როცა სტუდენტი მიდის უმაღლესი სკოლა, მათემატიკა იყოფა 2 საგანად: ალგებრა და გეომეტრია. სულ უფრო მეტი ცნებებია, ამოცანები რთულდება. ზოგიერთ ადამიანს უჭირს წილადების გაგება. გამოტოვეთ პირველი გაკვეთილი ამ თემაზე და ვოილა. წილადები? კითხვა, რომელიც მთელი სასკოლო ცხოვრების განმავლობაში იტანჯება.

ალგებრული წილადის ცნება

დავიწყოთ განმარტებით. ქვეშ ალგებრული წილადიგასაგებია P/Q გამონათქვამები, სადაც P არის მრიცხველი და Q არის მნიშვნელი. ქვეშ ანბანური აღნიშვნაშეუძლია დამალოს რიცხვი, რიცხვითი გამოხატულება, რიცხვით-ანბანური გამოსახულება.

სანამ გაინტერესებთ როგორ მოაგვაროთ ალგებრული წილადებიუპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გესმოდეთ ეს მსგავსი გამოხატულება- მთელის ნაწილი.

როგორც წესი, მთელი არის 1. რიცხვი მნიშვნელში გვიჩვენებს რამდენ ნაწილად იყო დაყოფილი ერთეული. მრიცხველი საჭიროა იმის გასარკვევად, თუ რამდენი ელემენტია აღებული. წილადი ზოლი შეესაბამება გაყოფის ნიშანს. ჩაწერა დაშვებულია წილადური გამოხატულებაროგორც მათემატიკური ოპერაცია „დივიზია“. ამ შემთხვევაში, მრიცხველი არის დივიდენდი, მნიშვნელი არის გამყოფი.

საერთო წილადების ძირითადი წესი

როცა სტუდენტები გადიან ამ თემასსკოლაში მათ აძლევენ მაგალითებს გასამყარებლად. მათი სწორად გადაჭრა და პოვნა სხვადასხვა გზებისაწყისი რთული სიტუაციები, თქვენ უნდა გამოიყენოთ წილადების ძირითადი თვისება.

ეს ასე ჟღერს: თუ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც გაამრავლებთ იმავე რიცხვზე ან გამოსახულებაში (ნულის გარდა), მაშინ მნიშვნელობა საერთო წილადიარ შეიცვლება. განსაკუთრებული შემთხვევა ამ წესსარის გამოხატვის ორივე ნაწილის დაყოფა ერთსა და იმავე რიცხვად ან მრავალწევრად. ასეთ გარდაქმნებს იდენტური თანასწორობები ეწოდება.

ქვემოთ განვიხილავთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ალგებრული წილადების შეკრება და გამოკლება, შევასრულოთ წილადების გამრავლება, გაყოფა და შემცირება.

მათემატიკური მოქმედებები წილადებთან

განვიხილოთ, როგორ ამოხსნათ ალგებრული წილადის ძირითადი თვისება, როგორ გამოვიყენოთ იგი პრაქტიკაში. თუ საჭიროა ორი წილადის გამრავლება, მათი დამატება, ერთმანეთის გაყოფა ან გამოკლება, ყოველთვის უნდა დაიცვას წესები.

ასე რომ, შეკრებისა და გამოკლების მოქმედებისთვის უნდა მოიძებნოს დამატებითი მულტიპლიკატორიგამონათქვამების მოტანა საერთო მნიშვნელი. თუ თავდაპირველად წილადები მოცემულია იგივე გამონათქვამები Q, მაშინ თქვენ უნდა გამოტოვოთ ეს ელემენტი. როდესაც საერთო მნიშვნელი მოიძებნება, როგორ ამოხსნათ ალგებრული წილადები? მრიცხველების დამატება ან გამოკლება. მაგრამ! უნდა გვახსოვდეს, რომ თუ წილადის წინ არის "-" ნიშანი, მრიცხველში ყველა ნიშანი შებრუნებულია. ზოგჯერ არ უნდა გააკეთოთ რაიმე ჩანაცვლება და მათემატიკური ოპერაციები. საკმარისია შეცვალოთ ნიშანი წილადის წინ.

ტერმინი ხშირად გამოიყენება როგორც წილადის შემცირება. ეს ნიშნავს შემდეგს: თუ მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა ერთობის გარდა სხვა გამოსახულებით (იგივე ორივე ნაწილისთვის), მაშინ მიიღება ახალი წილადი. დივიდენდი და გამყოფი უფრო მცირეა, ვიდრე ადრე, მაგრამ წილადების ძირითადი წესიდან გამომდინარე, ისინი თავდაპირველი მაგალითის ტოლი რჩება.

ამ ოპერაციის მიზანია ახალი შეუქცევადი გამოხატვის მიღება. გადაწყვიტე ამ ამოცანასშესაძლებელია, თუ მრიცხველს და მნიშვნელს შევამცირებთ უდიდესით საერთო გამყოფი. ოპერაციის ალგორითმი შედგება ორი წერტილისგან:

1. GCD-ის პოვნა წილადის ორივე ნაწილისთვის.
2. მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა ნაპოვნი გამოსახულებაზე და წინას ტოლი შეუქცევადი წილადის მიღება.

ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი აჩვენებს ფორმულებს. მოხერხებულობისთვის შეგიძლიათ ამობეჭდოთ და თან წაიღოთ ნოუთბუქში. ამასთან, ისე, რომ მომავალში, კონტროლის ან გამოცდის ამოხსნისას, არ იქნება სირთულეები კითხვაზე, თუ როგორ უნდა ამოხსნას ალგებრული წილადები, ნათქვამი ფორმულებიზეპირად უნდა ისწავლო.

რამდენიმე მაგალითი გადაწყვეტილებებით

FROM თეორიული წერტილიხედი განიხილავს კითხვას, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ალგებრული წილადები. სტატიაში მოცემული მაგალითები დაგეხმარებათ მასალის უკეთ გაგებაში.

1. გადააქციეთ წილადები და მიიტანეთ ისინი საერთო მნიშვნელზე.

2. წილადების გადაყვანა და საერთო მნიშვნელამდე მიყვანა.

თეორიული ნაწილის შესწავლისა და გათვალისწინების შემდეგ პრაქტიკული საკითხებიარ უნდა განმეორდეს.

მიზნები:

1. საგანმანათლებლო- ალგებრული წილადების შემცირების შეძენილი ცოდნისა და უნარების კონსოლიდაცია მეტის ამოხსნისას კომპლექსური ვარჯიშები, მრავალწევრის ფაქტორიზაციის გამოყენება სხვადასხვა გზით, ალგებრული წილადების შემცირების უნარის გამოსამუშავებლად. გაიმეორეთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულები: (a+ბ)2=a2+2ab+b2,
(ა-ბ) 2 =2-2ab+b2,a 2 -b 2 =(a+ბ)(ა-ბ) დაჯგუფების მეთოდი, საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება.

2. განვითარება -ლოგიკური აზროვნების განვითარება ცნობიერი აღქმისთვის სასწავლო მასალა, ყურადღება, მოსწავლეთა აქტივობა გაკვეთილზე.

3. აღზრდა -აღზრდა შემეცნებითი აქტივობა, ფორმირება პიროვნული თვისებები: სიზუსტე და სიცხადე სიტყვიერი გამოთქმააზრები; კონცენტრაცია და ყურადღება; შეუპოვრობა და პასუხისმგებლობა, საგნის შესწავლის პოზიტიური მოტივაცია, სიზუსტე, კეთილსინდისიერება და პასუხისმგებლობის გრძნობა.

Დავალებები:

1. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია, სამუშაოს სახეების შეცვლა, ამ თემაზე „ალგებრული წილადი. წილადების შემცირება.

2. ალგებრული წილადების შემცირების უნარებისა და შესაძლებლობების გამომუშავება სხვადასხვა გზებიმრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორიზაცია, განავითაროს ლოგიკური აზროვნება, სწორი და კომპეტენტური მათემატიკური მეტყველება, დამოუკიდებლობის განვითარება და მათი ცოდნისა და უნარებისადმი ნდობა შესრულებისას განსხვავებული ტიპებიმუშაობს.

3. გაზარდეთ მათემატიკისადმი ინტერესი მასალის სხვადასხვა სახის კონსოლიდაციის დანერგვით: ზეპირი სამუშაო, სახელმძღვანელოსთან მუშაობა, დაფაზე მუშაობა, მათემატიკური კარნახი, ტესტი, დამოუკიდებელი სამუშაო, თამაში" მათემატიკის ტურნირი»; მოსწავლეთა საქმიანობის სტიმულირება და წახალისება.

Გეგმა:
ᲛᲔ. ორგანიზების დრო.
II . ზეპირი სამუშაო.
III. მათემატიკური კარნახი.
IV.
1. მუშაობა სახელმძღვანელოს მიხედვით და დაფაზე.
2. ჯგუფურად მუშაობა ბარათებზე – თამაში „მათემატიკური ტურნირი“.
3. დამოუკიდებელი მუშაობადონეების მიხედვით (A, B, C).
ვ. შედეგი.
1. ტესტი (ურთიერთდამოწმება).
VI. Საშინაო დავალება.

გაკვეთილების დროს:

I. საორგანიზაციო მომენტი.

მასწავლებლისა და მოსწავლეების ემოციური განწყობა და მზადყოფნა გაკვეთილისთვის. მოსწავლეები ადგენენ მიზნებსა და ამოცანებს ეს გაკვეთილიმასწავლებლის წამყვან კითხვებზე განსაზღვრეთ გაკვეთილის თემა.

II. ზეპირი სამუშაო.

1. წილადების შემცირება:

2. იპოვეთ ალგებრული წილადის მნიშვნელობა:
c = 8, c = -13, c = 11.
პასუხი: 6; - ერთი; 3.

3. უპასუხეთ კითხვებს:

1) რა არის სასარგებლო რიგი მრავალწევრების ფაქტორინგში?
(პოლინომების ფაქტორინგის დროს სასარგებლოა შემდეგი თანმიმდევრობის დაცვა: ა) ამოღება საერთო ფაქტორიფრჩხილებისთვის, ასეთის არსებობის შემთხვევაში; ბ) სცადეთ მრავალწევრის ფაქტორიზირება გამრავლების შემოკლებული ფორმულების გამოყენებით; გ) შეეცადეთ გამოიყენოთ დაჯგუფების მეთოდი, თუ წინა მეთოდებს არ მიგვიყვანდა მიზნამდე).

2) რა არის ჯამის კვადრატი?
(ორი რიცხვის ჯამის კვადრატი უდრის კვადრატსპირველ რიცხვს პლუს პირველი რიცხვის ნამრავლის ორჯერ და მეორეს პლუს მეორე რიცხვის კვადრატს).

3) რა არის სხვაობის კვადრატი?
(ორ რიცხვს შორის სხვაობის კვადრატი უდრის პირველი რიცხვის კვადრატს მინუს ორჯერ პირველი რიცხვის ნამრავლი და მეორეს პლუს მეორე რიცხვის კვადრატი.)

4) რა განსხვავებაა ორი რიცხვის კვადრატებს შორის?
(ორი რიცხვის კვადრატების სხვაობა ტოლია ამ რიცხვების სხვაობისა და მათი ჯამის ნამრავლის).

5) რა უნდა გაკეთდეს დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებისას? (პოლინომის დაჯგუფების მეთოდით ფაქტორიზაციისთვის საჭიროა: ა) მრავალწევრის წევრები გააერთიანოთ ჯგუფებად, რომლებსაც აქვთ საერთო კოეფიციენტი მრავალწევრის სახით; ბ) ამ საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან).
6) საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოსაღებად გჭირდებათ ......?
(იპოვეთ ეს საერთო ფაქტორი; 2. ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან).

7) მრავალწევრის ფაქტორინგის რა მეთოდები იცით?
(საერთო ფაქტორის ბრეკეტირება, დაჯგუფების მეთოდი, შემოკლებული გამრავლების ფორმულები).

8) რა არის საჭირო წილადის შესამცირებლად?
(წილადის შესამცირებლად საჭიროა მრიცხველი და მნიშვნელი გაყოთ მათ საერთო ფაქტორზე).

III. მათემატიკური კარნახი.

1. ხაზი გაუსვით ალგებრულ წილადებს:

I ვარიანტი:

II ვარიანტი:

1. შესაძლებელია თუ არა გამოხატვის წარმოდგენა

I ვარიანტი:

II ვარიანტი:

როგორც მრავალწევრი? თუ წარმოგიდგენიათ?

3. ასოს რომელი მნიშვნელობებია მართებული გამონათქვამისთვის:
I ვარიანტი:

II ვარიანტი:
(x-5) (x+7).

4. ჩაწერეთ ალგებრული წილადი მრიცხველით
I ვარიანტი:
3x2.
II ვარიანტი:
5 წ.
და მნიშვნელი

I ვარიანტი:
x(x+3).
II ვარიანტი:
y 2 (y+7).
და შეამცირეთ იგი.

IV. თემის კონსოლიდაცია: „ალგებრული წილადი. წილადების შემცირება ":

1. მუშაობა სახელმძღვანელოს მიხედვით და დაფაზე.

წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორზე შეყვანა და შემცირება.
№441(1;3).

1. ; 3.

№442(1;3;5).

1. 3.

№443(1;3).

1. 3.

№444(1;3).

1. 3.

№445(1;3).

1. 3.

№446(1;3).

2. ჯგუფურად მუშაობა ბარათებზე – თამაში „მათემატიკური ტურნირი“.

(თამაშის ამოცანები - "დანართი 1".)
ამ თემაზე მაგალითების ამოხსნის უნარების კონსოლიდაცია და ტესტირება ტარდება ტურნირის სახით. კლასი იყოფა ჯგუფებად და მათ სთავაზობენ დავალებებს ბარათებზე (სხვადასხვა დონის ბარათები).
მეშვეობით გარკვეული დრო, თითოეულმა მოსწავლემ რვეულში უნდა ჩაწეროს თავისი გუნდის ამოცანების ამოხსნა და შეძლოს მათი ახსნა.
ნებადართულია გუნდში კონსულტაციები (მათ ატარებს კაპიტანი).
შემდეგ იწყება ტურნირი: თითოეულ გუნდს აქვს უფლება დაუპირისპირდეს სხვებს, მაგრამ მხოლოდ ერთხელ. მაგ., პირველი გუნდის კაპიტანი მოუწოდებს მეორე გუნდის მოსწავლეებს ტურნირში მონაწილეობის მისაღებად; მეორე გუნდის კაპიტანიც იგივეს აკეთებს, მიდიან დაფაზე, ცვლიან ბარათებს და წყვეტენ დავალებებს და ა.შ.

3. დამოუკიდებელი მუშაობა დონეების მიხედვით (A, B, C)

„დიდაქტიკური მასალა“ ლ.ი. ზვავიჩი და სხვები, გვ. 95, გვ-52. (წიგნი ყველა სტუდენტს აქვს)
მაგრამ . №1: I ვარიანტი-1) a, b; 2) ა, გ; 5) ა.
II ვარიანტი-1) გ, დ; 2) ბ, დ, 5) გ.
ბ . №2: ვარიანტი I - ა.
ვარიანტი II - ბ.
AT . №3: ვარიანტი I - ა.
ვარიანტი II - ბ.

ვ. შედეგი.

1. ტესტი (ურთიერთდამოწმება).
(დავალებები ტესტისთვის - "დანართი 2".)
(ბარათებზე თითოეული მოსწავლისთვის, ვარიანტების მიხედვით)

VI. Საშინაო დავალება.

1) "დ.მ." გვერდი 95 No1. (3,4,6);
2) No447 (თუნდაც);
3) §24, გაიმეორეთ §19 - §23.

წილადების შემცირება აუცილებელია იმისათვის, რომ წილადი უფრო მარტივ ფორმამდე მივიყვანოთ, მაგალითად, გამოსახულების ამოხსნის შედეგად მიღებულ პასუხში.

წილადების შემცირება, განსაზღვრება და ფორმულა.

რა არის წილადის შემცირება? რას ნიშნავს წილადის შემცირება?

განმარტება:
ფრაქციების შემცირებაარის მრიცხველისა და მნიშვნელის დაყოფა იმავე წილადზე დადებითი რიცხვიარა ნულიდა ერთეული. შემცირების შედეგად მიიღება წილადი უფრო მცირე მრიცხველით და მნიშვნელით, ტოლი წინა წილადის მიხედვით.

წილადის შემცირების ფორმულაძირითადი ქონება რაციონალური რიცხვი.

\(\frac(p \ჯერ n)(q \ჯერ n)=\frac(p)(q)\)

განვიხილოთ მაგალითი:
წილადის შემცირება \(\frac(9)(15)\)

გამოსავალი:
ჩვენ შეგვიძლია წილადის გამრავლება პირველ ფაქტორებად და შევამციროთ საერთო ფაქტორები.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \ჯერ 3)(5 \ჯერ 3)=\frac(3)(5) \ჯერ \color(წითელი) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \ჯერ 1=\frac(3)(5)\)

პასუხი: შემცირების შემდეგ მივიღეთ წილადი \(\frac(3)(5)\). რაციონალური რიცხვების ძირითადი თვისების მიხედვით, საწყისი და მიღებული წილადები ტოლია.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

როგორ შევამციროთ წილადები? წილადის შემცირება შეუქცევად ფორმამდე.

იმისათვის, რომ შედეგად მივიღოთ შეუქცევადი წილადი, გვჭირდება იპოვნეთ უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd)წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელისთვის.

GCD-ის პოვნის რამდენიმე გზა არსებობს, ჩვენ მაგალითში გამოვიყენებთ რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლას.

მიიღეთ შეუქცევადი წილადი \(\frac(48)(136)\).

გამოსავალი:
იპოვეთ GCD(48, 136). 48 და 136 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2 \ჯერ 2) \ჯერ 2 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2 \ჯერ 2) \ჯერ 17)=\frac(\color(წითელი) (6) \ჯერ 2 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (6) \ჯერ 17)=\frac(2 \ჯერ 3)(17)=\ ფრაკი(6)(17)\)

წილადის შეუქცევად ფორმამდე დაყვანის წესი.

1. იპოვნეთ მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფი.
2. თქვენ უნდა გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი უდიდეს საერთო გამყოფზე გაყოფის შედეგად, რომ მიიღოთ შეუქცევადი წილადი.

მაგალითი:
შეამცირეთ წილადი \(\frac(152)(168)\).

გამოსავალი:
იპოვეთ GCD(152, 168). 152 და 168 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(წითელი) (6) \ჯერ 19)(\color(წითელი) (6) \ჯერ 21)=\frac(19)(21)\)

პასუხი: \(\frac(19)(21)\) არის შეუქცევადი წილადი.

არასწორი წილადის აბრევიატურა.

როგორ დავჭრათ არასწორი ფრაქცია?
სწორი და არასწორი წილადებისთვის წილადების შემცირების წესები იგივეა.

განვიხილოთ მაგალითი:
შეამცირეთ არასწორი წილადი \(\frac(44)(32)\).

გამოსავალი:
მოდით ჩავწეროთ მრიცხველი და მნიშვნელი მარტივ ფაქტორებად. შემდეგ კი ჩვენ ვამცირებთ საერთო ფაქტორებს.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2) \ჯერ 11)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 2) \ჯერ 2 \ჯერ 2 \ჯერ 2 )=\frac(11)(2 \ჯერ 2 \ჯერ 2)=\frac(11)(8)\)

შერეული ფრაქციების შემცირება.

შერეული წილადები იგივე წესებს იცავენ, როგორც ჩვეულებრივი წილადები. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ ჩვენ შეგვიძლია არ შეეხოთ მთელ ნაწილს, მაგრამ შეამცირეთ წილადი ნაწილიან შერეული წილადის გადაქცევა არასწორ წილადად, შემცირება და უკან გადაქცევა სათანადო წილადად.

განვიხილოთ მაგალითი:
შეამცირეთ შერეული ფრაქცია \(2\frac(30)(45)\).

გამოსავალი:
მოდით მოვაგვაროთ ის ორი გზით:
პირველი გზა:
წილადის ნაწილს ჩავწერთ მარტივ ფაქტორებად და არ შევეხებით მთელ ნაწილს.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3))(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3))=2\ ფრაკი (2) (3)\)

მეორე გზა:
ჯერ არასწორ წილადად ვთარგმნით, შემდეგ კი პირველ ფაქტორებად ვწერთ და ვამცირებთ. მიღებული არასათანადო წილადი გადააქციეთ სწორ წილადში.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \ჯერ 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5 \ჯერ 3) \ჯერ 2 \ჯერ 2)(3 \ჯერ \ფერი (წითელი) (3 \ჯერ 5))=\ფრაქ(2 \ჯერ 2 \ჯერ 2)(3)=\ფრაქ(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

დაკავშირებული კითხვები:
შეიძლება თუ არა წილადების შემცირება შეკრების ან გამოკლებისას?
პასუხი: არა, ჯერ წესების მიხედვით უნდა დაამატოთ ან გამოკლოთ წილადები და მხოლოდ ამის შემდეგ შეამციროთ. განვიხილოთ მაგალითი:

შეაფასეთ გამოთქმა \(\frac(50+20-10)(20)\) .

გამოსავალი:
ხშირად უშვებენ ჭრის შეცდომას იგივე ნომრებიმრიცხველში და მნიშვნელში ჩვენს შემთხვევაში რიცხვი არის 20, მაგრამ მათი შემცირება შეუძლებელია მანამ, სანამ არ შეასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას.

\(\frac(50+\color(წითელი) (20)-10)(\color(წითელი) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \ჯერ 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

რა რიცხვით შეიძლება წილადის შემცირება?
პასუხი: შეგიძლიათ წილადის შემცირება უდიდესი საერთო გამყოფით ან მრიცხველისა და მნიშვნელის ჩვეულებრივი გამყოფით. მაგალითად, წილადი \(\frac(100)(150)\).

100 და 150 რიცხვები ჩავწეროთ მარტივ ფაქტორებად.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი იქნება რიცხვი gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \ჯერ 50)(3 \ჯერ 50)=\frac(2)(3)\)

მივიღეთ შეუქცევადი წილადი \(\frac(2)(3)\).

მაგრამ ყოველთვის არ არის საჭირო GCD-ზე გაყოფა, შეუქცევადი წილადი ყოველთვის არ არის საჭირო, შეგიძლიათ წილადის შემცირება მრიცხველისა და მნიშვნელის მარტივი გამყოფით. მაგალითად, რიცხვს 100 და 150 აქვს საერთო გამყოფი 2. წილადი \(\frac(100)(150)\) შევამციროთ 2-ით.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \ჯერ 50)(2 \ჯერ 75)=\frac(50)(75)\)

მივიღეთ შემცირებული წილადი \(\frac(50)(75)\).

რა წილადები შეიძლება შემცირდეს?
პასუხი: შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები, რომლებშიც მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ საერთო გამყოფი. მაგალითად, წილადი \(\frac(4)(8)\). რიცხვ 4-ს და 8-ს აქვს რიცხვი, რომლითაც ორივე იყოფა ამ რიცხვზე 2. ამიტომ, ასეთი წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით.

მაგალითი:
შეადარეთ ორი წილადი \(\frac(2)(3)\) და \(\frac(8)(12)\).

ეს ორი წილადი ტოლია. განვიხილოთ წილადი \(\frac(8)(12)\) დეტალურად:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \ჯერ 4)(3 \ჯერ 4)=\frac(2)(3) \ჯერ \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \ჯერ 1=\frac(2)(3)\)

აქედან ვიღებთ \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

ორი წილადი ტოლია მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანი მიიღება მეორე წილადის შემცირებით მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტით.

მაგალითი:
შეამცირეთ შემდეგი წილადები, თუ ეს შესაძლებელია: ა) \(\frac(90)(65)\) ბ) \(\frac(27)(63)\) გ) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

გამოსავალი:
ა) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \ჯერ \ფერი (წითელი) (5) \ჯერ 3 \ჯერ 3)(\color(წითელი) (5) \ჯერ 13)=\frac (2 \ჯერ 3 \ჯერ 3)(13)=\frac(18)(13)\)
ბ) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(წითელი) (3 \ჯერ 3) \ჯერ 3)(\color(წითელი) (3 \ჯერ 3) \ჯერ 7)=\frac (3)(7)\)
გ) \(\frac(17)(100)\) შეუქცევადი წილადი
დ) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(წითელი) (2 \ჯერ 5 \ჯერ 5) \ჯერ 2)(\color(წითელი) (2 \ჯერ 5 \ჯერ 5) \ ჯერ 5)=\frac(2)(5)\)

პირველი დონე

გამოხატვის კონვერტაცია. დეტალური თეორია (2019)

გამოხატვის კონვერტაცია

ხშირად გვესმის ეს უსიამოვნო ფრაზა: "გამოთქმის გამარტივება." ჩვეულებრივ, ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვყავს ასეთი სახის მონსტრი:

”დიახ, ბევრად უფრო ადვილია”, - ვამბობთ ჩვენ, მაგრამ ასეთი პასუხი ჩვეულებრივ არ მუშაობს.

ახლა გასწავლით, არ შეგეშინდეთ ასეთი ამოცანების. უფრო მეტიც, გაკვეთილის ბოლოს, თქვენ თვითონ გაამარტივებთ ამ მაგალითს (უბრალოდ!) ჩვეულებრივი ნომერი(დიახ, ჯანდაბა იმ ასოებით).

მაგრამ სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებდეთ, თქვენ უნდა შეძლოთ წილადების და ფაქტორების მრავალწევრების მართვა. ამიტომ, პირველ რიგში, თუ ეს აქამდე არ გაგიკეთებიათ, აუცილებლად დაეუფლეთ თემებს "" და "".

წაიკითხეთ? თუ კი, მაშინ მზად ხართ.

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები

ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ძირითად ტექნიკას, რომლებიც გამოიყენება გამონათქვამების გასამარტივებლად.

მათგან ყველაზე მარტივია

1. მსგავსის მოტანა

რა მსგავსია? თქვენ ეს გაიარეთ მე-7 კლასში, როდესაც რიცხვების ნაცვლად მათემატიკაში ასოები პირველად გამოჩნდა. მსგავსია ტერმინები (მონომები) ერთი და იგივე ასო ნაწილით. მაგალითად, მთლიანობაში ტერმინების მსგავსად- ეს და.

Გაიხსენა?

მსგავსი ტერმინების მოტანა ნიშნავს ერთმანეთს რამდენიმე მსგავსი ტერმინის დამატებას და ერთი ტერმინის მიღებას.

მაგრამ როგორ შეგვიძლია ასოების შეკრება? - გეკითხებით.

ამის გაგება ძალიან ადვილია, თუ წარმოიდგენთ, რომ ასოები რაღაც საგნებია. მაგალითად, წერილი არის სკამი. მაშინ რა არის გამოხატულება? ორ სკამს პლუს სამი სკამი, რამდენი იქნება? მართალია, სკამები: .

ახლა სცადეთ ეს გამოთქმა:

იმისათვის, რომ არ დაბნეული, დაე სხვადასხვა ასოებიწარმოადგენენ სხვადასხვა ნივთებს. მაგალითად, - ეს არის (ჩვეულებისამებრ) სკამი და - ეს არის მაგიდა. შემდეგ:

სკამები მაგიდები სკამი მაგიდები სკამები სკამები მაგიდები

რიცხვები, რომლებითაც მრავლდება ასოები ასეთ ტერმინებში, ეწოდება კოეფიციენტები. მაგალითად, მონომში კოეფიციენტი ტოლია. და ის თანაბარია.

ასე რომ, მსგავსების შემოტანის წესი:

მაგალითები:

მოიყვანეთ მსგავსი:

პასუხები:

2. (და მსგავსია, ვინაიდან, მაშასადამე, ამ ტერმინებს აქვთ იგივე ასო ნაწილი).

2. ფაქტორიზაცია

ეს ჩვეულებრივ ყველაზე მეტია მთავარი ნაწილიგამონათქვამების გამარტივებაში. მას შემდეგ, რაც თქვენ მიიღებთ მსგავსებს, ყველაზე ხშირად მიღებული გამოხატულება უნდა იყოს ფაქტორირებული, ანუ წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი. ეს განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია წილადებში: ბოლოს და ბოლოს, წილადის შესამცირებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა იყოს წარმოდგენილი ნამრავლის სახით.

თქვენ გაიარეთ გამონათქვამების ფაქტორინგის დეტალური მეთოდები თემაში "", ასე რომ, აქ თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ ის, რაც ისწავლეთ. ამისათვის გადაწყვიტეთ რამდენიმე მაგალითები(გამოირიცხება):

გადაწყვეტილებები:

3. წილადის შემცირება.

აბა, რა შეიძლება იყოს იმაზე ლამაზი, ვიდრე მრიცხველისა და მნიშვნელის ნაწილის გადაკვეთა და მათი ცხოვრებიდან გადაგდება?

ეს არის აბრევიატურის სილამაზე.

Ეს მარტივია:

თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე ფაქტორებს, ისინი შეიძლება შემცირდეს, ანუ ამოღებულ იქნეს წილადიდან.

ეს წესი გამომდინარეობს წილადის ძირითადი თვისებიდან:

ანუ შემცირების ოპერაციის არსი ისაა წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვყოფთ იმავე რიცხვზე (ან იგივე გამოსახულებით).

წილადის შესამცირებლად საჭიროა:

1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება

2) თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს საერთო ფაქტორები, მათი წაშლა შესაძლებელია.

პრინციპი, ვფიქრობ, გასაგებია?

ერთზე მინდა გავამახვილო ყურადღება ტიპიური შეცდომაშემცირებისას. მართალია ეს თემა მარტივია, მაგრამ ბევრი ადამიანი ყველაფერს არასწორად აკეთებს, ამას ვერ ხვდება გაჭრა- ეს ნიშნავს გაყოფამრიცხველი და მნიშვნელი ერთი და იგივე რიცხვით.

არ არის შემოკლებები, თუ მრიცხველი ან მნიშვნელი არის ჯამი.

მაგალითად: გამარტივება გჭირდებათ.

ზოგი ამას აკეთებს: რაც აბსოლუტურად არასწორია.

კიდევ ერთი მაგალითი: შემცირება.

"ყველაზე ჭკვიანი" ამას გააკეთებს:.

მითხარი რა არის აქ? როგორც ჩანს: - ეს არის მულტიპლიკატორი, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ.

მაგრამ არა: - ეს არის მხოლოდ ერთი ტერმინის კოეფიციენტი მრიცხველში, მაგრამ თავად მრიცხველი მთლიანობაში არ იშლება ფაქტორებად.

აი კიდევ ერთი მაგალითი: .

ეს გამონათქვამი დაიშალა ფაქტორებად, რაც ნიშნავს, რომ შეგიძლიათ შეამციროთ, ანუ გაყოთ მრიცხველი და მნიშვნელი და შემდეგ:

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაყოთ:

ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, გახსოვდეთ ადვილი გზაროგორ განვსაზღვროთ, არის თუ არა გამოხატვის ფაქტორი:

არითმეტიკული ოპერაცია, რომელიც ბოლო შესრულებულია გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლისას არის "მთავარი". ანუ, თუ თქვენ ჩაანაცვლებთ რამდენიმე (ნებისმიერ) რიცხვს ასოების ნაცვლად და ცდილობთ გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა, მაშინ თუ ბოლო მოქმედება არის გამრავლება, მაშინ გვაქვს ნამრავლი (გამოხატვა იშლება ფაქტორებად). თუ ბოლო მოქმედება არის შეკრება ან გამოკლება, ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება არ არის ფაქტორიზებული (და შესაბამისად, შეუძლებელია მისი შემცირება).

გამოსასწორებლად, თავად მოაგვარეთ რამდენიმე მაგალითები:

პასუხები:

1. იმედია მაშინვე არ იჩქარეთ მოჭრა და? ჯერ კიდევ არ იყო საკმარისი ასეთი ერთეულების "შემცირება":

პირველი ნაბიჯი უნდა იყოს ფაქტორიზაცია:

4. წილადების შეკრება და გამოკლება. წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან.

შეკრება და გამოკლება ჩვეულებრივი წილადები- ოპერაცია კარგად არის ცნობილი: ჩვენ ვეძებთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ კოეფიციენტზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს. გავიხსენოთ:

პასუხები:

1. მნიშვნელები და არიან თანაპირველი, ანუ არ აქვთ საერთო ფაქტორები. ამრიგად, ამ რიცხვების LCM უდრის მათ ნამრავლს. ეს იქნება საერთო მნიშვნელი:

2. აქ საერთო მნიშვნელია:

3. აქ პირველი შერეული ფრაქციებიგადააქციეთ ისინი არასწორად, შემდეგ კი - ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით:

სულ სხვა საკითხია, თუ წილადები შეიცავს ასოებს, მაგალითად:

დავიწყოთ მარტივი:

ა) მნიშვნელები არ შეიცავს ასოებს

აქ ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ციფრულ წილადებში: ჩვენ ვპოულობთ საერთო მნიშვნელს, ვამრავლებთ თითოეულ წილადს გამოტოვებულ ფაქტორზე და ვამატებთ/გამოკლებთ მრიცხველებს:

ახლა მრიცხველში შეგიძლიათ მოიტანოთ მსგავსები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, და შეაფასოთ ისინი:

თავად სცადე:

ბ) მნიშვნელები შეიცავს ასოებს

გავიხსენოთ ასოების გარეშე საერთო მნიშვნელის პოვნის პრინციპი:

პირველ რიგში განვსაზღვრავთ საერთო ფაქტორებს;

შემდეგ ერთხელ ვწერთ ყველა საერთო ფაქტორს;

და გავამრავლოთ ისინი ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

მნიშვნელების საერთო ფაქტორების დასადგენად, ჩვენ პირველ რიგში ვყოფთ მათ მარტივ ფაქტორებად:

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ საერთო ფაქტორებს:

ახლა ჩვენ ერთხელ ვწერთ საერთო ფაქტორებს და ვუმატებთ მათ ყველა არაჩვეულებრივ (ხაზგასმული) ფაქტორებს:

ეს არის საერთო მნიშვნელი.

დავუბრუნდეთ წერილებს. მნიშვნელები მოცემულია ზუსტად იგივე გზით:

მნიშვნელებს ვანაწილებთ ფაქტორებად;

საერთო (იდენტური) მამრავლების განსაზღვრა;

ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი;

ჩვენ მათ ვამრავლებთ ყველა სხვა ფაქტორზე და არა ჩვეულებრივზე.

ასე რომ, თანმიმდევრობით:

1) დაშალეთ მნიშვნელები ფაქტორებად:

2) განსაზღვრეთ საერთო (იდენტური) ფაქტორები:

3) ერთხელ ჩამოწერეთ ყველა საერთო ფაქტორი და გაამრავლეთ ყველა სხვა (ხაზგასმული) ფაქტორებზე:

ასე რომ, საერთო მნიშვნელი აქ არის. პირველი წილადი უნდა გავამრავლოთ, მეორე - -ზე:

სხვათა შორის, არის ერთი ხრიკი:

Მაგალითად: .

ჩვენ ვხედავთ იგივე ფაქტორებს მნიშვნელებში, მხოლოდ ყველაფერს სხვადასხვა მაჩვენებლები. საერთო მნიშვნელი იქნება:

რამდენადაც

რამდენადაც

რამდენადაც

ხარისხით.

მოდით გავართულოთ დავალება:

როგორ გავაკეთო წილადებს ერთი და იგივე მნიშვნელი?

გავიხსენოთ წილადის ძირითადი თვისება:

არსად არ არის ნათქვამი, რომ ერთი და იგივე რიცხვი შეიძლება გამოკლდეს (ან დაემატოს) წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს. იმიტომ რომ სიმართლე არ არის!

იხილეთ თქვენთვის: აიღეთ ნებისმიერი წილადი, მაგალითად, და დაამატეთ მრიცხველს და მნიშვნელს, მაგალითად, . რა ისწავლეს?

ასე რომ, კიდევ ერთი ურყევი წესი:

როცა წილადებს მიიყვანთ საერთო მნიშვნელთან, გამოიყენეთ მხოლოდ გამრავლების ოპერაცია!

მაგრამ რა გჭირდებათ გასამრავლებლად მისაღებად?

აქ და გაამრავლე. და გავამრავლოთ:

გამონათქვამებს, რომელთა ფაქტორიზაცია შეუძლებელია, ეწოდება "ელემენტარული ფაქტორები". მაგალითად, ელემენტარული ფაქტორია. - ძალიან. მაგრამ - არა: ის იშლება ფაქტორებად.

რაც შეეხება გამოხატვას? ელემენტარულია?

არა, რადგან ის შეიძლება იყოს ფაქტორიზებული:

(ფაქტორიზაციის შესახებ უკვე წაიკითხეთ თემაში "").

ასე რომ, ელემენტარული ფაქტორები, რომლებშიც თქვენ ანაწილებთ გამოხატვას ასოებით, არის ანალოგი ძირითადი ფაქტორებირომელშიც ანაწილებთ რიცხვებს. და ჩვენც იგივეს გავაკეთებთ მათთან ერთად.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე მნიშვნელს აქვს ფაქტორი. ძალაუფლებაში საერთო მნიშვნელზე წავა (გახსოვს რატომ?).

მულტიპლიკატორი ელემენტარულია და მათ არ აქვთ საერთო, რაც ნიშნავს, რომ პირველი წილადი უბრალოდ უნდა გამრავლდეს მასზე:

Სხვა მაგალითი:

გამოსავალი:

სანამ ამ მნიშვნელებს პანიკაში გაამრავლებთ, უნდა იფიქროთ, როგორ მოახდინო მათი ფაქტორი? ორივე მათგანი წარმოადგენს:

შესანიშნავი! შემდეგ:

Სხვა მაგალითი:

გამოსავალი:

ჩვეულებისამებრ, ჩვენ ვანაწილებთ მნიშვნელებს. პირველ მნიშვნელში უბრალოდ ფრჩხილებიდან გამოვყავით; მეორეში - კვადრატების სხვაობა:

როგორც ჩანს, საერთო ფაქტორები არ არსებობს. მაგრამ თუ კარგად დააკვირდებით, ისინი უკვე ძალიან ჰგვანან... და სიმართლე ისაა:

ასე რომ დავწეროთ:

ანუ ასე გამოვიდა: ფრჩხილის შიგნით გავცვალეთ ტერმინები და ამავდროულად, წილადის წინ ნიშანი პირიქით შეიცვალა. გაითვალისწინეთ, ამის გაკეთება ხშირად მოგიწევთ.

ახლა ჩვენ მივყავართ საერთო მნიშვნელთან:

Გავიგე? ახლა შევამოწმოთ.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

პასუხები:

აქ კიდევ ერთი რამ უნდა გვახსოვდეს - კუბების განსხვავება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მეორე წილადის მნიშვნელი არ შეიცავს ფორმულას "ჯამის კვადრატი"! ჯამის კვადრატი ასე გამოიყურება:

A არის ჯამის ეგრეთ წოდებული არასრული კვადრატი: მასში მეორე წევრი არის პირველი და ბოლო ნამრავლი და არა მათი გაორმაგებული ნამრავლი. ჯამის არასრული კვადრატი კუბების სხვაობის გაფართოების ერთ-ერთი ფაქტორია:

რა მოხდება, თუ უკვე არის სამი წილადი?

დიახ, იგივე! უპირველეს ყოვლისა, მოდით, ასე მოვიქცეთ მაქსიმალური თანხამნიშვნელებში ფაქტორები იგივე იყო:

ყურადღება მიაქციეთ: თუ თქვენ შეცვლით ნიშნებს ერთი ფრჩხილის შიგნით, ნიშანი წილადის წინ იცვლება საპირისპიროდ. როდესაც ვცვლით ნიშნებს მეორე ფრჩხილში, წილადის წინ ნიშანი ისევ უკუღმა ხდება. შედეგად, ის (ნიშანი წილადის წინ) არ შეცვლილა.

პირველ მნიშვნელს სრულად ვწერთ საერთო მნიშვნელში, შემდეგ კი მას ვამატებთ ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც ჯერ არ არის დაწერილი, მეორედან, შემდეგ კი მესამედან (და ასე შემდეგ, თუ მეტი წილადია). ანუ ასე მიდის:

ჰმ... წილადებით, გასაგებია, რა უნდა გააკეთოს. მაგრამ რაც შეეხება ორს?

ეს მარტივია: თქვენ იცით, როგორ დაამატოთ წილადები, არა? ასე რომ, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ დეუზა ხდება წილადი! გახსოვდეთ: წილადი არის გაყოფის ოპერაცია (მრიცხველი იყოფა მნიშვნელზე, თუ მოულოდნელად დაგავიწყდათ). და არაფერია უფრო ადვილი ვიდრე რიცხვის გაყოფა. ამ შემთხვევაში, თავად რიცხვი არ შეიცვლება, მაგრამ გადაიქცევა წილადად:

ზუსტად ის, რაც საჭიროა!

5. წილადების გამრავლება და გაყოფა.

ისე, უმძიმესი ნაწილი ახლა დასრულდა. და ჩვენ წინ არის ყველაზე მარტივი, მაგრამ ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანი:

Პროცედურა

როგორია დათვლის პროცედურა რიცხვითი გამოხატულება? გახსოვდეთ, გაითვალისწინეთ ასეთი გამონათქვამის მნიშვნელობა:

დაითვალეთ?

უნდა იმუშაოს.

ასე რომ, შეგახსენებთ.

პირველი ნაბიჯი არის ხარისხის გამოთვლა.

მეორე არის გამრავლება და გაყოფა. თუ ერთდროულად არის რამდენიმე გამრავლება და გაყოფა, შეგიძლიათ გააკეთოთ ისინი ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

და ბოლოს, ვასრულებთ შეკრებას და გამოკლებას. ისევ, ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

მაგრამ: ფრჩხილებში გამოსახული გამოხატულება შეფასებულია უწესრიგოდ!

თუ რამდენიმე ფრჩხილები გამრავლებულია ან იყოფა ერთმანეთზე, ჯერ ვაფასებთ გამონათქვამს თითოეულ ფრჩხილში და შემდეგ ვამრავლებთ ან ვყოფთ.

რა მოხდება, თუ ფრჩხილებში არის სხვა ფრჩხილები? კარგი, დავფიქრდეთ: ფრჩხილებში რაღაც გამოთქმა წერია. რა არის პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ გამოხატვის შეფასებისას? მართალია, გამოთვალეთ ფრჩხილები. კარგად, ჩვენ გავარკვიეთ: ჯერ ვიანგარიშებთ შიდა ფრჩხილებს, შემდეგ ყველაფერს.

ასე რომ, ზემოთ მოცემული გამოხატვის მოქმედებების თანმიმდევრობა ასეთია (მიმდინარე მოქმედება მონიშნულია წითლად, ანუ ის მოქმედება, რომელსაც ახლა ვასრულებ):

კარგი, ეს ყველაფერი მარტივია.

მაგრამ ეს არ არის იგივე, რაც ასოებით გამოხატვა, არა?

არა, იგივეა! მხოლოდ ნაცვლად არითმეტიკული მოქმედებებითქვენ უნდა გააკეთოთ ალგებრული, ანუ წინა ნაწილში აღწერილი მოქმედებები: მსგავსის მოტანა, წილადების შეკრება, წილადების შემცირება და ა.შ. ერთადერთი განსხვავება იქნება მრავალწევრების ფაქტორინგის მოქმედება (ხშირად ვიყენებთ წილადებთან მუშაობისას). ყველაზე ხშირად, ფაქტორიზაციისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ i ან უბრალოდ ამოიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან.

როგორც წესი, ჩვენი მიზანია გამოვხატოთ გამოხატულება, როგორც პროდუქტი ან კოეფიციენტი.

Მაგალითად:

მოდით გავამარტივოთ გამოთქმა.

1) ჯერ ვამარტივებთ ფრჩხილებში გამოსახულებას. აქ გვაქვს წილადების სხვაობა და ჩვენი მიზანია წარმოვაჩინოთ იგი ნამრავლის ან კოეფიციენტის სახით. ასე რომ, ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან და ვამატებთ:

ამ გამოთქმის შემდგომი გამარტივება შეუძლებელია, აქ ყველა ფაქტორი ელემენტარულია (ჯერ კიდევ გახსოვთ რას ნიშნავს ეს?).

2) ჩვენ ვიღებთ:

წილადების გამრავლება: რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი.

3) ახლა შეგიძლიათ შეამციროთ:

კარგი, ახლა ყველაფერი დასრულდა. არაფერი რთული, არა?

Სხვა მაგალითი:

გამოხატვის გამარტივება.

ჯერ შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ეს და მხოლოდ ამის შემდეგ შეხედეთ გამოსავალს.

პირველ რიგში განვსაზღვროთ პროცედურა. ჯერ ფრჩხილებში დავამატოთ წილადები, ორი წილადის ნაცვლად ერთი გამოვა. შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ წილადების დაყოფას. კარგად, ჩვენ ვამატებთ შედეგს ბოლო წილადით. სქემატურად ჩამოვთვლი ნაბიჯებს:

ახლა მე გაჩვენებთ მთელ პროცესს, მიმდინარე მოქმედებას წითლად ვღებავ:

ბოლოს ორ სასარგებლო რჩევას მოგცემთ:

1. მსგავსების არსებობის შემთხვევაში დაუყოვნებლივ უნდა მოიყვანონ. რომელ მომენტშიც არ უნდა გვქონდეს მსგავსი, მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ მოვიტანოთ ისინი.

2. იგივე ეხება წილადების შემცირებას: როგორც კი გაჩნდება შემცირების შესაძლებლობა, ის უნდა იქნას გამოყენებული. გამონაკლისი არის წილადები, რომლებსაც უმატებთ ან აკლებთ: თუ აქვთ იგივე მნიშვნელები, მაშინ შემცირება მოგვიანებით უნდა დარჩეს.

აქ მოცემულია რამდენიმე დავალება, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

და დაპირდა თავიდანვე:

გადაწყვეტილებები (მოკლე):

თუ თქვენ გაუმკლავდით მინიმუმ პირველ სამ მაგალითს, მაშინ გაითვალისწინეთ, რომ აითვისეთ თემა.

ახლა გადადით სწავლაზე!

გამოხატვის კონვერტაცია. შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა

ძირითადი გამარტივების ოპერაციები:

• მსგავსის მოტანა: მსგავსი ტერმინების დასამატებლად (შემცირებისთვის) საჭიროა მათი კოეფიციენტების დამატება და ასოს ნაწილის მინიჭება.
• ფაქტორიზაცია:საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება, გამოყენება და ა.შ.
• ფრაქციების შემცირება: წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთი და იგივე არანულოვანი რიცხვით, საიდანაც წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება.
  1) მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზირება
  2) თუ არის საერთო ფაქტორები მრიცხველსა და მნიშვნელში, მათი გადაკვეთა შესაძლებელია.

  მნიშვნელოვანია: მხოლოდ მულტიპლიკატორები შეიძლება შემცირდეს!

• წილადების შეკრება და გამოკლება:
  ;
• წილადების გამრავლება და გაყოფა:
  ;

ამ სტატიაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ალგებრული წილადების შემცირება. ჯერ გავარკვიოთ, რას ნიშნავს ტერმინი „ალგებრული წილადის შემცირება“ და გავარკვიოთ არის თუ არა ალგებრული წილადი ყოველთვის შემცირებადი. შემდეგი, ჩვენ ვაძლევთ წესს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს განვახორციელოთ ეს ტრანსფორმაცია. და ბოლოს, განიხილეთ გადაწყვეტილებები დამახასიათებელი მაგალითებირაც საშუალებას მოგცემთ გაიგოთ პროცესის ყველა დახვეწილობა.

გვერდის ნავიგაცია.

რას ნიშნავს ალგებრული წილადის შემცირება?

სწავლისას ვისაუბრეთ მათ შემცირებაზე. ჩვენ ვუწოდეთ მისი მრიცხველისა და მნიშვნელის გაყოფა საერთო ფაქტორზე. მაგალითად, საერთო წილადი 30/54 შეიძლება შემცირდეს 6-ით (ანუ გავყოთ 6-ზე მისი მრიცხველი და მნიშვნელი), რაც მიგვიყვანს წილად 5/9-მდე.

ალგებრული წილადის შემცირება გაგებულია, როგორც მსგავსი მოქმედება. ალგებრული წილადის შემცირებაარის მისი მრიცხველის და მნიშვნელის გაყოფა საერთო ფაქტორზე. მაგრამ თუ ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება იყოს მხოლოდ რიცხვი, მაშინ ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო კოეფიციენტი შეიძლება იყოს პოლინომი, კერძოდ, მონომი ან რიცხვი.

მაგალითად, ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს 3-ით, რომელიც იძლევა წილადს . ასევე შესაძლებელია x ცვლადზე შემცირება, რაც გამოიწვევს გამოხატულებას . თავდაპირველი ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს მონომიით 3 x, ასევე ნებისმიერი მრავალწევრით x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y ან 3 x 2 +6 x y .

ალგებრული წილადის შემცირების საბოლოო მიზანი არის წილადის მეტის მიღება მარტივი ფორმა, in საუკეთესო შემთხვევა- შეუქცევადი წილადი.

ექვემდებარება თუ არა რაიმე ალგებრული წილადი შემცირებას?

ჩვენ ვიცით, რომ ჩვეულებრივი წილადები იყოფა . შეუქცევადი წილადებიმრიცხველში და მნიშვნელში ერთიანობის გარდა არ აქვთ საერთო ფაქტორები, შესაბამისად, ისინი არ ექვემდებარება შემცირებას.

ალგებრულ წილადებს შეიძლება ჰქონდეთ ან არ ჰქონდეთ საერთო მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორები. საერთო ფაქტორების არსებობისას შესაძლებელია ალგებრული წილადის შემცირება. თუ არ არსებობს საერთო ფაქტორები, მაშინ შეუძლებელია ალგებრული წილადის გამარტივება მისი შემცირების გზით.

AT ზოგადი შემთხვევა on გარეგნობაალგებრული წილადი, საკმაოდ რთულია იმის დადგენა, შესაძლებელია თუ არა მისი შემცირება. ეჭვგარეშეა, ზოგ შემთხვევაში აშკარაა მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები. მაგალითად, აშკარად ჩანს, რომ ალგებრული წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვს საერთო კოეფიციენტი 3. ასევე ადვილი მისახვედრია, რომ ალგებრული წილადი შეიძლება შემცირდეს x-ით, y-ით ან დაუყოვნებლივ x·y-ით. მაგრამ ბევრად უფრო ხშირად, ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორი დაუყოვნებლივ არ ჩანს და უფრო ხშირად ის უბრალოდ არ არსებობს. მაგალითად, წილადი შეიძლება შემცირდეს x−1-ით, მაგრამ ეს საერთო ფაქტორი აშკარად არ არის აღნიშვნაში. და ალგებრული წილადი არ შეიძლება შემცირდეს, რადგან მის მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო ფაქტორები.

ზოგადად, ალგებრული წილადის შეკუმშვის საკითხი ძალიან რთულია. და ზოგჯერ უფრო ადვილია პრობლემის გადაჭრა ალგებრული წილადის თავდაპირველი ფორმით მუშაობის გზით, ვიდრე იმის გარკვევა, შეიძლება თუ არა ეს წილადის წინასწარ შემცირება. მაგრამ მაინც, არის გარდაქმნები, რომლებიც ზოგიერთ შემთხვევაში საშუალებას იძლევა, შედარებით მცირე ძალისხმევით, ვიპოვოთ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, ან დავასკვნათ, რომ საწყისი ალგებრული წილადი შეუქცევადია. ეს ინფორმაცია გამოქვეყნდება მომდევნო პუნქტში.

ალგებრული წილადის შემცირების წესი

წინა აბზაცების ინფორმაცია საშუალებას გაძლევთ ბუნებრივად აღიქვათ შემდეგი ალგებრული წილადის შემცირების წესი, რომელიც შედგება ორი ეტაპისგან:

• პირველ რიგში, გვხვდება საწყისი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები;
• ასეთის არსებობის შემთხვევაში, მაშინ ხდება ამ ფაქტორების შემცირება.

გამოცხადებული წესის ეს ნაბიჯები დაზუსტებას საჭიროებს.

ყველაზე მოსახერხებელი გზასაერთო პოვნა არის მრავალწევრების ფაქტორიზირება საწყისი ალგებრული წილადის მრიცხველში და მნიშვნელში. ამ შემთხვევაში მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორები მაშინვე ხილული ხდება, ან ცხადი ხდება, რომ საერთო ფაქტორები არ არსებობს.

თუ არ არსებობს საერთო ფაქტორები, მაშინ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ალგებრული წილადი შეუქცევადია. თუ საერთო ფაქტორები იქნა ნაპოვნი, მაშინ მეორე ეტაპზე ისინი მცირდება. შედეგი არის უფრო მარტივი ფორმის ახალი ფრაქცია.

ალგებრული წილადების შემცირების წესი ემყარება ალგებრული წილადის ძირითად თვისებას, რომელიც გამოიხატება ტოლობით, სადაც a , b და c არის რამდენიმე მრავალწევრი, ხოლო b და c არ არის ნულოვანი. პირველ საფეხურზე თავდაპირველი ალგებრული წილადი მცირდება ფორმამდე, საიდანაც ჩანს საერთო ფაქტორი c, ხოლო მეორე საფეხურზე ხდება შემცირება - გადასვლა წილადზე.

მოდით გადავიდეთ მაგალითების ამოხსნაზე ამ წესის გამოყენებით. მათზე ჩვენ გავაანალიზებთ ყველა შესაძლო ნიუანსს, რომელიც წარმოიქმნება ალგებრული წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორებად დაშლისა და შემდგომი შემცირებისას.

ტიპიური მაგალითები

ჯერ უნდა თქვათ ალგებრული წილადების შემცირებაზე, რომელთა მრიცხველი და მნიშვნელი ერთი და იგივეა. ასეთი წილადები ერთნაირად უდრის მასში შემავალი ცვლადების მთელ ODZ-ს, მაგალითად,
და ა.შ.

ახლა არ მტკივა იმის გახსენება, თუ როგორ ხდება ჩვეულებრივი წილადების შემცირება - ისინი ხომ ალგებრული წილადების განსაკუთრებული შემთხვევაა. ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში ნატურალური რიცხვები, რის შემდეგაც მცირდება საერთო ფაქტორები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). Მაგალითად, . იდენტური ძირითადი ფაქტორების ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს გრადუსების სახით, ხოლო შემცირების შემთხვევაში გამოყენება. ამ შემთხვევაში გამოსავალი ასე გამოიყურება: , აქ მრიცხველი და მნიშვნელი გავყავით საერთო კოეფიციენტზე 2 2 3 . ან, მეტი სიცხადისთვის, გამრავლებისა და გაყოფის თვისებებზე დაყრდნობით, გამოსავალი წარმოდგენილია ფორმით.

აბსოლუტურად მსგავსი პრინციპების მიხედვით ხდება ალგებრული წილადების შემცირება, რომელთა მრიცხველსა და მნიშვნელში არის მონომები მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.

მაგალითი.

ალგებრული წილადის შემცირება .

გამოსავალი.

თქვენ შეგიძლიათ წარმოადგინოთ ორიგინალური ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი, როგორც მარტივი ფაქტორების და ცვლადების ნამრავლი, შემდეგ კი განახორციელოთ შემცირება:

მაგრამ უფრო რაციონალურია ამოხსნის დაწერა, როგორც გამოხატვის ძალა:

პასუხი:

.

რაც შეეხება ალგებრული წილადების შემცირებას, რომლებსაც აქვთ წილადი რიცხვითი კოეფიციენტები მრიცხველში და მნიშვნელში, შეგიძლიათ გააკეთოთ ორი რამ: ან ცალ-ცალკე გაყოთ ეს წილადი კოეფიციენტები, ან ჯერ გაათავისუფლოთ წილადი კოეფიციენტები მრიცხველისა და მნიშვნელის რამდენიმეზე გამრავლებით. ბუნებრივი რიცხვი. ჩვენ ვისაუბრეთ ბოლო ტრანსფორმაციაზე სტატიაში, რომელიც ალგებრულ წილადს ახალ მნიშვნელამდე მიჰყავს, ის შეიძლება განხორციელდეს ალგებრული წილადის ძირითადი თვისების გამო. მოდით გავუმკლავდეთ ამას მაგალითით.

მაგალითი.

შეასრულეთ წილადის შემცირება.

გამოსავალი.

თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი შემდეგნაირად: .

და წილადი კოეფიციენტებისგან თავის დაღწევა შესაძლებელი იყო ჯერ მრიცხველისა და მნიშვნელის ამ კოეფიციენტების მნიშვნელებზე, ანუ LCM(5, 10)=10-ზე გამრავლებით. ამ შემთხვევაში გვაქვს .

პასუხი:

.

შეგიძლიათ გადახვიდეთ ალგებრულ წილადებზე ზოგადი ხედი, რომლის მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც შეიძლება ჰქონდეს როგორც რიცხვები, ასევე მონომები და მრავალწევრები.

ასეთი წილადების შემცირებისას მთავარი პრობლემა ის არის, რომ მრიცხველისა და მნიშვნელის საერთო ფაქტორი ყოველთვის არ ჩანს. უფრო მეტიც, ის ყოველთვის არ არსებობს. იმისათვის, რომ იპოვოთ საერთო ფაქტორი ან დარწმუნდეთ, რომ ის არ არსებობს, საჭიროა ალგებრული წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის ფაქტორიზაცია.

მაგალითი.

შემცირება რაციონალური წილადი .

გამოსავალი.

ამისათვის ჩვენ ვამრავლებთ მრავალწევრებს მრიცხველსა და მნიშვნელში. დავიწყოთ ფრჩხილებით: . ცხადია, ფრჩხილებში ჩასმული გამონათქვამები შეიძლება გარდაიქმნას გამოყენებით