapa angka ke pembilang dan penyebut, misalnya, . Apa yang telah dipelajari?
Jadi, aturan lain yang tak tergoyahkan:
Ketika Anda membawa pecahan ke penyebut yang sama, gunakan hanya operasi perkalian!
Tapi apa yang perlu Anda perbanyak untuk mendapatkan?
Di sini dan berkembang biak. Dan kalikan dengan:
Ekspresi yang tidak dapat difaktorkan akan disebut "faktor elementer". Misalnya, adalah faktor dasar. - juga. Tapi - tidak: itu didekomposisi menjadi faktor-faktor.
Bagaimana dengan ekspresi? Apakah itu dasar?
Tidak, karena dapat difaktorkan:
(Anda sudah membaca tentang faktorisasi di topik "").
Jadi, faktor dasar di mana Anda menguraikan ekspresi dengan huruf adalah analog faktor utama di mana Anda menguraikan angka-angka. Dan kami akan melakukan hal yang sama dengan mereka.
Kita melihat bahwa kedua penyebut memiliki faktor. Ini akan menjadi penyebut yang sama dalam kekuasaan (ingat mengapa?).
Penggandanya bersifat elementer, dan mereka tidak memiliki kesamaan, yang berarti bahwa pecahan pertama harus dikalikan dengannya:
Contoh lain:
Keputusan:
Sebelum mengalikan penyebut ini dengan panik, Anda perlu memikirkan cara memfaktorkannya? Keduanya mewakili:
Bagus! Kemudian:
Contoh lain:
Keputusan:
Seperti biasa, kita memfaktorkan penyebutnya. Pada penyebut pertama, kita cukup mengeluarkannya dari tanda kurung; di kedua - perbedaan kotak:
Tampaknya tidak ada faktor umum. Tetapi jika Anda melihat lebih dekat, mereka sudah sangat mirip ... Dan kenyataannya adalah:
Jadi mari kita menulis:
Artinya, ternyata seperti ini: di dalam tanda kurung, kami menukar istilah, dan pada saat yang sama, tanda di depan pecahan berubah menjadi kebalikannya. Perhatikan, Anda harus sering melakukan ini.
Sekarang kita bawa ke penyebut yang sama:
Mengerti? Sekarang mari kita periksa.
Tugas untuk solusi independen:
Jawaban:
Di sini kita harus mengingat satu hal lagi - perbedaan kubus:
Harap dicatat bahwa penyebut pecahan kedua tidak mengandung rumus "kuadrat jumlah"! Kuadrat jumlah akan terlihat seperti ini:
A adalah apa yang disebut kuadrat tidak lengkap dari jumlah: suku kedua di dalamnya adalah produk dari yang pertama dan terakhir, dan bukan produk ganda mereka. Kuadrat tidak lengkap dari jumlah adalah salah satu faktor dalam perluasan selisih kubus:
Bagaimana jika sudah ada tiga pecahan?
Ya sama! Pertama-tama, mari kita buat agar jumlah maksimum faktor penyebutnya sama:
Perhatikan: jika Anda mengubah tanda di dalam satu kurung, tanda di depan pecahan berubah menjadi sebaliknya. Ketika kita mengubah tanda di kurung kedua, tanda di depan pecahan dibalik lagi. Akibatnya, dia (tanda di depan pecahan) tidak berubah.
Kami menulis penyebut pertama secara lengkap dalam penyebut yang sama, dan kemudian kami menambahkan semua faktor yang belum ditulis, dari yang kedua, dan kemudian dari yang ketiga (dan seterusnya, jika ada lebih banyak pecahan). Artinya, berjalan seperti ini:
Hmm... Dengan pecahan, jelas apa yang harus dilakukan. Tapi bagaimana dengan keduanya?
Sederhana saja: Anda tahu cara menjumlahkan pecahan, bukan? Jadi, Anda perlu memastikan bahwa deuce menjadi pecahan! Ingat: pecahan adalah operasi pembagian (pembilang dibagi dengan penyebut, jika Anda tiba-tiba lupa). Dan tidak ada yang lebih mudah daripada membagi angka dengan. Dalam hal ini, angka itu sendiri tidak akan berubah, tetapi akan berubah menjadi pecahan:
Persis apa yang dibutuhkan!
5. Perkalian dan pembagian pecahan.
Nah, bagian tersulit sekarang sudah berakhir. Dan di depan kita adalah yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama yang paling penting:
Prosedur
Bagaimana prosedur menghitungnya? ekspresi numerik? Ingat, dengan mempertimbangkan nilai ekspresi seperti itu:
Apakah Anda menghitung?
Ini harus bekerja.
Jadi, saya mengingatkan Anda.
Langkah pertama adalah menghitung derajat.
Yang kedua adalah perkalian dan pembagian. Jika ada beberapa perkalian dan pembagian sekaligus, Anda dapat melakukannya dalam urutan apa pun.
Dan akhirnya, kami melakukan penambahan dan pengurangan. Sekali lagi, dalam urutan apa pun.
Tapi: ekspresi dalam kurung dievaluasi rusak!
Jika beberapa tanda kurung dikalikan atau dibagi satu sama lain, pertama-tama kita mengevaluasi ekspresi di setiap tanda kurung, lalu mengalikan atau membaginya.
Bagaimana jika ada tanda kurung lain di dalam tanda kurung? Nah, mari kita pikirkan: beberapa ekspresi ditulis di dalam tanda kurung. Apa hal pertama yang harus dilakukan ketika mengevaluasi ekspresi? Itu benar, hitung kurung. Yah, kami menemukan jawabannya: pertama kami menghitung tanda kurung dalam, lalu yang lainnya.
Jadi, urutan tindakan untuk ekspresi di atas adalah sebagai berikut (tindakan saat ini disorot dengan warna merah, yaitu tindakan yang saya lakukan sekarang):
Oke, semuanya sederhana.
Tapi itu tidak sama dengan ekspresi dengan huruf, bukan?
Tidak, itu sama! Hanya sebagai gantinya operasi aritmatika Anda perlu melakukan aljabar, yaitu tindakan yang dijelaskan di bagian sebelumnya: membawa serupa, menjumlahkan pecahan, mengurangi pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbedaan adalah tindakan memfaktorkan polinomial (kita sering menggunakannya saat bekerja dengan pecahan). Paling sering, untuk faktorisasi, Anda perlu menerapkan i atau hanya mengambil faktor umum untuk tanda kurung.
Biasanya tujuan kami adalah untuk mewakili ekspresi sebagai produk atau hasil bagi.
Sebagai contoh:
Mari kita sederhanakan ekspresinya.
1) Pertama kita sederhanakan ekspresi dalam tanda kurung. Di sana kami memiliki perbedaan pecahan, dan tujuan kami adalah untuk mewakilinya sebagai produk atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan ke penyebut yang sama dan menambahkan:
Tidak mungkin untuk menyederhanakan ungkapan ini lebih lanjut, semua faktor di sini adalah dasar (apakah Anda masih ingat apa artinya ini?).
2) Kami mendapatkan:
Perkalian pecahan: apa yang bisa lebih mudah.
3) Sekarang Anda dapat mempersingkat:
Itu dia. Tidak ada yang rumit, kan?
Contoh lain:
Sederhanakan ekspresi.
Pertama, coba selesaikan sendiri, dan baru kemudian lihat solusinya.
Pertama-tama, mari kita tentukan prosedurnya. Pertama, mari kita tambahkan pecahan dalam tanda kurung, alih-alih dua pecahan, satu akan menjadi. Kemudian kita akan melakukan pembagian pecahan. Nah, kita tambahkan hasilnya dengan pecahan terakhir. Saya akan memberi nomor skema langkah-langkahnya:
Sekarang saya akan menunjukkan seluruh proses, mewarnai tindakan saat ini dengan warna merah:
Akhirnya, saya akan memberi Anda dua tips berguna:
1. Jika ada yang serupa harus segera dibawa. Pada saat apa pun kita memiliki yang serupa, disarankan untuk segera membawanya.
2. Hal yang sama berlaku untuk pengurangan pecahan: segera setelah ada peluang untuk mengurangi, itu harus digunakan. Pengecualiannya adalah pecahan yang Anda tambahkan atau kurangi: jika ada penyebut yang sama, maka pengurangan harus dibiarkan untuk nanti.
Berikut adalah beberapa tugas untuk Anda selesaikan sendiri:
Dan berjanji di awal:
Solusi (singkat):
Jika Anda mengatasi setidaknya tiga contoh pertama, maka Anda, pertimbangkan, telah menguasai topik tersebut.
Sekarang untuk belajar!
KONVERSI EKSPRESI. RINGKASAN DAN FORMULA DASAR
Operasi penyederhanaan dasar:
- Membawa serupa: untuk menambah (mengurangi) suku-suku sejenis, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan menetapkan bagian hurufnya.
- Faktorisasi: mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung, menerapkan, dll.
- Pengurangan pecahan: pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, yang nilai pecahannya tidak berubah.
1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali
2) jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan, dapat dicoret.PENTING: hanya pengganda yang dapat dikurangi!
- Penjumlahan dan pengurangan pecahan:
; - Perkalian dan pembagian pecahan:
;
Di sekolah tipe VIII, siswa berkenalan dengan transformasi pecahan berikut: ekspresi pecahan dalam pecahan yang lebih besar (kelas 6), ekspresi pecahan biasa dengan bilangan bulat atau campuran (kelas 6), ekspresi pecahan di bagian yang sama (kelas 7), ekspresi nomor campuran pecahan biasa (kelas 7).
Ekspresi pecahan tak wajaratau nomor campuran
Saya belajar bahan ini Anda harus mulai dengan tugas: ambil 2 lingkaran yang dijahit dan bagi masing-masing menjadi 4 bagian yang sama, hitung jumlah bagian keempat (Gbr. 25). Selanjutnya diusulkan untuk menuliskan jumlah ini sebagai pecahan (t) Kemudian keempat bagian tersebut dijumlahkan dan siswa diyakinkan bahwa ternyata
lingkaran pertama. Karena itu, -t= satu . Menambah empat perempat - berturut-turut lebih banyak -t, dan siswa menuliskan: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9
Guru menarik perhatian siswa pada fakta bahwa dalam semua kasus dianggap mereka mengambil pecahan yang tidak tepat, dan sebagai hasil dari transformasi mereka menerima bilangan bulat atau campuran, yaitu, mereka menyatakan pecahan yang tidak tepat sebagai bilangan bulat atau nomor campuran. Selanjutnya, kita harus berusaha untuk memastikan bahwa siswa secara mandiri menentukan operasi aritmatika apa yang dapat dilakukan transformasi ini.Contoh nyata yang mengarah ke jawabannya
4 . 8 0 5 .1 7 .3 L
untuk pertanyaannya adalah: -2-=! dan t = 2, 4" = 1t dan t T " YV °D : ke
Untuk menyatakan pecahan biasa sebagai bilangan bulat atau campuran, Anda perlu membagi pembilang pecahan dengan penyebutnya, menulis hasil bagi sebagai bilangan bulat, menulis sisanya ke dalam pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tetap sama. Karena aturannya rumit, siswa sama sekali tidak perlu menghafalnya. Mereka harus dapat secara konsisten menceritakan tentang tindakan saat melakukan transformasi ini.
Sebelum memperkenalkan siswa pada ekspresi pecahan biasa dengan bilangan bulat atau bilangan campuran, disarankan untuk mengulang bersama mereka pembagian bilangan bulat dengan bilangan bulat dengan sisa.
Pemantapan transformasi baru bagi siswa difasilitasi oleh pemecahan masalah yang bersifat vital dan praktis, misalnya:
“Ada sembilan perempat jeruk di dalam vas. Skol| Jeruk utuh dapat ditambahkan dari bagian ini? Berapa perempat yang tersisa?"
“Untuk pembuatan tutup kotak, setiap lembar kartu
35 dipotong menjadi 16 bagian yang sama. Telah mendapatkan -^. Berapa banyak gol!
Memotong lembaran karton? Berapa banyak seperenam belas dari potongan! dari bagian berikutnya? Dll.
Ekspresi bilangan bulat dan campuran nomorfraksi yang tidak tepat
Pengenalan siswa terhadap transformasi baru ini harus didahului dengan pemecahan masalah, misalnya:
“2 helai kain, sama panjang, berbentuk persegi. > potong menjadi 4 bagian sama besar. Saputangan dijahit dari setiap bagian tersebut. Berapa banyak saputangan yang kamu dapatkan? I Rekam: 2= - 1 4^-, 2= -% ]
apakah kamu mendapatkan anggur? Tuliskan: ada 1 * lingkaran, menjadi * lingkaran, yang artinya
Jadi, berdasarkan visual dan dasar praktis, kami mempertimbangkan sejumlah contoh. Pada contoh-contoh yang sedang dibahas, siswa diminta untuk membandingkan bilangan asli (campuran atau bilangan bulat) dan bilangan yang dihasilkan setelah konversi (pecahan takwajar).
Untuk membiasakan siswa dengan aturan menyatakan bilangan bulat dan campuran sebagai pecahan biasa, perlu menarik perhatian mereka untuk membandingkan penyebut dari bilangan campuran dan pecahan biasa, serta bagaimana pembilang diperoleh, untuk contoh:
1 2"=?, 1 = 2", ditambah ^, jumlah ^ 3 ^=?, 3=-^-, ditambah ^, jumlah
akan -^-. Akibatnya, aturan dirumuskan: sehingga bilangan campuran
dinyatakan sebagai pecahan biasa, Anda perlu mengalikan penyebut dengan bilangan bulat, menambahkan pembilang ke produk dan menulis jumlah sebagai pembilang, dan membiarkan penyebut tidak berubah.
Pertama, Anda perlu melatih siswa dalam menyatakan satuan sebagai pecahan biasa, lalu bilangan bulat lainnya dengan penyebut, dan baru kemudian bilangan campuran:
Sifat dasar pecahan 1
[konsep kekekalan pecahan sambil meningkat
1 penurunan anggotanya yaitu pembilang dan penyebut dipelajari oleh siswa kelas VIII dengan dengan susah payah. Konsep ini harus diperkenalkan pada materi visual dan didaktik,
Mengapa penting bahwa siswa tidak hanya mengamati kegiatan guru, tetapi juga secara aktif bekerja dengan materi didaktik dan, berdasarkan pengamatan dan kegiatan praktis, sampai pada kesimpulan tertentu, generalisasi.
Misalnya, guru mengambil seluruh lobak, membaginya menjadi 2 pembalasan yang sama dan bertanya: "Apa yang Anda dapatkan saat membagi seluruh lobak?
setengah? (2 bagian.) Tampilkan * lobak. Mari kita potong (pisahkan)
setengah lobak menjadi 2 bagian yang lebih sama. Apa yang akan kita dapatkan? -y. Mari menulis:
tt \u003d - m - Mari kita bandingkan pembilang dan penyebut pecahan ini. Pada pukul berapa
kali pembilangnya bertambah? Berapa kali penyebutnya bertambah? Berapa kali pembilang dan penyebutnya bertambah? Apakah pecahannya berubah? Kenapa belum berubah? Berapa sahamnya: lebih besar atau lebih kecil? Apakah jumlahnya bertambah atau berkurang?
Kemudian semua siswa membagi lingkaran menjadi 2 bagian yang sama, masing-masing setengah dibagi menjadi 2 bagian yang lebih sama, setiap kuartal dibagi lagi menjadi
2 bagian yang sama, dst., dan tuliskan: "o ^ A ^ tg ^ tgg dan t - L- Kemudian mereka menentukan berapa kali pembilang dan penyebut pecahan bertambah, apakah pecahan itu berubah. Kemudian mereka menggambar a segmen dan membaginya secara berurutan dengan 3 , 6, 12 bagian yang sama dan tulis:
1 21 4 Saat membandingkan pecahan -^ dan -^, -^ dan -^, didapat bahwa
pembilang dan penyebut pecahan tg bertambah dengan jumlah yang sama, pecahan tidak berubah dari ini.
Setelah mempertimbangkan sejumlah contoh, siswa harus diminta untuk menjawab pertanyaan: “Apakah pecahan akan berubah jika pembilangnya Beberapa pengetahuan tentang topik“ Pecahan biasa ”dikecualikan dari kurikulum matematika di sekolah pemasyarakatan tipe VIII, tetapi mereka dikomunikasikan kepada siswa di sekolah untuk anak tunagrahita, di kelas meratakan untuk anak dengan kesulitan belajar matematika. Dalam buku teks ini, paragraf yang memberikan metodologi untuk mempelajari materi ini,
ditandai dengan tanda bintang (*).
Contoh serupa diberikan ketika mempertimbangkan pengurangan pembilang dan penyebut dengan jumlah yang sama (pembilang dan penyebut dibagi dengan angka yang sama). Misalnya, cr>"
( 4 \ dibagi menjadi 8 bagian yang sama, ambil 4 perdelapan lingkaran I -o-]
setelah diperbesar sahamnya diambil yang keempat jadi ada 2. Setelah diperbesar sahamnya
4 2 1 ambil yang kedua. Akan ada 1 : ~ ini = -d--%- Bandingkan pengikut! Saya
pembilang dan penyebut pecahan ini, menjawab pertanyaan: “Dalam<>berapa kali pembilang dan penyebut berkurang? Apakah pecahan akan berubah?
Manfaat yang baik adalah garis-garis, dibagi menjadi 12, 6, 3 bagian yang sama (Gbr. 26).
H
12 6 3 Gambar. 26
Berdasarkan contoh-contoh yang diberikan, siswa dapat menyimpulkan bahwa pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebut pecahan dibagi dengan angka yang sama (dikurangi dengan jumlah yang sama). Kemudian kesimpulan umum diberikan - sifat utama pecahan: pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebut pecahan ditambah atau dikurangi dengan jumlah yang sama.Angka dan ekspresi yang membentuk ekspresi asli dapat diganti dengan ekspresi yang identik sama dengan mereka. Transformasi ekspresi asli seperti itu mengarah ke ekspresi yang identik sama dengannya.
Misalnya, dalam ekspresi 3+x, angka 3 dapat diganti dengan jumlah 1+2 , yang menghasilkan ekspresi (1+2)+x , yang sama persis dengan ekspresi aslinya. Contoh lain: dalam ekspresi 1+a 5 derajat a 5 dapat diganti dengan produk yang identik dengannya, misalnya, bentuk a·a 4 . Ini akan memberi kita ekspresi 1+a·a 4 .
Transformasi ini tidak diragukan lagi buatan, dan biasanya merupakan persiapan untuk beberapa transformasi lebih lanjut. Misalnya, dalam penjumlahan 4·x 3 +2·x 2 , dengan mempertimbangkan sifat-sifat derajat, suku 4·x 3 dapat dinyatakan sebagai hasil kali 2·x 2 ·2·x . Setelah transformasi seperti itu, ekspresi aslinya akan berbentuk 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Jelas, istilah dalam jumlah yang dihasilkan memiliki faktor persekutuan 2 x 2, sehingga kita dapat melakukan transformasi berikut - tanda kurung. Setelah itu, kita akan sampai pada ekspresi: 2 x 2 (2 x+1) .
Penjumlahan dan pengurangan bilangan yang sama
Transformasi artifisial lain dari suatu ekspresi adalah penambahan dan pengurangan angka yang sama atau ekspresi pada waktu yang sama. Transformasi seperti itu identik, karena, pada kenyataannya, setara dengan menambahkan nol, dan menambahkan nol tidak mengubah nilainya.
Pertimbangkan sebuah contoh. Mari kita ambil ekspresi x 2 +2 x . Jika Anda menambahkan satu dan mengurangi satu, maka ini akan memungkinkan Anda untuk melakukan transformasi identik lainnya di masa mendatang - pilih kuadrat binomial: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 1.
Bibliografi.
- Aljabar: buku pelajaran untuk 7 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-17. - M. : Pendidikan, 2008. - 240 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku siswa institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-17, tambahkan. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
Antara berbagai ekspresi, yang dipertimbangkan dalam aljabar, tempat penting adalah jumlah dari monomial. Berikut adalah contoh ekspresi seperti itu:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut anggota polinomial. Monomial juga disebut sebagai polinomial, mengingat monomial sebagai polinomial yang terdiri dari satu anggota.
Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.
Kami mewakili semua istilah dalam bentuk monomial tampilan standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Kami memberikan istilah serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, semua anggotanya adalah monomial dari bentuk standar, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial semacam itu disebut polinomial bentuk standar.
Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuatan terbesar dari anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) memiliki derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) memiliki derajat kedua.
Biasanya, anggota polinomial bentuk standar yang mengandung satu variabel diatur dalam urutan eksponennya. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.
Kadang-kadang anggota polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dengan menyertakan setiap kelompok dalam tanda kurung. Karena tanda kurung adalah kebalikan dari tanda kurung, maka mudah untuk merumuskannya aturan pembukaan tanda kurung:
Jika tanda + diletakkan di depan tanda kurung, maka suku-suku yang berada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.
Jika tanda "-" diletakkan di depan tanda kurung, maka istilah yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.
Transformasi (penyederhanaan) dari produk monomial dan polinomial
Melalui sifat distributif perkalian dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial, produk dari monomial dan polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Hasil kali suatu monomial dan suatu polinomial identik sama dengan jumlah hasil kali monomial ini dan setiap suku-suku polinomial tersebut.
Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.
Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, seseorang harus mengalikan monomial ini dengan masing-masing suku polinomial.
Kami telah berulang kali menggunakan aturan ini untuk mengalikan dengan jumlah.
Produk dari polinomial. Transformasi (penyederhanaan) dari produk dua polinomial
Secara umum, hasil kali dua polinomial identik sama dengan jumlah produk dari setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku yang lain.
Biasanya menggunakan aturan berikut.
Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan.
Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah, Selisih, dan Kuadrat Selisih
Dengan beberapa ekspresi di transformasi aljabar harus berurusan dengan lebih dari yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu, kuadrat dari jumlah, kuadrat selisih, dan selisih kuadrat. Anda memperhatikan bahwa nama-nama ekspresi yang ditunjukkan tampaknya tidak lengkap, jadi, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja, bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b. Namun, kuadrat jumlah a dan b tidak begitu umum, sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, itu berisi berbagai ekspresi yang terkadang cukup kompleks.
Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial dari bentuk standar, pada kenyataannya, Anda telah menemukan tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Identitas yang dihasilkan berguna untuk diingat dan diterapkan tanpa perhitungan perantara. Formulasi verbal pendek membantu ini.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat jumlah sama dengan jumlah kuadrat dan hasil ganda.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya adalah jumlah kuadrat tanpa menggandakan hasil kali.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.
Ketiga identitas ini memungkinkan dalam transformasi untuk mengganti bagian kirinya dengan yang kanan dan sebaliknya - bagian kanan dengan yang kiri. Hal yang paling sulit dalam hal ini adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami variabel a dan b apa yang diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.
