§ 1 რიცხვების შედარების უნივერსალური გზა
მოდით გავეცნოთ ძირითად თვისებებს რიცხვითი უტოლობებიდა ასევე განიხილეთ რიცხვების შედარების უნივერსალური გზა.
რიცხვების შედარების შედეგი შეიძლება დაიწეროს ტოლობის ან უტოლობის გამოყენებით. უთანასწორობა შეიძლება იყოს მკაცრი ან არამკაცრი. მაგალითად, a>3 არის მკაცრი უტოლობა; a≥3 არის არამკაცრი უტოლობა. რიცხვების შედარება დამოკიდებულია შედარებული რიცხვების ტიპზე. მაგალითად, თუ გსურთ შედარება ათწილადები, შემდეგ ცალ-ცალკე ვადარებთ მათ; თუ შედარება გჭირდებათ საერთო წილადებითან სხვადასხვა მნიშვნელი, მაშინ თქვენ უნდა მიიყვანოთ ისინი საერთო მნიშვნელიდა შეადარეთ მრიცხველები. მაგრამ არსებობს რიცხვების შედარების უნივერსალური გზა. იგი შედგება შემდეგში: იპოვნეთ განსხვავება a და b რიცხვებს შორის; თუ a - b > 0, ანუ დადებითი რიცხვი, შემდეგ a > b; თუ ა - ბ< 0, то есть უარყოფითი რიცხვი, შემდეგ ა< b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство:
2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3)
გამოვიყენოთ შედარების უნივერსალური მეთოდი. იპოვეთ განსხვავება 2b2 - 6b + 1 და 2b(b - 3) გამოთქმებს შორის;
2b2 - 6b + 1- 2b(b-3)= 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; მოვიყვანოთ ტერმინების მსგავსადდა მივიღებთ 1. ვინაიდან 1 მეტია ნულზე, დადებითი რიცხვია, მაშინ 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3).
§ 2 რიცხვითი უტოლობების თვისებები
თვისება 1. თუ a > b, b > c, მაშინ a > c.
მტკიცებულება. თუ a > b, მაშინ სხვაობა a - b > 0, ანუ დადებითი რიცხვი. თუ b >c, მაშინ განსხვავება b - c > 0 არის დადებითი რიცხვი. დავუმატოთ დადებითი რიცხვები a - b და b - c, გავხსნათ ფრჩხილები და მივცეთ მსგავსი ტერმინები, მივიღებთ (a - b) + (b - c) = a - b + b - c= a - c. ვინაიდან დადებითი რიცხვების ჯამი დადებითი რიცხვია, ამიტომ a - c არის დადებითი რიცხვი. მაშასადამე, a > c, რომელიც დასამტკიცებელი იყო.
საკუთრება 2. თუ ა< b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится».
მტკიცებულება. ვიპოვოთ განსხვავება a + c და b + c გამონათქვამებს შორის, გავხსნათ ფრჩხილები და მივცეთ მსგავსი ტერმინები, მივიღებთ (a + c) - (b + c) \u003d a + c - b - c \u003d a - b . პირობით ა< b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать.
საკუთრება 3. თუ ა< b, c - положительное число, то aс < bс.
Თუ< b, c- отрицательное число, то aс >ძვ.წ.
მტკიცებულება. ვიპოვოთ განსხვავება ac და bc გამონათქვამებს შორის, ჩავდოთ c ფრჩხილებიდან, შემდეგ გვაქვს ac-bc = c(a-b). მაგრამ მას შემდეგ, რაც ა თუ უარყოფით a-b რიცხვს გავამრავლებთ დადებით c რიცხვზე, მაშინ c (a-b) ნამრავლი უარყოფითია, შესაბამისად, სხვაობა ac-bc უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ac. თუ უარყოფითი რიცხვი a-b გამრავლებულია უარყოფით c რიცხვზე, მაშინ ნამრავლი c(a-b) დადებითი იქნება, შესაბამისად, სხვაობა ac-bc იქნება დადებითი, რაც ნიშნავს ac>bc. ქ.ე.დ. მაგალითად, ა ვინაიდან გაყოფა შეიძლება შეიცვალოს გამრავლებით ორმხრივი = n∙, დადასტურებული თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას გაყოფაზეც. ამრიგად, ამ თვისების მნიშვნელობა ასეთია: „უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ ერთნაირი დადებითი რიცხვით, ხოლო უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ ან გავყოთ უარყოფით რიცხვზე და აუცილებელია უტოლობის ნიშნის შეცვლა საპირისპირო ნიშნით. განვიხილოთ მე-3 თვისების დასკვნა. შედეგი. Თუ მტკიცებულება. ჩვენ ვყოფთ უტოლობის ორივე მხარეს a
შეამცირეთ წილადები და მიიღეთ მტკიცება დადასტურდა. მართლაც, მაგალითად, 2< 3, но თვისება 4. თუ a > b და c > d, მაშინ a + c > b + d. მტკიცებულება. ვინაიდან a>b და c>d, მაშინ განსხვავებები a-bდა c-d დადებითი რიცხვებია. მაშინ ამ რიცხვების ჯამი ასევე დადებითი რიცხვია (a-b)+(c-d). გააფართოვეთ ფრჩხილები და ჯგუფი (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). ამ თანასწორობის გათვალისწინებით, მიღებული გამოხატულება (a + c) - (b + d) იქნება დადებითი რიცხვი. ამიტომ, a+ c> b+ d. a>b, c>d ან a ფორმის უტოლობები< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>ბ, გ თვისება 5. თუ a > b, c > d, მაშინ ac > bd, სადაც a, b, c, d დადებითი რიცხვებია. მტკიცებულება. ვინაიდან a>b და c დადებითი რიცხვია, 3 თვისების გამოყენებით მივიღებთ ac > bc. ვინაიდან c >d და b დადებითი რიცხვია, მაშინ bc > bd. მაშასადამე, პირველი თვისებით ac > bd. დადასტურებული თვისების მნიშვნელობა ასეთია: „თუ ვამრავლებთ ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობას ტერმინზე, რომელშიც მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები დადებითი რიცხვებია, მაშინ მივიღებთ იგივე მნიშვნელობის უტოლობას“ მაგალითად, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35. საკუთრება 6. თუ ა< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число. მტკიცებულება. თუ ვამრავლებთ წევრზე ამ n უტოლობას a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же ბუნებრივი ხარისხი, უთანასწორობის ნიშნის შენარჩუნება. § 3 თვისებების გამოყენება განვიხილოთ ჩვენ მიერ განხილული თვისებების გამოყენების მაგალითი. დაე 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b. 1) გამოთვალეთ ჯამი a + b. თვის 4-ის გამოყენებით მივიღებთ 33 + 3< a + b < 34 + 4 или 36 < a+ b <38. 2) შეაფასეთ სხვაობა a - b. ვინაიდან არ არსებობს გამოკლების თვისება, მაშინ სხვაობა a - b შეიცვლება ჯამით a + (-b). ჯერ შევაფასოთ (- ბ). ამისათვის გამოიყენეთ თვისება 3, უტოლობის ორივე ნაწილი 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). ვიღებთ -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31. 3) შეაფასეთ პროდუქტი a ∙ b. თვისებით 5 ვამრავლებთ ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობას წრფივი განტოლებები და უტოლობა I § 10 რიცხვითი უტოლობების ძირითადი თვისებები 1. თუ a > b, მაშინ ბ< а
და პირიქით, თუ ა< b
, მაშინ ბ > ა.
მტკიცებულება.დაე იყოს a > b
. განმარტებით, ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი ( ა - ბ
) დადებითია. თუ მის წინ დავსვამთ მინუს ნიშანს, მაშინ მიღებული რიცხვი არის - ( ა - ბ
) აშკარად უარყოფითი იქნება. Ისე - ( ა - ბ
) < 0, или ბ - ა
< 0. А это (опять же по определению) и означает, что ბ< a
. ვიწვევთ სტუდენტებს, დამოუკიდებლად დაამტკიცონ საპირისპირო განცხადება. უტოლობების დადასტურებული თვისება აღიარებს მარტივს გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: თუ წერტილი A დევს რიცხვით წრფეზე B წერტილის მარჯვნივ, მაშინ B წერტილი დევს A წერტილის მარცხნივ და პირიქით (იხ. სურ. 20). 2. თუ a > b, ა ბ > გ, მაშინ a > c.
გეომეტრიულად, ეს თვისება შემდეგია. დავუშვათ წერტილი A (შეესაბამება რიცხვს ა
) დევს B წერტილის მარჯვნივ (შეესაბამება რიცხვს ბ
), ხოლო B წერტილი, თავის მხრივ, მდებარეობს C წერტილის მარჯვნივ (შეესაბამება რიცხვს თან
). მაშინ A წერტილი კიდევ უფრო დევს C წერტილის მარჯვნივ (სურ. 21). მოდით მივცეთ უტოლობების ამ თვისების ალგებრული მტკიცებულება. დაე იყოს a > b
, ა ბ > გ
. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები ( ა - ბ
) და ( ბ-გ
) დადებითია. ორი დადებითი რიცხვის ჯამი აშკარად დადებითია. Ისე ( ა - ბ
) + (ბ-გ
) > 0, ან ა - გ
> 0. მაგრამ ეს იმას ნიშნავს ა
> თან
. 3. თუ a > b, შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის თან a + c > b + c, ა - გ > ბ - გ.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რიცხვითი უტოლობის ორივე ნაწილს ერთი და იგივე რიცხვი დაემატება ან გამოაკლდება, მაშინ უტოლობა არ დაირღვევა. მტკიცებულება.დაე იყოს a > b
. Ეს ნიშნავს, რომ ა - ბ
> 0. მაგრამ ა - ბ
= (a + c
) - (ბ + გ
). Ისე ( a + c
) - (ბ + გ
) > 0. და განმარტებით, ეს იმას ნიშნავს a + c > b + c
. ანალოგიურად, ნაჩვენებია, რომ ა - გ > ბ - გ
. მაგალითად, თუ დავუმატებთ 1 1/2 უტოლობის ორივე ნაწილს 5 > 4, მაშინ მივიღებთ შედეგი.რიცხვითი უტოლობის ერთი ნაწილის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის მეორე ნაწილზე ამ ტერმინის საპირისპირო ნიშნის შეცვლით. მოდით, მაგალითად, a + b > c
. ამის დამტკიცებაა საჭირო a > c - b
. ამ უტოლობის ორივე ნაწილის დასამტკიცებლად საკმარისია რიცხვის გამოკლება ბ
. 4. დაე იყოს a > b. Თუ c > 0, მაშინ ac > ძვ.წ
. თუ თან< 0
, მაშინ ტუზი< bс
. Სხვა სიტყვებით, თუ რიცხვითი უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლდა დადებით რიცხვზე, მაშინ უტოლობა არ დაირღვევა; მოკლედ, ეს თვისება ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: უტოლობა შენარჩუნებულია ტერმინით გამრავლებისას დადებითი რიცხვით და აბრუნებს ნიშანს ტერმინით გამრავლებისას უარყოფით რიცხვზე. მაგალითად, უტოლობის 5 > 1 წევრის 7-ზე გამრავლებით მივიღებთ 35 > 7. იგივე უტოლობის ვადით გამრავლება - 7-ზე იძლევა - 35-ს.< - 7. მე-4 ქონების დამადასტურებელი საბუთი. დაე იყოს a > b. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი ა - ბდადებითად. ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი ა - ბდა თან
აშკარად ასევე დადებითია, ე.ი. ა - ბ
) თან
> 0, ან ანალოგიურად განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც რიცხვი თან
უარყოფითი. დადებითი რიცხვის ნამრავლი ა - ბ
უარყოფით რიცხვამდე თან
აშკარად უარყოფითია, ე.ი. შედეგი.უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია, როდესაც ნაწილზე იყოფა დადებით რიცხვზე და შებრუნებული, როდესაც იყოფა ნაწილზე უარყოფით რიცხვზე. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ გაყოფა რიცხვზე თან
=/= 0 უდრის 1 რიცხვზე გამრავლებას /
გ
. Სავარჯიშოები
81. შეიძლება თუ არა უტოლობა 2 > 1 ნაწილზე გამრავლდეს? ა) ა
2+1; ბ) | ა
|; in) ა
; დ) 1 - 2a + ა
2 ისე რომ უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნდეს? 82. ყოველთვის არის 5 X
4-ზე მეტი X
, ა - ზე
უფრო პატარა ზე
? 83. რა შეიძლება იყოს რიცხვი X
თუ ცნობილია, რომ - X
> 7? 84. დაალაგეთ რიცხვის ზრდის მიხედვით: ა) a 2, 5a 2, 2a 2; ბ) 5 ა
, 2ა
; in) ა
, ა
2 , ა
3 . 85. დაალაგეთ რიცხვების კლებადი მიმდევრობით ა - ბ
, ა
- 2ბ
, ა
- 3ბ
. 86. მიეცით რიცხვითი უტოლობების მესამე თვისების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. ველი რეალური რიცხვებიაქვს რიგის თვისება (პუნქტი 6, გვ. 35): ნებისმიერი რიცხვისთვის a, b, ერთი და სამი მიმართულებიდან მხოლოდ ერთი მოქმედებს: ან . ამ შემთხვევაში, აღნიშვნა a > b ნიშნავს, რომ განსხვავება დადებითია, ხოლო აღნიშვნის სხვაობა უარყოფითია. რეალური რიცხვების ველისგან განსხვავებით ველი რთული რიცხვებიარ არის დალაგებული: რთული რიცხვებისთვის არ არის განსაზღვრული ცნებები "მეტი" და "ნაკლები"; ამიტომ, ეს თავი ეხება მხოლოდ რეალურ რიცხვებს. მიმართებებს ვუწოდებთ უტოლობას, a და b რიცხვებს უტოლობის წევრები (ან ნაწილები), ნიშნები > (ზე მეტი) და უტოლობა a > b და c > d - იგივე (ან იგივე) მნიშვნელობის უტოლობა; უტოლობები a > b და c უტოლობის განმარტებიდან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს, რომ 1) ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, რომელიც აღემატება ნულს; 2) ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვი ნულზე ნაკლები; 3) ნებისმიერი დადებითი რიცხვი მეტია ნებისმიერ უარყოფით რიცხვზე; 4) ორი უარყოფითი რიცხვიდან, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა უფრო მცირეა, უფრო დიდია. ყველა ეს განცხადება აღიარებს მარტივ გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას. მიეცით დადებითი მიმართულება რიცხვითი ღერძიმიდის საწყისი წერტილის მარჯვნივ; მაშინ, როგორიც არ უნდა იყოს რიცხვების ნიშნები, უფრო დიდი მათგანი წარმოდგენილია წერტილით, რომელიც მდებარეობს წერტილის მარჯვნივ, რომელიც წარმოადგენს პატარა რიცხვს. უტოლობას აქვს შემდეგი ძირითადი თვისებები. 1. ასიმეტრია (შეუქცევადობა): თუ , მაშინ , და პირიქით. მართლაც, თუ განსხვავება დადებითია, მაშინ სხვაობა უარყოფითია. ისინი ამბობენ, რომ როდესაც უთანასწორობის ტერმინები გადანაწილებულია, უტოლობის მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს საპირისპიროდ. 2. ტრანზიტულობა: თუ , მაშინ . მართლაც, განსხვავებების პოზიტიურობა პოზიტიურობას გულისხმობს უთანასწორობის ნიშნების გარდა გამოიყენება უთანასწორობის ნიშნებიც და ისინი განისაზღვრება შემდეგნაირად: ჩანაწერი ნიშნავს, რომ ან ან ამიტომ, მაგალითად, შეგიძლიათ დაწეროთ და ასევე. ჩვეულებრივ, ნიშნებით დაწერილ უტოლობას უწოდებენ მკაცრი უთანასწორობები, და იწერება ნიშნების დახმარებით არამკაცრი უტოლობებით. შესაბამისად, თავად ნიშნებს მკაცრი ან არამკაცრი უთანასწორობის ნიშნებს უწოდებენ. ზემოთ განხილული 1 და 2 თვისებები ასევე მართალია არამკაცრ უტოლობაზე. ახლა განვიხილოთ ოპერაციები, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს ერთ ან მეტ უტოლობაზე. 3. უტოლობის წევრებზე ერთი და იგივე რიცხვის მიმატებიდან უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება. მტკიცებულება. მიეცით უტოლობა და თვითნებური რიცხვი. განმარტებით, განსხვავება დადებითია. ამას ორი დავამატოთ. საპირისპირო რიცხვებისაიდანაც არ შეიცვლება, ე.ი. ეს თანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს ასე: აქედან გამომდინარეობს, რომ განსხვავება დადებითია, ანუ ის და ეს დასამტკიცებელი იყო. ეს არის უთანასწორობის ნებისმიერი ტერმინის საპირისპირო ნიშნით გადახრის შესაძლებლობა მისი ერთი ნაწილიდან მეორეზე. მაგალითად, უთანასწორობიდან ამას მოჰყვება 4. უტოლობის წევრთა ერთსა და იმავე დადებით რიცხვზე გამრავლებისას უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება; როდესაც უტოლობის ტერმინები მრავლდება იმავე უარყოფით რიცხვზე, უტოლობის მნიშვნელობა იცვლება საპირისპიროდ. მტკიცებულება. მოდით, თუ მაშინ, ვინაიდან დადებითი რიცხვების ნამრავლი დადებითია. ბოლო უტოლობის მარცხენა მხარეს ფრჩხილების გაფართოებით ვიღებთ , ე.ი. საქმეც ანალოგიურად განიხილება. ზუსტად იგივე დასკვნა შეიძლება გამოვიტანოთ უტოლობის ნაწილების გაყოფაზე რაიმე არანულოვან რიცხვზე, ვინაიდან რიცხვზე გაყოფა რიცხვზე გამრავლების ტოლფასია და რიცხვებს აქვთ იგივე ნიშნები. 5. უტოლობა დადებითი იყოს. მაშინ, როდესაც ამაღლების მისი წევრები იგივე დადებითი ხარისხიუთანასწორობის მნიშვნელობა არ იცვლება. მტკიცებულება. მოდით ამ შემთხვევაში, გარდამავალობის თვისებით და. შემდეგ, მონოტონური ზრდის გამო დენის ფუნქციაამისთვის და დადებითია, გვექნება კერძოდ, თუ სად - ბუნებრივი ნომერი, შემდეგ მივიღებთ ანუ უტოლობის ორივე ნაწილიდან დადებითი ტერმინებით ფესვის ამოღებისას უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება. დაე, უტოლობის პირობები იყოს უარყოფითი. მაშინ ადვილია იმის დამტკიცება, რომ როდესაც მისი წევრები კენტ ბუნებრივ ძლიერებამდე არიან აყვანილი, უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება და როცა ის ლუწი ბუნებრივ ძლიერებამდეა აყვანილი, იცვლება პირიქით. უარყოფითი ტერმინების მქონე უტოლობებიდან, ასევე შეგიძლიათ ამოიღოთ კენტი ხარისხის ფესვი. მოდით, შემდგომში ჰქონდეს უტოლობის ტერმინები სხვადასხვა ნიშნები. შემდეგ, როდესაც ამაღლებს მას ხარისხიც კიუთანასწორობის მნიშვნელობა არ შეიცვლება და როდესაც მიღებული უთანასწორობის მნიშვნელობა ტოლ ხარისხზე აიწევს, არაფერია გარკვეული ზოგადი შემთხვევაარ შეიძლება ითქვას. მართლაც, როდესაც რიცხვი იზრდება კენტ ხარისხზე, რიცხვის ნიშანი შენარჩუნებულია და, შესაბამისად, უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება. როდესაც უთანასწორობა ტოლ ხარისხზე ამაღლდება, ყალიბდება უთანასწორობა დადებითი ტერმინებით და მისი მნიშვნელობა დამოკიდებული იქნება აბსოლუტური ღირებულებებითავდაპირველი უტოლობის წევრებს, შეგიძლიათ მიიღოთ იგივე მნიშვნელობის უტოლობა, როგორც ორიგინალი, საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობა და თანასწორობაც კი! სასარგებლოა ყველაფრის შემოწმება, რაც ითქვა უტოლობების ხარისხებამდე ამაღლების შესახებ შემდეგი მაგალითის გამოყენებით. მაგალითი 1. აწიეთ შემდეგი უტოლობები მითითებულ ხარისხამდე, აუცილებლობის შემთხვევაში შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ ან ტოლობის ნიშნით. ა) 3 > 2 4-ის ხარისხზე; ბ) 3-ის ხარისხზე; გ) 3-ის ხარისხზე; დ) 2-ის ხარისხზე; ე) 5-ის ხარისხზე; ე) 4-ის ხარისხზე; ზ) 2 > -3 2-ის ხარისხზე; თ) 2-ის ხარისხზე, 6. უთანასწორობიდან შეგიძლიათ გადახვიდეთ უთანასწორობაზე, თუ უტოლობის ტერმინები ორივე დადებითია ან ორივე უარყოფითი, მაშინ მათ ორმხრივებს შორის არის საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობა: მტკიცებულება. თუ a და b ერთნაირი ნიშნისაა, მაშინ მათი ნამრავლი დადებითია. გაყოფა უტოლობით ანუ რისი მიღება იყო საჭირო. თუ უტოლობის პირობებს აქვს საპირისპირო ნიშნები, მაშინ უთანასწორობას მათ ორმხრივებს შორის იგივე მნიშვნელობა აქვს, რადგან ნიშნები ორმხრივებიიგივეა რაც თავად რაოდენობების ნიშნები. მაგალითი 2. შეამოწმეთ ბოლო თვისება 6 შემდეგ უტოლობებზე: 7. უტოლობათა ლოგარითმი შეიძლება შესრულდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც უტოლობათა ტერმინები დადებითია (უარყოფით რიცხვებსა და ნულს ლოგარითმები არ გააჩნიათ). იყოს . მერე როდის იქნება და როდის იქნება ამ განცხადებების სისწორე ემყარება ერთფეროვნებას ლოგარითმული ფუნქცია, რომელიც იზრდება თუ ბაზა და მცირდება თუ ასე რომ, დადებითი ტერმინებისგან შემდგარი უტოლობის ლოგარითმის აღებისას, ერთზე მეტი ფუძით, წარმოიქმნება იგივე მნიშვნელობის უტოლობა, როგორც მოცემული, ხოლო მისი ლოგარითმის ერთზე ნაკლები დადებითი ფუძით აღებისას, უტოლობა. ყალიბდება საპირისპირო მნიშვნელობა. 8. თუ , მაშინ თუ , მაგრამ , მაშინ . ეს დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ერთფეროვნების თვისებებიდან ექსპონენციალური ფუნქცია(მუხლი 42), რომელიც იზრდება შემთხვევაში და მცირდება თუ ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობების ტერმინის მიხედვით დამატებისას იქმნება მონაცემთა იგივე მნიშვნელობის უტოლობა. მტკიცებულება. მოდით დავამტკიცოთ ეს დებულება ორი უტოლობისთვის, თუმცა ეს მართალია ნებისმიერი რაოდენობის ჯამური უტოლობა. დაე, უტოლობები განსაზღვრებით, რიცხვები დადებითი იქნება; მაშინ მათი ჯამიც დადებითი გამოდის, ე.ი. ტერმინების განსხვავებულად დაჯგუფება, ჩვენ ვიღებთ და აქედან გამომდინარე და ეს დასამტკიცებელი იყო. არაფრის თქმა არ შეიძლება ზოგად შემთხვევაში უტოლობის მნიშვნელობის შესახებ, რომელიც გამოწვეულია სხვადასხვა მნიშვნელობის ორი ან მეტი უტოლობის მიმატებით. 10. თუ საპირისპირო მნიშვნელობის სხვა უტოლობა ერთ უტოლობას ვაკლდება ტერმინით, მაშინ წარმოიქმნება პირველის იგივე მნიშვნელობის უტოლობა. მტკიცებულება. მიეცით ორი განსხვავებული მნიშვნელობის უტოლობა. მეორე მათგანი შეუქცევადობის თვისებით შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: d > c. ახლა დავამატოთ ერთი და იგივე მნიშვნელობის ორი უტოლობა და მივიღოთ უტოლობა იგივე მნიშვნელობა. ამ უკანასკნელიდან ვხვდებით და ეს დასამტკიცებელი იყო. ზოგად საქმეში ცალსახად არაფერი შეიძლება ითქვას უტოლობის მნიშვნელობის შესახებ, რომელიც მიღებულია იმავე მნიშვნელობის სხვა უტოლობის გამოკლებით. რიცხვითი უტოლობები და მათი თვისებები პრეზენტაცია დეტალურადაა თემების შინაარსი რიცხვითი უტოლობა და რიცხვითი უტოლობების თვისებები, მოცემულია მაგალითები რიცხვითი უტოლობების დასადასტურებლად. (ალგებრა მე-8 კლასი, ავტორი მაკარიჩევი იუ.ნ.) რიცხვითი უტოლობები და მათი თვისებები მასწავლებელი მათემატიკის მემორანდუმი"უფშინსკაია OOSh" მარი ელ. რესპუბლიკის ორშას რაიონი (იუ.ა. მაკარიჩევის სახელმძღვანელოს ალგებრა 8 რიცხვითი უტოლობები ორი ან მეტი რიცხვის შედარების შედეგი ნიშნების გამოყენებით იწერება უტოლობად
,
, =
ჩვენ ვადარებთ რიცხვებს გამოყენებით სხვადასხვაწესები (მეთოდები). მოსახერხებელია განზოგადებულიშედარების მეთოდი, რომელიც მოიცავს ყველა შემთხვევას. განმარტება:
ნომერი ა
მეტი ნომერიბ თუ განსხვავება ( ა
– ბ) დადებითი რიცხვია. ნომერი ა
რიცხვზე ნაკლებიბ თუ განსხვავება ( ა
– ბ) უარყოფითი რიცხვია. ნომერი ა
უდრის b-ს, თუ სხვაობა ( ა
– ბ) – ნულის ტოლია რიცხვების შედარების განზოგადებული გზა მაგალითი 1 რიცხვების შედარების განზოგადებული ხერხის გამოყენება უტოლობების დასამტკიცებლად მაგალითი 2. დაამტკიცეთ, რომ ორი დადებითი რიცხვის საშუალო არითმეტიკული არ არის ამ რიცხვების გეომეტრიულ საშუალოზე ნაკლები. თუ ჭეშმარიტი უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე დადებით რიცხვზე, მაშინ მიიღება ჭეშმარიტი უტოლობა. თუ ჭეშმარიტი უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე უარყოფით რიცხვზე და უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია, მაშინ სწორი უტოლობა მიიღება. P = 3a გაამრავლეთ 3-ზე თითოეული უტოლობის ორივე მხარე 54.2 ∙ 3 a ∙ 3 162,6
რიცხვითი უტოლობების თვისებების გამოყენება
6 1/2 > 5 1/2. ამ უტოლობის ორივე ნაწილს გამოვაკლოთ რიცხვი 5, მივიღებთ 0 > - 1.
თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლდა უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.
ac - bc >
0. ამიტომ ac > ძვ.წ
.
(ა - ბ) გ<
0; Ამიტომაც აწ - ძვ<
0, საიდანაც ტუზი< bс
.
დოკუმენტის შინაარსის ნახვა
"რიცხობრივი უტოლობები და მათი თვისებები"
