SAYA. Ekspresi di mana, bersama dengan huruf, angka, tanda dapat digunakan operasi aritmatika dan tanda kurung disebut ekspresi aljabar.

Contoh ekspresi aljabar:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a + 2b); sebuah 2 - 2ab;

Karena huruf dalam ekspresi aljabar dapat diganti dengan beberapa berbagai nomor, maka huruf tersebut disebut variabel, dan ekspresi aljabar itu sendiri disebut ekspresi dengan variabel.

II. Jika dalam ekspresi aljabar huruf (variabel) diganti dengan nilainya dan tindakan yang ditentukan dilakukan, maka angka yang dihasilkan disebut nilai ekspresi aljabar.

Contoh. Temukan nilai ekspresi:

1) a + 2b -c untuk a = -2; b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| di x = -8; y=-5; z = 6.

Larutan.

1) a + 2b -c untuk a = -2; b = 10; c = -3.5. Alih-alih variabel, kami mengganti nilainya. Kita mendapatkan:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| di x = -8; y=-5; z = 6. Kami mengganti nilai yang ditunjukkan. Ingat bahwa modul angka negatif sama dengan bilangan lawannya, dan modulus nomor positif sama dengan angka tersebut. Kita mendapatkan:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

AKU AKU AKU. Nilai huruf (variabel) yang ekspresi aljabarnya masuk akal disebut nilai huruf yang valid (variabel).

Contoh. Pada nilai apa? ekspresi variabel tidak masuk akal?

Larutan. Kita tahu bahwa tidak mungkin membagi dengan nol, oleh karena itu, setiap ekspresi ini tidak akan masuk akal dengan nilai huruf (variabel) yang mengubah penyebut pecahan menjadi nol!

Pada contoh 1), ini adalah nilai a = 0. Memang, jika alih-alih a, kita mengganti 0, maka angka 6 perlu dibagi dengan 0, tetapi ini tidak dapat dilakukan. Jawaban: ekspresi 1) tidak masuk akal bila a = 0.

Pada contoh 2) penyebut x - 4 = 0 pada x = 4, oleh karena itu, nilai ini x = 4 dan tidak dapat diambil. Jawaban: ekspresi 2) tidak masuk akal untuk x = 4.

Dalam contoh 3) penyebutnya adalah x + 2 = 0 untuk x = -2. Jawaban: ekspresi 3) tidak masuk akal pada x = -2.

Dalam contoh 4) penyebutnya adalah 5 -|x| = 0 untuk |x| = 5. Dan karena |5| = 5 dan |-5| \u003d 5, maka Anda tidak dapat mengambil x \u003d 5 dan x \u003d -5. Jawaban: ekspresi 4) tidak masuk akal untuk x = -5 dan untuk x = 5.
IV. Dua ekspresi disebut identik sama jika untuk sembarang nilai yang diizinkan variabel, nilai yang sesuai dari ekspresi ini adalah sama.

Contoh: 5 (a - b) dan 5a - 5b identik, karena persamaan 5 (a - b) = 5a - 5b akan benar untuk semua nilai a dan b. Persamaan 5 (a - b) = 5a - 5b adalah suatu identitas.

Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai yang dapat diterima dari variabel yang termasuk di dalamnya. Contoh identitas yang sudah Anda ketahui, misalnya, sifat-sifat penjumlahan dan perkalian, sifat distributif.

Penggantian satu ekspresi dengan yang lain, identik sama dengan itu, disebut transformasi identik atau hanya transformasi ekspresi. Transformasi identitas ekspresi dengan variabel dieksekusi berdasarkan sifat operasi pada angka.

Contoh.

sebuah) ubah ekspresi menjadi identik sama menggunakan sifat distributif perkalian:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Larutan. Ingat sifat distributif (hukum) perkalian:

(a+b) c=a c+b c(hukum distributif perkalian sehubungan dengan penambahan: untuk mengalikan jumlah dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan setiap istilah dengan angka ini dan menambahkan hasilnya).
(a-b) c=a c-b c(hukum distributif perkalian sehubungan dengan pengurangan: untuk mengalikan selisih dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan dengan angka ini dikurangi dan dikurangkan secara terpisah dan kurangi yang kedua dari hasil pertama).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) ubah ekspresi menjadi sama dengan menggunakan komutatif dan sifat asosiatif(hukum) penjumlahan:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Larutan. Kami menerapkan hukum (properti) penambahan:

a+b=b+a(perpindahan: jumlah tidak berubah dari penataan ulang istilah).
(a+b)+c=a+(b+c)(asosiatif: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua suku, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

di) ubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang identik menggunakan sifat (hukum) perkalian dan sifat komutatif dan asosiatif:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 tahun · (-satu); 9) 3a · (-3) · 2 detik

Larutan. Mari kita terapkan hukum (sifat) perkalian:

a b = b a(perpindahan: permutasi faktor tidak mengubah produk).
(a b) c = a (b c)(kombinatif: untuk mengalikan produk dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan angka pertama dengan produk kedua dan ketiga).

Mari kita selesaikan masalahnya.

Siswa tersebut membeli buku tulis seharga 2 kopek. untuk buku catatan dan buku teks seharga 8 kopek. Berapa yang dia bayar untuk seluruh pembelian?

Untuk mengetahui biaya semua notebook, Anda perlu mengalikan harga satu notebook dengan jumlah notebook. Ini berarti bahwa biaya notebook akan sama dengan kopek.

Biaya seluruh pembelian akan menjadi

Perhatikan bahwa merupakan kebiasaan untuk menghilangkan tanda perkalian di depan pengali yang dinyatakan dengan huruf, itu hanya tersirat. Oleh karena itu, entri sebelumnya dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Kami telah memperoleh rumus untuk memecahkan masalah. Ini menunjukkan bahwa untuk memecahkan masalah perlu mengalikan harga buku catatan dengan jumlah buku catatan yang dibeli dan menambahkan biaya buku teks ke produk.

Alih-alih kata "rumus" untuk entri seperti itu, nama "ekspresi aljabar" juga digunakan.

Ekspresi aljabar adalah catatan yang terdiri dari angka-angka yang ditunjukkan oleh angka atau huruf dan dihubungkan oleh tanda-tanda tindakan.

Untuk singkatnya, alih-alih "ekspresi aljabar" mereka terkadang hanya mengatakan "ekspresi".

Berikut adalah beberapa contoh ekspresi aljabar:

Dari contoh-contoh ini, kita melihat bahwa ekspresi aljabar dapat terdiri dari hanya satu huruf, atau mungkin tidak mengandung angka sama sekali, ditunjukkan dengan huruf (dua contoh terbaru). Karena kasus terakhir ekspresi juga disebut ekspresi aritmatika.

Mari kita beri huruf nilai 5 dalam ekspresi aljabar yang kita terima (artinya siswa membeli 5 buku catatan). Mengganti nomor 5 sebagai gantinya, kita mendapatkan:

yang sama dengan 18 (yaitu, 18 kopecks).

Angka 18 adalah nilai dari ekspresi aljabar ini ketika

Nilai ekspresi aljabar adalah angka yang akan diperoleh jika kita mengganti data nilainya dengan ekspresi ini sebagai ganti huruf dan melakukan tindakan yang ditunjukkan pada angka.

Sebagai contoh, kita dapat mengatakan: nilai ekspresi at adalah 12 (12 kopecks).

Nilai dari ekspresi yang sama untuk adalah 14 (14 kopecks), dst.

Kami melihat bahwa makna ekspresi aljabar tergantung pada nilai apa yang kami berikan pada huruf yang disertakan di dalamnya. Benar, terkadang makna suatu ungkapan tidak bergantung pada makna huruf-huruf yang terkandung di dalamnya. Misalnya, ekspresi sama dengan 6 untuk setiap nilai a.

Mari kita cari dalam bentuk contoh nilai numerik ekspresi untuk nilai yang berbeda huruf a dan b.

Pengganti dalam ekspresi yang diberikan alih-alih a, angka 4, dan bukannya 6, angka 2 dan hitung ekspresi yang dihasilkan:

Jadi, ketika nilai ekspresi For sama dengan 16.

Dengan cara yang sama, kami menemukan bahwa ketika nilai ekspresi adalah 29, ketika dan itu sama dengan 2, dll.

Hasil perhitungan dapat dituliskan dalam bentuk tabel yang akan menunjukkan dengan jelas bagaimana nilai ekspresi berubah tergantung pada perubahan nilai huruf yang disertakan di dalamnya.

Mari kita buat tabel dengan tiga baris. Di baris pertama kami akan menulis nilai a, di baris kedua - nilai 6 dan

di yang ketiga - nilai ekspresi Kami mendapatkan tabel seperti itu.

Pelajaran aljabar memperkenalkan kita pada berbagai jenis ekspresi. Saat materi baru tiba, ekspresi menjadi lebih kompleks. Ketika Anda berkenalan dengan kekuatan, mereka secara bertahap ditambahkan ke ekspresi, memperumitnya. Itu juga terjadi dengan pecahan dan ekspresi lainnya.

Untuk membuat studi materi senyaman mungkin, ini dilakukan dengan nama-nama tertentu agar dapat menonjolkannya. Artikel ini akan memberikan ulasan lengkap semua ekspresi aljabar sekolah dasar.

Mononomial dan polinomial

Ekspresi monomial dan polinomial dipelajari dalam kurikulum sekolah mulai dari kelas 7 Buku teks telah memberikan definisi semacam ini.

Definisi 1

monomial adalah angka, variabel, derajatnya dengan indikator alami, setiap karya yang dibuat dengan bantuan mereka.

Definisi 2

polinomial disebut jumlah monomial.

Jika kita ambil, misalnya, angka 5, variabel x, derajat z 7, maka produk dari bentuk 5 x dan 7 x 2 7 z 7 dianggap sebagai anggota tunggal. Ketika jumlah monomial bentuk diambil 5+x atau z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, maka kita mendapatkan polinomial.

Untuk membedakan monomial dari polinomial, perhatikan derajat dan definisinya. Konsep koefisien itu penting. Saat dilemparkan istilah serupa mereka dibagi menjadi suku bebas polinomial atau koefisien terkemuka.

Paling sering, beberapa tindakan dilakukan pada monomial dan polinomial, setelah itu ekspresi direduksi untuk melihat monomial. Penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dilakukan, mengandalkan algoritma untuk melakukan operasi pada polinomial.

Ketika ada satu variabel, dimungkinkan untuk membagi polinomial menjadi polinomial, yang direpresentasikan sebagai produk. Tindakan ini disebut faktorisasi polinomial.

Pecahan rasional (aljabar)

Konsep pecahan rasional dipelajari di kelas 8 SMA. Beberapa penulis menyebutnya pecahan aljabar.

Definisi 3

Pecahan aljabar rasional Mereka menyebut pecahan di mana polinomial atau monomial, angka, menggantikan pembilang dan penyebut.

Perhatikan contoh catatan pecahan rasional dari tipe 3 x + 2 , 2 a + 3 b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 dan 2 2 x + - 5 1 5 y 3 x x 2 + 4 . Berdasarkan definisi tersebut, kita dapat mengatakan bahwa setiap pecahan termasuk pecahan rasional.

Pecahan aljabar dapat ditambahkan, dikurangi, dikalikan, dibagi, dipangkatkan. Ini dibahas secara lebih rinci di bagian operasi dengan pecahan aljabar. Jika perlu untuk mengubah pecahan, mereka sering menggunakan sifat pengurangan dan pengurangan ke penyebut yang sama.

Ekspresi Rasional

PADA kursus sekolah konsep pecahan irasional sedang dipelajari, karena perlu untuk bekerja dengan ekspresi rasional.

Definisi 4

Ekspresi Rasional dianggap ekspresi numerik dan abjad, di mana angka dan huruf rasional digunakan dengan penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, menaikkan pangkat integer.

Ekspresi rasional mungkin tidak memiliki tanda-tanda yang termasuk dalam fungsi yang mengarah pada irasionalitas. Ekspresi rasional tidak mengandung akar, derajat dengan pecahan indikator irasional, derajat dengan variabel dalam eksponen, ekspresi logaritma, fungsi trigonometri dan seterusnya.

Berdasarkan aturan di atas, kami akan memberikan contoh ekspresi rasional. Dari definisi di atas, kita mendapatkan bahwa keduanya merupakan ekspresi numerik dari bentuk 1 2 + 3 4, dan 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0, 3 dianggap rasional. Ekspresi yang mengandung sebutan surat, juga mengacu pada rasional a 2 + b 2 3 a - 0, 5 b , dengan variabel berbentuk a x 2 + b x + c dan x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Semua ekspresi rasional dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan.

Ekspresi rasional bilangan bulat

Definisi 5

Ekspresi rasional bilangan bulat adalah ekspresi yang tidak mengandung pembagian menjadi ekspresi dengan variabel derajat negatif.

Dari definisi tersebut, kita dapatkan bahwa seluruh ekspresi rasional juga merupakan ekspresi yang mengandung huruf, misalnya, a + 1 , ekspresi yang mengandung beberapa variabel, misalnya x 2 · y 3 z + 3 2 dan a + b 3 .

Ekspresi seperti x: (y 1) dan 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 tidak dapat menjadi bilangan bulat rasional, karena mereka memiliki pembagian dengan ekspresi dengan variabel.

Ekspresi rasional pecahan

Definisi 6

Ekspresi rasional pecahan adalah ekspresi yang berisi pembagian dengan ekspresi dengan variabel derajat negatif.

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa ekspresi rasional pecahan dapat berupa 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 dan 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

Jika kita mempertimbangkan ekspresi jenis ini (2 x - x 2): 4 dan a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, maka mereka tidak dianggap rasional fraksional, karena mereka tidak memiliki ekspresi dengan variabel dalam penyebutnya.

Ekspresi dengan kekuatan

Definisi 7

Ekspresi yang mengandung kekuatan di setiap bagian notasi disebut ekspresi kekuatan atau ekspresi kekuatan.

Untuk konsepnya, kami memberikan contoh ekspresi seperti itu. Mereka mungkin tidak mengandung variabel, misalnya, 2 3 , 32 - 1 5 + 1. 5 3 . 5 · 5 - 2 5 - 1. 5 . Ekspresi pangkat dalam bentuk 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 juga tipikal. Untuk menyelesaikannya, perlu dilakukan beberapa transformasi.

Ekspresi irasional, ekspresi dengan akar

Akar, yang memiliki tempat dalam ekspresi, memberinya nama yang berbeda. Mereka disebut irasional.

Definisi 8

Ekspresi irasional nama ekspresi yang memiliki tanda-tanda akar dalam catatan.

Dapat dilihat dari definisi bahwa ini adalah ekspresi dari bentuk 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x dan x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Masing-masing memiliki setidaknya satu ikon root. Akar dan derajat terhubung, sehingga Anda dapat melihat ekspresi seperti x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3.

Ekspresi trigonometri

Definisi 9

ekspresi trigonometri adalah ekspresi yang mengandung sin , cos , tg dan ctg dan kebalikannya - arcsin , arccos , arctg dan arcctg .

Contoh fungsi trigonometri sudah jelas: sin 4 cos 6 cos 6 x - 1 dan 2 sin x t g 2 x + 3 , 4 3 t g - arcsin - 3 5 .

Untuk bekerja dengan fungsi seperti itu, Anda perlu menggunakan properti, rumus dasar langsung dan fungsi terbalik. Artikel transformasi fungsi trigonometri akan mengungkapkan masalah ini secara lebih rinci.

Ekspresi logaritma

Setelah berkenalan dengan logaritma, kita dapat berbicara tentang ekspresi logaritma yang kompleks.

Definisi 10

Ekspresi yang memiliki logaritma disebut logaritma.

Contoh fungsi tersebut adalah log 3 9 + ln e , log 2 (4 a b) , log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Anda dapat menemukan ekspresi seperti itu di mana ada derajat dan logaritma. Hal ini dapat dimengerti, karena dari definisi logaritma dapat disimpulkan bahwa ini adalah eksponen. Kemudian kita mendapatkan ekspresi seperti x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .

Untuk memperdalam studi materi, Anda harus merujuk pada materi tentang transformasi ekspresi logaritma.

pecahan

Ada ekspresi jenis khusus, yang disebut pecahan. Karena mereka memiliki pembilang dan penyebut, mereka tidak hanya dapat berisi nilai numerik, tetapi juga ekspresi dari jenis apa pun. Perhatikan definisi pecahan.

Definisi 11

Tembakan mereka menyebut ekspresi seperti itu yang memiliki pembilang dan penyebut, di mana ada sebutan atau ekspresi numerik dan alfabet.

Contoh pecahan yang memiliki pembilang dan penyebut bilangan adalah seperti ini 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , 2 , - e , (− 15) (− 2) . Pembilang dan penyebut dapat berisi angka dan ekspresi literal dari bentuk (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 , cos 2 - sin 2 1 + 3 t g , 2 + ln 5 ln x .

Meskipun ekspresi seperti 2 5 3 7 , x x 2 + 1:5 bukan pecahan, namun, mereka memiliki pecahan dalam notasinya.

Ekspresi umum

Kelas senior mempertimbangkan tugas dengan tingkat kesulitan yang meningkat, yang berisi semua tugas gabungan grup C di USE. Ekspresi ini sangat kompleks dan memiliki berbagai kombinasi akar, logaritma, kekuatan, dan fungsi trigonometri. Ini adalah pekerjaan seperti x 2 - 1 sin x + 3 atau sin a r c t g x - a x 1 + x 2 .

Penampilan mereka menunjukkan bahwa itu dapat dikaitkan dengan salah satu spesies di atas. Paling sering mereka tidak diklasifikasikan sebagai apapun, karena mereka memiliki spesifik solusi gabungan. Mereka dianggap sebagai ekspresi pandangan umum, dan tidak ada klarifikasi atau ekspresi tambahan yang digunakan untuk deskripsi.

Saat memecahkan ekspresi aljabar seperti itu, selalu perlu memperhatikan notasinya, keberadaan pecahan, pangkat, atau ekspresi tambahan. Ini diperlukan untuk secara akurat menentukan cara menyelesaikannya. Jika Anda tidak yakin dengan namanya, maka disarankan untuk menyebutnya sebagai ekspresi tipe umum dan putuskan sesuai dengan algoritma di atas.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Properti gelar:

(1) a m a n = a m + n

Contoh:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m n

Contoh:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a b) n = a n b n

Contoh:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Contoh:

$$(\left((\frac(a)(b)) \kanan)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m n

Contoh:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a n = 1 a n

Contoh:

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Properti akar pangkat dua:

(1) a b = a b , untuk a 0 , b 0

Contoh:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b , untuk a 0 , b > 0

Contoh:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a , untuk a 0

Contoh:

(4) a2 = | sebuah | untuk setiap

Contoh:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Rasional dan bilangan irasional

Angka rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa M N

Contoh bilangan rasional:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Bilangan irasional - angka yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa m n, ini adalah pecahan desimal non-periodik tak terbatas.

Contoh bilangan irasional:

e = 2,71828182845…

= 3.1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

Sederhananya, bilangan irasional adalah bilangan yang mengandung tanda akar kuadrat dalam notasinya. Tapi tidak semuanya begitu sederhana. Beberapa bilangan rasional menyamar sebagai bilangan irasional, misalnya, angka 4 mengandung tanda akar kuadrat dalam notasinya, tetapi kita sangat menyadari bahwa kita dapat menyederhanakan notasi 4 = 2. Artinya bilangan 4 merupakan bilangan rasional.

Demikian pula, bilangan 4 81 = 4 81 = 2 9 adalah bilangan rasional.

Beberapa soal mengharuskan Anda untuk menentukan bilangan mana yang rasional dan mana yang irasional. Tugasnya adalah memahami bilangan mana yang irasional dan mana yang disamarkan. Untuk melakukan ini, Anda harus dapat melakukan operasi mengeluarkan faktor dari bawah tanda akar kuadrat dan memasukkan faktor di bawah tanda akar.

Penyisipan dan penghapusan faktor untuk tanda akar kuadrat

Dengan menghilangkan faktor dari tanda akar kuadrat, Anda dapat menyederhanakan beberapa ekspresi matematika secara signifikan.

Contoh:

Sederhanakan ekspresi 2 8 2 .

1 cara (mengambil pengganda dari bawah tanda root): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Metode 2 (memperkenalkan pengganda di bawah tanda akar): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Rumus perkalian yang disingkat (FSU)

jumlah kuadrat

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Contoh:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 3 x 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

Kuadrat selisihnya

(2) (a b) 2 = a 2 2 a b + b 2

Contoh:

(5 x 2 y) 2 = (5 x) 2 2 5 x 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 20 x y + 4 y 2

Jumlah kuadrat tidak difaktorkan

a 2 + b 2

Selisih kuadrat

(3) a 2 b 2 = (a b) (a + b)

Contoh:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

jumlah kubus

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Contoh:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 (x) 2 (3 y) + 3 (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 x 2 3 y + 3 x 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

perbedaan kubus

(5) (a b) 3 = a 3 3 a 2 b + 3 a b 2 b 3

Contoh:

(x 2 2 y) 3 = (x 2) 3 3 (x 2) 2 (2 y) + 3 (x 2) (2 y) 2 (2 y) 3 = x 2 3 3 x 2 2 2 y + 3 x 2 4 y 2 8 y 3 = x 6 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 8 y 3

Jumlah kubus

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 a b + b 2)

Contoh:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 2 x + x 2) = (x + 2) (4 2 x + x 2)

perbedaan kubus

(7) a 3 b 3 = (a b) (a 2 + a b + b 2)

Contoh:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Bentuk standar angka

Untuk memahami bagaimana membawa sewenang-wenang bilangan rasional ke bentuk standar, Anda perlu mengetahui berapa angka penting pertama dari bilangan tersebut.

Pertama angka penting angka sebut saja angka bukan nol pertama di sebelah kiri.

Contoh:
2 5 ; 3, 05; 0, 143 ; 0, 00 1 2 . Digit signifikan pertama disorot dengan warna merah.

Untuk mengubah bilangan menjadi bentuk standar:

1. Geser koma sehingga tepat setelah angka penting pertama.
2. Kalikan angka yang dihasilkan dengan 10 n, di mana n adalah angka, yang didefinisikan sebagai berikut:
3. n > 0 jika koma digeser ke kiri (dikalikan dengan 10 n menunjukkan bahwa koma seharusnya berada di kanan);
4. n< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. nilai absolut dari angka n sama dengan jumlah digit yang digunakan untuk menggeser koma.

Contoh:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

Koma telah dipindahkan ke kiri sebanyak 1 digit. Karena titik desimal digeser ke kiri, eksponennya positif.

Sudah dibawa ke bentuk standar, Anda tidak perlu melakukan apa pun dengannya. Ini dapat ditulis sebagai 3,05 10 0 , tetapi karena 10 0 = 1, kami meninggalkan angka dalam bentuk aslinya.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Koma telah dipindahkan ke kanan sebanyak 1 digit. Karena titik desimal digeser ke kanan, eksponennya negatif.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

Koma telah pindah tiga tempat ke kanan. Karena titik desimal digeser ke kanan, eksponennya negatif.

Ekspresi aljabar mulai dipelajari di kelas 7. Mereka memiliki sejumlah properti dan digunakan dalam pemecahan masalah. Mari kita pelajari topik ini secara lebih rinci dan pertimbangkan contoh penyelesaian masalah.

Definisi konsep

Ekspresi apa yang disebut aljabar? dia notasi matematika, terdiri dari angka, huruf dan tanda operasi aritmatika. Kehadiran huruf adalah perbedaan utama antara ekspresi numerik dan aljabar. Contoh:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Sebuah huruf dalam ekspresi aljabar mewakili angka. Oleh karena itu, disebut variabel - dalam contoh pertama itu adalah huruf a, yang kedua - b, dan yang ketiga - c. Ekspresi aljabar itu sendiri juga disebut ekspresi variabel.

Nilai ekspresi

Arti dari ekspresi aljabar adalah angka yang diperoleh sebagai hasil dari melakukan semua operasi aritmatika yang ditentukan dalam ekspresi ini. Namun untuk mendapatkannya, huruf harus diganti dengan angka. Oleh karena itu, contoh selalu menunjukkan nomor mana yang sesuai dengan huruf tersebut. Pertimbangkan bagaimana menemukan nilai dari ekspresi 8a-14*(5-a) jika a=3.

Mari kita ganti angka 3 dengan huruf a. Kita mendapatkan entri berikut: 8*3-14*(5-3).

Seperti dalam ekspresi numerik, solusi dari ekspresi aljabar dilakukan sesuai dengan aturan untuk melakukan operasi aritmatika. Mari kita selesaikan semuanya secara berurutan.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Jadi, nilai ekspresi 8a-14*(5-a) untuk a=3 adalah -4.

Nilai suatu variabel disebut valid jika ekspresinya masuk akal, yaitu memungkinkan untuk menemukan solusinya.

Contoh variabel yang valid untuk ekspresi 5:2a adalah angka 1. Menggantinya ke dalam ekspresi, kita mendapatkan 5:2*1=2,5.

Variabel yang tidak valid untuk ekspresi ini adalah 0. Jika kita mengganti nol ke dalam ekspresi, kita mendapatkan 5:2*0, yaitu 5:0. Anda tidak dapat membagi dengan nol, jadi ekspresinya tidak masuk akal.

Ekspresi identitas

Jika dua ekspresi sama untuk setiap nilai variabel penyusunnya, mereka disebut identik.
Contoh ekspresi identik :
4(a+c) dan 4a+4c.
Berapa pun nilai yang diambil oleh huruf a dan c, ekspresinya akan selalu sama. Ekspresi apa pun dapat diganti dengan yang lain, identik dengannya. Proses ini disebut transformasi identitas.

Contoh transformasi identik .
4*(5a+14c) - ekspresi ini dapat diganti dengan yang identik dengan menerapkan hukum matematika perkalian. Untuk mengalikan angka dengan jumlah dua angka, Anda perlu mengalikan angka ini dengan setiap istilah dan menambahkan hasilnya.

• 4*5a=20a.
• 4*14 detik = 64 detik.
• 20a + 64s.

Jadi, ekspresi 4*(5a+14c) identik dengan 20a+64c.

Angka yang mendahului variabel literal dalam ekspresi aljabar disebut koefisien. Koefisien dan variabel adalah pengali.

Penyelesaian masalah

Ekspresi aljabar digunakan untuk menyelesaikan masalah dan persamaan.
Mari kita pertimbangkan masalahnya. Petya datang dengan sebuah nomor. Agar teman sekelas Sasha dapat menebaknya, Petya mengatakan kepadanya: pertama saya menambahkan 7 ke nomor itu, lalu mengurangi 5 darinya dan dikalikan dengan 2. Hasilnya, saya mendapat nomor 28. Nomor berapa yang saya tebak?

Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu menunjuk nomor tersembunyi dengan huruf a, dan kemudian melakukan semua tindakan yang ditunjukkan dengannya.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Sekarang mari kita selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Petya menebak angka 12.

Apa yang telah kita pelajari?

Ekspresi aljabar adalah catatan yang terdiri dari huruf, angka, dan tanda operasi aritmatika. Setiap ekspresi memiliki nilai yang ditemukan dengan melakukan semua aritmatika dalam ekspresi. Huruf dalam ekspresi aljabar disebut variabel, dan angka di depannya disebut koefisien. Ekspresi aljabar digunakan untuk menyelesaikan masalah.