Paano mahanap ang LCM (least common multiple)

Ang karaniwang multiple ng dalawang integer ay ang integer na pantay na nahahati ng parehong ibinigay na mga numero nang walang natitira.

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang integer ay ang pinakamaliit sa lahat ng integer na nahahati nang pantay-pantay at walang natitira sa parehong ibinigay na mga numero.

Paraan 1. Maaari mong mahanap ang LCM, sa turn, para sa bawat isa sa mga ibinigay na numero, na isinusulat sa pataas na pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga numero na nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga ito sa 1, 2, 3, 4, at iba pa.

Halimbawa para sa mga numero 6 at 9.
I-multiply namin ang numero 6, sunud-sunod, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin: 6, 12, 18 , 24, 30
I-multiply namin ang numero 9, sunud-sunod, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin ang: 9, 18 , 27, 36, 45
Gaya ng nakikita mo, ang LCM para sa mga numero 6 at 9 ay magiging 18.

Ang pamamaraang ito ay maginhawa kapag ang parehong mga numero ay maliit at ito ay madaling i-multiply ang mga ito sa pamamagitan ng pagkakasunod-sunod ng mga integer. Gayunpaman, may mga pagkakataong kailangan mong hanapin ang LCM para sa dalawang-digit o tatlong-digit na mga numero, at gayundin kapag mayroong tatlo o higit pang mga paunang numero.

Paraan 2. Mahahanap mo ang LCM sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga orihinal na numero sa pangunahing mga kadahilanan.
Pagkatapos ng agnas, kinakailangan na tanggalin mula sa nagresultang serye ng mga pangunahing kadahilanan parehong mga numero. Ang natitirang mga numero ng unang numero ay magiging salik para sa pangalawa, at ang natitirang mga numero ng pangalawang numero ang magiging salik para sa una.

Halimbawa para sa numerong 75 at 60.
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60 ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang gawin ito, nabubulok namin ang 75 at 60 sa mga pangunahing kadahilanan:
75 = 3 * 5 * 5, at
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Tulad ng nakikita mo, ang mga kadahilanan 3 at 5 ay nangyayari sa parehong mga hilera. Sa isip ay "pinutol" natin sila.
Isulat natin ang natitirang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng bawat isa sa mga bilang na ito. Kapag nabubulok ang numero 75, iniwan namin ang numero 5, at kapag nabubulok ang numero 60, iniwan namin ang 2 * 2
Kaya, upang matukoy ang LCM para sa mga numero 75 at 60, kailangan nating i-multiply ang natitirang mga numero mula sa pagpapalawak ng 75 (ito ay 5) sa pamamagitan ng 60, at ang mga numero na natitira mula sa pagpapalawak ng numero 60 (ito ay 2 * 2 ) multiply sa 75. Iyon ay, para sa kadalian ng pag-unawa , sinasabi namin na kami ay multiply "crosswise".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ganito namin nahanap ang LCM para sa mga numerong 60 at 75. Ito ang numerong 300.

Halimbawa. Tukuyin ang LCM para sa mga numero 12, 16, 24
AT kasong ito, ang ating mga aksyon ay magiging mas kumplikado. Ngunit, una, tulad ng dati, nabubulok namin ang lahat ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Upang matukoy nang tama ang LCM, pipiliin namin ang pinakamaliit sa lahat ng mga numero (ito ang numero 12) at sunud-sunod na dumaan sa mga salik nito, tinatawid ang mga ito kung kahit isa sa iba pang mga hanay ng mga numero ay may parehong salik na hindi pa natawid palabas.

Hakbang 1. Nakita namin na ang 2 * 2 ay nangyayari sa lahat ng serye ng mga numero. Tinatawid namin sila.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Hakbang 2. Sa prime factor ng numero 12, ang numero 3 na lang ang natitira. Ngunit ito ay naroroon sa prime factor ng numero 24. Tinatanggal namin ang numero 3 mula sa magkabilang hanay, habang walang inaasahang aksyon para sa numero 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Tulad ng nakikita mo, kapag nabubulok ang numero 12, "pinutol" namin ang lahat ng mga numero. Kaya natapos ang paghahanap ng NOC. Ito ay nananatiling lamang upang kalkulahin ang halaga nito.
Para sa numero 12, kinukuha namin ang natitirang mga kadahilanan mula sa numero 16 (ang pinakamalapit sa pataas na pagkakasunud-sunod)
12 * 2 * 2 = 48
Ito ang NOC

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito, ang paghahanap ng LCM ay medyo mas mahirap, ngunit kapag kailangan mong hanapin ito para sa tatlo o higit pang mga numero, ang pamamaraang ito nagbibigay-daan sa iyo na gawin ito nang mas mabilis. Gayunpaman, ang parehong paraan ng paghahanap ng LCM ay tama.

Isaalang-alang ang tatlong paraan upang mahanap ang least common multiple.

Paghahanap sa pamamagitan ng Factoring

Ang unang paraan ay upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga ibinigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang LCM ng mga numero: 99, 30 at 28. Upang gawin ito, i-decompose natin ang bawat isa sa mga numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan:

Upang ang nais na numero ay mahahati ng 99, 30 at 28, kinakailangan at sapat na kasama nito ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan ng mga divisors na ito. Upang gawin ito, kailangan nating dalhin ang lahat ng mga pangunahing salik ng mga numerong ito sa pinakamataas na nagaganap na kapangyarihan at i-multiply ang mga ito nang sama-sama:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Kaya LCM (99, 30, 28) = 13,860. Walang ibang numerong mas mababa sa 13,860 ang pantay na mahahati ng 99, 30, o 28.

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga ibinigay na numero, kailangan mong i-decompose ang mga ito sa prime factor, pagkatapos ay kunin ang bawat prime factor na may pinakamalaking exponent kung saan ito nangyayari, at i-multiply ang mga salik na ito nang magkasama.

Dahil ang mga coprime na numero ay walang karaniwang prime factor, ang kanilang hindi bababa sa karaniwang multiple ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito. Halimbawa, tatlong numero: 20, 49 at 33 ay coprime. Kaya

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Ang parehong ay dapat gawin kapag naghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng iba't-ibang mga pangunahing numero. Halimbawa, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Paghahanap sa pamamagitan ng pagpili

Ang pangalawang paraan ay ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-angkop.

Halimbawa 1. Kapag ang pinakamalaki sa mga ibinigay na numero ay pantay na nahahati ng iba pang ibinigay na mga numero, kung gayon ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng mas malaki sa kanila. Halimbawa, binigyan ng apat na numero: 60, 30, 10 at 6. Ang bawat isa sa kanila ay nahahati sa 60, samakatuwid:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Sa ibang mga kaso, upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, ang sumusunod na pamamaraan ay ginagamit:

1. Tukuyin ang pinakamalaking bilang mula sa mga ibinigay na numero.
2. Susunod, mahahanap namin ang mga numero na multiple ng pinakamalaking numero, pina-multiply ito sa mga natural na numero sa pataas na pagkakasunud-sunod at sinusuri kung ang natitirang ibinigay na mga numero ay nahahati sa resultang produkto.

Halimbawa 2. Ibinigay ang tatlong numero 24, 3 at 18. Tukuyin ang pinakamalaki sa kanila - ito ang bilang na 24. Susunod, hanapin ang mga multiple ng 24, tingnan kung ang bawat isa sa kanila ay nahahati ng 18 at ng 3:

Ang 24 1 = 24 ay nahahati sa 3 ngunit hindi nahahati ng 18.

24 2 = 48 - mahahati ng 3 ngunit hindi mahahati ng 18.

24 3 \u003d 72 - mahahati ng 3 at 18.

Kaya LCM(24, 3, 18) = 72.

Paghahanap sa pamamagitan ng Sequential Finding LCM

Ang pangatlong paraan ay ang paghahanap ng least common multiple sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap sa LCM.

Ang LCM ng dalawang ibinigay na mga numero ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito na hinati sa kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.

Halimbawa 1. Hanapin ang LCM ng dalawang ibinigay na numero: 12 at 8. Tukuyin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor: GCD (12, 8) = 4. I-multiply ang mga numerong ito:

Hinahati namin ang produkto sa kanilang GCD:

Kaya LCM(12, 8) = 24.

Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, ginagamit ang sumusunod na pamamaraan:

1. Una, ang LCM ng alinman sa dalawa sa mga ibinigay na numero ay matatagpuan.
2. Pagkatapos, ang LCM ng nakitang least common multiple at ang ikatlong ibinigay na numero.
3. Pagkatapos, ang LCM ng nagreresultang hindi bababa sa karaniwang maramihang at ang ikaapat na numero, at iba pa.
4. Kaya nagpapatuloy ang paghahanap sa LCM hangga't may mga numero.

Halimbawa 2. Hanapin ang LCM tatlong datos mga numero: 12, 8 at 9. Ang LCM ng mga numero 12 at 8 ay nakita na natin sa nakaraang halimbawa (ito ang numero 24). Ito ay nananatili upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 24 at ang ikatlong ibinigay na numero - 9. Tukuyin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor: gcd (24, 9) = 3. I-multiply ang LCM sa numero 9:

Hinahati namin ang produkto sa kanilang GCD:

Kaya LCM(12, 8, 9) = 72.

Ang mga expression at gawain sa matematika ay nangangailangan ng maraming karagdagang kaalaman. Ang NOC ay isa sa mga pangunahing, lalo na madalas na ginagamit sa paksa. Ang paksa ay pinag-aaralan sa mataas na paaralan, habang ito ay hindi partikular na mahirap unawain ang materyal, hindi ito magiging mahirap para sa isang taong pamilyar sa mga kapangyarihan at ang multiplication table na pumili ang mga kinakailangang numero at hanapin ang resulta.

Kahulugan

Ang common multiple ay isang numero na maaaring ganap na hatiin sa dalawang numero sa parehong oras (a at b). Kadalasan, ang numerong ito ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng orihinal na mga numerong a at b. Ang numero ay dapat na mahahati ng parehong mga numero nang sabay-sabay, nang walang mga paglihis.

Ang NOC ay ang tinatanggap na termino para sa maikling pamagat, na binuo mula sa mga unang titik.

Mga paraan para makakuha ng numero

Upang mahanap ang LCM, ang paraan ng pagpaparami ng mga numero ay hindi palaging angkop, ito ay mas angkop para sa simpleng isang-digit o dalawang-digit na mga numero. Ito ay kaugalian na hatiin sa mga kadahilanan, kung mas malaki ang bilang, mas maraming mga kadahilanan ang magkakaroon.

Halimbawa #1

Para sa pinakasimpleng halimbawa, ang mga paaralan ay karaniwang kumukuha ng simple, isang-digit o dalawang-digit na mga numero. Halimbawa, kailangan mong lutasin ang sumusunod na gawain, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 7 at 3, ang solusyon ay medyo simple, i-multiply lamang ang mga ito. Bilang isang resulta, mayroong numero 21, walang mas maliit na numero.

Halimbawa #2

Ang pangalawang pagpipilian ay mas mahirap. Ang mga numerong 300 at 1260 ay ibinigay, ang paghahanap ng LCM ay sapilitan. Upang malutas ang gawain, ang mga sumusunod na aksyon ay ipinapalagay:

Decomposition ng una at pangalawang numero sa pinakasimpleng mga kadahilanan. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Nakumpleto na ang unang yugto.

Ang ikalawang yugto ay nagsasangkot ng pagtatrabaho sa nakuha na data. Ang bawat isa sa mga natanggap na numero ay dapat lumahok sa pagkalkula huling resulta. Para sa bawat multiplier, ang pinaka malaking numero mga pangyayari. Ang NOC ay kabuuang bilang, kaya ang mga kadahilanan mula sa mga numero ay dapat na ulitin dito hanggang sa huli, kahit na ang mga naroroon sa isang kopya. Ang parehong mga paunang numero ay nasa kanilang komposisyon ang mga numero 2, 3 at 5, in iba't ibang antas, 7 ay naroroon lamang sa isang kaso.

Upang kalkulahin ang huling resulta, kailangan mong kunin ang bawat numero sa pinakamalaki sa kanilang kinakatawan na kapangyarihan, sa equation. Ito ay nananatiling lamang upang i-multiply at makuha ang sagot, na may tamang pagpuno Ang gawain ay umaangkop sa dalawang hakbang nang walang paliwanag:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Iyon ang buong gawain, kung susubukan mong kalkulahin ang nais na numero sa pamamagitan ng pagpaparami, kung gayon ang sagot ay tiyak na hindi tama, dahil 300 * 1260 = 378,000.

Pagsusuri:

6300 / 300 = 21 - totoo;

6300 / 1260 = 5 ang tama.

Ang kawastuhan ng resulta na nakuha ay natutukoy sa pamamagitan ng pagsuri - paghahati ng LCM sa pareho mga paunang numero, kung ang numero ay isang integer sa parehong mga kaso, kung gayon ang sagot ay tama.

Ano ang ibig sabihin ng NOC sa matematika

Tulad ng alam mo, walang isang walang silbi na pag-andar sa matematika, ang isang ito ay walang pagbubukod. Ang pinakakaraniwang paggamit ng numerong ito ay upang bawasan ang mga fraction sa karaniwang denominador. Ano ang karaniwang pinag-aaralan sa grade 5-6 mataas na paaralan. Ito rin ay isang pangkaraniwang divisor para sa lahat ng multiple, kung ang mga ganitong kondisyon ay nasa problema. Katulad na ekspresyon makakahanap ng maramihang hindi lamang ng dalawang numero, kundi pati na rin ng marami higit pa- tatlo, lima at iba pa. Ang mas maraming mga numero - mas maraming mga aksyon sa gawain, ngunit ang pagiging kumplikado nito ay hindi tumataas.

Halimbawa, ibinigay ang mga numerong 250, 600 at 1500, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuang LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ang halimbawang ito ay naglalarawan ng factorization nang detalyado, nang walang pagbabawas.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Upang makabuo ng isang expression, kinakailangang banggitin ang lahat ng mga kadahilanan, sa kasong ito 2, 5, 3 ay ibinigay - para sa lahat ng mga numerong ito ay kinakailangan upang matukoy ang pinakamataas na antas.

Pansin: ang lahat ng multiplier ay dapat dalhin sa ganap na pagpapasimple, kung maaari, nabubulok sa antas ng mga solong digit.

Pagsusuri:

1) 3000 / 250 = 12 - totoo;

2) 3000 / 600 = 5 - totoo;

3) 3000 / 1500 = 2 ang tama.

Ang pamamaraang ito ay hindi nangangailangan ng anumang mga trick o kakayahan sa antas ng henyo, lahat ay simple at malinaw.

Ibang paraan

Sa matematika, maraming konektado, marami ang maaaring malutas sa dalawa o higit pang mga paraan, ganoon din ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang, LCM. Ang sumusunod na paraan ay maaaring gamitin sa kaso ng simpleng dalawang-digit at iisang digit. Ang isang talahanayan ay pinagsama-sama kung saan ang multiplier ay ipinasok patayo, ang multiplier nang pahalang, at ang produkto ay ipinahiwatig sa intersecting na mga cell ng column. Maaari mong ipakita ang talahanayan sa pamamagitan ng isang linya, ang isang numero ay kinuha at ang mga resulta ng pagpaparami ng numerong ito sa pamamagitan ng mga integer ay nakasulat sa isang hilera, mula 1 hanggang infinity, minsan 3-5 puntos ay sapat, ang pangalawa at kasunod na mga numero ay sumasailalim. sa parehong proseso ng computational. Nangyayari ang lahat hanggang sa matagpuan ang isang common multiple.

Dahil sa mga numerong 30, 35, 42, kailangan mong hanapin ang LCM na nag-uugnay sa lahat ng numero:

1) Multiple ng 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, atbp.

2) Multiple ng 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, atbp.

3) Multiple ng 42: 84, 126, 168, 210, 252, atbp.

Kapansin-pansin na ang lahat ng mga numero ay medyo naiiba, ang karaniwang bilang lamang sa kanila ay 210, kaya ito ang magiging LCM. Kabilang sa mga proseso na nauugnay sa pagkalkula na ito, mayroon ding pinakadakilang karaniwang divisor, na kinakalkula ayon sa magkatulad na mga prinsipyo at madalas na nakatagpo sa mga kalapit na problema. Ang pagkakaiba ay maliit, ngunit sapat na makabuluhan, ang LCM ay nagsasangkot ng pagkalkula ng isang numero na nahahati sa lahat ng data orihinal na mga halaga, at ipinahihiwatig ng GCD ang pagkalkula pinakamalaking halaga kung saan ang mga orihinal na numero ay nahahati.

Ang multiple ay isang numero na nahahati sa binigay na numero walang bakas. Ang least common multiple (LCM) ng isang pangkat ng mga numero ay ang pinakamaliit na bilang na pantay na nahahati ng bawat numero sa pangkat. Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, kailangan mong hanapin ang mga pangunahing kadahilanan ng mga ibinigay na numero. Gayundin, maaaring kalkulahin ang LCM gamit ang ilang iba pang mga pamamaraan na naaangkop sa mga pangkat ng dalawa o higit pang mga numero.

Mga hakbang

Isang bilang ng mga multiple

Tingnan ang mga numerong ito. Ang pamamaraang inilarawan dito ay pinakamahusay na ginagamit kapag ang dalawang numero ay ibinigay, bawat isa ay mas mababa sa 10. Kung ibinigay malalaking numero, gumamit ng ibang paraan.

• Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 5 at 8. Ito ay maliliit na numero, kaya maaaring gamitin ang paraang ito.

1. Ang multiple ng isang numero ay isang numero na nahahati sa isang naibigay na numero nang walang natitira. Maramihang mga numero ay matatagpuan sa multiplication table.

   • Halimbawa, ang mga numero na multiple ng 5 ay: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Isulat ang isang serye ng mga numero na multiple ng unang numero. Gawin ito sa ilalim ng multiple ng unang numero upang paghambingin ang dalawang hanay ng mga numero.

   • Halimbawa, ang mga numero na multiple ng 8 ay: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, at 64.

3. Hanapin ang pinakamaliit na numero na lumilitaw sa parehong serye ng mga multiple. Maaaring kailanganin mong magsulat ng mahabang serye ng mga multiple upang mahanap ang kabuuan. Ang pinakamaliit na numero na lumilitaw sa parehong serye ng mga multiple ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

   • Halimbawa, ang pinakamaliit na bilang, na lumilitaw sa serye ng mga multiple ng 5 at 8, ay ang bilang na 40. Samakatuwid, ang 40 ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 5 at 8.

   Prime factorization

   1. Tingnan ang mga numerong ito. Ang pamamaraang inilarawan dito ay pinakamahusay na ginagamit kapag binigyan ng dalawang numero na parehong mas malaki sa 10. Kung mas maliit na mga numero ang ibinigay, gumamit ng ibang paraan.

      • Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 20 at 84. Ang bawat isa sa mga numero ay mas malaki sa 10, kaya maaaring gamitin ang paraang ito.

   2. I-factor ang unang numero. Iyon ay, kailangan mong hanapin ang gayong mga prime number, kapag pinarami, makakakuha ka ng isang naibigay na numero. Kapag natagpuan ang pangunahing mga kadahilanan, isulat ang mga ito bilang isang pagkakapantay-pantay.

      • Halimbawa, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) at 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Kaya, ang mga pangunahing kadahilanan ng bilang 20 ay ang mga numero 2, 2 at 5. Isulat ang mga ito bilang isang expression: .

   3. I-factor ang pangalawang numero sa prime factor. Gawin ito sa parehong paraan tulad ng pag-factor mo sa unang numero, iyon ay, hanapin ang mga prime number na, kapag pinarami, ay makakakuha ng numerong ito.

      • Halimbawa, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) at 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Kaya, ang mga pangunahing kadahilanan ng numero 84 ay ang mga numero 2, 7, 3 at 2. Isulat ang mga ito bilang isang expression: .

   4. Isulat ang mga salik na karaniwan sa parehong mga numero. Isulat ang mga salik bilang pagpaparami. Habang isinusulat mo ang bawat salik, i-cross out ito sa parehong mga expression (mga expression na naglalarawan sa decomposition ng mga numero sa prime factor).

      • Halimbawa, ang karaniwang kadahilanan para sa parehong mga numero ay 2, kaya isulat 2 × (\displaystyle 2\beses ) at ekis ang 2 sa parehong expression.
      • Ang karaniwang kadahilanan para sa parehong mga numero ay isa pang kadahilanan ng 2, kaya sumulat 2 × 2 (\displaystyle 2\beses 2) at ekis ang pangalawang 2 sa parehong mga expression.

   5. Idagdag ang natitirang mga kadahilanan sa pagpaparami. Ito ang mga salik na hindi natatanggal sa parehong mga expression, iyon ay, mga salik na hindi karaniwan sa parehong mga numero.

      • Halimbawa, sa expression 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\beses 2\beses 5) parehong deuces (2) ay ekis, dahil sila ay karaniwang mga kadahilanan. Ang kadahilanan 5 ay hindi na-cross out, kaya isulat ang pagpaparami ng operasyon tulad ng sumusunod: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5)
      • Sa ekspresyon 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\beses 7\beses 3\beses 2) parehong deuces (2) ay ekis din. Ang mga salik 7 at 3 ay hindi natatanggal, kaya isulat ang pagpaparami bilang sumusunod: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5\beses 7\beses 3).

   6. Kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang. Upang gawin ito, i-multiply ang mga numero sa nakasulat na multiplication operation.

      • Halimbawa, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5\beses 7\beses 3=420). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 84 ay 420.

   Paghahanap ng mga karaniwang divisors

   1. Gumuhit ng grid tulad ng gagawin mo para sa isang laro ng tic-tac-toe. Ang nasabing grid ay binubuo ng dalawang parallel na linya na nagsa-intersect (sa tamang mga anggulo) sa dalawang iba pang parallel na linya. Magreresulta ito sa tatlong row at tatlong column (ang grid ay kamukha ng # sign). Isulat ang unang numero sa unang hanay at ikalawang hanay. Isulat ang pangalawang numero sa unang hanay at ikatlong hanay.

      • Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 18 at 30. Isulat ang 18 sa unang hanay at ikalawang hanay, at isulat ang 30 sa unang hanay at ikatlong hanay.

   2. Hanapin ang divisor na karaniwan sa parehong mga numero. Isulat ito sa unang hanay at unang hanay. Mas mahusay na paghahanap pangunahing divisors, ngunit hindi ito kinakailangan.

      • Halimbawa, 18 at 30 ay Pantay na numero, kaya ang kanilang karaniwang divisor ay 2. Kaya isulat ang 2 sa unang hanay at unang hanay.

   3. Hatiin ang bawat numero sa unang divisor. Isulat ang bawat quotient sa ilalim ng katumbas na numero. Ang quotient ay ang resulta ng paghahati ng dalawang numero.

      • Halimbawa, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), kaya sumulat ng 9 sa ilalim ng 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), kaya sumulat ng 15 sa ilalim ng 30.

   4. Maghanap ng divisor na karaniwan sa parehong quotient. Kung walang ganoong divisor, laktawan ang dalawa mga susunod na hakbang. Kung hindi, isulat ang divisor sa ikalawang hanay at unang hanay.

      • Halimbawa, ang 9 at 15 ay nahahati sa 3, kaya isulat ang 3 sa pangalawang hanay at unang hanay.

   5. Hatiin ang bawat quotient sa pangalawang divisor. Isulat ang bawat resulta ng paghahati sa ilalim ng katumbas na quotient.

      • Halimbawa, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), kaya sumulat ng 3 sa ilalim ng 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), kaya sumulat ng 5 sa ilalim ng 15.

   6. Kung kinakailangan, dagdagan ang grid na may karagdagang mga cell. Ulitin ang mga hakbang sa itaas hanggang sa magkaroon ng karaniwang divisor ang mga quotient.

   7. Bilugan ang mga numero sa unang hanay at huling hilera ng grid. Pagkatapos ay isulat ang mga naka-highlight na numero bilang isang multiplication operation.

      • Halimbawa, ang mga numero 2 at 3 ay nasa unang hanay, at ang mga numero 3 at 5 ay nasa huling hilera, kaya't isulat ang pagpaparami nang ganito: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\beses 3\beses 3\beses 5).

   8. Hanapin ang resulta ng pagpaparami ng mga numero. Kakalkulahin nito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang ibinigay na numero.

      • Halimbawa, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\beses 3\beses 3\beses 5=90). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 18 at 30 ay 90.

   Ang algorithm ni Euclid

   1. Alalahanin ang terminolohiya na nauugnay sa operasyon ng paghahati. Ang dibidendo ay ang bilang na hinahati. Ang divisor ay ang numero kung saan hahatiin. Ang quotient ay ang resulta ng paghahati ng dalawang numero. Ang natitira ay ang numerong natitira kapag hinati ang dalawang numero.

      • Halimbawa, sa expression 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) magpahinga. 3:
        15 ang mahahati
        6 ang divisor
        2 ay pribado
        3 ang natitira.

Isaalang-alang ang solusyon sa sumusunod na problema. Ang hakbang ng lalaki ay 75 cm, at ang hakbang ng babae ay 60 cm. Kailangang hanapin pinakamaikling distansya, kung saan pareho silang nagsasagawa ng integer na bilang ng mga hakbang.

Desisyon. Ang buong landas na dadaanan ng mga lalaki ay dapat na mahahati sa 60 at 70 nang walang natitira, dahil dapat silang gumawa ng isang integer na bilang ng mga hakbang. Sa madaling salita, ang sagot ay dapat na isang multiple ng parehong 75 at 60.

Una, isusulat namin ang lahat ng multiple, para sa numerong 75. Nakukuha namin ang:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Ngayon, isulat natin ang mga numero na magiging multiple ng 60. Nakukuha natin ang:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Ngayon nakita namin ang mga numero na nasa magkabilang row.

• Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero, 300, 600, atbp.

Ang pinakamaliit sa mga ito ay ang bilang na 300. Sa kasong ito, ito ay tatawaging hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60.

Pagbabalik sa kondisyon ng problema, ang pinakamaliit na distansya kung saan ang mga lalaki ay kumuha ng isang integer na bilang ng mga hakbang ay magiging 300 cm. Ang batang lalaki ay pupunta sa ganitong paraan sa 4 na hakbang, at ang babae ay kailangang gumawa ng 5 hakbang.

Paghahanap ng Least Common Multiple

• Ang pinakamaliit na common multiple ng dalawang natural na numero a at b ay ang pinakamaliit natural na numero, na isang multiple ng parehong a at b.

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero, hindi kinakailangang isulat ang lahat ng multiple para sa mga numerong ito nang sunud-sunod.

Maaari mong gamitin ang sumusunod na paraan.

Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang

Una, kailangan mong i-decompose ang mga numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Ngayon isulat natin ang lahat ng mga kadahilanan na nasa pagpapalawak ng unang numero (2,2,3,5) at idagdag dito ang lahat ng nawawalang mga kadahilanan mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero (5).

Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang serye ng mga pangunahing numero: 2,2,3,5,5. Ang produkto ng mga numerong ito ay ang hindi gaanong karaniwang kadahilanan para sa mga numerong ito. 2*2*3*5*5 = 300.

Pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang

• 1. I-decompose ang mga numero sa prime factors.
• 2. Isulat ang mga pangunahing salik na bahagi ng isa sa mga ito.
• 3. Idagdag sa mga salik na ito ang lahat ng nasa decomposition ng iba, ngunit hindi sa napili.
• 4. Hanapin ang produkto ng lahat ng mga salik na nakasulat.

Ang pamamaraang ito ay pangkalahatan. Maaari itong magamit upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng anumang bilang ng mga natural na numero.