Ang pag-asa ng isang variable sa isa pa ay tinatawag functional dependency. Variable dependency y mula sa isang variable x tinawag function, kung ang bawat halaga x tumutugma iisang kahulugan y.

pagtatalaga:

variable x tinatawag na independent variable o argumento, at ang variable y- umaasa. Sabi nila y ay isang function ng x. Ibig sabihin y katumbas itakda ang halaga x, tinawag halaga ng function.

Ang lahat ng mga halaga ay kinakailangan x, anyo saklaw ng function; lahat ng mga halaga na kailangan nito y, anyo hanay ng mga halaga ng function.

Mga pagtatalaga:

D(f)- mga halaga ng argumento. E(f)- mga halaga ng function. Kung ang pag-andar ay ibinigay ng isang formula, kung gayon ito ay itinuturing na ang domain ng kahulugan ay binubuo ng lahat ng mga halaga ng variable kung saan ang formula na ito ay may katuturan.

Function Graph ang hanay ng lahat ng mga punto sa coordinate plane ay tinatawag, ang mga abscissas na kung saan ay katumbas ng mga halaga ng argumento, at ang mga ordinate ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng function. Kung may halaga x=x0 tumugma sa maraming halaga (hindi lang isa) y, kung gayon ang naturang sulat ay hindi isang function. Upang itakda ang mga puntos coordinate na eroplano ay ang graph ng ilang function, ito ay kinakailangan at sapat na ang anumang tuwid na linya na parallel sa Oy axis ay mag-intersect sa graph nang hindi hihigit sa isang punto.

Mga paraan upang magtakda ng isang function

1) Maaaring itakda ang function analitikal sa anyo ng isang pormula. Halimbawa,

2) Ang function ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng isang talahanayan ng maraming mga pares (x; y).

3) Ang function ay maaaring itakda nang graphically. Mga Pares ng Halaga (x; y) ipinapakita sa coordinate plane.

Monotonicity ng function

Function f(x) tinawag dumarami sa isang ibinigay na pagitan ng numero, kung mas malaking halaga ang argument ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function. Isipin na ang isang tiyak na punto ay gumagalaw sa kahabaan ng graph mula kaliwa hanggang kanan. Pagkatapos ang punto ay uri ng "umakyat" sa tsart.

Function f(x) tinawag humihina sa isang ibinigay na numerical interval, kung ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function. Isipin na ang isang tiyak na punto ay gumagalaw sa kahabaan ng graph mula kaliwa hanggang kanan. Kung gayon ang punto ay, kumbaga, "roll" pababa sa tsart.

Tinatawag ang isang function na tumataas o bumababa lamang sa isang ibinigay na numerical interval monotonous sa pagitan na ito.

Mga zero ng function at mga pagitan ng constancy

Mga halaga X, Kung saan y=0, ay tinatawag na mga function na zero. Ito ang mga abscissas ng mga punto ng intersection ng graph ng function na may x-axis.

Ang ganitong mga hanay ng mga halaga x, kung saan ang mga halaga ng function y alinman sa positibo o negatibo lamang ang tinatawag mga pagitan ng sign constancy ng function.

Kahit at kakaibang mga function

Pati function
1) Ang domain ng kahulugan ay simetriko na may kinalaman sa punto (0; 0), iyon ay, kung ang punto a nabibilang sa domain ng kahulugan, pagkatapos ay ang punto -a nabibilang din sa domain ng kahulugan.
2) Para sa anumang halaga x f(-x)=f(x)
3) Graph kahit function simetriko tungkol sa y-axis.

kakaibang function ay may mga sumusunod na katangian:
1) Ang domain ng kahulugan ay simetriko sa punto (0; 0).
2) para sa anumang halaga x, na nabibilang sa domain ng kahulugan, ang pagkakapantay-pantay f(-x)=-f(x)
3) Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan (0; 0).

Hindi lahat ng function ay pantay o kakaiba. Mga pag-andar pangkalahatang pananaw ay hindi pantay o kakaiba.

Mga pana-panahong pag-andar

Function f ay tinatawag na periodic kung mayroong isang bilang na para sa alinman x mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(x)=f(x-T)=f(x+T). T ay ang panahon ng pag-andar.

Ang bawat periodic function ay mayroon walang katapusang set mga panahon. Sa pagsasagawa, ang pinakamaliit na positibong panahon ay karaniwang isinasaalang-alang.

Mga halaga pana-panahong pag-andar ulitin pagkatapos ng pagitan na katumbas ng panahon. Ito ay ginagamit kapag nagpaplano ng mga graph.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at upang mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang publiko. mahahalagang okasyon.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Maraming mga gawain ang humahantong sa amin upang maghanap ng isang hanay ng mga halaga ng pag-andar sa isang partikular na segment o sa buong domain ng kahulugan. Kasama sa mga naturang gawain ang iba't ibang mga pagsusuri ng mga expression, ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Sa artikulong ito, tutukuyin natin ang hanay ng isang function, isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paghahanap nito, at pag-aralan nang detalyado ang solusyon ng mga halimbawa mula sa simple hanggang sa mas kumplikado. Lahat ng materyal ay ibibigay mga graphic na ilustrasyon para sa kaliwanagan. Kaya ang artikulong ito ay isang detalyadong sagot sa tanong kung paano hanapin ang hanay ng isang function.

Kahulugan.

Ang hanay ng mga halaga ng function na y = f(x) sa pagitan ng X tinatawag na set ng lahat ng value ng function na kailangan kapag umuulit sa lahat .

Kahulugan.

Ang saklaw ng function na y = f(x) ay tinatawag na set ng lahat ng mga halaga ng function na kinakailangan kapag umuulit sa lahat ng x mula sa domain ng kahulugan.

Ang saklaw ng function ay tinutukoy bilang E(f) .

Ang hanay ng isang function at ang hanay ng mga halaga ng isang function ay hindi pareho. Ang mga konseptong ito ay ituturing na katumbas kung ang pagitan ng X kapag hinahanap ang hanay ng mga halaga ng function na y = f(x) ay tumutugma sa domain ng function.

Gayundin, huwag malito ang hanay ng function sa variable na x para sa expression sa kanang bahagi ng equation y=f(x) . Rehiyon pinahihintulutang halaga variable x para sa expression na f(x) - ito ang domain ng function na y=f(x) .

Ang figure ay nagpapakita ng ilang mga halimbawa.

Ang mga function graph ay ipinapakita ng mga bold na asul na linya, ang manipis na pulang linya ay mga asymptotes, ang mga pulang tuldok at linya sa Oy axis ay nagpapakita ng hanay ng kaukulang function.

Tulad ng nakikita mo, ang saklaw ng function ay nakuha sa pamamagitan ng pag-project ng graph ng function sa y-axis. Maaari siyang maging isa isahan(unang kaso), hanay ng mga numero (pangalawang kaso), segment (ikatlong kaso), interval (ikaapat na kaso), open beam (ikalimang kaso), unyon (ikaanim na kaso), atbp.

Kaya ano ang kailangan mong gawin upang mahanap ang hanay ng pag-andar.

Magsimula tayo sa pinakadulo simpleng kaso: ipakita kung paano tukuyin ang isang hanay ng mga halaga tuluy-tuloy na pag-andar y = f(x) sa segment .

Ito ay kilala na ang isang function na tuloy-tuloy sa isang segment ay umabot sa maximum at minimum na mga halaga nito. Kaya, ang hanay ng mga halaga orihinal na function magkakaroon ng segment sa segment . Samakatuwid, ang aming gawain ay nabawasan sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan .

Halimbawa, hanapin natin ang hanay ng arcsine function.

Halimbawa.

Tukuyin ang hanay ng function y = arcsinx .

Desisyon.

Ang domain ng kahulugan ng arcsine ay ang segment [-1; isa] . Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa segment na ito.

Ang derivative ay positibo para sa lahat ng x mula sa pagitan (-1; 1), iyon ay, ang arcsine function ay tumataas sa buong domain ng kahulugan. Samakatuwid, ito ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga sa x = -1, at ang pinakamalaking sa x = 1.

Nakuha namin ang hanay ng arcsine function .

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng mga halaga ng function sa segment.

Desisyon.

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa ang segment na ito.

Tukuyin natin ang matinding mga punto, kabilang sa segment :

Kinakalkula namin ang mga halaga ng orihinal na pag-andar sa mga dulo ng segment at sa mga punto :

Samakatuwid, ang hanay ng mga halaga ng function sa segment ay ang segment .

Ngayon ay ipapakita namin kung paano hanapin ang hanay ng mga halaga ng isang tuluy-tuloy na function y = f(x) sa mga pagitan (a; b), .

Una, tinutukoy namin ang mga extremum point, ang extrema ng function, ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function sa isang naibigay na agwat. Susunod, kinakalkula namin sa mga dulo ng agwat at (o) ang mga limitasyon sa infinity (iyon ay, pinag-aaralan namin ang pag-uugali ng function sa mga hangganan ng agwat o sa infinity). Ang impormasyong ito ay sapat na upang mahanap ang hanay ng mga halaga ng pag-andar sa naturang mga agwat.

Halimbawa.

Tukuyin ang hanay ng mga halaga ng function sa pagitan (-2; 2).

Desisyon.

Hanapin natin ang extremum point ng function na bumabagsak sa pagitan (-2; 2):

Dot Ang x = 0 ay ang pinakamataas na punto, dahil ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus kapag dumadaan dito, at ang graph ng function ay napupunta mula sa pagtaas patungo sa pagbaba.

ay ang katumbas na maximum ng function.

Alamin natin ang pag-uugali ng function kapag ang x ay may posibilidad na -2 sa kanan at kapag ang x ay may posibilidad na 2 sa kaliwa, iyon ay, nakikita natin ang isang panig na limitasyon:

Ano ang nakuha namin: kapag ang argument ay nagbago mula -2 hanggang zero, ang mga halaga ng function ay tumataas mula minus infinity hanggang minus one fourth (ang maximum ng function sa x = 0 ), kapag ang argument ay nagbago mula sa zero hanggang 2, ang function bumababa ang mga halaga sa minus infinity. Kaya, ang hanay ng mga halaga ng function sa pagitan (-2; 2) ay .

Halimbawa.

Tukuyin ang hanay ng mga halaga ng tangent function na y = tgx sa pagitan.

Desisyon.

Ang derivative ng tangent function sa pagitan ay positibo , na nagpapahiwatig ng pagtaas sa function. Pinag-aaralan namin ang pag-uugali ng function sa mga hangganan ng agwat:

Kaya, kapag nagbago ang argumento mula sa, ang mga halaga ng function ay tumaas mula sa minus infinity hanggang plus infinity, iyon ay, ang hanay ng mga tangent na halaga sa pagitan na ito ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero.

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng isang function natural na logarithm y = lnx .

Desisyon.

Ang natural na logarithm function ay tinukoy para sa mga positibong halaga ng argumento . Sa pagitan na ito ang derivative ay positibo , ito ay nagpapahiwatig ng pagtaas ng function dito. Hanapin natin ang one-sided na limitasyon ng function dahil ang argument ay may posibilidad na zero mula sa kanan, at ang limitasyon bilang x ay may posibilidad na plus infinity:

Nakikita namin na kapag ang x ay nagbago mula sa zero hanggang plus infinity, ang mga halaga ng function ay tumataas mula sa minus infinity hanggang plus infinity. Samakatuwid, ang saklaw ng natural na logarithm function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero.

Halimbawa.

Desisyon.

Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x. Alamin natin ang mga extremum point, pati na rin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function.

Samakatuwid, ang function ay bumababa sa , tumataas sa , x = 0 ay ang pinakamataas na punto, ang katumbas na maximum ng function.

Tingnan natin ang pag-uugali ng function sa infinity:

Kaya, sa infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa zero.

Nalaman namin na kapag ang argumento ay nagbago mula sa minus infinity hanggang zero (maximum point), ang mga value ng function ay tumataas mula zero hanggang siyam (hanggang sa maximum ng function), at kapag ang x ay nagbago mula sa zero hanggang plus infinity, ang bumababa ang mga halaga ng function mula siyam hanggang zero.

Tingnan ang pagguhit ng eskematiko.

Ngayon ay malinaw na nakikita na ang saklaw ng function ay .

Ang paghahanap ng hanay ng mga halaga ng function na y = f(x) sa mga pagitan ay nangangailangan ng mga katulad na pag-aaral. Hindi na natin tatalakayin nang detalyado ang mga kasong ito. Makikita natin sila sa mga halimbawa sa ibaba.

Hayaang ang domain ng function na y = f(x) ay ang unyon ng ilang mga pagitan. Kapag nahanap ang saklaw ng naturang function, ang mga hanay ng mga halaga sa bawat pagitan ay tinutukoy at ang kanilang unyon ay kinuha.

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng function.

Desisyon.

Ang denominator ng ating function ay hindi dapat pumunta sa zero, iyon ay, .

Una, hanapin natin ang hanay ng mga halaga ng function sa open ray .

Function derivative ay negatibo sa agwat na ito, iyon ay, bumababa ang function dito.

Nalaman namin na habang ang argumento ay may posibilidad na minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa pagkakaisa. Kapag ang x ay nagbabago mula sa minus infinity hanggang dalawa, ang mga halaga ng function ay bumababa mula sa isa hanggang minus infinity, iyon ay, sa isinasaalang-alang na agwat, ang function ay tumatagal ng isang hanay ng mga halaga. Hindi namin isinasama ang pagkakaisa, dahil ang mga halaga ng pag-andar ay hindi umabot dito, ngunit asymptotically lamang ang may posibilidad na ito sa minus infinity.

Pareho kaming kumilos para sa isang bukas na sinag.

Bumababa din ang function sa interval na ito.

Ang hanay ng mga halaga ng function sa pagitan na ito ay ang set .

Kaya, ang nais na hanay ng mga halaga ng function ay ang unyon ng mga hanay at .

Graphic na paglalarawan.

Hiwalay, dapat nating pag-isipan ang mga pana-panahong pag-andar. Ang hanay ng mga pana-panahong pag-andar ay nag-tutugma sa hanay ng mga halaga sa pagitan na naaayon sa panahon ng pagpapaandar na ito.

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng sine function y = sinx .

Desisyon.

Ang function na ito ay panaka-nakang may panahon na dalawang pi. Kumuha tayo ng isang segment at tukuyin ang hanay ng mga halaga dito.

Ang segment ay naglalaman ng dalawang extremum point at .

Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito at sa mga hangganan ng segment, piliin ang pinakamaliit at pinakamataas na halaga:

Kaya naman, .

Halimbawa.

Hanapin ang hanay ng isang function .

Desisyon.

Alam namin na ang hanay ng arccosine ay ang segment mula sa zero hanggang pi, iyon ay, o sa ibang post. Function ay maaaring makuha mula sa arccosx sa pamamagitan ng paglilipat at pag-uunat sa kahabaan ng x-axis. Ang ganitong mga pagbabago ay hindi nakakaapekto sa saklaw, samakatuwid, . Function nanggaling sa na umaabot ng tatlong beses sa kahabaan ng Oy axis, iyon ay, . At ang huling yugto ng mga pagbabagong-anyo ay ang paglilipat ng apat na yunit pababa sa kahabaan ng y-axis. Ito ay humahantong sa amin sa isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Kaya, ang nais na hanay ng mga halaga ay .

Bigyan natin ng solusyon ang isa pang halimbawa, ngunit walang mga paliwanag (hindi sila kinakailangan, dahil ganap silang magkapareho).

Halimbawa.

Tukuyin ang Saklaw ng Pag-andar .

Desisyon.

Sinusulat namin ang orihinal na function sa form . Lugar ng halaga function ng kapangyarihan ay ang span. I.e, . Pagkatapos

Kaya naman, .

Upang makumpleto ang larawan, dapat nating pag-usapan ang paghahanap ng hanay ng isang function na hindi tuloy-tuloy sa domain ng kahulugan. Sa kasong ito, ang domain ng kahulugan ay nahahati sa pamamagitan ng mga break point sa mga pagitan, at nakita namin ang mga hanay ng mga halaga sa bawat isa sa kanila. Ang pagsasama-sama ng nakuha na mga hanay ng mga halaga, nakuha namin ang hanay ng mga halaga ng orihinal na pag-andar. Inirerekomenda namin ang pag-alala

Kadalasan, sa balangkas ng paglutas ng mga problema, kailangan nating maghanap ng isang hanay ng mga halaga ng isang function sa domain ng kahulugan o sa isang segment. Halimbawa, dapat itong gawin kapag nag-solve iba't ibang uri hindi pagkakapantay-pantay, mga pagsusuri sa ekspresyon, atbp.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bilang bahagi ng materyal na ito, sasabihin namin sa iyo kung ano ang saklaw ng isang function, ibigay ang mga pangunahing pamamaraan kung saan maaari itong kalkulahin, at pag-aralan ang mga gawain iba't ibang antas kahirapan. Para sa kalinawan, ang mga indibidwal na posisyon ay inilalarawan ng mga graph. Pagkatapos basahin ang artikulong ito, magkakaroon ka ng komprehensibong pag-unawa sa saklaw ng isang function.

Magsimula tayo sa mga pangunahing kahulugan.

Kahulugan 1

Ang hanay ng mga halaga ng function na y = f (x) sa ilang interval x ay ang hanay ng lahat ng mga halaga na ibinigay na function tumatagal sa enumeration ng lahat ng mga halaga x ∈ X .

Kahulugan 2

Ang hanay ng isang function na y = f (x) ay ang hanay ng lahat ng mga halaga nito na maaaring tumagal kapag umuulit sa mga halaga x mula sa hanay na x ∈ (f) .

Ang saklaw ng ilang function ay karaniwang tinutukoy ng E (f) .

Mangyaring tandaan na ang konsepto ng hanay ng mga halaga ng isang function ay hindi palaging magkapareho sa lugar ng mga halaga nito. Ang mga konseptong ito ay magiging katumbas lamang kung ang hanay ng mga halaga ng x kapag hinahanap ang hanay ng mga halaga ay tumutugma sa domain ng function.

Mahalaga rin na makilala ang pagkakaiba sa pagitan ng saklaw at saklaw ng variable x para sa expression sa kanang bahagi y = f (x) . Ang lugar ng mga katanggap-tanggap na halaga x para sa expression na f (x) ay magiging lugar ng kahulugan ng function na ito.

Nasa ibaba ang isang paglalarawan na nagpapakita ng ilang mga halimbawa. Ang mga asul na linya ay mga graph ng mga function, ang mga pula ay mga asymptotes, ang mga pulang tuldok at mga linya sa y-axis ay ang mga hanay ng function.

Malinaw, ang hanay ng function ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-project ng graph ng function papunta sa axis O y . Kasabay nito, maaari itong maging isang solong numero o isang hanay ng mga numero, isang segment, isang agwat, isang bukas na sinag, isang unyon ng mga numerical na pagitan, atbp.

Isaalang-alang ang mga pangunahing paraan upang mahanap ang hanay ng isang function.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtukoy sa hanay ng mga halaga ng isang tuluy-tuloy na function y = f (x) sa isang partikular na segment, na itinalagang [ a ; b] . Alam natin na ang isang function na tuluy-tuloy sa isang tiyak na pagitan ay umaabot sa pinakamababa at pinakamataas dito, iyon ay, ang pinakamataas na m a x x ∈ a ; b f (x) at ang pinakamaliit na halaga m i n x ∈ a ; b f (x) . Kaya, nakakakuha tayo ng isang segment m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , na maglalaman ng mga hanay ng mga halaga ng orihinal na function. Pagkatapos ang kailangan lang nating gawin ay hanapin ang tinukoy na minimum at maximum na mga puntos sa segment na ito.

Kumuha tayo ng isang problema kung saan kinakailangan upang matukoy ang hanay ng mga halaga ng arcsine.

Halimbawa 1

Kundisyon: hanapin ang hanay y = a r c sin x .

Desisyon

AT pangkalahatang kaso ang domain ng kahulugan ng arcsine ay matatagpuan sa segment [-1; isa ]. Kailangan nating matukoy ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga tinukoy na function Sa kanya.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Alam namin na ang derivative ng function ay magiging positibo para sa lahat ng x values ​​na matatagpuan sa interval [- 1 ; 1 ] , iyon ay, sa buong domain ng kahulugan, ang arcsine function ay tataas. Nangangahulugan ito na kukuha ito ng pinakamaliit na halaga kapag ang x ay katumbas ng - 1, at ang pinakamalaking - kapag ang x ay katumbas ng 1.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Kaya, ang hanay ng arcsine function ay magiging katumbas ng E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Sagot: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

Halimbawa 2

Kundisyon: compute range y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 on ibinigay na segment [ 1 ; 4 ] .

Desisyon

Ang kailangan lang nating gawin ay kalkulahin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa ibinigay na pagitan.

Upang matukoy ang mga extremum point, kinakailangan upang isagawa ang mga sumusunod na kalkulasyon:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 at l at 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2.59 ∈ 1;4

Ngayon hanapin ang mga halaga ibinigay na function sa mga dulo ng segment at mga puntos x 2 \u003d 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga halaga ng function ay matutukoy ng segment 117 - 165 33 512 ; 32 .

Sagot: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Lumipat tayo sa paghahanap ng hanay ng mga halaga ng tuluy-tuloy na pag-andar y = f (x) sa mga pagitan (a ; b) , at a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Magsimula tayo sa kahulugan ng pinakamalaki at pinakamaliit na punto, pati na rin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba sa isang partikular na agwat. Pagkatapos noon, kakailanganin naming kalkulahin ang mga one-sided na limitasyon sa mga dulo ng interval at/o mga limitasyon sa infinity. Sa madaling salita, kailangan nating matukoy ang pag-uugali ng function sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon. Para dito mayroon kaming lahat ng kinakailangang data.

Halimbawa 3

Kundisyon: kalkulahin ang hanay ng function na y = 1 x 2 - 4 sa pagitan (- 2 ; 2) .

Desisyon

Tukuyin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa isang naibigay na pagitan

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Nakuha namin ang pinakamataas na halaga na katumbas ng 0 , dahil sa puntong ito na nagbabago ang tanda ng function at nagsisimulang bumaba ang graph. Tingnan ang paglalarawan:

Ibig sabihin, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 ang magiging maximum na mga halaga mga function.

Ngayon tukuyin natin ang pag-uugali ng function para sa naturang x, na may posibilidad na - 2 s kanang bahagi at k + 2 sa kaliwang bahagi. Sa madaling salita, nakakahanap kami ng mga one-sided na limitasyon:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Nakuha namin na ang mga halaga ng function ay tataas mula sa minus infinity hanggang - 1 4 kapag ang argument ay nagbago mula - 2 hanggang 0 . At kapag nagbago ang argumento mula 0 hanggang 2 , bumababa ang mga halaga ng function patungo sa minus infinity. Samakatuwid, ang hanay ng mga halaga ng ibinigay na function sa pagitan na kailangan natin ay magiging (- ∞ ; - 1 4 ] .

Sagot: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Halimbawa 4

Kundisyon: ipahiwatig ang hanay ng mga halaga y = t g x sa ibinigay na pagitan - π 2 ; π 2 .

Desisyon

Alam natin na, sa pangkalahatan, ang derivative ng tangent sa - π 2; Ang π 2 ay magiging positibo, iyon ay, ang pag-andar ay tataas. Ngayon, tukuyin natin kung paano kumikilos ang function sa loob ng ibinigay na mga hangganan:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Nakuha namin ang pagtaas sa mga halaga ng function mula sa minus infinity hanggang plus infinity kapag nagbago ang argumento mula - π 2 hanggang π 2, at masasabi nating ang hanay ng mga solusyon ng function na ito ay ang set ng lahat ng tunay. numero.

Sagot: - ∞ ; + ∞ .

Halimbawa 5

Kundisyon: tukuyin kung ano ang hanay ng natural logarithm function y = ln x .

Desisyon

Alam namin na ang function na ito ay tinukoy para sa mga positibong halaga argumento D (y) = 0 ; +∞ . Ang derivative sa ibinigay na pagitan ay magiging positibo: y " = ln x " = 1 x . Nangangahulugan ito na ang pag-andar ay tumataas dito. Susunod, kailangan nating tukuyin ang isang panig na limitasyon para sa kaso kapag ang argument ay napupunta sa 0 (sa kanang bahagi) at kapag ang x ay napupunta sa infinity:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Nalaman namin na ang mga halaga ng function ay tataas mula minus infinity hanggang plus infinity habang nagbabago ang mga halaga ng x mula sa zero hanggang plus infinity. Nangangahulugan ito na ang hanay ng lahat ng tunay na numero ay ang hanay ng natural na logarithm function.

Sagot: ang hanay ng lahat ng tunay na numero ay ang hanay ng natural na logarithm function.

Halimbawa 6

Kundisyon: tukuyin kung ano ang hanay ng function na y = 9 x 2 + 1 .

Desisyon

Ang function na ito ay tinukoy sa kondisyon na ang x ay isang tunay na numero. Kalkulahin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng pag-andar, pati na rin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba nito:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Bilang resulta, natukoy namin na ang function na ito ay bababa kung x ≥ 0; dagdagan kung x ≤ 0 ; ito ay may pinakamataas na punto y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 kapag ang variable ay 0 .

Tingnan natin kung paano kumikilos ang function sa infinity:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Makikita mula sa talaan na ang mga halaga ng function sa kasong ito ay asymptotically lalapit sa 0.

Upang ibuod: kapag ang argument ay nagbago mula sa minus infinity hanggang zero, ang mga halaga ng function ay tumaas mula 0 hanggang 9 . Habang ang mga halaga ng argumento ay napupunta mula 0 hanggang plus infinity, ang mga katumbas na halaga ng function ay bababa mula 9 hanggang 0 . Inilarawan namin ito sa figure:

Ipinapakita nito na ang hanay ng function ay ang pagitan E (y) = (0 ; 9 ]

Sagot: E (y) = (0 ; 9 ]

Kung kailangan nating matukoy ang hanay ng mga halaga ng function na y = f (x) sa mga pagitan [ a ; b), (a ; b ] , [ a ; + ∞), (- ∞ ; b ] , pagkatapos ay kakailanganin nating magsagawa ng eksaktong parehong mga pag-aaral. Hindi pa natin susuriin ang mga kasong ito: sasalubungin natin ang mga ito sa mga problema. .

Ngunit paano kung ang domain ng isang tiyak na function ay ang unyon ng ilang mga pagitan? Pagkatapos ay kailangan nating kalkulahin ang mga hanay ng mga halaga sa bawat isa sa mga agwat na ito at pagsamahin ang mga ito.

Halimbawa 7

Kundisyon: tukuyin kung ano ang magiging hanay ng y = x x - 2 .

Desisyon

Dahil ang denominator ng function ay hindi dapat gawing 0 , kung gayon D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtukoy sa hanay ng mga halaga ng function sa unang segment - ∞ ; 2, na isang bukas na sinag. Alam namin na ang function dito ay bababa, iyon ay, ang derivative ng function na ito ay magiging negatibo.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Pagkatapos, sa mga kasong iyon kung saan nagbabago ang argumento patungo sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lalapit sa 1 . Kung ang mga halaga ng x ay nagbabago mula sa minus infinity hanggang 2, ang mga halaga ay bababa mula 1 hanggang minus infinity, i.e. ang function sa segment na ito ay kukuha ng mga halaga mula sa pagitan - ∞ ; isa. Ibinubukod namin ang pagkakaisa mula sa aming pangangatwiran, dahil ang mga halaga ng pag-andar ay hindi umabot dito, ngunit asymptotically lamang na lumapit dito.

Para sa bukas na sinag 2; + ∞ ginagawa namin ang eksaktong parehong mga aksyon. Ang pag-andar dito ay bumababa din:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Ang mga halaga ng function sa segment na ito ay tinutukoy ng set 1; +∞ . Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga halaga ng function na tinukoy sa kundisyong kailangan namin ay ang unyon ng mga set - ∞; 1 at 1; +∞ .

Sagot: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .

Ito ay makikita sa tsart:

Ang isang espesyal na kaso ay ang mga pana-panahong pag-andar. Ang kanilang lugar ng halaga ay tumutugma sa hanay ng mga halaga sa pagitan na tumutugma sa panahon ng pagpapaandar na ito.

Halimbawa 8

Kundisyon: tukuyin ang hanay ng sine y = sin x .

Desisyon

Ang Sine ay tumutukoy sa isang periodic function, at ang period nito ay 2 pi. Kumuha kami ng isang segment 0; 2 π at tingnan kung ano ang magiging hanay ng mga halaga dito.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Sa loob ng 0 ; 2 π ang function ay magkakaroon ng matinding puntos π 2 at x = 3 π 2 . Kalkulahin natin kung ano ang magiging katumbas ng mga halaga ng function sa kanila, pati na rin sa mga hangganan ng segment, pagkatapos nito pipiliin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Sagot: E (sinx) = - 1 ; isa.

Kung kailangan mong malaman ang mga saklaw ng mga function tulad ng exponential, exponential, logarithmic, trigonometric, inverse trigonometric, pagkatapos ay ipinapayo namin sa iyo na muling basahin ang artikulo tungkol sa pangunahing elementarya na pag-andar. Ang teorya na ipinakita namin dito ay nagpapahintulot sa amin na subukan ang mga halaga na tinukoy doon. Ito ay kanais-nais na matutunan ang mga ito, dahil sila ay madalas na kinakailangan sa paglutas ng mga problema. Kung alam mo ang mga saklaw ng mga pangunahing pag-andar, madali mong mahahanap ang mga saklaw ng mga pag-andar na nakuha mula sa mga elementarya gamit ang isang geometric na pagbabagong-anyo.

Halimbawa 9

Kundisyon: tukuyin ang hanay y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7-4 .

Desisyon

Alam namin na ang segment mula 0 hanggang pi ay ang hanay ng inverse cosine. Sa madaling salita, E (a r c cos x) = 0 ; π o 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Makukuha natin ang function na a r c cos x 3 + 5 π 7 mula sa arc cosine sa pamamagitan ng paglilipat at pag-stretch nito kasama ang O x axis, ngunit ang gayong mga pagbabago ay hindi magbibigay sa atin ng anuman. Kaya naman, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Ang function na 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ay maaaring makuha mula sa inverse cosine a r c cos x 3 + 5 π 7 sa pamamagitan ng pag-stretch sa kahabaan ng y-axis, i.e. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Ang panghuling pagbabago ay isang shift kasama ang O y axis ng 4 na halaga. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Nakuha namin na ang hanay na kailangan namin ay magiging katumbas ng E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Sagot: E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Sumulat tayo ng isa pang halimbawa nang walang mga paliwanag, dahil ito ay ganap na katulad ng nauna.

Halimbawa 10

Kundisyon: kalkulahin kung ano ang magiging hanay ng function na y = 2 2 x - 1 + 3 .

Desisyon

Isulat muli ang function na ibinigay sa kondisyon bilang y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3 . Para sa isang power function y = x - 1 2 ang range ay tutukuyin sa interval 0 ; + ∞ , ibig sabihin. x - 1 2 > 0 . Sa kasong ito:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Kaya E (y) = 3 ; +∞ .

Sagot: E (y) = 3 ; +∞ .

Ngayon tingnan natin kung paano hanapin ang hanay ng isang function na hindi tuloy-tuloy. Upang gawin ito, kailangan nating hatiin ang buong lugar sa mga agwat at hanapin ang mga hanay ng mga halaga sa bawat isa sa kanila, at pagkatapos ay pagsamahin kung ano ang mayroon tayo. Upang mas maunawaan ito, ipinapayo namin sa iyo na suriin ang mga pangunahing uri ng mga breakpoint ng function.

Halimbawa 11

Kundisyon: binigyan ng function na y = 2 sin x 2-4 , x ≤ - 3-1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Kalkulahin ang saklaw nito.

Desisyon

Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng x. Suriin natin ito para sa pagpapatuloy ng mga halaga ng argumento na katumbas ng - 3 at 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Mayroon kaming hindi mababawi na pagkaputol ng unang uri na may halaga ng argumento - 3 . Habang papalapit ka dito, ang mga halaga ng function ay may posibilidad na - 2 sin 3 2-4 , at habang ang x ay may posibilidad na - 3 sa kanang bahagi, ang mga halaga ay may posibilidad na - 1 .

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Mayroon kaming hindi matatanggal na pagkaputol ng pangalawang uri sa punto 3. Kapag ang pag-andar ay may kaugaliang ito, ang mga halaga nito ay lumalapit - 1, habang nagpapatuloy sa parehong punto sa kanan - sa minus infinity.

Nangangahulugan ito na ang buong domain ng kahulugan ng function na ito ay nahahati sa 3 pagitan (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Sa una sa kanila, nakuha namin ang function na y \u003d 2 sin x 2 - 4. Dahil - 1 ≤ sin x ≤ 1 , nakukuha natin ang:

1 ≤ kasalanan x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Nangangahulugan ito na sa pagitan na ito (- ∞ ; - 3 ] ang hanay ng mga halaga ng function ay [ - 6 ; 2 ] .

Sa kalahating pagitan (- 3 ; 3 ] ito pala patuloy na pag-andar y = - 1 . Samakatuwid, ang buong hanay ng mga halaga nito sa kasong ito ay mababawasan sa isang solong numero - 1.

Sa ikalawang pagitan 3; + ∞ mayroon tayong function na y = 1 x - 3 . Ito ay bumababa dahil y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Samakatuwid, ang hanay ng mga halaga ng orihinal na function para sa x > 3 ay ang set 0 ; +∞ . Ngayon pagsamahin natin ang mga resulta: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Sagot: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Ang solusyon ay ipinapakita sa graph:

Halimbawa 12

Kundisyon: mayroong isang function y = x 2 - 3 e x . Tukuyin ang hanay ng mga halaga nito.

Desisyon

Ito ay tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng argumento na tunay na mga numero. Tukuyin natin kung anong mga pagitan ang tataas ng function na ito, at kung saan ito bababa:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Alam natin na ang derivative ay magiging 0 kung x = - 1 at x = 3 . Inilalagay namin ang dalawang puntong ito sa axis at alamin kung anong mga palatandaan ang magkakaroon ng derivative sa mga magreresultang agwat.

Ang function ay bababa ng (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) at tataas ng [ - 1 ; 3]. Ang pinakamababang punto ay magiging - 1 , maximum - 3 .

Ngayon hanapin natin ang kaukulang mga halaga ng function:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Tingnan natin ang pag-uugali ng function sa infinity:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Upang kalkulahin ang pangalawang limitasyon, ginamit ang panuntunan ng L'Hopital. I-plot natin ang ating solusyon sa isang graph.

Ipinapakita nito na ang mga halaga ng function ay bababa mula sa plus infinity hanggang - 2 e kapag ang argument ay nagbago mula sa minus infinity hanggang - 1 . Kung magbabago ito mula 3 hanggang plus infinity, bababa ang mga value mula 6 e - 3 hanggang 0, ngunit hindi maaabot ang 0.

Kaya, E (y) = [ - 2 e ; +∞) .

Sagot: E (y) = [ - 2 e ; +∞)

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Tingnan natin kung paano galugarin ang isang function gamit ang isang graph. Lumalabas na ang pagtingin sa graph, maaari mong malaman ang lahat ng bagay na interesado sa amin, lalo na:

• saklaw ng function
• saklaw ng pag-andar
• mga function na zero
• mga panahon ng pagtaas at pagbaba
• mataas at mababang puntos
• ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa segment.

Linawin natin ang terminolohiya:

Abscissa ay ang pahalang na coordinate ng punto.
Mag-orden- patayong coordinate.
abscissa - pahalang na aksis, pinakakaraniwang tinutukoy bilang ang axis.
Y-axis- vertical axis, o axis.

Pangangatwiran ay isang malayang variable kung saan nakasalalay ang mga halaga ng function. Kadalasang ipinahiwatig.
Sa madaling salita, tayo mismo ang pumili , pumalit sa formula ng function at makakuha ng .

Domain function - ang hanay ng mga (at ang mga lamang) na halaga ng argumento kung saan umiiral ang function.
Tinutukoy: o .

Sa aming figure, ang domain ng function ay isang segment. Sa segment na ito iginuhit ang graph ng function. Dito lang umiiral ang function na ito.

Saklaw ng pag-andar ay ang hanay ng mga halaga na kinukuha ng variable. Sa aming figure, ito ay isang segment - mula sa pinakamababa hanggang sa pinakamataas na halaga.

Mga function na zero- mga punto kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero, ibig sabihin. Sa aming figure, ito ang mga punto at .

Ang mga halaga ng pag-andar ay positibo saan . Sa aming figure, ito ang mga pagitan at .
Ang mga halaga ng pag-andar ay negatibo saan . Mayroon kaming ganitong interval (o interval) mula hanggang.

Mga Pangunahing Konsepto - pagtaas at pagbaba ng function sa ilang set. Bilang isang set, maaari kang kumuha ng segment, interval, unyon ng interval, o buong number line.

Function nadadagdagan

Sa madaling salita, mas marami , mas marami , ibig sabihin, ang graph ay papunta sa kanan at pataas.

Function bumababa sa set kung para sa alinman at kabilang sa set ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay .

Para sa isang bumababa na function, ang isang mas malaking halaga ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga. Pakanan at pababa ang graph.

Sa aming figure, ang function ay tumataas sa pagitan at bumababa sa pagitan at .

Tukuyin natin kung ano ang maximum at minimum na puntos ng function.

Pinakamataas na punto- ito ay isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas malaki kaysa sa lahat ng mga puntong sapat na malapit dito.
Sa madaling salita, ang pinakamataas na punto ay tulad ng isang punto, ang halaga ng function kung saan higit pa kaysa sa mga kapitbahay. Ito ay isang lokal na "burol" sa tsart.

Sa aming figure - ang pinakamataas na punto.

Mababang punto- isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas mababa kaysa sa lahat ng mga puntong sapat na malapit dito.
Iyon ay, ang pinakamababang punto ay tulad na ang halaga ng pag-andar sa loob nito ay mas mababa kaysa sa mga kalapit. Sa graph, ito ay isang lokal na "butas".

Sa aming figure - ang pinakamababang punto.

Ang punto ay ang hangganan. Hindi siya panloob na punto domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi umaangkop sa kahulugan ng isang pinakamataas na punto. Kung tutuusin, wala siyang kapitbahay sa kaliwa. Sa parehong paraan, maaaring walang pinakamababang punto sa aming tsart.

Ang maximum at minimum na mga puntos ay sama-samang tinatawag matinding mga punto ng pag-andar. Sa aming kaso, ito ay at .

Ngunit paano kung kailangan mong hanapin, halimbawa, minimum na function sa hiwa? Sa kasong ito, ang sagot ay: kasi minimum na function ay ang halaga nito sa pinakamababang punto.

Katulad nito, ang maximum ng aming function ay . Ito ay naabot sa punto.

Masasabi nating ang extrema ng function ay katumbas ng at .

Minsan sa mga gawain kailangan mong hanapin pinakadakila at pinakamaliit na halaga mga function sa isang partikular na segment. Ang mga ito ay hindi kinakailangang nag-tutugma sa mga sukdulan.

Sa kaso natin pinakamaliit na halaga ng pag-andar sa pagitan ay katumbas at tumutugma sa pinakamababa ng function. Ngunit ang pinakamalaking halaga nito sa segment na ito ay katumbas ng . Naabot ito sa kaliwang dulo ng segment.

Sa anumang kaso, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang tuluy-tuloy na pag-andar sa isang segment ay nakakamit alinman sa mga extremum point o sa mga dulo ng segment.