Lungimea segmentului axa de coordonate se gaseste dupa formula:
Lungimea segmentului plan de coordonate cautat dupa formula:
Pentru a găsi lungimea unui segment într-un sistem de coordonate tridimensional, se utilizează următoarea formulă:
Coordonatele mijlocului segmentului (pentru axa de coordonate se folosește doar prima formulă, pentru planul de coordonate - primele două formule, pentru sistemul de coordonate tridimensional - toate cele trei formule) sunt calculate prin formulele:
Funcţie este o corespondență a formei y= f(X) între variabile, datorită cărora fiecare a considerat valoarea unora variabil X(argument sau variabilă independentă) potriviri o anumită valoare o alta variabila, y(variabilă dependentă, uneori această valoare se numește pur și simplu valoarea funcției). Rețineți că funcția presupune acea valoare a argumentului X nu poate exista decât o singură valoare a variabilei dependente la. Totuși, aceeași valoare la se poate obtine cu diverse X.
Domeniul de aplicare a funcției sunt toate valorile variabilei independente (argumentul funcției, de obicei X) pentru care este definită funcția, i.e. sensul ei există. Este indicat domeniul de definire D(y). În general, ești deja familiarizat cu acest concept. Domeniul de aplicare al unei funcții este altfel numit domeniul de aplicare valori admise, sau ODZ, pe care le-ați putut găsi de mult.
Gama de funcții- e tot valori posibile variabila dependenta a acestei functii. Notat E(la).
Funcția creșteîn intervalul în care valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mari a funcției. Funcție în scădere pe intervalul în care valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției.
Intervalele de funcții sunt intervalele variabilei independente la care variabila dependentă își păstrează semnul pozitiv sau negativ.
Zerourile funcției sunt acele valori ale argumentului pentru care valoarea funcției este egală cu zero. În aceste puncte, graficul funcției intersectează axa absciselor (axa OX). Foarte des, nevoia de a găsi zerourile unei funcții înseamnă simpla rezolvare a ecuației. De asemenea, adesea nevoia de a găsi intervale de semn constant înseamnă nevoia de a rezolva pur și simplu inegalitatea.
Funcţie y = f(X) sunt numite chiar X
Aceasta înseamnă că pentru orice sensuri opuse argument, valorile funcției pare sunt egale. Programa chiar funcțiaîntotdeauna simetric în raport cu axa y a lui y.
Funcţie y = f(X) sunt numite ciudat, dacă este definită pe o mulțime simetrică și pentru oricare X din domeniul definiției egalitatea este îndeplinită:
Aceasta înseamnă că pentru orice valori opuse ale argumentului, valorile funcției impare sunt, de asemenea, opuse. Graficul unei funcții impare este întotdeauna simetric față de origine.
Suma rădăcinilor unui și caracteristici ciudate(punctele de intersecție ale axei x OX) este întotdeauna zero, deoarece pentru fiecare rădăcină pozitivă X cont pentru rădăcină negativă –X.
Este important de reținut că anumite funcții nu trebuie să fie par sau impare. Există multe funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel de funcții sunt numite funcții vedere generala , și nici una dintre egalitățile sau proprietățile de mai sus nu sunt valabile pentru ele.
Funcție liniară se numeste functie ce poate fi data prin formula:
Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă și in caz general arată astfel (un exemplu este dat pentru cazul în care k> 0, în acest caz funcția este în creștere; pentru cazul k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graficul funcției cuadratice (Parabola)
Graficul unei parabole este dat de o funcție pătratică:
O funcție pătratică, ca orice altă funcție, intersectează axa OX în punctele care sunt rădăcinile sale: ( X unu ; 0) și ( X 2; 0). Dacă nu există rădăcini, atunci funcția pătratică nu intersectează axa OX, dacă există o rădăcină, atunci în acest punct ( X 0; 0) funcția pătratică atinge doar axa OX, dar nu o intersectează. O funcție pătratică intersectează întotdeauna axa OY într-un punct cu coordonatele: (0; c). Programa funcţie pătratică(parabola) poate arăta astfel (figura prezintă exemple care sunt departe de a epuiza pe toate tipuri posibile parabolă):
în care:
- dacă coeficientul A> 0, în funcție y = topor 2 + bx + c, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus;
- dacă A < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Coordonatele vârfurilor parabolelor pot fi calculate folosind următoarele formule. X vârfuri (p- în figurile de mai sus) a unei parabole (sau punctul în care trinomul pătrat atinge valoarea maximă sau minimă):
Y vârfuri (q- în figurile de mai sus) a unei parabole sau maximul dacă ramurile parabolei sunt îndreptate în jos ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), valoare trinom pătrat:
Grafice ale altor funcții
functie de putere
Iată câteva exemple de grafice ale funcțiilor de putere:
Dependență invers proporțională numiți funcția dată de formula:
În funcție de semnul numărului k diagramă înapoi dependență proporțională poate avea două opțiuni principale:
Asimptotă este dreapta de care linia graficului funcției se apropie la infinit, dar nu se intersectează. Asimptote pentru grafice proporționalitate inversă prezentate în figura de mai sus sunt axele de coordonate de care graficul funcției se apropie la infinit, dar nu le intersectează.
functie exponentiala cu baza A numiți funcția dată de formula:
A graficul unei funcții exponențiale poate avea două opțiuni fundamentale (vom da și exemple, vezi mai jos):
funcţie logaritmică numiți funcția dată de formula:
Depinde daca mai mult sau mai putin de unul număr A programa funcţie logaritmică poate avea două opțiuni principale:
Graficul funcției y = |X| după cum urmează:
Grafice ale funcțiilor periodice (trigonometrice).
Funcţie la = f(X) se numește periodic, dacă există un astfel de număr diferit de zero T, ce f(X + T) = f(X), pentru oricine Xîn afara domeniului de aplicare f(X). Dacă funcţia f(X) este periodică cu punct T, apoi funcția:
Unde: A, k, b – numere constante, și k nu este egal cu zero, de asemenea periodic cu punct T 1, care este determinată de formula:
Cele mai multe exemple de funcții periodice sunt funcții trigonometrice. Iată graficele principalelor funcții trigonometrice. Următoarea figură prezintă o parte din graficul funcției y= păcat X(întregul grafic continuă la nesfârșit la stânga și la dreapta), graficul funcției y= păcat X numit sinusoid:
Graficul funcției y= cos X numit unde cosinus. Acest grafic este prezentat în figura următoare. De la graficul sinusului, acesta continuă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta:
Graficul funcției y=tg X numit tangentoid. Acest grafic este prezentat în figura următoare. Ca și graficele altor funcții periodice, acest grafic se repetă la infinit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta.
Și în sfârșit, graficul funcției y=ctg X numit cotangentoid. Acest grafic este prezentat în figura următoare. Ca și graficele altor funcții periodice și trigonometrice, acest grafic se repetă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta.
Implementarea cu succes, diligentă și responsabilă a acestor trei puncte vă va permite să arătați un rezultat excelent la CT, maximul de care sunteți capabil.
Ați găsit o eroare?
Dacă credeți că ați găsit o eroare în Materiale de antrenament, apoi scrieți, vă rog, despre asta prin poștă. De asemenea, puteți raporta o eroare în rețea socială(). În scrisoare, indicați subiectul (fizică sau matematică), numele sau numărul temei sau testului, numărul sarcinii sau locul din text (pagină) în care, în opinia dumneavoastră, există o eroare. De asemenea, descrieți care este presupusa eroare. Scrisoarea ta nu va trece neobservată, eroarea fie va fi corectată, fie ți se va explica de ce nu este o greșeală.
concept funcții una dintre cele mai importante din matematică.
Auzi des acest cuvânt la ora de matematică. Construiți grafice ale funcțiilor, studiați o funcție, găsiți cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții. Dar pentru a înțelege toate aceste acțiuni, să definim ce este o funcție.
O funcție poate fi definită în mai multe moduri. Toate se vor completa reciproc.
1. Funcția este dependența unei variabile de alta. Cu alte cuvinte, relaţieîntre cantităţi.
Orice legea fizică, orice formulă reflectă o astfel de relație de cantități. De exemplu, formula este dependența presiunii fluidului de adâncime.
Cu cât adâncimea este mai adâncă, cu atât mai multa presiune lichide. Se poate spune că presiunea fluidului este o funcție de adâncimea la care este măsurată.
Denumirea care vă este familiară exprimă doar ideea unei astfel de dependențe a unei cantități de alta. Valoarea lui y depinde de valoarea conform unei anumite legi, sau regulă, notată cu .
Cu alte cuvinte: schimbăm (variabila independentă sau argument) - și o anumită regulă se schimba.
Nu este necesar să se noteze variabilele și . De exemplu, este dependența lungimii de temperatură, adică legea dilatare termică. Notația în sine înseamnă că valoarea depinde de .
2. Se poate da o altă definiție.
O funcție este un specific acțiune peste o variabilă.
Aceasta înseamnă că luăm valoarea , facem o acțiune cu ea (de exemplu, o pătram sau îi calculăm logaritmul) - și obținem valoarea .
LA literatura tehnica există o definiție a unei funcții ca dispozitiv, a cărei intrare este alimentată - iar ieșirea este .
Deci funcția este acțiune peste o variabilă. În acest sens, cuvântul „funcție” este folosit și în domenii departe de matematică. De exemplu, putem vorbi despre funcții telefon mobil, despre funcțiile creierului sau funcțiile deputatului. În toate aceste cazuri vorbim despre acțiunile întreprinse.
3. Să mai dăm o definiție a unei funcții - cea care se găsește cel mai des în manuale.
O funcție este o corespondență între două mulțimi, fiecare element din primul set corespunzând unuia și doar unui element al celui de-al doilea set.
De exemplu, o funcție pentru fiecare numar real se potrivește cu un număr de două ori mai mare decât .
Repetăm încă o dată: după o anumită regulă, asociem fiecare element al mulțimii cu un element al mulțimii. Setul este numit domeniul de aplicare al funcției. O multime de - gamă.
Dar de ce există o clarificare atât de lungă: „fiecărui element al primului set îi corespunde unul și doar unui element al celui de-al doilea”? Se dovedește că și corespondențele dintre mulțimi sunt diferite.
Luați în considerare ca exemplu corespondența dintre două seturi - cetățenii ruși care au pașapoarte și numerele lor de pașapoarte. Este clar că această corespondență este unu-la-unu - fiecare cetățean are un singur pașaport rusesc. Și invers - puteți găsi o persoană după numărul de pașaport.
Matematica are și astfel de funcții unu-la-unu. De exemplu, funcție liniară. Fiecare valoare corespunde unei singure valori. Și invers, știind, puteți găsi în mod unic.
Pot exista și alte tipuri de corespondențe între mulțimi. Luați de exemplu un grup de prieteni și lunile în care s-au născut:
Fiecare persoană s-a născut în unele luna anume. Dar această corespondență nu este unul la unu. De exemplu, Sergey și Oleg s-au născut în iunie.
Un exemplu de astfel de corespondență în matematică este o funcție. Același element al celui de-al doilea set îi corespunde două elemente diferite primul set: și .
Și care ar trebui să fie corespondența dintre cele două mulțimi ca să nu fie o funcție? Foarte simplu! Să luăm același grup de prieteni și hobby-urile lor:
Vedem că în primul set există elemente care corespund la două sau trei elemente din al doilea set.
Ar fi foarte greu să descrii matematic o asemenea corespondență, nu-i așa?
Iată un alt exemplu. Cifrele arată curbe. Care crezi că este un grafic al funcției și care nu este?
Răspunsul este evident. Prima curbă este un grafic al unei anumite funcții, iar a doua nu este. La urma urmei, există puncte pe ea în care fiecare valoare corespunde nu la una, ci la trei valori întregi.
Să facem o listă modalități de a defini o funcție.
unu . Cu o formulă. Acesta este un mod convenabil și familiar pentru noi. De exemplu:
Acestea sunt exemple de funcții definite prin formule.
2 . Mod grafic. El este cel mai vizibil. Totul este vizibil imediat pe grafic - creșterea și scăderea funcției, cea mai mare și cele mai mici valori, puncte maxime și minime. Următorul articol va vorbi despre explorarea unei funcții folosind un grafic.
În plus, nu este întotdeauna ușor să obții formula exactă a unei funcții. De exemplu, cursul de schimb al dolarului (adică dependența de timp a valorii dolarului) poate fi afișat doar pe un grafic.
3 . Cu ajutorul unei mese. Cu această metodă, ați început odată să studiați subiectul „Funcție” - ați construit un tabel și numai după aceea - un grafic. Și atunci când studiu pilot orice model nou, când nici formula și nici graficul nu sunt încă cunoscute, această metodă va fi singura posibilă.
4 . Cu ajutorul unei descrieri. Se întâmplă ca în diferite secțiuni funcția să fie setată formule diferite. Funcția cunoscută de dvs. este dată de descriere.
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte informații publice. ocazii importante.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
gimnaziul rusesc
ABSTRACT
împlinit
student clasa 10 „F” Burmistrov Sergey
supraveghetor
profesor de matematică
Yulina O.A.
Nijni Novgorod
Funcția și proprietățile sale
Funcţie- dependență variabilă la dintr-o variabilă X , dacă fiecare valoare X corespunde sens unic la .
variabila x- variabilă sau argument independent.
variabila y- variabilă dependentă
Valoarea funcției- sens la corespunzător valoarea stabilită X .
Domeniul de aplicare a funcției- toate valorile pe care le ia variabila independentă.
Domeniu de funcții (set de valori) - toate valorile pe care le ia funcția.
Funcția este egală- dacă pentru oricare X f(x)=f(-x)
Funcția este ciudată- dacă pentru oricare X din sfera funcției, egalitatea f(-x)=-f(x)
Funcția de creștere- dacă pentru oricare x 1și x 2, astfel încât x 1
<
x 2, inegalitatea f(
x 1
)
Funcția descrescătoare- dacă pentru oricare x 1și x 2, astfel încât x 1 < x 2, inegalitatea f( x 1 )>f( x 2 )
Modalități de a seta o funcție
¨ Pentru a defini o funcție, trebuie să specificați modul în care pentru fiecare valoare de argument puteți găsi valoarea funcției corespunzătoare. Cel mai comun este modul de definire a unei funcții folosind formula la =f(x), Unde f(x)- o expresie cu o variabilă X. În acest caz, spunem că funcția este dată de o formulă sau că funcția este dată de analitic.
¨ În practică, este adesea folosit tabular modul în care este definită funcția. Cu această metodă, este furnizat un tabel care indică valorile funcției pentru valorile argumentului prezent în tabel. Exemple de definiții de funcție tabelară sunt un tabel de pătrate, un tabel de cuburi.
Tipuri de funcții și proprietăți ale acestora
1) functie permanenta- funcţie, dat de formula y= b , Unde b- oarecare număr. programa functie permanenta y \u003d b este o linie dreaptă paralelă cu axa x și care trece prin punctul (0; b) pe axa y
2) proporționalitate directă- funcţie dată de formulă y= kx , unde k¹0. Număr k numit coeficient de proporționalitate .
Proprietățile funcției y=kx :
1. Domeniul definirii funcții - setați toate numerele reale
2. y=kx- functie impara
3. Pentru k>0, funcția crește, iar pentru k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Funcție liniară- funcția care este dată de formula y=kx+b, Unde kși b - numere reale. Dacă, în special, k=0, atunci obținem o funcție constantă y=b; dacă b=0, atunci obținem o proporționalitate directă y=kx .
Proprietățile funcției y=kx+b :
1. Domeniul definiției - mulțimea tuturor numerelor reale
2. Funcția y=kx+b vedere generală, adică nici par, nici impar.
3. Pentru k>0, funcția crește, iar pentru k<0 убывает на всей числовой прямой
Graficul funcției este Drept .
4)proporționalitate inversă- funcţie dată de formulă y=k /X, unde k¹0 Număr k numit factor de proporționalitate inversă.
Proprietățile funcției y=k / X:
1. Domeniul definiției - mulțimea tuturor numerelor reale cu excepția zero
2. y=k / X - funcţie impară
3. Dacă k>0, atunci funcția scade pe intervalul (0;+¥) și pe intervalul (-¥;0). Dacă k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Graficul funcției este hiperbolă .
5)Funcţie y=x2
Proprietățile funcției y=x2:
2. y=x2 - chiar funcția
3. Funcția scade pe interval
Graficul funcției este parabolă .
6)Funcţie y=x 3
Proprietățile funcției y=x3:
1. Domeniul definiției este întreaga linie numerică
2. y=x 3 - funcţie impară
3. Funcția crește pe întreaga linie numerică
Graficul funcției este parabolă cubică
7)Funcția de putere cu exponent natural - funcţie dată de formulă y=xn, Unde n- numar natural. Pentru n=1 obținem funcția y=x, proprietățile ei sunt luate în considerare în secțiunea 2. Pentru n=2;3 obţinem funcţiile y=x 2 ; y=x 3 . Proprietățile lor sunt discutate mai sus.
Fie n un număr par arbitrar mai mare decât doi: 4,6,8... În acest caz, funcția y=xn are aceleași proprietăți ca și funcția y=x 2 . Graficul funcției seamănă cu o parabolă y=x 2 , numai ramurile graficului pentru |x|>1 urcă cu cât mai abrupt, cu n este mai mare și pentru |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Fie n un număr impar arbitrar mai mare de trei: 5,7,9... În acest caz, funcția y=xn are aceleași proprietăți ca și funcția y=x 3 . Graficul funcției seamănă cu o parabolă cubică.
8)Funcția de putere cu exponent negativ întreg - funcţie dată de formulă y=x-n , Unde n- numar natural. Pentru n=1 obținem y=1/x, proprietățile acestei funcții sunt luate în considerare în secțiunea 4.
Fie n un număr impar mai mare decât unu: 3,5,7... În acest caz, funcția y=x-n are practic aceleași proprietăți ca și funcția y=1/x.
Fie n un număr par, de exemplu n=2.
Proprietățile funcției y=x -2 :
1. Funcția este definită pentru toate x¹0
2. y=x -2 - chiar funcția
3. Funcția scade cu (0;+¥) și crește cu (-¥;0).
Orice funcție cu un n par mai mare decât doi are aceleași proprietăți.
9)Funcţie y= Ö X
Proprietățile funcției y= Ö X :
1. Domeniul definirii - raza)
