ერთი ცვლადის დამოკიდებულება მეორეზე ეწოდება ფუნქციური დამოკიდებულება.ცვლადი დამოკიდებულება წცვლადიდან xდაურეკა ფუნქცია, თუ თითოეული მნიშვნელობა xშეესაბამება ერთი მნიშვნელობა წ.

Დანიშნულება:

ცვლადი xდამოუკიდებელი ცვლადი ან არგუმენტიდა ცვლადი წ- დამოკიდებული. ამას ამბობენ წარის ფუნქცია x. მნიშვნელობა წშესაბამისი დააყენეთ მნიშვნელობა x, დაურეკა ფუნქციის მნიშვნელობა.

ყველა მნიშვნელობა, რაც მას სჭირდება x, ფორმა ფუნქციის ფარგლები; ყველა მნიშვნელობა, რაც მას სჭირდება წ, ფორმა ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები.

აღნიშვნები:

D(f)- არგუმენტის მნიშვნელობები. E(f)- ფუნქციის მნიშვნელობები. თუ ფუნქცია მოცემულია ფორმულით, მაშინ ითვლება, რომ განმარტების დომენი შედგება ცვლადის ყველა მნიშვნელობისაგან, რომლისთვისაც ეს ფორმულა აზრი აქვს.

ფუნქციის გრაფიკიკოორდინატულ სიბრტყეზე ყველა წერტილის სიმრავლე ეწოდება, რომელთა აბსციები უდრის არგუმენტის მნიშვნელობებს, ხოლო ორდინატები უდრის ფუნქციის შესაბამის მნიშვნელობებს. თუ რაიმე ღირებულება x=x0ემთხვევა რამდენიმე მნიშვნელობას (არა მხოლოდ ერთი) წ, მაშინ ასეთი მიმოწერა არ არის ფუნქცია. ქულების დასაყენებლად საკოორდინაციო თვითმფრინავიარის რაიმე ფუნქციის გრაფიკი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ Oy ღერძის პარალელურად ნებისმიერი სწორი ხაზი კვეთდეს გრაფიკს არაუმეტეს ერთ წერტილში.

ფუნქციის დაყენების გზები

1) ფუნქციის დაყენება შესაძლებელია ანალიტიკურადფორმულის სახით. Მაგალითად,

2) ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს მრავალი წყვილის ცხრილით (x; y).

3) ფუნქციის დაყენება შესაძლებელია გრაფიკულად. ღირებულების წყვილები (x; y)ნაჩვენებია კოორდინატულ სიბრტყეზე.

ფუნქციის ერთფეროვნება

ფუნქცია f(x)დაურეკა იზრდებამოცემულ რიცხვთა ინტერვალზე, თუ უფრო დიდი ღირებულებაარგუმენტი შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას. წარმოიდგინეთ, რომ გარკვეული წერტილი მოძრაობს გრაფიკის გასწვრივ მარცხნიდან მარჯვნივ. შემდეგ წერტილი ერთგვარად „ამაღლდება“ ჩარტში.

ფუნქცია f(x)დაურეკა მცირდებამოცემულ ციფრულ ინტერვალზე, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას. წარმოიდგინეთ, რომ გარკვეული წერტილი მოძრაობს გრაფიკის გასწვრივ მარცხნიდან მარჯვნივ. შემდეგ წერტილი, როგორც იყო, "გადააგორებს" ჩარტში.

ფუნქციას, რომელიც მხოლოდ იზრდება ან მხოლოდ მცირდება მოცემულ რიცხვობრივ ინტერვალზე, ეწოდება ერთფეროვანიამ ინტერვალზე.

ფუნქციის ნულები და მუდმივობის ინტერვალები

ღირებულებები X, რომელიც y=0, ეწოდება ფუნქცია ნულები. ეს არის ფუნქციის გრაფიკის x ღერძთან გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

ღირებულებების ასეთი დიაპაზონი x, რომელზეც არის ფუნქციის მნიშვნელობები წმხოლოდ დადებითი ან მხოლოდ უარყოფითი ეწოდება ფუნქციის ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები.

ლუწი და კენტი ფუნქციები

თუნდაც ფუნქცია
1) განმარტების დომენი სიმეტრიულია წერტილის მიმართ (0; 0), ანუ თუ წერტილი აგანეკუთვნება განსაზღვრების სფეროს, შემდეგ წერტილს -აასევე განეკუთვნება განმარტების სფეროს.
2) ნებისმიერი ღირებულებისთვის x f(-x)=f(x)
3) გრაფიკი ფუნქციაც კისიმეტრიული y-ღერძის მიმართ.

უცნაური ფუნქციააქვს შემდეგი თვისებები:
1) განმარტების დომენი სიმეტრიულია წერტილის მიმართ (0; 0).
2) ნებისმიერი ღირებულებისთვის x, რომელიც განეკუთვნება განსაზღვრების, თანასწორობის სფეროს f(-x)=-f(x)
3) კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ (0; 0).

ყველა ფუნქცია არ არის ლუწი ან კენტი. ფუნქციები ზოგადი ხედი არც ლუწია და არც კენტი.

პერიოდული ფუნქციები

ფუნქცია ვპერიოდული ეწოდება, თუ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომ რომელიმესთვის xგანმარტების სფეროდან თანასწორობა f(x)=f(x-T)=f(x+T). თარის ფუნქციის პერიოდი.

ყველა პერიოდულ ფუნქციას აქვს უსასრულო ნაკრებიპერიოდები. პრაქტიკაში, ჩვეულებრივ განიხილება ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდი.

ღირებულებები პერიოდული ფუნქციაგაიმეორეთ პერიოდის ტოლი ინტერვალის შემდეგ. იგი გამოიყენება გრაფიკების შედგენისას.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ელფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ ამის შესახებ უნიკალური შეთავაზებები, აქციები და სხვა ღონისძიებები და მომავალი ღონისძიებები.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტი, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევებიგავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოებისთვის, სამართალდამცავი ორგანოებისთვის ან სხვა საზოგადოებისთვის. მნიშვნელოვანი შემთხვევები.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ბევრი დავალება გვაიძულებს მოვიძიოთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები გარკვეულ სეგმენტზე ან განსაზღვრების მთელ დომენზე. ასეთი ამოცანები მოიცავს გამონათქვამების სხვადასხვა შეფასებას, უტოლობების ამოხსნას.

ამ სტატიაში განვსაზღვრავთ ფუნქციის დიაპაზონს, განვიხილავთ მის პოვნის მეთოდებს და დეტალურად გავაანალიზებთ მაგალითების ამოხსნას მარტივიდან უფრო რთულამდე. ყველა მასალა მიეწოდება გრაფიკული ილუსტრაციებისიცხადისთვის. ასე რომ, ეს სტატია არის დეტალური პასუხი კითხვაზე, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ფუნქციის დიაპაზონი.

განმარტება.

y = f(x) ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები X ინტერვალზეეწოდება ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის ერთობლიობას, რომელსაც ის იღებს ყველაზე გამეორებისას.

განმარტება.

y = f(x) ფუნქციის დიაპაზონიეწოდება ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის ერთობლიობას, რომელსაც ის იღებს ყველა x-ზე განმეორების დროს განსაზღვრის დომენიდან.

ფუნქციის დიაპაზონი აღინიშნება როგორც E(f).

ფუნქციის დიაპაზონი და ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არ არის იგივე. ეს ცნებები ჩაითვლება ექვივალენტურად, თუ X ინტერვალი y = f(x) ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნისას ემთხვევა ფუნქციის დომენს.

ასევე, არ ავურიოთ ფუნქციის დიაპაზონი x ცვლადთან y=f(x) განტოლების მარჯვენა მხარის გამოსახულებისთვის. რეგიონი დაშვებული ღირებულებებიცვლადი x გამოსახულებისთვის f(x) - ეს არის y=f(x) ფუნქციის დომენი.

ფიგურაში ნაჩვენებია რამდენიმე მაგალითი.

ფუნქციების გრაფიკები ნაჩვენებია მუქი ლურჯი ხაზებით, წვრილი წითელი ხაზები ასიმპტოტებია, წითელი წერტილები და ხაზები Oy ღერძზე აჩვენებს შესაბამისი ფუნქციის დიაპაზონს.

როგორც ხედავთ, ფუნქციის დიაპაზონი მიიღება ფუნქციის გრაფიკის y-ღერძზე პროექციით. ის შეიძლება იყოს ერთი მხოლობითი(პირველი შემთხვევა), რიცხვების ნაკრები (მეორე შემთხვევა), სეგმენტი (მესამე შემთხვევა), ინტერვალი (მეოთხე შემთხვევა), ღია სხივი (მეხუთე შემთხვევა), კავშირი (მეექვსე შემთხვევა) და ა.შ.

რა უნდა გააკეთოთ ფუნქციის დიაპაზონის მოსაძებნად.

დავიწყოთ ძალიან მარტივი შემთხვევა: აჩვენეთ როგორ განვსაზღვროთ მნიშვნელობების ნაკრები უწყვეტი ფუნქცია y = f(x) სეგმენტზე.

ცნობილია, რომ უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს მასზე. ამრიგად, ღირებულებების ნაკრები ორიგინალური ფუნქციასეგმენტზე იქნება სეგმენტი . ამიტომ, ჩვენი ამოცანა მცირდება ინტერვალზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნამდე.

მაგალითად, ვიპოვოთ რკალის ფუნქციის დიაპაზონი.

მაგალითი.

მიუთითეთ ფუნქციის დიაპაზონი y = arcsinx.

გამოსავალი.

რკალის განსაზღვრის დომენი არის სეგმენტი [-1; ერთი] . იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ამ სეგმენტზე.

წარმოებული დადებითია ყველა x-სთვის (-1; 1) ინტერვალიდან, ანუ რკალის ფუნქცია იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე. აქედან გამომდინარე, ის იღებს უმცირეს მნიშვნელობას x = -1-ზე და ყველაზე დიდს x = 1-ზე.

მივიღეთ რკალი ფუნქციის დიაპაზონი .

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები სეგმენტზე.

გამოსავალი.

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ამ სეგმენტს.

მოდით განვსაზღვროთ ექსტრემალური წერტილები, სეგმენტს ეკუთვნის :

ჩვენ ვიანგარიშებთ ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და წერტილებში :

ამრიგად, სეგმენტზე ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არის სეგმენტი .

ახლა ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ უწყვეტი ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე y = f(x) ინტერვალებში (a; b) , .

პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ უკიდურეს წერტილებს, ფუნქციის ექსტრემას, მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალებს. შემდეგი, ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტერვალის ბოლოებზე და (ან) ზღვრებს უსასრულობაში (ანუ ვსწავლობთ ფუნქციის ქცევას ინტერვალის საზღვრებზე ან უსასრულობაში). ეს ინფორმაცია საკმარისია იმისთვის, რომ იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ასეთ ინტერვალებზე.

მაგალითი.

განსაზღვრეთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ინტერვალზე (-2; 2).

გამოსავალი.

ვიპოვოთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები, რომლებიც ეცემა ინტერვალზე (-2; 2):

Წერტილი x = 0 არის მაქსიმალური წერტილი, ვინაიდან წარმოებული მასში გავლისას ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, ხოლო ფუნქციის გრაფიკი გაზრდიდან კლებამდე მიდის.

არის ფუნქციის შესაბამისი მაქსიმუმი.

მოდით გავარკვიოთ ფუნქციის ქცევა, როდესაც x მარჯვნივ მიდრეკილია -2-ისკენ და როცა x მარცხნივ 2-ისკენ, ანუ ვპოულობთ ცალმხრივ ზღვრებს:

რა მივიღეთ: როდესაც არგუმენტი იცვლება -2-დან ნულამდე, ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება მინუს უსასრულობიდან მინუს მეოთხედმდე (ფუნქციის მაქსიმუმი x = 0 ზე), როცა არგუმენტი ნულიდან 2-მდე იცვლება, ფუნქცია მნიშვნელობები მცირდება მინუს უსასრულობამდე. ამრიგად, ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ინტერვალზე (-2; 2) არის .

მაგალითი.

ინტერვალზე მიუთითეთ tangent ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე y = tgx.

გამოსავალი.

ინტერვალზე ტანგენტის ფუნქციის წარმოებული დადებითია , რაც ფუნქციის ზრდაზე მიუთითებს. ჩვენ ვსწავლობთ ფუნქციის ქცევას ინტერვალის საზღვრებზე:

ამრიგად, როდესაც არგუმენტი იცვლება დან-დან, ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე, ანუ ტანგენტების სიმრავლე ამ ინტერვალში არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

მაგალითი.

იპოვნეთ ფუნქციის დიაპაზონი ბუნებრივი ლოგარითმი y = lnx.

გამოსავალი.

ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქცია განისაზღვრება არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის . ამ ინტერვალზე წარმოებული დადებითია , ეს მიუთითებს მასზე ფუნქციის ზრდაზე. მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის ცალმხრივი ზღვარი, რადგან არგუმენტი მარჯვნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, ხოლო x მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ როდესაც x იცვლება ნულიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე. ამრიგად, ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის დიაპაზონი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები.

მაგალითი.

გამოსავალი.

ეს ფუნქცია განისაზღვრება ყველა რეალური x მნიშვნელობისთვის. განვსაზღვროთ ექსტრემალური წერტილები, ასევე ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები.

მაშასადამე, ფუნქცია მცირდება ზე, იზრდება ზე, x = 0 არის მაქსიმალური წერტილი, ფუნქციის შესაბამისი მაქსიმუმი.

მოდით შევხედოთ ფუნქციის ქცევას უსასრულობაში:

ამრიგად, უსასრულობაში, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება ნულს.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ როდესაც არგუმენტი იცვლება მინუს უსასრულობიდან ნულამდე (მაქსიმალური წერტილი), ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება ნულიდან ცხრამდე (ფუნქციის მაქსიმუმამდე), ხოლო როდესაც x იცვლება ნულიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქციის მნიშვნელობები. ცხრადან ნულამდე შემცირება.

შეხედეთ სქემატურ ნახატს.

ახლა აშკარად ჩანს, რომ ფუნქციის დიაპაზონი არის .

y = f(x) ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნა ინტერვალებზე მოითხოვს მსგავს კვლევებს. ახლა ამ შემთხვევებზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ. ჩვენ ვიხილავთ მათ ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში.

მოდით, y = f(x) ფუნქციის დომენი იყოს რამდენიმე ინტერვალის კავშირი. ასეთი ფუნქციის დიაპაზონის პოვნისას, თითოეულ ინტერვალზე განისაზღვრება მნიშვნელობების სიმრავლე და მიიღება მათი კავშირი.

მაგალითი.

იპოვნეთ ფუნქციის დიაპაზონი.

გამოსავალი.

ჩვენი ფუნქციის მნიშვნელი არ უნდა გადავიდეს ნულზე, ანუ .

პირველი, მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ღია სხივზე.

ფუნქციის წარმოებული ამ ინტერვალზე უარყოფითია, ანუ მასზე ფუნქცია მცირდება.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ რადგან არგუმენტი მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტოტურად უახლოვდება ერთიანობას. როდესაც x იცვლება მინუს უსასრულობიდან ორამდე, ფუნქციის მნიშვნელობები მცირდება ერთიდან მინუს უსასრულობამდე, ანუ განხილულ ინტერვალზე ფუნქცია იღებს მნიშვნელობების ერთობლიობას. ჩვენ არ ვაერთიანებთ ერთიანობას, რადგან ფუნქციის მნიშვნელობები არ აღწევს მას, მაგრამ მხოლოდ ასიმპტომურად მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ.

ჩვენ ანალოგიურად ვიმოქმედებთ ღია სხივისთვის.

ფუნქცია ასევე მცირდება ამ ინტერვალზე.

ამ ინტერვალზე ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არის ნაკრები.

ამრიგად, ფუნქციის მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის კომპლექტების გაერთიანება და.

გრაფიკული ილუსტრაცია.

ცალკე უნდა ვისაუბროთ პერიოდულ ფუნქციებზე. პერიოდული ფუნქციების დიაპაზონი ემთხვევა მნიშვნელობების სიმრავლეს ამ ფუნქციის პერიოდის შესაბამის ინტერვალზე.

მაგალითი.

იპოვეთ y = sinx ფუნქციის დიაპაზონი.

გამოსავალი.

ეს ფუნქცია პერიოდულია ორი pi პერიოდით. ავიღოთ სეგმენტი და განვსაზღვროთ მასზე მნიშვნელობების ნაკრები.

სეგმენტი შეიცავს ორ უკიდურეს წერტილს და .

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს ამ წერტილებში და სეგმენტის საზღვრებზე, ვირჩევთ ყველაზე პატარა და უმაღლესი ღირებულება:

შესაბამისად, .

მაგალითი.

იპოვნეთ ფუნქციის დიაპაზონი .

გამოსავალი.

ჩვენ ვიცით, რომ არკოზინის დიაპაზონი არის სეგმენტი ნულიდან პიამდე, ანუ, ან სხვა პოსტში. ფუნქცია შეიძლება მივიღოთ arccosx-დან x-ღერძის გასწვრივ გადაადგილებით და გაჭიმვით. ასეთი გარდაქმნები გავლენას არ ახდენს დიაპაზონზე, ამიტომ, . ფუნქცია მოდის სამჯერ გადაჭიმული Oy ღერძის გასწვრივ, ანუ . გარდაქმნების ბოლო ეტაპი არის ცვლა ოთხი ერთეულით ქვემოთ y-ღერძის გასწვრივ. ეს მიგვიყვანს ორმაგ უთანასწორობამდე

ამრიგად, მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის .

მოდით მივცეთ გამოსავალი სხვა მაგალითზე, მაგრამ ახსნა-განმარტების გარეშე (ისინი არ არის საჭირო, რადგან ისინი სრულიად მსგავსია).

მაგალითი.

განსაზღვრეთ ფუნქციის დიაპაზონი .

გამოსავალი.

ჩვენ ვწერთ ორიგინალურ ფუნქციას ფორმაში . ღირებულების არეალი დენის ფუნქციაარის დიაპაზონი. ანუ, . მერე

შესაბამისად, .

სურათის დასასრულებლად, უნდა ვისაუბროთ ფუნქციის დიაპაზონის პოვნაზე, რომელიც არ არის უწყვეტი განსაზღვრების დომენზე. ამ შემთხვევაში, განმარტების დომენი იყოფა შესვენების წერტილებით ინტერვალებად და თითოეულ მათგანზე ვპოულობთ მნიშვნელობების სიმრავლეს. მიღებული მნიშვნელობების კომპლექტების გაერთიანებით, ჩვენ ვიღებთ ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონს. ჩვენ გირჩევთ გახსოვდეთ

ხშირად, პრობლემების გადაჭრის ფარგლებში, ჩვენ უნდა ვეძიოთ ფუნქციის მნიშვნელობების კომპლექტი განსაზღვრების დომენზე ან სეგმენტზე. მაგალითად, ეს უნდა გაკეთდეს ამოხსნისას განსხვავებული ტიპებიუტოლობები, გამოხატვის შეფასება და ა.შ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

როგორც ამ მასალის ნაწილი, ჩვენ გეტყვით, თუ რა არის ფუნქციის დიაპაზონი, მოგვცემთ ძირითად მეთოდებს, რომლითაც შესაძლებელია მისი გამოთვლა და გავაანალიზებთ ამოცანებს სხვადასხვა ხარისხითსირთულეები. სიცხადისთვის, ინდივიდუალური პოზიციები ილუსტრირებულია გრაფიკებით. ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ, თქვენ გექნებათ ყოვლისმომცველი გაგება ფუნქციის ფარგლების შესახებ.

დავიწყოთ ძირითადი განმარტებებით.

განმარტება 1

y = f (x) ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე ზოგიერთ ინტერვალზე x არის ყველა მნიშვნელობის სიმრავლე, რომელიც მოცემული ფუნქციაიღებს ყველა x ∈ X მნიშვნელობის ჩამოთვლას.

განმარტება 2

y = f (x) ფუნქციის დიაპაზონი არის მისი ყველა მნიშვნელობის სიმრავლე, რომელიც მას შეუძლია მიიღოს x მნიშვნელობებზე გამეორებისას x ∈ (f) ფართობიდან.

ზოგიერთი ფუნქციის დიაპაზონი ჩვეულებრივ აღინიშნება E (f)-ით.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის კონცეფცია ყოველთვის არ არის მისი მნიშვნელობების ფართობის იდენტური. ეს ცნებები ექვივალენტური იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მნიშვნელობების დიაპაზონი x მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნისას ემთხვევა ფუნქციის დომენს.

ასევე მნიშვნელოვანია განვასხვავოთ x ცვლადის დიაპაზონი და დიაპაზონი მარჯვენა მხარეს y = f (x) . მისაღები მნიშვნელობების ფართობი x გამოსახულებისთვის f (x) იქნება ამ ფუნქციის განსაზღვრის არე.

ქვემოთ მოცემულია ილუსტრაცია, რომელიც აჩვენებს რამდენიმე მაგალითს. ლურჯი ხაზები არის ფუნქციების გრაფიკები, წითელი ასიმპტოტები, წითელი წერტილები და y-ღერძზე ხაზები არის ფუნქციის დიაპაზონი.

ცხადია, ფუნქციის დიაპაზონის მიღება შესაძლებელია ფუნქციის გრაფიკის O y ღერძზე პროექციით. ამავდროულად, ეს შეიძლება იყოს ერთი რიცხვი ან რიცხვების ნაკრები, სეგმენტი, ინტერვალი, ღია სხივი, რიცხვითი ინტერვალების გაერთიანება და ა.შ.

განვიხილოთ ფუნქციის დიაპაზონის პოვნის ძირითადი გზები.

დავიწყოთ უწყვეტი ფუნქციის y = f (x) მნიშვნელობების სიმრავლის განსაზღვრით გარკვეულ სეგმენტზე, დანიშნული [a; ბ] . ჩვენ ვიცით, რომ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია გარკვეულ ინტერვალზე, აღწევს მასზე თავის მინიმუმს და მაქსიმუმს, ანუ მაქსიმუმს m a x x ∈ a ; b f (x) და ყველაზე პატარა მნიშვნელობა m i n x ∈ a ; b f (x) . ასე რომ, ვიღებთ m i n x ∈ a სეგმენტს; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , რომელიც შეიცავს ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეს. შემდეგ ყველაფერი რაც უნდა გავაკეთოთ არის ამ სეგმენტზე მითითებული მინიმალური და მაქსიმალური ქულების პოვნა.

ავიღოთ პრობლემა, რომელშიც აუცილებელია რკალის მნიშვნელობების დიაპაზონის დადგენა.

მაგალითი 1

მდგომარეობა:იპოვეთ დიაპაზონი y = a r c sin x.

გამოსავალი

AT ზოგადი შემთხვევარკალის განსაზღვრის დომენი მდებარეობს სეგმენტზე [-1; ერთი ] . ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ყველაზე დიდი და პატარა მნიშვნელობა მითითებული ფუნქციაᲛასზე.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

ჩვენ ვიცით, რომ ფუნქციის წარმოებული დადებითი იქნება ყველა x მნიშვნელობისთვის, რომელიც მდებარეობს ინტერვალში [-1; 1 ], ანუ, განსაზღვრების მთელ დომენში, რკალის ფუნქცია გაიზრდება. ეს ნიშნავს, რომ ის მიიღებს უმცირეს მნიშვნელობას, როდესაც x უდრის - 1-ს, ხოლო ყველაზე დიდს - როცა x უდრის 1-ს.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

ამრიგად, რკალი ფუნქციის დიაპაზონი ტოლი იქნება E (a r c sin x) = - π 2; π 2 .

პასუხი: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

მაგალითი 2

მდგომარეობა:გამოთვალეთ დიაპაზონი y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 ჩართული მოცემული სეგმენტი [ 1 ; 4 ] .

გამოსავალი

ყველაფერი რაც ჩვენ უნდა გავაკეთოთ არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის გამოთვლა მოცემული ინტერვალი.

ექსტრემალური წერტილების დასადგენად, აუცილებელია შემდეგი გამოთვლების შესრულება:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 და l და 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2.59 ∈ 1;4

ახლა იპოვნეთ ღირებულებები მოცემული ფუნქციასეგმენტის ბოლოებში და წერტილებში x 2 \u003d 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 წ (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები განისაზღვრება სეგმენტით 117 - 165 33 512; 32 .

პასუხი: 117 - 165 33 512 ; 32 .

მოდით გადავიდეთ უწყვეტი ფუნქციის y = f (x) მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნაზე (a ; b) და a ; + ∞ , - ∞ ; ბ , -∞ ; +∞.

დავიწყოთ ყველაზე დიდი და ყველაზე პატარა წერტილი, ასევე მოცემულ ინტერვალზე მატებისა და კლების ინტერვალები. ამის შემდეგ დაგვჭირდება ცალმხრივი ლიმიტების გამოთვლა ინტერვალის ბოლოებში და/ან ლიმიტები უსასრულობაში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ფუნქციის ქცევა მოცემულ პირობებში. ამისათვის ჩვენ გვაქვს ყველა საჭირო მონაცემი.

მაგალითი 3

მდგომარეობა:გამოთვალეთ y = 1 x 2 - 4 ფუნქციის დიაპაზონი ინტერვალზე (- 2 ; 2) .

გამოსავალი

განსაზღვრეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ ინტერვალზე

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

მივიღეთ მაქსიმალური მნიშვნელობა 0-ის ტოლი, ვინაიდან სწორედ ამ დროს იცვლება ფუნქციის ნიშანი და გრაფიკი იწყებს კლებას. იხილეთ ილუსტრაცია:

ანუ y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 იქნება მაქსიმალური მნიშვნელობებიფუნქციები.

ახლა განვსაზღვროთ ფუნქციის ქცევა ასეთი x-ისთვის, რომელიც მიდრეკილია - 2 წმ მარჯვენა მხარედა k + 2 მარცხენა მხარეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვპოულობთ ცალმხრივ საზღვრებს:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

მივიღეთ, რომ ფუნქციის მნიშვნელობები გაიზრდება მინუს უსასრულობიდან -14-მდე, როდესაც არგუმენტი იცვლება -2-დან 0-მდე. და როდესაც არგუმენტი იცვლება 0-დან 2-მდე, ფუნქციის მნიშვნელობები მცირდება მინუს უსასრულობისკენ. მაშასადამე, მოცემული ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ჩვენთვის საჭირო ინტერვალზე იქნება (- ∞ ; - 1 4 ] .

პასუხი: (- ∞ ; - 1 4 ] .

მაგალითი 4

მდგომარეობა: მიუთითეთ მნიშვნელობების სიმრავლე y = t g x მოცემულ ინტერვალზე - π 2 ; π 2 .

გამოსავალი

ჩვენ ვიცით, რომ ზოგადად, ტანგენსის წარმოებული - π 2; π 2 იქნება დადებითი, ანუ ფუნქცია გაიზრდება. ახლა განვსაზღვროთ, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია მოცემულ საზღვრებში:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

ჩვენ მივიღეთ ფუნქციის მნიშვნელობების ზრდა მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე, როდესაც არგუმენტი იცვლება - π 2-დან π 2-მდე და შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ ფუნქციის ამონახსნების სიმრავლე იქნება ყველა რეალურის სიმრავლე. ნომრები.

პასუხი: - ∞ ; + ∞ .

მაგალითი 5

მდგომარეობა:დაადგინეთ რა არის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის დიაპაზონი y = ln x.

გამოსავალი

ჩვენ ვიცით, რომ ეს ფუნქცია განსაზღვრულია დადებითი ღირებულებებიარგუმენტი D (y) = 0 ; +∞. წარმოებული მოცემულ ინტერვალზე დადებითი იქნება: y " = ln x " = 1 x . ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია იზრდება მასზე. შემდეგი, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ცალმხრივი ზღვარი იმ შემთხვევისთვის, როდესაც არგუმენტი მიდის 0-მდე (მარჯვნივ მხარეს) და როდესაც x მიდის უსასრულობამდე:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქციის მნიშვნელობები გაიზრდება მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე, რადგან x მნიშვნელობები იცვლება ნულიდან პლუს უსასრულობამდე. ეს ნიშნავს, რომ ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე არის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის დიაპაზონი.

პასუხი:ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე არის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის დიაპაზონი.

მაგალითი 6

მდგომარეობა:დაადგინეთ რა არის y = 9 x 2 + 1 ფუნქციის დიაპაზონი.

გამოსავალი

ეს ფუნქცია განისაზღვრება იმ პირობით, რომ x არის რეალური რიცხვი. მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, ასევე მისი ზრდისა და შემცირების ინტერვალები:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

შედეგად, ჩვენ დავადგინეთ, რომ ეს ფუნქცია შემცირდება, თუ x ≥ 0; იზრდება თუ x ≤ 0 ; მას აქვს მაქსიმალური წერტილი y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, როდესაც ცვლადი არის 0.

ვნახოთ, როგორ იქცევა ფუნქცია უსასრულობაში:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

ჩანაწერიდან ჩანს, რომ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ შემთხვევაში ასიმპტომურად მიუახლოვდება 0-ს.

შეჯამება: როდესაც არგუმენტი იცვლება მინუს უსასრულობიდან ნულამდე, მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება 0-დან 9-მდე. როგორც არგუმენტის მნიშვნელობები მიდის 0-დან პლუს უსასრულობამდე, შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები შემცირდება 9-დან 0-მდე. ჩვენ ეს გამოვხატეთ ფიგურაში:

ის გვიჩვენებს, რომ ფუნქციის დიაპაზონი იქნება ინტერვალი E (y) = (0 ; 9 ]

პასუხი: E (y) = (0 ; 9 ]

თუ უნდა განვსაზღვროთ y = f (x) ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე ინტერვალებზე [a; ბ) , (a ; b ] , [a ; + ∞), (- ∞ ; b ] , მაშინ დაგვჭირდება ზუსტად იგივე კვლევების ჩატარება. ამ შემთხვევებს ჯერ არ გავაანალიზებთ: მოგვიანებით შევხვდებით პრობლემებში. .

მაგრამ რა მოხდება, თუ გარკვეული ფუნქციის დომენი არის რამდენიმე ინტერვალის გაერთიანება? შემდეგ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მნიშვნელობების ნაკრები თითოეულ ამ ინტერვალზე და გავაერთიანოთ ისინი.

მაგალითი 7

მდგომარეობა:განსაზღვრეთ რა იქნება y = x x - 2 დიაპაზონი.

გამოსავალი

ვინაიდან ფუნქციის მნიშვნელი არ უნდა იქცეს 0-ად, მაშინ D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞.

დავიწყოთ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის განსაზღვრით პირველ სეგმენტზე - ∞ ; 2, რომელიც არის ღია სხივი. ვიცით, რომ მასზე ფუნქცია შემცირდება, ანუ ამ ფუნქციის წარმოებული იქნება უარყოფითი.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

შემდეგ, იმ შემთხვევებში, როდესაც არგუმენტი იცვლება მინუს უსასრულობისკენ, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტოტურად მიუახლოვდება 1-ს. თუ x-ის მნიშვნელობები იცვლება მინუს უსასრულობიდან 2-მდე, მაშინ მნიშვნელობები შემცირდება 1-დან მინუს უსასრულობამდე, ე.ი. ამ სეგმენტზე ფუნქცია მიიღებს მნიშვნელობებს ინტერვალიდან - ∞; ერთი . ჩვენ გამოვრიცხავთ ერთიანობას ჩვენი მსჯელობიდან, რადგან ფუნქციის მნიშვნელობები არ აღწევს მას, მაგრამ მხოლოდ ასიმპტომურად უახლოვდება მას.

ღია სხივისთვის 2; + ∞ ჩვენ ვასრულებთ ზუსტად იგივე მოქმედებებს. მასზე ფუნქციაც მცირდება:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

ამ სეგმენტზე ფუნქციის მნიშვნელობები განისაზღვრება სიმრავლით 1; +∞. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენთვის საჭირო მდგომარეობაში მითითებული ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი იქნება სიმრავლეთა გაერთიანება - ∞; 1 და 1; +∞.

პასუხი: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞.

ეს ჩანს გრაფიკზე:

განსაკუთრებული შემთხვევაა პერიოდული ფუნქციები. მათი ღირებულების არეალი ემთხვევა მნიშვნელობების სიმრავლეს იმ ინტერვალზე, რომელიც შეესაბამება ამ ფუნქციის პერიოდს.

მაგალითი 8

მდგომარეობა:განსაზღვრეთ y = sin x დიაპაზონი.

გამოსავალი

სინუსი ეხება პერიოდულ ფუნქციას და მისი პერიოდი არის 2 pi. ვიღებთ სეგმენტს 0; 2 π და ნახეთ რა იქნება მასზე მნიშვნელობების ნაკრები.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0-ის ფარგლებში; 2 π ფუნქციას ექნება უკიდურესი წერტილები π 2 და x = 3 π 2 . მოდით გამოვთვალოთ რისი ტოლი იქნება ფუნქციის მნიშვნელობები მათში, ასევე სეგმენტის საზღვრებზე, რის შემდეგაც ვირჩევთ უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობას.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

პასუხი: E (sinx) = - 1; ერთი .

თუ თქვენ უნდა იცოდეთ ფუნქციების დიაპაზონი, როგორიცაა ექსპონენციალური, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული, მაშინ გირჩევთ ხელახლა წაიკითხოთ სტატია მთავარის შესახებ. ელემენტარული ფუნქციები. თეორია, რომელიც ჩვენ აქ წარმოგიდგენთ, საშუალებას გვაძლევს შევამოწმოთ იქ მითითებული მნიშვნელობები. სასურველია მათი სწავლა, რადგან ხშირად საჭიროა პრობლემების გადაჭრაში. თუ იცით ძირითადი ფუნქციების დიაპაზონი, მაშინ მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ ფუნქციების დიაპაზონები, რომლებიც მიიღება ელემენტარულიდან გეომეტრიული ტრანსფორმაციის გამოყენებით.

მაგალითი 9

მდგომარეობა:განსაზღვრეთ დიაპაზონი y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

გამოსავალი

ჩვენ ვიცით, რომ სეგმენტი 0-დან pi-მდე არის შებრუნებული კოსინუსის დიაპაზონი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, E (a r c cos x) = 0; π ან 0 ≤ a r c cos x ≤ π . რკალის კოსინუსიდან a r c cos x 3 + 5 π 7 ფუნქცია შეგვიძლია მივიღოთ მისი O x ღერძის გასწვრივ გადაადგილებით და გაჭიმვით, მაგრამ ასეთი გარდაქმნები არაფერს მოგვცემს. აქედან გამომდინარე, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

ფუნქცია 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 შეიძლება მივიღოთ შებრუნებული კოსინუსიდან a r c cos x 3 + 5 π 7 y ღერძის გასწვრივ გაჭიმვით, ე.ი. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . საბოლოო ტრანსფორმაცია არის ცვლა O y ღერძის გასწვრივ 4 მნიშვნელობით. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ორმაგ უტოლობას:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

მივიღეთ, რომ ჩვენთვის საჭირო დიაპაზონი ტოლი იქნება E (y) = - 4 ; 3 პი - 4.

პასუხი: E (y) = - 4; 3 პი - 4.

ახსნა-განმარტების გარეშე დავწეროთ კიდევ ერთი მაგალითი, რადგან ის სრულიად წააგავს წინას.

მაგალითი 10

მდგომარეობა:გამოთვალეთ რა იქნება y = 2 2 x - 1 + 3 ფუნქციის დიაპაზონი.

გამოსავალი

მოდით გადავიწეროთ პირობაში მოცემული ფუნქცია, როგორც y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . სიმძლავრის ფუნქციისთვის y = x - 1 2 დიაპაზონი განისაზღვრება 0 ინტერვალზე; + ∞ , ე.ი. x - 1 2 > 0 . Ამ შემთხვევაში:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

ასე რომ, E (y) = 3; +∞.

პასუხი: E (y) = 3; +∞.

ახლა მოდით შევხედოთ როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის დიაპაზონი, რომელიც არ არის უწყვეტი. ამისათვის ჩვენ უნდა დავყოთ მთელი ტერიტორია ინტერვალებად და ვიპოვოთ მნიშვნელობების ნაკრები თითოეულ მათგანზე, შემდეგ კი გავაერთიანოთ ის, რაც გვაქვს. ამის უკეთ გასაგებად, გირჩევთ, გადახედოთ ფუნქციის წყვეტის წერტილების ძირითად ტიპებს.

მაგალითი 11

მდგომარეობა:მოცემულია ფუნქცია y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . გამოთვალეთ მისი დიაპაზონი.

გამოსავალი

ეს ფუნქცია განისაზღვრება ყველა x მნიშვნელობისთვის. მოდით გავაანალიზოთ ის უწყვეტობისთვის არგუმენტის მნიშვნელობებით ტოლი - 3 და 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

ჩვენ გვაქვს პირველი სახის გამოუსწორებელი შეწყვეტა არგუმენტის მნიშვნელობით - 3. როგორც კი მიუახლოვდებით, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია - 2 sin 3 2 - 4, და როგორც x მიდრეკილია - 3-ზე მარჯვენა მხარეს, მნიშვნელობები მიდრეკილია - 1-მდე.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

მე-3 წერტილში გვაქვს მეორე სახის შეუქცევადი შეწყვეტა. როდესაც ფუნქცია მიდრეკილია მისკენ, მისი მნიშვნელობები უახლოვდება - 1-ს, ხოლო მარჯვნივ იმავე წერტილისკენ - მინუს უსასრულობამდე.

ეს ნიშნავს, რომ ამ ფუნქციის განსაზღვრის მთელი დომენი იყოფა 3 ინტერვალად (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

პირველ მათგანზე მივიღეთ ფუნქცია y \u003d 2 sin x 2 - 4. ვინაიდან - 1 ≤ sin x ≤ 1 , მივიღებთ:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

ეს ნიშნავს, რომ ამ ინტერვალზე (- ∞ ; - 3 ] ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არის [-6; 2].

ნახევარ ინტერვალზე (- 3 ; 3 ] გამოვიდა მუდმივი ფუნქცია y = - 1 . ამიტომ, მისი ღირებულებების მთელი ნაკრები შედის ამ საქმესდაიყვანება ერთ რიცხვამდე - 1 .

მეორე ინტერვალზე 3; + ∞ გვაქვს ფუნქცია y = 1 x - 3 . ის მცირდება, რადგან y" = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

აქედან გამომდინარე, ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე x > 3-ისთვის არის 0 სიმრავლე; +∞. ახლა გავაერთიანოთ შედეგები: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞.

პასუხი: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞.

გამოსავალი ნაჩვენებია გრაფიკზე:

მაგალითი 12

მდგომარეობა: არსებობს ფუნქცია y = x 2 - 3 e x . განსაზღვრეთ მისი მნიშვნელობების ნაკრები.

გამოსავალი

იგი განსაზღვრულია ყველა არგუმენტის მნიშვნელობისთვის, რომელიც არის რეალური რიცხვები. მოდით განვსაზღვროთ, რა ინტერვალებით გაიზრდება ეს ფუნქცია და რომელ შემცირდება:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

ჩვენ ვიცით, რომ წარმოებული გახდება 0, თუ x = - 1 და x = 3. ამ ორ წერტილს ვათავსებთ ღერძზე და გავარკვევთ, რა ნიშნები ექნება წარმოებულს მიღებულ ინტერვალებზე.

ფუნქცია შემცირდება (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) და გაიზრდება [ - 1 ; 3]. მინიმალური ქულა იქნება - 1 , მაქსიმალური - 3 .

ახლა ვიპოვოთ შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

მოდით შევხედოთ ფუნქციის ქცევას უსასრულობაში:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

მეორე ლიმიტის გამოსათვლელად გამოყენებული იქნა L'Hopital-ის წესი. მოდით გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი გრაფიკზე.

ეს გვიჩვენებს, რომ ფუნქციის მნიშვნელობები შემცირდება პლუს უსასრულობიდან -2 e-მდე, როდესაც არგუმენტი იცვლება მინუს უსასრულობიდან -1-მდე. თუ ის იცვლება 3-დან პლუს უსასრულობამდე, მაშინ მნიშვნელობები შემცირდება 6 e - 3-დან 0-მდე, მაგრამ 0 არ მიიღწევა.

ამრიგად, E (y) = [ - 2 e ; +∞).

პასუხი: E (y) = [ - 2 e ; +∞)

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მოდი ვნახოთ, როგორ გამოვიკვლიოთ ფუნქცია გრაფიკის გამოყენებით. გამოდის, რომ გრაფიკის დათვალიერებისას შეგიძლიათ გაიგოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს, კერძოდ:

• ფუნქციის ფარგლები
• ფუნქციის დიაპაზონი
• ფუნქცია ნულები
• ზრდისა და შემცირების პერიოდები
• მაღალი და დაბალი წერტილები
• სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.

მოდით დავაზუსტოთ ტერმინოლოგია:

აბსციზაარის წერტილის ჰორიზონტალური კოორდინატი.
ორდინატი- ვერტიკალური კოორდინატი.
აბსცისი - ჰორიზონტალური ღერძი, ყველაზე ხშირად მოიხსენიება როგორც ღერძი.
Y-ღერძი- ვერტიკალური ღერძი, ან ღერძი.

არგუმენტიარის დამოუკიდებელი ცვლადი, რომელზედაც დამოკიდებულია ფუნქციის მნიშვნელობები. ყველაზე ხშირად მითითებულია.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ, ჩავნაცვლებთ ფუნქციის ფორმულაში და ვიღებთ.

დომენიფუნქციები - არგუმენტის იმ (და მხოლოდ იმ) მნიშვნელობების ნაკრები, რომლისთვისაც არსებობს ფუნქცია.
აღინიშნება: ან .

ჩვენს ფიგურაში ფუნქციის დომენი არის სეგმენტი. სწორედ ამ სეგმენტზეა დახატული ფუნქციის გრაფიკი. მხოლოდ აქ არის ეს ფუნქცია.

ფუნქციის დიაპაზონიარის მნიშვნელობების ნაკრები, რომელსაც იღებს ცვლადი. ჩვენს ფიგურაში ეს არის სეგმენტი - ყველაზე დაბალიდან უმაღლეს მნიშვნელობამდე.

ფუნქცია ნულები- წერტილები, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ე.ი. ჩვენს ფიგურაში ეს არის პუნქტები და .

ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითიასად . ჩვენს ფიგურაში ეს არის ინტერვალები და .
ფუნქციის მნიშვნელობები უარყოფითიასად . ჩვენ გვაქვს ეს ინტერვალი (ან ინტერვალი) დან.

ძირითადი ცნებები - ფუნქციების გაზრდა და შემცირებარაღაც კომპლექტზე. როგორც ნაკრები, შეგიძლიათ აიღოთ სეგმენტი, ინტერვალი, ინტერვალების გაერთიანება ან მთელი რიცხვითი ხაზი.

ფუნქცია იზრდება

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო მეტი, მით მეტი, ანუ გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ზემოთ.

ფუნქცია მცირდებასიმრავლეზე თუ რომელიმესთვის და სიმრავლის კუთვნილება უტოლობა გულისხმობს უტოლობას.

კლებადი ფუნქციისთვის, უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება უფრო მცირე მნიშვნელობას. გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ქვევით.

ჩვენს ფიგურაში ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე და მცირდება ინტერვალებზე და .

მოდით განვსაზღვროთ რა არის ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

მაქსიმალური ქულა- ეს არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა მეტია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მაქსიმალური წერტილი არის ისეთი წერტილი, ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელშიც მეტივიდრე მეზობელებში. ეს არის ადგილობრივი "გორაკი" გრაფიკზე.

ჩვენს ფიგურაში - მაქსიმალური ქულა.

დაბალი წერტილი- განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
ანუ მინიმალური წერტილი ისეთია, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მეზობელებში. გრაფიკზე, ეს არის ადგილობრივი "ხვრელი".

ჩვენს ფიგურაში - მინიმალური ქულა.

წერტილი არის საზღვარი. ის არ არის შიდა წერტილიგანსაზღვრების დომენი და, შესაბამისად, არ ჯდება მაქსიმალური წერტილის განმარტებაში. ბოლოს და ბოლოს, მას მეზობლები არ ჰყავს მარცხენა მხარეს. ანალოგიურად, არ შეიძლება იყოს მინიმალური წერტილი ჩვენს გრაფიკზე.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები იწოდება ერთობლივად ფუნქციის უკიდურესი წერტილები. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის და .

მაგრამ რა მოხდება, თუ თქვენ უნდა იპოვოთ, მაგალითად, ფუნქციის მინიმუმიჭრილზე? ამ შემთხვევაში პასუხი ასეთია: რადგან ფუნქციის მინიმუმიარის მისი მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში.

ანალოგიურად, ჩვენი ფუნქციის მაქსიმალური არის . ის მიღწეულია წერტილში.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქციის უკიდურესობები ტოლია და .

ზოგჯერ ამოცანებში უნდა იპოვოთ უდიდესი და უმცირესი ღირებულებაფუნქციებიმოცემულ სეგმენტზე. ისინი სულაც არ ემთხვევა უკიდურესობებს.

ჩვენს შემთხვევაში ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობაინტერვალზე ტოლია და ემთხვევა ფუნქციის მინიმუმს. მაგრამ მისი უდიდესი მნიშვნელობა ამ სეგმენტზე უდრის . იგი მიიღწევა სეგმენტის მარცხენა ბოლოში.

ნებისმიერ შემთხვევაში, სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მიიღწევა ან უკიდურეს წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.