სამმაგი სალტო საზღვაო იახტებზე ბალასტი დაბალია, რაც არ აძლევს მათ საშუალებას ზედმეტად ქუსლიანი და, ზოგადად, გადახრის. თუმცა, ხდება ისე, რომ იახტა მაინც დაფრინავს სალტოზე, როგორც უბალასტო იოლი, და ეს ხდება მხოლოდ აქ - დიდ სამხრეთ ოკეანეში. მე ვიცი

პროპორციების დახმარებით გადაწყვეტილი ამოცანები ტრადიციულად სწავლობენ არითმეტიკის კურსს 5-6 კლასებში. ითვლება, რომ სწორედ ამ ასაკში უნდა ისწავლონ მოსწავლეებმა პროპორციების ამოხსნა, გაეცნონ ორ პრაქტიკულად მნიშვნელოვან დამოკიდებულებას - პირდაპირ და შებრუნებულ პროპორციებს, ისწავლონ მათი გარჩევა და შესაბამისი ამოცანების ამოხსნა. პროპორციების და მითითებული დამოკიდებულებების შესწავლას ნაკლებად აქვს საერთო არითმეტიკული კურსის საჭიროებებთან ან მე-6 კლასში ამოცანების ამოხსნის სწავლების საჭიროებებთან - სახელმძღვანელოებში არ არის პირდაპირი და უკუპროპორციული ამოცანები, რომლებიც ვერ გადაიჭრება პროპორციების გარეშე. . თუმცა პროპორციების გამოყენებას დიდი მნიშვნელობა აქვს მათემატიკის შემდგომი შესწავლისთვის. მე-6 კლასის სახელმძღვანელოებში ხშირად შემოთავაზებულია პროცენტული ამოცანების გადაჭრა პროპორციების გამოყენებით. თუმცა, ჩვენი აზრით, პროცენტული პრობლემების გადაჭრა არ საჭიროებს პროპორციების გამოყენებას.

მოდით განვიხილოთ პროპორციებზე ამოცანების გადაჭრის ტექნიკა, რომელიც, როგორც ჩანს, ეკუთვნის ქიმიის მასწავლებლებს, რომლებიც დაიღალნენ სტუდენტების პროცენტული გამოთვლების ცუდი ცოდნით. ეს იშლება რჩევაზე: ჩანაწერზე

400 გხსნარი - 100%

20 გრ მარილი - x%

გამოყავით რიცხვითი მონაცემების ორი ხაზი ორ სტრიქონში, შეაერთეთ ორი ხაზი, სანამ არ მიიღებთ ნიშანს
"=" და ამოხსენით მიღებული პროპორცია:

400 / 20 = 100 /X.

ზოგჯერ გადაჭრის პროცესში პროპორცია ცალსახად არ არის დაფიქსირებული. მაგალითად, სტუდენტის სახელმძღვანელოში "500 პრობლემა ქიმიაში" (Prosveshchenie, 1981), მოცემულია ამოხსნის მოკლე ჩანაწერი:

ბ) 32 გგოგირდები ერწყმის 32 გ ჟანგბადს და

x g » 8 გ »

x = 32 8/ 32 = 8 (დ).

in) 32 გგოგირდები ერწყმის 48 გ ჟანგბადს და

x g » 8 გ »

x = 32 8/ 48 = 5.33 (გ).

როგორც ხედავთ, აქ პროპორციები დარჩა "კულისებში", სტუდენტებს შეუძლიათ გაამრავლონ და დაყვეს რიცხვები "ჯვარედინად". გამოსავლის შემუშავების ამ ხერხში გასაკიცავი არაფერია, სავსებით შესაძლებელია მისი გამოყენება ამოხსნისას დიდი რიცხვიმსგავსი ამოცანები ქიმიის გაკვეთილებზე. მართალია, ჩვენ არ გამოვიყენებდით უხერხულ ზოგად ხრიკს აშკარა „ბ“ შემთხვევაში და „გ“ შემთხვევაში „≈“-ის ნაცვლად ნიშანს „="“ გამოვიყენებდით. მაგრამ დარწმუნებული ვართ, რომ თუ მოსწავლეს არ ესმის პროპორციები და არ შეუძლია ახსნას თავისი ქმედებების მნიშვნელობა, მაშინ მოდელის მიხედვით პრობლემების გადაჭრა ნაკლებად გამოდგება მის განვითარებაში.

კარგია ქიმიკოსებისთვის! ისინი პირდაპირ პროპორციულობას ეხება. და მე-6 კლასის მოსწავლეებს (განსაკუთრებით მათ, ვინც გამოტოვა მასწავლებლის ახსნა) ზოგჯერ სახლიდან მოაქვს პირველი ამოცანის გადაჭრის ეს გზა პროპორციულად: ”ჩვენ ვამრავლებთ რიცხვებს ჯვარედინად: 20-ჯერ 100-ზე, x- 400-ით ვაიგივებთ მიღებულ შედეგებს და ვპოულობთ x". ასეთ სტუდენტებს უჭირთ პროპორციების გამოყენება ასწავლონ, რადგან ისინი საკუთარ მეთოდს უფრო მარტივს თვლიან, მაგრამ ეს სირთულე ადვილად იშლება მას შემდეგ, რაც შებრუნებული პროპორციულობის ამოცანების ამოხსნას ცდილობენ „ჯვარედინი“ მეთოდით.

გაითვალისწინეთ, რომ წესი „გამრავლება და გაყოფა ჯვარედინად“ წააგავს იმ წესებს, რომლებსაც ძველად იყენებდნენ არითმეტიკული ამოცანების გადაჭრისას. ვისარგებლოთ ამ გარემოებით და კიდევ ერთხელ დავუბრუნდეთ კითხვის ისტორიას. მაგრამ ჯერ მოდით განვმარტოთ ტერმინოლოგია.

AT ძველი დრომრავალი სახის პრობლემის გადასაჭრელად არსებობდა მათი გადაჭრის სპეციალური წესები. ჩვენთვის ნაცნობ პრობლემებს პირდაპირი და უკუპროპორციულობისთვის, რომლებშიც აუცილებელია ორი სიდიდის მეოთხე მნიშვნელობის პოვნა სამი მნიშვნელობით, ეწოდა ამოცანები სამმაგი წესისთვის (მარტივი სამმაგი წესი). თუ ხუთი მნიშვნელობა იყო მოცემული სამ რაოდენობაზე და საჭირო იყო მეექვსის პოვნა, მაშინ წესს ერქვა ხუთი. ანალოგიურად, ოთხი რაოდენობით არსებობდა "სეპტენარული" წესი. ამ წესებს ასევე უწოდეს ამოცანები რთული სამმაგი წესისთვის.

ჩვენი წიგნის პირველი აბზაცის შესავალ სტატიაში მოვიყვანეთ ფრაგმენტი ი.ბეშენშტეინის წიგნიდან (1514 წ.), რომელიც ასახავს მასწავლებლების თითქმის მისტიკურ დამოკიდებულებას. სამმაგი წესი, ხოლო თავად მასალის პრეზენტაციას აქვს გამოხატული რეცეპტორული ხასიათი. წესების მიხედვით სწავლება ფართოდ იყო გავრცელებული რუსეთშიც. მსურს აღწეროს ლ.ფ. მაგნიტსკი, მივმართავთ ს.ი. შოხორ-ტროცკი, რომელიც თავის "არითმეტიკის მეთოდებში საშუალო საგანმანათლებლო დაწესებულებების მასწავლებლებისთვის" წერდა: "რამდენად უხვად იყო წიგნები არითმეტიკის შესახებ ძველ დროში წესებით, შეიძლება ვიმსჯელოთ ლეონტი მაგნიტსკის ნაშრომით, რომელიც თავის დროზე ძალიან პატივსაცემია . .. პირველ წიგნში ... მთელი და წილადი რიცხვების შესახებ მრავალი წესის გარდა, ჩამოყალიბებულია წესები, რომელსაც ავტორი უწოდებს „მსგავსს“ (ამჟამად უწოდებენ სამმაგს) ... ავტორი განასხვავებს: წესი სამმაგია. მთელი რიცხვები, წესი წილადებში სამმაგია, წესი სამმაგი შეკუმშულია, წესი არის „რეაქტიული“ (უკუპროპორციული), წესი ხუთია, წესი არის „სეპტენარული“... და შემდეგ, ამ გამოყენების სახით. წესების მიხედვით, ის გთავაზობთ უამრავ „სტატიას“: სამმაგი სავაჭრო სტატია („მთლიანობაში“ და „წილებით“), სამმაგი სავაჭრო სტატია შესყიდვებისა და გაყიდვების შესახებ, სამმაგი სავაჭრო სტატია გაყიდვადი ბოსტნეულით და „ნიშნით“ ( ანუ საქონლის შეფუთვის გაანგარიშების შესახებ), „ყიდვა“ და „ზედნადები“, „კითხვა“ სამმაგი წესის შესახებ, „კითხვა დროიდან“, „ბიზნესი სამმაგი წესით“, ვაჭრობა „ბირჟაზე“. სამმაგი წესი”...

შემდგომი S.I. შოხორ-ტროცკი მოჰყავს ფრაგმენტი "არითმეტიკიდან" ლ.ფ. მაგნიტსკი, საიდანაც ნათლად ჩანს, რომ ადრინდელი ევროპული წყაროებისთვის დამახასიათებელი მასალის წარდგენის რეცეპტური სტილი ჯერ არ არის დაძლეული პირველ რუსულ არითმეტიკის სახელმძღვანელოში. ხუთი წესის გამოყენების ამ ფრაგმენტში ჯერ მოცემულია წესის განმარტება და გამოყენების მაგალითი (პრობლემის ტექსტი აქ არის დახრილი), შემდეგ პასუხის მიღების რეცეპტი; სხვა შემთხვევებში რეკომენდებულია იგივე.

„არსებობს ხუთპუნქტიანი წესი, როცა ასეთი შეფასებები ხდება, სხვა წოდებით ან წესით არ შეიძლება მათი გაგება, მხოლოდ ამ ხუთპუნქტიანი ან ხუთქულიანი წესით ლაპარაკობენ სამმაგ ძლიერზეც... რადგან ხუთი სიაა. [ნომრები] მოწოდებულია წესში და მეექვსე არის გამოგონილი...: ვისაც აქვს ვაჭრებში ასი მანეთი ერთი წლის განმავლობაში და თუ ისინი შეიძენენ მხოლოდ 7 მანეთს და ის პაკეტებს 1000 მანეთს აძლევს ვაჭრებს 5 წლის განმავლობაში, რამდენს შეიძენს მათთან ერთად;და შენ აყოვნებ, სამმაგი წესის დასაწყისს აყენებ:

წელიწადი

100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5

და გაამრავლეთ ორი სია მარცხენა ხელიდან ერთმანეთში, ასევე დანარჩენი სამი მსგავსი მარჯვენა ხელიასე რომ, გაამრავლეთ ერთმანეთში თანმიმდევრობით და გაყავით მათი ნამრავლი ამ ნამრავლზე პირველი ორიდან, რომ გამოუშვით: როგორც აქ არის. [იქვე.]

ჩვენ ვისაუბრებთ სასწავლო პროცესში ამ ტიპის ამოცანების გამოყენების შესაძლებლობაზე, მაგრამ ჯერჯერობით, წესის დაცვით, მივიღებთ სწორ პასუხს:

(7 1000 5): (100 1) = 350 ( რ.).

დროს ს.ი. შოხორ-ტროცკიმ კვლავ შეინარჩუნა პრობლემების წესების მიხედვით გადაჭრის ტრადიცია. იმ დროის ყველაზე ცნობილი არითმეტიკული სახელმძღვანელო იყო A.P. კისელევა (პირველი გამოცემა 1884 წ.). იმისათვის, რომ მკითხველმა მიიღოს წარმოდგენა ამ სახელმძღვანელოში სამმაგი წესით დავალებებთან დაკავშირებული მასალის წარდგენის მეთოდზე, წარმოიდგინოს იმ დროს სკოლის მოსწავლეების სწავლების პრაქტიკა პირდაპირ და უკუპროპორციულობით ამოცანების გადაჭრაზე. , შემოგთავაზებთ რამდენიმე ამონარიდს ამ სახელმძღვანელოს მე-9 გამოცემიდან (1896 წ.). ჩვენი კომენტარები ტექსტში არის დახრილი.

სამი მარტივი წესი.

ამ წესის ამოცანები წყდება პროპორციების ან ერთიანობამდე შემცირების მეთოდით.

დავალება. ქსოვილის 8 არშინი ღირს 30 მანეთი; რამდენი ღირს ამ ქსოვილის 15 არშინი?

ერთად p შესახებ დაახლოებით დაახლოებით შესახებ და y. ასოთი აღვნიშნოთ xფასი
15 არს. ჩაიცვით და დაალაგეთ ნომრები ასე:

არშინების რაოდენობა. მათი ღირებულება.

8 არშ. . . . . . . . 30 რუბლი.

თხუთმეტი“. . . . . . . x »

ვინაიდან ტანსაცმლის ღირებულება არშინების რაოდენობის პროპორციულია, მაშინ

x : 30 = 15: 8.

სად: x\u003d 30 15 / 8 \u003d 56 1/4 რუბლი.

შემცირება ერთიანობამდე. პრობლემის ამგვარად გადასაჭრელად ჯერ გავარკვევთ რამდენი მანეთი ღირს 1 არშინი (აქედან სწორედ ამ მეთოდს ჰქვია შემცირება ერთიანობამდე). სიცხადისთვის, ჩვენ მოვაწყობთ გამოსავალს ხაზებით:

8 არშ. ღირს 30 რუბლი.

1 არშ. ღირს 30/8 რუბლი.

8 არშ. ღირებულება 30/8 · 15 \u003d 56 1/4 რუბლი.

გაითვალისწინეთ, რომ სახელმძღვანელოში მასალის პრეზენტაცია შეიძლება უფრო მარტივი იყოს. ყოველივე ამის შემდეგ, პრობლემის გადაჭრის მეორე გზა არის მოქმედებებით გადაწყვეტილების კიდევ ერთი ჩანაწერი:

1) 30: 8 = 30 / 8 (რუბ.); 2) 30 / 8 15 = 56 (რუბ.)

ამგვარად, ოღონდ ტანსაცმლის ღირებულებით გამოხატული კაპიკებით, მოსწავლეებს წილადებით მოქმედებების სწავლამდეც უნდა შეეძლოთ პრობლემის გადაჭრა. შემცირების წილადების მიზანმიმართული შენარჩუნებით ერთიანობამდე დაყვანის მეთოდი აუცილებელი იყო პრობლემის გადაწყვეტის წარმოსაჩენად რთული სამმაგი წესისთვის, „საბოლოო ფორმულისთვის“, სკოლის მოსწავლეებისთვის პირველი ერთი მნიშვნელობის თანმიმდევრულად შეცვლაზე სწავლებისთვის (როგორც აქ) და. შემდეგ რამდენიმე რაოდენობა (როგორც რთული სამმაგი წესით ამოცანების ამოხსნისას).

ასევე, ორი გზით (ჯერ პროპორციით, შემდეგ შემცირებით ერთიანობამდე) მოგვარდა უკუპროპორციულობის პრობლემაც.

ისეთი ამოცანების გადაჭრის გზა, რომელშიც მოცემულია ორი სიდიდის ერთი შესაბამისი მნიშვნელობა, პირდაპირ ან უკუპროპორციულად, მაგრამ ეს საჭიროა პოვნა, რა მნიშვნელობას მიიღებს ერთი მათგანი, თუ მეორე მიიღებს ახალს მოცემული ღირებულება, დაურეკა მარტივი სამმაგი წესი.

შემდეგი არის ამოცანა რთული სამმაგი წესისთვის, რომლის სირთულე აღემატება საწყისი ტრენინგის საჭიროებებს - აქ საკმარისი იქნება სამი მნიშვნელობის აღება და არა ოთხი (ანუ ხუთი წესისთვის დავალების აღება, როგორც L.F. მაგნიტსკი და არა "სეპტენარისთვის").

რთული სამმაგი წესი.

დავალება. 48 დღეში 18 ოთახის განათებისთვის 120 ფუნტი დაიხარჯა. ნავთი, თითო ოთახში 4 ნათურა ანთებული. რამდენ დღეში იქნება 125 ფუნტი. ნავთი, თუ 20 ოთახია განათებული და თითო ოთახში 3 ნათურა ანთებულია?

ერთად p შესახებ დაახლოებით დაახლოებით შესახებ და y. მოდით დავალაგოთ ამ ამოცანის მონაცემები ორ სტრიქონად:

20" - X» – 125 » – 3 »

თუ ფუნტებისა და ნათურების რაოდენობას უცვლელად დავტოვებთ (ეს რაოდენობები ფრჩხილებშია), მაშინ შეგვიძლია ვიპოვოთ x 1 არის დღეების რაოდენობა, რომელიც შეესაბამება 20 ოთახს, ხსნის მარტივი სამმაგი წესის პრობლემას.

18 ოთახი - 48 დღე - 120 ფუნტი. - 4 ნათურა

20" - X 1" - 120" - 4"

X 1 \u003d 48 18 / 20 \u003d 216 / 5 (დღეში).

20 ოთახი – 216 / 5 დღე – 120 ფუნტი - 4 ნათურა

20" - X 2" - 125" - 4"

X 2 = 216 125 / 5 120 = 45 (დღე).

ახლა მოდით შევცვალოთ 4 ნათურა 3 ნათურით:

20 ოთახი - 45 დღე - 125 ფუნტი. - 4 ნათურა

20" - X» – 125 » – 3 »

X= 45 4 / 3 = 60 (დღე).

ასეთი პრობლემების გადაჭრის გზა, როდესაც არის ორზე მეტი მოცემული რაოდენობა, ე.წ. რთული სამმაგი წესი.

ა ნ დ ე რ ტ ი ო ნ რომ ერთობა... მოხერხებულობისთვის მოვაწყოთ მონაცემები და სასურველი ნომერი ისე, რომ xიდგა ბოლო სვეტში მარჯვნივ:

20 » 125 » 3 » x »

ახლა ჩვენ გავარკვევთ, რამდენი იქნება დღეების რაოდენობა, თუ ის განათებულია 1 ოთახი, ნავთის ნება 1 ფუნტი და ყველა ოთახში ექნება 1 ნათურა. ამას ვსწავლობთ მიყვანით 1 თანდათან ერთი მდგომარეობა მეორის მიყოლებით.

18 ოთახი 120 ფუნტი. 4 ნათურა 48 დღე

1" 120" 4" 48 18"

1 » 1 » 4 » 48 18 / 120 »

1 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 »

ახლა ჩვენ თანდათან შევცვლით ერთეულებს პრობლემის კითხვაში მოცემული რიცხვებით:

1 ოთახი 1 ფუნტი 1 ლამი. 48 18 4 / 120 დღე.

20 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 20 »

20 » 125 » 1 » 48 18 4 125 / 120 20 »

20 » 125 » 3 » 48 18 4 125 / 120 20 3 »

რჩება მიღებული ფორმულის შემცირება და გამოთვლა.

F u n t for m u l a l . რთული სამმაგი წესისთვის პრობლემების გადაჭრის საკმარისი უნარით, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაწეროთ საბოლოო ფორმულაამისთვის x. მოდით ვაჩვენოთ, როგორ კეთდება ეს. ავიღოთ ზემოთ მოცემული პრობლემა:

18 ოთახი - 48 დღე - 120 ფუნტი. - 4 ნათურა

20" - X» – 125 » – 3 »

18 ოთახის განათების შემთხვევაში დღეების რაოდენობა იქნება 48; თუ მხოლოდ ერთი ოთახი იყო განათებული, მაშინ იქნებოდა 48 დღე · 18, ხოლო 20 ოთახის განათებისას, დღეები უნდა იყოს 48 18/20 (იგივე სხვა პირობებში). დღეების ასეთი რაოდენობა ექვემდებარება 120 ფუნტ ნავტს; 1 ფუნტი ნავთი რომ იყოს, მაშინ დღეების რაოდენობა იქნება 48 18 / 20 120, ხოლო 125 ფუნტი ნავთი უნდა იყოს 48 18 125 / 20 120. დღეების ასეთი რაოდენობა ექვემდებარება 4 ნათურას; 1 ნათურით იყო 48 18 125 4 / 20 120, ხოლო 3 ნათურით უნდა იყოს:

x = 48 18 125 4 / 120 20 3, ან x= 48 18/20 125/120 4/3.

წესი. სასურველი რიცხვის მისაღებად საკმარისია იმავე მნიშვნელობის მოცემული მნიშვნელობა თანამიმდევრულად გავამრავლოთ დარჩენილი რაოდენობების მოცემული მნიშვნელობების შეფარდებაზე, ავიღოთ ახალი მნიშვნელობის შეფარდება წინასთან, თუ მნიშვნელობა პირდაპირ არის. პროპორციულია იმისა, ვისი ღირებულებაც იძებნება, და ყოფილი ღირებულება ახლისა, როცა ღირებულება უკუპროპორციულია იმ ღირებულებისა, რომლის ძიებაც ხდება.

ამ წესის დამახსოვრება და ზუსტად გამოყენება, როგორც ჩანს, არც ისე ადვილი იყო. ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ იგი უნდა გადასულიყო საბოლოო ფორმულაზე „პრობლემების გადაჭრის საკმარისი ოსტატობით რთული სამმაგი წესით“ პირველი ორი გზით. გასაკვირი არ არის, რომ ასეთი ტრენინგი იყო რთული და ნაკლებად გამოსადეგი სტუდენტებისთვის და გამოიწვია პროტესტი მასწავლებლებისა და მეთოდოლოგების მხრიდან. ასე, მაგალითად, 1921 წლის ერთიანი შრომის სკოლის შვიდწლიანი სკოლის I და II საფეხურების პროგრამაში საკმაოდ გარკვევით წერია: „ყველა დანარჩენი „წესები“ წარსულის ნარჩენები და სისულელეა. ბუნებრივი კი არა, ხელოვნური“. და შემდგომ: „კომპლექსური სამმაგი წესი მოიცავს კოლექციას ხელოვნური დავალებებირომლებიც დიდი ხნის წინ უნდა ამოგდებულიყო სასკოლო ცხოვრებიდან უაზრობის გამო.

პროგრამის ავტორების ასეთი მკვეთრი კატეგორიულობა, როგორც ჩანს, დაკავშირებული იყო არა იმდენად თავად ამოცანებთან (მათი პირობები შეიძლება მიუახლოვდეს ბავშვის გამოცდილებას), არამედ სკოლის მოსწავლეებისთვის პრობლემების გადაჭრის სწავლების მცირე სასარგებლო მეთოდს. "წესების მიხედვით." ტექსტის ზემოთ მოყვანილი ფრაგმენტები სახელმძღვანელოდან A.P. კისელევა გვაძლევს იდეას რევოლუციამდელ სახელმძღვანელოებში ჩვენთვის საინტერესო მასალის წარმოდგენის მეთოდზე. გაითვალისწინეთ, რომ სახელმძღვანელოს გადამუშავებულ ვერსიაში 1938 წელს, რთული სამმაგი წესის ამოცანები ჯერ კიდევ იყო დაცული და სახელმძღვანელოს გვერდზე ცოტა მეტი ეთმობა ერთი ასეთი პრობლემის ანალიზს - დაუყოვნებლივ "სეპტენარული" წესისთვის. . თუმცა აქ მხოლოდ „საბოლოო ფორმულა“ განიხილება და წესი არ არის ჩამოყალიბებული. ცხადია, ამ ცვლილებამ არ გადაჭრა აღნიშნული ტიპის ამოცანების გამოყენების პრობლემა.

მხოლოდ ამ ტიპის პრობლემის გამოყენების მეთოდოლოგიის გამარტივებით შეიძლება სასარგებლო იყოს სასკოლო პრაქტიკაში ტრადიციული პრობლემების მთელი კლასის შენარჩუნება. როგორც მოგვიანებით დავინახავთ, ბევრ მათგანს შეიძლება ჰქონდეს შინაარსი, რომელიც საკმაოდ ახლოსაა პრაქტიკასთან და განხორციელებასთან მოსამზადებელი სამუშაოებიმარტივი სამმაგი წესით ამოცანების გადაჭრის სწავლისას და პრობლემების ჯაჭვის აგებისას მარტივიდან რთულამდე, ისინი გაზრდის ამ ტიპის პრობლემების ხელმისაწვდომობას. მართალია, გადაუჭრელი რჩება კითხვა: უნდა გაიაროს თუ არა ყველა სტუდენტი ტრენინგი ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად? მასზე პასუხი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას ვხედავთ პრაქტიკული ღირებულებატექსტური ამოცანების ამოხსნის სწავლა - მხოლოდ პრაქტიკაში წარმოქმნილი პრობლემების გადაჭრის სწავლისას ან, უფრო მეტიც, სკოლის მოსწავლეთა აზროვნების განვითარებაში, მრავალფეროვანი, მათ შორის ხელოვნური პრობლემების გადაჭრის პროცესში. მეორე მიზნის მიღწევას შესაძლოა ხელი შეუწყოს საგანმანათლებლო პროცესში რთული სამმაგი წესისთვის ამოცანების გამოყენებამ. რა თქმა უნდა, ასეთი პრობლემების გადაჭრის მოთხოვნა არ შეიძლება იყოს სავალდებულო ყველა მოსწავლისთვის, მაგრამ მათი ამოხსნის ანალიზში მონაწილეობა, პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციების გარჩევის ტრენინგი სასარგებლო იქნება თითოეული მათგანისთვის.

რაც შეეხება პირდაპირი და უკუპროპორციულობის ამოცანების გამოყენებას თანამედროვე სახელმძღვანელოები, შემდეგ სახელმძღვანელოში N.Ya. ვილენკინი და სხვები.პირდაპირი და საპირისპირო პროპორციული დამოკიდებულებებიგამოყოფილია პუნქტი 22. შეიცავს 18 ამოცანას. უფრო მეტიც, საგანმანათლებლო ტექსტის ნიმუშებიდან დაწყებული, რაოდენობების შესაბამისი მნიშვნელობები გამოხატულია ათობითი წილადებით ან ნატურალური რიცხვები, რომლის თანაფარდობები არ არის გამოხატული მთელი რიცხვებით. ეს ართულებს სწავლას. გარდა ამისა, დავალებების მესამედი პროცენტული ამოცანებია. პროპორციების გამოყენების თავდაპირველად სწავლისას, უმჯობესია გამოვყოთ სირთულეები: შეისწავლეთ პროპორციები ცალკე ათობითი წილადებიდა პროცენტი. AT შემდეგი აბზაცებისახელმძღვანელოში დროდადრო არის ამოცანები "პროპორციისთვის", მაგრამ ბევრი მათგანი არ არის და მათი უმეტესობა ასევე მარტივი გადასაჭრელია პროპორციების გარეშე.

ამრიგად, თავად პროპორციები დიდად არ ამდიდრებს 5-6 კლასებში მათემატიკის მთელი კურსის შესწავლის პროცესში სკოლის მოსწავლეების მიერ გამოყენებული პრობლემების გადაჭრის მეთოდების არსენალს და პრობლემის სირთულის გაზრდის გარეშე, პირდაპირი და საპირისპირო პროპორციულობა. არ აქვს სასურველი ეფექტი სკოლის მოსწავლეების განვითარებაზე. ერთი და იგივე ტიპის მარტივი დავალებების მცირე რაოდენობაზე ყოველთვის არ არის შესაძლებელი სხვა მნიშვნელოვანი მიზნის მიღწევა - ასწავლოს სკოლის მოსწავლეებს კარგად განასხვავონ პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციულობა.

ჩვენ არ ვამტკიცებთ, რომ ძველ დროში ბევრად უფრო ეფექტურად გამოიყენებოდა პირდაპირი და უკუპროპორციულობის ამოცანები. მაგრამ კიდევ უფრო მრავალფეროვანი დავალებები, მათ შორის დავალებები "კომპლექსური სამმაგი წესისთვის", მასწავლებელს უტოვებდა უძლიერესი სტუდენტების განვითარების შესაძლებლობას. სწორედ ამიტომ, მასწავლებლებს ვურჩევთ, გამოიყენონ ეს თითქმის მივიწყებული ამოცანები ყველა მოსწავლესთან, განსაკუთრებით მათგან ყველაზე მომზადებულებთან მუშაობისას. რა თქმა უნდა, ჩვენ გავამარტივებთ მათ ჩართვას სასწავლო პროცესიდა აუცილებელი კორექტირება მოახდინოს მათი ამოხსნის სწავლების მეთოდში. ჩვენ საერთოდ არ ვთავაზობთ, რომ ყველა სკოლის მოსწავლეს ვასწავლოთ ისეთი პრობლემების გადაჭრა, როგორიცაა ნავთის ნათურების პრობლემა და ზუსტად ისე, როგორც ზემოთ იყო ნაჩვენები. შესაძლოა, ეს დავალება იყოს ბოლო ამოცანების ჯაჭვში, რომლის ამოხსნით მოსწავლე შეძლებს არა მხოლოდ მასწავლებლის მიერ შემოთავაზებული გადაწყვეტილებების გაგებას, არამედ დამოუკიდებლად წინსვლას მარტივიდან რთულამდე. ასეთი სამუშაო უფრო სასარგებლო იქნება, ვიდრე დროის აღნიშვნა ერთი და იგივე სირთულის ამოცანების გადაჭრისას; ის საშუალებას მისცემს სტუდენტებს მიიღონ კარგი ტრენინგი პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციულობის გარჩევაში. საიდან უნდა დაიწყოს?

პირველ რიგში, ჩვენ უნდა ვასწავლოთ მოსწავლეებს პროპორციების ამოხსნა. მათი გადაჭრის ძირითადი გზა უნდა ეფუძნებოდეს პროპორციების ძირითად თვისებას. როდესაც ეს მიზანი მიიღწევა, მაშინ შეგიძლიათ აჩვენოთ პროპორციული თვისებების გამოყენება მათი ამოხსნის გასამარტივებლად. მაგალითად, პროპორციის ამოსახსნელად
X/ 5 \u003d 1/10, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ტოლობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეები 5-ზე ან შეცვალოთ პროპორციის შუა წევრები.

მეორეც, აუცილებელია სკოლის მოსწავლეებს ასწავლონ პრობლემების პირობებში ორი რაოდენობის გამოყოფა, მათ შორის დამოკიდებულების ტიპის დადგენა.

მესამე, თქვენ უნდა ასწავლოთ მათ პროპორციის გაკეთება პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით.

ამრიგად, მოსწავლეები დაეუფლებიან მათემატიკაში მიმდინარე პროგრამით გათვალისწინებულ უნარების მინიმალურ დიაპაზონს. მხოლოდ ამის შემდეგ, რათა მოვემზადოთ გადაწყვეტისთვის რთული ამოცანებიპროპორციულ მნიშვნელობებთან (კომპლექსური სამმაგი წესი), თქვენ უნდა აჩვენოთ სტუდენტებს შესწავლილი პრობლემების გადაჭრის გზა ყოველგვარი პროპორციების გარეშე. მოვაგვაროთ პრობლემა:

- 80 კმ/სთ სიჩქარით სატვირთო მატარებელმა 720 კმ გაიარა. რა მანძილი დაიფარებამაშინ ამავე დროს, როგორც სამგზავრო მატარებელი 60 კმ/სთ სიჩქარით?

ბილიკი პროპორციულია სიჩქარის მოძრაობის მუდმივ დროს, რაც ნიშნავს, რომ სიჩქარის 80/60-ჯერ შემცირებით, ბილიკი შემცირდება 80/60-ჯერ.

720: 80 / 60 = 540 (კმ).

პრობლემა მოგვარებულია იმავე გზით, თუ სიჩქარე არ შემცირდა, მაგრამ გაიზარდა, თუ მნიშვნელობები არ არის პირდაპირ, არამედ უკუპროპორციული. რა თქმა უნდა, ამ ტექნიკის პირველ გამოყენებას წინ უნდა უძღოდეს კითხვები წინა ამოცანების გადაჭრისას: რამდენჯერ გაიზარდა (შემცირდა) ეს მნიშვნელობა? მათზე პირველი პასუხები უნდა იყოს გამოხატული მთელი რიცხვებით, შემდეგ კი წილადებით, რომლებიც ყოველთვის მიიღება გაყოფით. უფრო დიდი ღირებულებამნიშვნელობები უფრო მცირეზე. მხოლოდ მას შემდეგ, რაც მოსწავლეები ისწავლიან, თუ როგორ შეიცვლება მეორე სიდიდის მნიშვნელობა პირველის შესაბამისი ცვლილებით, შეუძლიათ გააგრძელონ ამოცანების ამოხსნა ჯერ ორი რაოდენობით (სამმაგი წესი), შემდეგ კი სამი და ოთხი რაოდენობით (რთული სამმაგი წესი) .

არ არსებობს საკმარისად ძლიერი გამოთქმა, რომ შუასაუკუნეების არითმეტიკის შემდგენელები ძუნწი იყვნენ სამმაგი წესის შექებაზე. ”ეს სტრიქონი სამჯერ დასაფასებელია და საუკეთესო ხაზი ყველა სხვა სტრიქონს შორის.” "ფილოსოფოსები მას ოქროს ხაზს უწოდებენ." გერმანულ სახელმძღვანელოებში ისინი საუბრობდნენ მასზე, როგორც "ქებაზე მაღლა", ეს არის "ვაჭრების გასაღები". ანალოგიურად, ფრანგებს შორის ცნობილი იყო règle dorée - ოქროს წესის სახელით. იგი ეწინააღმდეგებოდა ალგებრის მთელ მეცნიერებას.

მაშ, რატომ ეძლევა ასეთი უზომო ქება განყოფილებას, რომელიც ჩვენს დროში უფრო მოკრძალებული ადგილის დაკავებას სჩვევია? ძალიან საინტერესოა ამის გარკვევა და თავს უფლებას ვაძლევთ, ცოტა უკან დავბრუნდეთ და მივცეთ მოკლე აღწერამიზნები, რომლებსაც არითმეტიკა ახორციელებდა უძველესი დროიდან.

ნებისმიერი მეცნიერება მისი განვითარების საწყის ეტაპზე გამოწვეულია პრაქტიკული მოთხოვნილებებით და ცდილობს, თავის მხრივ, დააკმაყოფილოს ისინი. შემდეგ, იმის მიხედვით, თუ რა პირობებში ვითარდება, მეცნიერება ხან საკმაოდ სწრაფად, ხან უფრო ნელა ღებულობს თეორიულ შეფერილობას და საგანმანათლებლო მოქმედებს მათზე, ვინც მას სწავლობს, ე.ი. აუმჯობესებს მათ სულიერ შესაძლებლობებს: გონებას, გრძნობას და ნებას: ნელი ზრდით, მეცნიერება დიდხანს რჩება უნარების ლიდერად, ანიჭებს მხოლოდ უნარს, აძლევს ადამიანს მექანიკურ უნარებს და აძლევს მას მექანიკურობის თვისებებს. ორივე მიმართულება არითმეტიკით შემოწმდა. ერთის მხრივ, ბერძენი მეცნიერები არითმეტიკაში ყველაზე მეტად საგანმანათლებლო ელემენტს ხედავდნენ; ისინი მუდმივად სვამდნენ კითხვებს „რატომ?“. და „რატომ?“, ყოველთვის ეძებს მიზეზებსა და დასკვნებს; ბერძნული სკოლების მოსწავლეები ჩაუღრმავდნენ მეცნიერების არსს, ფიქრობდნენ მასზე და ამიტომ სწავლა მათზე საგანმანათლებლო და განმავითარებლად მოქმედებდა. მეორეს მხრივ, ინდიელები არითეტიკას უფრო ხელოვნების მხრიდან უყურებდნენ, მათ არ მოსწონდათ კითხვა "რატომ?", მაგრამ მათი მთავარი კითხვა ყოველთვის იყო: "როგორ გავაკეთოთ ეს?" ინდუსების მიმართულება არაბებზე გადავიდა, იქიდან კი შუა საუკუნეების ევროპაში. მასში იგი უკიდურესად გულთბილი მიღებით შეხვდა და ნიადაგი მისთვის საკმაოდ მადლიერი აღმოჩნდა: ხალხთა დიდი მიგრაციის შემდეგ და განუწყვეტლივ მიმდინარე ომებთან ერთად, ზუსტი, ხშირი განვითარების შესახებ არაფერი იყო საფიქრალი. , აბსტრაქტული მეცნიერება და იმ დროს საჭირო იყო მისი გამოყენებითი ნაწილით შემოზღუდვა, საკმარისი იყო მხოლოდ იმის სწავლება „როგორ უნდა გააკეთო“ და არა „რატომ უნდა გააკეთო“. ასე რომ, პრაქტიკული შეღებვა დარჩა არითმეტიკის მიღმა დიდი დრო, თითქმის დღემდე, ამავე დროს, მისი შესწავლა იყო ვიწრო მექანიკური: დასკვნების, ახსნა-განმარტებების გარეშე, საფუძვლებში ჩაღრმავების გარეშე; სახელმძღვანელოებში ყველგან იყო „გააკეთე ეს“, „ეს უნდა გააკეთო“ და სტუდენტს მხოლოდ საქმის დადასტურება და მიმართვა უნდა; ჩვენს მაგნიტსკის ასევე აქვს არაერთი დამახასიათებელი გამოთქმა "ნახე დახედე", "ნახე გამოგონება"; დავუშვათ, რომ ამ გამოთქმებს შორის მას აქვს „იფიქრე და მოდი“, მაგრამ ზუსტად როგორ ვიფიქრო, ძალიან ცოტა მინიშნებებია მოცემული. არითმეტიკის პრაქტიკული მნიშვნელობის შესაბამისად, მასში განსაკუთრებით გამოირჩეოდა და დაფასებული იყო ყველაფერი, რასაც პირდაპირი სარგებელი მოჰქონდა, შემოსავლის გამოტანა.

"ვინც იცის ეს სიბრძნე, - ამბობს მე-17 საუკუნის რუსული არითმეტიკა, - შეუძლია სუვერენთან იყოს დიდი პატივით და ხელფასით; ამ სიბრძნის თანახმად, სტუმრები ვაჭრობენ შტატებში და ყველანაირი საქონლითა და ვაჭრობით, მათ იციან ძალა და ყველანაირი წონა და ზომა, მიწიერი განლაგება და ზღვის დინება, ისინი ბოროტად არიან დახელოვნებულნი და იციან ანგარიში ნებისმიერი რიცხვიდან. სიის.

მაგრამ არითმეტიკის რომელ ნაწილს შეუძლია უფრო პრაქტიკული, უშუალოდ გამოსაყენებელი უნარების მიცემა, ვიდრე პრობლემის გადაჭრა? ამიტომ შუა საუკუნეების ავტორების მთელი ძალისხმევა მიმართული იყო რაც შეიძლება მეტი პრობლემისა და, ამავდროულად, ყველაზე მრავალფეროვანი ყოველდღიური შინაარსის შეგროვებისკენ. აქ იყო პრობლემები ყიდვა-გაყიდვასთან დაკავშირებით, კუპიურებთან და პროცენტებთან დაკავშირებით, შერევასთან დაკავშირებით, გაცვლასთან დაკავშირებით; მრავალფეროვნება საშინელი იყო და პრობლემების მთელი მასის დალაგების საშუალება არ იყო. იმისათვის, რომ ცოტათი მაინც დაეჯგუფებინათ და შემოეღოთ სისტემა და წესრიგი, ისინი ცდილობდნენ ყველა დავალების განაწილებას დეპარტამენტებისა თუ ტიპების მიხედვით. ეს იდეა, რა თქმა უნდა, კარგია, მაგრამ ის, როგორც წესი, ძალიან წარუმატებლად ხორციელდებოდა და დავალებები ნაწილდებოდა არა მათი გადაჭრის მეთოდების მიხედვით, როგორც უნდა, არამედ მათი შინაარსის მიხედვით, ანუ გარეგნობის მიხედვით. ; მაგალითად, იყო განსაკუთრებული პრობლემა ძაღლების კურდღლის დევნაზე, ხეებზე, გოგოებზე და ა.შ.

მათი შინაარსის მიხედვით დაყოფით პრობლემების გადაჭრას თითქმის არანაირი სარგებელი არ მოუტანა, რადგან ოდნავადაც არ დაეხმარა გადაწყვეტის უკეთ გაგებას. და, ძველი ავტორების აზრით, ძნელად საჭირო იყო ამის გაგება.

- ეს არაფერია, - ანუგეშებდა მენტორი თავის მოსწავლეებს: - რომ არაფერი გესმით, არც წინ გაიგებთ ბევრს.

გაგების ნაცვლად, რეკომენდებული იყო არა გატაცება, არამედ დაიმახსოვროთ ყველაფერი, რაც სთხოვეს, შემდეგ კი ეცადეთ მისი გამოყენება საქმეზე, ანუ მაგალითებზე, და გაგების მთელი ძალა კონცენტრირებული იყო არა დასკვნის გაგებაზე. წესის, მაგრამ უფრო მოკრძალებულზე, იმაზე, თუ როგორ უნდა გამოვიყენოთ ზოგადი წესიმაგალითებზე.

ასე რომ, სამმაგი წესი იყო გამორჩეული და განსაკუთრებული ყურადღების ღირსი მრავალი თვალსაზრისით. ჯერ ერთი, მისი ამოცანების დიაპაზონი საკმაოდ ვრცელია, მეორეც, თავად წესი საკმაოდ მარტივად და მკაფიოდ არის გამოხატული და მესამეც, ამ წესის გამოყენება შედარებით ადვილი იყო. ყველა ამ ღვაწლის გამო მას მიენიჭა სახელი "ოქრო", "ვაჭრების გასაღები" და ა.შ.

სამმაგი წესი წარმოიშვა ინდუსებთან, სადაც მისი ამოცანები უმეტესწილად წყდებოდა ერთიანობის შემცირებით. არაბი მეცნიერი ალხვარეზმი (ახ. წ. IX ს.) მას ალგებრას მიაწერდა. ლეონარდო ფიბონაჩი, მე-13 საუკუნის იტალიელი R. X-ის მიხედვით, სპეციალურ განყოფილებას უთმობს სამმაგ წესს სათაურით: ad majorem guisam, სადაც მოცემულია დავალებები საქონლის ღირებულების გამოსათვლელად. მაგალითი: 100 როტული (პიზანის წონა) 40 ლირა ღირს, რა ღირს 5 როტული? პირობა ასე ეწერა:

ამ პრობლემის გადასაჭრელად დადგენილი წესი შემდეგი თანმიმდევრობით: ნამრავლი 40-ზე 5-ზე გაყოფილი 100-ზე.

სამმაგი წესს განსაკუთრებული ყურადღება ექცეოდა მე-16 საუკუნიდან, ანუ იმ დროიდან, როდესაც ევროპული ვაჭრობა და მრეწველობა მაშინვე წინ წავიდა, მნიშვნელოვანი გამოგონებებისა და ახალი ქვეყნების აღმოჩენის წყალობით. მაგრამ ამან ხელი არ შეგვიშალა, რომ ეს თავი სრულიად არადამაკმაყოფილებლად განგვევითარებინა, ყოველ შემთხვევაში ჩვენი გადმოსახედიდან. უპირველეს ყოვლისა, წესი განისაზღვრა წმინდა გარეგნულად: „პრობლემა შედგება სამი რიცხვისგან და თავის თავს აძლევს მეოთხე რიცხვს, ისევე, როგორც სახლის სამ კუთხეს რომ დააყენო, მაშინ ეს განსაზღვრავს მე-4 კუთხეს; მეორე რიცხვი უნდა გავამრავლოთ მე-3-ზე და რა მოხდება, შემდეგ გავყოთ 1 რიცხვზე. ასეთ განმარტებას არ შეეძლო შეუსაბამობა არ მოჰყოლოდა და, უპირველეს ყოვლისა, დაისვა კითხვა: რა უნდა ჩაითვალოს პირველ რიცხვად და შეიძლება თუ არა სამმაგი წესით ამოხსნა სამი მოცემული რიცხვის ნებისმიერი პრობლემა? სახელმძღვანელოებმა საჭიროდ არ მიიჩნიეს ამ გაუგებრობის გარკვევა. გარდა ამისა, ამოცანები წყდებოდა არა მხოლოდ მთელი რიცხვებით, არამედ წილადებითაც და სხვა არითმეტიკაში ისინი ისე არათანმიმდევრულად იყო მოწყობილი, რომ ამოცანები წილადი რიცხვებისამმაგი წესის შესახებ თავები წილადების შესახებ უფრო ადრე იყო განთავსებული, რადგან მთელი სამმაგი წესი წილადი რიცხვების არითმეტიკამდე მიდიოდა.

სამმაგი წესის შემდეგ მთელი რიცხვებითა და წილადებით, სპეციალური წესი„შემცირება“, რომელშიც ახსნილი იყო, თუ როგორ არის შესაძლებელი მოცემული რიცხვების შემცირება და შემდეგ უკვე წავიდა „რეფლექსიური“ წესი; ეს იყო ძალიან დაბნეული განყოფილება, რომელსაც ეკუთვნოდა შებრუნებული პროპორციული კითხვები და სახელმძღვანელოების ავტორები ვერანაირად ვერ ასხვავებდნენ, თუ რომელი პრობლემა ეკუთვნის ამ ჯგუფს; მოწაფეებს უნდა დაეყრდნოთ საკუთარ შეხედულებებს და დაკმაყოფილებულიყვნენ ჭკუით. XV და XXII საუკუნეებში. ახსნა ასე გაკეთდა: „თუ მარცვლეულის ზომა 1½ მარკა ღირს, მაშინ 1 ნიშნულზე მოცემულია ორი პუდი პური; რამდენი პუდული პური მიიღება თითო ნიშნულზე, თუ მარცვლეულის ზომა 1¾ მარკა ღირს; გადაჭრით თურმე სამმაგი წესით

მაგრამ გააზრებული მიხვდება, რომ როცა მარცვლეული გაძვირდება, მაშინ ისინი ნაკლებ პურს მოგცემენ და არა მეტს, ამიტომ კითხვა უნდა გადაიხედოს, ეს იქნება

მაგნიტსკი (1703) ანალოგიურად განმარტავს

„არის დაბრუნების წესი, როცა დავალებაში პირველის ნაცვლად მესამე სიის დადებაა საჭირო: საჭიროა სამოქალაქო ხშირი შემთხვევები, თითქოს კონდახზეა საუბარი: ვიღაც ბატონმა დურგალი დაუძახა და ეზო შეუკვეთა. აშენდება, მისცეს მას ოცი კაცი მუშა: და ჰკითხა, რამდენ დღეში ააშენებს თავის ეზოს, მან უპასუხა, ოცდაათ დღეში; ოღონდ ოსტატს მთელი 5 დღეში უნდა აეშენებინა და ამისთვის დურგლის კოლოფებს ჰკითხა, რამდენი კაცი ღირს, რომ 5 დღეში ეზო ააშენოო და ის დაბნეული დურგალი არითმეტიკურად გეკითხება. : რამდენი ხალხის ყოლას იმსახურებს, რომ 5 დღეში ააშენოს ის ეზო და თუ დაიწყებ შექმნას სამმაგი წესის მიხედვით უბრალოდ; მაშინ ნამდვილად ცდება; მაგრამ ეს არ არის თქვენთვის შესაფერისი: 30-20-5, მაგრამ მისი გადაქცევა საჯდომად: 5-20-30; 30X20=600; 600: 5=120"

სამმაგი წესი მოჰყვა ხუთს, რასაც მოჰყვა შვიდი. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს რთული სამმაგი წესის განსაკუთრებული შემთხვევებია, ზუსტად მაშინ, როცა 5 ან 7 ერთმანეთზე პროპორციულად დამოკიდებულების მიხედვით, მე-6 ან მე-8, შესაბამისი რიცხვი გვხვდება, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: ხუთჯერადი წესი მოითხოვს 2 პროპორციას, ხოლო მეშვიდე არის სამი. ხუთის წესი მეთვრამეტე საუკუნეში ასე აიხსნებოდა:

აკეთებენ ისეთ გამოთვლებს, რაც სხვა წესით შეუძლებელია; მასში მოცემულია 5 რიცხვი და მათგან მოიძებნება მეექვსე სასურველი რიცხვი; მაგალითად, ვიღაცამ ასი მანეთი ჩადო მიმოქცევაში და მოუტანა მას 7 მანეთი, საკითხავია რამდენ მოგებას მიიღებდა 100 მანეთი. 5 წლის განმავლობაში;

მოგვარებულია ასე: 100-1-7-1000-5, გაამრავლე ორი მარცხენა რიცხვი, ასევე გაამრავლე 3 მარჯვენა რიცხვი და გაყავი ბოლო ნამრავლი პირველზე, პასუხი იქნება 350, ამდენი რუბლი მოგება მისცემს 1000-ს. რუბლი. 5 წლის განმავლობაში.

მარტივი და რთული სამმაგი წესი ჩვეულებრივ მე-16-18 საუკუნეებში იყო გავრცელებული. მცირე განყოფილებების მასაში, რომლებიც ატარებდნენ ძალიან რთულ სახელებს, დავალებების შინაარსიდან გამომდინარე. აი, ეს სახელები მაგნიტსკის მიხედვით: „სამმაგი ვაჭრობის წესი“, ანუ შეძენილი საქონლის ღირებულების გაანგარიშება; b ”სამმაგი ვაჭრობა შესყიდვებისა და გაყიდვების შესახებ”, - იგივე, რაც წინა, მაგრამ მხოლოდ უფრო რთული; გ ,,სამმაგი ვაჭრობა გაყიდვადი ბოსტნეულით და ნიშნით”, როცა უნდა გააკეთოთ გამოქვითვა ზოგადად კერძებზე და გარსაცმებზე; დ „მოგება-ზარალზე“; ე „კითხვითი სტატია სამმაგი წესით“, მასში ძალიან მრავალფეროვანი შინაარსის ამოცანები, უმეტესწილად შებრუნებული პროპორციით; ვ „საეჭვო სტატია დროით“, სადაც სთხოვენ გამოთვალონ სამუშაოს ხანგრძლივობა, ბილიკები და ა.შ.

მე-19 საუკუნის დასაწყისში ბაზედოვმა შესთავაზა კიდევ ერთი ცვლილება სამმაგი წესის და ისევ მექანიკური, არაცნობიერი ჩვევის იმავე მიმართულებით. ამ გერმანელმა მასწავლებელმა საკუთარ თავს დაუსვა მიზანი სამმაგი წესით ამოცანების გადაწყვეტის კიდევ უფრო გამარტივება, მათი ამოხსნის მსჯელობის კიდევ უფრო შემცირებით და მზა ფორმულით ჩანაცვლებით. ის გვირჩევს მოცემული რიცხვების დალაგებას 2 სვეტად: მარცხნივ იწერება უცნობი რაოდენობა და ყველა ის რიცხვი, რომელიც უნდა იყოს შეტანილი ფორმულის მრიცხველებში, ხოლო მარჯვენაში - ყველა ფაქტორი, რომელიც ადგენს მნიშვნელს. მაგალითი: 4 თვის განმავლობაში 1200 ადამიანის კვებისათვის საჭიროა 2400 ცენტნერი ფქვილი; რამდენი ადამიანი გამოვა 4000 ცენტნერი 3 თვეში? ჩვენ ვწერთ 2 სვეტს:

და მიიღეთ პასუხის ფორმულა

რატომ შედის რიცხვები 1200, 4000 და 4 მრიცხველში, ხოლო 2400 და 3 მნიშვნელში? ამაზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია შემდეგი წესით: მრიცხველი მოიცავს სასურველთან ერთგვაროვან რიცხვს, ანუ ჩვენს შემთხვევაში რიცხვს 1200; გარდა ამისა, იგი ასევე მოიცავს მეორე პირობის ყველა იმ რიცხვს (4000 4), რომლებიც პირდაპირპროპორციულია სასურველთან; თუ ისინი უკუპროპორციულია, როგორც ჩვენს მაგალითში 3, მაშინ ისინი ჩანაცვლებულია 1-ლი პირობის (მე-4) შესაბამისი რიცხვებით.

ეს არის ყველაფერი, რაც შეგვიძლია ვთქვათ სამმაგი წესის ისტორიულ განვითარებაზე. ყოველივე ნათქვამიდან შეიძლება გამოვიტანოთ დასკვნა, რომელიც შესაფერისია ჩვენი დროისთვის. შუა საუკუნეების არითმეტიკამ, მხოლოდ წესების მიცემისა და დასკვნების გამოტოვების ტენდენციით, კითხვების მექანიკური გადაწყვეტით, ძალიან დიდი გავლენა იქონია მთელ შემდგომ სკოლის ცხოვრება, და იმდენად დიდი, რომ მისი კვალი ყოველ ნაბიჯზე ჩნდება ჩვენს დროშიც კი. რაც არ უნდა ვეცადოთ ტრადიციების ჩამორთმევას, ჩვევებისგან თავის დაღწევას, მაგრამ ისინი ზედმეტად მჭიდროდ გვიპყრობენ და ისე ძლიერად იზიდავენ ჩვენსკენ, რომ უკვალოდ გადაგვეყაროს. ჩვენი სკოლა ჯერ კიდევ არის დამნაშავე არითმეტიკის ზეპირად სწავლაში, ცნობიერების საკმარისი მონაწილეობის გარეშე. სამმაგი წესი ამის კარგი დასტურია. ხშირად ავიწყდება ჩვენი საშუალო და ქვედა სკოლარომ ის მიზნად ისახავს ზოგადი განათლების მიცემას და არა ბუღალტერების, კლერკების, ბუღალტერების და ა.შ. საანგარიშო მანქანა, ხშირად გამოიყენება ახლაც. რატომ ყველა ეს წესი: სამმაგი, ნარევები და ა.შ.? რა მიზანს უნდა ემსახურონ ისინი? ისინი უნდა იყოს დასკვნა მოგვარებული პრობლემებიდან და არა წინ უსწრებდეს პრობლემების გადაწყვეტას; საზიანოა პრობლემების ადრე ნასწავლი წესით გადაჭრა, მაგრამ პასუხის მიღებას თავისუფალი პირადი განხილვით უნდა ეცადო. ერთი სიტყვით, წესი არ უნდა გავიგოთ რეცეპტის სახით, რომლის დამახსოვრებაც საკმარისია, რათა მის მიხედვით მოამზადოთ სხვადასხვა რთული ხსნარები; მაგრამ ისინი უნდა შეფასდეს მხოლოდ როგორც დასკვნა, რომელსაც სტუდენტი გამოაქვს: თუ სტუდენტი ვერ გამოიტანს ამ დასკვნას, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ პრობლემები მცირედ არის აღებული, ან ისინი სისტემატურად არ არის მოწყობილი და ეს შეცდომა უნდა გამოსწორდეს უფრო სისტემატიურად. პრობლემების მოწყობა; თუ მოსწავლე არ გამოიტანს ისეთ სრულ და დეტალურ დასკვნას, როგორიც მასწავლებელს სურს, მაშინ ჯობია კმაყოფილი იყოს მისით, ვიდრე აიძულო ისწავლოს სახელმძღვანელოში დაწესებული წესი: ის მალე დაივიწყება და არ ექნება განმავითარებელი ეფექტი, ვინაიდან დამოუკიდებლობა უნდა იყოს მათემატიკური წარმოშობის აუცილებელი ხარისხი, მაგრამ ცნობიერების აუცილებელი პირობა უნდა არსებობდეს კურსის ყველა ნაწილის მჭიდრო კავშირი, რის გამოც არ შეიძლება იყოს ადგილი ცალკეულ თავში მექანიკური ჩასმის ადგილისთვის. მეხსიერებით ათვისებული ნაჭრები.

ნაწილი მესამე

ურთიერთობები და პროპორციები.

პროპორციების დახმარებით გადაჭრილი ამოცანები და
ერთზე შემცირების მეთოდით.

ნაწილი VIII..

§ 50. რთული სამმაგი წესი.

2661. 6 დღის მუშაობისთვის 45 მასონს გადაუხადეს 216 მანეთი; რამდენი უნდა იმუშაოს 30 მაზონმა 8 დღე?

2662. 5 ტუმბომ 3 საათის განმავლობაში 1800 ვედრო წყალი ამოუშვა. რამდენ წყალს ამოიტუმბავს 4 მსგავსი ტუმბო 4 საათში?

2663. 25-მა მუშამ 12 დღეში გათხარა არხი 36 ფატომის სიგრძით. რა სიგრძის არხის გათხრა შეეძლო 15 მსგავს მუშაკს 10 დღეში?

2664. 100 რუბლის კაპიტალს 12 თვეში მოაქვს 6 რუბლი მოგება. რამდენ მოგებას მოიტანს 8600 რუბლის კაპიტალი 4 თვეში?

2665. მართკუთხა მინდვრიდან 40 საჟენი სიგრძისა და 30 საჟენი სიგანის, 6 მეოთხედი 2 მეოთხედი შვრია იყო მოკრეფილი. რამდენი შვრია აიღეს სხვა მინდვრიდან, რომლის სიგრძეა 96 ფატომი და სიგანე 50 ფატომი, თუ ორივე მინდვრის თესვისა და მოსავლის პირობები ერთნაირი იქნებოდა?

2666. 15 წყვილი კაბისთვის გამოიყენეს 45 არშინი ქსოვილი 1 არშინის სიგანეზე. 14 ინჩი. რა სიგანის იყო მეორე ქსოვილი, თუ 60 არშინი წავიდა 10 ერთდაიგივე წყვილ კაბაზე?

2667 .18 მუშა, რომლებიც მუშაობდნენ 7 საათის განმავლობაში, დაასრულეს გარკვეული სამუშაო 30 დღეში და ამისთვის მიიღო 201 მანეთი. 60 კოპი. 14 თანამშრომელმა, რომლებიც ყოველდღიურად მუშაობდნენ 4 საათის განმავლობაში, მიიღო 67,2 რუბლი სხვა სამუშაოს შესასრულებლად. თუ ვივარაუდებთ, რომ საათობრივი ანაზღაურება ორივე მხარის მუშაკისთვის ერთნაირი იყო, განსაზღვრეთ რამდენ დღეში მუშაობდა მუშების მეორე მხარე.

2668. 420 პოუდი საქონლის სარკინიგზო ტრანსპორტირებისთვის 24 ვერსტის მანძილზე გადაიხადეს 2 მანეთი. 52 კაპიკი. ამ გაანგარიშებით, ნიკოლაევის რკინიგზის გასწვრივ, სანქტ-პეტერბურგიდან მოსკოვამდე 50 ფუნტი ტვირთის გადაზიდვისთვის 7 მანეთი უნდა ყოფილიყო გადახდილი. 61 1/4 კოპ. იპოვეთ ამ გზის სიგრძე.

2669. მეორე კლასის 155 სამგზავრო ბილეთი, პარიზიდან რუანში სარკინიგზო ტრანსპორტით, 1488 ფრანკი ღირდა. იმის ცოდნა, რომ 4 კილომეტრის მგზავრობისას 10 მეორე კლასის ბილეთის ფასი უდრის 3 ფრანკს, ხოლო 16 კილომეტრი არის 15 ვერსტი, გამოხატეთ სიგრძე ვერსტებში. რკინიგზაპარიზსა და რუანს შორის.

2670. თუ რკინის მავთულის მწარმოებელი მანქანის ბორბალი ბრუნავს წუთში 60 ბრუნით, მაშინ ეს მანქანა გამოიმუშავებს 240 არშს. მავთული 3 საათი 20 წუთი. რამდენი დრო დასჭირდება მას 33 1/8 ფატომი მავთულის დასამზადებლად, თუ ბორბალი წუთში 41 2/3 ბრუნს აკეთებს?

2671. მართკუთხა მინდვრიდან, რომლის სიგრძეა 125 საჟენი და 0,08 ვერსტის სიგანე, 12 1/2 მეოთხედი ხორბალი აიღეს; ამრიგად, გაანგარიშებამ აჩვენა თვით-ექვსის სარგებელი. სხვა მართკუთხა მინდვრიდან, რომლის სიგრძე 0,3 (9) ვერსია, 8 1/3 მეოთხედი ხორბალი აიღეს, რაც ხუთ მოსავალს შეადგენდა. თუ ვივარაუდებთ, რომ ორივე მინდვრის თესვის პირობები ერთნაირი იყო, განსაზღვრეთ მეორე მინდვრის სიგანე.

2672. ქვის ფილა, სიგრძე 5,3 ფუტი, 0,8 ფუტი სიგანე და 2 5/8 ინჩი სისქე, იწონის 4,2 ფუნტს. იგივე ქვის კიდევ ერთი ფილა, როგორც პირველი, იწონის 7 პუდს 35 ფუნტს და არის 15 ინჩი სიგანე და 2 ინჩი სისქე. რამდენი ხანია მეორე ფირფიტა?

2673 . რკინის ზოლი, 2 არშინის სიგრძით, 1 1/2 ინჩი სიგანით და 2/3 ინჩის სისქით, იწონის 0,4375 ფუნტს. რამდენს იწონის რკინის ზოლი, რომლის სიგრძეა 2 ფუტი, სიგანე 1 3/7 ინჩი და 0.16666 .... ფუტი სისქე?

2674. 36 მუშა, რომლებიც მუშაობენ ყოველდღიურად 12 საათისა და 30 წუთის განმავლობაში, აშენებული ხის სახლი 30 დღეში. დღეში რამდენ საათს უნდა იმუშაოს 27 მუშა, რომ ერთი და იგივე სახლი აშენდეს 50 დღეში?

2675. დერეფნის სიგრძე 6 საჟენია. 2 არშ. 9 1/7 ინჩი, სიგანე 1.4 (9) საჟენი. და სიმაღლე 5, (3) იარდი (იარდი-სიგრძის ინგლისური ზომა). დერეფანში შემავალი ატმოსფერული ჰაერი 17 ფუნტს იწონის. 34 ფუნტი. ჰაერი, რომელიც ავსებს დერეფნის მიმდებარე ოთახს, იწონის 11,9 ფუნტს. იმის ცოდნა, რომ 0,58 (3) იარდი = 0,75 არსი, და რომ ოთახის სიმაღლეა 5 5/7 არსი, ხოლო სიგანე სიმაღლის 0,945, გამოთვალეთ ამ ოთახის სიგრძე.

2676. სახლის კიბეების განათებისთვის 6 გაზის ჭავლით, რომელიც იწვოდა 40 საღამოს, ყოველ საღამოს 6 საათისა და 12 წუთის განმავლობაში, გაზის კომპანიას 22 მანეთი უხდიდა. 32 კაპიკი. სხვა კიბეზე 60 საღამოს იწვა 5 მსგავსი რქა, რისთვისაც 27 მანეთი გადაიხადეს. რამდენ საათს წვავდა გაზი ყოველ საღამოს მეორე კიბეზე?

2677 . 4 ნათურისთვის, რომლებიც ანთებდნენ ყოველ საღამოს 7 1/2 საათის განმავლობაში, 30 საღამოს 2,25 პოდ ნავთი მოიხმარეს. რამდენ საღამოს დაიხარჯება 1,8 პუდული ნავთი, თუ ყოველ საღამოს აინთება 5 ასეთი ნათურა 4 საათისა და 30 წუთის განმავლობაში?

2678 . 32 მასონმა, რომლებიც ყოველდღიურად მუშაობდნენ 8 1/2 საათის განმავლობაში, 42 დღეში ააგეს აგურის კედელი 10 საჟენის სიგრძის, 7 1/2 ინჩის სისქის და 1 საჟენის 3,5 ფუტის სიმაღლის. რამდენ დღეში დააგებს 15 საჟენის სიგრძის, 0,9375 არშინის სისქის და 2 1/2 არშინის სიმაღლის აგურის კედელს, იგივე სიმტკიცის 40 მაზონი, როგორც პირველი, რომელიც მუშაობს ყოველდღიურად 6,8 საათის განმავლობაში?

2679. სიგრძე საფოსტო გზავიტებსკსა და ორელს შორის არის 483 ვერსი; ერთმა მოგზაურმა ეს მანძილი 7 დღეში დაფარა, ყოველდღე 10 საათი იყო ქალაქში და საათში ამდენივე მილი გადიოდა. კიდევ ერთი მოგზაური გაემგზავრა ვიტებსკიდან მოგილევში და ყოველდღე 12 საათის განმავლობაში გზაზე ყოფნისას, გზა 4 დღეში გავიდა. რამდენი ვერსტია ვიცბსკიდან მოგილევამდე, თუ ცნობილია, რომ მეორე მოგზაურმა იმოგზაურა 10 ვერსტი იმავდროულად, როდესაც პირველმა მოგზაურმა 23 ვერსტი გაიარა?

2680. აგური (კლინკერი), 0,375 არშინის სიგრძე, 3 ინჩი სიგანე და 1 1/2 ინჩი სისქე, იწონის 10 ფუნტი 38,4 კოჭები. რამდენს იწონის მართკუთხა ფორმამარმარილოს ნაჭერი, რომლის სიგრძეა 8,75 ინჩი, სიგანე 2 1/4 ინჩი და სისქე 2 ინჩი, რომლის მიხედვითაც ცნობილია, რომ მარმარილო 1 1/2-ჯერ მძიმეა აგურზე?

2681. 25 მქსოველი, დღეში 8 1/3 საათს მუშაობდა, 32 დღეში ქსოვდა 120 არშინი თეთრეულის, 1 არშინის სიგანის. 5 1/3 ინჩი. რამდენ დღეში მოქსოვს 40 მქსოველი ყოველდღიურად 4 საათი და 10 წუთი მომუშავე თეთრეულის 320 არშინს 0,75 არშინის სიგანით?

2682. 8 თვეში 1200 რუბლის კაპიტალმა 40 მანეთი მოგება მოიტანა; რა დროს 100 რუბლი. მოუტანს 5 მანეთს. ჩამოვიდა?

2683. 30,000 რუბლის კაპიტალმა 7 1/2 თვეში მოიტანა 1125 რუბლი მოგება. რამდენი მოგება მოაქვს ამ კაპიტალის ყოველ 100 მანეთს 1 წლის განმავლობაში?

2684. 24400 რუბლის კაპიტალმა 10 თვის განმავლობაში მოიტანა 1525 რუბლი მოგება. როგორი კაპიტალი უნდა ჰქონდეს ადამიანს, რომ მიმოქცევაში მყოფმა იგივე პირობებში, როგორც პირველმა, მიიღოს 1250 მანეთი მოგება 2 1/2 თვის განმავლობაში?

2685. 54 მთხრელი, რომლებიც მუშაობდნენ დღეში 10 საათის განმავლობაში, 33 დღეში გააკეთეს ბორცვი, სიგრძით 124 ფატომი, 1 ფატომი სიგანე 2 1/2 არშინი და 6 3/4 ფუტი სიმაღლე. რამდენი ამთხრის დაქირავებაა საჭირო, რომ ყოველდღიურად 7 1/2 საათის განმავლობაში მუშაობდნენ, 30 დღეში გააკეთებენ სანაპიროს, 0,31 ვერსტის სიგრძის, 7 1/3 არშ სპრინი. და სიმაღლე 3 6/7 არშინი?

2686. 48 დიგერი, რომლებიც მუშაობენ ყოველდღიურად 9 საათისა და 20 წუთის განმავლობაში, დამზადებულია 55 დღეში მიწის სამუშაოები, სიგრძე 40 1/3 ფატომი, სიგანე 4 1/2 არშინი და სიმაღლე 7 არშინი. რა სიმაღლეს აიღებს 40 ამთხრე 64 დღეში, რომლებიც ყოველდღიურად მუშაობენ 6 საათი და 45 წუთი, თუ ლილვის სიგრძე 44 ფატომია და სიგანე 1 ფატომი?

2687 . 14 საჟენი ფიჭვის შეშა 2 თვისა და 10 დღის განმავლობაში 6 ღუმელზე ბინის გათბობაზე დაიხარჯა. რამდენი ხანი დასჭირდება 10 საჟენ არყის შეშას ბინის 8 ღუმელში გასათბობად, თუ თითოეული ღუმელის სითბოს რაოდენობა იგივე უნდა იყოს, რაც პირველ ბინას, და თუ 9 საჟენი ფიჭვის შეშა იძლევა იმდენ სითბოს, რამდენიც 7. 1/2 ფატომი არყის?

2688. მართკუთხა მინდვრიდან, რომლის სიგრძეა 2 ვერსი და სიგანე 1 1/2 ვერსი, სამ-27 მოსავლიანობით, იმდენი შაქრის ჭარხალი აიღეს, რომ ქარხანაში მისგან 937 1/2 პუდი შაქარი მოიპოვეს. . სხვა მინდვრიდან, რომლის სიგანე 400 საჟენი იყო, 18 სემ მოსავლით, შაქრის ჭარხალი იკრიფებოდა, საიდანაც 250 გირვანქა შაქარი ამოიღეს. თუ ვივარაუდებთ, რომ თესვის პირობები და ჭარხლის ხარისხი ორივე მინდვრისთვის ერთნაირი იყო, იპოვეთ მეორე ველის სიგრძე.

2689. 4 მწიგნობარი, რომლებიც მუშაობდნენ ყოველდღიურად 7 1/2 საათის განმავლობაში, გადაწერა 225 ფურცელი 15 დღეში, საშუალოდ 32 სტრიქონი თითოეულ გვერდზე. რამდენი მწიგნობარი უნდა დაიქირაოს, რომ ყოველდღიურად 5 საათი და 20 წუთი სწავლა შეძლოს 9 დღეში 64 ფურცლის გადაწერა, თითოეულ გვერდზე საშუალოდ 36 სტრიქონის დადება?

2690. 3 მილი 4 1/2 საათის განმავლობაში ავსებდა რეზერვუარს, სიგრძით 1 ჭვარტლი. 2 არშინი, 1,5 არშინი სიგანე და 3 2/3 ფუტი სიღრმე. რა სიღრმეზე ავსებს 4 მილი მეორე წყალსაცავს 5,4 საათის განმავლობაში, თუ ამ წყალსაცავის სიგრძე 1 ჭვარტლს შეადგენს. 2 5/8 ფუტი, 1,2 არსი სიგანე და თუ ყოველი პირველი მილი ერთდროულად ასხამს 16 ვედრო წყალს, რომელ ბოლო მილს ასხამს 9 ვედროს?

2691 . 22 მქსოველი, დღეში 10 საათს მუშაობდა, 30 დღეში 120 ცალი თეთრეული მოამზადა. რამდენი ასეთი ქსოვის დაქირავებაა საჭირო, რომ დღეში 7 1/2 საათი მუშაობდნენ 40 დღეში 300 ცალი თეთრეულის მომზადება და თითოეული ამ ნაჭრის სიგრძე უნდა იყოს 1 1/10-ჯერ მეტი. პირველი და სიგანე უნდა იყოს 0.8(3) პირველის სიგანე?

2692. ჯარისკაცების გარკვეული რაოდენობის საკვებისთვის, მარცვლეულის მარაგი მიიღება 60 დღის განმავლობაში, თუ თითოეულ ჯარისკაცს მიეცემა დღეში 2 1/2 ფუნტი. რამდენი დღე გაგრძელდება ამ მარაგის 3/4, თუ ჯარისკაცების რაოდენობა წინა რიცხვის 3/8-ით შემცირდება და თითოეულის დღიური ნაწილი გაიზრდება 1,25 ფუნტით.?

2693. თხუთმეტმა მუშამ და 12 მუშამ, რომლებიც ყოველდღიურად მუშაობდნენ 10 საათისა და 30 წუთის განმავლობაში, 12 დღეში ამოიღეს პური მინდვრიდან. რამდენ დღეში ამოიღებს პურს მინდვრიდან 21 მუშა და 8 მუშა, რომლებიც მუშაობენ 8,4 საათის განმავლობაში, რომლის სიგრძე პირველის სიგრძესთან არის დაკავშირებული 0,3: 1/5, ხოლო სიგანე დაკავშირებულია პირველის სიგანე, როგორც 0, 51: 0.5(6) - თუ ცნობილია, რომ მამაკაცის ძალა ქალის ძალასთან არის დაკავშირებული, რამდენად 0.2(6) : 0.1(9)?

2694. აუზიდან წყლის ამოტუმბვისთვის მიეწოდებოდა 3 დიდი და 5 პატარა ტუმბო, რომლებიც ერთად მოქმედებით 6 საათში შეძლებდნენ მთელი წყლის ამოღებას. მათი ერთობლივი მოქმედებიდან 2 1/2 საათის შემდეგ, ორი დიდი ტუმბო გაფუჭდა და მაშინვე შეიცვალა 5 პატარა. იმის ცოდნა, რომ თითოეული პატარა ტუმბოს სიძლიერე დაკავშირებულია თითოეული დიდის სიძლიერესთან, როგორ განსაზღვრავს 2 1/2: 4 1/6 რამდენი საათი დასჭირდა წყლის ამოტუმბვას აუზიდან.

2695. სახლის კედლის ასაგებად გამოიყენეს 4215 აგური, რომელთაგან თითოეული იყო 10 1/2 ინჩი სიგრძით და 5,25 ინჩი სიგანით. და 2 5/8 ინჩი სისქით. სხვა კედლის ასაგებად გამოიყენეს აგური, რომელთაგან თითოეული იყო 5 1/2 ინჩი სიგრძით, 3 1/3 ინჩი სიგანით და 1 1/4 ინჩი სისქით. ამ აგურიდან რამდენი იქნება გამოყენებული მეორე კედლის ასაგებად, თუ მისი სიგრძე არის 0,8 (3) პირველის სიგრძე, სისქე 1,1-ჯერ აღემატება პირველის სისქეს და სიმაღლე 0. (5) სიმაღლეზე. პირველი კედლის?

2696. ოცდახუთმა ადამიანმა, რომლებიც მუშაობდნენ ყოველდღე 5 საათის განმავლობაში, 15 დღეში მოახერხეს გარკვეული სამუშაოს 0,27 შესრულება. კიდევ რამდენი ადამიანის დაქირავებაა საჭირო, რათა პირველთან ერთად დღეში 8 1/3 საათის განმავლობაში იმუშაონ, დანარჩენი იგივე სამუშაო 20 დღეში დაასრულონ?

Shvetsov K.I., BEVZ G.P.
HANDBOOK OF ELEMENTARY MATH
არითმეტიკა, ალგებრა, 1965 წ


1. მარტივი სამმაგი წესი.პროპორციულ სიდიდეებთან დაკავშირებული პრობლემებიდან ყველაზე გავრცელებულია ეგრეთ წოდებული მარტივი სამმაგი წესის პრობლემები. ამ ამოცანებში მოცემულია სამი რიცხვი და საჭიროა მეოთხე, მათ პროპორციული დადგენა.

პრობლემა 1. 10 ჭანჭიკი იწონის 4 კგ. რამდენს იწონის ამ 25 ჭანჭიკი? ასეთი ამოცანები შეიძლება გადაწყდეს რამდენიმე გზით.

გამოსავალი I (ერთობამდე შემცირებით).

1) რამდენს იწონის ერთი ჭანჭიკი?

4 კგ: 10 = 0,4 კგ.

2) რამდენს იწონის 25 ჭანჭიკი?

0,4 კგ 25 = 10 კგ.

ამოხსნა II (პროპორციების მეთოდი). ვინაიდან ჭანჭიკების წონა პირდაპირპროპორციულია მათი რიცხვისა, წონების თანაფარდობა ტოლია ნაჭრების (ბოლტების) თანაფარდობის. სასურველი წონის აღნიშვნა ასო x-ით, ვიღებთ პროპორციას:

X : 4 = 25: 10,

(კგ)

შეიძლება ასე კამათი: 25 ჭანჭიკი 2,5-ჯერ მეტია 10 ჭანჭიკზე. აქედან გამომდინარე, ისინი ასევე 4 კგ-ზე 2,5-ჯერ მძიმეა:

4 კგ 2,5 = 10 კგ.

უპასუხე. 25 ჭანჭიკი იწონის 10 კგ.

პრობლემა 2. პირველი გადაცემათა კოლოფი აკეთებს 50 ბრ/წთ. მეორე გადაცემათა კოლოფი, პირველთან შეერთებული, შეადგენს 75 rpm-ს. იპოვეთ მეორე ბორბლის კბილების რაოდენობა, თუ პირველის კბილების რაოდენობაა 30.

გამოსავალი (ერთობამდე შემცირებით). ორივე ბადისებრი მექანიზმი ერთ წუთში ამოძრავებს კბილების ერთსა და იმავე რაოდენობას, ამიტომ ბორბლების ბრუნვის რაოდენობა უკუპროპორციულია მათი კბილების რაოდენობასთან.

50 რევ. - 30 კბილი

75 რევ. - Xკბილი.

X : 30 = 50: 75; (კბილები).

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ასე კამათი: მეორე ბორბალი აკეთებს რევოლუციებს 1,5-ჯერ მეტს, ვიდრე პირველი (75: 50 \u003d 1.5). მაშასადამე, მას კბილები აქვს 1,5-ჯერ უფრო პატარა ვიდრე პირველი:

30: 1.5 = 20 (კბილები).

უპასუხე. 20 კბილი.

2. რთული სამმაგი წესი.დავალებები, რომლებშიც რამდენიმე (ორზე მეტი) პროპორციული სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობების მოცემული სერიისთვის საჭიროა იპოვოთ ერთი მათგანის მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება დარჩენილი რაოდენობების მოცემული მნიშვნელობების სხვა სერიას, ისინი ე.წ. ამოცანები რთული სამმაგი წესისთვის.

დავალება. 5 ტუმბომ 3 საათის განმავლობაში 1800 ვედრო წყალი ამოუშვა. რამდენ წყალს ამოიტუმბავს 4 ასეთი ტუმბო 4 საათში?

5 ჩვენ. 3 საათი - 1800 წ.

4 ჩვენ. 4 სთ - Xვდ.

1) რამდენი ვედრო წყალი ამოტუმბო 1 ტუმბომ 3 საათში?

1800: 5 = 360 (თაიგულები).

2) რამდენი ვედრო წყალი ამოტუმბო 1 ტუმბომ 1 საათში?

360: 3 = 120 (თაიგულები).

3)რამდენ წყალს ამოიტუმბავს 4 ტუმბო 1 საათში?

120 4 = 480 (თაიგულები).

4)რამდენი წყალი ამოიტუმბება 4 ტუმბოს 4 საათში?

480 4 = 1920 (თაიგულები).

უპასუხე. 1920 თაიგულები

მალსახმობის გადაწყვეტა რიცხვითი ფორმულა:

(თაიგულები).

დავალება. გაყავით რიცხვი 100 ორ ნაწილად 2 და 3 რიცხვების პირდაპირი პროპორციით.

ეს დავალება ასე უნდა გავიგოთ: გაყავით 100 ორ ნაწილად ისე, რომ პირველი ეხებოდეს მეორეს 2-დან 3-მდე. თუ სასურველ რიცხვებს ასოებით აღვნიშნავთ. X 1 და X 2, ეს პრობლემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად. Პოვნა X 1 და X 2 ისეთი რომ

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.