ერთი პროცენტი რიცხვის მეასედია. ეს კონცეფციაგამოიყენება მაშინ, როცა საჭიროა წილის მთლიანთან შეფარდების მითითება. გარდა ამისა, რამდენიმე მნიშვნელობა შეიძლება შევადაროთ პროცენტებს, ამასთან, აუცილებლად მიუთითოთ, რომელ რიცხვთან არის გამოთვლილი პროცენტები შედარებით. მაგალითად, ხარჯები 10%-ით აღემატება შემოსავალს ან მატარებლის ბილეთების ფასი წინა წელთან შედარებით 15%-ით გაიზარდა. 100-ზე მეტი პროცენტი ნიშნავს, რომ პროპორცია მთლიანზე მეტია, როგორც ეს ხშირად ხდება სტატისტიკურ გამოთვლებში.

პროცენტი, როგორც ფინანსური კონცეფცია - გადახდა, მსესხებელი კრედიტორისთვის დროებითი სარგებლობისთვის ფულის უზრუნველსაყოფად. ბიზნესში არის გამოთქმა „იმუშაო ინტერესისთვის“. IN ამ საქმესგასაგებია, რომ ანაზღაურების ოდენობა დამოკიდებულია მოგებაზე ან ბრუნვაზე (საკომისიოზე). შეუძლებელია ბუღალტერიაში, ბიზნესში პროცენტის გაანგარიშების გარეშე, საბანკო. გამოთვლების გასამარტივებლად შემუშავდა ონლაინ პროცენტული კალკულატორი.

კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ:

• მითითებული მნიშვნელობის პროცენტი.
• თანხის პროცენტი (გადასახადი რეალურ ხელფასზე).
• სხვაობის პროცენტი (დღგ-დან).
• Და უფრო მეტი...

პროცენტულ კალკულატორზე პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ უნდა იმუშაოთ სამი მნიშვნელობით, რომელთაგან ერთი უცნობია (შესაბამისად მოცემული პარამეტრებიცვლადი გამოითვლება). გაანგარიშების სცენარი უნდა შეირჩეს მოცემული პირობებიდან გამომდინარე.

გაანგარიშების მაგალითები

1. გამოთვალეთ რიცხვის პროცენტი

იმისათვის, რომ იპოვოთ ნომერი, რომელიც არის 1000 რუბლის 25%, გჭირდებათ:

• 1000 × 25 / 100 = 250 რუბლი
• ან 1000 × 0.25 = 250 რუბლი.

ჩვეულებრივ კალკულატორზე გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 1000 25-ზე და დააჭიროთ % ღილაკს.

2. მთელი რიცხვის განმარტება (100%)

ჩვენ ვიცით, რომ 250 მანეთი. არის ზოგიერთი რიცხვის 25%. როგორ გამოვთვალოთ?

მოდით გავაკეთოთ მარტივი პროპორცია:

• 250 რუბლი. - 25%
• Y რუბლს შეადგენს. - ასი %
• Y \u003d 250 × 100 / 25 \u003d 1000 რუბლი.

3. პროცენტი ორ რიცხვს შორის

დავუშვათ, რომ მოგება იყო 800 რუბლი, მაგრამ მათ მიიღეს 1040 რუბლი. რა არის ჭარბი პროცენტი?

პროპორცია იქნება:

• 800 რუბლი. - ასი %
• 1040 რუბლი – Y%
• Y = 1040 × 100 / 800 = 130%

მოგების გეგმის ზედმეტად შესრულება - 30%, ანუ განხორციელება - 130%.

4. გაანგარიშება არა 100%-დან

მაგალითად, მაღაზიას სამი განყოფილებით სტუმრობს მომხმარებლების 100%. სასურსათო განყოფილებაში - 800 ადამიანი (67%), საყოფაცხოვრებო ქიმიკატების დეპარტამენტში - 55. მყიდველების რამდენი პროცენტი მოდის საყოფაცხოვრებო ქიმიკატების განყოფილებაში?

პროპორცია:

• 800 ვიზიტორი - 67%
• 55 ვიზიტორი - Y %
• Y = 55 × 67 / 800 = 4,6%

5. რამდენი პროცენტით ნაკლებია ერთი რიცხვი მეორეზე

საქონლის ფასი 2000-დან 1200 რუბლამდე დაეცა. რამდენ პროცენტით გაიაფდა საქონელი ან რამდენი პროცენტით არის 1200-ით ნაკლები 2000-ზე?

• 2 000 - 100 %
• 1 200 – Y%
• Y = 1200 × 100 / 2000 = 60% (2000 წლის 60% - 1200)
• 100% − 60% = 40% (ნომერი 1200 40%-ით ნაკლებია 2000 წელზე)

6. რამდენი პროცენტით მეტია ერთი რიცხვი მეორეზე

ხელფასი გაიზარდა 5000-დან 7500 რუბლამდე. რამდენი პროცენტით გაიზარდა ხელფასი? რამდენი პროცენტით მეტია 7500 5000-ზე?

• 5000 რუბლი. - ასი %
• 7500 რუბლი. - Y%
• Y = 7,500 × 100 / 5,000 = 150% (ფიგურაში 7,500 არის 5,000-ის 150%)
• 150% - 100% = 50% (რიცხვი 7500 5000-ზე მეტია 50%-ით)

7. რაოდენობის გაზრდა გარკვეული პროცენტით

S საქონლის ფასი 1000 რუბლს აღემატება. 27%-ით. რა არის ნივთის ფასი?

• 1000 რუბლი. - ასი %
• S - 100% + 27%
• S \u003d 1,000 × (100 + 27) / 100 \u003d 1,270 რუბლი.

ონლაინ კალკულატორი გაცილებით აადვილებს გამოთვლებს: თქვენ უნდა აირჩიოთ გაანგარიშების ტიპი, შეიყვანოთ რიცხვი და პროცენტი (გაანგარიშების შემთხვევაში პროცენტი- მეორე ნომერი), მიუთითეთ გაანგარიშების სიზუსტე და მიეცით ბრძანება მოქმედებების დასაწყებად.

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ ვიდეო გაკვეთილების სერიას პროცენტული ამოცანების შესახებ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან. კერძოდ, ჩვენ სრულად გავაანალიზებთ ორს რეალური ამოცანებიერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან და კიდევ ერთხელ დავინახავთ, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია პრობლემის მდგომარეობის ყურადღებით წაკითხვა და მისი სწორად ინტერპრეტაცია.

ასე რომ, პირველი ამოცანაა:

Დავალება. მხოლოდ 95%-მა და ქალაქის 37500 კურსდამთავრებულმა გადაჭრა B1 პრობლემა სწორად. რამდენმა ადამიანმა გადაჭრა B1 პრობლემა სწორად?

ერთი შეხედვით, როგორც ჩანს, ეს არის ერთგვარი დავალება კეპებისთვის. მოსწონს:

Დავალება. ხეზე 7 ჩიტი იყო. 3 მათგანი გაფრინდა. რამდენი ჩიტი გაფრინდა?

თუმცა, მოდით გავაკეთოთ მათემატიკა. პროპორციების მეთოდით მოვაგვარებთ. ასე რომ, ჩვენ გვყავს 37 500 სტუდენტი - ეს არის 100%. და ასევე არის გარკვეული რაოდენობის x მოსწავლეები, რაც არის ძალიან იღბლიანთა 95%, ვინც სწორად გადაჭრა პრობლემა B1. ჩვენ ვწერთ მას:

37 500 — 100%
X - 95%

თქვენ უნდა გააკეთოთ პროპორცია და იპოვოთ x. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენს წინაშე კლასიკური პროპორცია, მაგრამ მთავარი თვისების გამოყენებამდე და ჯვარედინად გამრავლებამდე, მე ვთავაზობ განტოლების ორივე ნაწილი გავყოთ 100-ზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული წილადის მრიცხველში გადავკვეთავთ ორ ნულს. გადავწეროთ მიღებული განტოლება:

პროპორციის ძირითადი თვისების მიხედვით, უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს. Სხვა სიტყვებით:

x = 375 95

Ლამაზია დიდი რიცხვები, ასე რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ ისინი სვეტით. შეგახსენებთ, რომ კატეგორიულად აკრძალულია მათემატიკის გამოცდაზე კალკულატორის გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ:

x = 35625

სულ პასუხი: 35625. ეს არის რამდენმა ადამიანმა გადაჭრა თავდაპირველი 37500-დან B1 პრობლემა სწორად. როგორც ხედავთ, ეს რიცხვები საკმაოდ ახლოსაა, რაც ლოგიკურია, რადგან 95% ასევე ძალიან ახლოსაა 100%-თან. ზოგადად, პირველი ამოცანა მოგვარებულია. გადავიდეთ მეორეზე.

ინტერესის პრობლემა #2

Დავალება. ქალაქის 45000 კურსდამთავრებულიდან მხოლოდ 80%-მა გადაჭრა B9 პრობლემა სწორად. რამდენმა ადამიანმა გადაჭრა პრობლემა B9 არასწორად?

ჩვენ ვაგვარებთ იმავე გზით. თავდაპირველად 45000 კურსდამთავრებული იყო - ეს არის 100%. შემდეგ ამ რიცხვიდან უნდა შეირჩეს x კურსდამთავრებული, რომელიც უნდა იყოს თავდაპირველი რიცხვის 80%. ვიღებთ პროპორციას და ვხსნით:

45 000 — 100%
x - 80%

მე-2 წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი ნული შევამციროთ. მოდით, კიდევ ერთხელ გადავწეროთ მიღებული კონსტრუქცია:

პროპორციის მთავარი თვისება: უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის შუა რიცხვების ნამრავლს. ჩვენ ვიღებთ:

45000 8 = x 10

ყველაზე მარტივია წრფივი განტოლება. გამოვხატოთ მისგან x ცვლადი:

x = 45,000 8:10

ჩვენ ვამცირებთ ერთ ნულს 45000-ზე და 10-ზე, მნიშვნელი რჩება ერთი, ასე რომ ყველაფერი რაც გვჭირდება არის გამოსახვის მნიშვნელობის პოვნა:

x = 4500 8

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გააკეთოთ იგივე, რაც ბოლოჯერდა გავამრავლოთ ეს რიცხვები სვეტით. ოღონდ ნუ გავურთულებთ ცხოვრებას და სვეტზე გამრავლების მაგივრად, რვიანს ვანაწილებთ ფაქტორებად:

x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36,000

ახლა კი - ყველაზე მთავარი, რაზეც გაკვეთილის დასაწყისში ვისაუბრე. თქვენ უნდა ყურადღებით წაიკითხოთ პრობლემის მდგომარეობა!

რა უნდა ვიცოდეთ? რამდენმა ადამიანმა გადაჭრა პრობლემა B9 არ არის სწორი. და ჩვენ უბრალოდ ვიპოვეთ ის ადამიანები, რომლებმაც სწორად გადაწყვიტეს. ეს 80% აღმოჩნდა ორიგინალური ნომერი, ე.ი. 36 000. ეს ნიშნავს, რომ საბოლოო პასუხის მისაღებად ჩვენი 80% უნდა გამოკლდეს სტუდენტების თავდაპირველ რაოდენობას. ჩვენ ვიღებთ:

45 000 − 36 000 = 9000

შედეგად მიღებული რიცხვი 9000 არის პრობლემის პასუხი. საერთო ჯამში, ამ ქალაქში 45000 კურსდამთავრებულიდან 9000-მა ადამიანმა B9 პრობლემა არასწორად გადაჭრა. ყველაფერი, ამოცანა მოგვარებულია.

მათემატიკის თვალსაზრისით, პროპორცია არის ორი თანაფარდობის ტოლობა. ურთიერთდამოკიდებულება დამახასიათებელია პროპორციის ყველა ნაწილისთვის, ისევე როგორც მათი უცვლელი შედეგი. თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა გააკეთოთ პროპორცია პროპორციის თვისებებისა და ფორმულის გაცნობით. პროპორციების ამოხსნის პრინციპის გასაგებად, საკმარისი იქნება ერთი მაგალითის განხილვა. მხოლოდ პროპორციების პირდაპირ ამოხსნით, შეგიძლიათ მარტივად და სწრაფად ისწავლოთ ეს უნარები. და ეს სტატია დაეხმარება მკითხველს ამაში.

პროპორციის თვისებები და ფორმულა

1. პროპორციის შებრუნება. იმ შემთხვევაში, როდესაც მოცემული ტოლობა გამოიყურება 1a: 2b = 3c: 4d, ჩაწერეთ 2b: 1a = 4d: 3c. (უფრო მეტიც, 1a, 2b, 3c და 4d არის მარტივი რიცხვები 0-ის გარდა).
2. გამრავლება მოცემული წევრებიჯვარედინი პროპორციები. IN პირდაპირი გამოთქმაეს ასე გამოიყურება: 1a: 2b = 3c: 4d და ჩაწერა 1a4d = 2b3c იქნება მისი ექვივალენტი. ამრიგად, ნებისმიერი პროპორციის უკიდურესი ნაწილების ნამრავლი (რიცხვები თანასწორობის კიდეებზე) ყოველთვის არის პროდუქტის ტოლიშუა ნაწილები (თანასწორობის შუაში მდებარე რიცხვები).
3. პროპორციის შედგენისას ასევე შეიძლება სასარგებლო იყოს მისი ისეთი თვისება, როგორიცაა უკიდურესი და საშუალო ტერმინების შეცვლა. თანასწორობის ფორმულა 1a: 2b = 3c: 4d შეიძლება გამოჩნდეს შემდეგი გზით:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (როდესაც პროპორციის შუა წევრები გადანაწილებულია).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (როდესაც პროპორციის უკიდურესი წევრები გადანაწილებულია).
4. შესანიშნავად ეხმარება გადაჭრას მისი ქონების ზრდისა და შემცირების პროპორცია. 1a: 2b = 3c: 4d, ჩაწერეთ:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (თანაბრობა მზარდი პროპორციით).
   • (1a - 2b) : 2b = (3c - 4d) : 4d (თანაბრობა კლების პროპორციით).
5. პროპორციების შექმნა შეგიძლიათ მიმატებით და გამოკლებით. როდესაც პროპორცია იწერება როგორც 1a:2b = 3c:4d, მაშინ:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (პროპორცია დამატებულია).
   • (1a - 3c) : (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (პროპორცია გამოკლებულია).
6. ასევე, წილადი ან დიდი რიცხვების შემცველი პროპორციის ამოხსნისას შეგიძლიათ მისი ორივე წევრი გაყოთ ან გაამრავლოთ. იგივე ნომერი. მაგალითად, 70:40=320:60 პროპორციის კომპონენტები შეიძლება ჩაიწეროს ასე: 10*(7:4=32:6).
7. პროცენტებით პროპორციის ამოხსნის ვარიანტი ასე გამოიყურება. მაგალითად, ჩაწერეთ, 30=100%, 12=x. ახლა თქვენ უნდა გაამრავლოთ შუა რიცხვები (12 * 100) და გაყოთ ცნობილ უკიდურესობაზე (30). ამრიგად, პასუხი არის: x=40%. ანალოგიურადშესაძლებელია, საჭიროების შემთხვევაში, გავამრავლოთ ცნობილი უკიდურესი წევრები და გავყოთ ისინი მოცემულ საშუალო რიცხვზე, მივიღოთ სასურველი შედეგი.

თუ გაინტერესებთ კონკრეტული პროპორციის ფორმულა, მაშინ უმარტივეს და ყველაზე გავრცელებულ ვერსიაში პროპორცია არის ასეთი თანასწორობა (ფორმულა): a / b \u003d c / d, რომელშიც a, b, c და d არის ოთხი არა. - ნულოვანი რიცხვები.

§ 125. პროპორციის ცნება.

პროპორცია არის ორი თანაფარდობის ტოლობა. აქ მოცემულია თანასწორობის მაგალითები, რომლებსაც პროპორციები ეწოდება:

Შენიშვნა. პროპორციებში რაოდენობების სახელები არ არის მითითებული.

პროპორციები ჩვეულებრივ იკითხება შემდეგნაირად: 2 დაკავშირებულია 1-თან (ერთთან), როგორც 10 დაკავშირებულია 5-თან (პირველი პროპორცია). თქვენ შეგიძლიათ სხვაგვარად წაიკითხოთ, მაგალითად: 2 რამდენჯერ მეტია 1-ზე, რამდენჯერ 10 მეტია 5-ზე. მესამე პროპორცია შეიძლება ასე წაიკითხოთ: - 0,5 იმდენჯერ ნაკლებია 2-ზე, რამდენჯერ 0,75 3-ზე ნაკლებია.

პროპორციულ რიცხვებს უწოდებენ პროპორციის წევრები. ამრიგად, პროპორცია შედგება ოთხი ტერმინისგან. პირველ და ბოლო წევრებს, ანუ კიდეებზე მდგარ წევრებს უწოდებენ უკიდურესიდა იმ პროპორციის ტერმინებს, რომლებიც შუაშია, ეწოდება საშუალოწევრები. ეს ნიშნავს, რომ პირველ პროპორციაში რიცხვები 2 და 5 იქნება უკიდურესი წევრები, ხოლო რიცხვები 1 და 10 იქნება პროპორციის შუა წევრები.

§ 126. პროპორციის მთავარი თვისება.

განვიხილოთ პროპორცია:

მის უკიდურეს და საშუალო ტერმინებს ცალ-ცალკე ვამრავლებთ. უკიდურესი 6 4 \u003d 24 ნამრავლი, საშუალო 3 8 \u003d 24 ნამრავლი.

განვიხილოთ სხვა პროპორცია: 10: 5 \u003d 12: 6. ჩვენ ასევე ვამრავლებთ აქ ცალ-ცალკე უკიდურეს და საშუალო ტერმინებს.

უკიდურესი 10 6 \u003d 60 ნამრავლი, საშუალო 5 12 \u003d 60 ნამრავლი.

პროპორციის მთავარი თვისება: პროპორციის უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის მისი შუა რიცხვების ნამრავლს.

IN ზოგადი ხედიპროპორციის ძირითადი თვისება იწერება შემდეგნაირად: რეკლამა = ძვ .

მოდით შევამოწმოთ რამდენიმე პროპორციით:

1) 12: 4 = 30: 10.

ეს პროპორცია მართალია, რადგან თანაფარდობები, რომლებიდანაც იგი შედგება. ამავდროულად, პროპორციის უკიდურესი წევრთა ნამრავლის (12 10) და მისი შუა რიცხვების ნამრავლის (4 30) ნამრავლის აღებით დავინახავთ, რომ ისინი ერთმანეთის ტოლია, ე.ი.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

პროპორცია სწორია, რომლის შემოწმებაც ადვილია პირველი და მეორე მიმართებების გამარტივებით. პროპორციის ძირითადი თვისება მიიღებს ფორმას:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

ადვილი მისახვედრია, რომ თუ დავწერთ ისეთ ტოლობას, რომელშიც ნებისმიერი ორი რიცხვის ნამრავლი არის მარცხენა მხარეს, ხოლო ორი სხვა რიცხვის ნამრავლი მარჯვენა მხარეს, მაშინ აქედან ოთხი ნომერიშეგიძლიათ გააკეთოთ პროპორცია.

მოდით გვქონდეს ტოლობა, რომელიც მოიცავს ოთხ რიცხვს, გამრავლებულ წყვილებში:

ეს ოთხი რიცხვი შეიძლება იყოს პროპორციის წევრები, რომლის დაწერა არც ისე რთულია, თუ პირველ ნამრავლს ავიღებთ უკიდურესი წევრების ნამრავლად, ხოლო მეორეს, როგორც შუა რიცხვების ნამრავლს. გამოქვეყნებული თანასწორობა შეიძლება გაკეთდეს, მაგალითად, შემდეგი პროპორციით:

ზოგადად, თანასწორობიდან რეკლამა = ძვ შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი პროპორციები:

გააკეთეთ შემდეგი სავარჯიშო დამოუკიდებლად. ორი წყვილი რიცხვის ნამრავლის გათვალისწინებით დაწერეთ თითოეული ტოლობის შესაბამისი პროპორცია:

ა) 1 6 = 2 3;

ბ) 2 15 = ბ 5.

§ 127. პროპორციის უცნობი წევრების გამოთვლა.

პროპორციის მთავარი თვისება საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ პროპორციის რომელიმე პირობა, თუ ის უცნობია. ავიღოთ პროპორცია:

X : 4 = 15: 3.

ამ პროპორციით, ერთი უკიდურესი ტერმინი უცნობია. ჩვენ ვიცით, რომ ყოველი პროპორციით უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის საშუალო წევრთა ნამრავლს. ამის საფუძველზე შეგვიძლია დავწეროთ:

x 3 = 4 15.

4-ის 15-ზე გამრავლების შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია გადავიწეროთ ეს განტოლება შემდეგნაირად:

X 3 = 60.

მოდით შევხედოთ ამ თანასწორობას. მასში პირველი ფაქტორი უცნობია, მეორე ფაქტორი ცნობილია და პროდუქტი ცნობილია. ვიცით, რომ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საკმარისია პროდუქტის სხვა (ცნობილ) ფაქტორზე გაყოფა. მერე გამოვა:

X = 60:3, ან X = 20.

შევამოწმოთ ნაპოვნი შედეგი 20 რიცხვის ნაცვლად X ამ პროპორციით:

პროპორცია სწორია.

მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა მოქმედებები მოგვიწია პროპორციის უცნობი უკიდურესი წევრის გამოსათვლელად. პროპორციის ოთხი წევრიდან ჩვენთვის უცნობი იყო მხოლოდ ერთი უკიდურესობა; ცნობილი იყო ორი შუა და მეორე უკიდურესი. პროპორციის უკიდურესი წევრის საპოვნელად, ჯერ გავამრავლეთ შუა რიცხვები (4 და 15), შემდეგ კი აღმოჩენილი ნამრავლი გავყავით ცნობილ უკიდურეს წევრზე. ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ მოქმედებები არ შეიცვლებოდა, პროპორციის სასურველი უკიდურესი ტერმინი რომ არა პირველ რიგში, არამედ ბოლოში ყოფილიყო. ავიღოთ პროპორცია:

70: 10 = 21: X .

ჩამოვწეროთ პროპორციის მთავარი თვისება: 70 X = 10 21.

10 და 21 რიცხვების გამრავლებით, ჩვენ გადავწერთ ტოლობას ამ ფორმით:

70 X = 210.

აქ ერთი ფაქტორი უცნობია, მის გამოსათვლელად საკმარისია პროდუქტის (210) გაყოფა სხვა კოეფიციენტზე (70).

X = 210: 70; X = 3.

ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ პროპორციის ყოველი უკიდურესი წევრი ტოლია საშუალოების ნამრავლის გაყოფილი მეორე უკიდურესობაზე.

ახლა გადავიდეთ უცნობი საშუალო ტერმინის გამოთვლაზე. ავიღოთ პროპორცია:

30: X = 27: 9.

მოდით დავწეროთ პროპორციის მთავარი თვისება:

30 9 = X 27.

ჩვენ ვიანგარიშებთ 30-ის ნამრავლს 9-ზე და ვაწყობთ ბოლო ტოლობის ნაწილებს:

X 27 = 270.

მოდი ვიპოვოთ უცნობი ფაქტორი:

X = 270: 27, ან X = 10.

მოდით შევამოწმოთ ჩანაცვლებით:

30:10 = 27:9 პროპორცია სწორია.

ავიღოთ სხვა პროპორცია:

12:b= X : 8. ჩავწეროთ პროპორციის მთავარი თვისება:

12 . 8 = 6 X . 12-ისა და 8-ის გამრავლებით და განტოლების ნაწილების გადალაგებით მივიღებთ:

6 X = 96. იპოვეთ უცნობი ფაქტორი:

X = 96:6, ან X = 16.

Ამგვარად, ყოველი შუა წევრიპროპორცია უდრის უკიდურესობების ნამრავლს, გაყოფილი სხვა საშუალოზე.

იპოვეთ შემდეგი პროპორციების უცნობი ტერმინები:

1) მაგრამ : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: ბ = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .

ორი უახლესი წესებიზოგადად შეიძლება ასე დაიწეროს:

1) თუ პროპორცია ასე გამოიყურება:

x: a = b: c , მაშინ

2) თუ პროპორცია ასე გამოიყურება:

a: x = b: c , მაშინ

§ 128. პროპორციის გამარტივება და მისი წევრების გადაწყობა.

ამ განყოფილებაში ჩვენ გამოვიყვანთ წესებს, რომლებიც საშუალებას მოგვცემს გავამარტივოთ პროპორცია იმ შემთხვევაში, როდესაც ის მოიცავს დიდ რიცხვებს ან წილადობრივ ტერმინებს. ტრანსფორმაციები, რომლებიც არ არღვევს პროპორციას, მოიცავს შემდეგს:

1. ნებისმიერი თანაფარდობის ორივე წევრის ერთდროული მატება ან შემცირება ერთი და იგივე რაოდენობის ჯერ.

მაგალითი 40:10 = 60:15.

პირველი მიმართების ორივე წევრის 3-ჯერ გამრავლებით მივიღებთ:

120:30 = 60: 15.

პროპორცია არ შეცვლილა.

მეორე მიმართების ორივე წევრის 5-ჯერ შემცირება, მივიღებთ:

ისევ სწორი პროპორცია მივიღეთ.

2. ორივე წინა ან ორივე მომდევნო ტერმინის ერთდროული მატება ან შემცირება ერთჯერადად.

მაგალითი. 16:8 = 40:20.

გავაორმაგოთ ორივე ურთიერთობის წინა წევრები:

მიიღეთ სწორი პროპორცია.

მოდით შევამციროთ ორივე ურთიერთობის შემდეგი პირობები 4-ჯერ:

პროპორცია არ შეცვლილა.

მიღებული ორი დასკვნა შეიძლება ასე შევაჯამოთ: პროპორცია არ დაირღვევა, თუ პროპორციის რომელიმე უკიდურეს წევრს და ნებისმიერ შუას ერთდროულად გავზრდით ან შევამცირებთ ერთსა და იმავე რაოდენობაზე.

მაგალითად, პროპორციის 1-ლი უკიდურესი და მე-2 შუა წევრების 16:8 = 40:20 4-ჯერ შემცირებით, მივიღებთ:

3. პროპორციის ყველა წევრის ერთდროული გაზრდა ან შემცირება ერთსა და იმავე ოდენობით. მაგალითი. 36:12 = 60:20. გავზარდოთ ოთხივე რიცხვი 2-ჯერ:

პროპორცია არ შეცვლილა. შევამციროთ ოთხივე რიცხვი 4-ჯერ:

პროპორცია სწორია.

ჩამოთვლილი გარდაქმნები შესაძლებელს ხდის, ჯერ ერთი, პროპორციების გამარტივება და მეორეც, მათი წილადი წევრებისგან გათავისუფლება. მოვიყვანოთ მაგალითები.

1) იყოს პროპორცია:

200: 25 = 56: x .

მასში პირველი მიმართების პირობები შედარებით დიდი რიცხვია და თუ გვინდოდა ვიპოვოთ მნიშვნელობა X , მაშინ ამ ციფრებზე გამოთვლების გაკეთება მოგვიწევდა; მაგრამ ვიცით, რომ პროპორცია არ ირღვევა, თუ თანაფარდობის ორივე წევრი იყოფა ერთ რიცხვზე. გაყავით თითოეული მათგანი 25-ზე. პროპორცია მიიღებს ფორმას:

8:1 = 56: x .

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ უფრო მოსახერხებელი პროპორცია, საიდანაც X შეიძლება მოიძებნოს გონებაში:

2) მიიღეთ პროპორცია:

2: 1 / 2 = 20: 5.

ამ პროპორციაში არის წილადი ტერმინი (1/2), საიდანაც შეგიძლიათ თავი დააღწიოთ. ამისთვის მოგვიწევს ეს ტერმინი, მაგალითად, 2-ზე გავამრავლოთ. მაგრამ პროპორციის საშუალო ვადის გაზრდის უფლება არ გვაქვს; აუცილებელია, მასთან ერთად, გაიზარდოს ერთ-ერთი უკიდურესი ტერმინი; მაშინ პროპორცია არ დაირღვევა (პირველი ორი პუნქტიდან გამომდინარე). მოდით გავზარდოთ პირველი უკიდურესი ტერმინები

(2 2) : (2 1/2) = 20: 5, ან 4: 1 = 20:5.

გავზარდოთ მეორე უკიდურესი ტერმინი:

2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), ან 2: 1 = 20: 10.

განვიხილოთ პროპორციის გათავისუფლების კიდევ სამი მაგალითი წილადი წევრებისაგან.

მაგალითი 1. 1/4: 3/8 = 20:30.

მიიტანეთ წილადები საერთო მნიშვნელი:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

პირველი ურთიერთობის ორივე წევრი გავამრავლოთ 8-ზე, მივიღებთ:

მაგალითი 2. 12: 15 / 14 \u003d 16: 10 / 7. მოდით მივიყვანოთ წილადები საერთო მნიშვნელთან:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

ჩვენ გავამრავლებთ ორივე მომდევნო წევრს 14-ზე, მივიღებთ: 12:15 \u003d 16:20.

მაგალითი 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.

მოდით გავამრავლოთ პროპორციის ყველა პირობა 48-ზე:

24: 1 = 960: 40.

პრობლემების გადაჭრისას, რომლებშიც ხდება გარკვეული პროპორციები, ხშირად საჭიროა პროპორციის პირობების გადალაგება სხვადასხვა მიზნებისთვის. განიხილეთ რომელი პერმუტაციებია ლეგალური, ანუ არ არღვევენ პროპორციებს. ავიღოთ პროპორცია:

3: 5 = 12: 20. (1)

მასში უკიდურესი ტერმინების გადალაგებით, მივიღებთ:

20: 5 = 12:3. (2)

ახლა ჩვენ ვაწყობთ შუა ტერმინებს:

3:12 = 5: 20. (3)

ჩვენ გადავაწყობთ როგორც უკიდურეს, ასევე საშუალო ტერმინებს ერთდროულად:

20: 12 = 5: 3. (4)

ყველა ეს პროპორცია სწორია. ახლა დავდოთ პირველი მიმართება მეორის ადგილზე, მეორე კი პირველის ადგილზე. მიიღეთ პროპორცია:

12: 20 = 3: 5. (5)

ამ პროპორციით ჩვენ გავაკეთებთ იგივე პერმუტაციებს, რაც ადრე გავაკეთეთ, ანუ ჯერ გადავაწყობთ ექსტრემალურ ტერმინებს, შემდეგ შუას და ბოლოს ორივე უკიდურესს და შუას ერთდროულად. გამოვა კიდევ სამი პროპორცია, რომელიც ასევე სამართლიანი იქნება:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

ასე რომ, ერთი მოცემული პროპორციიდან, გადალაგებით, შეგიძლიათ მიიღოთ კიდევ 7 პროპორცია, რაც ამ ერთთან ერთად ქმნის 8 პროპორციას.

ყველა ამ პროპორციის მართებულობა განსაკუთრებით ადვილად ვლინდება როცა წერილის შეყვანა. ზემოთ მიღებულ 8 პროპორციას აქვს ფორმა:

a: b = c: d; c:d = a:b;

d:b = c:a; b:d = a:c;

a:c = b:d; გ:ა = დ:ბ;

d:c=b:a; ბ:ა = დ:გ.

ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეულ ამ პროპორციებში ძირითადი თვისება იღებს ფორმას:

რეკლამა = ძვ.

ამრიგად, ეს პერმუტაციები არ არღვევს პროპორციის სამართლიანობას და მათი გამოყენება შესაძლებელია საჭიროების შემთხვევაში.

ბოლო ვიდეო გაკვეთილში განვიხილეთ პროცენტული ამოცანების ამოხსნა პროპორციების გამოყენებით. შემდეგ, პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, დაგვჭირდა ამა თუ იმ რაოდენობის მნიშვნელობის პოვნა.

ამჯერად საწყისი და საბოლოო მნიშვნელობები უკვე გვეძლევა. ამიტომ, ამოცანებში საჭირო იქნება პროცენტების პოვნა. უფრო ზუსტად, რა პროცენტით შეიცვალა ესა თუ ის მნიშვნელობა. Მოდი ვცადოთ.

Დავალება. Sneakers ღირს 3200 რუბლი. ფასის გაზრდის შემდეგ მათ დაიწყეს 4000 რუბლის ფასი. რამდენ პროცენტით გაიზარდა სპორტული ფეხსაცმელი?

ასე რომ, ჩვენ ვხსნით პროპორციით. პირველი ნაბიჯი - თავდაპირველი ფასი იყო 3200 რუბლი. აქედან გამომდინარე, 3200 რუბლი არის 100%.

გარდა ამისა, ჩვენ მოგვცეს საბოლოო ფასი - 4000 რუბლი. ეს უცნობი პროცენტია, ამიტომ ავღნიშნოთ როგორც x. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:

3200 — 100%
4000 - x%

ისე, პრობლემის მდგომარეობა ჩაწერილია. ჩვენ ვადგენთ პროპორციას:

მარცხნივ წილადი შესანიშნავად მცირდება 100-ით: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამციროთ 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. ვიღებთ შემდეგ პროპორციას:

გამოვიყენოთ პროპორციის ძირითადი თვისება: უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის შუა რიცხვების ნამრავლს. ჩვენ ვიღებთ:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

ეს არის ჩვეულებრივი წრფივი განტოლება. აქედან ვპოულობთ x:

x=1000:8=125

ასე რომ, მივიღეთ საბოლოო პროცენტი x = 125. მაგრამ არის თუ არა რიცხვი 125 პრობლემის გადაწყვეტა? Არანაირად! რადგან ამოცანა მოითხოვს, გაარკვიოთ, რამდენ პროცენტით გაიზარდა სპორტული ფეხსაცმელი.

რამდენი პროცენტით - ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ცვლილება:

∆ = 125 − 100 = 25

ჩვენ მივიღეთ 25% - ამდენი გაიზარდა საწყისი ფასი. ეს არის პასუხი: 25.

პრობლემა B2 ინტერესისთვის #2

გადავიდეთ მეორე ამოცანაზე.

Დავალება. პერანგი ღირდა 1800 მანეთი. ფასის შემცირების შემდეგ დაიწყო 1530 რუბლი. რამდენ პროცენტით შემცირდა მაისურის ფასი?

ჩვენ ვთარგმნით მდგომარეობას მათემატიკური ენა. საწყისი ფასი 1800 რუბლია 100%. და საბოლოო ფასი არის 1530 რუბლი - ჩვენ ვიცით, მაგრამ არ არის ცნობილი, რამდენი პროცენტია ორიგინალური ღირებულებისა. ამიტომ მას x-ით აღვნიშნავთ. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:

1800 — 100%
1530 - x%

მიღებული ჩანაწერის საფუძველზე, ჩვენ ვადგენთ პროპორციას:

მოდით გამოვყოთ ორივე ნაწილი შემდგომი გამოთვლების გასამარტივებლად. მოცემული განტოლება 100-ით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მრიცხველი მარცხენა და მარჯვენა წილადიჩვენ გადავხაზავთ ორ ნულს. ჩვენ ვიღებთ:

ახლა ისევ გამოვიყენოთ პროპორციის ძირითადი თვისება: უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის საშუალოების ნამრავლს.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

რჩება x-ის პოვნა:

x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

მივიღეთ, რომ x = 85. მაგრამ, როგორც წინა ამოცანაში, ეს რიცხვი თავისთავად არ არის პასუხი. დავუბრუნდეთ ჩვენს მდგომარეობას. ახლა ჩვენ ვიცით, რომ ახალი ფასი შემცირების შემდეგ არის ძველი ფასის 85%. ხოლო ცვლილებების საპოვნელად საჭიროა ძველი ფასიდან, ე.ი. 100%, გამოკლება ახალი ფასი, ე.ი. 85%. ჩვენ ვიღებთ:

∆ = 100 − 85 = 15

ეს რიცხვი იქნება პასუხი: გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ზუსტად 15 და არავითარ შემთხვევაში 85. სულ ესაა! პრობლემა მოგვარებულია.

ყურადღებიანი მოსწავლეები ალბათ იკითხავენ: რატომ პირველ ამოცანაში სხვაობის პოვნისას გამოვაკლეთ საწყისი რიცხვი საბოლოო რიცხვს, ხოლო მეორე დავალებაში ზუსტად პირიქით: საწყის 100%-ს გამოვაკლეთ საბოლოო 85%?

მოდით გავარკვიოთ ეს. ფორმალურად, მათემატიკაში, რაოდენობის ცვლილება ყოველთვის განსხვავებაა საბოლოო ღირებულებადა საწყისი. ანუ მეორე პრობლემაში უნდა გვქონოდა არა 15, არამედ -15.

თუმცა ეს მინუსი არავითარ შემთხვევაში არ უნდა შედიოდეს პასუხში, რადგან ის უკვე გათვალისწინებულია თავდაპირველი პრობლემის პირობებში. იქვე წერია ფასის შემცირებაზე. 15%-იანი ფასის კლება იგივეა, რაც -15%-იანი მატება. ამიტომაც პრობლემის გადაჭრასა და პასუხში საკმარისია დაწეროთ მხოლოდ 15 - ყოველგვარი მინუსების გარეშე.

ყველაფერი, იმედი მაქვს, ამ წუთში გავიგეთ. ამით დასრულდა ჩვენი დღევანდელი გაკვეთილი. Მალე გნახავ!