Se multiplicar número sobre si mesmo, resultará na construção em quadrado. Até mesmo um aluno da primeira série sabe que "duas vezes dois são quatro". Três dígitos, quatro dígitos, etc. é melhor multiplicar os números em uma coluna ou em uma calculadora, mas lidar com números de dois dígitos sem um assistente eletrônico, multiplicando em sua mente.

Instrução

1. Expandir qualquer valor de dois número em componentes, destacando o número de unidades. No número 96, o número de uns é 6. Portanto, é permitido escrever: 96 \u003d 90 + 6.

2. aumentar para quadrado o primeiro dos números: 90 * 90 = 8100.

3. Faça o mesmo com o segundo. número m: 6 * 6 = 36

4. Multiplique os números juntos e dobre o total: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

5. Some os resultados do segundo, terceiro e quarto passos: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Este é o resultado do aumento para quadrado número 96. Depois de algum treinamento, você será capaz de dar passos rapidamente em sua mente, atingindo seus pais e colegas de classe. Até se acostumar, anote os resultados de toda a etapa para não se confundir.

6. Para treinamento, aumente para quadrado número 74 e verifique você mesmo na calculadora. Sequência de ações: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

7. Eleve à segunda potência número 81. Suas ações: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

8. Lembrar método não padrão ereção em quadrado números de dois dígitos, que terminam no número 5. Selecione o número de dezenas: no número 75 há 7 deles.

9. Multiplique o número de dezenas pelo próximo dígito em número primeira linha: 7 * 8 = 56.

10. Atributo à direita número 25:5625 - o resultado da ereção em quadrado número 75.

11. Eleve à segunda potência para treinar número 95. Termina com o número 5, daí a sequência de ações: 9 * 10 = 90, 9025 - total.

12. Aprenda a construir quadrado números negativos: -95 em quadradoé igual a 9025, como no décimo primeiro passo. Como -74 em quadrado e é 5476, como no sexto passo. Isso se deve ao fato de que ao multiplicar 2 números negativos, o correto é invariavelmente obtido. número: -95 * -95 = 9025. Consequentemente, quando aumentado para quadrado Você pode facilmente ignorar o sinal de menos.

Elevar um número a uma potência é um dos métodos mais simples operações algébricas. NO vida cotidiana a montagem raramente é usada, mas na produção, ao fazer cálculos, está praticamente em toda parte, por isso é útil lembrar como isso é feito.

Instrução

1. Imagine que temos algum número a, cuja potência é o número n. Aumentar um número a uma potência significa que você precisa multiplicar o número a por ele mesmo n vezes.

2. Vejamos alguns exemplos. Para aumentar o número 2 à segunda potência, você precisa executar a ação: 2x2 \u003d 4

3. Para aumentar o número 3 à quinta potência, você precisa executar a ação: 3x3x3x3x3 \u003d 243

4. Há uma designação geralmente aceita da 2ª e da 3ª potências dos números. A frase "segundo grau" é geralmente substituída pela palavra "quadrado" e, em vez da frase "terceiro grau", eles tradicionalmente dizem "cubo".

5. Como pode ser visto nos exemplos acima, a duração e a complexidade dos cálculos dependem do valor do expoente do número. Quadrado ou cubo é o suficiente tarefa simples; elevar um número à quinta ou uma potência enorme já requer muito tempo e precisão nos cálculos. Acelerar Este processo e exceções de erros, é permitido usar especial tabelas matemáticas ou uma calculadora de engenharia.

Para um breve registro do produto do mesmo número por si só, os matemáticos criaram uma representação do grau. Consequentemente, a expressão 16 * 16 * 16 * 16 * 16 pode ser escrita mais método curto. Será parecido com 16^5. A expressão será lida como o número 16 elevado à quinta potência.

você vai precisar

• Papel, caneta.

Instrução

1. No geral grau escrito como a^n. Esta entrada significa que o número a é multiplicado por ele mesmo n vezes. A expressão a ^ n é chamada grau u,a é um número, base do grau, né um número, um expoente. Diga a = 4, n = 5, então escreva 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1024

2. A potência de n pode ser um número negativo n = -1, -2, -3, etc. Para calcular o negativo grau números, deve ser diminuído no denominador. ^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0,125

3. Como você pode ver no exemplo, -3 grau a partir do número 2 pode ser calculado por vários métodos: 1) Primeiro, calcule a fração 1/2 \u003d 0,5; e depois disso construir em grau 3, ou seja 0,5^3 = 0,5*0,5*0,5 = 0,1252) Primeiro construa o denominador em grau 2^3 = 2*2*2 = 8, e depois disso calcule a fração 1/8 = 0,125.

4. Agora vamos calcular -1 grau para um número, ou seja n = -1. As regras discutidas acima são apropriadas para este caso. a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/a grau 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.

5. O exemplo mostra claramente que um número elevado a -1 é recíproca de um número. Vamos supor o número 5 na forma de uma fração 5/1, então 5 ^ (-1) não pode ser contado aritmeticamente, mas escreva imediatamente o recíproco de 5/1, isso é 1/5. Então, 15 ^ (-1) \u003d 1 /15,6^(-1) = 1/6,25^(-1) = 1/25

Observação!
Ao elevar um número a uma potência negativa, lembre-se de que o número não pode ser igual a zero. De acordo com a regra, somos obrigados a diminuir o número no denominador. E o zero não pode estar no denominador, pois é impossível dividir por zero.

Conselho útil
Ocasionalmente, ao trabalhar com expoentes para facilitar o cálculo número fracionário substituído deliberadamente por um inteiro elevado à potência de -11/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1).

Ao resolver aritmética e problemas algébricos ocasionalmente necessário para construir fração dentro quadrado. É mais fácil para todos fazer isso quando fração decimal - uma calculadora bastante comum. No entanto, se fração ordinário ou misto, então, ao aumentar tal número para quadrado algumas dificuldades podem surgir.

você vai precisar

• calculadora, computador, aplicativo excel.

Instrução

1. Para construir uma casa decimal fração dentro quadrado, leva calculadora de engenharia, digite nele erguido em quadrado fração e pressione a tecla de exponenciação. Na maioria das calculadoras, esse botão é identificado como "x?". Em uma calculadora padrão do Windows, o aumento para quadrado parece "x^2". Digamos quadrado fração decimal 3,14 será igual a: 3,14? = 9,8596.

2. Para construir em quadrado decimal fração em uma calculadora comum (contabilidade), multiplique esse número por ele mesmo. A propósito, em alguns modelos de calculadoras, a probabilidade de aumentar um número para quadrado mesmo que não haja um botão especial. Portanto, leia as instruções de calculadora específica. Ocasionalmente, exemplos de exponenciação "astuciosa" são fornecidos na contracapa ou na caixa da calculadora. Digamos, em muitas calculadoras para aumentar um número para quadrado basta pressionar os botões "x" e "=".

3. Para ereção em quadrado fração ordinária(composto pelo numerador e denominador), aumente para quadrado separadamente o numerador e o denominador desta fração. Ou seja, use a seguinte regra: (h/s)? = h? / s?, onde h é o numerador da fração, s é o denominador da fração Exemplo: (3/4)? = 3?/4? = 16/09.

4. Se erguido em quadrado fração- misto (consiste em uma parte inteira e uma fração comum), então leve-o à sua forma usual com antecedência. Ou seja, aplique a seguinte fórmula: (c h / z)? \u003d ((c * s + h) / s)? = (c*s+h)? /s?, onde ts - parte inteira fração mista Exemplo: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Se erguido em quadrado frações comuns (não decimais) são trazidas continuamente, então use o MS Excel. Para fazer isso, digite a seguinte fórmula em uma das células da tabela: \u003d GRAU (A2; 2) onde A2 é o endereço da célula na qual será inserido o valor que está sendo elevado quadrado fração.Para informar ao programa que o número de entrada deve ser tratado como um número normal fração yu (ou seja, não converta para decimal), digite antes fração o dígito "0" e o sinal "espaço". Ou seja, para inserir, digamos, a fração 2/3, você deve inserir: "0 2/3" (e pressionar Enter). Nesse caso, a linha de entrada exibirá a representação decimal da fração inserida. O valor e a representação da fração em uma célula serão armazenados em forma inicial. Além disso, ao aplicar funções matemáticas, cujos argumentos são frações ordinárias, o resultado também será apresentado como uma fração ordinária. Consequentemente quadrado a fração 2/3 será representada como 4/9.

O método de destacar o quadrado de um binômio é usado para facilitar expressões massivas, bem como para resolver equações quadráticas. Na prática, é tradicionalmente combinado com outras técnicas, incluindo fatoração, agrupamento, etc.

Instrução

1. A forma de selecionar o quadrado completo de um binômio é baseada no uso de 2 fórmulas para a multiplicação abreviada de polinômios. Essas fórmulas são casos especiais de Newton Binomial para o 2º grau e permitem simplificar a expressão desejada para que seja possível realizar uma redução ou fatoração adicional: (m + n)² = m² + 2 m n + n²; (m - n)² \u003d m² - 2 m n + n².

2. De acordo com este método, é necessário extrair os quadrados de 2 monômios e a soma/diferença de seu produto duplo do polinômio inicial. Usar este método faz sentido se o grau mais alto dos termos não for menor que 2. Imagine, dada a tarefa de fatorar a seguinte expressão com grau decrescente: 4 y ^ 4 + z ^ 4

3. Para resolver o problema, é necessário usar o método de seleção de um quadrado completo. Acontece que a expressão consiste em 2 monômios com variáveis mesmo grau. Conseqüentemente, é permitido denotar qualquer um deles por m e n:m = 2 y²; n = z2.

4. Agora precisamos trazer a expressão inicial para a forma (m + n)². Ele contém mais de perto os quadrados desses termos, mas não possui o produto duplo. Você precisa somar de forma não natural e depois subtrair: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² - 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² - 4 y² z².

5. Na expressão resultante, você pode ver a fórmula da diferença de quadrados: (2 y² + z²)² - (2 y z)² = (2 y² + z² - 2 y z) (2 y² + z² + 2 ) y z).

6. Acontece que o método consiste em 2 etapas: a seleção de monômios do quadrado completo m e n, a adição e a subtração de seu produto duplo. O método de extrair o quadrado completo de um binômio pode ser usado não apenas sozinho, mas também em combinação com outros métodos: colchetes do fator universal, substituição de uma variável, agrupamento de termos, etc.

7. Exemplo 2: destaque quadrado completo na expressão: 4 y² + 2 y z + z². Solução. 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z) ² - 2 y z = (2 y + z)² - 2 y z.

8. O método é usado para encontrar as raízes Equação quadrática. O lado esquerdo da equação é um trinômio da forma a y? + b y + c, onde a, b e c são alguns números, e a ? 0.a y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2 a)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a )) ? – (b? – 4 a c)/(4 a).

9. Esses cálculos levam à representação do discriminante, aquele que é igual a (b? - 4 a c)/(4 a), e as raízes da equação são: y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? - 4 a c)/(4 a)).

A operação de ereção graué "binário", ou seja, possui dois parâmetros de entrada indispensáveis ​​e um de saída. Um dos parâmetros iniciais é chamado de expoente e especifica o número de vezes que a operação de multiplicação deve ser aplicada ao segundo parâmetro - a base. A razão pode ser certa ou negativa. número .

Instrução

1. Ao elevar um número negativo a uma potência, use as regras usuais para esta operação. Tal como acontece com os números positivos, elevar a uma potência significa multiplicar o valor inicial por si mesmo várias vezes, uma a menos que o expoente. Digamos, para aumentar o número -2 à quarta potência, ele deve ser multiplicado por ele mesmo três vezes: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2. A multiplicação de 2 números negativos invariavelmente dá valor positivo, e o resultado desta operação para quantidades com vários sinais será um número negativo. A partir disso é possível concluir que durante a construção valores negativos para uma potência com um expoente par, um número positivo deve ser invariavelmente obtido, e com expoentes ímpares, o resultado será invariavelmente menos que zero. Use esta qualidade para verificar seus cálculos. Digamos que -2 elevado à quinta potência seja um número negativo -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32 e -2 elevado à sexta potência deve ser positivo -2 ?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. Ao elevar um número negativo a uma potência, o expoente pode ser dado na forma de uma fração regular - digamos, -64 elevado a potência?. Tal indicador significa que o valor inicial deve ser construído para uma potência igual ao numerador da fração, e a raiz do grau deve ser extraída dele, igual ao denominador. Uma parte dessa operação foi abordada nas etapas anteriores, mas aqui você deve prestar atenção a outra.

4. extração da raiz Função estranha, ou seja, para negativo numeros reais só pode ser usado quando o expoente é ímpar. Se par, esta função é irrelevante. Conseqüentemente, se nas condições do problema é necessário construir um número negativo em grau fracionário com um denominador par, então o problema não tem solução. Em outros casos, primeiro faça as operações dos 2 primeiros passos, usando o numerador da fração como expoente, e depois extraia a raiz com o grau do denominador.

A notação de potência para um número é uma forma abreviada da operação de multiplicar a base por si mesma. Com um número apresentado desta forma, é permitido realizar as mesmas operações que com qualquer outro número, inclusive elevando-o para grau. Digamos que é permitido construir de forma arbitrária grau quadrado números e a aquisição de um total no estágio moderno da formação da tecnologia não será nenhuma dificuldade.

você vai precisar

• Acesso à Internet ou calculadora do Windows.

Instrução

1. Para ereção quadrado e em grau use a regra geral de aumentar para grau número mais próximo do que ter expoente de potência. Com tal operação, os indicadores são multiplicados e a base permanece a anterior. Se a base for denotada como x, e os expoentes iniciais e adicionais como a e b, esta regra pode ser escrita de forma geral da seguinte forma: (x?)?=x??.

2. Para cálculos utilitários, é mais fácil para todos usar o mecanismo de pesquisa sistema Google- Possui uma calculadora muito fácil de usar embutida. Digamos que se você quiser construir no quinto grau quadrado número 6, vá para a página principal do mecanismo de pesquisa e insira a consulta apropriada. É permitido formular assim: (6 ^ 2) ^ 5 - aqui o símbolo ^ significa grau. E é permitido calcular independentemente o expoente resultante de acordo com a fórmula da etapa anterior e formular a consulta da seguinte forma: 6 ^ 10. Ou confie no Google para fazer isso inserindo a seguinte solicitação: 6^(2*5). Para qualquer uma dessas opções, a calculadora do mecanismo de pesquisa retornará um resultado idêntico: 60.466.176.

3. Na ausência de acesso à Internet, a calculadora do Google pode ser substituída, digamos, pela calculadora integrada do Windows. Se você usa as versões Seven ou Vista deste sistema operacional, abra o menu principal do sistema e digite duas letras para cada um: “ka”. O sistema mostrará no menu principal todos os programas e arquivos que associa a esta combinação. Na primeira linha haverá um link "Calculadora" - clique nele com o mouse e o aplicativo será iniciado.

4. Pressione a combinação de teclas Alt + 2, para que um botão apareça na interface do aplicativo com a função de aumentar para arbitrário grau. Depois disso, digite a base - no exemplo do segundo passo é o número 6 - e clique primeiro no botão x?, e depois no botão x?. Insira o expoente para o qual você deseja construir quadrado- no exemplo usado, esse número é 5. Pressione o botão Enter e a calculadora exibirá o resultado final da operação.

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Conselho útil
Para que o treinamento não seja monótono, peça ajuda a um amigo. Deixe-o escrever um número de dois dígitos e você - a saída do quadrado desse número. Depois disso, troque de lugar.

* quadrados até centenas

Para não elevar todos os números ao quadrado sem pensar na fórmula, você precisa simplificar sua tarefa o máximo possível com as seguintes regras.

Regra 1 (corta 10 números)

Para números terminados em 0.
Se um número termina em 0, multiplicá-lo não é mais difícil do que dígito único. Tudo o que você precisa fazer é adicionar alguns zeros.
70 * 70 = 4900.
A tabela está marcada em vermelho.

Regra 2 (corta 10 números)

Para números terminados em 5.
Para elevar ao quadrado um número de dois dígitos que termina em 5, multiplique o primeiro dígito (x) por (x+1) e adicione “25” ao resultado.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
A tabela está marcada em verde.

Regra 3 (corta 8 números)

Para números de 40 a 50.
XX * XX = 1500 + 100 * segundo dígito + (10 - segundo dígito)^2
Difícil o suficiente, certo? Vamos dar um exemplo:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
A tabela está marcada em laranja claro.

Regra 4 (corta 8 números)

Para números de 50 a 60.
XX * XX = 2500 + 100 * segundo dígito + (segundo dígito)^2
Também é bastante difícil de entender. Vamos dar um exemplo:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
A tabela está marcada em laranja escuro.

Regra 5 (corta 8 números)

Para números de 90 a 100.
XX * XX = 8000+ 200 * segundo dígito + (10 - segundo dígito)^2
Semelhante à regra 3, mas com coeficientes diferentes. Vamos dar um exemplo:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
A tabela está marcada em laranja escuro escuro.

Regra nº 6 (corta 32 números)

É necessário memorizar os quadrados dos números até 40. Parece loucura e difícil, mas na verdade, até 20, a maioria das pessoas conhece os quadrados. 25, 30, 35 e 40 se prestam a fórmulas. E apenas 16 pares de números permanecem. Eles já podem ser memorizados usando mnemônicos (sobre os quais também quero falar mais adiante) ou por qualquer outro meio. Como uma tabela de multiplicação :)
A tabela está marcada em azul.

Você pode se lembrar de todas as regras, ou pode se lembrar seletivamente, em qualquer caso, todos os números de 1 a 100 obedecem a duas fórmulas. As regras ajudarão, sem usar essas fórmulas, a calcular rapidamente mais de 70% das opções. Aqui estão as duas fórmulas:

Fórmulas (24 números restantes)

Para números de 25 a 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Por exemplo:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Para números de 50 a 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Por exemplo:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Claro, não se esqueça da fórmula usual para expandir o quadrado da soma ( caso especial Newton binômio):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

ATUALIZAR
Produtos de números próximos a 100 e, em particular, seus quadrados, também podem ser calculados de acordo com o princípio de "deficiências até 100":

Em palavras: do primeiro número subtraímos o “defeito” do segundo a cem e atribuímos o produto de dois dígitos dos “defeitos”.

Para quadrados, respectivamente, ainda mais fácil.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(por sielover)

A quadratura pode não ser a coisa mais útil na casa. Você não se lembrará imediatamente do caso em que pode precisar do quadrado de um número. Mas a capacidade de operar rapidamente com números, aplicar as regras apropriadas para cada um dos números, desenvolve perfeitamente a memória e as “habilidades de computação” do seu cérebro.

A propósito, acho que todos os leitores do Habra sabem que 64^2 = 4096 e 32^2 = 1024.
Muitos quadrados de números são lembrados no nível associativo. Por exemplo, memorizei facilmente 88^2 = 7744, devido a mesmos números. Todos certamente terão suas próprias características.

Duas fórmulas únicas que encontrei pela primeira vez no livro "13 passos para o mentalismo", que tem pouco a ver com matemática. O fato é que habilidades de computação únicas anteriores (talvez até agora) eram um dos números da mágica de palco: o mágico contou à moto como recebeu superpoderes e, como prova disso, instantaneamente eleva os números até cem. O livro também mostra como cubo, como subtrair raízes e raízes cúbicas.

Se o tópico da contagem rápida for interessante, escreverei mais.
Por favor, escreva comentários sobre erros e correções no PM, obrigado antecipadamente.

Hoje vamos aprender como calcular rapidamente grandes expressões sem uma calculadora. Por grande, quero dizer números entre dez e cem. Expressões grandes são extremamente raras em problemas reais, e você já sabe contar valores menores que dez, porque esta é uma tabuada regular. O material da lição de hoje será útil para alunos bastante experientes, porque os alunos novatos simplesmente não apreciarão a velocidade e a eficácia dessa técnica.

Em primeiro lugar, vamos dar uma olhada no que em questão. Por exemplo, proponho fazer a construção de um expressão numérica como costumamos fazer. Digamos 34. Nós aumentamos multiplicando por si mesmo com uma coluna:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 é o quadrado 34.

problema este método pode ser descrita de duas maneiras:

1) exige registro por escrito;

2) é muito fácil errar no processo de cálculo.

Hoje aprenderemos como multiplicar rapidamente sem calculadora, verbalmente e praticamente sem erros.

Então vamos começar. Para funcionar, precisamos da fórmula do quadrado da soma e da diferença. Vamos escrevê-los:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

O que isso nos dá? O fato é que qualquer valor entre 10 e 100 pode ser representado como um número $a$, que é divisível por 10, e um número $b$, que é o resto da divisão por 10.

Por exemplo, 28 pode ser representado da seguinte forma:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]

Da mesma forma, apresentamos os restantes exemplos:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]

O que nos dá tal ideia? O fato é que com a soma ou diferença, podemos aplicar os cálculos acima. Claro que, para abreviar os cálculos, para cada um dos elementos deve-se escolher uma expressão com o menor segundo prazo. Por exemplo, nas opções $ 20+8 $ e $ 30-2 $, você deve escolher a opção $ 30-2 $.

Da mesma forma, escolhemos opções para outros exemplos:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

Por que alguém deveria se esforçar para reduzir o segundo termo em multiplicação rápida? É tudo sobre os cálculos iniciais do quadrado da soma e diferença. O fato é que o termo mais ou menos $2ab$ é o mais difícil de calcular ao resolver problemas reais. E se o fator $a$, um múltiplo de 10, é sempre facilmente multiplicado, então com o fator $b$, que é um número entre um e dez, muitos alunos têm dificuldades regularmente.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Então em três minutos fizemos a multiplicação de oito exemplos. Isso é menos de 25 segundos por expressão. Na realidade, depois de um pouco de prática, você contará ainda mais rápido. Você não levará mais do que cinco ou seis segundos para calcular qualquer expressão de dois dígitos.

Mas isso não é tudo. Para aqueles para quem a técnica mostrada não parece rápida o suficiente e não é legal o suficiente, sugiro ainda mais via rápida multiplicação, que, no entanto, não funciona para todas as tarefas, mas apenas para aquelas que diferem em um dos múltiplos de 10. Em nossa lição, existem quatro desses valores: 51, 21, 81 e 39.

Parece muito mais rápido, já os contamos literalmente em algumas linhas. Mas, na verdade, é possível acelerar, e isso é feito da seguinte maneira. Anotamos o valor, um múltiplo de dez, que é o mais próximo do desejado. Por exemplo, vamos pegar 51. Portanto, para começar, vamos aumentar cinquenta:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Valores que são múltiplos de dez são muito mais fáceis de elevar ao quadrado. E agora simplesmente adicionamos cinquenta e 51 à expressão original. A resposta será a mesma:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

E assim com todos os números que diferem por um.

Se o valor que procuramos for maior do que pensamos, adicionamos números ao quadrado resultante. Se o número desejado for menor, como no caso de 39, ao realizar a ação, o valor deve ser subtraído do quadrado. Vamos praticar sem usar uma calculadora:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Como você pode ver, em todos os casos as respostas são as mesmas. Além disso, esta técnica aplicável a quaisquer valores adjacentes. Por exemplo:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]

Ao mesmo tempo, não precisamos nos lembrar dos cálculos dos quadrados da soma e da diferença e usar uma calculadora. A velocidade do trabalho está além dos elogios. Portanto, lembre-se, pratique e use na prática.

Pontos chave

Com esta técnica, você pode facilmente fazer a multiplicação de qualquer números naturais variando de 10 a 100. Além disso, todos os cálculos são feitos oralmente, sem calculadora e até sem papel!

Primeiramente, lembre-se dos quadrados dos valores que são múltiplos de 10:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\fim(alinhar)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\fim(alinhar)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\fim(alinhar)\]

Como contar ainda mais rápido

Mas isso não é tudo! Usando essas expressões, você pode instantaneamente fazer o quadrado de números que são “adjacentes” aos de referência. Por exemplo, sabemos 152 (o valor de referência), mas precisamos encontrar 142 (um número adjacente que é um a menos que a referência). Vamos escrever:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\fim(alinhar)\]

Atenção: sem misticismo! Os quadrados dos números que diferem por 1 são de fato obtidos multiplicando os números de referência por eles mesmos, subtraindo ou adicionando dois valores:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\fim(alinhar)\]

Por que isso está acontecendo? Vamos anotar a fórmula do quadrado da soma (e da diferença). Seja $n$ nosso valor de referência. Então eles contam assim:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- esta é a fórmula.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]

- uma fórmula semelhante para números maiores que 1.

Espero que esta técnica economize seu tempo em todos os testes e exames importantes de matemática. E isso é tudo para mim. Vê você!

Quadratura números de três dígitos- uma exibição impressionante de habilidade em magia mental. Assim como ao elevar ao quadrado um número de dois dígitos, ele é arredondado para cima ou o lado menor para obter um múltiplo de 10, para elevar ao quadrado um número de três dígitos, você precisa arredondar para cima ou para baixo para obter um múltiplo de 100. Vamos elevar o número 193 ao quadrado.

Ao arredondar 193 para 200 (o segundo fator tornou-se 186), o problema de 3 por 3 tornou-se mais tipo simples"3 por 1" porque 200 x 186 é apenas 2 x 186 = 372 com dois zeros no final. Quase pronto! Agora tudo o que você precisa fazer é somar 7 2 = 49 e obter a resposta - 37249.

Vamos tentar elevar 706 ao quadrado.

Ao arredondar o número 706 para 700, você também precisa alterar o mesmo número em 6 para obter 712.

Como 712 x 7 = 4984 (um problema simples de 3 em 1), 712 x 700 = 498.400. Somar 62 = 36 resulta em 498.436.

Últimos exemplos não são tão assustadores, porque não incluem adição como tal. Além disso, você sabe de cor o que 6 2 e 7 2 são iguais. Quadrar um número que está a mais de 10 unidades de um múltiplo de 100 é muito mais difícil. Tente sua mão com 314 2 .

Neste exemplo, o número 314 é reduzido em 14 para arredondar para 300 e aumentado em 14 para 328. Multiplique 328 x 3 = 984 e adicione dois zeros no final para obter 98.400. Em seguida, adicione o quadrado de 14. Se você vier instantaneamente lembre-se (graças à memória ou cálculos rápidos) que 14 2 = 196, então você está em boa forma. Em seguida, basta adicionar 98.400 + 196 para obter a resposta final de 98.596.

Se precisar de tempo para contar 142, repita "98400" várias vezes antes de continuar. Caso contrário, você pode calcular 14 2 \u003d 196 e esquecer a qual número precisa adicionar o produto.

Se você tem um público que gostaria de impressionar, pode dizer "279.000" em voz alta antes de encontrar 292. Mas isso não funcionará para todos os problemas que você resolver.

Por exemplo, tente elevar ao quadrado 636.

Agora seu cérebro está realmente funcionando, não é?

Lembre-se de repetir "403200" para si mesmo várias vezes enquanto eleva 36 ao quadrado da maneira usual para obter 1296. A parte mais difícil é somar 1296 + 403200. Faça isso um dígito de cada vez, da esquerda para a direita, e obterá a resposta 404496 Dou-lhe minha palavra de que quando você se familiarizar com o quadrado de números de dois algarismos, os problemas de três algarismos se tornarão muito mais fáceis.

aqui está mais exemplo complexo: 863 2 .

O primeiro problema é decidir quais números multiplicar. Sem dúvida, um deles será de 900 e o outro será de mais de 800. Mas qual? Isso pode ser calculado de duas maneiras.

1. O jeito difícil: a diferença entre 863 e 900 é 37 (complemento para 63), subtraia 37 de 863 e obtenha 826.

2. Maneira fácil: dobre o número 63, obtemos 126, agora somamos os dois últimos dígitos desse número ao número 800, que acabará dando 826.

Veja como funciona jeito fácil. Como os dois números têm a mesma diferença com o número 863, sua soma deve ser igual ao dobro do número 863, ou seja, 1726. Um dos números é 900, então o outro será igual a 826.

Em seguida, realizamos os seguintes cálculos.

Se você tiver problemas para se lembrar de 743.400 após a quadratura de 37, não desanime. Nos capítulos seguintes, você aprenderá o sistema mnemônico e como memorizar esses números.

Tente sua mão na tarefa mais difícil até agora - quadratura do número 359.

Para obter 318, subtraia 41 (complemento de 59) de 359 ou multiplique 2 x 59 = 118 e use os dois últimos dígitos. Em seguida, multiplique 400 x 318 = 127.200. Somando 412 = 1.681 a esse número, o resultado será 128.881. É isso! Se você fez tudo certo da primeira vez, muito bem!

Vamos terminar esta grande seção, mas tarefa fácil: calcule 987 2 .

UM EXERCÍCIO: NÚMEROS QUADRADOS DE TRÊS DIGITAIS

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

O que há atrás da porta número 1?

A banalidade matemática de 1991, que desconcertou a todos, foi um artigo de Marilyn Savant - a mulher com o QI mais alto do mundo (que está registrado no Guinness Book of Records) - na revista Parade. Esse paradoxo ficou conhecido como o "problema de Monty Hall" e é o seguinte.

Você é um participante do show de Monty Hall, Let's Make a Deal. O anfitrião dá a você a oportunidade de escolher uma das três portas, atrás de uma das quais há um grande prêmio, atrás das outras duas - cabras. Digamos que você escolha a porta número 2. Mas antes de mostrar o que há atrás daquela porta, Monty abre a porta número 3. Há uma cabra. Agora, com seu jeito provocativo, Monty pergunta: você quer abrir a porta número 2 ou se atreve a ver o que está atrás da porta número 1? O que você deveria fazer? Supondo que Monty vá lhe dizer onde não está o grande prêmio, ele sempre abrirá uma das portas de "consolação". Isso deixa você com uma escolha: uma porta com um grande prêmio e a segunda com uma consolação. Agora suas chances são 50/50, certo?

Mas não! A chance de você acertar na primeira vez ainda é de 1 em 3. A chance de o grande prêmio estar atrás de outra porta aumenta para 2/3 porque as probabilidades devem somar 1.

Assim, alterando sua escolha, você dobrará suas chances de ganhar! (O problema assume que Monty sempre dará ao jogador a oportunidade de fazer nova escolha, mostrando uma porta "não vencedora" e, quando sua primeira escolha estiver correta, abrirá uma porta "não vencedora" aleatoriamente.) Pense no jogo com dez portas. Faça com que o facilitador abra oito portas "não vencedoras" após sua primeira escolha. Aqui, seus instintos provavelmente exigirão que você mude a porta. As pessoas geralmente cometem o erro de pensar que, se Monty Hall não sabe onde está o prêmio principal e abre a porta nº 3, que acaba com uma cabra (embora possa haver um prêmio), então a porta nº 1 tem 50% de chance de ser o certo. Tal raciocínio contradiz senso comum No entanto, Marilyn Savant recebeu pilhas de cartas (muitas de cientistas e até mesmo de matemáticos) dizendo que ela não deveria ter escrito sobre matemática. Claro, todas essas pessoas estavam erradas.

Considere agora o quadrado do binômio e, aplicando o ponto de vista aritmético, falaremos do quadrado da soma, ou seja, (a + b)² e do quadrado da diferença de dois números, ou seja, (a - b)² .

Como (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

então encontramos: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², ou seja

(a + b)² = a² + 2ab + b²

É útil lembrar esse resultado na forma da igualdade acima e nas palavras: o quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado o primeiro número mais o produto de duas vezes o primeiro número vezes o segundo número, mais o quadrado do segundo número.

Conhecendo este resultado, podemos escrever imediatamente, por exemplo:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Vamos dar uma olhada no segundo desses exemplos. Precisamos elevar ao quadrado a soma de dois números: o primeiro número é 3ab, o segundo é 1. Deve resultar: 1) o quadrado do primeiro número, ou seja, (3ab)², que é igual a 9a²b²; 2) o produto de dois pelo primeiro número e o segundo, ou seja, 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) o quadrado do 2º número, ou seja, 1² \u003d 1 - todos esses três termos devem ser somados.

Da mesma forma, obtemos uma fórmula para elevar ao quadrado a diferença de dois números, ou seja, para (a - b)²:

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

(a - b)² = a² - 2ab + b²,

ou seja, o quadrado da diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro número, menos o produto de dois pelo primeiro número e o segundo, mais o quadrado do segundo número.

Conhecendo esse resultado, podemos imediatamente realizar o quadrado de binômios que representam, do ponto de vista aritmético, a diferença de dois números.

(m - n)² = m² - 2mn + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2, etc.

Vamos explicar o 2º exemplo. Aqui temos entre parênteses a diferença de dois números: o primeiro número 5ab 3 e o segundo número 3a 2 b. O resultado deve ser: 1) o quadrado do primeiro número, ou seja, (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) o produto de dois pelo primeiro e segundo número, ou seja, 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 e 3) o quadrado do segundo número, ou seja, (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; o primeiro e o terceiro termos devem ser tomados com mais e o 2º com menos, obtemos 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Para esclarecer o 4º exemplo, notamos apenas que 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... o expoente deve ser multiplicado por 2 e 2) o produto de dois pelo 1º número e pelo 2º = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Se tomarmos o ponto de vista da álgebra, então ambas as igualdades: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² e 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² expressam a mesma coisa, a saber: o quadrado do binômio é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o produto do número (+2) vezes o primeiro termo e o segundo, mais o quadrado do segundo termo. Isso é claro, porque nossas igualdades podem ser reescritas como:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (-b) + (-b)²

Em alguns casos, é conveniente interpretar as igualdades obtidas desta forma:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Aqui o binômio é elevado ao quadrado, sendo o primeiro termo = -4a e o segundo = -3b. Então obtemos (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² e finalmente:

(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Também seria possível obter e memorizar a fórmula para elevar ao quadrado um trinômio, um quadrinômio e, em geral, qualquer polinômio. No entanto, não faremos isso, porque raramente precisamos usar essas fórmulas e, se precisarmos elevar ao quadrado qualquer polinômio (exceto um binômio), reduziremos o assunto à multiplicação. Por exemplo:

31. Aplique as 3 igualdades obtidas, a saber:

(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

à aritmética.

Que seja 41 ∙ 39. Então podemos representá-lo na forma (40 + 1) (40 - 1) e reduzir o assunto à primeira igualdade - obtemos 40² - 1 ou 1600 - 1 = 1599. Graças a isso, é fácil realizar multiplicações como 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 etc.

Que seja 41 ∙ 41; é o mesmo que 41² ou (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Também 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Se você precisar de 37 ∙ 37, então é igual a (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Essas multiplicações (ou o quadrado de números de dois dígitos) são fáceis de realizar, com alguma habilidade, na mente.