Unit vector- ito ay vector, ang absolute value (modulus) kung saan katumbas ng isa. Upang tukuyin ang isang unit vector, gagamitin namin ang subscript e. Kaya, kung ang isang vector ay ibinigay a, kung gayon ang vector ng unit nito ang magiging vector a e. Ang vector ng unit na ito ay tumuturo sa parehong direksyon tulad ng mismong vector a, at ang modulus nito ay katumbas ng isa, iyon ay, isang e \u003d 1.

Obviously, a= a a e (a - modulus ng vector a). Sumusunod ito mula sa panuntunan kung saan isinasagawa ang operasyon ng pagpaparami ng scalar sa isang vector.

Mga vector ng unit madalas na nauugnay sa mga coordinate axes ng coordinate system (sa partikular, sa mga axes ng Cartesian coordinate system). Direksyon ng mga ito mga vector nag-tutugma sa mga direksyon ng kaukulang mga palakol, at ang kanilang mga pinagmulan ay madalas na pinagsama sa pinagmulan ng sistema ng coordinate.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo iyon Cartesian coordinate system sa kalawakan ay tradisyunal na tinatawag na isang triple ng mutually perpendicular axes na nagsasalubong sa isang punto na tinatawag na pinanggalingan. Coordinate axes karaniwang tinutukoy ng mga titik X, Y, Z at tinatawag ayon sa pagkakabanggit ang abscissa axis, ang y-axis at ang applicate axis. Si Descartes mismo ay gumamit lamang ng isang axis, kung saan ang mga abscissas ay naka-plot. merito ng paggamit mga sistema axes ay pag-aari ng kanyang mga mag-aaral. Samakatuwid ang parirala sistemang cartesian mga coordinate mali sa kasaysayan. Mas magandang pag-usapan hugis-parihaba sistema ng coordinate o orthogonal coordinate system. Gayunpaman, hindi namin babaguhin ang mga tradisyon at sa hinaharap ay ipapalagay namin na ang Cartesian at rectangular (orthogonal) coordinate system ay iisa at pareho.

Unit vector Ang , na nakadirekta sa X axis, ay tinutukoy i, unit vector, nakadirekta sa kahabaan ng Y axis, ay tinutukoy j, a unit vector, nakadirekta sa kahabaan ng Z axis, ay tinutukoy k. Mga vector i, j, k tinawag orts(Larawan 12, kaliwa), mayroon silang mga solong module, iyon ay
i = 1, j = 1, k = 1.

mga palakol at orts rectangular coordinate system sa ilang mga kaso mayroon silang iba pang mga pangalan at pagtatalaga. Kaya, ang abscissa axis X ay maaaring tawaging tangent axis, at ang unit vector nito ay tinutukoy τ (Greek maliit na titik tau), ang y-axis ay ang normal na axis, ang unit vector nito ay denoted n, ang applicate axis ay ang axis ng binormal, ang unit vector nito ay denoted b. Bakit papalitan ang mga pangalan kung ang kakanyahan ay nananatiling pareho?

Ang katotohanan ay, halimbawa, sa mekanika, kapag pinag-aaralan ang paggalaw ng mga katawan, ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay madalas na ginagamit. Kaya, kung ang sistema ng coordinate mismo ay hindi gumagalaw, at ang pagbabago sa mga coordinate ng isang gumagalaw na bagay ay sinusubaybayan sa hindi gumagalaw na sistemang ito, kadalasan ang mga axes ay nagpapahiwatig ng X, Y, Z, at ang kanilang orts ayon sa pagkakabanggit i, j, k.

Ngunit madalas, kapag ang isang bagay ay gumagalaw kasama ang ilan curvilinear trajectory(halimbawa, kasama ang isang bilog) mas maginhawang isaalang-alang ang mga mekanikal na proseso sa isang coordinate system na gumagalaw sa bagay na ito. Ito ay para sa isang gumagalaw na sistema ng coordinate na ginagamit ang ibang mga pangalan ng mga axes at ang kanilang mga unit vector. Tanggap na lang. Sa kasong ito, ang X-axis ay nakadirekta nang tangential sa trajectory sa punto kung saan sa sandaling ito ang bagay na ito ay matatagpuan. At pagkatapos ang axis na ito ay hindi na tinatawag na X-axis, ngunit ang tangent axis, at ang unit vector nito ay hindi na tinutukoy. i, a τ . Ang Y axis ay nakadirekta kasama ang radius ng curvature ng trajectory (sa kaso ng paggalaw sa isang bilog - sa gitna ng bilog). At dahil ang radius ay patayo sa tangent, ang axis ay tinatawag na axis ng normal (perpendicular at normal ay ang parehong bagay). Ang ort ng axis na ito ay hindi na tinutukoy j, a n. Ang ikatlong axis (ang dating Z) ay patayo sa dalawang nauna. Ito ay isang binormal na may vector b(Larawan 12, kanan). Sa pamamagitan ng paraan, sa kasong ito hugis-parihaba na sistema mga coordinate madalas na tinutukoy bilang "natural" o natural.

Sa araling ito, titingnan natin ang dalawa pang operasyon na may mga vector: cross product ng mga vectors at pinaghalong produkto ng mga vector (Immediate link para sa mga nangangailangan nito). Okay lang, minsan nangyayari yun para ganap na kaligayahan, Bukod sa tuldok na produkto ng mga vector, parami nang parami ang kailangan. Ganyan ang pagkagumon sa vector. Maaring tila tayo ay umaakyat sa kagubatan analytical geometry. Hindi ito totoo. Sa seksyong ito ng mas mataas na matematika, sa pangkalahatan ay may maliit na kahoy na panggatong, maliban marahil ay sapat para sa Pinocchio. Sa katunayan, ang materyal ay napaka-pangkaraniwan at simple - halos hindi mas mahirap kaysa sa pareho produktong scalar, kahit na karaniwang mga gawain magiging mas kaunti. Ang pangunahing bagay sa analytic geometry, tulad ng makikita o nakita na ng marami, ay HINDI MAGMALI NG PAGKUKULANG. Ulitin tulad ng isang spell, at ikaw ay magiging masaya =)

Kung ang mga vector ay kumikinang sa isang lugar sa malayo, tulad ng kidlat sa abot-tanaw, hindi mahalaga, magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies upang ibalik o muling bilhin pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector. Ang mas handa na mga mambabasa ay maaaring maging pamilyar sa impormasyon nang pili, sinubukan kong kolektahin ang pinaka kumpletong koleksyon ng mga halimbawa na madalas na matatagpuan sa Praktikal na trabaho

Ano ang magpapasaya sa iyo? Noong bata pa ako, nakaka-juggle ako ng dalawa at kahit tatlong bola. Ito ay gumana nang maayos. Ngayon hindi na kailangang mag-juggle, dahil isasaalang-alang natin space vectors lang, at ang mga flat vector na may dalawang coordinate ay maiiwan. Bakit? Ito ay kung paano ipinanganak ang mga pagkilos na ito - vector at pinaghalong produkto ang mga vector ay tinukoy at gumagana sa tatlong-dimensional na espasyo. Mas madali na!

Sa operasyong ito, sa parehong paraan tulad ng sa scalar product, dalawang vector. Hayaan itong mga hindi nasisira na mga titik.

Ang aksyon mismo denoted sa sumusunod na paraan: . Mayroong iba pang mga pagpipilian, ngunit ginamit ko upang tukuyin ang cross product ng mga vectors sa ganitong paraan, sa square bracket may krus.

At kaagad tanong: kung nasa tuldok na produkto ng mga vector dalawang vector ang kasangkot, at dito ang dalawang vector ay pinarami din, pagkatapos ano ang pinagkaiba? Isang malinaw na pagkakaiba, una sa lahat, sa RESULTA:

Ang resulta ng scalar product ng mga vector ay NUMBER:

Ang resulta ng cross product ng mga vectors ay isang VECTOR: , ibig sabihin, pinaparami natin ang mga vector at muling nakakuha ng isang vector. Saradong club. Sa totoo lang, kaya ang pangalan ng operasyon. Sa pagkakaiba panitikang pang-edukasyon ang notasyon ay maaari ding mag-iba, gagamitin ko ang titik .

Kahulugan ng cross product

Una ay magkakaroon ng kahulugan na may larawan, pagkatapos ay magkomento.

Kahulugan: cross product hindi collinear mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, ay tinatawag na VECTOR, haba na ayon sa bilang katumbas ng lugar ng paralelogram, na binuo sa mga vector na ito; vector orthogonal sa mga vector, at itinuro upang ang batayan ay may tamang oryentasyon:

Sinusuri namin ang kahulugan ng mga buto, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na bagay!

Kaya, maaari nating i-highlight ang mga sumusunod na mahahalagang punto:

1) Source vectors , na ipinahiwatig ng mga pulang arrow, ayon sa kahulugan hindi collinear. Nangyayari collinear vectors ito ay angkop na isaalang-alang sa ibang pagkakataon.

2) Kinuha ang mga vector sa mahigpit na pagkakasunod-sunod: – Ang "a" ay pinarami ng "maging", hindi "maging" sa "a". Ang resulta ng pagpaparami ng vector ay VECTOR , na nakasaad sa asul. Kung ang mga vector ay pinarami ng baligtarin ang pagkakasunod-sunod, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang vector na katumbas ng haba at kabaligtaran sa direksyon (kulay ng pulang-pula). Ibig sabihin, ang pagkakapantay-pantay .

3) Ngayon, kilalanin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector. Ito ay lubhang mahalagang punto! Ang LENGTH ng asul na vector (at, samakatuwid, ang crimson vector ) ay numerong katumbas ng AREA ng parallelogram na binuo sa mga vector . Sa figure, ang paralelogram na ito ay may kulay na itim.

Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko, at, siyempre, ang nominal na haba ng cross product ay hindi katumbas ng lugar ng paralelogram.

Naaalala namin ang isa sa mga geometric na formula: ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto mga katabing partido sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila. Samakatuwid, batay sa nabanggit, ang formula para sa pagkalkula ng LENGTH ng isang produkto ng vector ay wasto:

Binibigyang-diin ko na sa formula ay pinag-uusapan natin ang LENGTH ng vector, at hindi ang mismong vector. Ano ang praktikal na kahulugan? At ang kahulugan ay tulad na sa mga problema ng analytic geometry, ang lugar ng isang paralelogram ay madalas na matatagpuan sa pamamagitan ng konsepto ng isang produkto ng vector:

Sandali tayo mahalagang pormula. Ang dayagonal ng parallelogram (pulang may tuldok na linya) ay hinahati ito sa dalawa pantay na tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors (red shading) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

4) Hindi bababa sa mahalagang katotohanan ay ang vector ay orthogonal sa mga vectors, iyon ay, . Siyempre, ang kabaligtaran na nakadirekta na vector (crimson arrow) ay orthogonal din sa orihinal na mga vector .

5) Ang vector ay nakadirekta sa gayon batayan Mayroon itong tama oryentasyon. Sa isang aralin tungkol sa paglipat sa isang bagong batayan Nagsalita ako nang detalyado tungkol sa oryentasyon ng eroplano, at ngayon ay malalaman natin kung ano ang oryentasyon ng espasyo. Ipapaliwanag ko sa iyong mga daliri kanang kamay . Mentally combine hintuturo may vector at hinlalato may vector. Ring finger at kalingkingan pindutin sa iyong palad. Ang resulta hinlalaki - titingnan ang produkto ng vector. Ito ang right-oriented na batayan (ito ay nasa figure). Ngayon palitan ang mga vectors ( index at gitnang daliri ) sa ilang mga lugar, bilang isang resulta, ang hinlalaki ay iikot, at ang produkto ng vector ay titingin na sa ibaba. Ito rin ay isang batayan na nakatuon sa tama. Marahil mayroon kang tanong: anong batayan ang may kaliwang oryentasyon? "Italaga" ang parehong mga daliri kaliwang kamay vectors , at kunin ang kaliwang batayan at kaliwang espasyong oryentasyon (sa kasong ito, ang hinlalaki ay matatagpuan sa direksyon ng mas mababang vector). Sa matalinghagang pagsasalita, ang mga base na ito ay "twist" o i-orient ang espasyo magkaibang panig. At ang konsepto na ito ay hindi dapat ituring na isang bagay na malayo o abstract - halimbawa, ang pinaka-ordinaryong salamin ay nagbabago sa oryentasyon ng espasyo, at kung ikaw ay "hilahin ang nakalarawan na bagay mula sa salamin", kung gayon pangkalahatang kaso hindi maaaring itugma sa orihinal. Sa pamamagitan ng paraan, dalhin ang tatlong daliri sa salamin at pag-aralan ang pagmuni-muni ;-)

... kung gaano kahusay na alam mo na ngayon ang tungkol sa kanan at kaliwa oriented base, kasi grabe ang mga pahayag ng ilang lecturer tungkol sa pagbabago ng oryentasyon =)

Vector na produkto ng collinear vectors

Ang kahulugan ay ginawa nang detalyado, nananatili itong malaman kung ano ang mangyayari kapag ang mga vector ay collinear. Kung ang mga vector ay collinear, maaari silang ilagay sa isang tuwid na linya at ang aming parallelogram ay "tupi" din sa isang tuwid na linya. Ang lugar ng ganoon, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, mabulok paralelogram ay zero. Ang parehong sumusunod mula sa formula - ang sine ng zero o 180 degrees sero, at samakatuwid ang lugar ay zero

Kaya, kung , pagkatapos . Mahigpit na nagsasalita, ang produkto ng vector mismo ay zero vector, ngunit sa pagsasanay ito ay madalas na napapabayaan at nakasulat na ito ay katumbas lamang ng zero.

espesyal na kaso ay ang produkto ng vector ng isang vector at mismo:

Gamit ang cross product, maaari mong suriin ang collinearity ng three-dimensional vectors, at ang gawaing ito bukod sa iba pa, susuriin din natin.

Para sa mga solusyon praktikal na mga halimbawa maaaring kailanganin trigonometriko talahanayan upang mahanap ang mga halaga ng mga sine mula dito.

Buweno, magsimula tayo ng apoy:

Halimbawa 1

a) Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors kung

b) Hanapin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Hindi, hindi ito isang typo, sadyang ginawa kong pareho ang paunang data sa mga item ng kondisyon. Dahil mag-iiba ang disenyo ng mga solusyon!

a) Ayon sa kondisyon, kinakailangang hanapin haba vector (produktong vector). Ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Dahil tinanong ito tungkol sa haba, pagkatapos ay sa sagot ay ipinapahiwatig namin ang dimensyon - mga yunit.

b) Ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap parisukat paralelogram na binuo sa mga vectors. Ang lugar ng parallelogram na ito ay ayon sa bilang na katumbas ng haba ng cross product:

Sagot:

Mangyaring tandaan na sa sagot tungkol sa produkto ng vector ay walang pag-uusap, tinanong kami tungkol sa lugar ng pigura, ayon sa pagkakabanggit, ang dimensyon ay square units.

Palagi naming tinitingnan kung ANO ang kinakailangan upang matagpuan ng kundisyon, at, batay dito, bumalangkas kami malinaw sagot. Maaaring ito ay tila literalismo, ngunit may sapat na mga literalista sa mga guro, at ang gawain na may magandang pagkakataon ay ibabalik para sa rebisyon. Bagaman hindi ito isang partikular na pilit na pag-aalinlangan - kung ang sagot ay mali, kung gayon ang isa ay makakakuha ng impresyon na ang tao ay hindi naiintindihan mga simpleng bagay at / o hindi naunawaan ang kakanyahan ng gawain. Ang sandaling ito ay dapat palaging panatilihing nasa ilalim ng kontrol, paglutas ng anumang problema sa pamamagitan ng mas mataas na matematika at sa iba pang asignatura.

Saan napunta ang malaking letrang "en"? Sa prinsipyo, maaari itong maging karagdagan sa solusyon, ngunit upang paikliin ang rekord, hindi ko ginawa. Umaasa ako na ang lahat ay naiintindihan iyon at ang pagtatalaga ng parehong bagay.

Popular na Halimbawa para sa malayang solusyon:

Halimbawa 2

Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Ang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng produkto ng vector ay ibinibigay sa mga komento sa kahulugan. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa pagsasagawa, ang gawain ay talagang pangkaraniwan, ang mga tatsulok sa pangkalahatan ay maaaring pahirapan.

Upang malutas ang iba pang mga problema, kailangan namin:

Mga katangian ng cross product ng mga vectors

Napag-isipan na namin ang ilang mga katangian ng produkto ng vector, gayunpaman, isasama ko sila sa listahang ito.

Para sa mga arbitrary na vector at isang arbitrary na numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

1) Sa iba pang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang item na ito ay karaniwang hindi naka-highlight sa mga katangian, ngunit ito ay napakahalaga sa sa mga praktikal na termino. Kaya hayaan mo na.

2) - ang ari-arian ay tinalakay din sa itaas, kung minsan ito ay tinatawag anticommutativity. Sa madaling salita, ang pagkakasunud-sunod ng mga vector ay mahalaga.

3) - kumbinasyon o nag-uugnay mga batas ng produkto ng vector. Ang mga constant ay madaling alisin sa mga limitasyon ng produkto ng vector. Talaga, ano ang ginagawa nila doon?

4) - pamamahagi o pamamahagi mga batas ng produkto ng vector. Wala ring problema sa pagbubukas ng mga bracket.

Bilang isang pagpapakita, isaalang-alang ang isang maikling halimbawa:

Halimbawa 3

Hanapin kung

Solusyon: Sa pamamagitan ng kundisyon, muling kinakailangan upang mahanap ang haba ng produkto ng vector. Ipinta natin ang ating miniature:

(1) Ayon sa mga nauugnay na batas, kinukuha namin ang mga constant na lampas sa mga limitasyon ng produkto ng vector.

(2) Inalis namin ang pare-pareho sa module, habang ang module ay "kumakain" ng minus sign. Ang haba ay hindi maaaring negatibo.

(3) Ang mga sumusunod ay malinaw.

Sagot:

Oras na para maghagis ng kahoy sa apoy:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Hanapin ang lugar ng isang tatsulok gamit ang formula . Ang hadlang ay ang mga vector na "ce" at "te" ay kinakatawan mismo bilang mga kabuuan ng mga vector. Ang algorithm dito ay pamantayan at medyo nakapagpapaalaala sa mga halimbawa No. 3 at 4 ng aralin. Tuldok na produkto ng mga vector. Hatiin natin ito sa tatlong hakbang para sa kalinawan:

1) Sa unang hakbang, ipinapahayag namin ang produkto ng vector sa pamamagitan ng produkto ng vector, sa katunayan, ipahayag ang vector sa mga tuntunin ng vector. Wala pang salita sa haba!

(1) Pinapalitan namin ang mga expression ng mga vector .

(2) Gamit ang mga batas sa pamamahagi, buksan ang mga bracket ayon sa tuntunin ng pagpaparami ng mga polynomial.

(3) Gamit ang mga nag-uugnay na batas, inaalis namin ang lahat ng mga constant na lampas sa mga produkto ng vector. Sa kaunting karanasan, ang mga aksyon 2 at 3 ay maaaring isagawa nang sabay-sabay.

(4) Ang una at huling termino ay katumbas ng zero (zero vector) dahil sa kaaya-ayang katangian . Sa pangalawang termino, ginagamit namin ang anticommutativity property ng vector product:

(5) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.

Bilang isang resulta, ang vector ay lumabas na ipinahayag sa pamamagitan ng isang vector, na kung saan ay kung ano ang kinakailangan upang makamit:

2) Sa pangalawang hakbang, nakita namin ang haba ng produkto ng vector na kailangan namin. Ang pagkilos na ito nakapagpapaalaala sa Halimbawa 3:

3) Hanapin ang lugar ng nais na tatsulok:

Ang mga hakbang 2-3 ng solusyon ay maaaring isaayos sa isang linya.

Sagot:

Ang itinuturing na problema ay medyo karaniwan sa kontrol sa trabaho, narito ang isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 5

Hanapin kung

Mabilis na Solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin. Tingnan natin kung gaano ka naging matulungin sa pag-aaral ng mga nakaraang halimbawa ;-)

Cross product ng mga vector sa mga coordinate

, na ibinigay sa orthonormal na batayan, ay ipinahayag ng pormula:

Ang formula ay talagang simple: isinusulat namin ang mga coordinate vectors sa tuktok na linya ng determinant, "i-pack" namin ang mga coordinate ng mga vector sa pangalawa at pangatlong linya, at inilalagay namin sa mahigpit na pagkakasunud-sunod- una, ang mga coordinate ng vector "ve", pagkatapos ay ang mga coordinate ng vector na "double-ve". Kung ang mga vector ay kailangang i-multiply sa ibang pagkakasunud-sunod, ang mga linya ay dapat ding palitan:

Halimbawa 10

Suriin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:
a)
b)

Solusyon: Pagpapatunay batay sa isa sa mga pahayag ang araling ito: kung ang mga vector ay collinear, kung gayon ang kanilang produkto ng vector ay zero (zero vector): .

a) Hanapin ang produkto ng vector:

Kaya ang mga vector ay hindi collinear.

b) Hanapin ang produkto ng vector:

Sagot: a) hindi collinear, b)

Narito, marahil, ang lahat ng pangunahing impormasyon tungkol sa produkto ng vector ng mga vector.

Ang seksyon na ito hindi magiging napakalaki, dahil kakaunti ang mga problema kung saan ginagamit ang pinaghalong produkto ng mga vector. Sa katunayan, ang lahat ay nakasalalay sa kahulugan, geometric na kahulugan at isang pares ng mga gumaganang formula.

Ang pinaghalong produkto ng mga vector ay produkto ng tatlo mga vector:

Ito ay kung paano sila pumila tulad ng isang tren at maghintay, hindi sila maaaring maghintay hanggang sa sila ay kalkulahin.

Una muli ang kahulugan at larawan:

Kahulugan: Pinaghalong produkto hindi koplanar mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, ay tinatawag na dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vector na ito, na nilagyan ng "+" sign kung tama ang batayan, at isang "-" sign kung ang batayan ay naiwan.

Gawin natin ang pagguhit. Ang mga linyang hindi natin nakikita ay iginuhit ng isang tuldok na linya:

Sumisid tayo sa kahulugan:

2) Kinuha ang mga vector sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, iyon ay, ang permutasyon ng mga vector sa produkto, tulad ng maaari mong hulaan, ay hindi napupunta nang walang mga kahihinatnan.

3) Bago magkomento sa geometric na kahulugan, tandaan ko malinaw na katotohanan: ang pinaghalong produkto ng mga vector ay isang NUMBER: . Sa pang-edukasyon na panitikan, ang disenyo ay maaaring medyo naiiba, ginamit ko upang italaga ang isang halo-halong produkto sa pamamagitan ng, at ang resulta ng mga kalkulasyon na may titik na "pe".

Sa pamamagitan ng kahulugan ang pinaghalong produkto ay ang dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vectors (ang figure ay iginuhit na may mga pulang vector at itim na linya). Iyon ay, ang numero ay katumbas ng dami ng ibinigay na parallelepiped.

Tandaan : Ang pagguhit ay eskematiko.

4) Huwag na nating pakialaman muli ang konsepto ng oryentasyon ng batayan at espasyo. Ang kahulugan ng huling bahagi ay maaaring magdagdag ng minus sign sa volume. Sa simpleng salita, ang pinaghalong produkto ay maaaring negatibo: .

Ang formula para sa pagkalkula ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vector ay sumusunod nang direkta mula sa kahulugan.

Kahulugan Isang nakaayos na set ng (x 1 , x 2 , ... , x n) n tunay na mga numero tinawag n-dimensional na vector, at ang mga numero x i (i = ) - mga bahagi o mga coordinate,

Halimbawa. Kung, halimbawa, ang isang partikular na planta ng sasakyan ay kailangang gumawa ng 50 mga sasakyan, 100 trak, 10 bus, 50 set ng ekstrang bahagi para sa mga kotse at 150 set para sa mga trak at mga bus, ang programa ng produksyon ng planta na ito ay maaaring isulat bilang isang vector (50, 100, 10, 50, 150) na may limang bahagi.

Notasyon. Naka-bold ang mga vectors maliit na titik o mga titik na may bar o arrow sa itaas, halimbawa, a o. Ang dalawang vector ay tinatawag pantay kung mayroon sila ang parehong numero component at ang mga kaukulang bahagi nito ay pantay.

Hindi maaaring palitan ang mga bahagi ng vector, hal. (3, 2, 5, 0, 1) at (2, 3, 5, 0, 1) iba't ibang mga vector.
Mga operasyon sa mga vector. trabaho x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) sa isang tunay na numeroλ tinatawag na vectorλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

sumx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) at y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) ay tinatawag na vector x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Ang espasyo ng mga vector. N -dimensional na espasyo ng vector R n ay tinukoy bilang ang set ng lahat ng n-dimensional vectors kung saan ang mga pagpapatakbo ng multiplikasyon sa pamamagitan ng tunay na mga numero at karagdagan.

Ilustrasyon sa ekonomiya. Isang pang-ekonomiyang paglalarawan ng isang n-dimensional na vector space: espasyo ng mga kalakal (kalakal). Sa ilalim kalakal mauunawaan namin ang ilang mga produkto o serbisyo na ibinebenta sa isang tiyak na oras noong tiyak na lugar. Ipagpalagay na mayroong isang tiyak na bilang ng mga kalakal na magagamit n; ang dami ng bawat isa sa kanila na binili ng mamimili ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang hanay ng mga kalakal

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

kung saan ang x i ay nagsasaad ng halaga ng i-th good na binili ng mamimili. Ipagpalagay namin na ang lahat ng mga kalakal ay may pag-aari ng di-makatwirang divisibility, upang ang anumang hindi negatibong dami ng bawat isa sa kanila ay mabibili. Kung gayon ang lahat ng posibleng hanay ng mga kalakal ay mga vector ng espasyo ng mga kalakal C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linear na kalayaan. Sistema e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensional vectors ay tinatawag nakadepende sa linear kung may mga ganyang numeroλ 1 , λ 2 , ... , λ m , kung saan kahit isa ay nonzero, na nakakatugon sa pagkakapantay-pantayλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; kung hindi ang sistemang ito tinatawag na mga vector linearly independent, ibig sabihin, ang pagkakapantay-pantay na ito ay posible lamang sa kaso kapag lahat . geometric na kahulugan linear dependence mga vector sa R 3 , na binibigyang kahulugan bilang nakadirekta na mga segment, ipaliwanag ang mga sumusunod na theorems.

Teorama 1. Ang isang sistema na binubuo ng isang vector ay linearly dependent kung at kung ang vector na ito ay zero.

Teorama 2. Para sa dalawang vector na maging linearly dependent, kinakailangan at sapat na sila ay collinear (parallel).

Teorama 3 . Para sa tatlong vector na maging linearly dependent, ito ay kinakailangan at sapat na sila ay coplanar (nakahiga sa parehong eroplano).

Kaliwa at kanang triple ng mga vector. Isang triple ng mga non-coplanar vector a, b, c tinawag tama, kung ang tagamasid mula sa kanila karaniwang simula pag-bypass sa mga dulo ng mga vector a, b, c sa ayos na iyon ay tila nagpapatuloy sa clockwise. Kung hindi a, b, c -kaliwang triple. Ang lahat ng kanan (o kaliwa) triple ng mga vector ay tinatawag pare-pareho nakatuon.

Batayan at mga coordinate. Troika e 1, e 2 , e 3 non-coplanar vectors sa R 3 ang tumawag batayan, at ang mga vector mismo e 1, e 2 , e 3 - basic. Anumang vector a ay maaaring mapalawak sa isang natatanging paraan sa mga tuntunin ng mga batayan ng mga vector, iyon ay, maaari itong katawanin sa anyo

a= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

ang mga numerong x 1 , x 2 , x 3 sa pagpapalawak (1.1) ay tinatawag mga coordinatea sa batayan e 1, e 2 , e 3 at ipinapahiwatig a(x 1 , x 2 , x 3).

Orthonormal na batayan. Kung ang mga vectors e 1, e 2 , e 3 ay pairwise perpendicular at ang haba ng bawat isa sa kanila ay katumbas ng isa, kung gayon ang batayan ay tinatawag orthonormal, at ang mga coordinate x 1 , x 2 , x 3 - hugis-parihaba. Ang mga batayang vector ng isang orthonormal na batayan ay ipapatala ako, j, k.

Ipagpalagay natin na sa kalawakan R 3 ang tamang sistema ng Cartesian rectangular coordinate (0, ako, j, k}.

produkto ng vector. sining ng vector a bawat vector b tinatawag na vector c, na tinutukoy ng sumusunod na tatlong kundisyon:

1. Haba ng vector c ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng paralelogram na binuo sa mga vectors a at b, i.e.
c= |a||b| kasalanan( a^b).

2. Vector c patayo sa bawat isa sa mga vectors a at b.

3. Mga Vector a, b at c, kinuha sa ganoong pagkakasunud-sunod, bumuo ng tamang triple.

Para sa produkto ng vector c ipinakilala ang pagtatalaga c=[ab] o
c = a × b.

Kung ang mga vectors a at b ay collinear, pagkatapos ay kasalanan( a^b) = 0 at [ ab] = 0, sa partikular, [ aa] = 0. Vector na mga produkto ng orts: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Kung ang mga vectors a at b ibinigay sa batayan ako, j, k mga coordinate a(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), pagkatapos

Pinaghalong trabaho. Kung ang cross product ng dalawang vectors a at b scalar na pinarami ng ikatlong vector c, pagkatapos ay ang naturang produkto ng tatlong vectors ay tinatawag pinaghalong produkto at ipinapahiwatig ng simbolo a bc.

Kung ang mga vectors a, b at c sa batayan ako, j, k itinakda ng kanilang mga coordinate
a(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), pagkatapos

.

Ang halo-halong produkto ay may isang simpleng geometric na interpretasyon - ito ay isang scalar, ayon sa ganap na halaga katumbas ng dami ng parallelepiped na binuo sa tatlong ibinigay na vectors.

Kung ang mga vector ay bumubuo ng isang tamang triple, kung gayon ang kanilang pinaghalong produkto ay isang positibong numero na katumbas ng ipinahiwatig na dami; kung ang tatlo a, b, c - umalis, pagkatapos a b c<0 и V = - a b c, samakatuwid V =|a b c|.

Ang mga coordinate ng mga vector na nakatagpo sa mga problema ng unang kabanata ay ipinapalagay na ibinibigay na may kaugnayan sa tamang orthonormal na batayan. Unit vector codirectional sa vector a, ipinapahiwatig ng simbolo a tungkol sa. Simbolo r=OM tinutukoy ng radius vector ng point M, ang mga simbolo a, AB o|a|, | AB |ang mga module ng mga vector ay tinutukoy a at AB.

Halimbawa 1.2. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector a= 2m+4n at b= m-n, saan m at n- unit vectors at anggulo sa pagitan m at n katumbas ng 120 o.

Solusyon. Mayroon kaming: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, kaya a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, kaya b = . Sa wakas mayroon na tayong: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Halimbawa 1.3.Pag-alam ng mga vector AB(-3,-2.6) at BC(-2,4,4), kalkulahin ang taas AD ng tatsulok na ABC.

Solusyon. Ang pagtukoy sa lugar ng tatsulok na ABC ng S, nakukuha natin:
S = 1/2 B.C. AD. Pagkatapos AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BC, kaya ang vector AC may mga coordinate
. .

Halimbawa 1.4 . Ibinigay ang dalawang vectors a(11,10,2) at b(4,0,3). Hanapin ang unit vector c, orthogonal sa mga vector a at b at itinuro upang ang iniutos na triple ng mga vectors a, b, c ay tama.

Solusyon.Tukuyin natin ang mga coordinate ng vector c na may paggalang sa ibinigay na tamang orthonormal na batayan sa mga tuntunin ng x, y, z.

Dahil ang c ⊥ a, c ⊥b, pagkatapos ca= 0, cb= 0. Sa kondisyon ng problema, kinakailangan na c = 1 at a b c >0.

Mayroon kaming isang sistema ng mga equation para sa paghahanap ng x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Mula sa una at pangalawang equation ng system ay nakukuha natin ang z = -4/3 x, y = -5/6 x. Ang pagpapalit ng y at z sa ikatlong equation, magkakaroon tayo ng: x 2 = 36/125, kung saan
x=± . Gamit ang kundisyon a b c > 0, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

Isinasaalang-alang ang mga expression para sa z at y, muling isinulat namin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo: 625/6 x > 0, kung saan sinusundan nito ang x>0. Kaya x = , y = - , z = - .

7.1. Kahulugan ng cross product

Tatlong non-coplanar vectors a , b at c , na kinuha sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod, ay bumubuo ng right triple kung mula sa dulo ng ikatlong vector c ang pinakamaikling pagliko mula sa unang vector a hanggang sa pangalawang vector b ay makikita na counterclockwise, at isang kaliwa kung clockwise (tingnan ang Fig. 16).

Ang produkto ng vector ng isang vector a at vector b ay tinatawag na vector c, na:

1. Patayo sa mga vectors a at b, ibig sabihin, c ^ a at c ^ b;

2. Ito ay may haba ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng paralelogram na binuo sa mga vectors a atb tulad ng sa mga gilid (tingnan ang fig. 17), i.e.

3. Ang mga vectors a , b at c ay bumubuo ng right triple.

Ang produkto ng vector ay tinutukoy ng isang x b o [a,b]. Mula sa kahulugan ng isang produkto ng vector, ang mga sumusunod na ugnayan sa pagitan ng mga orts ay direktang sinusunod ko, j at k(tingnan ang fig. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Patunayan natin, halimbawa, iyon i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ngunit | ako x j| = |i | |J| kasalanan(90°)=1;

3) mga vector i , j at k bumuo ng isang kanang triple (tingnan ang Fig. 16).

7.2. Mga katangian ng cross product

1. Kapag ang mga kadahilanan ay muling inayos, ang produkto ng vector ay nagbabago ng tanda, i.e. at xb \u003d (b xa) (tingnan ang Fig. 19).

Ang mga vector a xb at b xa ay collinear, may parehong mga module (ang lugar ng parallelogram ay nananatiling hindi nagbabago), ngunit magkasalungat na direksyon (triples a, b, at xb at a, b, b x a ng kabaligtaran na oryentasyon). Yan ay axb = -(bxa).

2. Ang produkto ng vector ay may nag-uugnay na ari-arian na may paggalang sa isang scalar factor, i.e. l ​​​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Hayaan ang l >0. Ang vector l (a xb) ay patayo sa mga vectors a at b. Vector ( l a) x b ay patayo din sa mga vectors a at b(mga vector a, l ngunit nakahiga sa parehong eroplano). Kaya ang mga vectors l(a xb) at ( l a) x b collinear. Obvious naman na magkasabay ang direksyon nila. Sila ay may parehong haba:

kaya lang l(a xb)= l isang xb. Ito ay napatunayang katulad para sa l<0.

3. Dalawang di-zero na vector a at b ay collinear kung at kung ang kanilang produkto ng vector ay katumbas ng zero vector, ibig sabihin, at ||b<=>at xb \u003d 0.

Sa partikular, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Ang produkto ng vector ay may katangian ng pamamahagi:

(a+b) xs = isang xs + b xs .

Tanggapin nang walang patunay.

7.3. Cross product expression sa mga tuntunin ng mga coordinate

Gagamitin namin ang vector cross product table i , j at k:

kung ang direksyon ng pinakamaikling landas mula sa unang vector hanggang sa pangalawa ay tumutugma sa direksyon ng arrow, kung gayon ang produkto ay katumbas ng pangatlong vector, kung hindi ito tumugma, ang ikatlong vector ay kinuha na may minus sign.

Hayaan ang dalawang vectors a =a x i +a y j+az k at b=bx i+sa pamamagitan ng j+bz k. Hanapin natin ang produkto ng vector ng mga vector na ito sa pamamagitan ng pagpaparami sa kanila bilang mga polynomial (ayon sa mga katangian ng produkto ng vector):

Ang resultang pormula ay maaaring maisulat nang mas maikli:

dahil ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (7.1) ay tumutugma sa pagpapalawak ng third-order determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng unang hilera. Ang pagkakapantay-pantay (7.2) ay madaling matandaan.

7.4. Ang ilang mga aplikasyon ng cross product

Pagtatatag ng collinearity ng mga vectors

Paghahanap ng lugar ng isang paralelogram at isang tatsulok

Ayon sa kahulugan ng cross product ng mga vectors a at b |a xb | =| isang | * |b |sin g , ibig sabihin, S par = |a x b |. At, samakatuwid, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Pagtukoy sa sandali ng puwersa tungkol sa isang punto

Hayaang maglapat ng puwersa sa punto A F =AB bumitaw O- ilang punto sa espasyo (tingnan ang Fig. 20).

Ito ay kilala mula sa pisika na metalikang kuwintas F kaugnay sa punto O tinatawag na vector M , na dumadaan sa punto O at:

1) patayo sa eroplano na dumadaan sa mga punto O, A, B;

2) ayon sa bilang na katumbas ng produkto ng puwersa at balikat

3) bumubuo ng tamang triple na may mga vectors OA at A B .

Samakatuwid, M \u003d OA x F.

Paghahanap ng linear na bilis ng pag-ikot

Bilis v point M ng isang matibay na katawan na umiikot sa isang angular na bilis w sa paligid ng isang nakapirming axis, ay tinutukoy ng Euler formula v \u003d w x r, kung saan r \u003d OM, kung saan ang O ay ilang nakapirming punto ng axis (tingnan ang Fig. 21).

Kahulugan. Ang produkto ng vector ng isang vector a (multiplier) ng isang vector (multiplier) na hindi collinear dito ay ang pangatlong vector c (produkto), na itinayo tulad ng sumusunod:

1) ang modulus nito ay katumbas ng numero sa lugar ng parallelogram sa fig. 155), na binuo sa mga vector, ibig sabihin, ito ay katumbas ng direksyon na patayo sa eroplano ng nabanggit na paralelogram;

3) sa kasong ito, ang direksyon ng vector c ay pinili (mula sa dalawang posible) upang ang mga vectors c ay bumuo ng isang kanang kamay na sistema (§ 110).

Pagtatalaga: o

Addendum sa kahulugan. Kung ang mga vector ay collinear, pagkatapos ay isinasaalang-alang ang figure bilang isang (kondisyon) parallelogram, natural na magtalaga ng zero area. Samakatuwid, ang cross product ng collinear vectors ay itinuturing na katumbas ng null vector.

Dahil ang null vector ay maaaring italaga sa anumang direksyon, ang convention na ito ay hindi sumasalungat sa mga aytem 2 at 3 ng kahulugan.

Remark 1. Sa terminong "vector product", ang unang salita ay nagpapahiwatig na ang resulta ng isang aksyon ay isang vector (kumpara sa isang scalar product; cf. § 104, remark 1).

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng vector kung saan ang mga pangunahing vector ng tamang sistema ng coordinate (Fig. 156).

1. Dahil ang mga haba ng pangunahing mga vector ay katumbas ng yunit ng sukat, ang lugar ng parallelogram (parisukat) ay ayon sa bilang na katumbas ng isa. Samakatuwid, ang modulus ng produkto ng vector ay katumbas ng isa.

2. Dahil ang patayo sa eroplano ay ang axis, ang nais na produkto ng vector ay isang vector collinear sa vector k; at dahil pareho silang may modulus 1, ang nais na cross product ay alinman sa k o -k.

3. Sa dalawang posibleng vector na ito, dapat piliin ang una, dahil ang mga vectors ay bumubuo ng isang tamang sistema (at ang mga vector ay bumubuo ng isang kaliwa).

Halimbawa 2. Hanapin ang cross product

Solusyon. Tulad ng halimbawa 1, napagpasyahan namin na ang vector ay alinman sa k o -k. Ngunit ngayon kailangan nating pumili -k, dahil ang mga vector ay bumubuo ng isang tamang sistema (at ang mga vector ay bumubuo ng isang kaliwa). Kaya,

Halimbawa 3. Ang mga vector ay may haba na 80 at 50 cm, ayon sa pagkakabanggit, at bumubuo ng isang anggulo na 30°. Pagkuha ng metro bilang isang yunit ng haba, hanapin ang haba ng produkto ng vector a

Solusyon. Ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector ay katumbas ng Ang haba ng nais na produkto ng vector ay katumbas ng

Halimbawa 4. Hanapin ang haba ng cross product ng parehong mga vector, na kumukuha ng isang sentimetro bilang isang yunit ng haba.

Solusyon. Dahil ang lugar ng parallelogram na binuo sa mga vector ay katumbas ng haba ng produkto ng vector ay 2000 cm, i.e.

Ang paghahambing ng mga halimbawa 3 at 4 ay nagpapakita na ang haba ng vector ay nakasalalay hindi lamang sa mga haba ng mga kadahilanan, kundi pati na rin sa pagpili ng yunit ng haba.

Ang pisikal na kahulugan ng produkto ng vector. Sa maraming pisikal na dami na kinakatawan ng produkto ng vector, isasaalang-alang lamang natin ang sandali ng puwersa.

Hayaan ang A ang punto ng aplikasyon ng puwersa. Ang sandali ng puwersa na nauugnay sa puntong O ay tinatawag na produkto ng vector. Dahil ang module ng produktong vector na ito ay katumbas ng numero sa lugar ng parallelogram (Fig. 157), ang module ng sandali ay katumbas ng produkto ng base sa pamamagitan ng taas, ibig sabihin, ang puwersa na pinarami ng distansya mula sa puntong O hanggang sa tuwid na linya kung saan kumikilos ang puwersa.

Sa mekanika, pinatunayan na para sa balanse ng isang matibay na katawan, kinakailangan na hindi lamang ang kabuuan ng mga vector na kumakatawan sa mga puwersa na inilapat sa katawan, kundi pati na rin ang kabuuan ng mga sandali ng mga puwersa ay dapat na katumbas ng zero. Sa kaso kapag ang lahat ng pwersa ay parallel sa parehong eroplano, ang pagdaragdag ng mga vector na kumakatawan sa mga sandali ay maaaring mapalitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng kanilang moduli. Ngunit para sa mga di-makatwirang direksyon ng mga puwersa, ang gayong kapalit ay imposible. Alinsunod dito, ang cross product ay tiyak na tinukoy bilang isang vector, at hindi bilang isang numero.