Bahkan ketika saya masih mahasiswa tahun pertama, saya bertengkar sengit dengan salah satu teman sekelas saya. Dia mengatakan bahwa kubus empat dimensi tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk apa pun, dan saya meyakinkan bahwa itu dapat direpresentasikan dengan cukup jelas. Kemudian saya bahkan membuat proyeksi hypercube ke ruang tiga dimensi kami dari klip kertas... Tapi mari kita bicarakan semuanya secara berurutan.
Apa itu hypercube (tesseract) dan ruang empat dimensi
Ada tiga dimensi dalam ruang kebiasaan kita. Dengan titik geometris pandang, ini berarti bahwa tiga garis yang saling tegak lurus dapat ditunjukkan di dalamnya. Artinya, untuk setiap garis, Anda dapat menemukan garis kedua yang tegak lurus dengan yang pertama, dan untuk pasangan, Anda dapat menemukan garis ketiga yang tegak lurus terhadap dua yang pertama. Tidak mungkin lagi menemukan garis lurus keempat yang tegak lurus dengan tiga garis yang sudah ada.

Ruang empat dimensi berbeda dari ruang kita hanya karena ia memiliki satu lagi arah tambahan. Jika Anda sudah memiliki tiga garis yang saling tegak lurus, maka Anda dapat menemukan garis keempat, sehingga akan tegak lurus terhadap ketiganya.
Hypercube hanyalah sebuah kubus dalam empat dimensi.
Mungkinkah membayangkan ruang empat dimensi dan hypercube?
Pertanyaan ini mirip dengan pertanyaan: "dapatkah Anda bayangkan? Perjamuan Terakhir melihat lukisan dengan nama yang sama (1495-1498) karya Leonardo da Vinci (1452-1519)?”
Di satu sisi, tentu saja, Anda tidak akan membayangkan apa yang Yesus lihat (ia sedang duduk menghadap penonton), terutama karena Anda tidak akan mencium bau taman di luar jendela dan rasa makanan di atas meja, Anda tidak akan mendengar burung-burung bernyanyi ... Anda tidak akan mendapatkan tampilan penuh tentang apa yang terjadi malam itu, tetapi tidak dapat dikatakan bahwa Anda tidak akan mempelajari sesuatu yang baru dan bahwa gambar itu tidak menarik.
Situasinya mirip dengan pertanyaan tentang hypercube. Tidak mungkin untuk sepenuhnya membayangkannya, tetapi Anda bisa lebih dekat untuk memahami apa itu.

Ruang-waktu dan ruang empat dimensi Euclidean
Saya harap Anda berhasil membayangkan hypercube. Tetapi apakah Anda berhasil lebih dekat untuk memahami bagaimana ruang-waktu empat dimensi tempat kita hidup bekerja? Sayangnya, tidak juga.
Di sini kita berbicara tentang ruang empat dimensi Euclidean, tetapi ruang-waktu memiliki sifat yang sangat berbeda. Secara khusus, pada setiap rotasi, segmen selalu tetap miring terhadap sumbu waktu, baik pada sudut kurang dari 45 derajat, atau pada sudut lebih besar dari 45 derajat.

Proyeksi dan visi penghuni ruang empat dimensi
Beberapa kata tentang visi
Kita hidup di dunia tiga dimensi, tetapi kita melihatnya sebagai dua dimensi. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa retina mata kita terletak pada bidang yang hanya memiliki dua dimensi. Itulah mengapa kita dapat melihat gambar dua dimensi dan menemukannya mirip dengan kenyataan. (Tentu saja, karena akomodasi, mata dapat memperkirakan jarak ke suatu objek, tetapi ini sudah merupakan efek samping yang terkait dengan optik yang terpasang di mata kita.)
Mata penghuni ruang empat dimensi harus memiliki retina tiga dimensi. Makhluk seperti itu dapat segera melihat sosok tiga dimensi sepenuhnya: semua wajah dan bagian dalamnya. (Dengan cara yang sama, kita dapat melihat sosok dua dimensi, semua wajah dan bagian dalamnya.)
Jadi, dengan bantuan organ penglihatan kita, kita tidak dapat melihat kubus empat dimensi dengan cara yang sama seperti yang dirasakan oleh penghuni ruang empat dimensi. Sayang. Tetap hanya mengandalkan mata pikiran dan fantasi, yang untungnya tidak memiliki keterbatasan fisik.
Namun, ketika menggambarkan hypercube di pesawat, saya hanya perlu memproyeksikannya ke ruang dua dimensi. Ingatlah hal ini saat mempelajari gambar.
Persimpangan tepi
Secara alami, tepi hypercube tidak berpotongan. Persimpangan hanya muncul dalam gambar. Namun, ini seharusnya tidak mengejutkan, karena tepi kubus biasa pada gambar juga berpotongan.
Panjang rusuk
Perlu dicatat bahwa semua wajah dan tepi kubus empat dimensi adalah sama. Pada gambar, mereka tidak sama hanya karena mereka berada di bawah sudut yang berbeda ke arah pandang. Namun, hypercube dapat dibuka sehingga semua proyeksi memiliki panjang yang sama.

Tesseract - sebuah hypercube empat dimensi - sebuah kubus dalam ruang empat dimensi.
Menurut Kamus Oxford, kata tesseract diciptakan dan digunakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton (1853-1907) dalam bukunya " era baru pikiran". Kemudian, beberapa orang menyebut sosok yang sama sebagai tetracube (Yunani - empat) - kubus empat dimensi.
Sebuah tesseract biasa dalam ruang empat dimensi Euclidean didefinisikan sebagai lambung titik-titik cembung (±1, ±1, ±1, ±1). Dengan kata lain, dapat direpresentasikan sebagai himpunan berikut:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Sebuah tesseract dibatasi oleh delapan hyperplanes x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , yang berpotongan dengan tesseract sendiri mendefinisikannya wajah 3D (yang merupakan kubus biasa) Setiap pasangan wajah 3D non-paralel berpotongan untuk membentuk wajah 2D (persegi), dll. Terakhir, tesseract memiliki 8 wajah 3D, 24 2D, 32 tepi, dan 16 simpul.
Deskripsi Populer
Mari kita coba bayangkan seperti apa hypercube itu tanpa keluar ruang tiga dimensi.
Dalam "ruang" satu dimensi - pada garis - kami memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kami menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujungnya. Anda akan mendapatkan CDBA persegi. Mengulangi operasi ini dengan pesawat, kami mendapatkan CDBAGHFE kubus tiga dimensi. Dan dengan menggeser kubus di dimensi keempat (tegak lurus ke tiga yang pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.
Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai sisi CDBA persegi dua dimensi, persegi adalah sisi kubus CDBAGHFE, yang, pada gilirannya, akan menjadi sisi hypercube empat dimensi. Segmen garis lurus memiliki dua titik batas, persegi memiliki empat simpul, dan kubus memiliki delapan. Jadi, dalam hypercube empat dimensi, akan ada 16 simpul: 8 simpul dari kubus asli dan 8 simpul yang digeser di dimensi keempat. Ini memiliki 32 tepi - 12 masing-masing memberikan posisi awal dan akhir dari kubus asli, dan 8 tepi lagi "menggambar" delapan simpulnya yang telah pindah ke dimensi keempat. Alasan yang sama dapat dilakukan untuk wajah hypercube. Dalam ruang dua dimensi, itu adalah satu (persegi itu sendiri), kubus memiliki 6 di antaranya (dua wajah dari persegi yang dipindahkan dan empat lagi akan menggambarkan sisi-sisinya). Sebuah hypercube empat dimensi memiliki 24 wajah persegi - 12 kotak kubus asli di dua posisi dan 12 kotak dari dua belas sisinya.
Karena sisi persegi adalah 4 segmen satu dimensi, dan sisi (wajah) kubus adalah 6 persegi dua dimensi, jadi untuk "kubus empat dimensi" (tesseract) sisinya adalah 8 kubus tiga dimensi. Ruang dari pasangan kubus tesseract yang berlawanan (yaitu, ruang tiga dimensi tempat kubus ini berada) adalah paralel. Pada gambar, ini adalah kubus: CDBAGHFE dan KLJIOPNM, CDBAKLJI dan GHFEOPNM, EFBAMNJI dan GHDCOPLK, CKIAGOME dan DLJBHPNF.
Demikian pula, kita dapat melanjutkan alasan untuk hypercubes lagi dimensi, tetapi jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi. Mari kita gunakan untuk ini metode analogi yang sudah dikenal.
Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan lihat dengan satu mata dari sisi wajah. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (wajah dekat dan jauh), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua "kotak" kubik yang dimasukkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan membentang ke arah sumbu keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus tidak dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.
Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser oleh panjang wajah, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hypercube. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang di masa depan akan terlihat seperti sosok yang agak rumit. Hypercube empat dimensi itu sendiri terdiri dari kubus dalam jumlah tak terbatas, sama seperti kubus tiga dimensi dapat "dipotong" menjadi kotak datar dalam jumlah tak terbatas.
Dengan memotong enam wajah kubus tiga dimensi, seseorang dapat menguraikannya menjadi sosok datar- sapuan. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya, ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang "tumbuh" darinya, ditambah satu lagi - "hyperface" terakhir.
Properti dari tesseract adalah perpanjangan dari properti bentuk geometris dimensi yang lebih rendah menjadi ruang empat dimensi.

Dalam geometri hypercube- Ini n-analogi dimensi persegi ( n= 2) dan kubus ( n= 3). Ini adalah gambar cembung tertutup, terdiri dari kelompok garis paralel yang terletak di tepi yang berlawanan dari gambar, dan terhubung satu sama lain di sudut kanan.

Angka ini juga dikenal sebagai tesseract(tesserak). Tesseract adalah untuk kubus seperti kubus adalah untuk persegi. Lebih formal, tesseract dapat digambarkan sebagai polytop empat dimensi cembung biasa (polytope) yang batasnya terdiri dari delapan sel kubik.

Menurut Oxford English Dictionary, kata "tesseract" diciptakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton dan digunakan dalam bukunya A New Era of Thought. Kata tersebut dibentuk dari bahasa Yunani "τεσσερες " ("empat sinar"), berbentuk empat sumbu koordinat. Selain itu, di beberapa sumber, sosok yang sama disebut kubus(tetrakuba).

n-dimensi hypercube juga disebut kubus n.

Sebuah titik adalah hypercube berdimensi 0. Jika Anda menggeser sebuah titik dengan satuan panjang, Anda mendapatkan segmen dengan satuan panjang - sebuah hypercube berdimensi 1. Selanjutnya, jika Anda menggeser segmen dengan satuan panjang dalam arah tegak lurus ke arah segmen, Anda mendapatkan kubus - hypercube berdimensi 2. Menggeser persegi dengan satuan panjang ke arah tegak lurus terhadap bidang bujur sangkar, diperoleh kubus - hypercube berdimensi 3. Proses ini dapat digeneralisasikan ke sejumlah dimensi. Misalnya, jika Anda menggeser kubus dengan satuan panjang di dimensi keempat, Anda mendapatkan tesseract.

Keluarga hypercubes adalah salah satu dari sedikit polihedra biasa yang dapat direpresentasikan dalam dimensi apa pun.

elemen hypercube

Dimensi hypercube n memiliki 2 n"sisi" (garis satu dimensi memiliki 2 titik; persegi dua dimensi - 4 sisi; kubus tiga dimensi - 6 wajah; tesseract empat dimensi - 8 sel). Jumlah simpul (titik) dari hypercube adalah 2 n(misalnya, untuk kubus - 2 3 simpul).

Kuantitas m-hiperkubus dimensi pada batas n-kubus sama dengan

Misalnya, di perbatasan hypercube ada 8 kubus, 24 kotak, 32 tepi dan 16 simpul.

Elemen hypercubes

kubus n	Nama	Puncak (0-wajah)	Tepian (1-wajah)	tepian (2-wajah)	Sel (3-wajah)	(4-wajah)	(5-wajah)	(6-wajah)	(7-wajah)	(8-wajah)
0-kubus	Dot	1
1-kubus	Segmen garis	2	1
2-kubus	Kotak	4	4	1
3-kubus	kubus	8	12	6	1
4-kubus	tesseract	16	32	24	8	1
5-kubus	penetrasi	32	80	80	40	10	1
6-kubus	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kubus	Hepterak	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kubus	okter	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kubus	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Proyeksi pesawat

Pembentukan hypercube dapat direpresentasikan dengan cara berikut:

• Dua titik A dan B dapat dihubungkan membentuk ruas garis AB.
• Dua segmen paralel AB dan CD dapat dihubungkan membentuk persegi ABCD.
• Dua buah persegi ABCD dan EFGH yang sejajar dapat digabungkan untuk membentuk kubus ABCDEFGH.
• Dua buah kubus sejajar ABCDEFGH dan IJKLMNOP dapat dihubungkan membentuk hiperkubus ABCDEFGHIJKLMNOP.

Struktur yang terakhir tidak mudah untuk dibayangkan, tetapi dimungkinkan untuk menggambarkan proyeksinya ke dua atau tiga dimensi. Selain itu, proyeksi ke bidang 2D dapat lebih berguna dengan mengatur ulang posisi simpul yang diproyeksikan. Dalam hal ini, dapat diperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial elemen-elemen dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur koneksi verteks, seperti pada contoh di bawah ini.

Ilustrasi pertama menunjukkan bagaimana tesseract terbentuk pada prinsipnya dengan menggabungkan dua kubus. Skema ini mirip dengan skema untuk membuat kubus dari dua kotak. Diagram kedua menunjukkan bahwa semua tepi tesseract memiliki panjang yang sama. Skema ini juga dipaksa untuk mencari kubus yang terhubung satu sama lain. Pada diagram ketiga, simpul-simpul tesseract terletak sesuai dengan jarak di sepanjang permukaan relatif terhadap titik bawah. Skema ini menarik karena digunakan sebagai sirkuit dasar untuk topologi jaringan yang menghubungkan prosesor dalam mengatur komputasi paralel: jarak antara dua node tidak melebihi 4 panjang tepi, dan ada banyak cara berbeda untuk menyeimbangkan beban.

Hypercube dalam seni

Hypercube telah muncul dalam fiksi ilmiah sejak 1940, ketika Robert Heinlein, dalam cerita "The House That Teal Built" ("Dan Dia Membangun Rumah yang Bengkok"), menggambarkan sebuah rumah yang dibangun dalam bentuk tesseract. Dalam cerita, ini Selanjutnya, rumah ini dilipat, berubah menjadi tesseract empat dimensi. Setelah itu, hypercube muncul di banyak buku dan novel.

Cube 2: Hypercube adalah sekitar delapan orang yang terjebak dalam jaringan hypercube.

Lukisan Penyaliban (Corpus Hypercubus), 1954 oleh Salvador Dali menggambarkan Yesus disalibkan pada scan tesseract. Lukisan ini bisa dilihat di Museum Seni (Metropolitan Museum of Art) di New York.

Kesimpulan

Hypercube adalah salah satu objek empat dimensi paling sederhana, pada contoh di mana Anda dapat melihat semua kerumitan dan keanehan dimensi keempat. Dan apa yang tampak mustahil dalam tiga dimensi mungkin dalam empat, misalnya, angka-angka yang mustahil. Jadi, misalnya, batang-batang segitiga mustahil dalam empat dimensi akan dihubungkan pada sudut siku-siku. Dan gambar ini akan terlihat seperti ini dari semua sudut pandang, dan tidak akan terdistorsi, tidak seperti implementasi segitiga mustahil dalam ruang tiga dimensi (lihat Gambar.

Ajaran tentang ruang multidimensi mulai muncul di pertengahan kesembilan belas abad dalam karya G. Grassmann, A. Cayley, B. Riemann, W. Clifford, L. Schläfli dan matematikawan lainnya. Pada awal abad ke-20, dengan munculnya teori relativitas A. Einstein dan gagasan G. Minkowski, fisika mulai menggunakan sistem koordinat ruang-waktu empat dimensi.

Kemudian penulis fiksi ilmiah meminjam ide ruang empat dimensi dari para ilmuwan. Dalam karya mereka, mereka memberi tahu dunia tentang keajaiban yang luar biasa dimensi keempat. Para pahlawan karya mereka, menggunakan sifat-sifat ruang empat dimensi, bisa memakan isi telur tanpa merusak cangkangnya, minum minuman tanpa membuka tutup botolnya. Para penculik mengambil harta itu dari brankas melalui dimensi keempat. Tautan rantai dapat dengan mudah diputuskan, dan simpul pada tali dapat dilepas tanpa menyentuh ujungnya. Ahli bedah melakukan operasi pada organ dalam tanpa memotong jaringan tubuh pasien. Para mistikus menempatkan jiwa orang mati di dimensi keempat. Untuk orang biasa gagasan ruang empat dimensi tetap tidak dapat dipahami dan misterius, dan banyak yang umumnya menganggap ruang empat dimensi sebagai buah imajinasi para ilmuwan dan penulis fiksi ilmiah, yang tidak ada hubungannya dengan kenyataan.

Masalah persepsi

Secara tradisional diyakini bahwa seseorang tidak dapat melihat dan mewakili sosok empat dimensi, karena ia adalah makhluk tiga dimensi. Subjek merasakan sosok tiga dimensi dengan bantuan retina, yang merupakan dua dimensi. Untuk melihat sosok empat dimensi, retina tiga dimensi diperlukan, tetapi seseorang tidak memiliki kesempatan seperti itu.

Untuk mendapatkan representasi visual dari sosok empat dimensi, kita akan menggunakan analogi dari ruang berdimensi lebih rendah untuk ekstrapolasi ke sosok berdimensi lebih tinggi, menggunakan metode pemodelan, menerapkan metode analisa sistem untuk mencari pola antar elemen bangun datar empat dimensi. Model yang diusulkan harus cukup menggambarkan sifat-sifat gambar empat dimensi, tidak bertentangan satu sama lain dan memberikan gambaran yang cukup tentang gambar empat dimensi dan, pertama-tama, tentang sifat-sifatnya. bentuk geometris. Karena tidak ada deskripsi sistematis dan visual dari sosok empat dimensi dalam literatur, tetapi hanya nama mereka yang menunjukkan beberapa properti, kami mengusulkan untuk memulai studi tentang sosok empat dimensi dengan yang paling sederhana - kubus empat dimensi, yang disebut hypercube.

Definisi Hypercube

hypercubepolitop biasa disebut, sel yang kubus.

politop adalah sosok empat dimensi, yang batasnya terdiri dari polihedra. Analog dari sel politop adalah wajah polihedron. Hypercube analog dengan kubus tiga dimensi.

Kita akan memiliki gambaran tentang hypercube jika kita mengetahui sifat-sifatnya. Subjek mempersepsikan beberapa objek, merepresentasikannya dalam bentuk beberapa model. Mari gunakan cara ini dan sajikan ide hypercube dalam bentuk berbagai model.

Model analitis

Kami akan mempertimbangkan ruang satu dimensi (garis lurus) sebagai himpunan titik yang teraturM(x), di mana x- koordinat titik sewenang-wenang lurus. Kemudian segmen unit diberikan dengan menentukan dua poin:A(0) dan B(1).

Sebuah pesawat (ruang dua dimensi) dapat dilihat sebagai himpunan titik-titik yang teratur M(x; kamu). Persegi satuan akan sepenuhnya ditentukan oleh empat simpulnya: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Koordinat simpul bujur sangkar diperoleh dengan menambahkan nol ke koordinat segmen, dan kemudian satu.

Ruang tiga dimensi - kumpulan titik yang teratur M(x; kamu; z). Delapan poin diperlukan untuk mendefinisikan kubus 3D:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Koordinat kubus diperoleh dari koordinat kuadrat dengan menambahkan nol dan kemudian satu.

Ruang empat dimensi adalah himpunan titik-titik yang teratur M(x; kamu; z; t). Untuk menentukan hypercube, Anda perlu menentukan koordinat enam belas simpulnya:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),

HAI(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Koordinat hypercube diperoleh dari koordinat kubus 3D dengan menambahkan koordinat keempat, nol, dan kemudian kesatuan.

Menggunakan rumus geometri analitik untuk ruang Euclidean empat dimensi, seseorang dapat memperoleh sifat-sifat hypercube.
Sebagai contoh, perhatikan perhitungan panjang diagonal utama sebuah hypercube. Biarkan diperlukan untuk menemukan jarak antara titik A(0, 0, 0, 0) dan R(1, 1, 1, 1). Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus jarak dalam ruang Euclidean empat dimensi.

Dalam ruang dua dimensi (pada bidang), jarak antara titik A(x 1 , kamu 1) dan B(x 2 , kamu 2) dihitung dengan rumus

Rumus ini mengikuti dari teorema Pythagoras.

Rumus yang sesuai untuk jarak antara titik A(x 1 , kamu 1 , z 1) dan B(x 2 , kamu 2 , z 2) dalam ruang tiga dimensi memiliki bentuk

Dan dalam ruang satu dimensi (pada garis lurus) antara titik A( x 1) dan B( x 2) Anda dapat menulis rumus jarak yang sesuai:

Demikian pula jarak antar titik A(x 1 , kamu 1 , z 1 , t 1) dan B(x 2 , kamu 2 , z 2 , t 2) dalam ruang empat dimensi akan dihitung dengan rumus:

Untuk contoh yang diusulkan, kami menemukan

Dengan demikian, hypercube ada secara analitis, dan sifat-sifatnya dapat digambarkan tidak lebih buruk daripada sifat-sifat kubus tiga dimensi.

Model Dinamis

Model analitik hypercube sangat abstrak, jadi mari kita pertimbangkan model lain - yang dinamis.

Sebuah titik (gambar nol dimensi), bergerak dalam satu arah, menghasilkan segmen (gambar satu dimensi). Segmen, bergerak dalam arah tegak lurus terhadap dirinya sendiri, menciptakan persegi (gambar dua dimensi). Bujur sangkar, bergerak dalam arah tegak lurus terhadap bidang bujur sangkar, menciptakan sebuah kubus (gambar tiga dimensi).

Kubus, bergerak tegak lurus ke ruang tiga dimensi di mana ia awalnya berada, menghasilkan hypercube (gambar empat dimensi).

Batas hypercube adalah tiga dimensi, terbatas dan tertutup. Ini terdiri dari kubus tiga dimensi di posisi rumah, sebuah kubus tiga dimensi pada posisi akhirnya, dan enam kubus yang dibentuk dengan menggerakkan kuadrat kubus asli ke arah dimensi keempat. Seluruh batas hypercube terdiri dari 8 kubus tiga dimensi (sel).

Saat bergerak di posisi awal, kubus memiliki 8 simpul dan di posisi akhir juga 8 simpul. Oleh karena itu, hypercube memiliki total 16 puncak.

Empat sisi yang saling tegak lurus memancar dari setiap titik. Secara total, hypercube memiliki 32 tepi, pada posisi awal memiliki 12 tepi, pada posisi akhir juga 12 tepi, dan 8 tepi membentuk puncak kubus ketika bergerak di dimensi keempat.

Dengan demikian, perbatasan hypercube terdiri dari 8 kubus, yang terdiri dari 24 kotak. Yaitu, 6 kotak di posisi awal, 6 di posisi akhir, dan 12 kotak yang dibentuk dengan menggerakkan 12 tepi ke arah dimensi keempat.

model geometris

Model dinamis hypercube mungkin tampak kurang jelas. Oleh karena itu, pertimbangkan model geometris dari hypercube. Bagaimana kita mendapatkan model geometris kubus 3D? Kami membuka lipatannya, dan dari lipatan kami "menempelkan" model kubus. Perkembangan kubus tiga dimensi terdiri dari persegi, yang sisi-sisinya terpasang persegi ditambah satu persegi lagi. Kami memutar kotak yang berdekatan di sekitar sisi alun-alun, dan menghubungkan sisi kotak yang berdekatan satu sama lain. Dan kami menutup empat sisi yang tersisa dengan kotak terakhir (Gbr. 1).

Demikian pula, pertimbangkan pembukaan hypercube. Pengembangannya akan menjadi sosok tiga dimensi, terdiri dari kubus tiga dimensi asli, enam kubus yang berdekatan dengan setiap wajah kubus asli, dan satu kubus lagi. Ada delapan kubus tiga dimensi secara total (Gbr. 2). Untuk mendapatkan kubus empat dimensi (hypercube) dari pengembangan ini, masing-masing kubus yang berdekatan harus diputar 90 derajat. Kubus yang berdampingan ini akan ditempatkan di ruang 3D yang berbeda. Hubungkan wajah yang berdekatan (persegi) dari kubus satu sama lain. Tanamkan kubus kedelapan dengan wajahnya ke dalam ruang kosong yang tersisa. Kami mendapatkan sosok empat dimensi - hypercube, yang batasnya terdiri dari delapan kubus tiga dimensi.

gambar hypercube

Itu ditunjukkan di atas bagaimana "menempelkan" model hypercube dari pemindaian tiga dimensi. Kami mendapatkan gambar menggunakan proyeksi. Proyeksi pusat kubus tiga dimensi (gambarnya pada bidang) terlihat seperti ini (Gbr. 3). Di dalam alun-alun ada alun-alun lain. Titik-titik yang bersesuaian dari bujur sangkar dihubungkan oleh segmen-segmen. Persegi yang berdekatan digambarkan sebagai trapesium, meskipun kotak tersebut berbentuk bujur sangkar dalam ruang 3D. Kotak dalam dan luar memiliki ukuran yang berbeda, tetapi dalam ruang 3D nyata mereka adalah kotak yang sama.

Demikian pula, proyeksi pusat kubus empat dimensi ke ruang tiga dimensi akan terlihat seperti ini: di dalam satu kubus ada kubus lain. Titik-titik kubus yang bersesuaian dihubungkan oleh segmen-segmen. Kubus dalam dan kubus luar memiliki ukuran yang berbeda dalam tiga dimensi, tetapi dalam empat dimensi itu kubus yang sama(Gbr. 4).

Enam piramida terpotong adalah gambar enam sel (kubus) yang sama dari kubus empat dimensi.

Proyeksi tiga dimensi ini dapat digambar pada bidang dan Anda dapat memverifikasi kebenaran sifat-sifat hypercube yang diperoleh dengan menggunakan model dinamis.

Hypercube memiliki 16 simpul, 32 tepi, 24 wajah (persegi), 8 sel (kubus). Empat sisi yang saling tegak lurus memancar dari setiap titik. Batas hypercube adalah gambar cembung tertutup tiga dimensi, yang volumenya (volume sisi hypercube) sama dengan delapan unit kubus tiga dimensi. Di dalam dirinya sendiri, gambar ini berisi unit hypercube, hypervolume yang sama dengan hypervolume hypercube unit.

Kesimpulan

Dalam karya ini, tujuannya adalah untuk memberikan pengenalan awal dengan ruang empat dimensi. Ini dilakukan pada contoh gambar paling sederhana - hypercube.

Dunia ruang empat dimensi luar biasa! Di dalamnya, bersama dengan sosok-sosok serupa dalam ruang tiga dimensi, ada juga sosok-sosok yang tidak memiliki analogi dalam ruang tiga dimensi.

Banyak fenomena dunia materi, makrokosmos dan dunia mega, terlepas dari keberhasilan besar dalam fisika, kimia, dan astronomi, tetap tidak dapat dijelaskan.

Bukan teori terpadu yang menjelaskan semua kekuatan alam. Tidak ada model Semesta yang memuaskan yang menjelaskan strukturnya dan mengesampingkan paradoks.

Dengan mengetahui sifat-sifat ruang empat dimensi dan meminjam beberapa ide dari geometri empat dimensi, akan memungkinkan tidak hanya untuk membangun teori dan model dunia material yang lebih ketat, tetapi juga untuk menciptakan alat dan sistem yang berfungsi sesuai dengan hukum. dunia empat dimensi, maka kemampuan manusia akan semakin mengesankan.

Mari kita mulai dengan menjelaskan apa itu ruang empat dimensi.

Ini adalah ruang satu dimensi, yaitu, hanya sumbu OX. Setiap titik di atasnya ditandai dengan satu koordinat.

Sekarang mari kita menggambar sumbu OY tegak lurus terhadap sumbu OX. Jadi kami mendapatkan ruang dua dimensi, yaitu bidang XOY. Setiap titik di atasnya ditandai oleh dua koordinat - absis dan ordinat.

Mari menggambar sumbu OZ tegak lurus terhadap sumbu OX dan OY. Anda akan mendapatkan ruang tiga dimensi di mana setiap titik memiliki absis, ordinat, dan aplikasi.

Adalah logis bahwa sumbu keempat, OQ, harus tegak lurus terhadap sumbu OX, OY dan OZ secara bersamaan. Tetapi kita tidak dapat secara akurat membangun sumbu seperti itu, dan karena itu tetap hanya mencoba membayangkannya. Setiap titik dalam ruang empat dimensi memiliki empat koordinat: x, y, z dan q.

Sekarang mari kita lihat bagaimana kubus empat dimensi muncul.

Gambar tersebut menunjukkan sosok ruang satu dimensi - sebuah garis.

Jika sudah selesai transfer paralel garis ini di sepanjang sumbu OY, dan kemudian hubungkan ujung yang sesuai dari dua garis yang dihasilkan, Anda mendapatkan persegi.

Demikian pula, jika kita membuat terjemahan paralel dari persegi di sepanjang sumbu OZ dan menghubungkan simpul yang sesuai, kita mendapatkan sebuah kubus.

Dan jika kita membuat terjemahan paralel kubus di sepanjang sumbu OQ dan menghubungkan simpul dari dua kubus ini, maka kita mendapatkan kubus empat dimensi. Omong-omong, itu disebut tesseract.

Untuk menggambar kubus di pesawat, Anda membutuhkannya proyek. Secara visual terlihat seperti ini:

Bayangkan bahwa di udara di atas permukaan menggantung model bingkai gambar kubus, yaitu, seolah-olah "terbuat dari kawat", dan di atasnya - bola lampu. Jika Anda menyalakan bola lampu, lacak bayangan kubus dengan pensil, lalu matikan bola lampu, maka proyeksi kubus akan ditampilkan di permukaan.

Mari kita beralih ke sesuatu yang sedikit lebih rumit. Lihat lagi gambar dengan bola lampu: seperti yang Anda lihat, semua sinar berkumpul di satu titik. Itu disebut titik hilang dan digunakan untuk membangun proyeksi perspektif(dan kadang-kadang sejajar, ketika semua sinar sejajar satu sama lain. Hasilnya adalah tidak ada rasa volume, tetapi lebih ringan, dan jika titik hilang cukup jauh dari objek yang diproyeksikan, maka perbedaan antara ini dua proyeksi hampir tidak terlihat). Untuk memproyeksikan poin yang diberikan pada diberikan pesawat, menggunakan titik hilang, Anda perlu menggambar garis melalui titik hilang dan titik yang diberikan, dan kemudian menemukan titik persimpangan dari garis yang dihasilkan dan bidang. Dan untuk memproyeksikan lebih banyak sosok yang kompleks, katakanlah, sebuah kubus, Anda perlu memproyeksikan setiap simpulnya, dan kemudian menghubungkan titik-titik yang sesuai. Perlu dicatat bahwa algoritma proyeksi ruang-ke-subruang dapat digeneralisasi ke 4D->3D, bukan hanya 3D->2D.

Seperti yang saya katakan, kita tidak bisa membayangkan persis seperti apa sumbu OQ, dan tesseract juga tidak. Tapi kita bisa mendapatkan ide yang terbatas jika kita memproyeksikannya ke volume dan kemudian menggambarnya di layar komputer!

Sekarang mari kita bicara tentang proyeksi tesseract.

Di sebelah kiri adalah proyeksi kubus ke bidang, dan di sebelah kanan adalah tesseract ke volume. Mereka sangat mirip: proyeksi kubus terlihat seperti dua kotak, yang kecil dan yang besar, satu di dalam yang lain, dengan simpul yang sesuai dihubungkan oleh garis. Dan proyeksi tesseract terlihat seperti dua kubus, kecil dan besar, satu di dalam yang lain, dan dengan simpul yang sesuai terhubung. Tetapi kita semua telah melihat kubus, dan kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa persegi kecil dan persegi besar, dan empat trapesium di atas, di bawah, di kanan dan di kiri dari persegi kecil, pada kenyataannya, adalah kotak, apalagi, mereka sama. Hal yang sama berlaku untuk Tesseract. Dan kubus besar, dan kubus kecil, dan enam piramida terpotong di sisi kubus kecil - ini semua kubus, dan mereka sama.

Program saya tidak hanya dapat menggambar proyeksi tesseract ke volume, tetapi juga memutarnya. Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan.

Pertama, saya akan memberi tahu Anda apa itu rotasi sejajar bidang.

Bayangkan kubus berputar di sekitar sumbu OZ. Kemudian setiap simpulnya menggambarkan lingkaran di sekitar sumbu OZ.

Lingkaran adalah bangun datar. Dan bidang masing-masing lingkaran ini sejajar satu sama lain, dan dalam kasus ini sejajar dengan bidang XOY. Artinya, kita dapat berbicara tidak hanya tentang rotasi di sekitar sumbu OZ, tetapi juga tentang rotasi yang sejajar dengan bidang XOY. Seperti yang Anda lihat, untuk titik yang berputar sejajar dengan sumbu XOY, hanya absis dan ordinat yang berubah, sedangkan penerapannya tetap tidak berubah Dan, pada kenyataannya, kita dapat berbicara tentang rotasi di sekitar garis lurus hanya ketika kita berurusan dengan ruang tiga dimensi. Dalam 2D ​​semuanya berputar di sekitar titik, di 4D semuanya berputar di sekitar bidang, di ruang 5D kita berbicara tentang rotasi di sekitar volume. Dan jika kita dapat membayangkan rotasi di sekitar suatu titik, maka rotasi di sekitar bidang dan volume adalah sesuatu yang tidak terpikirkan. Dan jika kita berbicara tentang rotasi sejajar bidang, maka di ruang n-dimensi mana pun, sebuah titik dapat berputar sejajar dengan bidang.

Banyak dari Anda mungkin pernah mendengar tentang matriks rotasi. Mengalikan titik dengannya, kita mendapatkan titik yang diputar sejajar dengan bidang dengan sudut phi. Untuk ruang dua dimensi, tampilannya seperti ini:

Cara mengalikan: x titik yang diputar dengan sudut phi = kosinus sudut phi*x titik asal dikurangi sinus sudut phi*y titik asal;
y dari titik yang diputar oleh sudut phi=sinus dari sudut phi*x dari titik asal ditambah cosinus dari sudut phi*y dari titik asal.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, dimana Xa dan Ya adalah absis dan ordinat titik yang akan diputar, Xa` dan Ya` adalah absis dan ordinat titik yang sudah diputar

Untuk ruang tiga dimensi, matriks ini digeneralisasikan sebagai berikut:

Rotasi sejajar dengan bidang XOY. Seperti yang Anda lihat, koordinat Z tidak berubah, tetapi hanya X dan Y yang berubah.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (pada dasarnya Za`=Za)

Rotasi sejajar dengan bidang XOZ. Tidak ada yang baru,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (sebenarnya, Ya`=Ya)
Za`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za

Dan matriks ketiga.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (pada dasarnya Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinФ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za

Dan untuk dimensi keempat, mereka terlihat seperti ini:


Saya pikir Anda sudah mengerti apa yang harus dikalikan, jadi saya tidak akan melukisnya lagi. Tetapi saya perhatikan bahwa ia melakukan hal yang sama seperti matriks untuk berputar sejajar dengan bidang dalam ruang tiga dimensi! Baik itu maupun yang ini hanya mengubah ordinat dan aplikasinya, dan koordinat lainnya tidak disentuh, oleh karena itu dapat digunakan dalam kasus tiga dimensi, dengan mengabaikan koordinat keempat.

Tetapi dengan rumus proyeksi, tidak semuanya begitu sederhana. Tidak peduli seberapa banyak saya membaca forum, tidak ada metode proyeksi yang cocok untuk saya. Paralel tidak cocok untuk saya, karena proyeksi tidak akan terlihat tiga dimensi. Dalam beberapa rumus proyeksi, untuk menemukan titik, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan (dan saya tidak tahu cara mengajar komputer untuk menyelesaikannya), saya sama sekali tidak mengerti yang lain ... Secara umum, saya memutuskan untuk datang dengan cara saya sendiri. Pertimbangkan untuk ini proyeksi 2D->1D.

pov berarti "Point of view" (sudut pandang), ptp berarti "Point to project" (titik yang akan diproyeksikan), dan ptp` adalah titik yang diinginkan pada sumbu OX.

Sudut povptpB dan ptpptp`A sama dengan yang sesuai (garis putus-putus sejajar dengan sumbu OX, garis povptp adalah garis potong).
X dari ptp` sama dengan x dari ptp dikurangi panjang segmen ptp`A. Ruas ini dapat dicari dari segitiga ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangen sudut ptpptp`A. Kita dapat menemukan tangen ini dari segitiga povptpB: tangen sudut ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Jawaban: Xptp`=Xptp-Yptp/singgung sudut ptpptp`A.

Saya tidak menjelaskan algoritme ini secara rinci di sini, karena ada banyak kasus khusus di mana rumusnya agak berubah. Siapa yang peduli - lihat kode sumber program, semuanya tertulis di komentar.

Untuk memproyeksikan sebuah titik dalam ruang tiga dimensi ke sebuah bidang, kita cukup mempertimbangkan dua bidang - XOZ dan YOZ, dan selesaikan masalah ini untuk masing-masing bidang. Dalam kasus ruang empat dimensi, perlu untuk mempertimbangkan sudah tiga bidang: XOQ, YOQ dan ZOQ.

Dan terakhir, tentang program. Ini bekerja seperti ini: inisialisasi enam belas simpul dari tesseract -> tergantung pada perintah yang dimasukkan oleh pengguna, putar -> proyeksikan ke volume -> tergantung pada perintah yang dimasukkan oleh pengguna, putar proyeksinya -> proyeksikan ke pesawat -> menggambar.

Proyeksi dan rotasi saya tulis sendiri. Mereka bekerja sesuai dengan formula yang baru saja saya jelaskan. Pustaka OpenGL menggambar garis dan juga mencampur warna. Dan koordinat simpul dari tesseract dihitung dengan cara ini:

Koordinat titik titik berpusat di titik asal dan panjangnya 2 - (1) dan (-1);
- "-" - persegi - "-" - dan panjang rusuk 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) dan (-1; -1);
- " - " - kubus - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Seperti yang Anda lihat, bujur sangkar adalah satu garis di atas sumbu OY dan satu garis di bawah sumbu OY; sebuah kubus adalah satu persegi di depan bidang XOY, dan satu di belakangnya; sebuah tesseract adalah satu kubus di sisi lain dari volume XOYZ, dan satu di sisi ini. Tetapi jauh lebih mudah untuk melihat pergantian unit dan unit minus ini jika ditulis dalam kolom

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Di kolom pertama, satu dan minus satu bergantian. Di kolom kedua, pertama ada dua plus, lalu dua minus. Di ketiga - empat ditambah satu, dan kemudian empat dikurangi satu. Ini adalah bagian atas kubus. Tesseract memiliki dua kali lebih banyak dari mereka, dan oleh karena itu perlu untuk menulis siklus untuk mendeklarasikannya, jika tidak, sangat mudah untuk menjadi bingung.

Program saya juga tahu cara menggambar anaglyph. Pemilik kacamata 3D yang bahagia dapat menonton gambar stereoskopik. Tidak ada yang rumit dalam menggambar, cukup menggambar dua proyeksi di pesawat, untuk mata kanan dan kiri. Tetapi programnya menjadi jauh lebih visual dan menarik, dan yang paling penting - memberi performa terbaik tentang dunia empat dimensi.

Fungsi yang kurang signifikan - menyorot salah satu wajah dengan warna merah, sehingga Anda dapat melihat belokan dengan lebih baik, serta kenyamanan kecil - menyesuaikan koordinat titik "mata", menambah dan mengurangi kecepatan rotasi.

Arsipkan dengan program, kode sumber, dan petunjuk penggunaan.