Memecahkan sistem dengan dua yang tidak diketahui - ini berarti menemukan semua pasangan nilai variabel yang memenuhi setiap persamaan yang diberikan. Setiap pasangan seperti itu disebut solusi sistem.

Contoh:
Pasangan nilai \(x=3\);\(y=-1\) adalah solusi untuk sistem pertama, karena dengan mensubstitusikan tiga dan kurang ini ke dalam sistem, bukan \(x\) dan \ (y\), kedua persamaan menjadi persamaan yang valid \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

Tapi \(x=1\); \(y=-2\) - bukan solusi untuk sistem pertama, karena setelah substitusi persamaan kedua "tidak konvergen" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(kasus)\)

Perhatikan bahwa pasangan seperti itu sering ditulis lebih pendek: daripada "\(x=3\); \(y=-1\)" mereka menulis seperti ini: \((3;-1)\).

Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear?

Ada tiga cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linear:

1. Metode substitusi.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(kasus)\)\(\Panah kirikanan\)

Substitusikan ekspresi yang dihasilkan alih-alih variabel ini ke persamaan lain dari sistem.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   Pada persamaan kedua, setiap suku genap, jadi persamaan tersebut kita sederhanakan dengan membaginya dengan \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Sistem ini dapat diselesaikan dengan cara apa pun, tetapi menurut saya metode substitusi adalah yang paling nyaman di sini. Mari kita nyatakan y dari persamaan kedua.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Substitusikan \(6x-13\) untuk \(y\) pada persamaan pertama.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Persamaan pertama menjadi normal. Kami menyelesaikannya.

   Mari kita buka tanda kurung terlebih dahulu.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Mari kita geser \(117\) ke kanan dan berikan suku-suku sejenis.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Bagilah kedua ruas persamaan pertama dengan \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hore, kami menemukan \(x\)! Substitusikan nilainya ke persamaan kedua dan temukan \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Ayo tuliskan jawabannya.

Kami akan menganalisis dua jenis sistem penyelesaian persamaan:

1. Penyelesaian sistem dengan metode substitusi.
2. Penyelesaian sistem dengan penambahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritma sederhana:
1. Kami mengungkapkan. Dari persamaan apa pun, kami menyatakan satu variabel.
2. Pengganti. Kami mengganti persamaan lain alih-alih variabel yang dinyatakan, nilai yang dihasilkan.
3. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Menyelesaikan sistem dengan penambahan suku demi suku (pengurangan) membutuhkan:
1. Pilih variabel yang koefisiennya sama.
2. Kami menambah atau mengurangi persamaan, sehingga kami mendapatkan persamaan dengan satu variabel.
3. Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Penyelesaian sistem adalah titik potong grafik fungsi.

Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.

Contoh 1:

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi

Memecahkan sistem persamaan dengan metode substitusi

2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)

1. Ekspres
Dapat dilihat bahwa pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1, maka ternyata variabel x paling mudah diekspresikan dari persamaan kedua.
x=3+10y

2. Setelah dinyatakan, kita substitusikan 3 + 10y ke persamaan pertama sebagai ganti variabel x.
2(3+10th)+5th=1

3. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel.
2(3+10y)+5y=1 (kurung terbuka)
6+20th+5y=1
25th=1-6
25th=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah titik potong grafik, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potong terdiri dari x dan y. Mari kita cari x, di paragraf pertama di mana kita menyatakan kita mensubstitusi y di sana.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Merupakan kebiasaan untuk menulis poin di tempat pertama, kami menulis variabel x, dan di tempat kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)

Contoh #2:

Mari kita selesaikan dengan penambahan suku demi suku (pengurangan).

Memecahkan sistem persamaan dengan metode penjumlahan

3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)

1. Pilih sebuah variabel, misalkan kita memilih x. Dalam persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, dalam persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita memiliki hak untuk mengalikan persamaan atau membaginya dengan angka berapa pun. Kami mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan yang kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Dari persamaan pertama, kurangi persamaan kedua untuk menghilangkan variabel x. Selesaikan persamaan linier.
__6x-4y=2

5th=32 | :5
y=6.4

3. Temukan x. Kami mengganti y yang ditemukan di salah satu persamaan, katakanlah dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Titik potongnya adalah x=4.6; y=6.4
Jawaban: (4.6; 6.4)

Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Guru online Bebas. Tidak bercanda.

Lebih dapat diandalkan daripada metode grafis yang dibahas dalam paragraf sebelumnya.

Metode Pergantian

Kami menggunakan metode ini di kelas 7 untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Algoritma yang dikembangkan di kelas 7 ini cukup cocok untuk menyelesaikan sistem dua persamaan (tidak harus linier) dengan dua variabel x dan y (tentu saja, variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain, yang tidak masalah). Sebenarnya, kami menggunakan algoritma ini di bagian sebelumnya, ketika masalah dua digit menyebabkan model matematika, yang merupakan sistem persamaan. Kami memecahkan sistem persamaan di atas dengan metode substitusi (lihat contoh 1 dari 4).

Algoritma untuk menggunakan metode substitusi ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel x, y.

1. Nyatakan y dalam bentuk x dari satu persamaan sistem.
2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan alih-alih y ke dalam persamaan lain dari sistem.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x.
4. Substitusikan secara bergantian setiap akar persamaan yang ditemukan pada langkah ketiga alih-alih x ke dalam ekspresi y melalui x yang diperoleh pada langkah pertama.
5. Tuliskan jawaban dalam bentuk pasangan nilai (x;y) yang ditemukan berturut-turut pada langkah ketiga dan keempat.

4) Substitusikan secara bergantian setiap nilai y yang ditemukan ke dalam rumus x \u003d 5 - Zy. Jika kemudian
5) Pasangan (2; 1) dan solusi dari sistem persamaan yang diberikan.

Jawaban: (2; 1);

Metode penjumlahan aljabar

Metode ini, seperti metode substitusi, sudah tidak asing lagi bagi Anda dari kursus aljabar kelas 7, di mana metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Mari kita ingat kembali esensi dari metode ini contoh berikutnya.

Contoh 2 Memecahkan sistem persamaan

Kami mengalikan semua suku persamaan pertama sistem dengan 3, dan membiarkan persamaan kedua tidak berubah:
Kurangi persamaan kedua sistem dari persamaan pertama:

Sebagai hasil penjumlahan aljabar dari dua persamaan sistem asli persamaan yang dihasilkan lebih sederhana daripada persamaan pertama dan kedua dari sistem yang diberikan. Dengan persamaan yang lebih sederhana ini, kita berhak mengganti persamaan apa pun dari sistem yang diberikan, misalnya, yang kedua. Kemudian sistem persamaan yang diberikan akan digantikan oleh sistem yang lebih sederhana:

Sistem ini dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Dari persamaan kedua kita menemukan Substitusi ekspresi ini alih-alih y ke dalam persamaan pertama sistem, kita peroleh

Tetap mengganti nilai x yang ditemukan ke dalam rumus

Jika x = 2 maka

Jadi, kami telah menemukan dua solusi untuk sistem:

Metode untuk memperkenalkan variabel baru

Anda berkenalan dengan metode memperkenalkan variabel baru ketika memecahkan persamaan rasional dengan satu variabel dalam kursus aljabar kelas 8. Inti dari metode ini dalam menyelesaikan sistem persamaan adalah sama, tetapi dengan poin teknis visi, ada beberapa fitur yang akan kita bahas dalam contoh berikut.

Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan variabel baru Kemudian persamaan pertama sistem dapat ditulis ulang lebih banyak bentuk sederhana: Mari kita selesaikan persamaan ini untuk variabel t:

Kedua nilai ini memenuhi kondisi , dan karena itu adalah akar persamaan rasional dengan variabel t. Tapi itu berarti baik dari mana kita menemukan bahwa x = 2y, atau
Jadi, dengan menggunakan metode memasukkan variabel baru, kami berhasil, seolah-olah, untuk "meratakan" persamaan pertama dari sistem, yang penampilannya cukup kompleks, menjadi dua persamaan yang lebih sederhana:

x = 2 tahun; y - 2x.

Apa berikutnya? Dan kemudian masing-masing dari keduanya menerima persamaan sederhana perlu untuk mempertimbangkan secara bergantian dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 \u003d 3, yang belum kita ingat. Dengan kata lain, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian dua sistem persamaan:

Penting untuk menemukan solusi untuk sistem pertama, sistem kedua, dan memasukkan semua pasangan nilai yang dihasilkan dalam jawaban. Selesaikan sistem persamaan pertama:

Mari kita gunakan metode substitusi, terutama karena semuanya sudah siap di sini: kita substitusikan ekspresi 2y alih-alih x ke dalam persamaan kedua sistem. Mendapatkan

Karena x \u003d 2y, kami menemukan masing-masing x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Dengan demikian, dua solusi untuk sistem yang diberikan diperoleh: (2; 1) dan (-2; -1). Selesaikan sistem persamaan kedua:

Mari kita gunakan metode substitusi lagi: kita substitusikan ekspresi 2x sebagai ganti y dalam persamaan kedua sistem. Mendapatkan

Persamaan ini tidak memiliki akar, yang berarti bahwa sistem persamaan tidak memiliki solusi. Jadi, hanya solusi dari sistem pertama yang harus dimasukkan dalam jawaban.

Jawaban: (2; 1); (-2;-1).

Metode pengenalan variabel baru dalam penyelesaian sistem dua persamaan dengan dua variabel digunakan dalam dua versi. Opsi pertama: satu variabel baru diperkenalkan dan digunakan hanya dalam satu persamaan sistem. Inilah yang terjadi pada contoh 3. Opsi kedua: dua variabel baru diperkenalkan dan digunakan secara bersamaan di kedua persamaan sistem. Ini akan menjadi kasus dalam contoh 4.

Contoh 4 Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan dua variabel baru:

Kami belajar itu kemudian

Ini akan memungkinkan Anda untuk menulis ulang sistem ini dalam bentuk yang lebih sederhana, tetapi sehubungan dengan variabel baru a dan b:

Karena a \u003d 1, maka dari persamaan a + 6 \u003d 2 kita menemukan: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Jadi, untuk variabel a dan b, kami mendapat satu solusi:

Kembali ke variabel x dan y, kita memperoleh sistem persamaan

Untuk mengatasi sistem ini, kami menerapkan metode penjumlahan aljabar:

Sejak itu dari persamaan 2x + y = 3 kita menemukan:
Jadi, untuk variabel x dan y, kami mendapat satu solusi:

Mari kita akhiri bagian ini dengan diskusi teoretis yang singkat namun cukup serius. Apakah Anda sudah mendapatkan beberapa pengalaman dalam memecahkan? berbagai persamaan: linier, persegi, rasional, irasional. Anda tahu bahwa ide utama untuk memecahkan persamaan adalah untuk secara bertahap berpindah dari satu persamaan ke persamaan lainnya, lebih sederhana tetapi setara dengan yang diberikan. Pada bagian sebelumnya, kami memperkenalkan gagasan kesetaraan untuk persamaan dengan dua variabel. Konsep ini juga digunakan untuk sistem persamaan.

Definisi.

Dua sistem persamaan dengan variabel x dan y dikatakan ekuivalen jika memiliki solusi yang sama atau jika kedua sistem tidak memiliki solusi.

Ketiga metode (substitusi, penambahan aljabar, dan pengenalan variabel baru) yang telah kita bahas di bagian ini sepenuhnya benar dari sudut pandang ekivalensi. Dengan kata lain, dengan menggunakan metode ini, kami mengganti satu sistem persamaan dengan yang lain, lebih sederhana, tetapi setara dengan sistem aslinya.

Metode grafis untuk memecahkan sistem persamaan

Kita telah mempelajari bagaimana menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang umum dan dapat diandalkan seperti metode substitusi, penjumlahan aljabar, dan pengenalan variabel baru. Dan sekarang mari kita ingat metode yang telah Anda pelajari di pelajaran sebelumnya. Jadi mari kita rekap apa yang Anda ketahui tentang metode grafis solusi.

Metode untuk memecahkan sistem persamaan secara grafis mewakili konstruksi grafik untuk masing-masing persamaan spesifik yang termasuk dalam sistem ini dan berada dalam satu bidang koordinat, dan juga di mana diperlukan untuk menemukan perpotongan titik-titik dari grafik ini. Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah koordinat titik ini (x; y).

Harus diingat bahwa untuk sistem grafis persamaan cenderung memiliki salah satu yang unik keputusan yang tepat, atau set tak terbatas solusi, atau tidak memiliki solusi sama sekali.

Sekarang mari kita lihat lebih dekat masing-masing solusi ini. Jadi, sistem persamaan dapat memiliki hanya keputusan jika garis-garis yang merupakan grafik persamaan sistem berpotongan. Jika garis-garis ini sejajar, maka sistem persamaan seperti itu sama sekali tidak memiliki solusi. Dalam kasus kebetulan grafik langsung dari persamaan sistem, maka sistem seperti itu memungkinkan Anda untuk menemukan banyak solusi.

Nah, sekarang mari kita lihat algoritma untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan 2 tidak diketahui menggunakan metode grafis:

Pertama, pertama-tama kita buat grafik persamaan ke-1;
Langkah kedua adalah memplot grafik yang berhubungan dengan persamaan kedua;
Ketiga, kita perlu menemukan titik potong grafik.
Dan sebagai hasilnya, kami mendapatkan koordinat setiap titik persimpangan, yang akan menjadi solusi untuk sistem persamaan.

Mari kita lihat metode ini secara lebih rinci dengan sebuah contoh. Kami diberikan sistem persamaan yang harus diselesaikan:

Menyelesaikan Persamaan

1. Pertama, kita akan membuat jadwal persamaan yang diberikan: x2+y2=9.

Tetapi perlu dicatat bahwa grafik persamaan ini akan menjadi lingkaran yang berpusat di titik asal, dan jari-jarinya akan sama dengan tiga.

2. Langkah selanjutnya adalah memplot persamaan seperti: y = x - 3.

Dalam hal ini, kita harus membuat garis dan mencari titik (0;−3) dan (3;0).

3. Mari kita lihat apa yang kita dapatkan. Kita lihat bahwa garis memotong lingkaran di dua titik A dan B.

Sekarang kita sedang mencari koordinat titik-titik tersebut. Kita lihat bahwa koordinat (3;0) berhubungan dengan titik A, dan koordinat (0;−3) berhubungan dengan titik B.

Dan apa yang kita dapatkan sebagai hasilnya?

Bilangan (3;0) dan (0;−3) yang diperoleh pada perpotongan garis lurus dengan lingkaran tepat merupakan solusi dari kedua persamaan sistem tersebut. Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa angka-angka ini juga merupakan solusi dari sistem persamaan ini.

Artinya, jawaban dari solusi ini adalah bilangan: (3;0) dan (0;−3).

Sistem persamaan yang diterima aplikasi luas di bidang ekonomi pemodelan matematika berbagai proses. Misalnya, ketika memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, rute logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam bidang matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linear adalah istilah untuk dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang perlu dicari penyelesaiannya. Barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan sejati atau membuktikan bahwa barisan itu tidak ada.

Persamaan Linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang tidak diketahui, yang nilainya harus dicari, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan.
Memecahkan persamaan dengan memplot grafiknya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya adalah solusi dari polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Yang paling sederhana adalah contoh sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, di mana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Memecahkan sistem persamaan - itu berarti menemukan nilai-nilai seperti itu (x, y) yang sistemnya menjadi persamaan sejati, atau untuk menetapkan bahwa tidak ada nilai x dan y yang cocok.

Sepasang nilai (x, y), yang ditulis sebagai koordinat titik, disebut solusi sistem persamaan linier.

Jika sistem memiliki satu solusi umum atau tidak ada solusi, mereka disebut setara.

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem bagian kanan yang sama dengan nol. Jika bagian kanan setelah tanda "sama dengan" memiliki nilai atau dinyatakan dengan fungsi, sistem seperti itu tidak homogen.

Jumlah variabel bisa lebih dari dua, maka kita harus berbicara tentang contoh sistem persamaan linier dengan tiga variabel atau lebih.

Dihadapkan dengan sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui, tetapi tidak demikian. Jumlah persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabel, bisa ada sejumlah besar variabel secara sewenang-wenang.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada yang umum metode analitis solusi sistem serupa, semua metode didasarkan pada solusi numerik. Kursus sekolah matematika menjelaskan secara rinci metode seperti permutasi, penambahan aljabar, substitusi, serta metode grafis dan matriks, solusi dengan metode Gauss.

Tugas utama dalam mengajar metode pemecahan adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritma optimal solusi untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi untuk memahami prinsip-prinsip penerapan metode tertentu.

Memecahkan contoh sistem persamaan linier kelas 7 program sekolah Menengah cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat rinci. Dalam setiap buku teks tentang matematika, bagian ini diberikan perhatian yang cukup. Solusi contoh sistem persamaan linier dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari secara lebih rinci di kursus pertama lembaga pendidikan tinggi.

Penyelesaian sistem dengan metode substitusi

Tindakan metode substitusi ditujukan untuk mengekspresikan nilai dari satu variabel melalui yang kedua. Ekspresi disubstitusikan ke persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk variabel tunggal. Tindakan diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita beri contoh sistem persamaan linier kelas 7 dengan metode substitusi:

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke dalam persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu untuk memperoleh satu variabel Y dalam persamaan ke-2 . Larutan contoh ini tidak menyebabkan kesulitan dan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir adalah memeriksa nilai yang diterima.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linier dengan substitusi. Persamaan bisa rumit dan ekspresi variabel dalam hal yang tidak diketahui kedua akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Ketika ada lebih dari 3 yang tidak diketahui dalam sistem, solusi substitusi juga tidak praktis.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaian menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem dengan metode penjumlahan, penjumlahan suku demi suku, dan perkalian persamaan dengan berbagai nomor. tujuan akhir operasi matematika adalah persamaan dengan satu variabel.

Untuk aplikasi metode ini dibutuhkan latihan dan pengamatan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode penjumlahan dengan jumlah variabel 3 atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar berguna jika persamaan mengandung pecahan dan bilangan desimal.

Algoritma tindakan solusi:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan beberapa angka. Hasil dari operasi aritmatika salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
2. Tambahkan istilah ekspresi yang dihasilkan dengan istilah dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
3. Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 dari sistem untuk menemukan variabel yang tersisa.

Metode solusi dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem perlu menemukan solusi untuk tidak lebih dari dua persamaan, jumlah yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode ini digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan sehubungan dengan yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Contoh menunjukkan bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat diturunkan menjadi standar trinomial persegi. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Perlu dicari nilai diskriminannya dengan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah pengali polinomial. PADA diberikan contoh a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan kurang dari nol, maka hanya ada satu solusi: x= -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penambahan.

Sebuah metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk sistem dengan 3 persamaan. Metodenya adalah dengan membangun sumbu koordinat grafik dari setiap persamaan yang termasuk dalam sistem. Koordinat titik potong kurva dan akan solusi umum sistem.

Metode grafik memiliki sejumlah nuansa. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linier secara visual.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, dua titik dibangun untuk setiap baris, nilai variabel x dipilih secara acak: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, nilai y ditemukan: 3 dan 0. Titik-titik dengan koordinat (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulang untuk persamaan kedua. Titik potong garis adalah solusi dari sistem.

Contoh berikut perlu menemukan solusi grafis sistem persamaan linier: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, sistem tidak memiliki solusi, karena grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang panjangnya.

Sistem dari Contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun, menjadi jelas bahwa solusi mereka berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah sistem memiliki solusi atau tidak, selalu perlu untuk membangun grafik.

Matriks dan varietasnya

Matriks digunakan untuk singkatan sistem persamaan linier. Sebuah tabel disebut matriks. jenis khusus diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks dikatakan bujur sangkar jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Matriks dengan unit di sepanjang salah satu diagonal dan lainnya elemen nol disebut tunggal.

Matriks terbalik adalah matriks seperti itu, ketika dikalikan dengan yang asli menjadi satu unit, matriks seperti itu hanya ada untuk kuadrat asli.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Berkenaan dengan sistem persamaan, koefisien dan anggota bebas dari persamaan ditulis sebagai bilangan matriks, satu persamaan adalah satu baris matriks.

Baris matriks disebut bukan nol jika setidaknya satu elemen baris tidak nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabel berbeda, maka perlu untuk memasukkan nol di tempat yang tidak diketahui yang hilang.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Ini berarti bahwa koefisien variabel x hanya dapat ditulis dalam satu kolom, misalnya yang pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya di kolom kedua.

Saat mengalikan matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan angka.

Opsi untuk menemukan matriks terbalik

Rumus untuk mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, di mana K -1 - matriks terbalik, dan |K| - penentu matriks. |K| tidak harus sama dengan nol, maka sistem memiliki solusi.

Determinan mudah dihitung untuk matriks dua kali dua, hanya perlu mengalikan elemen secara diagonal satu sama lain. Untuk opsi "tiga per tiga", ada rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom sehingga nomor kolom dan baris elemen tidak berulang dalam produk.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan pengurangan notasi yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan jumlah besar variabel dan persamaan.

Dalam contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriks adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Solusi sistem dengan metode Gauss

PADA matematika yang lebih tinggi metode Gauss dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses menemukan solusi sistem disebut metode solusi Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk menemukan variabel sistem dengan banyak persamaan linier.

Metode Gaussian sangat mirip dengan solusi substitusi dan penambahan aljabar, tetapi lebih sistematis. Dalam kursus sekolah, solusi Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk membawa sistem ke bentuk trapesium terbalik. cara transformasi aljabar dan substitusi adalah nilai satu variabel dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 tidak diketahui, dan 3 dan 4 - dengan 3 dan 4 variabel, masing-masing.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

PADA buku pelajaran sekolah untuk kelas 7, contoh solusi dengan metode Gauss dijelaskan sebagai berikut:

Seperti dapat dilihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Solusi dari salah satu persamaan akan memungkinkan Anda untuk menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5, yang disebutkan dalam teks, menyatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan yang setara, maka sistem yang dihasilkan juga akan setara dengan yang asli.

Metode Gauss sulit dipahami siswa SMA, tetapi merupakan salah satu yang paling cara yang menarik untuk mengembangkan kecerdikan anak-anak yang terdaftar dalam program studi mendalam di kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan perhitungan pencatatan, biasanya dilakukan hal-hal berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, di mana setiap baris matriks bersesuaian dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka Romawi menunjukkan jumlah persamaan dalam sistem.

Pertama, mereka menuliskan matriks yang digunakan untuk bekerja, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan terus melakukan yang diperlukan tindakan aljabar sampai hasilnya tercapai.

Akibatnya, matriks harus diperoleh di mana salah satu diagonalnya adalah 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi satu bentuk. Kita tidak boleh lupa untuk membuat perhitungan dengan jumlah kedua sisi persamaan.

Notasi ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu dengan mendaftar banyak hal yang tidak diketahui.

Aplikasi gratis dari metode solusi apa pun akan membutuhkan perawatan dan sejumlah pengalaman. Tidak semua metode diterapkan. Beberapa cara untuk menemukan solusi lebih disukai di bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pembelajaran.