ბუნებრივი ლოგარითმი

ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის გრაფიკი. ფუნქცია ნელ-ნელა უახლოვდება დადებით უსასრულობას როგორც xდა სწრაფად უახლოვდება უარყოფით უსასრულობას, როცა xმიდრეკილია 0-მდე ("ნელი" და "სწრაფი" ნებისმიერთან შედარებით დენის ფუნქციადან x).

ბუნებრივი ლოგარითმიარის საბაზისო ლოგარითმი , სად ეარის ირაციონალური მუდმივი, რომელიც უდრის დაახლოებით 2.718281 828-ს. ბუნებრივი ლოგარითმი ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც ln( x), ჟურნალი ე (x) ან ზოგჯერ უბრალოდ შესვლა ( x) თუ ბაზა ენაგულისხმევი.

რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი x(იწერება როგორც ჟურნალი (x)) არის მაჩვენებელი, რომელზეც გსურთ რიცხვის გაზრდა ე, მისაღებად x. Მაგალითად, ln(7,389...)უდრის 2-ს, რადგან ე 2 =7,389... . თავად რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი ე (ln(e)) უდრის 1-ს, რადგან ე 1 = ე, ა ბუნებრივი ლოგარითმი 1 (ჟურნალი (1)) არის 0 იმიტომ ე 0 = 1.

ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი დადებითი რეალური რიცხვისთვის აროგორც მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი წ = 1/x 1-დან ა. ამ განმარტების სიმარტივე, რომელიც შეესაბამება ბევრ სხვა ფორმულას, რომლებიც იყენებენ ბუნებრივ ლოგარითმს, გამოიწვია სახელწოდება "ბუნებრივი". ეს განმარტება შეიძლება გავრცელდეს კომპლექსურ რიცხვებზე, რომლებიც ქვემოთ იქნება განხილული.

თუ ბუნებრივ ლოგარითმს განვიხილავთ, როგორც რეალური ცვლადის ნამდვილ ფუნქციას, მაშინ ის არის შებრუნებული ფუნქცია ექსპონენციალური ფუნქცია, რაც იწვევს იდენტობებს:

ყველა ლოგარითმის მსგავსად, ბუნებრივი ლოგარითმი ასახავს გამრავლებას შეკრებაზე:

ამრიგად, ლოგარითმული ფუნქცია არის დადებითი ჯგუფის იზომორფიზმი რეალური რიცხვებიჯგუფზე გამრავლების მიმართ რეალური რიცხვებიდამატებით, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფუნქცია:

ლოგარითმი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი დადებითი ბაზისთვის, გარდა 1-ისა და არა მხოლოდ ე, მაგრამ სხვა ბაზების ლოგარითმები განსხვავდება მხოლოდ ბუნებრივი ლოგარითმისგან მუდმივი ფაქტორიდა ჩვეულებრივ განისაზღვრება ბუნებრივი ლოგარითმის მიხედვით. ლოგარითმები სასარგებლოა განტოლებების გადასაჭრელად, რომლებშიც უცნობიები წარმოდგენილია მაჩვენებლის სახით. მაგალითად, ლოგარითმები გამოიყენება საპოვნელად დაშლის მუდმივიამისთვის ცნობილი პერიოდინახევარგამოყოფის პერიოდი, ან რადიოაქტიურობის პრობლემების გადაჭრაში დაშლის დროის საპოვნელად. Ისინი თამაშობენ მნიშვნელოვანი როლიმათემატიკის მრავალ სფეროში და გამოყენებითი მეცნიერებები, გამოიყენება ფინანსებში მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად, მათ შორის რთული პროცენტის მოსაძებნად.

ამბავი

ბუნებრივი ლოგარითმის პირველი ნახსენები ნიკოლას მერკატორმა თავის ნაშრომში გააკეთა ლოგარითმოტექნიაგამოქვეყნდა 1668 წელს, თუმცა მათემატიკის მასწავლებელმა ჯონ სპაიდელმა შეადგინა ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილი ჯერ კიდევ 1619 წელს. ადრე მას ჰიპერბოლურ ლოგარითმს ეძახდნენ, რადგან იგი შეესაბამება ჰიპერბოლის ქვეშ არსებულ ფართობს. მას ზოგჯერ უწოდებენ ნაპიერის ლოგარითმს, თუმცა ამ ტერმინის თავდაპირველი მნიშვნელობა გარკვეულწილად განსხვავებული იყო.

ნოტაციის კონვენციები

ბუნებრივი ლოგარითმი ჩვეულებრივ აღინიშნება "ln( x)", ბაზის 10 ლოგარითმი "lg ( x)", და ჩვეულებრივ მიეთითება სხვა საფუძვლები ცალსახად "log" სიმბოლოთი.

ბევრ ნაშრომში დისკრეტული მათემატიკის, კიბერნეტიკის, კომპიუტერული მეცნიერების შესახებ, ავტორები იყენებენ აღნიშვნას „log( x)" ლოგარითმებისთვის მე-2 საფუძვლამდე, მაგრამ ეს კონვენცია არ არის საყოველთაოდ მიღებული და საჭიროებს განმარტებას, ან გამოყენებული აღნიშვნების ჩამონათვალში, ან (თუ ასეთი სია არ არსებობს) სქოლიო ან კომენტარი პირველი გამოყენებისას.

ლოგარითმის არგუმენტის ირგვლივ ფრჩხილები (თუ ეს არ იწვევს ფორმულის არასწორ წაკითხვას) ჩვეულებრივ გამოტოვებულია, ხოლო ლოგარითმის ხარისხზე აყვანისას, მაჩვენებელს პირდაპირ მიაწერენ ლოგარითმის ნიშანს: ln 2 ln 3. 4 x 5 = [ ლნ ( 3 )] 2 .

ანგლო-ამერიკული სისტემა

მათემატიკოსები, სტატისტიკოსები და ზოგიერთი ინჟინერი ჩვეულებრივ იყენებენ ან "log( x)", ან "ln( x)" , და ლოგარითმის აღსანიშნავად 10 ფუძეზე - "log 10 ( x)».

ზოგიერთი ინჟინერი, ბიოლოგი და სხვა პროფესიონალი ყოველთვის წერს "ln( x)" (ან ზოგჯერ "log e ( x)") როდესაც ისინი გულისხმობენ ბუნებრივ ლოგარითმს და აღნიშვნას "log( x)" ნიშნავს ჟურნალს 10 ( x).

ჟურნალი ეარის „ბუნებრივი“ ლოგარითმი, რადგან ის ავტომატურად ჩნდება და ძალიან ხშირად ჩნდება მათემატიკაში. მაგალითად, განვიხილოთ ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებულის პრობლემა:

თუ ბაზა ბუდრის ე, მაშინ წარმოებული არის უბრალოდ 1/ x, და როცა x= 1 ეს წარმოებული უდრის 1-ს. კიდევ ერთი დასაბუთება, რომლის საფუძველი ელოგარითმი ყველაზე ბუნებრივია, არის ის, რომ ის შეიძლება საკმაოდ მარტივად განისაზღვროს მარტივი ინტეგრალიან ტეილორის სერია, რომელიც არ შეიძლება ითქვას სხვა ლოგარითმებზე.

ბუნებრიობის შემდგომი დასაბუთებები არ არის დაკავშირებული რიცხვთან. ასე რომ, მაგალითად, რამდენიმეა მარტივი რიგებიბუნებრივი ლოგარითმებით. პიეტრო მენგოლიმ და ნიკოლას მერკატორმა დაურეკეს logarithmus naturalisრამდენიმე ათეული წელი გავიდა, სანამ ნიუტონმა და ლაიბნიცმა განავითარეს დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლები.

განმარტება

ფორმალურად ln( ა) შეიძლება განისაზღვროს, როგორც დიაგრამა 1/ მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი x 1-დან ა, ანუ როგორც ინტეგრალი:

ეს მართლაც ლოგარითმია, რადგან ის აკმაყოფილებს ფუნდამენტური ქონებალოგარითმი:

ამის დემონსტრირება შესაძლებელია შემდეგი დაშვებით:

რიცხვითი მნიშვნელობა

გაანგარიშებისთვის რიცხვითი მნიშვნელობარიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მისი გაფართოება ტეილორის სერიაში შემდეგნაირად:

კონვერგენციის საუკეთესო მაჩვენებლის მისაღებად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი იდენტურობა:

იმ პირობით, რომ წ = (x−1)/(x+1) და x > 0.

იყიდება ln( x), სადაც x> 1 ვიდრე უფრო ახლო მნიშვნელობა x 1-მდე, უფრო სწრაფი სიჩქარეკონვერგენცია. ლოგარითმთან დაკავშირებული იდენტობები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მიზნის მისაღწევად:

ეს მეთოდები გამოიყენებოდა ჯერ კიდევ კალკულატორების მოსვლამდე, რისთვისაც მათ იყენებდნენ რიცხვითი ცხრილებიდა შეასრულა ზემოთ აღწერილი მანიპულაციების მსგავსი.

მაღალი სიზუსტე

ბუნებრივი ლოგარითმის გამოთვლა დიდი რაოდენობითსიზუსტის ციფრებით, ტეილორის სერია არ არის ეფექტური, რადგან მისი კონვერგენცია ნელია. ალტერნატივა არის ნიუტონის მეთოდის გამოყენება ექსპონენციალურ ფუნქციაზე ინვერსიისთვის, რომლის სერია უფრო სწრაფად იყრის თავს.

ძალიან მაღალი გაანგარიშების სიზუსტის ალტერნატივა არის ფორმულა:

სადაც მაღნიშნავს 1 და 4/წმ არითმეტიკულ-გეომეტრიულ საშუალოს და

მაირჩია ისე, რომ გვმიღწეულია სიზუსტის ნიშნები. (უმეტეს შემთხვევაში, მ-ისთვის 8-ის მნიშვნელობა საკმარისია.) მართლაც, თუ ეს მეთოდი გამოიყენება, ნიუტონის მიერ ბუნებრივი ლოგარითმის ინვერსია შეიძლება გამოყენებულ იქნას ექსპონენციალური ფუნქციის ეფექტურად გამოსათვლელად. (მუდმივები ln 2 და pi შეიძლება წინასწარ გამოითვალოს სასურველ სიზუსტემდე ნებისმიერი ცნობილი სწრაფად კონვერგენტული სერიის გამოყენებით.)

გამოთვლითი სირთულე

ბუნებრივი ლოგარითმების გამოთვლითი სირთულე (არითმეტიკულ-გეომეტრიული საშუალოს გამოყენებით) არის O( მ(ნ) ლნ ნ). Აქ ნარის სიზუსტის ციფრების რაოდენობა, რომლისთვისაც უნდა შეფასდეს ბუნებრივი ლოგარითმი და მ(ნ) არის ორზე გამრავლების გამოთვლითი სირთულე ნ- ციფრი ნომრები.

გაგრძელებული წილადები

მიუხედავად იმისა, რომ არ არსებობს მარტივი უწყვეტი წილადები, რომლებიც წარმოადგენენ ლოგარითმს, შეიძლება გამოყენებულ იქნას რამდენიმე განზოგადებული უწყვეტი წილადი, მათ შორის:

რთული ლოგარითმები

ექსპონენციალური ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს ფუნქციაზე, რომელიც იძლევა ფორმის კომპლექსურ რიცხვს ე xნებისმიერი თვითნებობისთვის რთული რიცხვი xკომპლექსით უსასრულო სერიის გამოყენებისას x. ეს ექსპონენციალური ფუნქცია შეიძლება შეტრიალდეს, რათა შეიქმნას რთული ლოგარითმი, რომელიც ექნება უმეტესწილადჩვეულებრივი ლოგარითმების თვისებები. თუმცა, არსებობს ორი სირთულე: არ არსებობს x, რისთვისაც ე x= 0 და გამოდის, რომ ე 2პი = 1 = ე 0 . ვინაიდან გამრავლების თვისება მოქმედებს რთული ექსპონენციალური ფუნქციისთვის, მაშინ ე ზ = ე ზ+2npiყველა კომპლექსისთვის ზდა მთლიანი ნ.

ლოგარითმი არ შეიძლება განისაზღვროს მთელ კომპლექსურ სიბრტყეზე და მიუხედავად ამისა, ის მრავალმნიშვნელოვანია - ნებისმიერი რთული ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს "ექვივალენტური" ლოგარითმით 2-ის ნებისმიერი მთელი რიცხვის ჯერადი მიმატებით. პი. რთული ლოგარითმი შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი ღირებულების ნაჭერზე რთული თვითმფრინავი. მაგალითად ln მე = 1/2 პიან 5/2 პიან −3/2 პიდა ა.შ. და თუმცა მე 4 = 1.4 ლოგი მეშეიძლება განისაზღვროს როგორც 2 პი, ან 10 პიან -6 პი, და ასე შემდეგ.

იხილეთ ასევე

• ჯონ ნაპიერი - ლოგარითმების გამომგონებელი

შენიშვნები

1. მათემატიკა ფიზიკური ქიმიისთვის. - მე-3. - აკადემიური პრესა, 2005. - გვ. 9. - ISBN 0-125-08347-5, ამონაწერი მე-9 გვერდიდან
2. J J O "Connor და E F Robertsonნომერი ე . MacTutor History of Mathematics არქივი (სექტემბერი 2001). დაარქივებულია
3. კაჯორი ფლორიანიმათემატიკის ისტორია, მე-5 გამოცემა. - AMS Bookstore, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. ფლეშმენი, მარტინიინტეგრალების შეფასება მრავალწევრების გამოყენებით. დაარქივებულია ორიგინალიდან 2012 წლის 12 თებერვალს.

საკმაოდ კარგი, არა? სანამ მათემატიკოსები ეძებენ სიტყვებს, რათა მოგაწოდოთ გრძელი, ჩახლართული განმარტება, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ მარტივ და ნათელს.

რიცხვი e ნიშნავს ზრდას

რიცხვი e ნიშნავს უწყვეტ ზრდას. როგორც წინა მაგალითში ვნახეთ, e x საშუალებას გვაძლევს დავაკავშიროთ პროცენტი და დრო: 3 წელი 100%-იანი ზრდის შემთხვევაში იგივეა, რაც 1 წელი 300%-ით, ექვემდებარება "კომპორციულ ინტერესს".

თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ნებისმიერი პროცენტული და დროის მნიშვნელობები (50% 4 წლის განმავლობაში), მაგრამ უმჯობესია დააყენოთ პროცენტი 100% მოხერხებულობისთვის (გამოდის 100% 2 წლის განმავლობაში). 100%-ზე გადასვლით ჩვენ შეგვიძლია ფოკუსირება მხოლოდ დროის კომპონენტზე:

e x = e პროცენტი * დრო = e 1.0 * დრო = e დრო

ცხადია, e x ნიშნავს:

• რამდენად გაიზრდება ჩემი წვლილი დროის x ერთეულში (100% უწყვეტი ზრდის გათვალისწინებით).
• მაგალითად, 3 დროის ინტერვალის შემდეგ მე მივიღებ e 3 = 20,08-ჯერ მეტ „ნივთს“.

e x არის სკალირების ფაქტორი, რომელიც გვიჩვენებს, თუ რა დონემდე გაიზრდებით x დროის პერიოდებში.

ბუნებრივი ლოგარითმი ნიშნავს დროს

ბუნებრივი ლოგარითმი არის e-ს შებრუნებული, ასეთი ლამაზი ტერმინი საპირისპიროსთვის. უცნაურობებზე საუბარი; ლათინურად მას უწოდებენ logarithmus naturali, აქედან მოდის აბრევიატურა ln.

და რას ნიშნავს ეს ინვერსია ან საპირისპირო?

• e x საშუალებას გვაძლევს ჩავრთოთ დრო და მივიღოთ ზრდა.
• ln(x) საშუალებას გვაძლევს ავიღოთ ზრდა ან შემოსავალი და გავარკვიოთ რა დრო სჭირდება მის მიღებას.

Მაგალითად:

• e 3 უდრის 20.08. სამი პერიოდის შემდეგ გვექნება 20.08 ჯერ მეტიცსადაც დავიწყეთ.
• ln(20.08) იქნება დაახლოებით 3. თუ თქვენ გაინტერესებთ 20.08x ზრდა, დაგჭირდებათ 3-ჯერ (ისევ, 100% უწყვეტი ზრდის ვარაუდით).

ისევ კითხულობ? ბუნებრივი ლოგარითმი გვიჩვენებს დროს, რომელიც სჭირდება სასურველ დონეს.

ეს არასტანდარტული ლოგარითმული რაოდენობა

თქვენ გაიარეთ ლოგარითმები - ეს არის უცნაური არსებები. როგორ მოახერხეს გამრავლების მიმატებად გადაქცევა? რაც შეეხება გამოკლებად დაყოფას? Მოდი ვნახოთ.

რის ტოლია ln(1)? ინტუიციურად ჩნდება კითხვა: რამდენი ხანი უნდა ველოდო, რომ მივიღო 1-ჯერ მეტი ვიდრე მაქვს?

Ნული. Ნული. Სულაც არა. ერთხელ უკვე გაქვს. 1-ლი დონიდან 1-ლ დონეზე გაზრდას დრო არ სჭირდება.

• ჟურნალი (1) = 0

კარგი, რაც შეეხება წილადი მნიშვნელობა? რამდენი დრო დაგვჭირდება იმისთვის, რომ დაგვრჩა 1/2? ჩვენ ვიცით, რომ 100% უწყვეტი ზრდის შემთხვევაში, ln(2) ნიშნავს გაორმაგებისთვის საჭირო დროს. Თუ ჩვენ დროის უკან დაბრუნება(ანუ დაველოდოთ დროის უარყოფით რაოდენობას), შემდეგ მივიღებთ ნახევარს რაც გვაქვს.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

ლოგიკურია, არა? თუ უკან (დროში) 0,693 წამით დავბრუნდებით, ხელმისაწვდომი თანხის ნახევარს ვიპოვით. ზოგადად, შეგიძლიათ გადაატრიალოთ წილადი და აიღოთ უარყოფითი მნიშვნელობა: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. ეს ნიშნავს, რომ თუ დროში დავბრუნდებით 1.09-ჯერ, ვიპოვით მიმდინარე რიცხვის მხოლოდ მესამედს.

კარგი, რაც შეეხება უარყოფითი რიცხვის ლოგარითმს? რამდენი დრო სჭირდება ბაქტერიების კოლონიის "გაზრდის" 1-დან -3-მდე?

შეუძლებელია! თქვენ ვერ მიიღებთ უარყოფით ბაქტერიებს, არა? თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ნულის მაქსიმუმი (აჰ... მინიმალური), მაგრამ არავითარ შემთხვევაში არ შეგიძლიათ მიიღოთ ამ პატარა არსებების უარყოფითი რიცხვი. AT უარყოფითი რიცხვიბაქტერიას უბრალოდ აზრი არ აქვს.

• ln(უარყოფითი რიცხვი) = განუსაზღვრელი

"გაუზუსტებელი" ნიშნავს, რომ უარყოფითი მნიშვნელობის მისაღებად ლოდინის დრო არ არის.

ლოგარითმული გამრავლება უბრალოდ სასაცილოა

რამდენი დრო დასჭირდება ოთხმაგ ზრდას? რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ln(4). მაგრამ ეს ძალიან მარტივია, ჩვენ სხვა გზით წავალთ.

თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ გაორმაგება, როგორც გაორმაგება (მოითხოვს ln(2) დროის ერთეულებს) და შემდეგ ისევ გაორმაგებას (საჭიროებს სხვა ln(2) დროის ერთეულებს):

• დრო 4x ზრდამდე = ln(4) = გაორმაგების დრო და შემდეგ ისევ გაორმაგება = ln(2) + ln(2)

საინტერესოა. ნებისმიერი ზრდის ტემპი, ვთქვათ 20, შეიძლება ჩაითვალოს გაორმაგდება 10-ჯერ გაზრდისთანავე. ან იზრდება 4-ჯერ, შემდეგ კი 5-ჯერ. ან გასამმაგდა და შემდეგ ზრდა 6666-ჯერ. ნახე ნიმუში?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A-ჯერ B-ის ლოგარითმი არის log(A) + log(B). ამ ურთიერთობას მაშინვე აქვს აზრი, თუ თქვენ მოქმედებთ ზრდის თვალსაზრისით.

თუ თქვენ გაინტერესებთ 30x ზრდა, შეგიძლიათ ან დაელოდოთ ln(30) ერთჯერადად, ან დაელოდოთ ln(3) გასამმაგს და შემდეგ სხვა ln(10) გამრავლებას ათზე. Საბოლოო შედეგიიგივე, ასე რომ, რა თქმა უნდა, დრო უნდა დარჩეს მუდმივი (და რჩება).

რაც შეეხება გაყოფას? კერძოდ, ln(5/3) ნიშნავს: რამდენი ხანი სჭირდება 5-ჯერ გაზრდას და ამის შემდეგ 1/3-ის მიღებას?

შესანიშნავია, 5-ის კოეფიციენტი არის ln(5). 1/3-ჯერ გაზრდას დასჭირდება -ln(3) ერთეული დრო. Ისე,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

ეს ნიშნავს: ნება მიეცით გაიზარდოს 5-ჯერ და შემდეგ „დაბრუნდით დროში“ იქამდე, სადაც ამ თანხის მხოლოდ მესამედი რჩება, ასე რომ თქვენ მიიღებთ 5/3 ზრდას. ზოგადად, გამოდის

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

ვიმედოვნებ, ლოგარითმების უცნაური არითმეტიკა შენთვის აზრს იწყებს: ზრდის ტემპების გამრავლება ხდება ზრდის დროის ერთეულების დამატება, ხოლო გაყოფა ხდება დროის ერთეულების გამოკლება. არ დაიმახსოვროთ წესები, შეეცადეთ გაიგოთ ისინი.

ბუნებრივი ლოგარითმის გამოყენება თვითნებური ზრდისთვის

კარგი, რა თქმა უნდა, - ამბობთ, - ყველაფერი კარგია, თუ ზრდა 100%-ია, მაგრამ იმ 5%-ზე რას ვიღებ?

Არაა პრობლემა. "დრო", რომელსაც ჩვენ ვიანგარიშებთ ln()-ით არის რეალურად საპროცენტო განაკვეთისა და დროის კომბინაცია, იგივე X e x განტოლებიდან. ჩვენ უბრალოდ ავირჩიეთ პროცენტის დაყენება 100%-ზე სიმარტივისთვის, მაგრამ თავისუფლად შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნებისმიერი რიცხვი.

ვთქვათ, გვინდა მივაღწიოთ 30x ზრდას: ავიღოთ ln(30) და მივიღოთ 3.4 ეს ნიშნავს:

• e x = სიმაღლე
• e 3.4 = 30

ცხადია, ეს განტოლება ნიშნავს "100% ანაზღაურება 3.4 წლის განმავლობაში იძლევა 30-ჯერ." ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს განტოლება ასე:

• e x = e განაკვეთი*დრო
• e 100% * 3.4 წელი = 30

ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ "განზომილების" და "დროის" მნიშვნელობები, სანამ მაჩვენებელი * დრო რჩება 3.4. მაგალითად, თუ ჩვენ გვაინტერესებს 30-ჯერადი ზრდა, რამდენ ხანს მოგვიწევს ლოდინი 5%-იანი საპროცენტო განაკვეთით?

• log(30) = 3.4
• მაჩვენებელი * დრო = 3.4
• 0.05 * დრო = 3.4
• დრო = 3.4 / 0.05 = 68 წელი

მე ასე მსჯელობ: "ln(30) = 3.4, ასე რომ, 100%-იანი ზრდისას დასჭირდება 3.4 წელი. თუ ზრდის ტემპს გავაორმაგებ, საჭირო დრო განახევრდება."

• 100% 3.4 წელიწადში = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% 1.7 წელიწადში = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% 6.8 წელიწადში = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% 68 წელზე მეტი = .05 * 68 = 3.4 .

მშვენიერია, არა? ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი საპროცენტო განაკვეთით და დროით, სანამ მათი პროდუქტი მუდმივი რჩება. თქვენ შეგიძლიათ გადაიტანოთ ცვლადების მნიშვნელობები რამდენიც გსურთ.

ცუდი მაგალითი: სამოცდათორმეტის წესი

სამოცდათორმეტის წესი არის მათემატიკური ტექნიკა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ რამდენი დრო დასჭირდება თქვენი ფულის გაორმაგებას. ახლა ჩვენ გამოვიყვანთ მას (დიახ!) და უფრო მეტიც, შევეცდებით გავიგოთ მისი არსი.

რამდენი დრო სჭირდება თქვენი ფულის გაორმაგებას 100%-იანი განაკვეთით, რომელიც ყოველწლიურად იზრდება?

ოპ-პა. ჩვენ გამოვიყენეთ ბუნებრივი ლოგარითმი უწყვეტი ზრდის შემთხვევაში და ახლა თქვენ საუბრობთ წლიურ დარიცხვაზე? ეს ფორმულა არ გახდება უვარგისი ასეთი შემთხვევისთვის? დიახ, ასე იქნება, მაგრამ რეალური საპროცენტო განაკვეთებისთვის, როგორიცაა 5%, 6%, ან თუნდაც 15%, განსხვავება ყოველწლიურ შეერთებასა და სტაბილურად ზრდას შორის მცირე იქნება. ასე რომ, უხეში შეფასება მუშაობს, უჰ, უხეშად, ასე რომ, ჩვენ ვაპირებთ ვიფიქროთ, რომ გვაქვს სრულიად უწყვეტი დარიცხვა.

ახლა კითხვა მარტივია: რამდენად სწრაფად შეგიძლიათ გააორმაგოთ 100%-იანი ზრდით? ln(2) = 0.693. სჭირდება 0,693 ერთეული დრო (წლები ჩვენს შემთხვევაში), რათა გააორმაგოს ჩვენი ჯამი უწყვეტი ზრდით 100%.

მერე რა, თუ საპროცენტო განაკვეთი არ არის 100%, მაგრამ ვთქვათ 5% ან 10%?

მარტივად! ვინაიდან კურსი * დრო = 0.693, ჩვენ გავაორმაგებთ თანხას:

• მაჩვენებელი * დრო = 0.693
• დრო = 0.693 / კურსი

ასე რომ, თუ ზრდა არის 10%, გაორმაგებას დასჭირდება 0,693 / 0,10 = 6,93 წელი.

გამოთვლების გასამარტივებლად, მოდით გავამრავლოთ ორივე ნაწილი 100-ზე, შემდეგ შეგვიძლია ვთქვათ "10" და არა "0.10":

• გაორმაგების დრო = 69.3 / ფსონი, სადაც ფსონი გამოხატულია პროცენტულად.

ახლა დროა გაორმაგდეს 5%, 69.3 / 5 = 13.86 წლით. თუმცა, 69.3 არ არის ყველაზე მოსახერხებელი დივიდენდი. ავირჩიოთ ახლო რიცხვი, 72, რომელიც მოხერხებულად იყოფა 2, 3, 4, 6, 8 და სხვა რიცხვებზე.

• გაორმაგების დრო = 72 / ფსონი

რაც სამოცდათორმეტის წესია. ყველაფერი დაფარულია.

თუ თქვენ გჭირდებათ დროის გამონახვა გასამმაგებისთვის, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ln(3) ~ 109.8 და მიიღოთ

• გასამმაგებელი დრო = 110 / ფსონი

სხვა რა არის სასარგებლო წესი. "წესი 72" ვრცელდება ზრდაზე საპროცენტო განაკვეთები, მოსახლეობის ზრდა, ბაქტერიების კულტურები და ყველაფერი, რაც ექსპონენტურად იზრდება.

Რა არის შემდეგი?

ვიმედოვნებ, რომ ბუნებრივი ლოგარითმი ახლა გასაგებია თქვენთვის - ის აჩვენებს დროს, რომელიც სჭირდება ნებისმიერი რიცხვის ექსპონენციურად გაზრდას. მე ვფიქრობ, რომ მას ბუნებრივს უწოდებენ, რადგან e არის ზრდის უნივერსალური საზომი, ამიტომ ln შეიძლება ჩაითვალოს უნივერსალურ გზად იმის დასადგენად, თუ რამდენი დრო სჭირდება ზრდას.

ყოველ ჯერზე, როცა ხედავთ ln(x-ს), დაიმახსოვრეთ "დრო, რომელიც სჭირდება x-ჯერ გაზრდას". მომავალ სტატიაში მე აღვწერ e-ს და ln-ს ერთად, რათა მათემატიკის ახალი არომატი შეავსოს ჰაერი.

დანამატი: ბუნებრივი ლოგარითმი ე

სწრაფი ვიქტორინა: რამდენი იქნება ln(e)?

• მათემატიკის რობოტი იტყვის: ვინაიდან ისინი განსაზღვრულია, როგორც ერთმანეთის ინვერსია, აშკარაა, რომ ln(e) = 1.
• გაგებული ადამიანი: ln(e) არის რამდენჯერმე იზრდება "e"-ჯერ (დაახლოებით 2,718). თუმცა, თავად რიცხვი e არის ზრდის მაჩვენებელი 1-ის კოეფიციენტით, ამიტომ ln(e) = 1.

ნათლად იფიქრე.

2013 წლის 9 სექტემბერი

b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზეც უნდა აწიოთ რიცხვი a რიცხვის მისაღებად.

თუ , მაშინ .

ლოგარითმი უკიდურესადაა მნიშვნელოვანი მათემატიკური მნიშვნელობა , ვინაიდან ლოგარითმული გაანგარიშება იძლევა არა მხოლოდ ამოხსნის საშუალებას ექსპონენციალური განტოლებები, არამედ ინდიკატორებთან მუშაობა, ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები, გააერთიანეთ ისინი და მიიყვანეთ გამოსათვლელად უფრო მისაღებ ფორმამდე.

კონტაქტში

ლოგარითმების ყველა თვისება პირდაპირ კავშირშია თვისებებთან ექსპონენციალური ფუნქციები. მაგალითად, ის ფაქტი, რომ ნიშნავს რომ:

უნდა აღინიშნოს, რომ გადაჭრისას კონკრეტული ამოცანები, ლოგარითმების თვისებები შეიძლება იყოს უფრო მნიშვნელოვანი და სასარგებლო, ვიდრე ძალებთან მუშაობის წესები.

აქ არის რამდენიმე ვინაობა:

აქ არის ძირითადი ალგებრული გამონათქვამები:

;

.

ყურადღება!შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ x>0, x≠1, y>0.

შევეცადოთ გავიგოთ კითხვა, რა არის ბუნებრივი ლოგარითმები. ცალკე ინტერესი მათემატიკით წარმოადგენს ორ ტიპს- პირველს აქვს რიცხვი "10" ბაზაზე და ჰქვია " ათობითი ლოგარითმი". მეორეს ბუნებრივი ჰქვია. ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველია რიცხვი e. სწორედ მასზე ვისაუბრებთ ამ სტატიაში დეტალურად.

აღნიშვნები:

• lg x - ათობითი;
• ln x - ბუნებრივი.

იდენტურობის გამოყენებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ln e = 1, ისევე როგორც lg 10=1.

ბუნებრივი ჟურნალის გრაფიკი

ჩვენ ვაშენებთ ბუნებრივი ლოგარითმის გრაფიკს სტანდარტული კლასიკური გზით წერტილებით. თუ გსურთ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ, სწორად ვქმნით თუ არა ფუნქციას ფუნქციის შემოწმებით. თუმცა, აზრი აქვს ვისწავლოთ როგორ ავაშენოთ ის "ხელით", რათა ვიცოდეთ როგორ სწორად გამოვთვალოთ ლოგარითმი.

ფუნქცია: y = log x. დავწეროთ პუნქტების ცხრილი, რომლითაც გაივლის გრაფიკი:

მოდით განვმარტოთ, რატომ ავირჩიეთ x არგუმენტის ასეთი მნიშვნელობები. ეს ყველაფერი იდენტობაზეა: ბუნებრივი ლოგარითმისთვის, ეს იდენტურობა ასე გამოიყურება:

მოხერხებულობისთვის, შეგვიძლია ავიღოთ ხუთი საცნობარო წერტილი:

;

;

.

;

.

ამრიგად, ბუნებრივი ლოგარითმების დათვლა საკმაოდ მარტივი ამოცანაა, უფრო მეტიც, ის ამარტივებს მოქმედებების გამოთვლას სიმძლავრეებით, აქცევს მათ ნორმალური გამრავლება.

პუნქტებით გრაფიკის აგების შემდეგ, მივიღებთ სავარაუდო გრაფიკს:

ბუნებრივი ლოგარითმის დომენი (ანუ ყველა დაშვებული ღირებულებებიარგუმენტი X) - ყველა რიცხვი მეტია ნულზე.

ყურადღება!ბუნებრივი ლოგარითმის განსაზღვრის სფერო მოიცავს მხოლოდ დადებითი რიცხვები! ფარგლები არ შეიცავს x=0. ეს შეუძლებელია ლოგარითმის არსებობის პირობებიდან გამომდინარე.

მნიშვნელობების დიაპაზონი (ანუ y = ln x ფუნქციის ყველა მოქმედი მნიშვნელობა) არის ყველა რიცხვი ინტერვალში.

ბუნებრივი ჟურნალის ლიმიტი

გრაფიკის შესწავლისას ჩნდება კითხვა - როგორ იქცევა ფუნქცია, როცა y<0.

ცხადია, ფუნქციის გრაფიკი მიდრეკილია გადაკვეთოს y ღერძი, მაგრამ ამას ვერ შეძლებს, რადგან x-ის ბუნებრივი ლოგარითმი<0 не существует.

ბუნებრივი ლიმიტი ჟურნალიშეიძლება დაიწეროს ასე:

ლოგარითმის ბაზის შეცვლის ფორმულა

ბუნებრივ ლოგარითმთან ურთიერთობა ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე ლოგარითმთან, რომელსაც აქვს თვითნებური საფუძველი. ამიტომ ჩვენ შევეცდებით ვისწავლოთ თუ როგორ დავიყვანოთ ნებისმიერი ლოგარითმი ბუნებრივზე, ან გამოვხატოთ იგი თვითნებურ ბაზაზე ბუნებრივი ლოგარითმების საშუალებით.

დავიწყოთ ლოგარითმული იდენტობით:

მაშინ ნებისმიერი რიცხვი ან ცვლადი y შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

სადაც x არის ნებისმიერი რიცხვი (დადებითი ლოგარითმის თვისებების მიხედვით).

ამ გამოთქმის ლოგარითმიზირება შესაძლებელია ორივე მხრიდან. მოდით გავაკეთოთ ეს თვითნებური z ბაზით:

გამოვიყენოთ თვისება (მხოლოდ "თან"-ის ნაცვლად გვაქვს გამოთქმა):

აქედან ვიღებთ უნივერსალურ ფორმულას:

.

კერძოდ, თუ z=e, მაშინ:

.

ჩვენ მოვახერხეთ ლოგარითმის წარმოდგენა თვითნებურ ბაზაზე ორი ბუნებრივი ლოგარითმის თანაფარდობით.

ჩვენ პრობლემებს ვაგვარებთ

ბუნებრივ ლოგარითმებში უკეთესი ნავიგაციისთვის, განიხილეთ რამდენიმე პრობლემის მაგალითები.

დავალება 1. აუცილებელია ln x = 3 განტოლების ამოხსნა.

გამოსავალი:ლოგარითმის განმარტების გამოყენებით: თუ , მაშინ , მივიღებთ:

დავალება 2. ამოხსენით განტოლება (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

ამოხსნა: ლოგარითმის განმარტების გამოყენებით: თუ , მაშინ , მივიღებთ:

.

კიდევ ერთხელ ვიყენებთ ლოგარითმის განმარტებას:

.

Ამგვარად:

.

თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ პასუხი დაახლოებით, ან შეგიძლიათ დატოვოთ იგი ამ ფორმით.

დავალება 3.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:გავაკეთოთ ჩანაცვლება: t = ln x. შემდეგ განტოლება მიიღებს შემდეგ ფორმას:

.

ჩვენ გვაქვს კვადრატული განტოლება. მოდი ვიპოვოთ მისი განმასხვავებელი ნიშანი:

განტოლების პირველი ფესვი:

.

განტოლების მეორე ფესვი:

.

გავიხსენოთ, რომ ჩვენ გავაკეთეთ ჩანაცვლება t = ln x, მივიღებთ:

სტატისტიკასა და ალბათობის თეორიაში ლოგარითმული სიდიდეები ძალიან გავრცელებულია. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან რიცხვი e - ხშირად ასახავს ექსპონენციალური მნიშვნელობების ზრდის ტემპს.

კომპიუტერულ მეცნიერებაში, პროგრამირებასა და კომპიუტერული თეორიაში ლოგარითმები საკმაოდ გავრცელებულია, მაგალითად, N ბიტის მეხსიერებაში შესანახად.

ფრაქტალებისა და განზომილებების თეორიებში მუდმივად გამოიყენება ლოგარითმები, რადგან ფრაქტალების ზომები განისაზღვრება მხოლოდ მათი დახმარებით.

მექანიკაში და ფიზიკაშიარ არსებობს განყოფილება, სადაც ლოგარითმები არ იყო გამოყენებული. ბარომეტრიული განაწილება, სტატისტიკური თერმოდინამიკის ყველა პრინციპი, ციოლკოვსკის განტოლება და ასე შემდეგ არის პროცესები, რომელთა აღწერა მხოლოდ მათემატიკურად შეიძლება ლოგარითმების გამოყენებით.

ქიმიაში ლოგარითმი გამოიყენება ნერნსტის განტოლებებში, რედოქს პროცესების აღწერილობაში.

საოცარია, მუსიკაშიც კი, ოქტავის ნაწილების რაოდენობის გასარკვევად, ლოგარითმები გამოიყენება.

ბუნებრივი ლოგარითმი ფუნქცია y=ln x მისი თვისებები

ბუნებრივი ლოგარითმის ძირითადი თვისების დადასტურება

ხშირად იღებენ ნომერს ე = 2,718281828 . ამ ბაზაში ლოგარითმები ეწოდება ბუნებრივი. ბუნებრივი ლოგარითმებით გამოთვლების შესრულებისას, ჩვეულებრივია ნიშანთან მუშაობა ლნ, მაგრამ არა ჟურნალი; ხოლო ნომერი 2,718281828 , ბაზის განსაზღვრა, არ მიუთითოთ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფორმულირება ასე გამოიყურება: ბუნებრივი ლოგარითმინომრები Xარის მაჩვენებელი, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ე, მისაღებად x.

Ისე, ln(7,389...)= 2 იმიტომ ე 2 =7,389... . თავად რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი ე= 1 იმიტომ ე 1 =ედა ერთიანობის ბუნებრივი ლოგარითმი ნულის ტოლია, ვინაიდან ე 0 = 1.

თავად ნომერი ეგანსაზღვრავს მონოტონური შემოსაზღვრული მიმდევრობის ზღვარს

გამოითვალა რომ ე = 2,7182818284... .

ხშირად, მეხსიერებაში ნომრის დასაფიქსირებლად, საჭირო ნომრის ციფრები ასოცირდება რაიმე გამოჩენილ თარიღთან. რიცხვის პირველი ცხრა ციფრის დამახსოვრების სიჩქარე ეათობითი წერტილის შემდეგ გაიზრდება, თუ შენიშნავთ, რომ 1828 არის ლეო ტოლსტოის დაბადების წელი!

დღემდე, არსებობს ბუნებრივი ლოგარითმების საკმაოდ სრული ცხრილები.

ბუნებრივი ჟურნალის გრაფიკი(ფუნქციები y=n x) არის მაჩვენებლის, როგორც სარკისებური გამოსახულების, სწორი ხაზის შედგენის შედეგი y = xდა ასე გამოიყურება:

ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება მოიძებნოს ყველა დადებითი რეალური რიცხვისთვის აროგორც მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი წ = 1/xდან 1 ადრე ა.

ამ ფორმულირების ელემენტარული ბუნება, რომელიც ერგება ბევრ სხვა ფორმულას, რომელშიც ჩართულია ბუნებრივი ლოგარითმი, იყო მიზეზი სახელწოდების „ბუნებრივი“ ჩამოყალიბებისა.

თუ გავაანალიზებთ ბუნებრივი ლოგარითმი, როგორც რეალური ცვლადის რეალური ფუნქცია, მაშინ ის მოქმედებს შებრუნებული ფუნქცია ექსპონენციალურ ფუნქციამდე, რომელიც ამცირებს იდენტობამდე:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

ყველა ლოგარითმის ანალოგიით, ბუნებრივი ლოგარითმი გამრავლებას გარდაქმნის შეკრებად, გაყოფა გამოკლებად:

ლნ(xy) = ლნ(x) + ლნ(წ)

ლნ(x/y)= lnx - ლნი

ლოგარითმი შეიძლება მოიძებნოს ყველა დადებითი ბაზისთვის, რომელიც არ არის ერთის ტოლი და არა მხოლოდ ე, მაგრამ სხვა ბაზების ლოგარითმები განსხვავდება ბუნებრივი ლოგარითმისგან მხოლოდ მუდმივი ფაქტორით და ჩვეულებრივ განისაზღვრება ბუნებრივი ლოგარითმის მიხედვით.

გაანალიზებული ბუნებრივი ჟურნალის გრაფიკი,ჩვენ ვიღებთ, რომ ის არსებობს ცვლადის დადებითი მნიშვნელობებისთვის x. იგი მონოტონურად იზრდება მისი განმარტების სფეროზე.

ზე x → 0 ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის მინუს უსასრულობა ( -∞ ).თან x → +∞ ბუნებრივი ლოგარითმის ზღვარი არის პლუს უსასრულობა ( + ∞ ). დიდად xლოგარითმი საკმაოდ ნელა იზრდება. ნებისმიერი დენის ფუნქცია x ადადებითი მაჩვენებლით აიზრდება უფრო სწრაფად ვიდრე ლოგარითმი. ბუნებრივი ლოგარითმი არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები.

გამოყენება ბუნებრივი ლოგარითმებიძალიან რაციონალური უმაღლესი მათემატიკის გავლისას. ამრიგად, ლოგარითმის გამოყენება მოსახერხებელია იმ განტოლებებზე პასუხის საპოვნელად, რომლებშიც უცნობები ვლინდება მაჩვენებლის სახით. გამოთვლებში ბუნებრივი ლოგარითმების გამოყენება შესაძლებელს ხდის მათემატიკური ფორმულების დიდ რაოდენობას. ბაზის ლოგარითმები ე წარმოდგენილია ფიზიკური ამოცანების მნიშვნელოვანი რაოდენობის გადაჭრაში და ბუნებრივად შედის ცალკეული ქიმიური, ბიოლოგიური და სხვა პროცესების მათემატიკურ აღწერაში. ამრიგად, ლოგარითმები გამოიყენება დაშლის მუდმივის გამოსათვლელად ცნობილი ნახევარგამოყოფის პერიოდისთვის, ან დაშლის დროის გამოსათვლელად რადიოაქტიურობის პრობლემების გადასაჭრელად. ისინი წამყვან როლს ასრულებენ მათემატიკისა და პრაქტიკული მეცნიერებების ბევრ სექციაში, მათ მიმართავენ ფინანსების დარგში დიდი რაოდენობის პრობლემის გადასაჭრელად, მათ შორის რთული პროცენტის გამოთვლაში.

ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის გრაფიკი. ფუნქცია ნელ-ნელა უახლოვდება დადებით უსასრულობას როგორც xდა სწრაფად უახლოვდება უარყოფით უსასრულობას, როცა xმიდრეკილია 0-მდე („ნელა“ და „სწრაფად“ ნებისმიერ სიმძლავრის ფუნქციასთან შედარებით x).

ბუნებრივი ლოგარითმიარის საბაზისო ლოგარითმი , სად e (\displaystyle e)არის ირაციონალური მუდმივი, რომელიც უდრის დაახლოებით 2,72-ს. იგი დანიშნულია როგორც ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), ჟურნალი e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x)ან ზოგჯერ უბრალოდ ჟურნალი ⁡ x (\displaystyle \log x)თუ ბაზა e (\displaystyle e)იგულისხმება . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი xარის მაჩვენებელი, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ე, მისაღებად x. ეს განმარტება შეიძლება გავრცელდეს კომპლექსურ რიცხვებზეც.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), იმიტომ e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), იმიტომ e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

ბუნებრივი ლოგარითმი ასევე შეიძლება განისაზღვროს გეომეტრიულად ნებისმიერი დადებითი რეალური რიცხვისთვის აროგორც მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x)))შორის [ერთი; a ] (\displaystyle). ამ განმარტების სიმარტივე, რომელიც შეესაბამება ბევრ სხვა ფორმულას, რომლებიც იყენებენ ამ ლოგარითმს, ხსნის სახელის "ბუნებრივი" წარმოშობას.

თუ ბუნებრივ ლოგარითმს განვიხილავთ, როგორც რეალური ცვლადის რეალურ ფუნქციას, მაშინ ეს არის ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია, რომელიც იწვევს იდენტობებს:

e log ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

ყველა ლოგარითმის მსგავსად, ბუნებრივი ლოგარითმი ასახავს გამრავლებას შეკრებაზე:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y. (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)