გაკვეთილები 32-33. უკუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

09.07.2015 5917 0

სამიზნე: განვიხილოთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი გამოყენება ამონახსნების ჩასაწერად ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

I. გაკვეთილების თემისა და მიზნების კომუნიკაცია

II. ახალი მასალის სწავლა

1. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

დავიწყოთ ეს თემა შემდეგი მაგალითით.

მაგალითი 1

მოდით ამოხსნათ განტოლება:ა) sin x = 1/2; ბ) ცოდვა x \u003d ა.

ა) ორდინატთა ღერძზე გამოვყოთ მნიშვნელობა 1/2 და გამოვსახოთ კუთხეები x 1 და x2, რისთვისაცცოდვა x = 1/2. ამ შემთხვევაში, x1 + x2 = π, საიდანაც x2 = π – x 1 . ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის მიხედვით ვპოულობთ მნიშვნელობას x1 = π/6, შემდეგვითვალისწინებთ სინუსური ფუნქციის პერიოდულობას და ვწერთ ამონახსნებს მოცემული განტოლება: სადაც k ∈ Z.

ბ) აშკარაა, რომ განტოლების ამოხსნის ალგორითმიცოდვა x = a იგივეა, რაც წინა აბზაცში. რა თქმა უნდა, ახლა a-ს მნიშვნელობა გამოსახულია y-ღერძის გასწვრივ. საჭიროა როგორმე აღვნიშნოთ კუთხე x1. ჩვენ შევთანხმდით ასეთი კუთხის აღნიშვნაზე სიმბოლოთირკალი ცოდვა ა. მაშინ ამ განტოლების ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს როგორცეს ორი ფორმულა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში:სადაც

ანალოგიურად არის შემოღებული სხვა შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

ძალიან ხშირად საჭიროა კუთხის მნიშვნელობის განსაზღვრა ცნობილი ღირებულებამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია. ასეთი პრობლემა მრავალმნიშვნელოვანია - არის უსასრულო რაოდენობის კუთხეები, რომელთა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ერთნაირი სიდიდის ტოლია. მაშასადამე, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთფეროვნების საფუძველზე, ამისთვის ცალსახა განმარტებაკუთხეები წარმოადგენენ შემდეგ შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს.

a-ს რკალი (arcsin , რომლის სინუსი უდრის a-ს, ე.ი.

რიცხვის რკალის კოსინუსია (არქოსი ა) - ისეთი კუთხე a ინტერვალიდან, რომლის კოსინუსი უდრის a-ს, ე.ი.

რიცხვის თაღოვანი ტანგენსია (არქტგ ა) - ასეთი კუთხე a ინტერვალიდანრომლის ტანგენტი არის a, ე.ი.tg a = a.

რიცხვის თაღოვანი ტანგენსია (არქტგ ა) - ისეთი კუთხე a ინტერვალიდან (0; π), რომლის კოტანგენსი უდრის a-ს, ე.ი. ctg a = a.

მაგალითი 2

მოდი ვიპოვოთ:

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებებიდან გამომდინარე, მივიღებთ:

მაგალითი 3

გამოთვლა

მოდით კუთხე a = arcsin 3/5, შემდეგ განსაზღვრებით sin a = 3/5 და . ამიტომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ cos ა. ძირითადის გამოყენებით ტრიგონომეტრიული იდენტურობა, ვიღებთ:მხედველობაში მიიღება, რომ cos a ≥ 0. ასე რომ,

ფუნქციის თვისებები	ფუნქცია
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
დომენი	x ∈ [-1; ერთი]	x ∈ [-1; ერთი]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
ღირებულებების დიაპაზონი	y ∈ [-π/2; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2; π /2)	y ∈ (0; π)
პარიტეტი	კენტი	არც ლუწი და არც კენტი	კენტი	არც ლუწი და არც კენტი
ფუნქციის ნულები (y = 0)	როდესაც x = 0	x = 1-ისთვის	როდესაც x = 0	y ≠ 0
მუდმივი ინტერვალები	y > 0 x ∈-ისთვის (0; 1], ზე< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 x ∈-ისთვის [-1; ერთი)	y > 0 x ∈-ისთვის (0; +∞), ზე< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 x ∈-ისთვის (-∞; +∞)
მონოტონური	მზარდი	მცირდება	მზარდი	მცირდება
კავშირი ტრიგონომეტრიულ ფუნქციასთან	sin y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
განრიგი

ავიღოთ კიდევ ერთი სერია ტიპიური მაგალითებიდაკავშირებულია შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებებთან და ძირითად თვისებებთან.

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

იმისათვის, რომ y ფუნქცია განისაზღვროს, აუცილებელია უტოლობარომელიც უდრის უტოლობათა სისტემასპირველი უტოლობის ამონახსნი არის x ინტერვალი∈ (-∞; +∞), მეორე -ეს ინტერვალი და არის გამოსავალი უტოლობათა სისტემისა და, შესაბამისად, ფუნქციის დომენისთვის

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის ცვლილების არე

განვიხილოთ ფუნქციის ქცევაზ \u003d 2x - x2 (იხ. სურათი).

ჩანს, რომ z ∈ (-∞; 1]. იმის გათვალისწინებით, რომ არგუმენტიზ შებრუნებული ტანგენსის ფუნქცია იცვლება მითითებულ საზღვრებში, ცხრილის მონაცემებიდან ვიღებთ ამასამრიგად, ცვლილების არეალი

მაგალითი 6

დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია y = arctg x კენტი. დაე იყოსშემდეგ tg a \u003d -x ან x \u003d - tg a \u003d tg (- a), და ამიტომ, - a \u003d arctg x ან a \u003d - arctg X. ამრიგად, ჩვენ ამას ვხედავთანუ y(x) არის კენტი ფუნქცია.

მაგალითი 7

ჩვენ გამოვხატავთ ყველა შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მიხედვით

დაე იყოს აშკარაა რომ შემდეგ მას შემდეგ

შემოვიღოთ კუთხე როგორც მაშინ

შესაბამისად, შესაბამისად და

Ისე,

მაგალითი 8

მოდით ავაშენოთ y \u003d ფუნქციის გრაფიკი cos (arcsin x).

აღნიშნეთ \u003d arcsin x, შემდეგ ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ x \u003d sin a და y \u003d cos a, ანუ x 2 + y2 = 1 და შეზღუდვები x (x∈ [-ერთი; 1]) და y (y ≥ 0). შემდეგ y = ფუნქციის გრაფიკი cos(arcsin x) არის ნახევარწრიული.

მაგალითი 9

მოდით ავაშენოთ y \u003d ფუნქციის გრაფიკი arccos (cosx).

ვინაიდან ფუნქცია cos x ცვლილებები სეგმენტზე [-1; 1], მაშინ ფუნქცია y განისაზღვრება მთლიანობაში რიცხვითი ღერძიდა სეგმენტზე ცვლილებები. ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ y = arccos (cosx) \u003d x სეგმენტზე; ფუნქცია y არის ლუწი და პერიოდული 2π პერიოდით. იმის გათვალისწინებით, რომ ფუნქციას აქვს ეს თვისებები cos x, ახლა ადვილია შეთქმულება.

ჩვენ აღვნიშნავთ რამდენიმე სასარგებლო თანასწორობას:

მაგალითი 10

იპოვეთ ყველაზე პატარა და უდიდესი ღირებულებაფუნქციებიაღნიშნეთ მაშინ მიიღეთ ფუნქცია ამ ფუნქციას აქვს მინიმალური რაოდენობა z = π/4 და ის უდრის ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა წერტილში z = -π/2 და ის უდრის ამრიგად, და

მაგალითი 11

მოდი ამოვხსნათ განტოლება

ჩვენ ამას გავითვალისწინებთ მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება:ან სადაც რკალის ტანგენტის განმარტებით ვიღებთ:

2. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა

მაგალითად 1-ის მსგავსად, შეგიძლიათ მიიღოთ ამონახსნები უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების შესახებ.

განტოლება	გადაწყვეტილება
tgx = a
ctg x = a

მაგალითი 12

მოდი ამოვხსნათ განტოლება

ვინაიდან სინუს ფუნქცია კენტია, განტოლებას ვწერთ ფორმითამ განტოლების ამონახსნები:სად ვიპოვოთ

მაგალითი 13

მოდი ამოვხსნათ განტოლება

ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით ვწერთ განტოლების ამონახსნებს:და იპოვე

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლებების ამოხსნისას კონკრეტულ შემთხვევებში (a = 0; ±1). sin x = a და cos x = a უფრო ადვილი და მოსახერხებელია გამოსაყენებლად ზოგადი ფორმულებიდა დაწერე გადაწყვეტილებები საფუძველზე ერთეული წრე:

განტოლებისთვის sin x = 1 ამონახსნი

განტოლებისთვის sin x \u003d 0 ამონახსნები x \u003d π k;

განტოლებისთვის sin x = -1 ამონახსნები

განტოლებისთვის cos x = 1 ამონახსნი x = 2πკ;

cos x = 0 განტოლებისთვის

cos x = -1 განტოლებისთვის

მაგალითი 14

მოდი ამოვხსნათ განტოლება

მას შემდეგ, რაც ში ეს მაგალითიხელმისაწვდომი განსაკუთრებული შემთხვევაგანტოლებები, შემდეგ შესაბამისი ფორმულის მიხედვით ვწერთ ამოხსნას:სად ვიპოვოთ

III. ტესტის კითხვები(წინა გამოკითხვა)

1. განსაზღვრეთ და ჩამოთვალეთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები.

2. მიეცით შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები.

3. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

IV. დავალება გაკვეთილებზე

§ 15, No3 (a, b); 4 (c, d); 7 (ა); 8 (ა); 12(ბ); 13(a); 15 (გ); 16 (ა); 18 (ა, ბ); 19 (გ); 21;

§ 16, No4 (a, b); 7 (ა); 8 (ბ); 16 (ა, ბ); 18(ა); 19 (გ, დ);

§ 17, No3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (ბ); 10 (ა, გ).

V. საშინაო დავალება

§ 15, No3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (ბ); 12 (ა); 13(ბ); 15 (დ); 16(ბ); 18 (გ, დ); 19 (დ); 22;

§ 16, No4 (c, d); 7(ბ); 8 (ა); 16 (c, d); 18(ბ); 19 (ა, ბ);

§ 17, No3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (ა, ბ); 9 (დ); 10 (ბ, დ).

VI. შემოქმედებითი ამოცანები

1. იპოვეთ ფუნქციის ფარგლები:

პასუხები:

2. იპოვეთ ფუნქციის დიაპაზონი:

პასუხები:

3. ფუნქციის გრაფიკი:

VII. გაკვეთილების შეჯამება

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია მათემატიკური ფუნქციები, რომლებიც ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შებრუნებულია.

ფუნქცია y=arcsin(x)

α რიცხვის რკალი არის ისეთი რიცხვი α ინტერვალიდან [-π/2; π/2], რომლის სინუსი უდრის α-ს.
ფუნქციის გრაფიკი
ფუნქცია y \u003d sin⁡ (x) ინტერვალზე [-π / 2; π / 2], მკაცრად მზარდი და უწყვეტია; ამიტომ მას აქვს შებრუნებული ფუნქციამკაცრად მზარდი და უწყვეტი.
y= sin⁡(x) ფუნქციის შებრუნებულ ფუნქციას, სადაც x ∈[-π/2;π/2], ეწოდება რკალი და აღინიშნება y=arcsin(x), სადაც x∈[-1;1. ].
ასე რომ, ინვერსიული ფუნქციის განსაზღვრის მიხედვით, რკალის განსაზღვრის დომენი არის სეგმენტი [-1; 1], ხოლო მნიშვნელობების სიმრავლე არის სეგმენტი [-π/2; π/2].
გაითვალისწინეთ, რომ y=arcsin(x) ფუნქციის გრაფიკი, სადაც x ∈[-1;1]. არის სიმეტრიული y= sin(⁡x) ფუნქციის გრაფიკის მიმართ, სადაც x∈[-π/2;π. /2], კოორდინატთა კუთხეების პირველი და მესამე მეოთხედის ბისექტრის მიმართ.

y=arcsin(x) ფუნქციის ფარგლები.

მაგალითი ნომერი 1.

იპოვეთ arcsin(1/2)?

ვინაიდან arcsin(x) ფუნქციის დიაპაზონი ეკუთვნის [-π/2;π/2] ინტერვალს, ვარგისია მხოლოდ π/6 მნიშვნელობა, შესაბამისად, arcsin(1/2) = π/6.
პასუხი: π/6

მაგალითი #2.
იპოვეთ arcsin(-(√3)/2)?

მას შემდეგ, რაც ტერიტორია arcsin ღირებულებები(x) x ∈[-π/2;π/2], მაშინ მხოლოდ მნიშვნელობა -π/3 არის შესაფერისი, ამიტომ arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

ფუნქცია y=arccos(x)

α რიცხვის არკოზინი არის α რიცხვი იმ ინტერვალიდან, რომლის კოსინუსი უდრის α-ს.

ფუნქციის გრაფიკი

ფუნქცია y= cos(⁡x) ინტერვალზე მკაცრად კლებადი და უწყვეტია; შესაბამისად, მას აქვს შებრუნებული ფუნქცია, რომელიც მკაცრად კლებადი და უწყვეტია.
y= cos⁡x ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია, სადაც x ∈, ეწოდება რკალის კოსინუსიდა აღინიშნა y=arccos(x), სადაც x ∈[-1;1].
ასე რომ, ინვერსიული ფუნქციის განსაზღვრის მიხედვით, არკოზინის განსაზღვრის დომენი არის სეგმენტი [-1; 1], ხოლო მნიშვნელობების სიმრავლე არის სეგმენტი.
გაითვალისწინეთ, რომ y=arccos(x) ფუნქციის გრაფიკი, სადაც x ∈[-1;1] სიმეტრიულია y= cos(⁡x) ფუნქციის გრაფიკის მიმართ, სადაც x ∈ ბისექტრის მიმართ. პირველი და მესამე მეოთხედის კოორდინირებული კუთხეები.

y=arccos(x) ფუნქციის ფარგლები.

მაგალითი #3.

იპოვეთ arccos (1/2)?

ვინაიდან arccos(x)-ის დიაპაზონი არის x∈, მხოლოდ π/3 არის შესაფერისი, ამიტომ arccos(1/2) =π/3.
მაგალითი ნომერი 4.
იპოვეთ arccos(-(√2)/2)?

ვინაიდან arccos(x) ფუნქციის დიაპაზონი ეკუთვნის ინტერვალს, მაშინ მხოლოდ მნიშვნელობა 3π/4 არის შესაფერისი, ამიტომ arccos(-(√2)/2) =3π/4.

პასუხი: 3π/4

ფუნქცია y=arctg(x)

რიცხვის რკალის ტანგენსი α არის ისეთი რიცხვი α ინტერვალიდან [-π/2; π/2], რომლის ტანგენსი უდრის α-ს.

ფუნქციის გრაფიკი

ტანგენტის ფუნქცია უწყვეტია და მკაცრად იზრდება ინტერვალზე (-π/2; π/2); ამიტომ მას აქვს უწყვეტი და მკაცრად მზარდი ინვერსიული ფუნქცია.
y= tg⁡(x) ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია, სადაც x∈(-π/2;π/2); ეწოდება არქტანგენსი და აღინიშნება y=arctg(x), სადაც x∈R.
ასე რომ, შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრის მიხედვით, არქტანგენტის განსაზღვრის დომენი არის ინტერვალი (-∞; +∞), ხოლო მნიშვნელობების სიმრავლე არის ინტერვალი.
(-π/2;π/2).
გაითვალისწინეთ, რომ y=arctg(x) ფუნქციის გრაფიკი, სადაც x∈R, სიმეტრიულია y=tg⁡x ფუნქციის გრაფიკის მიმართ, სადაც x ∈ (-π/2;π/2), მიმართებით პირველი და მესამე მეოთხედის კოორდინატთა კუთხეების ბისექტორი.

y=arctg(x) ფუნქციის ფარგლები.

მაგალითი #5?

იპოვეთ arctg((√3)/3).

ვინაიდან არქტან(x) x ∈(-π/2;π/2) დიაპაზონი მხოლოდ π/6 არის შესაფერისი, ამიტომ arctg((√3)/3) =π/6.
მაგალითი ნომერი 6.
იპოვეთ arctg(-1)?

ვინაიდან arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) დიაპაზონი მხოლოდ -π/4 არის შესაფერისი, ამიტომ arctg(-1) = - π/4.

ფუნქცია y=arctg(x)

α რიცხვის რკალის ტანგენსი არის ისეთი რიცხვი α ინტერვალიდან (0; π), რომლის კოტანგენსი უდრის α-ს.

ფუნქციის გრაფიკი

ინტერვალზე (0;π) კოტანგენტის ფუნქცია მკაცრად მცირდება; უფრო მეტიც, ის უწყვეტია ამ ინტერვალის ყველა წერტილში; შესაბამისად, (0;π) ინტერვალზე ამ ფუნქციას აქვს შებრუნებული ფუნქცია, რომელიც მკაცრად კლებადი და უწყვეტია.
y=ctg(x) ფუნქციის შებრუნებულ ფუნქციას, სადაც x ∈(0;π), ეწოდება რკალის კოტანგენსი და აღინიშნება y=arcctg(x), სადაც x∈R.
ასე რომ, შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრის მიხედვით, შებრუნებული ტანგენსის განსაზღვრის დომენი იქნება რმნიშვნელობები – ინტერვალი (0; π). y=arcctg(x) ფუნქციის გრაფიკი, სადაც x∈R სიმეტრიულია y=ctg(x) x∈(0; π) ფუნქციის გრაფიკის მიმართ. პირველი და მესამე მეოთხედის კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრის მიმართ.

y=arcctg(x) ფუნქციის ფარგლები.

მაგალითი ნომერი 7.
იპოვეთ arcctg((√3)/3)?

ვინაიდან arcctg(x) x ∈(0;π) დიაპაზონი მხოლოდ π/3 არის შესაფერისი, ამიტომ arccos((√3)/3) =π/3.

მაგალითი ნომერი 8.
იპოვეთ arcctg(-(√3)/3)?

ვინაიდან arcctg(x) x∈(0;π) დიაპაზონი მხოლოდ 2π/3 არის შესაფერისი, ამიტომ arccos(-(√3)/3) =2π/3.

რედაქტორები: აგეევა ლიუბოვ ალექსანდროვნა, გავრილინა ანა ვიქტოროვნა

მოცემულია შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და მათი გრაფიკები. ასევე შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულები, ჯამებისა და განსხვავებების ფორმულები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტება

ვინაიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პერიოდულია, მათზე შებრუნებული ფუნქციები არ არის ერთმნიშვნელოვანი. ასე რომ, განტოლება y = ცოდვა x, მოცემული , აქვს უსაზღვროდ ბევრი ფესვები. მართლაც, სინუსის პერიოდულობის გამო, თუ x ასეთი ფესვია, მაშინ x + 2n(სადაც n არის მთელი რიცხვი) ასევე იქნება განტოლების ფესვი. ამრიგად, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მრავალმნიშვნელოვანია. მათთან მუშაობის გასაადვილებლად, შემოღებულია მათი ძირითადი ღირებულებების კონცეფცია. განვიხილოთ, მაგალითად, სინუსი: y = ცოდვა x. თუ x არგუმენტს შევზღუდავთ ინტერვალით, მაშინ მასზე ფუნქცია y = ცოდვა xმონოტონურად იზრდება. მაშასადამე, მას აქვს ერთმნიშვნელოვანი ინვერსიული ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება რკალი: x = arcsin y.

თუ სხვაგვარად არ არის მითითებული, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ნიშნავს მათ ძირითად მნიშვნელობებს, რომლებიც განისაზღვრება შემდეგი განმარტებებით.

არქსინი ( y= arcsin x) არის სინუსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= საცოდავი

რკალის კოსინუსი ( y= arccos x) არის კოსინუსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= cos y) რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები.

არქტანგენტი ( y= arctg x) არის ტანგენსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= tg y) რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები.

თაღოვანი რკალი ( y= arcctg x) არის კოტანგენსის შებრუნებული ფუნქცია ( x= ctg y) რომელსაც აქვს განმარტების დომენი და მნიშვნელობების ნაკრები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები მიღებულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკებიდან სარკისებური გამოსახულებასწორი ხაზის მიმართ y = x. იხილეთ განყოფილებები სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

ძირითადი ფორმულები

აქ განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს იმ ინტერვალებს, რომლებისთვისაც მოქმედებს ფორმულები.

arcsin(sin x) = xზე
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xზე
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xზე
tg (arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xზე
ctg(arctg x) = x

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამაკავშირებელი ფორმულები

ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

ზე ან

ზე და

ზე და

ზე ან

ზე და

ზე და

ზე

ზე

ზე

ზე

sin, cos, tg და ctg ფუნქციებს ყოველთვის ახლავს რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი. ერთი მეორის შედეგია და ფუნქციების წყვილი თანაბრად მნიშვნელოვანია ტრიგონომეტრიულ გამოსახულებებთან მუშაობისთვის.

განვიხილოთ ერთეული წრის ნახაზი, რომელიც გრაფიკულად აჩვენებს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს.

თუ გამოთვლით რკალებს OA, arcos OC, arctg DE და arcctg MK, მაშინ ისინი ყველა უდრის α კუთხის მნიშვნელობას. ქვემოთ მოცემული ფორმულები ასახავს ურთიერთობას მთავარ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებსა და მათ შესაბამის რკალებს შორის.

არქსინის თვისებების შესახებ მეტის გასაგებად, აუცილებელია მისი ფუნქციის გათვალისწინება. განრიგი აქვს ასიმეტრიული მრუდის ფორმა, რომელიც გადის კოორდინატების ცენტრში.

არქსინის თვისებები:

თუ გრაფიკებს შევადარებთ ცოდვადა რკალი ცოდვა, ორ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას შეუძლია საერთო შაბლონების პოვნა.

რკალის კოსინუსი

a რიცხვის Arccos არის α კუთხის მნიშვნელობა, რომლის კოსინუსი უდრის a-ს.

მრუდი y = arcos xასახავს რკალი x-ის ნახაზს, ერთადერთი განსხვავებით, რომ ის გადის π/2 წერტილში OY ღერძზე.

განვიხილოთ არკოზინის ფუნქცია უფრო დეტალურად:

1. ფუნქცია განსაზღვრულია სეგმენტზე [-1; ერთი].
2. ODZ რკალებისთვის - .
3. გრაფიკი მთლიანად განლაგებულია I და II კვარტალებში და თავად ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.
4. Y = 0 x = 1-ისთვის.
5. მრუდი მცირდება მთელ სიგრძეზე. რკალის კოსინუსის ზოგიერთი თვისება იგივეა, რაც კოსინუსის ფუნქცია.

რკალის კოსინუსის ზოგიერთი თვისება იგივეა, რაც კოსინუსის ფუნქცია.

არ არის გამორიცხული, რომ „თაღების“ ასეთი „დაწვრილებითი“ შესწავლა სკოლის მოსწავლეებს ზედმეტი მოეჩვენოს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თუმცა, ზოგიერთი ელემენტარული ტიპიური ამოცანებიერთიანმა სახელმწიფო გამოცდებმა შეიძლება სტუდენტები ჩიხში მიიყვანოს.

სავარჯიშო 1.მიუთითეთ ნახატზე ნაჩვენები ფუნქციები.

პასუხი:ბრინჯი. 1 - 4, სურ. 2 - 1.

ამ მაგალითში აქცენტი კეთდება წვრილმანებზე. ჩვეულებრივ, სტუდენტები ძალიან უყურადღებო არიან გრაფიკების აგების და ფუნქციების გარეგნობის მიმართ. მართლაც, რატომ უნდა დაიმახსოვროთ მრუდის ფორმა, თუ ის ყოველთვის შეიძლება აშენდეს გამოთვლილი წერტილებიდან. არ დაგავიწყდეთ, რომ ტესტირების პირობებში, ხატვაზე დახარჯული დრო მარტივი დავალებასაჭიროა უფრო რთული ამოცანებისთვის.

არქტანგენტი

Arctgრიცხვი a არის α კუთხის ისეთი მნიშვნელობა, რომ მისი ტანგენსი უდრის a-ს.

თუ გავითვალისწინებთ რკალის ტანგენტის ნახაზს, შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი თვისებები:

1. გრაფიკი უსასრულოა და განსაზღვრულია ინტერვალზე (- ∞; + ∞).
2. არქტანგენტი უცნაური ფუნქციამაშასადამე, არქტანი (- x) = - არქტანი x.
3. Y = 0 x = 0-ისთვის.
4. მრუდი იზრდება განმარტების მთელ დომენზე.

აქ არის მოკლე შედარებითი ანალიზი tg x და arctg x ცხრილის სახით.

რკალის ტანგენსი

a რიცხვის Arcctg - იღებს α-ს ისეთ მნიშვნელობას (0; π) ინტერვალიდან, რომ მისი კოტანგენსი უდრის a-ს.

რკალის კოტანგენტის ფუნქციის თვისებები:

1. ფუნქციის განსაზღვრის ინტერვალი არის უსასრულობა.
2. რეგიონი დაშვებული ღირებულებებიარის ინტერვალი (0; π).
3. F(x) არც ლუწია და არც კენტი.
4. მთელი მისი სიგრძის განმავლობაში, ფუნქციის გრაფიკი მცირდება.

ctg x და arctg x შედარება ძალიან მარტივია, თქვენ უბრალოდ უნდა დახატოთ ორი ნახატი და აღწეროთ მრუდების ქცევა.

დავალება 2.დააკავშირეთ გრაფიკი და ფუნქციის ფორმა.

ლოგიკურად, გრაფიკები აჩვენებს, რომ ორივე ფუნქცია იზრდება. ამიტომ, ორივე ფიგურა აჩვენებს arctg ფუნქციას. რკალის ტანგენსის თვისებებიდან ცნობილია, რომ y=0 x = 0-ისთვის,

პასუხი:ბრინჯი. 1 - 1, ნახ. 2-4.

ტრიგონომეტრიული იდენტობები arcsin, arcos, arctg და arcctg

მანამდე ჩვენ უკვე გამოვყავით თაღებისა და ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფუნქციების ურთიერთობა. ეს დამოკიდებულება შეიძლება გამოიხატოს მთელი რიგი ფორმულებით, რომლებიც საშუალებას იძლევა გამოვხატოთ, მაგალითად, არგუმენტის სინუსი მისი არქსინის, არკოზინის ან პირიქით. ასეთი იდენტობების ცოდნა შეიძლება სასარგებლო იყოს კონკრეტული მაგალითების ამოხსნისას.

ასევე არსებობს შეფარდება arctg და arcctg:

ფორმულების კიდევ ერთი სასარგებლო წყვილი ადგენს მნიშვნელობას arcsin-ისა და arcos-ის ჯამისთვის და იმავე კუთხის arcctg და arcctg მნიშვნელობებისთვის.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

ტრიგონომეტრიის ამოცანები შეიძლება დაიყოს ოთხ ჯგუფად: გამოთვლა რიცხვითი მნიშვნელობაკონკრეტული გამოხატულება, შექმენით ამ ფუნქციის გრაფიკი, იპოვეთ მისი განმარტების დომენი ან ODZ და შეასრულეთ ანალიტიკური გარდაქმნები მაგალითის ამოსახსნელად.

პირველი ტიპის პრობლემების გადაჭრისას აუცილებელია დაიცვან შემდეგი გეგმაქმედებები:

ფუნქციის გრაფიკებთან მუშაობისას მთავარია მათი თვისებების ცოდნა და გარეგნობამრუდე. ტრიგონომეტრიული განტოლებებისა და უტოლობების ამოსახსნელად საჭიროა იდენტობების ცხრილები. რაც უფრო მეტი ფორმულა ახსოვს მოსწავლეს, მით უფრო ადვილია ამოცანის პასუხის პოვნა.

დავუშვათ, გამოცდაზე აუცილებელია პასუხის პოვნა ტიპის განტოლებისთვის:

თუ სწორად გარდაქმნით გამონათქვამს და მივყავართ სწორი სახის, მაშინ მისი გადაჭრა ძალიან მარტივი და სწრაფია. ჯერ გადავიტანოთ arcsin x-ზე მარჯვენა მხარეთანასწორობა.

თუ ფორმულას გავიხსენებთ რკალი (sinα) = α, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ პასუხების ძებნა ორი განტოლების სისტემის ამოხსნაზე:

x მოდელზე შეზღუდვა წარმოიშვა ისევ არქსინის თვისებებიდან: ODZ x [-1; ერთი]. როდესაც a ≠ 0, სისტემის ნაწილია კვადრატული განტოლებაფესვებით x1 = 1 და x2 = - 1/a. a = 0-ით x უდრის 1-ს.