Se numește dependența unei variabile de alta dependenta functionala. Dependență variabilă y dintr-o variabilă X numit funcţie, dacă fiecare valoare X corespunde sens unic y.

Desemnare:

variabil X numită variabilă independentă sau argument, și variabila y- dependent. Ei spun asta y este o functie a X. Sens y corespunzător valoarea stabilită X, numit valoarea functiei.

Toate valorile necesare X, formă domeniul de aplicare al funcției; toate valorile pe care le ia y, formă set de valori ale funcției.

Denumiri:

D(f)- valorile argumentului. E(f)- valorile funcţiei. Dacă funcția este dată de o formulă, atunci se consideră că domeniul de definiție constă din toate valorile variabilei pentru care această formulă are sens.

Graficul funcției se numește mulțimea tuturor punctelor de pe planul de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției. Dacă o oarecare valoare x=x0 potriviți mai multe valori (nu doar una) y, atunci o astfel de corespondență nu este o funcție. Pentru a stabili punctele plan de coordonate este graficul unei funcții, este necesar și suficient ca orice dreaptă paralelă cu axa Oy să se intersecteze cu graficul în cel mult un punct.

Modalități de a seta o funcție

1) Funcția poate fi setată analitic sub forma unei formule. De exemplu,

2) Funcția poate fi definită printr-un tabel de mai multe perechi (X y).

3) Funcția poate fi setată grafic. Perechi valori (X y) afișate pe planul de coordonate.

Monotonitatea funcției

Funcţie f(x) numit crescând pe un interval numeric dat, dacă valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mari a funcției. Imaginează-ți că un anumit punct se mișcă de-a lungul graficului de la stânga la dreapta. Apoi punctul va „urca” pe diagramă.

Funcţie f(x) numit în scădere pe un interval numeric dat, dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției. Imaginează-ți că un anumit punct se mișcă de-a lungul graficului de la stânga la dreapta. Atunci punctul se va „rula” în jos pe diagramă.

Se numește o funcție care este doar în creștere sau doar descrescătoare pe un anumit interval numeric monoton pe acest interval.

Funcții zerouri și intervale de constanță

Valori X, la care y=0, se numește zerouri ale funcției. Acestea sunt abscisele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa x.

Astfel de intervale de valori X, pe care valorile funcției y fie numai pozitive fie numai negative sunt numite intervale de constanță de semn ale funcției.

Funcții pare și impare

Chiar și funcție
1) Domeniul de definiție este simetric față de punctul (0; 0), adică dacă punctul A aparține domeniului definiției, apoi punctul -A aparține și domeniului definiției.
2) Pentru orice valoare X f(-x)=f(x)
3) Grafic chiar funcția simetric față de axa y.

funcţie impară are urmatoarele proprietati:
1) Domeniul de definiție este simetric față de punctul (0; 0).
2) pentru orice valoare X, care aparține domeniului definiției, egalității f(-x)=-f(x)
3) Graficul unei funcții impare este simetric față de originea (0; 0).

Nu toate funcțiile sunt par sau impare. Funcții vedere generala nu sunt nici pare, nici impare.

Funcții periodice

Funcţie f se numește periodic dacă există un număr astfel încât pentru oricare X din domeniul definirii egalitatea f(x)=f(x-T)=f(x+T). T este perioada funcției.

Fiecare functie periodica are set infinit perioade. În practică, este de obicei considerată cea mai mică perioadă pozitivă.

Valori functie periodica se repetă după un interval egal cu perioada. Acesta este folosit la trasarea graficelor.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte informații publice. ocazii importante.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Multe sarcini ne determină să căutăm un set de valori ale funcției pe un anumit segment sau pe întregul domeniu de definiție. Astfel de sarcini includ diverse evaluări ale expresiilor, soluția inegalităților.

În acest articol, vom defini intervalul unei funcții, vom lua în considerare metode de găsire a acesteia și vom analiza în detaliu soluția de exemple de la simple la mai complexe. Tot materialul va fi furnizat ilustrații grafice pentru claritate. Deci, acest articol este un răspuns detaliat la întrebarea cum să găsiți intervalul unei funcții.

Definiție.

Setul de valori ale funcției y = f(x) pe intervalul X numită mulțimea tuturor valorilor funcției pe care le ia atunci când iterează peste toate.

Definiție.

Domeniul funcției y = f(x) se numește mulțimea tuturor valorilor funcției pe care le ia atunci când iterează peste tot x din domeniul definiției.

Domeniul funcției este notat cu E(f) .

Intervalul unei funcții și setul de valori ale unei funcții nu sunt același lucru. Aceste concepte vor fi considerate echivalente dacă intervalul X la găsirea mulțimii de valori ale funcției y = f(x) coincide cu domeniul funcției.

De asemenea, nu confundați intervalul funcției cu variabila x pentru expresia din partea dreaptă a ecuației y=f(x) . Regiune valori admise variabila x pentru expresia f(x) - acesta este domeniul functiei y=f(x) .

Figura prezintă câteva exemple.

Graficele de funcții sunt afișate cu linii albastre groase, liniile roșii subțiri sunt asimptote, punctele și liniile roșii de pe axa Oy arată intervalul funcției corespunzătoare.

După cum puteți vedea, domeniul funcției este obținut prin proiectarea graficului funcției pe axa y. Ea poate fi aceea singular(primul caz), set de numere (al doilea caz), segment (al treilea caz), interval (al patrulea caz), fascicul deschis (al cincilea caz), unire (al șaselea caz), etc.

Deci, ce trebuie să faceți pentru a găsi intervalul funcției.

Să începem de la foarte caz simplu: arată cum se definește un set de valori funcție continuă y = f(x) pe segmentul .

Se știe că o funcție continuă pe un segment își atinge valorile maxime și minime pe acesta. Astfel, setul de valori functia originala va fi un segment pe segment . Prin urmare, sarcina noastră se reduce la găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției pe intervalul .

De exemplu, să găsim intervalul funcției arcsinus.

Exemplu.

Specificați intervalul funcției y = arcsinx .

Decizie.

Domeniul de definire al arcsinusului este segmentul [-1; unu] . Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe acest segment.

Derivata este pozitivă pentru tot x din intervalul (-1; 1) , adică funcția arcsinus crește pe întregul domeniu de definiție. Prin urmare, se ia cea mai mică valoare la x = -1 și cea mai mare la x = 1.

Am obținut intervalul funcției arcsinus .

Exemplu.

Găsiți setul de valori ale funcției pe segment.

Decizie.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe acest segment.

Să definim punctele extreme, aparţinând segmentului :

Calculăm valorile funcției originale la capetele segmentului și în puncte :

Prin urmare, setul de valori ale funcției de pe segment este segmentul .

Acum vom arăta cum să găsim mulțimea de valori ale unei funcții continue y = f(x) în intervalele (a; b) , .

În primul rând, determinăm punctele extreme, extremele funcției, intervalele de creștere și scădere a funcției pe un interval dat. În continuare, calculăm la capetele intervalului și (sau) limitele la infinit (adică studiem comportamentul funcției la limitele intervalului sau la infinit). Aceste informații sunt suficiente pentru a găsi setul de valori ale funcției pe astfel de intervale.

Exemplu.

Determinați setul de valori ale funcției pe intervalul (-2; 2) .

Decizie.

Să găsim punctele extreme ale funcției care se încadrează pe intervalul (-2; 2):

Punct x = 0 este punctul maxim, deoarece derivata își schimbă semnul de la plus la minus la trecerea prin ea, iar graficul funcției trece de la creștere la descreștere.

este maximul corespunzător al funcției.

Să aflăm comportamentul funcției când x tinde spre -2 în dreapta și când x tinde spre 2 în stânga, adică găsim limite unilaterale:

Ce am obținut: când argumentul se schimbă de la -2 la zero, valorile funcției cresc de la minus infinit la minus o pătrime (maximul funcției la x = 0), când argumentul se schimbă de la zero la 2, funcția valorile scad la minus infinit. Astfel, setul de valori ale funcției pe intervalul (-2; 2) este .

Exemplu.

Specificați setul de valori ale funcției tangente y = tgx pe interval .

Decizie.

Derivata functiei tangente pe interval este pozitiva , ceea ce indică o creștere a funcției. Studiem comportamentul funcției pe limitele intervalului:

Astfel, atunci când argumentul se schimbă de la la, valorile funcției cresc de la minus infinit la plus infinit, adică setul de valori tangente din acest interval este mulțimea tuturor numerelor reale.

Exemplu.

Găsiți intervalul unei funcții logaritmul natural y = lnx .

Decizie.

Funcția logaritmului natural este definită pentru valorile pozitive ale argumentului . Pe acest interval derivata este pozitivă , aceasta indică o creștere a funcției pe acesta. Să găsim limita unilaterală a funcției, deoarece argumentul tinde spre zero din dreapta, iar limita pe măsură ce x tinde spre plus infinit:

Vedem că atunci când x se schimbă de la zero la plus infinit, valorile funcției cresc de la minus infinit la plus infinit. Prin urmare, intervalul funcției de logaritm natural este întregul set de numere reale.

Exemplu.

Decizie.

Această funcție este definită pentru toate valorile x reale. Să determinăm punctele extreme, precum și intervalele de creștere și scădere a funcției.

Prin urmare, funcția scade la , crește la , x = 0 este punctul maxim, maximul corespunzător al funcției.

Să ne uităm la comportamentul funcției la infinit:

Astfel, la infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de zero.

Am constatat că atunci când argumentul se schimbă de la minus infinit la zero (punct maxim), valorile funcției cresc de la zero la nouă (până la maximul funcției), iar când x se schimbă de la zero la plus infinit, valorile funcției scăderea de la nouă la zero.

Uită-te la desenul schematic.

Acum se vede clar că domeniul funcției este .

Găsirea mulțimii de valori ale funcției y = f(x) pe intervale necesită studii similare. Nu ne vom opri acum asupra acestor cazuri în detaliu. Le vom vedea în exemplele de mai jos.

Fie domeniul funcției y = f(x) uniunea mai multor intervale. La găsirea domeniului unei astfel de funcții, se determină seturile de valori pe fiecare interval și se ia uniunea lor.

Exemplu.

Găsiți intervalul funcției.

Decizie.

Numitorul funcției noastre nu ar trebui să meargă la zero, adică .

Mai întâi, să găsim setul de valori ale funcției pe raza deschisă.

Derivată de funcție este negativă pe acest interval, adică funcția scade pe el.

Am constatat că, deoarece argumentul tinde spre minus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de unitate. Când x se schimbă de la minus infinit la doi, valorile funcției scad de la unu la minus infinit, adică pe intervalul considerat, funcția ia un set de valori. Nu includem unitatea, deoarece valorile funcției nu o ating, ci tind doar asimptotic către ea la minus infinit.

Acționăm în mod similar pentru un fascicul deschis.

Funcția scade și ea în acest interval.

Setul de valori ale funcției pe acest interval este setul .

Astfel, intervalul dorit de valori ale funcției este unirea mulțimilor și .

Ilustrație grafică.

Separat, ar trebui să ne oprim asupra funcțiilor periodice. Gama de funcții periodice coincide cu setul de valori pe intervalul corespunzător perioadei acestei funcții.

Exemplu.

Aflați intervalul funcției sinus y = sinx .

Decizie.

Această funcție este periodică cu o perioadă de doi pi. Să luăm un segment și să definim setul de valori pe el.

Segmentul conține două puncte extreme și .

Calculăm valorile funcției în aceste puncte și la limitele segmentului, alegem cel mai mic și cea mai mare valoare:

Prin urmare, .

Exemplu.

Găsiți intervalul unei funcții .

Decizie.

Știm că domeniul arccosinusului este segmentul de la zero la pi, adică sau într-o altă postare. Funcţie poate fi obținut din arccosx prin deplasare și întindere de-a lungul axei x. Astfel de transformări nu afectează intervalul, prin urmare, . Funcţie vine de la întinzându-se de trei ori de-a lungul axei Oy, adică . Iar ultima etapă a transformărilor este o deplasare cu patru unități în jos de-a lungul axei y. Aceasta ne duce la o dublă inegalitate

Astfel, intervalul de valori dorit este .

Să dăm o soluție unui alt exemplu, dar fără explicații (nu sunt necesare, deoarece sunt complet asemănătoare).

Exemplu.

Definiți intervalul de funcție .

Decizie.

Scriem funcția originală în forma . Zona valoric functie de putere este intervalul. adică . Apoi

Prin urmare, .

Pentru a completa imaginea, ar trebui să vorbim despre găsirea domeniului unei funcții care nu este continuă pe domeniul definiției. În acest caz, domeniul de definiție este împărțit prin puncte de întrerupere în intervale și găsim seturile de valori pe fiecare dintre ele. Combinând seturile de valori obținute, obținem domeniul de valori al funcției originale. Vă recomandăm să vă amintiți

Adesea, în cadrul rezolvării problemelor, trebuie să căutăm un set de valori ale unei funcții pe domeniul definiției sau pe un segment. De exemplu, acest lucru ar trebui făcut la rezolvare tipuri diferite inegalități, evaluări de expresie etc.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ca parte a acestui material, vă vom spune care este intervalul unei funcții, vom oferi principalele metode prin care poate fi calculată și vom analiza sarcinile grade diferite dificultăți. Pentru claritate, pozițiile individuale sunt ilustrate prin grafice. După ce ați citit acest articol, veți avea o înțelegere cuprinzătoare a domeniului de aplicare a unei funcții.

Să începem cu definițiile de bază.

Definiția 1

Setul de valori ale funcției y = f (x) pe un interval x este mulțimea tuturor valorilor care funcţie dată preia enumerarea tuturor valorilor x ∈ X .

Definiția 2

Domeniul unei funcții y = f (x) este mulțimea tuturor valorilor sale pe care le poate lua atunci când iterează peste valori x din intervalul x ∈ (f) .

Domeniul unei anumite funcții este de obicei notat cu E (f) .

Vă rugăm să rețineți că conceptul de mulțime de valori ale unei funcții nu este întotdeauna identic cu aria valorilor sale. Aceste concepte vor fi echivalente numai dacă intervalul de valori x la găsirea setului de valori coincide cu domeniul funcției.

De asemenea, este important să se facă distincția între intervalul și intervalul variabilei x pentru expresia din partea dreaptă y = f (x) . Aria valorilor acceptabile x pentru expresia f (x) va fi aria de definire a acestei funcții.

Mai jos este o ilustrație care arată câteva exemple. Liniile albastre sunt grafice ale funcțiilor, cele roșii sunt asimptote, punctele roșii și liniile de pe axa y sunt intervalele funcției.

În mod evident, domeniul funcției poate fi obținut prin proiectarea graficului funcției pe axa O y . În același timp, poate fi fie un singur număr, fie un set de numere, un segment, un interval, o rază deschisă, o unire de intervale numerice etc.

Luați în considerare principalele modalități de a găsi intervalul unei funcții.

Să începem prin a defini setul de valori ale funcției continue y = f (x) pe un anumit segment, desemnat [ a ; b] . Știm că o funcție care este continuă pe un anumit interval își atinge minimul și maximul pe ea, adică maximul m a x x ∈ a ; b f (x) și cea mai mică valoare m i n x ∈ a ; b f (x). Deci, obținem un segment m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , care va conține seturile de valori ale funcției originale. Apoi, tot ce trebuie să facem este să găsim punctele minime și maxime specificate pe acest segment.

Să luăm o problemă în care este necesar să se determine intervalul de valori al arcsinusului.

Exemplul 1

Condiție: găsiți intervalul y = a r c sin x .

Decizie

LA caz general domeniul de definire al arcsinusului este situat pe segmentul [-1; unu ] . Trebuie să determinăm valoarea cea mai mare și cea mai mică functie specificata Pe el.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Știm că derivata funcției va fi pozitivă pentru toate valorile x situate în intervalul [ - 1 ; 1 ] , adică pe întregul domeniu de definiție, funcția arcsinus va crește. Aceasta înseamnă că va lua cea mai mică valoare atunci când x este egal cu - 1 și cea mai mare - când x este egal cu 1.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Astfel, intervalul funcției arcsinus va fi egal cu E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Răspuns: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

Exemplul 2

Condiție: se calculează intervalul y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 pe segment dat [ 1 ; 4 ] .

Decizie

Tot ce trebuie să facem este să calculăm cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției în interval dat.

Pentru a determina punctele extreme, este necesar să efectuați următoarele calcule:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 și l și 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Acum afla valorile funcţie dată la capetele segmentului și punctelor x 2 \u003d 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Aceasta înseamnă că setul de valori ale funcției va fi determinat de segmentul 117 - 165 33 512; 32 .

Răspuns: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Să trecem la găsirea mulțimii de valori ale funcției continue y = f (x) în intervalele (a ; b) și a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Să începem cu definiția celui mai mare și cel mai mic punct, precum și intervale de creștere și scădere pe un interval dat. După aceea, va trebui să calculăm limite unilaterale la sfârșitul intervalului și/sau limite la infinit. Cu alte cuvinte, trebuie să determinăm comportamentul funcției în condiții date. Pentru aceasta avem toate datele necesare.

Exemplul 3

Condiție: calculați intervalul funcției y = 1 x 2 - 4 pe intervalul (- 2 ; 2) .

Decizie

Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției într-un interval dat

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Am obținut valoarea maximă egală cu 0, deoarece în acest moment semnul funcției se schimbă și graficul începe să scadă. Vezi ilustrația:

Adică y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 va fi valorile maxime funcții.

Acum să definim comportamentul funcției pentru un astfel de x, care tinde spre - 2 s partea dreaptași k + 2 pe partea stângă. Cu alte cuvinte, găsim limite unilaterale:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Am obținut că valorile funcției vor crește de la minus infinit la -1 4 când argumentul se schimbă de la -2 la 0. Și când argumentul se schimbă de la 0 la 2, valorile funcției scad spre minus infinit. Prin urmare, setul de valori ale funcției date pe intervalul de care avem nevoie va fi (- ∞ ; - 1 4 ] .

Răspuns: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Exemplul 4

Condiție: indicați setul de valori y = t g x pe intervalul dat - π 2 ; π 2 .

Decizie

Știm că, în general, derivata tangentei în - π 2; π 2 va fi pozitiv, adică funcția va crește. Acum să definim cum se comportă funcția în limitele date:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Am obținut o creștere a valorilor funcției de la minus infinit la plus infinit atunci când argumentul se schimbă de la - π 2 la π 2 și putem spune că mulțimea soluțiilor acestei funcții va fi mulțimea tuturor realelor numerele.

Răspuns: - ∞ ; + ∞ .

Exemplul 5

Condiție: determinați care este intervalul funcției logaritmului natural y = ln x .

Decizie

Știm că această funcție este definită pentru valori pozitive argument D (y) = 0 ; +∞ . Derivata pe intervalul dat va fi pozitivă: y " = ln x " = 1 x . Aceasta înseamnă că funcția crește pe ea. În continuare, trebuie să definim o limită unilaterală pentru cazul în care argumentul ajunge la 0 (pe partea dreaptă) și când x merge la infinit:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Am descoperit că valorile funcției vor crește de la minus infinit la plus infinit pe măsură ce valorile x se schimbă de la zero la plus infinit. Aceasta înseamnă că mulțimea tuturor numerelor reale este intervalul funcției de logaritm natural.

Răspuns: multimea tuturor numerelor reale este intervalul functiei de logaritm natural.

Exemplul 6

Condiție: determinați care este intervalul funcției y = 9 x 2 + 1 .

Decizie

Această funcție este definită cu condiția ca x să fie un număr real. Să calculăm cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției, precum și intervalele de creștere și scădere a acesteia:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Ca rezultat, am determinat că această funcție va scădea dacă x ≥ 0; crește dacă x ≤ 0 ; are punctul maxim y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 când variabila este 0 .

Să vedem cum se comportă funcția la infinit:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Din înregistrare se poate observa că valorile funcției în acest caz se vor apropia asimptotic de 0.

Pentru a rezuma: atunci când argumentul se schimbă de la minus infinit la zero, atunci valorile funcției cresc de la 0 la 9. Pe măsură ce valorile argumentului merg de la 0 la plus infinit, valorile funcției corespunzătoare vor scădea de la 9 la 0. Am descris acest lucru în figură:

Arată că domeniul funcției va fi intervalul E (y) = (0 ; 9 ]

Răspuns: E (y) = (0 ; 9 ]

Dacă trebuie să determinăm setul de valori ale funcției y = f (x) pe intervalele [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , atunci va trebui să facem exact aceleași studii. Nu vom analiza încă aceste cazuri: le vom întâlni ulterior în probleme .

Dar dacă domeniul unei anumite funcții este uniunea mai multor intervale? Apoi trebuie să calculăm seturile de valori pe fiecare dintre aceste intervale și să le combinăm.

Exemplul 7

Condiție: determinați care va fi intervalul lui y = x x - 2 .

Decizie

Deoarece numitorul funcției nu trebuie transformat în 0 , atunci D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Să începem prin a defini setul de valori ale funcției pe primul segment - ∞ ; 2, care este un fascicul deschis. Știm că funcția de pe ea va scădea, adică derivata acestei funcții va fi negativă.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Apoi, în acele cazuri în care argumentul se schimbă spre minus infinit, valorile funcției se vor apropia asimptotic de 1. Dacă valorile lui x se schimbă de la minus infinit la 2, atunci valorile vor scădea de la 1 la minus infinit, adică. funcția de pe acest segment va lua valori din intervalul - ∞ ; unu . Excludem unitatea din raționamentul nostru, deoarece valorile funcției nu o ating, ci doar o abordează asimptotic.

Pentru fascicul deschis 2; + ∞ executam exact aceleasi actiuni. Funcția de pe el este, de asemenea, în scădere:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Valorile funcției pe acest segment sunt determinate de mulțimea 1; +∞ . Aceasta înseamnă că intervalul de valori ale funcției specificate în condiția de care avem nevoie va fi uniunea mulțimilor - ∞; 1 și 1; +∞ .

Răspuns: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .

Acest lucru poate fi văzut pe diagramă:

Un caz special sunt funcțiile periodice. Aria lor de valoare coincide cu setul de valori pe intervalul care corespunde perioadei acestei funcții.

Exemplul 8

Condiție: determinați intervalul sinusului y = sin x .

Decizie

Sinusul se referă la o funcție periodică, iar perioada acesteia este de 2 pi. Luăm un segment 0; 2 π și vedeți care va fi setul de valori de pe el.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

In limita 0; 2 π funcția va avea puncte extreme π 2 și x = 3 π 2 . Să calculăm cu ce vor fi egale valorile funcției în ele, precum și pe limitele segmentului, după care alegem cea mai mare și cea mai mică valoare.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Răspuns: E (sinx) = - 1; unu .

Dacă aveți nevoie să cunoașteți intervalele de funcții precum exponențială, exponențială, logaritmică, trigonometrică, trigonometrică inversă, atunci vă sfătuim să recitiți articolul despre principalele functii elementare. Teoria pe care o prezentăm aici ne permite să testăm valorile specificate acolo. Este de dorit să le învățați, deoarece sunt adesea solicitate în rezolvarea problemelor. Dacă cunoașteți intervalele funcțiilor principale, atunci puteți găsi cu ușurință intervalele de funcții care sunt obținute din cele elementare folosind o transformare geometrică.

Exemplul 9

Condiție: determinați intervalul y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Decizie

Știm că segmentul de la 0 la pi este domeniul cosinusului invers. Cu alte cuvinte, E (a r c cos x) = 0 ; π sau 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Putem obține funcția a r c cos x 3 + 5 π 7 din arcul cosinus prin deplasarea și întinderea acesteia de-a lungul axei O x, dar astfel de transformări nu ne vor oferi nimic. Prin urmare, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Funcția 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 poate fi obținută din cosinusul invers a r c cos x 3 + 5 π 7 prin întinderea de-a lungul axei y, adică. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Transformarea finală este o deplasare de-a lungul axei O y cu 4 valori. Ca rezultat, obținem o inegalitate dublă:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Am obținut că intervalul de care avem nevoie va fi egal cu E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Răspuns: E (y) = - 4; 3 pi - 4 .

Să mai scriem un exemplu fără explicații, pentru că este complet asemănător cu precedentul.

Exemplul 10

Condiție: calculați care va fi intervalul funcției y = 2 2 x - 1 + 3 .

Decizie

Să rescriem funcția dată în condiția ca y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3 . Pentru o funcţie de putere y = x - 1 2 intervalul va fi definit pe intervalul 0 ; + ∞ , adică x - 1 2 > 0 . În acest caz:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Deci E (y) = 3 ; +∞ .

Răspuns: E (y) = 3; +∞ .

Acum să ne uităm la cum să găsim domeniul unei funcții care nu este continuă. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțim întreaga zonă în intervale și să găsim seturile de valori pe fiecare dintre ele, apoi să combinăm ceea ce avem. Pentru a înțelege mai bine acest lucru, vă sfătuim să revizuiți principalele tipuri de puncte de întrerupere a funcției.

Exemplul 11

Condiție: dată o funcție y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Calculați-i intervalul.

Decizie

Această funcție este definită pentru toate valorile x. Să o analizăm pentru continuitate cu valorile argumentului egale cu - 3 și 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Avem o discontinuitate irecuperabilă de primul fel cu valoarea argumentului - 3 . Pe măsură ce o abordați, valorile funcției tind să - 2 sin 3 2 - 4, iar pe măsură ce x tinde spre - 3 în partea dreaptă, valorile vor tinde spre - 1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Avem o discontinuitate inamovibilă de al doilea fel la punctul 3 . Când funcția tinde spre ea, valorile sale se apropie - 1, în timp ce tind către același punct din dreapta - la minus infinit.

Aceasta înseamnă că întregul domeniu de definire al acestei funcții este împărțit în 3 intervale (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Pe primul dintre ele, avem funcția y \u003d 2 sin x 2 - 4. Deoarece - 1 ≤ sin x ≤ 1 , obținem:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Aceasta înseamnă că pe acest interval (- ∞ ; - 3 ] setul de valori al funcției este [ - 6 ; 2 ] .

La jumătatea intervalului (- 3 ; 3 ] s-a dovedit functie constanta y = - 1 . Prin urmare, întregul set al valorilor sale în acest caz va fi redus la un singur număr - 1 .

Pe al doilea interval 3 ; + ∞ avem o funcție y = 1 x - 3 . Este în scădere deoarece y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Prin urmare, mulțimea de valori a funcției originale pentru x > 3 este mulțimea 0; +∞ . Acum să combinăm rezultatele: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Răspuns: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Soluția este prezentată în grafic:

Exemplul 12

Condiție: există o funcție y = x 2 - 3 e x . Determinați setul valorilor sale.

Decizie

Este definit pentru toate valorile argumentelor care sunt numere reale. Să stabilim în ce intervale va crește această funcție și în care va scădea:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Știm că derivata va deveni 0 dacă x = - 1 și x = 3 . Așezăm aceste două puncte pe axă și aflăm ce semne va avea derivata pe intervalele rezultate.

Funcția va scădea cu (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) și va crește cu [ - 1 ; 3]. Punctul minim va fi - 1 , maxim - 3 .

Acum să găsim valorile funcției corespunzătoare:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Să ne uităm la comportamentul funcției la infinit:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Pentru a calcula a doua limită, a fost folosită regula lui L'Hopital. Să reprezentăm soluția noastră pe un grafic.

Arată că valorile funcției vor scădea de la plus infinit la -2 e atunci când argumentul se schimbă de la minus infinit la -1. Dacă se schimbă de la 3 la plus infinit, atunci valorile vor scădea de la 6 e - 3 la 0, dar 0 nu va fi atins.

Astfel, E (y) = [ - 2 e ; +∞).

Răspuns: E (y) = [ - 2 e ; +∞)

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Să vedem cum să explorezi o funcție folosind un grafic. Se pare că, privind graficul, puteți afla tot ce ne interesează, și anume:

• domeniul de aplicare al funcției
• intervalul de funcții
• zerouri ale funcției
• perioade de crestere si scadere
• puncte înalte și scăzute
• cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

Să clarificăm terminologia:

Abscisă este coordonata orizontală a punctului.
Ordonată- coordonata verticala.
abscisă - axă orizontală, denumită cel mai frecvent axă.
axa Y- axa verticală, sau axa.

Argument este o variabilă independentă de care depind valorile funcției. Cel mai adesea indicat.
Cu alte cuvinte, noi înșine alegem , înlocuim în formula funcției și obținem .

Domeniu funcții - setul acelor (și numai acelea) valori ale argumentului pentru care există funcția.
Notat: sau .

În figura noastră, domeniul funcției este un segment. Pe acest segment este trasat graficul funcției. Doar aici există această funcție.

Gama de funcții este setul de valori pe care variabila ia. În figura noastră, acesta este un segment - de la cea mai mică la cea mai mare valoare.

Zerourile funcției- punctele în care valoarea funcției este egală cu zero, adică . În figura noastră, acestea sunt punctele și .

Valorile funcției sunt pozitive Unde . În figura noastră, acestea sunt intervalele și .
Valorile funcției sunt negative Unde . Avem acest interval (sau interval) de la până.

Concepte cheie - funcţii crescătoare şi descrescătoare pe vreun platou. Ca set, puteți lua un segment, un interval, o uniune de intervale sau întreaga linie numerică.

Funcţie crește

Cu alte cuvinte, cu cât mai mult, cu atât mai mult, adică graficul merge la dreapta și în sus.

Funcţie scade pe mulţime dacă pentru oricare şi aparţinând mulţimii inegalitatea implică inegalitatea .

Pentru o funcție descrescătoare, o valoare mai mare corespunde unei valori mai mici. Graficul merge la dreapta și în jos.

În figura noastră, funcția crește pe interval și scade pe intervale și .

Să definim ce este punctele maxime și minime ale funcției.

Punct maxim- acesta este un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta este mai mare decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Cu alte cuvinte, punctul maxim este un astfel de punct, valoarea funcției la care Mai mult decât în ​​cele vecine. Acesta este un „deal” local pe diagramă.

În figura noastră - punctul maxim.

Punct scăzut- un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta să fie mai mică decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Adică, punctul minim este astfel încât valoarea funcției din el este mai mică decât în ​​cele învecinate. Pe grafic, aceasta este o „găură” locală.

În figura noastră - punctul minim.

Punctul este granița. Ea nu este punct intern domeniul definiției și, prin urmare, nu se încadrează în definiția unui punct maxim. La urma urmei, nu are vecini în stânga. În același mod, nu poate exista niciun punct minim pe graficul nostru.

Punctele maxime și minime sunt numite colectiv punctele extreme ale funcției. În cazul nostru, acesta este și .

Dar dacă trebuie să găsiți, de exemplu, funcția minimă pe tăietură? În acest caz, răspunsul este: deoarece funcția minimă este valoarea sa la punctul minim.

În mod similar, maximul funcției noastre este . Se ajunge la punctul .

Putem spune că extremele funcției sunt egale cu și .

Uneori, în sarcini pe care trebuie să le găsiți cel mai mare și cea mai mică valoare funcții pe un segment dat. Ele nu coincid neapărat cu extreme.

În cazul nostru cea mai mică valoare a funcției pe interval este egal și coincide cu minimul funcției. Dar valoarea sa cea mai mare pe acest segment este egală cu . Se ajunge la capătul stâng al segmentului.

În orice caz, cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment sunt atinse fie la punctele extreme, fie la capetele segmentului.