მაგალითი

1.6 / 2 = 0.8; 4 / 5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 და ა.შ.

პროპორციულობის ფაქტორი

პროპორციული სიდიდეების მუდმივი თანაფარდობა ეწოდება პროპორციულობის კოეფიციენტი. პროპორციულობის კოეფიციენტი გვიჩვენებს ერთი სიდიდის რამდენი ერთეული მოდის მეორის ერთეულზე.

პირდაპირი პროპორციულობა

პირდაპირი პროპორციულობა- ფუნქციური დამოკიდებულება, რომლის დროსაც გარკვეული რაოდენობა დამოკიდებულია სხვა რაოდენობაზე ისე, რომ მათი თანაფარდობა მუდმივი რჩება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს ცვლადები იცვლება პროპორციულად, თანაბარ წილებში, ანუ თუ არგუმენტი ორჯერ შეიცვალა რომელიმე მიმართულებით, მაშინ ფუნქციაც ორჯერ იცვლება იმავე მიმართულებით.

მათემატიკურად, პირდაპირი პროპორციულობა იწერება ფორმულის სახით:

ვ(x) = აx,ა = გონსტ

უკუპროპორციულობა

შებრუნებული პროპორცია- ეს არის ფუნქციური დამოკიდებულება, რომელშიც დამოუკიდებელი მნიშვნელობის (არგუმენტის) ზრდა იწვევს დამოკიდებული მნიშვნელობის (ფუნქციის) პროპორციულ შემცირებას.

მათემატიკურად უკუპროპორციულობაიწერება ფორმულის სახით:

ფუნქციის თვისებები:

წყაროები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

• ნიუტონის მეორე კანონი
• კულონის ბარიერი

ნახეთ, რა არის „პირდაპირი პროპორციულობა“ სხვა ლექსიკონებში:

პირდაპირი პროპორციულობა- - [A.S. Goldberg. ინგლისური რუსული ენერგეტიკული ლექსიკონი. 2006] თემები ენერგია ზოგადად EN პირდაპირი თანაფარდობა ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

პირდაპირი პროპორციულობა- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. პირდაპირი პროპორციულობა vok. direkte Proportionalitat, f rus. პირდაპირი პროპორციულობა, f pranc. პროპორციული პირდაპირი, ვ … Fizikos Terminų žodynas

პროპორციულობა- (ლათ. პროპორციული პროპორციული, პროპორციული). პროპორციულობა. ლექსიკა უცხო სიტყვებიშედის რუსულ ენაში. ჩუდინოვი ა.ნ., 1910. პროპორციულობა ოტლატ. პროპორციული, პროპორციული. პროპორციულობა. ახსნა 25000…… რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი

პროპორციულობა- პროპორციულობა, პროპორციულობა, pl. არა, ქალი (წიგნი). 1. ყურადღების გაფანტვა არსებითი სახელი პროპორციულამდე. ნაწილების პროპორციულობა. სხეულის პროპორციულობა. 2. სიდიდეებს შორის ასეთი ურთიერთობა, როცა ისინი პროპორციულია (იხ. პროპორციული ... ლექსიკონიუშაკოვი

პროპორციულობა- ორ ურთიერთდამოკიდებულ რაოდენობას ეწოდება პროპორციული, თუ მათი მნიშვნელობების თანაფარდობა უცვლელი რჩება .. შინაარსი 1 მაგალითი 2 პროპორციულობის კოეფიციენტი ... ვიკიპედია

პროპორციულობა- პროპორციულობა და ცოლები. 1. იხილეთ პროპორციული. 2. მათემატიკაში: სიდიდეებს შორის ისეთი ურთიერთობა, როცა ერთის ზრდა იწვევს მეორის ცვლილებას იმავე ოდენობით. პირდაპირი გვ. (როდესაც იჭრება ერთი მნიშვნელობის ზრდით ... ... ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი

პროპორციულობა- და; კარგად. 1. პროპორციულამდე (1 ციფრი); პროპორციულობა. პ ნაწილები. პ ფიზიკა. პ წარმომადგენლობა პარლამენტში. 2. მათემ. დამოკიდებულება პროპორციულად ცვალებად რაოდენობას შორის. პროპორციულობის ფაქტორი. პირდაპირი გვ. (რომელშიც ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

პროპორციულობა არის ურთიერთობა ორ რაოდენობას შორის, რომლის დროსაც ერთის ცვლილება იწვევს მეორის ცვლილებას იმავე რაოდენობით.

პროპორციულობა არის პირდაპირი და საპირისპირო. AT ეს გაკვეთილიჩვენ გადავხედავთ თითოეულ მათგანს.

გაკვეთილის შინაარსი

პირდაპირი პროპორციულობა

ვთქვათ, მანქანა მოძრაობს 50 კმ/სთ სიჩქარით. ჩვენ გვახსოვს, რომ სიჩქარე არის გავლილი მანძილი დროის ერთეულზე (1 საათი, 1 წუთი ან 1 წამი). ჩვენს მაგალითში მანქანა მოძრაობს 50 კმ/სთ სიჩქარით, ანუ ერთ საათში გაივლის ორმოცდაათი კილომეტრის ტოლ მანძილს.

გამოვსახოთ მანქანით გავლილი მანძილი 1 საათში.

დაე, მანქანამ კიდევ ერთი საათი იმოძრაოს იმავე სიჩქარით ორმოცდაათი კილომეტრი საათში. მერე გამოდის, რომ მანქანა 100 კმ-ს გაივლის

როგორც მაგალითიდან ჩანს, დროის გაორმაგებამ განაპირობა გავლილი მანძილის ზრდა იმავე რაოდენობით, ანუ ორჯერ.

სიდიდეები, როგორიცაა დრო და მანძილი, ამბობენ, რომ პირდაპირპროპორციულია. ამ რაოდენობებს შორის ურთიერთობას ე.წ პირდაპირი პროპორციულობა.

პირდაპირი პროპორციულობა არის ურთიერთობა ორ რაოდენობას შორის, რომლის დროსაც ერთ-ერთი მათგანის ზრდა იწვევს მეორის ზრდას იმავე რაოდენობით.

და პირიქით, თუ ერთი მნიშვნელობა მცირდება გარკვეული რაოდენობის ჯერ, მაშინ მეორე მცირდება იმავე რაოდენობით.

დავუშვათ, რომ თავდაპირველად იგეგმებოდა ავტომობილის 100 კმ-ის გავლა 2 საათში, მაგრამ 50 კმ-ის გავლის შემდეგ მძღოლმა შესვენება გადაწყვიტა. შემდეგ გამოდის, რომ მანძილის განახევრებით, დრო იგივე რაოდენობით შემცირდება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გავლილი მანძილის შემცირება გამოიწვევს დროის შემცირებას იმავე ფაქტორით.

პირდაპირპროპორციული სიდიდეების საინტერესო თვისება ის არის, რომ მათი თანაფარდობა ყოველთვის მუდმივია. ანუ პირდაპირპროპორციული რაოდენობების მნიშვნელობების შეცვლისას მათი თანაფარდობა უცვლელი რჩება.

განხილულ მაგალითში მანძილი თავდაპირველად 50 კმ-ის ტოლი იყო, დრო კი ერთი საათი. მანძილის თანაფარდობა დროზე არის რიცხვი 50.

მაგრამ მოძრაობის დრო 2-ჯერ გავზარდეთ, რაც ორ საათს უტოლდება. შედეგად, გავლილი მანძილი ამდენივე გაიზარდა, ანუ 100 კმ-ის ტოლი გახდა. ასი კილომეტრის შეფარდება ორ საათამდე ისევ არის რიცხვი 50

ნომერი 50 ჰქვია პირდაპირი პროპორციულობის კოეფიციენტი. ის გვიჩვენებს რამდენი მანძილია მოძრაობა საათში. AT ამ საქმესკოეფიციენტი თამაშობს მოძრაობის სიჩქარის როლს, რადგან სიჩქარე არის გავლილი მანძილის თანაფარდობა დროსთან.

პროპორციები შეიძლება გაკეთდეს პირდაპირპროპორციული რაოდენობით. მაგალითად, შეფარდება და შეადგინოს პროპორცია:

ორმოცდაათი კილომეტრი დაკავშირებულია ერთ საათთან, როგორც ასი კილომეტრი დაკავშირებულია ორ საათთან.

მაგალითი 2. შეძენილი საქონლის ღირებულება და რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია. თუ 1 კგ ტკბილეული ღირს 30 მანეთი, მაშინ 2 კგ იგივე ტკბილეული ეღირება 60 რუბლი, 3 კგ - 90 რუბლი. შეძენილი საქონლის ღირებულების მატებასთან ერთად მისი რაოდენობაც იმავე ოდენობით იზრდება.

ვინაიდან საქონლის ღირებულება და მისი რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია, მათი თანაფარდობა ყოველთვის მუდმივია.

მოდით ჩამოვწეროთ ოცდაათი რუბლის თანაფარდობა ერთ კილოგრამამდე

ახლა დავწეროთ, რის ტოლია სამოცი რუბლის შეფარდება ორ კილოგრამამდე. ეს თანაფარდობა ისევ ოცდაათი იქნება:

აქ პირდაპირი პროპორციულობის კოეფიციენტია რიცხვი 30. ეს კოეფიციენტი გვიჩვენებს რამდენი რუბლია თითო კილოგრამ ტკბილეულზე. AT ეს მაგალითიკოეფიციენტი თამაშობს ერთი კილოგრამი საქონლის ფასის როლს, რადგან ფასი არის საქონლის ღირებულების თანაფარდობა მის რაოდენობასთან.

უკუპროპორციულობა

განიხილეთ შემდეგი მაგალითი. ორ ქალაქს შორის მანძილი 80 კმ-ია. მოტოციკლისტმა პირველი ქალაქი დატოვა და 20 კმ/სთ სიჩქარით მეორე ქალაქს 4 საათში მიაღწია.

თუ მოტოციკლისტის სიჩქარე იყო 20 კმ/სთ, ეს ნიშნავს, რომ ყოველ საათში ის ოც კილომეტრის ტოლ მანძილზე გადიოდა. მოდით სურათზე გამოვსახოთ მოტოციკლისტის მიერ განვლილი მანძილი და მისი მოძრაობის დრო:

Ზე გზა უკანმოტოციკლისტის სიჩქარე 40 კმ/სთ იყო და მან იმავე გზაზე 2 საათი გაატარა.

ადვილი მისახვედრია, რომ როდესაც სიჩქარე იცვლება, მოძრაობის დროც იგივე რაოდენობით შეიცვალა. და ის შეიცვალა საპირისპირო მხარეს- ანუ, სიჩქარე გაიზარდა და დრო, პირიქით, შემცირდა.

სიდიდეებს, როგორიცაა სიჩქარე და დრო, უწოდებენ უკუპროპორციულს. ამ რაოდენობებს შორის ურთიერთობას ე.წ უკუპროპორციულობა.

საპირისპირო პროპორციულობა არის ურთიერთობა ორ რაოდენობას შორის, რომლის დროსაც ერთ-ერთი მათგანის ზრდა იწვევს მეორის იმავე რაოდენობით შემცირებას.

და პირიქით, თუ ერთი მნიშვნელობა მცირდება გარკვეული რაოდენობის ჯერ, მაშინ მეორე იზრდება იმავე რაოდენობით.

მაგალითად, თუ უკანა გზაზე მოტოციკლისტის სიჩქარე იყო 10 კმ/სთ, მაშინ ის იმავე 80 კმ-ს დაფარავდა 8 საათში:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სიჩქარის შემცირებამ გამოიწვია მგზავრობის დროის ზრდა იმავე ფაქტორით.

უკუპროპორციული სიდიდეების თავისებურება ის არის, რომ მათი პროდუქტი ყოველთვის მუდმივია. ანუ, უკუპროპორციული რაოდენობების მნიშვნელობების შეცვლისას, მათი პროდუქტი უცვლელი რჩება.

განხილულ მაგალითში ქალაქებს შორის მანძილი იყო 80 კმ. მოტოციკლისტის სიჩქარისა და დროის შეცვლისას ეს მანძილი ყოველთვის უცვლელი რჩებოდა.

მოტოციკლისტს ეს მანძილი 4 საათში 20 კმ/სთ სიჩქარით, 2 საათში 40 კმ/სთ სიჩქარით, 8 სთ-ში 10 კმ/სთ სიჩქარით დაფარვას შეეძლო. ყველა შემთხვევაში სიჩქარისა და დროის ნამრავლი იყო 80 კმ

მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოგვიერთდით ახალი ჯგუფი Vkontakte და დაიწყეთ შეტყობინებების მიღება ახალი გაკვეთილების შესახებ

§ 129. წინასწარი განმარტებები.

ადამიანი მუდმივად ეხება მრავალფეროვან რაოდენობას. თანამშრომელი და მუშა ცდილობენ სამსახურში მისვლას, სამუშაოდ განსაზღვრულ დროს, ფეხით მოსიარულე ჩქარობს მისვლას ცნობილი ადგილიუმოკლეს ვადაში, ორთქლის გათბობის წყარო აწუხებს, რომ ქვაბში ტემპერატურა ნელ-ნელა მატულობს, ბიზნეს მენეჯერი გეგმავს წარმოების ღირებულების შემცირებას და ა.შ.

ნებისმიერი რაოდენობის ასეთი მაგალითის მოყვანა შეიძლება. დრო, მანძილი, ტემპერატურა, ღირებულება - ეს ყველაფერი სხვადასხვა რაოდენობაა. ამ წიგნის პირველ და მეორე ნაწილში ჩვენ გავეცანით ზოგიერთ განსაკუთრებით გავრცელებულ რაოდენობას: ფართობს, მოცულობას, წონას. ფიზიკისა და სხვა მეცნიერებების შესწავლისას ბევრ რაოდენობას ვხვდებით.

წარმოიდგინეთ, რომ მატარებელში ხართ. დროდადრო უყურებ საათს და ამჩნევ, რამდენი ხანია უკვე გზაში ხარ. თქვენ ამბობთ, მაგალითად, რომ თქვენი მატარებლის გასვლიდან გავიდა 2, 3, 5, 10, 15 საათი და ა.შ.. ეს რიცხვები მიუთითებს დროის სხვადასხვა პერიოდზე; მათ უწოდებენ ამ სიდიდის მნიშვნელობებს (დროს). ან იყურებით ფანჯრიდან და მიჰყვებით გზის ბოძებს იმ მანძილზე, რომელსაც თქვენი მატარებელი გადის. თქვენს წინაშე ციმციმებს ნომრები 110, 111, 112, 113, 114 კმ. ეს რიცხვები მიუთითებს სხვადასხვა დისტანციებზე, რომელიც მატარებელმა გაიარა გამგზავრების წერტილიდან. მათ ასევე უწოდებენ მნიშვნელობებს, ამჯერად განსხვავებული მნიშვნელობით (ბილიკი ან მანძილი ორ წერტილს შორის). ამრიგად, ერთი მნიშვნელობა, მაგალითად, დრო, მანძილი, ტემპერატურა, შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი სხვადასხვა მნიშვნელობა.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ადამიანი თითქმის არასოდეს ითვალისწინებს მხოლოდ ერთ ღირებულებას, მაგრამ ყოველთვის აკავშირებს მას სხვა ღირებულებებთან. მას უნდა გაუმკლავდეს ორს, სამს და დიდი რიცხვირაოდენობები. წარმოიდგინეთ, რომ სკოლაში 9 საათამდე უნდა მიხვიდეთ. საათს უყურებ და ხედავ, რომ 20 წუთი გაქვს. შემდეგ სწრაფად გადაწყვეტთ, უნდა ახვიდეთ ტრამვაით თუ გექნებათ დრო სკოლამდე ფეხით მისასვლელად. ფიქრის შემდეგ გადაწყვეტ სიარული. გაითვალისწინეთ, რომ იმ დროს, როცა ფიქრობდით, რაღაც პრობლემას აგვარებდით. ეს ამოცანა გახდა მარტივი და ნაცნობი, რადგან თქვენ აგვარებთ ასეთ პრობლემებს ყოველდღე. მასში თქვენ სწრაფად შეადარეთ რამდენიმე მნიშვნელობა. სწორედ თქვენ დახედეთ საათს, რაც ნიშნავს, რომ გაითვალისწინეთ დრო, შემდეგ ძალაუნებურად წარმოიდგინეთ მანძილი სახლიდან სკოლამდე; საბოლოოდ, თქვენ შეადარეთ ორი რაოდენობა: თქვენი ნაბიჯის სიჩქარე და ტრამვაის სიჩქარე და დაასკვნეთ, რომ მოცემული დრო(20 წთ.) სიარულის დრო გექნებათ. ამ მარტივი მაგალითიდან ხედავთ, რომ ჩვენს პრაქტიკაში ზოგიერთი რაოდენობა ურთიერთდაკავშირებულია, ანუ ერთმანეთზეა დამოკიდებული.

მეთორმეტე თავში იყო ნათქვამი ერთგვაროვანი რაოდენობების თანაფარდობის შესახებ. მაგალითად, თუ ერთი სეგმენტი არის 12 მ, ხოლო მეორე 4 მ, მაშინ ამ სეგმენტების თანაფარდობა იქნება 12: 4.

ჩვენ ვთქვით, რომ ეს არის ორი ერთგვაროვანი სიდიდის თანაფარდობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ორი რიცხვის თანაფარდობა ერთი სახელი.

ახლა, როდესაც ჩვენ უფრო გავეცანით რაოდენობებს და შემოვიღეთ სიდიდის მნიშვნელობის კონცეფცია, შეგვიძლია განვაცხადოთ ურთიერთობის განმარტება ახლებურად. მართლაც, როდესაც განვიხილეთ ორი სეგმენტი 12 მ და 4 მ, ჩვენ ვსაუბრობდით ერთ მნიშვნელობაზე - სიგრძეზე, ხოლო 12 მ და 4 მ - ეს იყო მხოლოდ ორი. სხვადასხვა მნიშვნელობაამ ღირებულებას.

მაშასადამე, მომავალში, როცა შეფარდებაზე დავიწყებთ საუბარს, განვიხილავთ ზოგიერთი სიდიდის ერთ-ერთის ორ მნიშვნელობას, ხოლო რაოდენობის ერთი მნიშვნელობის შეფარდებას იმავე სიდიდის მეორე მნიშვნელობასთან ეწოდება გაყოფის კოეფიციენტს. პირველი მნიშვნელობა მეორეზე.

§ 130. რაოდენობები პირდაპირპროპორციულია.

განვიხილოთ პრობლემა, რომლის მდგომარეობა მოიცავს ორ რაოდენობას: მანძილს და დროს.

დავალება 1.სწორხაზოვნად მოძრავი სხეული ყოველ წამში ერთნაირად გადის 12 სმ-ს განსაზღვრეთ სხეულის მიერ გავლილი გზა 2, 3, 4, ..., 10 წამში.

შევადგინოთ ცხრილი, რომლითაც შესაძლებელი იქნება დროისა და მანძილის ცვლილების მონიტორინგი.

ცხრილი გვაძლევს შესაძლებლობას შევადაროთ მნიშვნელობების ეს ორი სერია. მისგან ვხედავთ, რომ როდესაც პირველი რაოდენობის (დროის) მნიშვნელობები თანდათან იზრდება 2, 3, ..., 10-ჯერ, მაშინ მეორე რაოდენობის (მანძილის) მნიშვნელობები ასევე იზრდება 2, 3-ით, ..., 10-ჯერ. ამრიგად, როდესაც ერთი რაოდენობის მნიშვნელობები რამდენჯერმე იზრდება, მეორე რაოდენობის მნიშვნელობები იზრდება იმავე რაოდენობით, ხოლო როდესაც ერთი რაოდენობის მნიშვნელობები რამდენჯერმე მცირდება, მეორე რაოდენობის მნიშვნელობები მცირდება. იგივე თანხა.

ახლა განვიხილოთ პრობლემა, რომელიც მოიცავს ორ ასეთ რაოდენობას: მატერიის რაოდენობას და მის ღირებულებას.

დავალება 2. 15 მ ქსოვილი ღირდა 120 მანეთი. გამოთვალეთ ამ ქსოვილის ღირებულება ცხრილში მითითებული მეტრის რამდენიმე სხვა რაოდენობით.

ამ ცხრილიდან ვხედავთ, როგორ იზრდება საქონლის ღირებულება თანდათან, მისი რაოდენობის მატებაზე. მიუხედავად იმისა, რომ ამ პრობლემაში სრულიად განსხვავებული რაოდენობა ჩნდება (პირველ პრობლემაში - დრო და მანძილი, აქ კი - საქონლის რაოდენობა და მისი ღირებულება), მიუხედავად ამისა, ამ რაოდენობების ქცევაში დიდი მსგავსება შეიძლება მოიძებნოს.

მართლაც, ცხრილის ზედა ხაზში არის ნომრები, რომლებიც მიუთითებს ქსოვილის მეტრის რაოდენობაზე, თითოეული მათგანის ქვეშ არის ჩაწერილი რიცხვი, რომელიც გამოხატავს საქონლის შესაბამისი რაოდენობის ღირებულებას. ამ ცხრილის გადახედვაც კი გვიჩვენებს, რომ რიცხვები ორივე ზედა და ქვედა რიგებში იზრდება; ცხრილის უფრო მჭიდრო შესწავლისას და ცალკეული სვეტების შედარებისას გამოდის, რომ ყველა შემთხვევაში მეორე რაოდენობის მნიშვნელობები იზრდება იმავე ფაქტორით, როგორც პირველის მნიშვნელობები, ანუ თუ პირველი რაოდენობის მნიშვნელობა. გაიზარდა, ვთქვათ, 10-ჯერ, შემდეგ მეორე მნიშვნელობის ღირებულებაც 10-ჯერ გაიზარდა.

თუ გადავხედავთ ცხრილს მარჯვნიდან მარცხნივ, აღმოვაჩენთ, რომ რაოდენობების მითითებული მნიშვნელობები შემცირდება იგივე ნომერიერთხელ. ამ თვალსაზრისით, უპირობო მსგავსებაა პირველსა და მეორეს შორის.

სიდიდეების წყვილებს, რომლებიც შევხვდით პირველ და მეორე ამოცანებში, ეწოდება პირდაპირპროპორციულია.

ამრიგად, თუ ორი სიდიდე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული ისე, რომ ერთი მათგანის მნიშვნელობის რამდენჯერმე მატებასთან ერთად (შემცირებით), მეორის ღირებულება იზრდება (მცირდება) იმავე ოდენობით, მაშინ ასეთ სიდიდეებს პირდაპირპროპორციული ეწოდება.

ისინი ასევე ამბობენ ასეთ რაოდენობებზე, რომ ისინი ერთმანეთთან პირდაპირპროპორციული დამოკიდებულებით არიან დაკავშირებული.

ბუნებაში და ჩვენს ირგვლივ არსებულ ცხოვრებაში, ასეთი რაოდენობა ბევრია. Აი ზოგიერთი მაგალითი:

1. დროსამუშაო (დღე, ორი დღე, სამი დღე და ა.შ.) და მოგებამიღებული ამ დროის განმავლობაში დღიურად.

2. მოცულობასაიდან დამზადებული ნებისმიერი ნივთი ერთგვაროვანი მასალა, და წონაამ ნივთს.

§ 131. პირდაპირპროპორციული სიდიდეების თვისება.

ავიღოთ პრობლემა, რომელიც მოიცავს შემდეგ ორ რაოდენობას: სამუშაო დროდა მოგება. თუ ყოველდღიური შემოსავალი არის 20 რუბლი, მაშინ 2 დღის შემოსავალი იქნება 40 რუბლი და ა.შ. ყველაზე მოსახერხებელია მაგიდის გაკეთება, რომელშიც გარკვეული რიცხვიდღეები შეესაბამება გარკვეულ შემოსავალს.

ამ ცხრილის დათვალიერებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე რაოდენობამ მიიღო 10 განსხვავებული მნიშვნელობა. პირველი მნიშვნელობის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება მეორე მნიშვნელობის გარკვეულ მნიშვნელობას, მაგალითად, 40 რუბლი შეესაბამება 2 დღეს; 5 დღე შეესაბამება 100 რუბლს. ცხრილში ეს რიცხვები იწერება ერთმანეთის ქვეშ.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ თუ ორი სიდიდე პირდაპირპროპორციულია, მაშინ თითოეული მათგანი, მისი ცვლილების პროცესში, იზრდება იმავე რაოდენობით, როგორც მეორე იზრდება. აქედან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს: თუ ავიღებთ პირველი სიდიდის ნებისმიერი ორი მნიშვნელობის თანაფარდობას, მაშინ ეს იქნება მეორე სიდიდის ორი შესაბამისი მნიშვნელობის თანაფარდობა. Ნამდვილად:

Რატომ ხდება ეს? მაგრამ იმის გამო, რომ ეს მნიშვნელობები პირდაპირპროპორციულია, ანუ, როდესაც ერთი მათგანი (დრო) გაიზარდა 3-ჯერ, მაშინ მეორე (მოგება) გაიზარდა 3-ჯერ.

ამიტომ მივედით შემდეგ დასკვნამდე: თუ ავიღებთ პირველი სიდიდის ნებისმიერ ორ მნიშვნელობას და გავყოფთ ერთმანეთზე და შემდეგ გავყოფთ მეორეზე მეორე სიდიდის შესაბამის მნიშვნელობებს, მაშინ ორივე შემთხვევაში მიიღება ერთი და იგივე რიცხვი, ანუ იგივე მიმართება. ეს ნიშნავს, რომ ორი მიმართება, რომელიც ზემოთ დავწერეთ, შეიძლება უკავშირდებოდეს თანაბარ ნიშანს, ე.ი.

ეჭვგარეშეა, რომ თუ ჩვენ მივიღებთ არა ამ ურთიერთობებს, არამედ სხვებს და არასწორი თანმიმდევრობით, არამედ საპირისპირო მიმართულებით, თანასწორობასაც მივიღებდით. მართლაც, ჩვენ განვიხილავთ ჩვენი რაოდენობების მნიშვნელობებს მარცხნიდან მარჯვნივ და ავიღებთ მესამე და მეცხრე მნიშვნელობებს:

60:180 = 1 / 3 .

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

ეს გულისხმობს შემდეგ დასკვნას: თუ ორი რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია, მაშინ პირველი რაოდენობის ორი თვითნებურად მიღებული მნიშვნელობის თანაფარდობა უდრის მეორე სიდიდის ორი შესაბამისი მნიშვნელობის თანაფარდობას.

§ 132. პირდაპირი პროპორციულობის ფორმულა.

შექმენით ხარჯების ცხრილი სხვადასხვა რაოდენობითტკბილეული, თუ მათი 1 კგ ღირს 10,4 რუბლი.

ახლა მოდით გავაკეთოთ ეს ასე. ავიღოთ მეორე რიგის ნებისმიერი რიცხვი და გავყოთ პირველი რიგის შესაბამის რიცხვზე. Მაგალითად:

ხედავთ, რომ კოეფიციენტში ყოველთვის ერთი და იგივე რიცხვი მიიღება. მაშასადამე, პირდაპირპროპორციული სიდიდეების მოცემული წყვილისთვის, ერთი სიდიდის ნებისმიერი მნიშვნელობის სხვა სიდიდის შესაბამის მნიშვნელობაზე გაყოფის კოეფიციენტი არის მუდმივი რიცხვი (ანუ არ იცვლება). ჩვენს მაგალითში ეს კოეფიციენტია 10.4. Ეს არის მუდმივი რიცხვიპროპორციულობის კოეფიციენტს უწოდებენ. ამ შემთხვევაში, იგი გამოხატავს საზომი ერთეულის ფასს, ანუ ერთი კილოგრამი საქონლის.

როგორ მოვძებნოთ ან გამოვთვალოთ პროპორციულობის ფაქტორი? ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ ერთი სიდიდის ნებისმიერი მნიშვნელობა და გაყოთ იგი მეორის შესაბამის მნიშვნელობაზე.

ერთი სიდიდის ეს თვითნებური მნიშვნელობა ასოებით ავღნიშნოთ ზე , ხოლო სხვა სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობა - ასო X , შემდეგ პროპორციულობის კოეფიციენტი (ჩვენ აღვნიშნავთ მას რომ) იპოვე გაყოფით:

ამ თანასწორობაში ზე - გაყოფადი X - გამყოფი და რომ- კოეფიციენტი, და რადგან, გაყოფის თვისებით, დივიდენდი უდრის გამყოფს გამრავლებულ კოეფიციენტზე, შეგვიძლია დავწეროთ:

y=კ x

შედეგად მიღებული თანასწორობა ეწოდება პირდაპირი პროპორციულობის ფორმულა.ამ ფორმულის გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ერთ-ერთი პირდაპირპროპორციული სიდიდის ნებისმიერი რაოდენობის მნიშვნელობა, თუ ვიცით მეორე სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობები და პროპორციულობის კოეფიციენტი.

მაგალითი.ფიზიკიდან ვიცით, რომ წონა რნებისმიერი სხეულის ტოლია მისი სპეციფიკური სიმძიმისა დ გამრავლებული ამ სხეულის მოცულობაზე ვ, ე.ი. რ = დვ.

აიღეთ სხვადასხვა ზომის ხუთი რკინის ჯოხი; იცის სპეციფიკური სიმძიმერკინა (7,8), ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ ბლანკების წონა ფორმულის გამოყენებით:

რ = 7,8 ვ.

ამ ფორმულის შედარება ფორმულასთან ზე = რომ X , ჩვენ ამას ვხედავთ y= რ, x = ვდა პროპორციულობის კოეფიციენტი რომ= 7.8. ფორმულა იგივეა, მხოლოდ ასოები განსხვავებულია.

ამ ფორმულის გამოყენებით შევადგინოთ ცხრილი: პირველი ცარიელის მოცულობა იყოს 8 კუბური მეტრი. სმ, მაშინ მისი წონაა 7.8 8 \u003d 62.4 (გ). მე-2 ბლანკის მოცულობა 27 კუბური მეტრია. სმ. მისი წონაა 7,8 27 \u003d 210,6 (გ). ცხრილი ასე გამოიყურება:

თავად გამოთვალეთ ამ ცხრილში გამოტოვებული რიცხვები ფორმულის გამოყენებით რ= დვ.

§ 133. პირდაპირპროპორციული სიდიდეებით ამოცანების ამოხსნის სხვა გზები.

წინა აბზაცში გადავწყვიტეთ პრობლემა, რომლის პირობაც პირდაპირპროპორციულ სიდიდეებს მოიცავდა. ამ მიზნით, ჩვენ ადრე გამოვიყვანეთ პირდაპირი პროპორციულობის ფორმულა და შემდეგ გამოვიყენეთ ეს ფორმულა. ახლა ჩვენ გაჩვენებთ მსგავსი პრობლემების გადაჭრის ორ სხვა გზას.

დავალება გავაკეთოთ წინა აბზაცის ცხრილში მოცემული რიცხვითი მონაცემების მიხედვით.

დავალება.ბლანკი მოცულობით 8 კუბური მეტრი. სმ იწონის 62,4 გ რამდენს იწონის 64 კუბური მეტრი მოცულობის ბლანკი? სმ?

გადაწყვეტილება.რკინის წონა, მოგეხსენებათ, მისი მოცულობის პროპორციულია. თუ 8 კუბ. სმ იწონის 62,4 გ, შემდეგ 1 კუბ. სმ 8-ჯერ ნაკლები იქნება, ე.ი.

62.4: 8 = 7.8 (გ).

ბლანკი 64 კუბური მეტრი მოცულობით. სმ 64-ჯერ მეტს იწონის ვიდრე 1 კუბ. სმ, ე.ი.

7.8 64 = 499.2 (გ).

ჩვენი პრობლემა ერთიანობამდე დაყვანით გადავწყვიტეთ. ამ სახელის მნიშვნელობა გამართლებულია იმით, რომ მის ამოსახსნელად პირველ კითხვაში უნდა გვეპოვა ერთეული მოცულობის წონა.

2. პროპორციის მეთოდი.მოდით გადავჭრათ იგივე პრობლემა პროპორციის მეთოდით.

ვინაიდან რკინის წონა და მისი მოცულობა პირდაპირპროპორციული სიდიდეებია, ერთი რაოდენობის (მოცულობის) ორი მნიშვნელობის თანაფარდობა უდრის მეორე რაოდენობის (წონის) ორი შესაბამისი მნიშვნელობის თანაფარდობას, ე.ი.

(წერილი რჩვენ აღვნიშნეთ ბლანკის უცნობი წონა). აქედან:

(G).

პრობლემა მოგვარებულია პროპორციების მეთოდით. ეს ნიშნავს, რომ მის გადასაჭრელად, პროპორცია შედგებოდა პირობაში შეტანილი რიცხვებისგან.

§ 134. რაოდენობები უკუპროპორციულია.

განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა: „ხუთ მაზონს შეუძლია სახლის აგურის კედლები 168 დღეში დააგდოს. დაადგინეთ, რამდენ დღეში შეეძლოთ 10, 8, 6 და ა.შ.

თუ 168 დღეში სახლის კედელს 5 ქვისა დაანგრევს, მაშინ (შრომის იგივე პროდუქტიულობით) 10 მემონს შეუძლია ამის გაკეთება ორჯერ უფრო სწრაფად, რადგან საშუალოდ 10 ადამიანი ორჯერ მეტ სამუშაოს აკეთებს ვიდრე 5 ადამიანი.

შევადგინოთ ცხრილი, რომლის მიხედვითაც შესაძლებელი იქნებოდა სამუშაო საათებისა და სამუშაო საათების რაოდენობის ცვლილების მონიტორინგი.

მაგალითად, იმის გასარკვევად, თუ რამდენი დღე სჭირდება 6 მუშაკს, ჯერ უნდა გამოთვალოთ რამდენი დღე სჭირდება ერთ მუშაკს (168 5 = 840), შემდეგ კი ექვს მუშას (840: 6 = 140). ამ ცხრილის დათვალიერებისას, ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე რაოდენობამ მიიღო ექვსი განსხვავებული მნიშვნელობა. პირველი სიდიდის ყოველი მნიშვნელობა უფრო ზუსტად შეესაბამება; მეორე მნიშვნელობის მნიშვნელობა, მაგალითად, 10 შეესაბამება 84, რიცხვი 8 - რიცხვი 105 და ა.შ.

თუ განვიხილავთ ორივე მნიშვნელობის მნიშვნელობებს მარცხნიდან მარჯვნივ, დავინახავთ, რომ ზედა მნიშვნელობის მნიშვნელობები იზრდება და ქვედა მნიშვნელობების მნიშვნელობები მცირდება. აღმავალი და დაღმავალი ექვემდებარება შემდეგი კანონი: მუშაკთა რაოდენობის მნიშვნელობები იზრდება იმავე ფაქტორით, რაც მცირდება დახარჯული სამუშაო დროის მნიშვნელობები. კიდევ უფრო მარტივად, ეს აზრი შეიძლება ასე გამოითქვას: რაც უფრო მეტი მუშა იქნება დასაქმებული ნებისმიერ ბიზნესში, მით ნაკლები დრო სჭირდება მათ დასასრულებლად. გარკვეული სამუშაო. ორ რაოდენობას, რომელსაც ამ პრობლემაში შევხვდით, ეწოდება უკუპროპორციულია.

ამრიგად, თუ ორი სიდიდე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული ისე, რომ ერთი მათგანის მნიშვნელობის რამდენჯერმე გაზრდით (შემცირებით), მეორის ღირებულება მცირდება (იზრდება) იმავე რაოდენობით, მაშინ ასეთ სიდიდეებს უკუპროპორციული ეწოდება.

ასეთი რამ ბევრია ცხოვრებაში. მოვიყვანოთ მაგალითები.

1. თუ 150 რუბლისთვის. თქვენ უნდა შეიძინოთ რამდენიმე კილოგრამი ტკბილეული, შემდეგ ტკბილეულის რაოდენობა დამოკიდებული იქნება ერთი კილოგრამის ფასზე. რაც უფრო მაღალია ფასი, მით ნაკლები საქონლის ყიდვა შეიძლება ამ ფულით; ეს ჩანს ცხრილიდან:

ტკბილეულზე ფასის რამდენჯერმე მატებასთან ერთად, იმავე რაოდენობით იკლებს ტკბილეულის კილოგრამების რაოდენობა, რომლის ყიდვაც შესაძლებელია 150 მანეთად. ამ შემთხვევაში, ორი რაოდენობა (პროდუქტის წონა და მისი ფასი) უკუპროპორციულია.

2. თუ ორ ქალაქს შორის მანძილი 1200 კმ-ია, მაშინ მისი დაფარვა შესაძლებელია სხვადასხვა დროსმოძრაობის სიჩქარის მიხედვით. არსებობს სხვადასხვა გზებიტრანსპორტირება: ფეხით, ცხენით, ველოსიპედით, ნავით, მანქანით, მატარებლით, თვითმფრინავით. რაც უფრო დაბალია სიჩქარე, მით მეტი დრო სჭირდება გადაადგილებას. ეს ჩანს ცხრილიდან:

სიჩქარის რამდენჯერმე მატებასთან ერთად მოძრაობის დრო ერთნაირი რაოდენობით მცირდება. ამრიგად, მოცემულ პირობებში სიჩქარე და დრო უკუპროპორციულია.

§ 135. უკუპროპორციული სიდიდეების თვისება.

ავიღოთ მეორე მაგალითი, რომელიც განვიხილეთ წინა აბზაცში. იქ ორ სიდიდესთან გვქონდა საქმე - მოძრაობის სიჩქარე და დრო. თუ განვიხილავთ ამ რაოდენობების მნიშვნელობებს მარცხნიდან მარჯვნივ ცხრილში, დავინახავთ, რომ პირველი რაოდენობის (სიჩქარის) მნიშვნელობები იზრდება, ხოლო მეორე (დრო) მნიშვნელობები მცირდება, და სიჩქარე იზრდება იმავე ფაქტორით, როგორც დრო მცირდება.ადვილი მისახვედრია, რომ თუ დაწერთ ერთი სიდიდის ზოგიერთი მნიშვნელობის თანაფარდობას, მაშინ ის არ იქნება სხვა რაოდენობის შესაბამისი მნიშვნელობების თანაფარდობის ტოლი. მართლაც, თუ ავიღებთ ზედა მნიშვნელობის მეოთხე მნიშვნელობის თანაფარდობას მეშვიდე მნიშვნელობასთან (40: 80), მაშინ ის არ იქნება ტოლი ქვედა მნიშვნელობის მეოთხე და მეშვიდე მნიშვნელობების (30: 15). ). შეიძლება ასე დაიწეროს:

40:80 არ უდრის 30:15, ან 40:80 =/= 30:15.

მაგრამ თუ რომელიმე ამ თანაფარდობის ნაცვლად ავიღებთ საპირისპიროს, მაშინ მივიღებთ თანასწორობას, ანუ ამ თანაფარდებიდან შესაძლებელი იქნება პროპორციის გაკეთება. Მაგალითად:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნა: თუ ორი სიდიდე უკუპროპორციულია, მაშინ ერთი სიდიდის ორი თვითნებურად მიღებული მნიშვნელობის თანაფარდობა უდრის საპირისპირო მიმართებასხვა რაოდენობის შესაბამისი მნიშვნელობები.

§ 136. შებრუნებული პროპორციულობის ფორმულა.

განვიხილოთ პრობლემა: „არის 6 ცალი აბრეშუმის ქსოვილი სხვადასხვა ზომისდა სხვადასხვა ჯიშები. ყველა ცალი ერთი ფასია. ერთ ნაჭერში 100 მ ქსოვილი 20 რუბლის ფასად. მეტრზე. რამდენი მეტრია თითოეულ დანარჩენ ხუთ ნაწილად, თუ ამ ნაჭრებში ქსოვილის მეტრი ღირს შესაბამისად 25, 40, 50, 80, 100 რუბლი? მოდით შევქმნათ ცხრილი ამ პრობლემის გადასაჭრელად:

ჩვენ უნდა შეავსოთ ცარიელი უჯრები ამ ცხრილის ზედა მწკრივში. ჯერ შევეცადოთ განვსაზღვროთ რამდენი მეტრია მეორე ნაჭერში. ეს შეიძლება გაკეთდეს შემდეგი გზით. პრობლემის მდგომარეობიდან ცნობილია, რომ ყველა ნაწილის ღირებულება ერთნაირია. პირველი ნაწილის ღირებულების დადგენა მარტივია: მას აქვს 100 მ და თითო მეტრი 20 მანეთი ღირს, რაც იმას ნიშნავს, რომ აბრეშუმის პირველ ნაჭერში 2000 მანეთი ღირს. ვინაიდან აბრეშუმის მეორე ნაჭერი შეიცავს იმავე რაოდენობის რუბლს, მაშინ 2000 რუბლის გაყოფა. ერთი მეტრის ფასად, ანუ 25-ზე ვპოულობთ მეორე ნაწილის ღირებულებას: 2000: 25 = 80 (მ). ანალოგიურად, ჩვენ ვიპოვით ყველა სხვა ნაწილის ზომას. ცხრილი ასე გამოიყურება:

ადვილი მისახვედრია, რომ მრიცხველების რაოდენობასა და ფასს შორის არის შებრუნებული პროპორციული დამოკიდებულება.

თუ თქვენ თვითონ გააკეთებთ საჭირო გამოთვლებს, შეამჩნევთ, რომ ყოველ ჯერზე უნდა გაყოთ რიცხვი 2000 1 მ ფასზე, პირიქით, თუ ახლა დაიწყებთ ნაჭრის ზომის მეტრებში გამრავლებას 1 მ ფასზე, თქვენ. ყოველთვის მიიღებს რიცხვს 2000. და ეს მოსალოდნელიც იყო, რადგან თითოეული ცალი 2000 მანეთი ღირს.

აქედან შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნა: უკუპროპორციული სიდიდეების მოცემული წყვილისთვის, ერთი სიდიდის ნებისმიერი მნიშვნელობის ნამრავლი მეორე სიდიდის შესაბამისი მნიშვნელობით არის მუდმივი რიცხვი (ანუ არ იცვლება).

ჩვენს პრობლემაში ეს ნამრავლი უდრის 2000-ს, შეამოწმეთ, რომ წინა ამოცანაში, სადაც საუბარი იყო მოძრაობის სიჩქარეზე და ერთი ქალაქიდან მეორეში გადასასვლელად საჭირო დროს, იყო ამ პრობლემის მუდმივი რიცხვიც (1200).

ყოველივე ნათქვამის გათვალისწინებით, მარტივია უკუპროპორციულობის ფორმულის გამოყვანა. აღნიშნეთ ერთი სიდიდის გარკვეული მნიშვნელობა ასოებით X , ხოლო სხვა მნიშვნელობის შესაბამისი მნიშვნელობა - ასო ზე . შემდეგ, ზემოაღნიშნული სამუშაოს საფუძველზე X ზე ზე ზოგიერთის ტოლი უნდა იყოს მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც აღინიშნება ასოთი რომ, ე.ი.

x წ = რომ.

ამ თანასწორობაში X - მულტიპლიკატორი, ზე - მულტიპლიკატორი და კ- სამუშაო. გამრავლების თვისებით, მამრავლი უდრის პროდუქტსგაყოფილი მულტიპლიკატორზე. ნიშნავს,

ეს არის უკუპროპორციულობის ფორმულა. მისი გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ერთ-ერთი უკუპროპორციული სიდიდის ნებისმიერი რაოდენობის მნიშვნელობა, მეორის მნიშვნელობებისა და მუდმივი რიცხვის ცოდნა. რომ.

განვიხილოთ კიდევ ერთი პრობლემა: „ერთი ესეს ავტორმა გამოთვალა, რომ თუ მისი წიგნი ჩვეულ ფორმატში იქნებოდა, მაშინ იქნებოდა 96 გვერდი, მაგრამ თუ ჯიბის ფორმატი იქნებოდა, მაშინ 300 გვერდი იქნებოდა. Ის ეცადა სხვადასხვა ვარიანტები, დაიწყო 96 გვერდით, შემდეგ კი თითო გვერდზე 2500 ასო მიიღო. შემდეგ მან აიღო ქვემოთ მოცემულ ცხრილში მითითებული გვერდების რაოდენობა და კვლავ გამოთვალა რამდენი ასო იქნებოდა გვერდზე.

ვცადოთ და გამოვთვალოთ რამდენი ასო იქნება გვერდზე, თუ წიგნი 100 გვერდიანია.

მთელ წიგნში 240000 ასოა, ვინაიდან 2500 96=240000.

ამის გათვალისწინებით, ვიყენებთ უკუპროპორციულობის ფორმულას ( ზე - ასოების რაოდენობა გვერდზე X - გვერდების რაოდენობა):

ჩვენს მაგალითში რომ= 240,000, შესაბამისად,

ასე რომ, გვერდზე 2400 ასოა.

ანალოგიურად, ჩვენ ვიგებთ, რომ თუ წიგნს აქვს 120 გვერდი, მაშინ გვერდზე ასოების რაოდენობა იქნება:

ჩვენი ცხრილი ასე გამოიყურება:

დანარჩენი უჯრედები თავად შეავსეთ.

§ 137. უკუპროპორციული სიდიდეებით ამოცანების ამოხსნის სხვა გზები.

წინა აბზაცში ჩვენ გადავწყვიტეთ ამოცანები, რომლებიც მოიცავდა უკუპროპორციულ სიდიდეებს. ჩვენ ადრე გამოვიყვანეთ უკუპროპორციულობის ფორმულა და შემდეგ გამოვიყენეთ ეს ფორმულა. ახლა ჩვენ გაჩვენებთ მსგავსი პრობლემების გადაჭრის ორ სხვა გზას.

1. ერთიანობამდე შემცირების მეთოდი.

დავალება. 5 შემხვევს შეუძლია გარკვეული სამუშაოს შესრულება 16 დღეში. რამდენ დღეში შეუძლია ამ სამუშაოს დასრულება 8 ტურნერს?

გადაწყვეტილება.არსებობს საპირისპირო კავშირი ტურნერების რაოდენობასა და სამუშაო დროს შორის. თუ სამუშაოს 16 დღეში 5 შემხვევი გააკეთებს, მაშინ ერთ ადამიანს ამისთვის 5-ჯერ მეტი დრო დასჭირდება, ე.ი.

სამუშაოს 16 დღეში 5 შემხვევი აკეთებს,

1 ტერნერი დაასრულებს მას 16 5 = 80 დღეში.

პრობლემა კითხულობს, რამდენ დღეში დაასრულებს სამუშაოს 8 შემხვევი. ცხადია, ისინი სამუშაოს 8-ჯერ უფრო სწრაფად გააკეთებენ, ვიდრე 1 ტურნერი, ანუ ამისთვის

80: 8 = 10 (დღეში).

ეს არის პრობლემის გადაწყვეტა ერთიანობამდე დაყვანის მეთოდით. აქ, უპირველეს ყოვლისა, საჭირო იყო ერთი მუშის მიერ სამუშაოს შესრულების დროის განსაზღვრა.

2. პროპორციის მეთოდი.იგივე პრობლემა გადავწყვიტოთ მეორე გზით.

ვინაიდან არსებობს შებრუნებული კავშირი მუშაკთა რაოდენობასა და სამუშაო დროს შორის, შეგვიძლია დავწეროთ: 5 შემობრუნების მუშაობის ხანგრძლივობა, შემომბრუნვის ახალი რაოდენობა (8) 8 შემობრუნების მუშაობის ხანგრძლივობა, წინამორბედების რაოდენობა (5). ) ასოთი ავღნიშნოთ მუშაობის სასურველი ხანგრძლივობა X და შეცვალეთ პროპორციით სიტყვებით გამოხატული, საჭირო ნომრები:

იგივე პრობლემა წყდება პროპორციების მეთოდით. მის გადასაჭრელად, პროპორცია უნდა შეგვექმნა პრობლემის პირობაში შემავალ რიცხვებში.

Შენიშვნა.წინა აბზაცებში განვიხილეთ პირდაპირი და უკუპროპორციულობის საკითხი. ბუნება და სიცოცხლე მრავალ მაგალითს გვაძლევს რაოდენობების პირდაპირი და შებრუნებული პროპორციების შესახებ. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ დამოკიდებულების ეს ორი ტიპი მხოლოდ ყველაზე მარტივია. მათთან ერთად არის სხვა, უფრო რთული კავშირები რაოდენობებს შორის. გარდა ამისა, არ უნდა ვიფიქროთ, რომ თუ რომელიმე ორი რაოდენობა ერთდროულად იზრდება, მაშინ მათ შორის აუცილებლად არის პირდაპირი პროპორციულობა. ეს შორს არის სიმართლისგან. მაგალითად, საფასური რკინიგზაიზრდება მანძილით: რაც უფრო შორს მივდივართ, მით მეტს ვიხდით, მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ გადახდა მანძილის პროპორციულია.

დღეს ჩვენ გადავხედავთ რა სიდიდეებს უწოდებენ უკუპროპორციულს, როგორ გამოიყურება შებრუნებული პროპორციულობის გრაფიკი და როგორ შეიძლება ეს ყველაფერი გამოგადგეთ არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე, არამედ სკოლის კედლების გარეთაც.

ასეთი განსხვავებული პროპორციები

პროპორციულობადაასახელეთ ორი სიდიდე, რომლებიც ურთიერთდამოკიდებულნი არიან ერთმანეთზე.

დამოკიდებულება შეიძლება იყოს პირდაპირი და საპირისპირო. მაშასადამე, რაოდენობებს შორის ურთიერთობა აღწერს პირდაპირ და უკუპროპორციულობას.

პირდაპირი პროპორციულობა- ეს არის ისეთი ურთიერთობა ორ რაოდენობას შორის, რომლის დროსაც ერთის მატება ან შემცირება იწვევს მეორის ზრდას ან შემცირებას. იმათ. მათი დამოკიდებულება არ იცვლება.

მაგალითად, რაც უფრო მეტ ძალისხმევას დახარჯავთ გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, მით უფრო მაღალი იქნება თქვენი ქულები. ან რაც უფრო მეტ ნივთს წაიღებთ ლაშქრობაში, მით უფრო რთულია თქვენი ზურგჩანთის ტარება. იმათ. გამოცდებისთვის მომზადებაზე დახარჯული ძალისხმევის ოდენობა პირდაპირპროპორციულია მიღებული ქულებისა. ზურგჩანთაში შეფუთული ნივთების რაოდენობა კი მისი წონის პირდაპირპროპორციულია.

უკუპროპორციულობა- ეს არის ფუნქციური დამოკიდებულება, რომლის დროსაც დამოუკიდებელი მნიშვნელობის რამდენჯერმე შემცირება ან გაზრდა (მას არგუმენტი ეწოდება) იწვევს დამოკიდებული მნიშვნელობის პროპორციულ (ანუ იმავე რაოდენობით) ზრდას ან შემცირებას (მას უწოდებენ ფუნქცია).

ილუსტრაცია მარტივი მაგალითი. გსურთ შეიძინოთ ვაშლი ბაზარზე. დახლზე არსებული ვაშლები და თქვენს საფულეში არსებული თანხის რაოდენობა საპირისპირო კავშირშია. იმათ. რაც უფრო მეტ ვაშლს იყიდით, მით ნაკლები თანხა დაგრჩებათ.

ფუნქცია და მისი გრაფიკი

უკუპროპორციულობის ფუნქცია შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც y = k/x. სადაც x≠ 0 და კ≠ 0.

ამ ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:

1. მისი განმარტების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე გარდა x = 0. დ(წ): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. დიაპაზონი არის ყველა რეალური რიცხვებიგარდა ამისა წ= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. მას არ აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობები.
4. კენტია და მისი გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.
5. არაპერიოდული.
6. მისი გრაფიკი არ კვეთს კოორდინატთა ღერძებს.
7. არ აქვს ნულები.
8. Თუ კ> 0 (ანუ არგუმენტი იზრდება), ფუნქცია პროპორციულად მცირდება მის თითოეულ ინტერვალზე. Თუ კ< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. რაც უფრო იზრდება არგუმენტი ( კ> 0) უარყოფითი მნიშვნელობებიფუნქციები არის ინტერვალში (-∞; 0) და დადებითი - (0; +∞). როდესაც არგუმენტი მცირდება ( კ< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

უკუპროპორციულობის ფუნქციის გრაფიკს ჰიპერბოლა ეწოდება. გამოსახულია შემდეგნაირად:

შებრუნებული პროპორციული პრობლემები

უფრო გასაგებად, მოდით შევხედოთ რამდენიმე ამოცანას. ისინი არც თუ ისე რთულია და მათი გადაწყვეტა დაგეხმარებათ წარმოიდგინოთ, რა არის შებრუნებული პროპორცია და როგორ შეიძლება ეს ცოდნა სასარგებლო იყოს თქვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

დავალება ნომერი 1. მანქანა მოძრაობს 60 კმ/სთ სიჩქარით. დანიშნულების ადგილამდე მისვლას 6 საათი დასჭირდა. რამდენი დრო დასჭირდება მას იმავე მანძილის დასაფარად, თუ ორჯერ მეტი სიჩქარით მოძრაობს?

ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ ფორმულის ჩაწერით, რომელიც აღწერს დროის, მანძილის და სიჩქარის ურთიერთობას: t = S/V. დამეთანხმებით, ის ძალიან გვახსენებს უკუპროპორციულობის ფუნქციას. და ეს მიუთითებს იმაზე, რომ დრო, რომელსაც მანქანა ატარებს გზაზე და სიჩქარე, რომლითაც ის მოძრაობს, უკუპროპორციულია.

ამის შესამოწმებლად, ვიპოვოთ V 2, რომელიც, პირობითად, 2-ჯერ მეტია: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 კმ / სთ. შემდეგ ჩვენ ვიანგარიშებთ მანძილს ფორმულის გამოყენებით S = V * t = 60 * 6 = 360 კმ. ახლა ძნელი არ არის დროის t 2-ის გარკვევა, რომელიც საჭიროა ჩვენგან პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით: t 2 = 360/120 = 3 საათი.

როგორც ხედავთ, მგზავრობის დრო და სიჩქარე მართლაც უკუპროპორციულია: ორიგინალზე 2-ჯერ მაღალი სიჩქარით, მანქანა გზაზე 2-ჯერ ნაკლებ დროს დაატარებს.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა ასევე შეიძლება დაიწეროს პროპორციულად. რატომ ვქმნით ასეთ დიაგრამას:

↓ 60 კმ/სთ – 6 სთ

↓120 კმ/სთ – x სთ

ისრები მიუთითებს შებრუნებულ ურთიერთობაზე. ისინი ასევე გვთავაზობენ პროპორციის შედგენისას მარჯვენა მხარეჩანაწერები უნდა შეიცვალოს: 60/120 = x/6. სად მივიღოთ x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 საათი.

დავალება ნომერი 2. სახელოსნოში დასაქმებულია 6 მუშა, რომლებიც 4 საათში უმკლავდებიან მოცემულ სამუშაოს. თუ მუშათა რაოდენობა განახევრდება, რამდენი დრო დასჭირდება დარჩენილ მუშაკებს იგივე რაოდენობის სამუშაოს შესრულებას?

ჩვენ ვწერთ პრობლემის პირობებს ვიზუალური დიაგრამის სახით:

↓ 6 მუშა - 4 საათი

↓ 3 მუშა - x სთ

მოდით ჩავწეროთ ეს პროპორციულად: 6/3 = x/4. და ვიღებთ x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 საათს. თუ 2-ჯერ ნაკლები მუშა იქნება, დანარჩენი 2-ჯერ მეტ დროს დახარჯავს მთელი სამუშაოს დასასრულებლად.

დავალება ნომერი 3. აუზამდე მიდის ორი მილი. ერთი მილით წყალი შემოდის 2ლ/წმ სიჩქარით და 45 წუთში ავსებს აუზს. სხვა მილის მეშვეობით აუზი 75 წუთში შეივსება. რამდენად სწრაფად შედის წყალი აუზში ამ მილით?

დასაწყისისთვის, ჩვენ გადმოვიტანთ ყველა იმ სიდიდეს, რომელიც მოგვცეს პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, იმავე საზომ ერთეულებში. ამისათვის ჩვენ გამოვხატავთ აუზის შევსების სიჩქარეს ლიტრებში წუთში: 2 ლ / წმ \u003d 2 * 60 \u003d 120 ლ / წთ.

ვინაიდან ეს გამომდინარეობს იმ პირობით, რომ აუზი მეორე მილით უფრო ნელა ივსება, ეს ნიშნავს, რომ წყლის შემოდინების სიჩქარე უფრო დაბალია. შებრუნებული პროპორციის სახეზე. ჩვენთვის უცნობი სიჩქარე გამოვხატოთ x-ით და შევადგინოთ შემდეგი სქემა:

↓ 120 ლ/წთ - 45 წთ

↓ x ლ/წთ – 75 წთ

შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ პროპორციას: 120 / x \u003d 75/45, საიდანაც x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 ლ / წთ.

პრობლემაში აუზის შევსების სიჩქარე გამოიხატება ლიტრებში წამში, მოდი ჩვენი პასუხი მივიღოთ იმავე ფორმაზე: 72/60 = 1,2 ლ/წმ.

დავალება ნომერი 4. სავიზიტო ბარათები იბეჭდება პატარა კერძო სტამბაში. სტამბის თანამშრომელი მუშაობს საათში 42 სავიზიტო ბარათის სიჩქარით და მუშაობს სრული განაკვეთით - 8 საათი. თუ ის უფრო სწრაფად მუშაობდა და საათში 48 სავიზიტო ბარათს დაბეჭდავდა, რამდენად ადრე შეეძლო სახლში წასვლა?

ჩვენ მივდივართ დადასტურებული გზით და ვადგენთ სქემას პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, რომელიც აღვნიშნავთ სასურველ მნიშვნელობას, როგორც x:

↓ 42 სავიზიტო ბარათი/სთ – 8 სთ

↓ 48 სავიზიტო ბარათი/სთ – xh

ჩვენს წინაშე არის უკუპროპორციული ურთიერთობა: რამდენჯერ მეტ სავიზიტო ბარათს ბეჭდავს სტამბის თანამშრომელი საათში, იგივე დრო დასჭირდება მას ერთი და იგივე სამუშაოს შესასრულებლად. ამის გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ პროპორცია:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 საათი.

ამრიგად, 7 საათში სამუშაოს დასრულების შემდეგ, სტამბის თანამშრომელს შეეძლო სახლში წასვლა ერთი საათით ადრე.

დასკვნა

გვეჩვენება, რომ ეს შებრუნებული პროპორციულობის ამოცანები მართლაც მარტივია. ვიმედოვნებთ, რომ ახლა თქვენც ასე განიხილავთ მათ. და რაც მთავარია, რაოდენობების უკუპროპორციული დამოკიდებულების ცოდნა ნამდვილად შეიძლება თქვენთვის სასარგებლო იყოს არაერთხელ.

არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე და გამოცდებზე. მაგრამ მაშინაც კი, როცა სამოგზაუროდ აპირებთ წასვლას, წადით საყიდლებზე, გადაწყვიტეთ ფულის გამომუშავება არდადეგებზე და ა.შ.

გვითხარით კომენტარებში შებრუნებული და პირდაპირი პროპორციულობის რა მაგალითებს ამჩნევთ თქვენს გარშემო. დაე ეს იყოს თამაში. თქვენ ნახავთ, რამდენად ამაღელვებელია. არ დაგავიწყდეთ ამ სტატიის გაზიარება სოციალური ქსელებირათა შენმა მეგობრებმა და კლასელებმაც შეძლონ თამაში.

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

დღეს ჩვენ გადავხედავთ რა სიდიდეებს უწოდებენ უკუპროპორციულს, როგორ გამოიყურება შებრუნებული პროპორციულობის გრაფიკი და როგორ შეიძლება ეს ყველაფერი გამოგადგეთ არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე, არამედ სკოლის კედლების გარეთაც.

ასეთი განსხვავებული პროპორციები

პროპორციულობადაასახელეთ ორი სიდიდე, რომლებიც ურთიერთდამოკიდებულნი არიან ერთმანეთზე.

დამოკიდებულება შეიძლება იყოს პირდაპირი და საპირისპირო. მაშასადამე, რაოდენობებს შორის ურთიერთობა აღწერს პირდაპირ და უკუპროპორციულობას.

პირდაპირი პროპორციულობა- ეს არის ისეთი ურთიერთობა ორ რაოდენობას შორის, რომლის დროსაც ერთის მატება ან შემცირება იწვევს მეორის ზრდას ან შემცირებას. იმათ. მათი დამოკიდებულება არ იცვლება.

მაგალითად, რაც უფრო მეტ ძალისხმევას დახარჯავთ გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, მით უფრო მაღალი იქნება თქვენი ქულები. ან რაც უფრო მეტ ნივთს წაიღებთ ლაშქრობაში, მით უფრო რთულია თქვენი ზურგჩანთის ტარება. იმათ. გამოცდებისთვის მომზადებაზე დახარჯული ძალისხმევის ოდენობა პირდაპირპროპორციულია მიღებული ქულებისა. ზურგჩანთაში შეფუთული ნივთების რაოდენობა კი მისი წონის პირდაპირპროპორციულია.

უკუპროპორციულობა- ეს არის ფუნქციური დამოკიდებულება, რომლის დროსაც დამოუკიდებელი მნიშვნელობის რამდენჯერმე შემცირება ან გაზრდა (მას არგუმენტი ეწოდება) იწვევს დამოკიდებული მნიშვნელობის პროპორციულ (ანუ იმავე რაოდენობით) ზრდას ან შემცირებას (მას უწოდებენ ფუნქცია).

მოდით ილუსტრაციით მარტივი მაგალითით. გსურთ შეიძინოთ ვაშლი ბაზარზე. დახლზე არსებული ვაშლები და თქვენს საფულეში არსებული თანხის რაოდენობა საპირისპირო კავშირშია. იმათ. რაც უფრო მეტ ვაშლს იყიდით, მით ნაკლები თანხა დაგრჩებათ.

ფუნქცია და მისი გრაფიკი

უკუპროპორციულობის ფუნქცია შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც y = k/x. სადაც x≠ 0 და კ≠ 0.

ამ ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:

1. მისი განმარტების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე გარდა x = 0. დ(წ): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. დიაპაზონი არის ყველა რეალური რიცხვი გარდა წ= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. მას არ აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობები.
4. კენტია და მისი გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.
5. არაპერიოდული.
6. მისი გრაფიკი არ კვეთს კოორდინატთა ღერძებს.
7. არ აქვს ნულები.
8. Თუ კ> 0 (ანუ არგუმენტი იზრდება), ფუნქცია პროპორციულად მცირდება მის თითოეულ ინტერვალზე. Თუ კ< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. რაც უფრო იზრდება არგუმენტი ( კ> 0) ფუნქციის უარყოფითი მნიშვნელობები არის ინტერვალში (-∞; 0), ხოლო დადებითი მნიშვნელობები არის ინტერვალში (0; +∞). როდესაც არგუმენტი მცირდება ( კ< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

უკუპროპორციულობის ფუნქციის გრაფიკს ჰიპერბოლა ეწოდება. გამოსახულია შემდეგნაირად:

შებრუნებული პროპორციული პრობლემები

უფრო გასაგებად, მოდით შევხედოთ რამდენიმე ამოცანას. ისინი არც თუ ისე რთულია და მათი გადაწყვეტა დაგეხმარებათ წარმოიდგინოთ, რა არის შებრუნებული პროპორცია და როგორ შეიძლება ეს ცოდნა სასარგებლო იყოს თქვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

დავალება ნომერი 1. მანქანა მოძრაობს 60 კმ/სთ სიჩქარით. დანიშნულების ადგილამდე მისვლას 6 საათი დასჭირდა. რამდენი დრო დასჭირდება მას იმავე მანძილის დასაფარად, თუ ორჯერ მეტი სიჩქარით მოძრაობს?

ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ ფორმულის ჩაწერით, რომელიც აღწერს დროის, მანძილის და სიჩქარის ურთიერთობას: t = S/V. დამეთანხმებით, ის ძალიან გვახსენებს უკუპროპორციულობის ფუნქციას. და ეს მიუთითებს იმაზე, რომ დრო, რომელსაც მანქანა ატარებს გზაზე და სიჩქარე, რომლითაც ის მოძრაობს, უკუპროპორციულია.

ამის შესამოწმებლად, ვიპოვოთ V 2, რომელიც, პირობითად, 2-ჯერ მეტია: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 კმ / სთ. შემდეგ ჩვენ ვიანგარიშებთ მანძილს ფორმულის გამოყენებით S = V * t = 60 * 6 = 360 კმ. ახლა ძნელი არ არის დროის t 2-ის გარკვევა, რომელიც საჭიროა ჩვენგან პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით: t 2 = 360/120 = 3 საათი.

როგორც ხედავთ, მგზავრობის დრო და სიჩქარე მართლაც უკუპროპორციულია: ორიგინალზე 2-ჯერ მაღალი სიჩქარით, მანქანა გზაზე 2-ჯერ ნაკლებ დროს დაატარებს.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა ასევე შეიძლება დაიწეროს პროპორციულად. რატომ ვქმნით ასეთ დიაგრამას:

↓ 60 კმ/სთ – 6 სთ

↓120 კმ/სთ – x სთ

ისრები მიუთითებს შებრუნებულ ურთიერთობაზე. და ისინი ასევე ვარაუდობენ, რომ პროპორციის შედგენისას, ჩანაწერის მარჯვენა მხარე უნდა გადატრიალდეს: 60/120 \u003d x / 6. სად მივიღოთ x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 საათი.

დავალება ნომერი 2. სახელოსნოში დასაქმებულია 6 მუშა, რომლებიც 4 საათში უმკლავდებიან მოცემულ სამუშაოს. თუ მუშათა რაოდენობა განახევრდება, რამდენი დრო დასჭირდება დარჩენილ მუშაკებს იგივე რაოდენობის სამუშაოს შესრულებას?

ჩვენ ვწერთ პრობლემის პირობებს ვიზუალური დიაგრამის სახით:

↓ 6 მუშა - 4 საათი

↓ 3 მუშა - x სთ

მოდით ჩავწეროთ ეს პროპორციულად: 6/3 = x/4. და ვიღებთ x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 საათს. თუ 2-ჯერ ნაკლები მუშა იქნება, დანარჩენი 2-ჯერ მეტ დროს დახარჯავს მთელი სამუშაოს დასასრულებლად.

დავალება ნომერი 3. აუზამდე მიდის ორი მილი. ერთი მილით წყალი შემოდის 2ლ/წმ სიჩქარით და 45 წუთში ავსებს აუზს. სხვა მილის მეშვეობით აუზი 75 წუთში შეივსება. რამდენად სწრაფად შედის წყალი აუზში ამ მილით?

დასაწყისისთვის, ჩვენ გადმოვიტანთ ყველა იმ სიდიდეს, რომელიც მოგვცეს პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, იმავე საზომ ერთეულებში. ამისათვის ჩვენ გამოვხატავთ აუზის შევსების სიჩქარეს ლიტრებში წუთში: 2 ლ / წმ \u003d 2 * 60 \u003d 120 ლ / წთ.

ვინაიდან ეს გამომდინარეობს იმ პირობით, რომ აუზი მეორე მილით უფრო ნელა ივსება, ეს ნიშნავს, რომ წყლის შემოდინების სიჩქარე უფრო დაბალია. შებრუნებული პროპორციის სახეზე. ჩვენთვის უცნობი სიჩქარე გამოვხატოთ x-ით და შევადგინოთ შემდეგი სქემა:

↓ 120 ლ/წთ - 45 წთ

↓ x ლ/წთ – 75 წთ

შემდეგ ჩვენ გავაკეთებთ პროპორციას: 120 / x \u003d 75/45, საიდანაც x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 ლ / წთ.

პრობლემაში აუზის შევსების სიჩქარე გამოიხატება ლიტრებში წამში, მოდი ჩვენი პასუხი მივიღოთ იმავე ფორმაზე: 72/60 = 1,2 ლ/წმ.

დავალება ნომერი 4. სავიზიტო ბარათები იბეჭდება პატარა კერძო სტამბაში. სტამბის თანამშრომელი მუშაობს საათში 42 სავიზიტო ბარათის სიჩქარით და მუშაობს სრული განაკვეთით - 8 საათი. თუ ის უფრო სწრაფად მუშაობდა და საათში 48 სავიზიტო ბარათს დაბეჭდავდა, რამდენად ადრე შეეძლო სახლში წასვლა?

ჩვენ მივდივართ დადასტურებული გზით და ვადგენთ სქემას პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, რომელიც აღვნიშნავთ სასურველ მნიშვნელობას, როგორც x:

↓ 42 სავიზიტო ბარათი/სთ – 8 სთ

↓ 48 სავიზიტო ბარათი/სთ – xh

ჩვენს წინაშე არის უკუპროპორციული ურთიერთობა: რამდენჯერ მეტ სავიზიტო ბარათს ბეჭდავს სტამბის თანამშრომელი საათში, იგივე დრო დასჭირდება მას ერთი და იგივე სამუშაოს შესასრულებლად. ამის გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ პროპორცია:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 საათი.

ამრიგად, 7 საათში სამუშაოს დასრულების შემდეგ, სტამბის თანამშრომელს შეეძლო სახლში წასვლა ერთი საათით ადრე.

დასკვნა

გვეჩვენება, რომ ეს შებრუნებული პროპორციულობის ამოცანები მართლაც მარტივია. ვიმედოვნებთ, რომ ახლა თქვენც ასე განიხილავთ მათ. და რაც მთავარია, რაოდენობების უკუპროპორციული დამოკიდებულების ცოდნა ნამდვილად შეიძლება თქვენთვის სასარგებლო იყოს არაერთხელ.

არა მხოლოდ მათემატიკის გაკვეთილებზე და გამოცდებზე. მაგრამ მაშინაც კი, როცა სამოგზაუროდ აპირებთ წასვლას, წადით საყიდლებზე, გადაწყვიტეთ ფულის გამომუშავება არდადეგებზე და ა.შ.

გვითხარით კომენტარებში შებრუნებული და პირდაპირი პროპორციულობის რა მაგალითებს ამჩნევთ თქვენს გარშემო. დაე ეს იყოს თამაში. თქვენ ნახავთ, რამდენად ამაღელვებელია. არ დაგავიწყდეთ ამ სტატიის „გაზიარება“ სოციალურ ქსელებში, რათა თქვენმა მეგობრებმა და კლასელებმაც შეძლონ თამაში.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.