Statika- Ide o odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré študuje podmienky pre rovnováhu hmotných telies pri pôsobení síl.

Pod stavom rovnováhy sa v statike rozumie stav, v ktorom sú všetky časti mechanický systém sú v pokoji (vo vzťahu k pevnému súradnicovému systému). Hoci metódy statiky sú aplikovateľné aj na pohybujúce sa telesá a s ich pomocou je možné skúmať problémy dynamiky, základnými objektmi štúdia statiky sú nehybné mechanické telesá a sústavy.

sila je mierou účinku jedného tela na druhé. Sila je vektor, ktorý má aplikačný bod na povrchu telesa. Pod silou voľné telo dostane zrýchlenie úmerné vektoru sily a nepriamo úmerné hmotnosti telesa.

Zákon rovnosti akcie a reakcie

Sila, ktorou pôsobí prvé teleso na druhé, je absolútna hodnota a je opačný v smere k sile, ktorou pôsobí druhé teleso na prvé.

Princíp vytvrdzovania

Ak je deformovateľné teleso v rovnováhe, potom sa jeho rovnováha nenaruší, ak sa teleso považuje za absolútne tuhé.

Statika hmotného bodu

Zvážte hmotný bod, ktorý je v rovnováhe. A nech naň pôsobí n síl, k = 1, 2, ..., č.

Ak je hmotný bod v rovnováhe, potom sa vektorový súčet síl, ktoré naň pôsobia, rovná nule:
(1) .

V rovnováhe geometrický súčet sily pôsobiace na bod sú nulové.

Geometrická interpretácia . Ak sa začiatok druhého vektora umiestni na koniec prvého vektora a začiatok tretieho vektora sa umiestni na koniec druhého vektora a potom sa v tomto procese pokračuje, koniec posledného, ​​n-tého vektora bude byť kombinovaný so začiatkom prvého vektora. To znamená, že dostaneme uzavretý geometrický obrazec, ktorého dĺžky strán sa rovnajú modulom vektorov. Ak všetky vektory ležia v rovnakej rovine, dostaneme uzavretý mnohouholník.

Často je vhodné si vybrať pravouhlý systém súradnice Oxyz. Potom sa súčty priemetov všetkých vektorov síl na súradnicové osi rovnajú nule:

Ak zvolíte akýkoľvek smer definovaný nejakým vektorom , potom sa súčet priemetov vektorov síl v tomto smere rovná nule:
.
Rovnicu (1) skalárne vynásobíme vektorom:
.
Tu - skalárny produkt vektory a .
Všimnite si, že projekcia vektora do smeru vektora je určená vzorcom:
.

Pevná statika tela

Moment sily o bode

Určenie momentu sily

Moment sily, aplikovaný na teleso v bode A vzhľadom na pevný stred O, sa nazýva vektor rovný vektorovému súčinu vektorov a:
(2) .

Geometrická interpretácia

Moment sily sa rovná produktu sila F na rameno OH.

Nech vektory a sú umiestnené v rovine obrázku. Podľa majetku vektorový produkt, vektor je kolmý na vektory a to znamená, že je kolmý na rovinu obrázku. Jeho smer je určený správnym skrutkovým pravidlom. Na obrázku je momentový vektor nasmerovaný k nám. Absolútna hodnota okamihu:
.
Odvtedy
(3) .

Pomocou geometrie možno poskytnúť inú interpretáciu momentu sily. Za týmto účelom nakreslite priamku AH cez vektor sily . Zo stredu O spustíme kolmicu OH na túto čiaru. Dĺžka tejto kolmice je tzv rameno sily. Potom
(4) .
Pretože vzorce (3) a (4) sú ekvivalentné.

teda absolútna hodnota momentu sily vzhľadom na stred O je súčin sily na ramene táto sila voči zvolenému stredu O .

Pri výpočte momentu je často vhodné rozložiť silu na dve zložky:
,
kde . Sila prechádza cez bod O. Takže jej moment nula. Potom
.
Absolútna hodnota okamihu:
.

Zložky momentu v pravouhlých súradniciach

Ak zvolíme pravouhlý súradnicový systém Oxyz so stredom v bode O, potom moment sily bude mať tieto zložky:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Tu sú súradnice bodu A vo vybranom súradnicovom systéme:
.
Komponenty sú hodnoty momentu sily okolo osí, resp.

Vlastnosti momentu sily okolo stredu

Moment okolo stredu O zo sily prechádzajúcej týmto stredom sa rovná nule.

Ak sa bod pôsobenia sily posunie pozdĺž priamky prechádzajúcej vektorom sily, potom sa moment pri takomto pohybe nezmení.

Moment z vektorového súčtu síl pôsobiacich na jeden bod telesa sa rovná vektorovému súčtu momentov z každej zo síl pôsobiacich na ten istý bod:
.

To isté platí pre sily, ktorých predlžovacie čiary sa pretínajú v jednom bode. V tomto prípade by sa ich priesečník mal považovať za bod pôsobenia síl.

Ak je vektorový súčet síl nulový:
,
potom súčet momentov z týchto síl nezávisí od polohy stredu, voči ktorému sa momenty počítajú:
.

Mocenský pár

Mocenský pár sú dve sily, ktoré sú rovnaké v absolútnej hodnote a majú opačných smeroch aplikovaný na rôzne body telo.

Dvojicu síl charakterizuje moment, kedy sa vytvárajú. Pretože vektorový súčet síl obsiahnutých v páre je nulový, moment vytvorený párom nezávisí od bodu, ku ktorému sa moment počíta. Z hľadiska statickej rovnováhy je povaha síl v páre irelevantná. Dvojica síl sa používa na označenie toho, že na teleso pôsobí moment síl, majúci určitú hodnotu.

Moment sily okolo danej osi

Často sa vyskytujú prípady, keď nepotrebujeme poznať všetky zložky momentu sily o vybranom bode, ale stačí nám poznať moment sily o vybranej osi.

Moment sily okolo osi prechádzajúcej bodom O je priemetom vektora momentu sily okolo bodu O na smer osi.

Vlastnosti momentu sily okolo osi

Moment okolo osi od sily prechádzajúcej touto osou je rovný nule.

Moment okolo osi od sily rovnobežnej s touto osou je nulový.

Výpočet momentu sily okolo osi

Nech na teleso v bode A pôsobí sila. Nájdite moment tejto sily vzhľadom na os O′O′′.

Zostavme si pravouhlý súradnicový systém. Nech sa os Oz zhoduje s O′O′′ . Z bodu A spustíme kolmicu OH na O′O′′ . Cez body O a A nakreslíme os Ox. Os Oy nakreslíme kolmo na Ox a Oz. Silu rozložíme na zložky pozdĺž osí súradnicového systému:
.
Sila pretína os O′O′′. Preto je jeho hybnosť nulová. Sila je rovnobežná s osou O′O′′. Preto je jeho moment tiež nulový. Podľa vzorca (5.3) zistíme:
.

Všimnite si, že komponent smeruje tangenciálne ku kružnici, ktorej stredom je bod O . Smer vektora je určený správnym skrutkovým pravidlom.

Podmienky rovnováhy pre tuhé teleso

V rovnováhe je vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na teleso rovný nule a vektorový súčet momentov týchto síl voči ľubovoľnému pevnému stredu je rovný nule:
(6.1) ;
(6.2) .

Zdôrazňujeme, že stred O, voči ktorému sa počítajú momenty síl, je možné zvoliť ľubovoľne. Bod O môže patriť telu alebo byť mimo neho. Zvyčajne sa volí stred O na uľahčenie výpočtov.

Podmienky rovnováhy môžu byť formulované iným spôsobom.

V rovnováhe je súčet projekcií síl na ľubovoľný smer daný ľubovoľným vektorom rovný nule:
.
Súčet momentov síl okolo ľubovoľnej osi O′O′′ sa tiež rovná nule:
.

Niekedy sú tieto podmienky výhodnejšie. Sú chvíle, kedy je možné výberom osí zjednodušiť výpočty.

Ťažisko tela

Zvážte jednu z najdôležitejších síl - gravitáciu. Tu sa sily neaplikujú v určitých bodoch telesa, ale sú plynule rozložené po jeho objeme. Pre každú časť tela s nekonečne malým objemom ∆V, pôsobí gravitačná sila. Tu je ρ hustota hmoty tela, je zrýchlenie voľný pád.

Nech je hmotnosť nekonečne malej časti tela. A nech bod A k definuje polohu tohto úseku. Nájdite veličiny súvisiace s gravitačnou silou, ktoré sú zahrnuté v rovnovážnych rovniciach (6).

Nájdite súčet gravitačných síl vytvorených všetkými časťami tela:
,
kde je hmotnosť tela. Súčet gravitačných síl jednotlivých nekonečne malých častí telesa teda môže byť nahradený jedným gravitačným vektorom celého telesa:
.

Nájdite súčet momentov gravitačných síl vo vzťahu k zvolenému stredu O ľubovoľným spôsobom:

.
Tu sme zaviedli bod C, ktorý je tzv ťažisko telo. Poloha ťažiska v súradnicovom systéme so stredom v bode O je určená vzorcom:
(7) .

Takže pri určovaní statickej rovnováhy súčet gravitácie jednotlivé sekcie telesá možno nahradiť výslednicou
,
aplikovaný na ťažisko telesa C , ktorého poloha je určená vzorcom (7).

Poloha ťažiska pre rôzne geometrické tvary nájdete v príslušných sprievodcoch. Ak má teleso os alebo rovinu symetrie, potom je ťažisko umiestnené na tejto osi alebo rovine. Ťažiská gule, kruhu alebo kruhu sa teda nachádzajú v stredoch kruhov týchto postáv. Ťažiská kváder, obdĺžnik alebo štvorec sa nachádzajú aj v ich stredoch - v priesečníkoch uhlopriečok.

Rovnomerne (A) a lineárne (B) rozložené zaťaženie.

Existujú aj prípady podobné gravitačnej sile, kedy sily nepôsobia v určitých bodoch telesa, ale sú plynule rozložené po jeho povrchu alebo objeme. Takéto sily sú tzv rozložené sily alebo .

(Obrázok A). Rovnako ako v prípade gravitácie môže byť nahradená výslednou silou veľkosti , aplikovanou v ťažisku diagramu. Keďže diagram na obrázku A je obdĺžnik, ťažisko diagramu je v jeho strede - v bode C: | AC | = | CB |.

(obrázok B). Dá sa nahradiť aj výslednicou. Hodnota výslednice sa rovná ploche diagramu:
.
Miesto aplikácie je v ťažisku pozemku. Ťažisko trojuholníka, výška h, je vo vzdialenosti od základne. Takže .

Trecie sily

Klzné trenie. Telo necháme na rovnom povrchu. A nech je sila kolmá na povrch, ktorou povrch pôsobí na teleso (tlaková sila). Potom je klzná trecia sila rovnobežná s povrchom a smerovaná do strany, čím bráni pohybu telesa. Jej najväčší hodnota je:
,
kde f je koeficient trenia. Koeficient trenia je bezrozmerná veličina.

valivé trenie. Zaoblený korpus necháme vaľkať alebo sa môže váľať po povrchu. A nech je tlaková sila kolmá na povrch, ktorým povrch pôsobí na teleso. Potom na teleso v mieste dotyku s povrchom pôsobí moment trecích síl, ktorý bráni pohybu telesa. Najväčšia hodnota trecieho momentu je:
,
kde δ je koeficient valivého trenia. Má rozmer dĺžky.

Referencie:
S. M. Targ, Krátky kurz teoretická mechanika, absolventská škola“, 2010.

1. Základné pojmy teoretickej mechaniky.

2. Štruktúra kurzu teoretickej mechaniky.

1. Mechanika (v široký zmysel) je veda o pohybe hmotných telies v priestore a čase. Spája množstvo odborov, ktorých predmetom štúdia sú pevné, tekuté a plynné telesá. Teoretická mechanika , Teória pružnosti , Pevnosť materiálov , Mechanika tekutín , Dynamika plynov a Aerodynamika- toto nie je úplný zoznam rôznych sekcií mechaniky.

Ako je zrejmé z ich názvov, líšia sa od seba predovšetkým predmetmi štúdia. Štúdium pohybu najjednoduchších z nich - pevných látok - sa zaoberá teoretickou mechanikou. Jednoduchosť študovaná v teoretická mechanika objektov umožňuje identifikovať najviac všeobecné zákony pohyby, ktoré sú platné pre všetky hmotné telesá bez ohľadu na ich špecifiká fyzikálne vlastnosti. Preto možno teoretickú mechaniku považovať za základ všeobecnej mechaniky.

2. Kurz teoretickej mechaniky pozostáva z troch častí: statika, kinematikaareproduktory .

AT uvažuje sa o statike spoločná doktrína o silách a podmienkach rovnováhy pre tuhé látky sú odvodené.

V kinematike stanovené matematickými spôsobmiúlohy pohybu telies a sú odvodené vzorce, ktoré určujú hlavné charakteristiky tohto pohybu (rýchlosť, zrýchlenie atď.).

V dynamike podľa daného pohybu sa určujú sily, ktoré tento pohyb spôsobujú a naopak podľa daných síl určujú, ako sa teleso pohybuje.

hmotný bod nazývaný geometrický bod, ktorý má hmotnosť.

Systém hmotných bodov nazýva sa taká ich množina, v ktorej poloha a pohyb každého bodu závisí od polohy a pohybu všetkých ostatných bodov daného systému. Často sa nazýva systém hmotných bodov mechanický systém . Špeciálnym prípadom mechanického systému je absolútne tuhé telo.

Absolútne pevné nazýva sa teleso, v ktorom vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi zostáva vždy nezmenená (t. j. ide o absolútne pevné a nedeformovateľné teleso).

zadarmo nazývané tuhé teleso, ktorého pohyb nie je obmedzený inými telesami.

nie zadarmo nazývané teleso, ktorého pohyb tak či onak obmedzujú iné telesá. Tie posledné v mechanike sú tzv spojenia .

Silou zavolajte opatrenie mechanické pôsobenie z jedného tela do druhého. Keďže interakcia telies je určená nielen jej intenzitou, ale aj jej smerom, sila je vektorová veličina a na výkresoch je znázornená ako riadený segment (vektor). Na jednotku sily v systéme SI prijatý newton (N) . Označte silu veľké písmená latinská abeceda(A, S, Z, Y...). Číselné hodnoty(alebo moduly vektorové veličiny) budú označené rovnakými písmenami, ale bez horných šípok (F, S, P, Q...).

siločiara je priamka, pozdĺž ktorej smeruje vektor sily.

Silový systém sa nazýva akákoľvek konečná množina síl pôsobiacich na mechanickú sústavu. Je zvykom rozdeliť sústavy síl na plochý (všetky sily pôsobia v rovnakej rovine) a priestorové . Každý z nich zase môže byť svojvoľný alebo paralelný (čiary pôsobenia všetkých síl sú rovnobežné) príp systém konvergujúcich síl (čiary pôsobenia všetkých síl sa pretínajú v jednom bode).

Dva systémy síl sa nazývajú ekvivalent , ak ich pôsobenie na mechanický systém je rovnaké (t. j. nahradenie jedného systému síl iným nemení charakter pohybu mechanického systému).

Ak je nejaký systém síl ekvivalentný jednej sile, potom sa táto sila nazýva výsledný tento systém síl. Všimnite si, že nie každý systém síl má výslednicu. Nazýva sa sila rovnajúca sa výslednici, ktorá má opačný smer a pôsobí pozdĺž tej istej priamky vyrovnávanie silou.

Sústava síl, pod vplyvom ktorých je voľné tuhé teleso v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro, sa nazýva vyvážené alebo ekvivalentné nule.

vnútorné sily nazývané sily vzájomného pôsobenia medzi hmotnými bodmi jedného mechanického systému.

Vonkajšie sily- sú to sily vzájomného pôsobenia bodov daného mechanického systému s hmotnými bodmi iného systému.

Sila pôsobiaca na teleso v ľubovoľnom bode sa nazýva sústredený .

Volajú sa sily pôsobiace na všetky body daného objemu alebo danej časti povrchu telesa distribuovaný (podľa objemu a povrchu).

Vyššie uvedený zoznam kľúčových pojmov nie je úplný. Zvyšok nie menej dôležité pojmy budú predstavené a spresnené v procese prezentácie učebného materiálu.

Bodová kinematika.

1. Predmet teoretická mechanika. Základné abstrakcie.

Teoretická mechanikaje veda, v ktorej sa študujú všeobecné zákony mechanický pohyb a mechanická interakcia hmotných telies

Mechanický pohybnazývaný pohyb telesa vo vzťahu k inému telesu, vyskytujúci sa v priestore a čase.

Mechanická interakcia sa nazýva taká interakcia hmotných telies, ktorá mení charakter ich mechanického pohybu.

Statika je odbor teoretickej mechaniky, ktorý študuje metódy premeny sústav síl na ekvivalentné systémy a sú stanovené podmienky pre rovnováhu síl pôsobiacich na tuhé teleso.

Kinematika - je odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré sa zaoberá pohyb hmotných telies v priestore s geometrický bod vízie, bez ohľadu na sily, ktoré na ne pôsobia.

Dynamika - Ide o odvetvie mechaniky, ktoré študuje pohyb hmotných telies v priestore v závislosti od síl, ktoré na ne pôsobia.

Predmety štúdia teoretickej mechaniky:

hmotný bod,

systém hmotných bodov,

Absolútne tuhé telo.

Absolútny priestor a absolútny čas sú na sebe nezávislé. Absolútny priestor - trojrozmerný, homogénny, nehybný euklidovský priestor. Absolútny čas - plynie z minulosti do budúcnosti nepretržite, je homogénna, vo všetkých bodoch priestoru rovnaká a nezávisí od pohybu hmoty.

2. Predmet kinematika.

kinematika - je odvetvie mechaniky, ktoré sa zaoberá geometrické vlastnosti pohyb telies bez zohľadnenia ich zotrvačnosti (t.j. hmotnosti) a síl, ktoré na ne pôsobia

Na určenie polohy pohybujúceho sa telesa (alebo bodu) s telom, voči ktorému sa pohyb skúma dané telo, pevne spája nejaký súradnicový systém, ktorý spolu s telom tvorí referenčný systém.

Hlavná úloha kinematiky je pri poznaní zákona o pohybe daného telesa (bodu) určiť všetky kinematické veličiny, ktoré charakterizujú jeho pohyb (rýchlosť a zrýchlenie).

3. Metódy určenia pohybu bodu

· prirodzenou cestou

Malo by byť známe:

trajektória pohybu bodu;

Začiatok a smer počítania;

Zákon pohybu bodu po danej trajektórii v tvare (1.1)

· Súradnicová metóda

Rovnice (1.2) sú pohybové rovnice bodu M.

Rovnicu pre trajektóriu bodu M možno získať odstránením parametra času « t » z rovníc (1.2)

· Vektorový spôsob

(1.3) Vzťah medzi súradnicovými a vektorovými metódami na určenie pohybu bodu (1.4)

Spojenie medzi súradnicovými a prirodzenými spôsobmi špecifikácie pohybu bodu

Určte trajektóriu bodu bez času z rovníc (1.2);

-- nájdite zákon pohybu bodu pozdĺž trajektórie (použite výraz pre oblúkový diferenciál)

Po integrácii dostaneme zákon pohybu bodu po danej trajektórii:

Súvislosť medzi súradnicovou a vektorovou metódou špecifikácie pohybu bodu určuje rovnica (1.4)

4. Určenie rýchlosti bodu vektorovou metódou určenia pohybu.

Nechajte v tejto chvílitpoloha bodu je určená vektorom polomeru a v časet 1 – polomer-vektor , potom na určitý čas bod sa pohne.

(1.5) bodová priemerná rýchlosť, smer vektora je rovnaký ako smer vektora

Bodová rýchlosť v tento momentčas

Ak chcete získať rýchlosť bodu v danom čase, musíte vykonať prechod na limit

(1.6)

(1.7)

Vektor rýchlosti bodu v danom čase sa rovná prvej derivácii vektora polomeru vzhľadom na čas a smeruje tangenciálne k trajektórii v danom bode.

(jednotka¾ m/s, km/h)

Stredný vektor zrýchlenia má rovnaký smer ako vektorΔ v , to znamená, že smeruje ku konkávnosti trajektórie.

Vektor zrýchlenia bodu v danom čase sa rovná prvej derivácii vektora rýchlosti alebo druhej derivácii vektora polomeru bodu vzhľadom na čas.

(jednotka - )

Ako je vektor umiestnený vo vzťahu k trajektórii bodu?

o priamočiary pohyb vektor smeruje pozdĺž priamky, po ktorej sa bod pohybuje. Ak je trajektóriou bodu plochá krivka, potom vektor zrýchlenia , ako aj vektor cp, leží v rovine tejto krivky a smeruje k jej konkávnosti. Ak trajektória nie je rovinná krivka, potom vektor cp bude smerovať ku konkávnosti trajektórie a bude ležať v rovine prechádzajúcej dotyčnicou k trajektórii v bodeM a priamka rovnobežná s dotyčnicou v susednom bodeM 1 . AT limit, keď bodM 1 má tendenciu M táto rovina zaberá polohu takzvanej súvislej roviny. Preto v všeobecný prípad vektor zrýchlenia leží v súvislej rovine a smeruje ku konkávnosti krivky.

Úvod

Teoretická mechanika je jednou z najdôležitejších základných všeobecných vedných disciplín. Hrá zásadnú úlohu pri príprave inžinierov akýchkoľvek špecialít. Všeobecné inžinierske disciplíny vychádzajú z výsledkov teoretickej mechaniky: pevnosť materiálov, časti strojov, teória mechanizmov a strojov a iné.

Hlavnou úlohou teoretickej mechaniky je štúdium pohybu hmotných telies pri pôsobení síl. Dôležitým konkrétnym problémom je štúdium rovnováhy telies pri pôsobení síl.

Prednáškový kurz. Teoretická mechanika

Štruktúra teoretickej mechaniky. Základy statiky

Podmienky rovnováhy svojvoľný systém sily.

Rovnováhy tuhého telesa.

Plochý systém síl.

Jednotlivé prípady rovnováhy tuhého telesa.

Problém rovnováhy tyče.

Stanovenie vnútorných síl v prútových konštrukciách.

Základy bodovej kinematiky.

prirodzené súradnice.

Eulerov vzorec.

Rozloženie zrýchlení bodov tuhého telesa.

Translačné a rotačné pohyby.

Rovinno-paralelný pohyb.

Zložitý pohyb bodu.

Základy bodovej dynamiky.

Diferenciálne pohybové rovnice bodu.

Jednotlivé typy silových polí.

Základy dynamiky sústavy bodov.

Všeobecné teorémy dynamiky sústavy bodov.

Dynamika rotačný pohyb telo.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurz teoretickej mechaniky. M., Vyššia škola, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kurz teoretickej mechaniky 1. a 2. časť. M., Vyššia škola, 1971.

Petkevič V.V. Teoretická mechanika. M., Nauka, 1981.

Zbierka úloh pre ročníkové práce v teoretickej mechanike. Ed. A.A. Yablonsky. M., Vyššia škola, 1985.

Prednáška 1Štruktúra teoretickej mechaniky. Základy statiky

V teoretickej mechanike sa študuje pohyb telies vzhľadom na iné telesá, ktoré sú fyzikálnymi referenčnými systémami.

Mechanika umožňuje nielen opísať, ale aj predpovedať pohyb telies, nadväzovanie príčinných vzťahov v určitom, veľmi širokom spektre javov.

Základné abstraktné modely reálnych telies:

hmotný bod - má hmotnosť, ale nemá rozmery;

absolútne pevný - objem konečných rozmerov, úplne vyplnený hmotou a vzdialenosti medzi ľubovoľnými dvoma bodmi média vypĺňajúceho objem sa počas pohybu nemenia;

kontinuálne deformovateľné médium - vypĺňa konečný objem alebo neobmedzený priestor; vzdialenosti medzi bodmi takéhoto média sa môžu meniť.

Z nich systémy:

Systém voľných hmotných bodov;

Systémy s prípojkami;

Absolútne pevné teleso s dutinou naplnenou kvapalinou atď.

"degenerovaný" modely:

Nekonečne tenké tyče;

Nekonečne tenké dosky;

Beztiažové tyče a nite, ktoré sa spájajú hmotné body, atď.

Zo skúsenosti: mechanické javy prebiehajú na rôznych miestach fyzikálnej referenčnej sústavy odlišne. Táto vlastnosť je nehomogenita priestoru, určená fyzikálnym referenčným systémom. Heterogenita sa tu chápe ako závislosť charakteru výskytu javu od miesta, v ktorom tento jav pozorujeme.

Ďalšou vlastnosťou je anizotropia (neizotropia), pohyb telesa vzhľadom na fyzickú referenčnú sústavu môže byť rôzny v závislosti od smeru. Príklady: tok rieky pozdĺž poludníka (od severu na juh - Volga); let projektilu, Foucaultovo kyvadlo.

Vlastnosti referenčného systému (heterogenita a anizotropia) sťažujú pozorovanie pohybu telesa.

Prakticky oslobodený od tohto geocentrický sústava: stred sústavy je v strede Zeme a sústava sa neotáča voči „pevným“ hviezdam). Geocentrický systém užitočné pri výpočte pohybov na Zemi.

Pre nebeská mechanika(pre telesá slnečnej sústavy): heliocentrická referenčná sústava, ktorá sa pohybuje s ťažiskom slnečná sústava a neotáča sa vzhľadom na "pevné" hviezdy. Pre tento systém zatiaľ nenašli heterogenita a anizotropia priestoru

vo vzťahu k javom mechaniky.

Predstavujeme teda abstrakt zotrvačný referenčný rámec, pre ktorý je priestor homogénny a izotropný vo vzťahu k javom mechaniky.

inerciálna referenčná sústava- taký vlastný pohyb ktoré nemožno objaviť žiadnym mechanickým experimentom. myšlienkový experiment: „bod, ktorý je sám na celom svete“ (izolovaný) je buď v pokoji, alebo sa pohybuje v priamom smere a rovnomerne.

Všetky referenčné sústavy pohybujúce sa vzhľadom k originálu priamočiaro budú rovnomerne zotrvačné. To vám umožní zadať jeden karteziánsky systém súradnice. Takýto priestor je tzv euklidovský.

Podmienený súhlas – zoberte správny súradnicový systém (obr. 1).

AT čas– v klasickej (nerelativistickej) mechanike absolútne, ktorý je rovnaký pre všetky referenčné systémy, to znamená, že počiatočný moment je ľubovoľný. Na rozdiel od relativistickej mechaniky, kde sa uplatňuje princíp relativity.

Pohybový stav systému v čase t je určený súradnicami a rýchlosťami bodov v danom okamihu.

Reálne telesá interagujú a vznikajú sily, ktoré menia stav pohybu systému. Toto je podstata teoretickej mechaniky.

Ako sa študuje teoretická mechanika?

Náuka o rovnováhe množiny telies určitej vzťažnej sústavy – rezu statika.

kapitola kinematika: časť mechaniky, ktorá študuje vzťahy medzi veličinami charakterizujúcimi pohybový stav systémov, ale neuvažuje o príčinách, ktoré spôsobujú zmenu pohybového stavu.

Potom zvážte vplyv síl [HLAVNÁ ČASŤ].

kapitola dynamika: časť mechaniky, ktorá uvažuje o vplyve síl na pohybový stav sústav hmotných objektov.

Zásady stavby hlavného chodu - dynamika:

1) na základe systému axióm (na základe skúseností, pozorovaní);

Neustále - bezohľadná kontrola praxe. Znak exaktnej vedy - prítomnosť vnútornej logiky (bez nej - súbor nesúvisiacich receptov)!

statické nazýva sa tá časť mechaniky, kde sa študujú podmienky, ktoré musia spĺňať sily pôsobiace na sústavu hmotných bodov, aby sústava bola v rovnováhe, a podmienky rovnocennosti sústav síl.

Problémy rovnováhy v elementárnej statike sa budú posudzovať výlučne geometrickými metódami založenými na vlastnostiach vektorov. Tento prístup sa uplatňuje v geometrická statika(na rozdiel od analytickej statiky, ktorá sa tu neuvažuje).

Polohy rôznych hmotných telies budú odkázané na súradnicový systém, ktorý budeme brať ako pevný.

Ideálne modely hmotných telies:

1) hmotný bod - geometrický bod s hmotnosťou.

2) absolútne tuhé teleso - súbor hmotných bodov, ktorých vzdialenosti nemožno meniť žiadnymi činnosťami.

Silami zavoláme objektívne dôvody, ktoré sú výsledkom interakcie hmotných objektov, ktoré sú schopné spôsobiť pohyb telies v stave pokoja alebo zmeniť existujúci pohyb týchto telies.

Keďže sila je určená pohybom, ktorý spôsobuje, má aj relatívny charakter, v závislosti od výberu vzťažnej sústavy.

Zvažuje sa otázka charakteru síl vo fyzike.

Systém hmotných bodov je v rovnováhe, ak v pokoji nedostáva žiadny pohyb od síl, ktoré naň pôsobia.

Z každodennej skúsenosti: sily majú vektorový charakter, to znamená veľkosť, smer, pôsobnosť, miesto pôsobenia. Podmienka rovnováhy síl pôsobiacich na tuhé teleso sa redukuje na vlastnosti sústav vektorov.

Galileo a Newton zhrnuli skúsenosti zo štúdia fyzikálnych zákonov prírody a sformulovali základné zákony mechaniky, ktoré možno považovať za axiómy mechaniky, keďže majú na základe experimentálnych faktov.

Axióma 1. Pôsobenie viacerých síl na bod tuhého telesa je ekvivalentné pôsobeniu jednej výsledná sila, skonštruované podľa pravidla sčítania vektorov (obr. 2).

Dôsledok. Sily pôsobiace na bod tuhého telesa sa sčítajú podľa pravidla rovnobežníka.

axióma 2. Na tuhé teleso pôsobia dve sily vzájomne vyvážené práve vtedy, ak majú rovnakú veľkosť, sú nasmerované v opačných smeroch a ležia na rovnakej priamke.

axióma 3. Pôsobenie sústavy síl na tuhé teleso sa nezmení, ak pridať do tohto systému alebo z neho vypadnúť dve sily rovnakej veľkosti smerujúce dovnútra protiľahlé strany a ležať na rovnakej čiare.

Dôsledok. Sila pôsobiaca na bod tuhého telesa sa môže prenášať po línii pôsobenia sily bez zmeny rovnováhy (to znamená, že sila je posuvný vektor, obr. 3)

1) Aktívne - vytvárajú alebo sú schopné vytvoriť pohyb tuhého tela. Napríklad sila hmotnosti.

2) Pasívne - nevytvárajúce pohyb, ale obmedzujúce pohyb tuhého tela, brániace pohybu. Napríklad sila ťahu neroztiahnuteľnej nite (obr. 4).

axióma 4. Pôsobenie jedného telesa na druhé je rovnaké a opačné ako pôsobenie tohto druhého telesa na prvé ( akcia rovná sa reakcia).

Vyvolajú sa geometrické podmienky, ktoré obmedzujú pohyb bodov spojenia.

Podmienky komunikácie: napr.

- tyč nepriamej dĺžky l.

- pružný neroztiahnuteľný závit dĺžky l.

Sily spôsobené väzbami a brániace pohybu sú tzv reakčné sily.

axióma 5. Väzby uložené na sústave hmotných bodov môžu byť nahradené reakčnými silami, ktorých pôsobenie je ekvivalentné pôsobeniu väzieb.

Keď pasívne sily nedokážu vyvážiť pôsobenie aktívnych síl, pohyb začína.

Dva konkrétne problémy statiky

1. Sústava zbiehajúcich sa síl pôsobiacich na tuhé teleso

Systém konvergujúcich síl nazýva sa taký systém síl, ktorých pôsobisko sa pretína v jednom bode, ktorý možno vždy brať ako počiatok (obr. 5).

Projekcie výsledku:

;

;

.

Ak , potom sila spôsobuje pohyb tuhého telesa.

Podmienka rovnováhy pre konvergentný systém síl:

2. Rovnováha tri mocnosti

Ak na tuhé teleso pôsobia tri sily a akčné čiary dvoch síl sa pretínajú v niektorom bode A, rovnováha je možná vtedy a len vtedy, ak čiara pôsobenia tretej sily prechádza aj bodom A a samotná sila je rovnaká. vo veľkosti a opačne smerované k súčtu (obr. 6).

Príklady:

Moment sily vzhľadom na bod O definovať ako vektor, vo veľkosti rovná sa dvojnásobku plochy trojuholníka, ktorého základňa je vektor sily s vrcholom v danom bode O; smer- kolmé na rovinu uvažovaného trojuholníka v smere, odkiaľ je viditeľná rotácia vyvolaná silou okolo bodu O proti smeru hodinových ručičiek. je moment posuvného vektora a je voľný vektor(obr. 9).

Takže: alebo

,

kde ;;.

Kde F je modul sily, h je rameno (vzdialenosť od bodu k smeru sily).

Moment sily okolo osi sa nazýva algebraická hodnota priemetu na túto os vektora momentu sily vzhľadom na ľubovoľný bod O, braný na os (obr. 10).

Toto je skalár nezávislý od výberu bodu. V skutočnosti rozširujeme :|| a v lietadle.

O momentoch: nech О 1 je priesečník s rovinou. potom:

a) od - okamihu => projekcia = 0.

b) od - moment po => je projekcia.

takze moment okolo osi je moment zložky sily v kolmo na rovinu na os vzhľadom na priesečník roviny a osi.

Varignonova veta pre systém konvergujúcich síl:

Moment výslednej sily pre systém zbiehajúcich sa síl vzhľadom na ľubovoľný bod A sa rovná súčtu momenty všetkých zložiek síl vzhľadom na ten istý bod A (obr. 11).

Dôkaz v teórii konvergentných vektorov.

vysvetlenie: sčítanie síl podľa pravidla rovnobežníka => výsledná sila dáva celkový moment.

Testovacie otázky:

1. Vymenujte hlavné modely reálnych telies v teoretickej mechanike.

2. Formulujte axiómy statiky.

3. Ako sa nazýva moment sily o bode?

Prednáška 2 Podmienky rovnováhy pre ľubovoľný systém síl

Zo základných axióm statiky vyplývajú elementárne operácie so silami:

1) sila sa môže prenášať pozdĺž línie pôsobenia;

2) sily, ktorých akčné čiary sa pretínajú, možno sčítať podľa pravidla rovnobežníka (podľa pravidla sčítania vektorov);

3) k sústave síl pôsobiacich na tuhé teleso možno vždy pridať dve sily rovnakej veľkosti, ležiace na rovnakej priamke a smerujúce v opačných smeroch.

Základné operácie nemenia mechanický stav systému.

Vymenujme dva systémy síl ekvivalent ak jeden od druhého možno získať pomocou elementárnych operácií (ako v teórii posuvných vektorov).

Nazýva sa systém dvoch rovnobežných síl, ktoré majú rovnakú veľkosť a smerujú v opačných smeroch pár síl(obr. 12).

Okamih dvojice síl- vektor, ktorý sa rovná veľkosti plochy rovnobežníka postaveného na vektoroch páru a je nasmerovaný ortogonálne k rovine páru v smere, z ktorého je možné pozorovať rotáciu hlásenú vektormi páru proti smeru hodinových ručičiek.

, teda moment sily okolo bodu B.

Dvojica síl je plne charakterizovaná svojim momentom.

Dvojicu síl je možné preniesť elementárnymi operáciami do akejkoľvek roviny rovnobežnej s rovinou dvojice; meniť veľkosť síl dvojice nepriamo úmerne k ramenám dvojice.

Dvojice síl možno sčítať, pričom momenty dvojíc síl sa sčítajú podľa pravidla sčítania (voľných) vektorov.

Uvedenie sústavy síl pôsobiacich na tuhé teleso do ľubovoľný bod(referenčné centrum)- znamená nahradenie súčasného systému jednoduchším: systém troch sily, z ktorých jedna prechádza vopred daný bod a ďalšie dve predstavujú pár.

Dokazuje sa to pomocou elementárnych operácií (obr.13).

Sústava zbiehajúcich sa síl a sústava dvojíc síl.

- výsledná sila.

Výsledný pár

Čo bolo potrebné ukázať.

Dva systémy síl bude sú ekvivalentné vtedy a len vtedy, ak sú oba systémy redukované na jednu výslednú silu a jeden výsledný pár, to znamená za nasledujúcich podmienok:

Všeobecný prípad rovnováhy sústavy síl pôsobiacich na tuhé teleso

Sústavu síl privedieme na (obr. 14):

Výsledná sila cez pôvod;

Výsledná dvojica navyše cez bod O.

To znamená, že viedli k a - dvom silám, z ktorých jedna prechádza daným bodom O.

Rovnováha, ak je tá druhá priamka rovnaká, smeruje opačne (axióma 2).

Potom prechádza bodom O, tzn.

Takže, Všeobecné podmienky rovnováha tuhého telesa:

Tieto podmienky platia pre ľubovoľný bod v priestore.

Testovacie otázky:

1. Vymenujte základné operácie so silami.

2. Ktoré sústavy síl sa nazývajú ekvivalentné?

3. Napíšte všeobecné podmienky rovnováhy tuhého telesa.

Prednáška 3 Rovnováhy tuhého telesa

Nech O je počiatok súradníc; je výsledná sila; je moment výslednej dvojice. Nech je bod O1 nové centrum odliatok (obr. 15).

Nový silový systém:

Keď sa zmení vrhací bod, => sa zmení iba (v jednom smere s jedným znakom, v druhom s iným). To je pointa: zladiť čiary

Analyticky: (kolinearita vektorov)

; súradnice bodu O1.

Ide o rovnicu priamky, ktorej pre všetky body sa smer výsledného vektora zhoduje so smerom momentu výslednej dvojice – priamka sa nazýva dynamo.

Ak je na osi dynamas => , tak systém je ekvivalentný jednej výslednej sile, ktorá je tzv. výsledná sila systému. V tomto prípade vždy, tzn.

Štyri prípady privedenia síl:

1.) ;- dynamo.

2.) ; - výsledný.

3.) ;- pár.

4.) ;- zostatok.

Dve rovnice vektorovej rovnováhy: hlavný vektor a Hlavným bodom sa rovnajú nule.

Alebo šesť skalárnych rovníc v projekciách na karteziánske súradnicové osi:

Tu:

Zložitosť typu rovníc závisí od výberu redukčného bodu => umenie kalkulačky.

Nájdenie podmienok rovnováhy pre sústavu tuhých telies v interakcii<=>problém rovnováhy každého telesa zvlášť, pričom na teleso pôsobia vonkajšie sily a vnútorné sily (interakcia telies v bodoch dotyku s rovnakými a opačne smerujúcimi silami - axióma IV, obr. 17).

Vyberáme pre všetky telesá sústavy jedno referenčné centrum. Potom pre každé teleso s číslom podmienky rovnováhy:

, , (= 1, 2, …, k)

kde , - výsledná sila a moment výslednej dvojice všetkých síl, okrem vnútorných reakcií.

Výsledná sila a moment výslednej dvojice síl vnútorných reakcií.

Formálne zhrnutie a zohľadnenie axiómy IV

dostaneme nevyhnutné podmienky pre rovnováhu tuhého telesa:

,

Príklad.

Rovnováha: = ?

Testovacie otázky:

1. Vymenujte všetky prípady privedenia sústavy síl do jedného bodu.

2. Čo je to dynamo?

3. Formulujte potrebné podmienky pre rovnováhu sústavy tuhých telies.

Prednáška 4 Plochý systém síl

Špeciálny prípad plnenia všeobecnej úlohy.

Nechajte všetkých aktívnych síl ležať v rovnakej rovine - napríklad list. Zvoľme bod O ako stred zmenšenia - v tej istej rovine. Výslednú silu a výslednú dvojicu dostaneme v rovnakej rovine, teda (obr. 19)

Komentujte.

Systém možno zredukovať na jednu výslednú silu.

Podmienky rovnováhy:

alebo skaláre:

Veľmi bežné v aplikáciách, ako je pevnosť materiálov.

Príklad.

S trením loptičky o dosku a o rovinu. Rovnovážny stav: = ?

Problém rovnováhy nevoľného tuhého telesa.

Pevné teleso sa nazýva nevoľné, ktorého pohyb je obmedzený obmedzeniami. Napríklad iné telesá, zapínanie na pánty.

Pri určovaní podmienok rovnováhy: nevoľné teleso možno považovať za voľné, nahrádzajúce väzby neznámymi reakčnými silami.

Príklad.

Testovacie otázky:

1. Čo sa nazýva plochá sústava síl?

2. Napíšte podmienky rovnováhy pre plochú sústavu síl.

3. Aké pevné teleso sa nazýva neslobodné?

Prednáška 5Špeciálne prípady rovnováhy tuhého telesa

Veta. Tri sily vyrovnávajú tuhé teleso iba vtedy, ak všetky ležia v rovnakej rovine.

Dôkaz.

Ako bod redukcie volíme bod na pôsobisku tretej sily. Potom (obr. 22)

To znamená, že roviny S1 a S2 sa zhodujú a pre akýkoľvek bod na osi sily atď. (Jednoduchšie: v lietadle len pre rovnováhu).

V celej svojej kráse a elegancii. S jeho pomocou Newton kedysi odvodil na základe troch empirické zákony Keplerov zákon univerzálnej gravitácie. Táto téma vo všeobecnosti nie je taká zložitá, je pomerne ľahko pochopiteľná. Je však ťažké prejsť, pretože učitelia sú často strašne vyberaví (napríklad Pavlova). Pri riešení úloh musíte vedieť riešiť difúzy a počítať integrály.

Kľúčové nápady

V skutočnosti je teória mechaniky v tomto kurze aplikáciou variačného princípu na výpočet „pohybu“ rôznych fyzikálnych systémov. Variačným počtom sa stručne zaoberá kurz Integrálne rovnice a variačný počet. Lagrangeove rovnice sú Eulerove rovnice, ktoré sú riešením problému s pevnými koncami.

Jedna úloha sa zvyčajne dá vyriešiť 3 rôznymi metódami naraz:

• Lagrangeova metóda (Lagrangeova funkcia, Lagrangeove rovnice)
• Hamiltonova metóda (Hamiltonova funkcia, Hamiltonove rovnice)
• Hamilton-Jacobiho metóda (Hamilton-Jacobiho rovnica)

Pre konkrétnu úlohu je dôležité vybrať najjednoduchšie z nich.

materiálov

Prvý semester (test)

Základné vzorce

Sledujte vo veľkej veľkosti!

teória

Video nahrávky

Prednášky V.R. Khalilová - Pozor! nie sú zaznamenané všetky prednášky

Druhý semester (skúška)

Treba začať s čím rôzne skupiny Skúška je iná. Zvyčajne Lístok na skúšku pozostáva z 2 teoretických otázok a 1 úlohy. Otázky sú povinné pre každého, no úlohy sa môžete zbaviť obaja (za výbornú prácu v semestri + písomná kontrola), alebo si uchmatnúť jednu navyše (a viacero). Tu sa dozviete o pravidlách hry na seminároch. V skupinách Pavlova a Pimenov sa cvičí teormin, ktorý je akýmsi vstupom na skúšku. Z toho vyplýva, že táto teória musí byť dokonale známa.

Skúška v skupinách Pavlova znie asi takto: Začať lístok 2 otázkami termínu. Na písanie je málo času a kľúčom je napísať to úplne dokonale. Potom k vám bude Olga Serafimovna milá a zvyšok skúšky bude veľmi príjemný. Nasleduje tiket s 2 teoretickými otázkami + n úlohami (v závislosti od vašej práce v semestri). Teória v teórii sa dá odpísať. Úlohy na riešenie. Na skúške je veľa problémov – nie je to koniec, ak ich viete dokonale vyriešiť. To sa dá premeniť na výhodu – za každý bod skúšky získate +, + -, -+ alebo -. Hodnotenie je dané "celkovým dojmom" => ak ti teoreticky nie je všetko ideálne, ale potom to ide 3 + za úlohy, tak všeobecný dojem dobre. Ale ak si bol na skúške bez problémov a teória nie je ideálna, tak to nemá čo uhladiť.

teória

• Júlia. Poznámky z prednášok (2014, pdf) - oba semestre, 2. prúd
• Vstupenky na druhý stream 1. časť (poznámky z prednášky a časť pre vstupenky) (pdf)
• Vstupenky na druhý stream a obsah všetkých týchto častí (pdf)
• Odpovede na lístky 1. prúdu (2016, pdf) - v tlačenej forme, veľmi výhodné
• Uznávaný Theormin na Pimenovskú skupinovú skúšku (2016, pdf) - oba semestre
• Odpovede na theormin pre skupiny Pimenov (2016, pdf) - presné a zjavne bez chýb

Úlohy

• Semináre Pavlova 2. semester (2015, pdf) - úhľadne, krásne a zrozumiteľne napísané
• Úlohy, ktoré môžu byť na skúške (jpg) - raz v nejakom strapatom ročníku boli na 2. prúde, môžu byť relevantné aj pre skupiny V.R. Khalilová ( podobné úlohy dáva na cr)
• Úlohy k lístkom (pdf)- pre oba prúdy (na 2. prúde boli tieto úlohy v skupinách A.B. Pimenova)