Os mesmos termos. Por exemplo, a entrada 5 * 3 significa "adicionar 5 a si mesma 3 vezes", ou seja, é simplesmente nota curta para 5+5+5. O resultado da multiplicação é chamado trabalhar, e os números multiplicados - multiplicadores ou fatores. Há também tabelas de multiplicação.
Gravação
A multiplicação é indicada por um asterisco *, uma cruz ou um ponto. Entradas
significa a mesma coisa. O sinal de multiplicação é frequentemente omitido, a menos que cause confusão. Por exemplo, em vez de geralmente escrever.
Se houver muitos fatores, alguns deles podem ser substituídos por pontos. Por exemplo, o produto de inteiros de 1 a 100 pode ser escrito como
NO entrada de carta o símbolo do produto também é usado: 
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Neste artigo, vamos entender como multiplicação de inteiros. Primeiro, introduzimos termos e notação, e também descobrimos o significado de multiplicar dois números inteiros. Depois disso, obtemos as regras para multiplicar dois inteiros positivos, inteiros negativos e inteiros com sinais diferentes. Neste caso, daremos exemplos com uma explicação detalhada da solução. Também abordaremos casos de multiplicação de inteiros, quando um dos fatores igual a um ou zero. A seguir, aprenderemos como verificar o resultado da multiplicação. E finalmente, vamos falar sobre multiplicar três, quatro e mais números inteiros.
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Termos e notação
Para descrever a multiplicação de inteiros, usaremos os mesmos termos com os quais descrevemos a multiplicação números naturais. Vamos lembrá-los.
Os inteiros a serem multiplicados são chamados multiplicadores. O resultado da multiplicação é chamado trabalhar. A operação de multiplicação é indicada pelo sinal de multiplicação da forma "·". Em algumas fontes, você pode encontrar a designação de multiplicação com os sinais "*" ou "×".
Os inteiros multiplicados a , b e o resultado de sua multiplicação c são convenientemente escritos usando uma igualdade da forma a b=c . Nesta notação, o inteiro a é o primeiro fator, o inteiro b é o segundo fator e c é o produto. da forma a b também será chamado de produto, assim como o valor desta expressão c .
Olhando para o futuro, observe que o produto de dois inteiros é um inteiro.
Significado da multiplicação de inteiros
Multiplicação de números inteiros positivos
Os inteiros positivos são números naturais, então multiplicação de inteiros positivos realizado de acordo com todas as regras de multiplicação de números naturais. É claro que como resultado da multiplicação de dois números inteiros positivos, um número inteiro positivo (um número natural) será obtido. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo.
Qual é o produto dos inteiros positivos 127 e 5?
Decisão.
Representamos o primeiro fator 107 como uma soma de termos de bit , ou seja, na forma 100+20+7 . Depois disso, usamos a regra para multiplicar a soma dos números por um determinado número: 127 5=(100+20+7) 5=100 5+20 5+7 5. Resta apenas completar o cálculo: 100 5+20 5+7 5= 500+100+35=600+35=635 .
Assim, o produto dos números inteiros positivos dados 127 e 5 é 635.
Responda:
127 5=635 .
Para multiplicar inteiros positivos multivalorados, é conveniente usar o método de multiplicação de colunas.
Exemplo.
Multiplique o inteiro positivo de três dígitos 712 pelo inteiro positivo de dois dígitos 92 .
Decisão.
Vamos multiplicar esses números inteiros positivos em uma coluna: 
Responda:
712 92=65 504 .
Regra para multiplicar inteiros com sinais diferentes, exemplos
O exemplo a seguir nos ajudará a formular a regra para multiplicar inteiros com sinais diferentes.
Calculamos o produto de um inteiro negativo -5 e um inteiro número positivo 3 com base no significado de multiplicação. então (−5) 3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. Para preservar a validade da propriedade comutativa da multiplicação, a igualdade (−5)·3=3·(−5) deve valer. Ou seja, o produto de 3·(−5) também é igual a −15 . É fácil ver que -15 é igual ao produto módulo dos fatores originais, de onde se segue que o produto dos inteiros originais com sinais diferentes é igual ao produto dos módulos dos fatores originais, tomados com sinal negativo.
Então nós temos regra de multiplicação para inteiros com sinais diferentes: para multiplicar dois inteiros com sinais diferentes, você precisa multiplicar os módulos desses números e colocar um sinal de menos na frente do número resultante.
A partir da regra sonora, podemos concluir que o produto de inteiros com sinais diferentes é sempre um inteiro negativo. De fato, como resultado da multiplicação dos módulos de fatores, obtemos um número inteiro positivo e, se colocarmos um sinal de menos na frente desse número, ele se tornará um número inteiro negativo.
Considere exemplos de cálculo do produto de inteiros com sinais diferentes usando a regra resultante.
Exemplo.
Multiplicar um inteiro positivo 7 por um inteiro um número negativo −14 .
Decisão.
Vamos usar a regra da multiplicação de inteiros com sinais diferentes. Os módulos dos multiplicadores são 7 e 14 respectivamente. Vamos calcular o produto dos módulos: 7·14=98 . Resta colocar um sinal de menos na frente do número resultante: -98. Então, 7·(−14)=−98 .
Responda:
7 (−14)=−98 .
Exemplo.
Calcule o produto (−36) 29 .
Decisão.
Precisamos calcular o produto de inteiros com sinais diferentes. Para isso, calculamos o produto valores absolutos multiplicadores: 36 29 \u003d 1 044 (a multiplicação é melhor feita em uma coluna). Agora colocamos um sinal de menos na frente do número 1044, obtemos -1044.
Responda:
(−36) 29=−1 044 .
Para concluir esta subseção, provamos a validade da igualdade a·(−b)=−(a·b) , onde a e −b são inteiros arbitrários. Um caso especial dessa igualdade é a regra sonora para multiplicar inteiros com sinais diferentes.
Em outras palavras, precisamos provar que os valores das expressões a (−b) e a b são números opostos. Para provar isso, encontramos a soma a (−b) + a b e verificamos que é igual a zero. Em virtude da propriedade distributiva da multiplicação de inteiros com respeito à adição, a igualdade a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) é verdadeira. A soma de (−b)+b é igual a zero como a soma de inteiros opostos, então a ((−b)+b)=a 0 . Último pedaçoé igual a zero pela propriedade de multiplicar um inteiro por zero. Assim, a·(−b)+a·b=0 , portanto, a·(−b) e a·b são números opostos, o que implica a igualdade a·(−b)=−(a·b) . Da mesma forma, pode-se mostrar que (−a) b=−(a b) .
Regra para multiplicar inteiros negativos, exemplos
A igualdade (−a)·(−b)=a·b , que provaremos agora, nos ajudará a obter a regra para multiplicar dois números inteiros negativos.
No final do parágrafo anterior, mostramos que a (−b)=−(a b) e (−a) b=−(a b) , então podemos escrever a seguinte cadeia de igualdades (−a) (−b)=−(a (−b))=−(−(a b)). E a expressão resultante −(−(a b)) nada mais é do que a b em virtude da definição números opostos. Então, (−a)·(−b)=a·b .
A igualdade provada (−a) (−b)=a b nos permite formular regra para multiplicar inteiros negativos: o produto de dois inteiros negativos é igual ao produto dos módulos desses números.
Da regra sonora segue-se que o resultado da multiplicação de dois inteiros negativos é um inteiro positivo.
Considere a aplicação desta regra ao realizar a multiplicação de inteiros negativos.
Exemplo.
Calcule o produto (−34)·(−2) .
Decisão.
Precisamos multiplicar dois inteiros negativos -34 e -2 . Vamos usar a regra correspondente. Para fazer isso, encontramos os módulos de fatores: e . Resta calcular o produto dos números 34 e 2, o que podemos fazer. Resumidamente, toda a solução pode ser escrita como (−34)·(−2)=34·2=68 .
Responda:
(−34)·(−2)=68 .
Exemplo.
Multiplique o inteiro negativo −1041 pelo inteiro negativo −538 .
Decisão.
De acordo com a regra de multiplicação de inteiros negativos, o produto desejado é igual ao produto dos módulos dos fatores. Os módulos multiplicadores são 1041 e 538 respectivamente. Vamos fazer a multiplicação por uma coluna: 
Responda:
(−1 041) (−538)=560 058 .
Multiplicando um inteiro por um
Multiplicar qualquer número inteiro a por um resulta no número a . Já mencionamos isso quando discutimos o significado de multiplicar dois números inteiros. Então a 1 = a . Em virtude da propriedade comutativa da multiplicação, a igualdade a·1=1·a deve ser verdadeira. Portanto, 1·a=a .
O raciocínio acima nos leva à regra para multiplicar dois inteiros, um dos quais é igual a um. O produto de dois inteiros, em que um dos fatores é um, é igual ao outro fator.
Por exemplo, 56 1=56 , 1 0=0 e 1 (−601)=−601 . Vamos dar mais alguns exemplos. O produto dos inteiros -53 e 1 é -53 , e o resultado da multiplicação de 1 e do inteiro negativo -989981 é -989981 .
Multiplicar um inteiro por zero
Concordamos que o produto de qualquer inteiro a e zero é igual a zero, ou seja, a 0 = 0 . A propriedade comutativa da multiplicação nos faz aceitar a igualdade 0·a=0 . Por isso, o produto de dois inteiros em que pelo menos um dos fatores é zero é igual a zero. Em particular, o resultado da multiplicação de zero por zero é zero: 0·0=0 .
Vamos dar alguns exemplos. O produto de um inteiro positivo 803 e zero é zero; o resultado da multiplicação de zero por um inteiro negativo -51 é zero; também (−90 733) 0=0 .
Observe também que o produto de dois inteiros é igual a zero se e somente se pelo menos um dos fatores zero.
Verificando o resultado da multiplicação de inteiros
Verificando o resultado da multiplicação de dois inteiros feito com divisão. É necessário dividir o produto resultante por um dos fatores, se isso resultar em um número igual ao outro fator, então a multiplicação foi realizada corretamente. Se você obtiver um número diferente do outro termo, foi cometido um erro em algum lugar.
Considere exemplos em que o resultado da multiplicação de inteiros é verificado.
Exemplo.
Como resultado da multiplicação de dois inteiros -5 e 21, obteve-se o número -115, o produto está calculado corretamente?
Decisão.
Vamos fazer uma verificação. Para fazer isso, dividimos o produto calculado -115 por um dos fatores, por exemplo, por -5., verifique o resultado. (−17)·(−67)=1 139 .
Multiplicação de três ou mais inteiros
A propriedade associativa da multiplicação de inteiros nos permite determinar exclusivamente o produto de três, quatro ou mais inteiros. Ao mesmo tempo, as demais propriedades da multiplicação de inteiros permitem afirmar que o produto de três ou mais inteiros não depende da disposição dos colchetes e da ordem dos fatores no produto. Substanciamos afirmações semelhantes quando falamos sobre a multiplicação de três ou mais números naturais. No caso de fatores inteiros, a justificativa é completamente a mesma.
Vamos considerar uma solução de exemplo.
Exemplo.
Calcule o produto de cinco inteiros 5 , −12 , 1 , −2 e 15 .
Decisão.
Podemos substituir sucessivamente dois fatores adjacentes da esquerda para a direita por seu produto: 5 (−12) 1 (−2) 15= (−60) 1 (−2) 15= (−60) (−2 ) 15= 120 15 =1 800 . Esta versão do cálculo do produto corresponde à seguinte forma de colocação dos suportes: (((5 (−12)) 1) (−2)) 15.
Também poderíamos reorganizar alguns fatores e organizar os colchetes de forma diferente, se isso nos permitir calcular o produto desses cinco inteiros de forma mais racional. Por exemplo, foi possível reorganizar os fatores na seguinte ordem 1 5 (−12) (−2) 15 , então organizar os colchetes assim ((1 5) (−12)) ((−2) 15). Neste caso, os cálculos serão os seguintes: ((1 5) (−12)) ((−2) 15)=(5 (−12)) ((−2) 15)= (−60) (−30)=1 800 .
Como você pode ver diferentes variantes parênteses e ordem diferente a sucessão de fatores nos levou ao mesmo resultado.
Responda:
5 (−12) 1 (−2) 15=1 800.
Separadamente, notamos que se no produto de três, quatro, etc. inteiros, pelo menos um dos fatores é igual a zero, então o produto é igual a zero. Por exemplo, o produto de quatro inteiros 5 , −90 321 , 0 e 111 é zero; o resultado da multiplicação de três inteiros 0 , 0 e −1 983 também é zero. A afirmação inversa também é verdadeira: se o produto é igual a zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Vamos analisar o conceito de multiplicação com um exemplo:
Os turistas ficaram na estrada por três dias. Todos os dias eles andavam o mesmo caminho de 4200 m. Quanto eles andavam em três dias? Resolva o problema de duas maneiras.
Decisão:
Vamos considerar o problema em detalhes.
No primeiro dia os caminhantes percorreram 4200m. No segundo dia, o mesmo trajeto foi percorrido por turistas 4200m e no terceiro dia - 4200m. Vamos escrever em linguagem matemática:
4200+4200+4200=12600m.
Vemos o padrão do número 4200 repetindo três vezes, portanto, podemos substituir a soma pela multiplicação:
4200⋅3=12600m.
Resposta: os turistas percorreram 12.600 metros em três dias.
Considere um exemplo:
Para não escrever um registro longo, podemos escrevê-lo como uma multiplicação. O número 2 é repetido 11 vezes, então o exemplo de multiplicação ficaria assim:
2⋅11=22
Resumir. O que é multiplicação?
Multiplicaçãoé uma ação que substitui a repetição do termo m n vezes.
A notação m⋅n e o resultado desta expressão são chamados produto de números, e os números m e n são chamados multiplicadores.
Vejamos um exemplo:
7⋅12=84
A expressão 7⋅12 e o resultado 84 são chamados produto de números.
Os números 7 e 12 são chamados multiplicadores.
Existem várias leis de multiplicação em matemática. Considere-os:
Lei comutativa da multiplicação.
Considere o problema:
Demos duas maçãs para 5 de nossos amigos. Matematicamente, a entrada ficará assim: 2⋅5.
Ou demos 5 maçãs para dois de nossos amigos. Matematicamente, a entrada ficará assim: 5⋅2.
No primeiro e segundo casos, distribuiremos o mesmo número de maçãs igual a 10 peças.
Se multiplicarmos 2⋅5=10 e 5⋅2=10, o resultado não mudará.
Propriedade lei de deslocamento multiplicações:
O produto não muda ao mudar os lugares dos fatores.
m⋅
n=n⋅m
Lei associativa da multiplicação.
Vejamos um exemplo:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 ou 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 temos,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(uma⋅
b) ⋅
c=
uma⋅(b⋅
c)
Propriedade da lei associativa da multiplicação:
Para multiplicar um número pelo produto de dois números, você pode primeiro multiplicá-lo pelo primeiro fator e depois multiplicar o produto resultante pelo segundo.
Trocar vários fatores e colocá-los entre parênteses não altera o resultado ou o produto.
Essas leis são verdadeiras para qualquer número natural.
Multiplicação de qualquer número natural por um.
Considere um exemplo:
7⋅1=7 ou 1⋅7=7
uma⋅1=a ou 1⋅uma=
uma
Ao multiplicar qualquer número natural por um, o produto será sempre o mesmo número.
Multiplicação de qualquer número natural por zero.
6⋅0=0 ou 0⋅6=0
uma⋅0=0 ou 0⋅uma=0
Ao multiplicar qualquer número natural por zero, o produto será igual a zero.
Perguntas ao tópico “Multiplicação”:
O que é um produto de números?
Resposta: o produto de números ou multiplicação de números é a expressão m⋅n, onde m é o termo e n é o número de repetições deste termo.
Para que serve a multiplicação?
Resposta: para não escrever uma longa adição de números, mas abreviar. Por exemplo, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Qual é o resultado da multiplicação?
Resposta: o significado da obra.
O que significa a multiplicação 3⋅5?
Resposta: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Se você multiplicar um milhão por zero, qual é o produto?
Resposta: 0
Exemplo 1:
Substitua a soma pelo produto: a) 12+12+12+12+12 b) 3+3+3+3+3+3+3+3+3
Resposta: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27
Exemplo #2:
Escreva na forma de um produto: a) a + a + a + a b) c + c + c + c + c + c + c
Decisão:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s
Tarefa nº 1:
Mamãe comprou 3 caixas de chocolates. Cada caixa contém 8 bombons. Quantos doces minha mãe comprou?
Decisão:
Há 8 doces em uma caixa, e temos 3 dessas caixas.
8+8+8=8⋅3=24 doces
Resposta: 24 doces.
Tarefa nº 2:
A professora de arte disse a seus oito alunos que preparassem sete lápis por aula. Quantos lápis as crianças tinham no total?
Decisão:
Você pode calcular a soma da tarefa. O primeiro aluno tinha 7 lápis, o segundo aluno tinha 7 lápis e assim por diante.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
O registro acabou sendo inconveniente e longo, substituiremos a soma pelo produto.
7⋅8=56
A resposta é 56 lápis.
- (produto) O resultado da multiplicação. produto de números, expressões algébricas, vetores ou matrizes; pode ser mostrado com um ponto, uma barra ou simplesmente escrevendo-os um após o outro, ou seja, f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … Dicionário econômico
A ciência dos números inteiros. O conceito de um inteiro (ver número), bem como operaçoes aritimeticas sobre os números é conhecido desde os tempos antigos e é um dos primeiros abstrações matemáticas. Lugar especial entre inteiros, ou seja, números ..., 3 ... Grande Enciclopédia Soviética
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Tarefa 1.2
São dados dois inteiros X e T. Se eles tiverem sinais diferentes, então atribua a X o valor do produto desses números e T o valor de sua diferença de módulo. Se os números tiverem sinais idênticos, então atribua a X o valor do módulo de diferença números iniciais, e T é o valor do produto desses números. Exiba os novos valores X e T na tela.
A tarefa também é fácil. “Equívocos” só podem surgir se você esqueceu qual é a diferença de módulo (espero que este seja o produto de dois inteiros, você ainda se lembra))).
Diferença módulo dois números
A diferença de módulo de dois inteiros (embora não necessariamente inteiros - não importa, é apenas que os números são inteiros em nosso problema) - isso, falando de maneira simples, quando o resultado do cálculo é o módulo da diferença de dois números.
Ou seja, a operação de subtração de um número de outro é realizada primeiro. E então o módulo do resultado desta operação é calculado.
Matematicamente, isso pode ser escrito como:
Se alguém esqueceu o que é um módulo ou como calculá-lo em Pascal, veja.
Algoritmo para determinar os sinais de dois números
A solução para o problema é geralmente bastante simples. Dificuldade para iniciantes só pode causar a definição dos sinais de dois números. Ou seja, é necessário responder à pergunta: como descobrir se os números têm os mesmos sinais ou sinais diferentes.
Primeiro, ele pede a comparação alternada de números com zero. Isso é aceitável. Mas o código-fonte será bem grande. Portanto, é mais correto usar o seguinte algoritmo:
- Multiplique os números entre si
- Se o resultado menos que zero, então os números têm sinais diferentes
- Se o resultado for zero ou maior que zero, então os números têm os mesmos sinais
Eu executei esse algoritmo na forma de um arquivo . E o programa em si acabou sendo o mesmo mostrado nos exemplos de Pascal e C++ abaixo.
Solução do problema 1.2 em Pascal números de verificação do programa; var A, X, T: inteiro; //************************************************ ** **************** // Verifica se os números N1 e N2 possuem o mesmo sinal. Se sim, // retorna TRUE, caso contrário - FALSE //************************************ **** ************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer): boolean; inicio := (N1 * N2) >= 0; fim; //************************************************ ** **************** // PROGRAMA PRINCIPAL //**************************** ** ************************************ begin Write("X = "); ReadLn(X); escreva("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Se os números tiverem os mesmos sinais começam A:= (X - T); //Pega o módulo de diferença dos números originais T:= X * T; end else //Se os números tiverem sinais diferentes begin A:= X * T; T:= Abs(X - T); fim; X:=A; //Escreve o valor A em X WriteLn("X = ", X); //Saída X WriteLn("T = ", T); //Saída T WriteLn("Fim. Pressione ENTER..."); ReadLn; fim.
Solução do problema 1.2 em C++#include #include usando namespace std; int A, X, T; //************************************************ ** **************** // Verifica se os números N1 e N2 possuem o mesmo sinal. Se sim, // retorna TRUE, caso contrário - FALSE //************************************ **** ****************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2 ) >= 0); ) //******************************************** *********** ***************** // PROGRAMA PRINCIPAL //**************** **************************************************** * int main(int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Se os números tiverem os mesmos sinais ( A = abs(X - T); // Obtenha a diferença modulo os números originais T = X * T; ) else // Se os números tiverem sinais diferentes ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A; // Escreva o valor A contar para X
Otimização
Esse um programa simples pode ser simplificado ainda mais se você não usar a função e alterar ligeiramente o código-fonte do programa. Em que total linhas Código fonte vai encolher um pouco. Como fazer isso - pense por si mesmo.
