Harmonic vibrations

Mga Function na Graph f(x) = kasalanan( x) at g(x) = cos( x) sa eroplanong Cartesian.

harmonic oscillation- mga pagbabagu-bago kung saan nagbabago ang isang pisikal (o anumang iba pang) dami sa paglipas ng panahon ayon sa sinusoidal o cosine na batas. Ang kinematic equation ng harmonic oscillations ay may anyo

,

saan X- displacement (paglihis) ng oscillating point mula sa posisyon ng equilibrium sa oras t; PERO- oscillation amplitude, ito ang value na tumutukoy sa maximum deviation ng oscillating point mula sa equilibrium position; ω - cyclic frequency, isang value na nagsasaad ng bilang ng kumpletong oscillations na nagaganap sa loob ng 2π segundo - kumpletong yugto oscillations, - paunang yugto ng oscillations.

Pangkalahatang harmonic oscillation sa kaugalian na anyo

(Anumang non-trivial na solusyon dito differential equation- mayroong isang harmonic oscillation na may cyclic frequency )

Mga uri ng vibrations

Ebolusyon sa oras ng displacement, bilis at acceleration sa harmonic motion

• Libreng vibrations ay ginawa sa ilalim ng impluwensya ng mga panloob na pwersa ng sistema pagkatapos na mailabas ang sistema sa ekwilibriyo. Upang libreng vibrations ay harmonic, kinakailangan na ang oscillatory system ay linear (inilarawan linear na equation paggalaw), at walang pagkawala ng enerhiya (ang huli ay magdudulot ng pamamasa).
• Sapilitang panginginig ng boses ginanap sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na pana-panahong puwersa. Para maging harmonic ang mga ito, sapat na na linear ang oscillatory system (inilalarawan ng mga linear equation of motion), at ang panlabas na puwersa mismo ay nagbabago sa paglipas ng panahon bilang isang harmonic oscillation (iyon ay, na ang pag-asa sa oras ng puwersang ito ay sinusoidal) .

Aplikasyon

Namumukod-tangi ang mga harmonic vibrations sa lahat ng iba pang uri ng vibrations para sa mga sumusunod na dahilan:

Tingnan din

Mga Tala

Panitikan

• Physics. aklat-aralin sa elementarya Physics / Ed. G. S. Lansberg. - 3rd ed. - M., 1962. - T. 3.
• Khaykin S. E. Pisikal na pundasyon mekanika. - M., 1963.
• A. M. Afonin. Pisikal na pundasyon ng mekanika. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
• Gorelik G.S. Mga panginginig ng boses at alon. Panimula sa acoustics, radiophysics at optika. - M .: Fizmatlit, 1959. - 572 p.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Tingnan kung ano ang "Harmonic vibrations" sa iba pang mga diksyunaryo:

Modern Encyclopedia

Harmonic vibrations- HARMONIC OSCILLATIONS, panaka-nakang pagbabago sa isang pisikal na dami na nangyayari ayon sa batas ng sine. Sa graphically, ang mga harmonic oscillations ay kinakatawan ng sinusoid curve. Harmonic vibrations pinakasimpleng anyo panaka-nakang paggalaw, na nailalarawan sa pamamagitan ng ... Illustrated Encyclopedic Dictionary

Mga pagbabagu-bago kung saan nagbabago ang isang pisikal na dami sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng sine o cosine. Ang graphically G. to. ay kinakatawan ng sinusoid o cosine curve (tingnan ang fig.); maaari silang isulat sa anyong: x = Asin (ωt + φ) o x ... Great Soviet Encyclopedia

HARMONIC OSCILLATIONS, panaka-nakang paggalaw, gaya ng paggalaw ng PENDULUM, atomic oscillations, o oscillations in de-koryenteng circuit. Ang isang katawan ay nagsasagawa ng walang basang harmonic oscillations kapag ito ay nag-oscillate sa isang linya, na gumagalaw sa parehong ... ... Pang-agham at teknikal na encyclopedic na diksyunaryo

Oscillations, at k ryh pisikal. (o anumang iba pa) na halaga ay nagbabago sa paglipas ng panahon ayon sa sinusoidal na batas: x=Asin(wt+j), kung saan ang x ay ang halaga ng oscillating value sa ibinigay. sandali ng oras t (para sa mekanikal na G. hanggang., halimbawa, pag-aalis o bilis, para sa ... ... Pisikal na Encyclopedia

harmonic vibrations- Mga mekanikal na panginginig ng boses, kung saan ang pangkalahatang coordinate at (o) ang pangkalahatang bilis ay nagbabago sa proporsyon sa sine na may argumentong linear na nakadepende sa oras. [Koleksyon ng mga inirerekomendang termino. Isyu 106. Mechanical vibrations. Academy of Sciences... Handbook ng Teknikal na Tagasalin

Oscillations, at k ryh pisikal. (o anumang iba pa) dami ng pagbabago sa oras ayon sa sinusoidal na batas, kung saan ang x ay ang halaga ng oscillating quantity sa oras t (para sa mechanical G. to., halimbawa, displacement at speed, para sa electrical voltage at current) .. . Pisikal na Encyclopedia

HARMONIC OSCILLATIONS- (tingnan), kung saan pisikal. nagbabago ang halaga sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng sine o cosine (halimbawa, mga pagbabago (tingnan) at bilis sa panahon ng oscillation (tingnan) o mga pagbabago (tingnan) at kasalukuyang lakas na may electric G. to.) ... Mahusay na Polytechnic Encyclopedia

Ang mga ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagbabago sa oscillating value x (halimbawa, ang deviation ng pendulum mula sa equilibrium position, ang boltahe sa alternating current circuit, atbp.) sa oras t ayon sa batas: x = Asin (?t + ?), kung saan ang A ay ang amplitude ng harmonic oscillations, ? kanto…… Malaking Encyclopedic Dictionary

Harmonic vibrations- 19. Harmonic oscillations Mga oscillations kung saan ang mga halaga ng oscillating quantity ay nagbabago sa oras ayon sa batas Source ... Dictionary-reference na aklat ng mga tuntunin ng normatibo at teknikal na dokumentasyon

Pana-panahon pagbabagu-bago, na may krykh pagbabago sa oras pisikal. ang magnitude ay nangyayari ayon sa batas ng sine o cosine (tingnan ang Fig.): s = Asin (wt + f0), kung saan ang s ay ang paglihis ng pabagu-bagong halaga mula sa cf nito. (equilibrium) value, A=const amplitude, w= const circular ... Malaking encyclopedic polytechnic dictionary

1.18. HARMONIC OSCILLATIONS AT ANG KANILANG MGA KATANGIAN

Kahulugan ng harmonic vibrations. Mga katangian ng harmonic oscillations: displacement mula sa equilibrium position, amplitude ng oscillations, phase ng oscillations, frequency at period of oscillations. Bilis at acceleration ng isang oscillating point. Enerhiya ng harmonic oscillator. Mga halimbawa ng mga harmonic oscillator: mathematical, spring, torsional at physical mga pendulum.

Ang acoustics, radio engineering, optics at iba pang sangay ng agham at teknolohiya ay nakabatay sa doktrina ng oscillations at waves. Malaking papel gumaganap ng teorya ng vibrations sa mekanika, lalo na sa mga kalkulasyon para sa lakas ng sasakyang panghimpapawid, tulay, ibang mga klase mga makina at node.

pagbabagu-bago ay mga prosesong umuulit sa mga regular na pagitan (gayunpaman, hindi lahat ng umuulit na proseso ay pagbabagu-bago!). Depende sa pisikal na kalikasan ng isang paulit-ulit na proseso, mekanikal, electromagnetic, electromechanical, atbp. vibrations ay nakikilala. Sa panahon ng mekanikal na panginginig ng boses, ang mga posisyon at coordinate ng mga katawan ay pana-panahong nagbabago.

Pagpapanumbalik ng puwersa - ang puwersa sa ilalim ng pagkilos kung saan nangyayari ang proseso ng oscillatory. Ang puwersang ito ay may posibilidad na ibalik ang katawan o materyal na punto na nalihis mula sa natitirang posisyon sa orihinal nitong posisyon.

Depende sa katangian ng epekto sa isang oscillating body, libre (o natural) na mga vibrations at sapilitang vibrations.

Depende sa likas na katangian ng epekto sa isang oscillating system, ang mga libreng oscillations, forced oscillations, self-oscillations at parametric oscillations ay nakikilala.

Libre (sariling) Ang mga oscillation ay tinatawag na ganoong mga oscillations na nangyayari sa isang system na naiwan sa sarili nito pagkatapos na maibigay dito ang isang push, o ito ay inalis sa isang equilibrium na posisyon, i.e. kapag ang puwersang nagpapanumbalik lamang ang kumikilos sa oscillating body.Ang isang halimbawa ay ang mga panginginig ng boses ng bolang nakabitin sa isang sinulid. Upang magdulot ng mga panginginig ng boses, dapat mong itulak ang bola, o, ilipat ito sa isang tabi, bitawan ito. Kung sakaling walang nangyaring pagwawaldas ng enerhiya, ang mga libreng oscillations ay hindi nababalot. Gayunpaman, ang mga tunay na proseso ng oscillatory ay damped, dahil ang isang oscillating body ay apektado ng mga puwersa ng paglaban sa paggalaw (pangunahin ang mga puwersa ng friction).

· pinilit tinatawag ang mga naturang vibrations, kung saan ang oscillating system ay nakalantad sa isang panlabas na pana-panahong nagbabagong puwersa (halimbawa, mga vibrations ng isang tulay na nangyayari kapag ang mga taong naglalakad sa hakbang ay dumaan dito). Sa maraming kaso, ang mga system ay nagsasagawa ng mga oscillations na maaaring ituring na harmonic.

· Self-oscillations , pati na rin ang sapilitang mga oscillations, ay sinamahan ng isang epekto sa oscillating system panlabas na pwersa, gayunpaman, ang mga sandali ng oras kung kailan ang mga pagkilos na ito ay isinasagawa ay itinakda mismo ng oscillating system. Ibig sabihin, ang sistema mismo ang kumokontrol sa panlabas na impluwensya. Ang isang halimbawa ng isang self-oscillatory system ay isang orasan kung saan ang pendulum ay tumatanggap ng mga shocks dahil sa enerhiya ng isang nakataas na timbang o isang twisted spring, at ang mga shocks na ito ay nangyayari sa mga sandali ng pendulum na dumadaan sa gitnang posisyon.

· Parametric Ang mga oscillations ay isinasagawa na may panaka-nakang pagbabago sa mga parameter ng oscillating system (ang isang tao na umuugoy sa isang swing ay pana-panahong itinataas at ibinababa ang kanyang sentro ng grabidad, sa gayon ay binabago ang mga parameter ng system). Sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang sistema ay nagiging hindi matatag - ang isang random na paglihis mula sa posisyon ng balanse ay humahantong sa paglitaw at paglago ng mga oscillations. Ang phenomenon na ito ay tinatawag na parametric excitation of oscillations (ibig sabihin, ang mga oscillations ay nasasabik sa pamamagitan ng pagbabago ng mga parameter ng system), at ang mga oscillations mismo ay tinatawag na parametric.

Sa kabila ng magkakaibang pisikal na kalikasan, ang mga oscillation ay nailalarawan sa parehong mga regularidad, na pinag-aaralan ng mga pangkalahatang pamamaraan. Ang isang mahalagang kinematic na katangian ay ang anyo ng mga vibrations. Ito ay tinutukoy ng anyo ng pag-andar ng oras, na naglalarawan ng pagbabago sa isang partikular na pisikal na dami sa panahon ng mga oscillation. Ang pinakamahalaga ay ang mga pagbabago kung saan nagbabago ang pabagu-bagong halaga sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng sine o cosine . Tinatawag sila maharmonya .

Harmonic vibrations tinatawag ang mga oscillations, kung saan nagbabago ang oscillating physical quantity ayon sa batas ng sine (o cosine).

Ang ganitong uri ng oscillation ay lalong mahalaga para sa mga sumusunod na dahilan. Una, ang mga oscillations sa kalikasan at teknolohiya ay kadalasang may karakter na napakalapit sa harmonic. Pangalawa, ang mga pana-panahong proseso ng ibang anyo (na may ibang pagdepende sa oras) ay maaaring katawanin bilang isang overlay, o superposisyon, ng mga harmonic oscillations.

Harmonic oscillator equation

Ang Harmonic oscillation ay inilalarawan ng periodic law:

kanin. 18.1. harmonic oscillation

W

dito
- nagpapakilala pagbabago anumang pisikal na dami sa panahon ng mga oscillation (paglipat ng posisyon ng pendulum mula sa posisyon ng equilibrium; boltahe sa kapasitor sa oscillatory circuit atbp.), A - amplitude ng oscillation ,
- yugto ng oscillation , - unang bahagi ,
- cyclic frequency ; halaga
tinatawag din sariling dalas ng oscillation. Binibigyang-diin ng pangalan na ito na ang dalas na ito ay tinutukoy ng mga parameter ng oscillatory system. Ang isang sistema na ang batas ng paggalaw ay may anyo (18.1) ay tinatawag one-dimensional harmonic oscillator . Bilang karagdagan sa mga dami sa itaas, ang mga sumusunod na konsepto ay ipinakilala upang makilala ang mga oscillation: panahon , ibig sabihin. oras ng isang oscillation.

(Isang panahon ng oscillation T tinatawag na pinakamaliit na yugto ng panahon pagkatapos kung saan ang mga estado ng oscillating system ay paulit-ulit (isang kumpletong oscillation ang ginanap) at ang yugto ng oscillation ay tumatanggap ng pagtaas ng 2p).

at mga frequency
, na tumutukoy sa bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras. Ang yunit ng dalas ay ang dalas ng naturang oscillation, ang panahon kung saan ay 1 s. Ang yunit na ito ay tinatawag na hertz (Hz ).

Dalas ng oscillationn tinatawag na reciprocal ng panahon ng oscillation - ang bilang ng kumpletong oscillations bawat yunit ng oras.

Malawak- ang maximum na halaga ng offset o pagbabago variable sa oscillatory o wave motion.

Yugto ng oscillation- argumento ng isang periodic function o naglalarawan ng isang harmonic oscillatory na proseso (ω - angular frequency, t- oras, - ang unang yugto ng mga oscillations, iyon ay, ang yugto ng mga oscillations sa unang sandali ng oras t = 0).

Ang una at pangalawang beses na derivatives ng isang harmonically oscillating quantity ay nagsasagawa rin ng mga harmonic oscillations ng parehong frequency:

AT kasong ito ang equation ng harmonic oscillations, na isinulat ayon sa batas ng cosine, ay kinuha bilang batayan. Sa kasong ito, ang una sa mga equation (18.2) ay naglalarawan ng batas ayon sa kung saan ang bilis ng oscillating materyal na punto(katawan), inilalarawan ng pangalawang equation ang batas kung saan nagbabago ang acceleration ng isang oscillating point (body).

Mga amplitude
at
pantay ayon sa pagkakabanggit
at
. pag-aatubili
nauuna sa
nasa yugto hanggang ; at pag-aalinlangan
nauuna sa
sa . Mga halaga A at maaaring matukoy mula sa ibinigay na mga paunang kondisyon
at
:

,
. (18.3)

Oscillator oscillation energy

P

kanin. 18.2. Spring pendulum

Tingnan natin ngayon kung ano ang mangyayari sa enerhiya ng panginginig ng boses . Bilang halimbawa ng mga harmonic oscillations, isaalang-alang ang one-dimensional oscillations na ginagawa ng isang body of mass. m Sa ilalim ng impluwensiya nababanat lakas
(halimbawa, isang spring pendulum, tingnan ang fig. 18.2). Ang mga puwersa ng ibang kalikasan kaysa sa nababanat, ngunit kung saan ang kundisyong F = -kx ay nasiyahan, ay tinatawag parang nababanat. Sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersang ito, ang mga katawan ay gumagawa din ng mga harmonic oscillations. Hayaan:

bias:
bilis:
acceleration:

Yung. ang equation para sa mga naturang oscillations ay may anyo (18.1) na may natural na dalas
. Ang quasi-elastic force ay konserbatibo . Samakatuwid, ang kabuuang enerhiya ng naturang harmonic oscillations ay dapat manatiling pare-pareho. Sa proseso ng mga oscillations, nangyayari ang pagbabago ng kinetic energy E sa sa isang potensyal E P at kabaliktaran, bukod dito, sa mga sandali ng pinakamalaking paglihis mula sa posisyon ng balanse, ang kabuuang enerhiya ay katumbas ng pinakamataas na halaga ng potensyal na enerhiya, at kapag ang sistema ay dumaan sa posisyon ng balanse, ang kabuuang enerhiya ay katumbas ng pinakamataas halaga ng kinetic energy. Alamin natin kung paano nagbabago ang kinetic at potensyal na enerhiya sa paglipas ng panahon:

Kinetic energy:

Potensyal na enerhiya:

(18.5)

Isinasaalang-alang na i.e. , ang huling expression ay maaaring isulat bilang:

Kaya, ang kabuuang enerhiya ng harmonic oscillation ay lumalabas na pare-pareho. Sinusundan din nito mula sa mga relasyon (18.4) at (18.5) na ang average na mga halaga ng kinetic at potensyal na enerhiya ay katumbas ng bawat isa at kalahati ng kabuuang enerhiya, dahil ang mga average na halaga
at
para sa panahon ay 0.5. Gamit ang mga trigonometric formula, maaari itong makuha na ang kinetic at potensyal na enerhiya pagbabago sa dalas
, ibig sabihin. na may dalas na dalawang beses sa harmonic frequency.

Ang mga halimbawa ng isang harmonic oscillator ay mga spring pendulum, physical pendulum, mathematical pendulum, at torsional pendulum.

1. Spring pendulum- ito ay isang load ng mass m, na nasuspinde sa isang ganap na nababanat na spring at nagsasagawa ng mga harmonic oscillations sa ilalim ng pagkilos ng isang elastic force F = –kx, kung saan ang k ay ang higpit ng spring. Ang equation ng paggalaw ng pendulum ay may anyo o (18.8) Mula sa formula (18.8) sumusunod na ang spring pendulum ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations ayon sa batas x \u003d Acos (ω 0 t + φ) na may cyclic frequency

(18.9) at panahon

(18.10) Ang formula (18.10) ay totoo para sa elastic vibrations sa loob ng mga limitasyon kung saan ang batas ni Hooke ay natutupad, iyon ay, kung ang masa ng spring ay maliit kumpara sa masa ng katawan. Ang potensyal na enerhiya ng isang spring pendulum, gamit ang (18.9) at ang potensyal na formula ng enerhiya ng nakaraang seksyon, ay (tingnan ang 18.5)

2. pisikal na pendulum- Ito solid, na oscillates sa ilalim ng pagkilos ng gravity sa paligid ng isang nakapirming pahalang na axis, na dumadaan sa punto O, na hindi nag-tutugma sa sentro ng mass C ng katawan (Fig. 1).

Fig.18.3 Pisikal na pendulum

Kung ang pendulum ay pinalihis mula sa posisyon ng balanse ng isang tiyak na anggulo α, kung gayon, gamit ang equation ng dynamics ng rotational motion ng isang matibay na katawan, ang sandaling M ng puwersa ng pagpapanumbalik (18.11) kung saan ang J ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng pendulum tungkol sa axis na dumadaan sa suspension point O, l ay ang distansya sa pagitan ng axis at ang sentro ng mass ng pendulum, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα ay ang puwersa ng pagpapanumbalik (ang minus sign ay nagpapahiwatig na ang mga direksyon F τ at ang α ay palaging kabaligtaran; sinα ≈ α dahil ang mga oscillations ng pendulum ay itinuturing na maliit, ibig sabihin, ang pendulum ay lumilihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo sa pamamagitan ng maliliit na anggulo). Sinusulat namin ang equation (18.11) bilang

O Pagkuha (18.12) makuha natin ang equation

Kapareho ng (18.8), na ang solusyon ay makikita at isinusulat natin bilang:

(18.13) Mula sa formula (18.13) sumusunod na para sa maliliit na oscillations ang pisikal na pendulum ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations na may cyclic frequency ω 0 at isang period

(18.14) kung saan ang halaga L=J/(m l) - . Ang punto O" sa pagpapatuloy ng tuwid na linya ng OS, na kung saan ay nakahiwalay mula sa punto O ng suspensyon ng pendulum sa layo ng pinababang haba L, ay tinatawag swing center pisikal na pendulum(Larawan 18.3). Ang paglalapat ng Steiner theorem para sa sandali ng pagkawalang-kilos ng axis, nakita namin

Ibig sabihin, ang OO "ay palaging mas malaki kaysa sa OS. Ang suspension point O ng pendulum at ang swing center O" ay mayroong pag-aari ng pagpapalitan: kung ang suspension point ay inilipat sa swing center, ang lumang suspension point O ang magiging bagong swing center, at ang oscillation period ng physical pendulum ay hindi magbabago.

3. Mathematical pendulum ay isang idealized na sistema na binubuo ng isang materyal na punto ng mass m, na kung saan ay sinuspinde sa isang inextensible walang timbang na thread, at kung saan oscillates sa ilalim ng pagkilos ng gravity. Ang isang magandang approximation ng isang mathematical pendulum ay isang maliit, mabigat na bola na nasuspinde mula sa isang mahaba, manipis na sinulid. Moment of inertia ng isang mathematical pendulum

(8) saan l ay ang haba ng pendulum.

Dahil ang isang mathematical pendulum ay isang espesyal na kaso ng isang pisikal na pendulum, kung ipagpalagay natin na ang lahat ng masa nito ay puro sa isang punto - ang sentro ng masa, kung gayon, pinapalitan ang (8) sa (7), makikita natin ang isang expression para sa panahon. ng maliliit na oscillations ng isang mathematical pendulum (18.15) Paghahambing ng mga formula (18.13 ) at (18.15), makikita natin na kung ang pinababang haba L ng physical pendulum ay katumbas ng haba l isang mathematical pendulum, kung gayon ang mga panahon ng oscillation ng mga pendulum na ito ay pareho. Ibig sabihin, pinababang haba ng isang pisikal na pendulum ay ang haba ng naturang mathematical pendulum, kung saan ang panahon ng oscillation ay tumutugma sa panahon ng oscillation ng isang ibinigay na physical pendulum. Para sa isang mathematical pendulum (material point na may mass m nasuspinde sa isang walang timbang na hindi mapahaba na sinulid ng haba l sa larangan ng grabidad na may free fall acceleration na katumbas ng g) sa maliliit na anggulo ng pagpapalihis (hindi hihigit sa 5-10 angular degrees) mula sa posisyon ng equilibrium natural na dalas ng oscillation:
.

4. Isang katawan na nakasuspinde sa isang nababanat na sinulid o iba pang nababanat na elemento, na nag-o-oscillating papasok pahalang eroplano, kumakatawan torsion pendulum.

Ito ay isang mekanikal na oscillatory system na gumagamit ng mga puwersa ng mga elastic deformation. Sa fig. Ipinapakita ng 18.4 ang angular analogue ng isang linear harmonic oscillator na nagsasagawa ng torsional vibrations. Ang isang pahalang na matatagpuan na disk ay nakabitin sa isang nababanat na sinulid na naayos sa gitna ng masa nito. Kapag ang disk ay umiikot sa isang anggulo θ, isang sandali ng pwersa ang lumitaw M nababanat na torsion strain:

saan ako = akoC- ang sandali ng pagkawalang-galaw ng disk tungkol sa axis, na dumadaan sentro ng grabidad, ε – angular acceleration.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pagkarga sa tagsibol, maaari kang makakuha.

Ito ay isang periodic oscillation, kung saan ang coordinate, speed, acceleration, characterizing the movement, ay nagbabago ayon sa sine o cosine law. Ang harmonic oscillation equation ay nagtatatag ng dependence ng body coordinate sa oras

Ang cosine graph ay may pinakamataas na halaga sa paunang sandali, at ang sine graph ay may zero na halaga sa paunang sandali. Kung sinimulan nating siyasatin ang oscillation mula sa posisyon ng equilibrium, pagkatapos ay uulitin ng oscillation ang sinusoid. Kung sinimulan nating isaalang-alang ang oscillation mula sa posisyon ng maximum deviation, pagkatapos ay ilalarawan ng oscillation ang cosine. O ang ganitong oscillation ay maaaring ilarawan ng sine formula na may paunang yugto.

Mathematical pendulum

Oscillations ng isang mathematical pendulum.
Mathematical pendulum ay isang materyal na punto na nasuspinde sa isang walang timbang na hindi mapalawak na sinulid (pisikal na modelo).
Isasaalang-alang natin ang paggalaw ng pendulum sa ilalim ng kondisyon na ang anggulo ng pagpapalihis ay maliit, kung gayon, kung susukatin natin ang anggulo sa radians, ang pahayag ay totoo: .
Ang puwersa ng grabidad at ang pag-igting ng sinulid ay kumikilos sa katawan. Ang resulta ng mga puwersang ito ay may dalawang bahagi: isang tangential, na nagbabago sa acceleration sa magnitude, at isang normal, na nagbabago sa acceleration sa direksyon ( centripetal acceleration, gumagalaw ang katawan sa isang arko).
kasi maliit ang anggulo, kung gayon ang tangential component ay katumbas ng projection ng gravity sa tangent sa trajectory: . Anggulo sa radians ay katumbas ng ratio haba ng arko sa radius (haba ng thread), at ang haba ng arko ay humigit-kumulang katumbas ng offset ( x ≈ s): .
Ihambing ang resultang equation sa equation oscillatory motion. Ito ay makikita na o ay isang cyclic frequency sa panahon ng mga oscillations ng isang mathematical pendulum.
Panahon ng oscillation o (formula ni Galileo).	Pormula ng Galileo
Ang pinakamahalagang konklusyon: ang panahon ng oscillation ng isang mathematical pendulum ay hindi nakasalalay sa masa ng katawan!
Ang mga katulad na kalkulasyon ay maaaring gawin gamit ang batas ng konserbasyon ng enerhiya. Isaalang-alang natin na ang potensyal na enerhiya ng katawan sa gravitational field ay , at ang kabuuan mekanikal na enerhiya katumbas ng pinakamataas na potensyal o kinetic:
Isinulat namin ang batas ng konserbasyon ng enerhiya at kunin ang hinango ng kaliwa at tamang bahagi mga equation: . kasi ang derivative ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng zero, pagkatapos . Ang derivative ng sum ay katumbas ng sum ng derivatives: at.
Samakatuwid: , ibig sabihin.

Tamang gas equation ng estado (Mendeleev-Clapeyron equation).
Ang isang equation ng estado ay isang equation na nag-uugnay sa mga parameter ng isang pisikal na sistema at natatanging tinutukoy ang estado nito. Noong 1834 Pranses physicist B. Clapeyron, na nagtrabaho nang mahabang panahon sa St. Petersburg, ay nagmula sa equation ng estado para sa isang perpektong gas para sa isang pare-parehong masa ng gas. Noong 1874 D. I. Mendeleev nagmula sa isang equation para sa isang arbitrary na bilang ng mga molekula.
Sa MKT at ideal gas thermodynamics macroscopic parameters ay: p, V, T, m. Alam natin yan . Kaya naman,. Kung ganoon , nakukuha namin:.
Ang produkto ng mga pare-parehong halaga ay isang pare-parehong halaga, samakatuwid: - unibersal na pare-pareho ng gas (unibersal, dahil pareho ito para sa lahat ng mga gas).
Kaya, mayroon kaming: Equation ng estado (Mendeleev-Clapeyron equation).
Iba pang anyo ng pagsulat ng equation ng estado ng isang ideal na gas.
1. Equation para sa 1 mole ng isang substance. Kung n \u003d 1 mol, kung gayon, na tinutukoy ang dami ng isang nunal V m, nakukuha namin:. Para sa normal na kondisyon makuha namin:
2. Isulat ang equation sa mga tuntunin ng density: - Ang density ay depende sa temperatura at presyon!
3. Clapeyron equation. Madalas na kinakailangan upang siyasatin ang sitwasyon kapag ang estado ng gas ay nagbabago sa pare-parehong halaga nito (m=const) at sa kawalan ng mga reaksiyong kemikal(M=const). Nangangahulugan ito na ang dami ng substance n=const. Pagkatapos:
Ang ibig sabihin ng entry na ito para sa isang ibinigay na masa ng isang ibinigay na gas ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
Para sa pare-pareho ang masa ideal gas ang ratio ng produkto ng pressure at volume sa ganap na temperatura sa ibinigay na estado ay isang pare-parehong halaga: .
mga batas sa gas.
1. Batas ni Avogadro. AT pantay na volume magkaibang mga gas nang sabay-sabay panlabas na kondisyon matatagpuan parehong numero mga molekula (mga atomo). Kundisyon: V 1 =V 2 =…=V n ; p 1 \u003d p 2 \u003d ... \u003d p n; T 1 \u003d T 2 \u003d ... \u003d T n
Patunay: Samakatuwid, sa parehong kondisyon(presyon, dami, temperatura) ang bilang ng mga molekula ay hindi nakadepende sa likas na katangian ng gas at pareho.
2. Batas ni Dalton. Ang presyon ng isang halo ng mga gas ay katumbas ng kabuuan ng mga partial (pribado) na presyon ng bawat gas. Patunayan: p=p 1 +p 2 +…+p n Patunay:
3. Batas ni Pascal. Ang presyon na ginawa sa isang likido o gas ay ipinapadala sa lahat ng direksyon nang walang pagbabago.

Ang equation ng estado para sa isang perpektong gas. mga batas sa gas.

Mga bilang ng antas ng kalayaan: ito ang bilang ng mga independyenteng variable (coordinate) na ganap na tumutukoy sa posisyon ng system sa espasyo. Sa ilang mga problema, ang isang molekula ng monatomic gas (Larawan 1, a) ay itinuturing bilang isang materyal na punto, na binibigyan ng tatlong antas ng kalayaan ng paggalaw ng pagsasalin. Hindi nito isinasaalang-alang ang enerhiya ng rotational motion. Sa mechanics, ang isang diatomic gas molecule sa unang approximation ay itinuturing na isang set ng dalawang materyal na punto, na mahigpit na konektado sa pamamagitan ng isang non-deformable bond (Fig. 1, b). Ang sistemang ito maliban sa tatlong antas ng kalayaan abanteng paggalaw ay may dalawa pang antas ng kalayaan ng pag-ikot ng paggalaw. Ang pag-ikot sa paligid ng ikatlong axis na dumadaan sa parehong mga atom ay walang kahulugan. Nangangahulugan ito na ang isang diatomic gas ay may limang antas ng kalayaan ( i= 5). Ang isang triatomic (Larawan 1, c) at polyatomic nonlinear molecule ay may anim na degree ng kalayaan: tatlong translational at tatlong rotational. Natural na ipagpalagay na walang matibay na bono sa pagitan ng mga atomo. Samakatuwid, para sa mga tunay na molekula, kinakailangan ding isaalang-alang ang mga antas ng kalayaan ng paggalaw ng vibrational.

Para sa anumang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang ibinigay na molekula, ang tatlong antas ng kalayaan ay palaging pagsasalin. Wala sa mga translational degree ng kalayaan ang may kalamangan sa iba, na nangangahulugan na ang bawat isa sa kanila ay may average na parehong enerhiya na katumbas ng 1/3 ng halaga.<ε 0 >(enerhiya ng translational motion ng mga molekula): Sa statistical physics, Ang batas ni Boltzmann sa pare-parehong pamamahagi ng enerhiya sa mga antas ng kalayaan ng mga molekula: para sa isang statistical system na nasa thermodynamic equilibrium, para sa bawat translational at rotational na antas ng kalayaan, mayroong isang average kinetic energy, katumbas ng kT/2, at para sa bawat vibrational na antas ng kalayaan - sa karaniwan, isang enerhiya na katumbas ng kT. Ang vibrational degree ay may dalawang beses na mas maraming enerhiya, dahil isinasaalang-alang nito ang parehong kinetic energy (tulad ng sa kaso ng translational at rotational motions) at potensyal na enerhiya, at ang average na mga halaga ng potensyal at kinetic energy ay pareho. Kaya ang average na enerhiya ng molekula saan i- ang kabuuan ng bilang ng translational, ang bilang ng rotational sa dalawang beses ang bilang ng vibrational degrees ng kalayaan ng molekula: i=i post + i pag-ikot +2 i vibrations Sa klasikal na teorya, ang mga molekula ay isinasaalang-alang na may matibay na bono sa pagitan ng mga atomo; para sa kanila i tumutugma sa bilang ng mga antas ng kalayaan ng molekula. Since in perpektong gas Dahil ang magkaparehong potensyal na enerhiya ng pakikipag-ugnayan ng mga molekula ay zero (ang mga molekula ay hindi nakikipag-ugnayan sa isa't isa), kung gayon ang panloob na enerhiya para sa isang mole ng gas ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga kinetic energies N A ng mga molekula: (1) Panloob na enerhiya para sa isang arbitrary na masa m ng gas. kung saan M - molar mass, ν - dami ng sangkap.

Ang paggalaw ng pendulum sa mga oras, lindol, alternating current sa isang electric circuit, ang mga proseso ng radio transmission at radio reception ay ganap na naiiba, hindi nakatali na kaibigan kasama ang iba pang mga proseso. Ang bawat isa sa kanila ay may kanya-kanyang sarili mga espesyal na dahilan, ngunit sila ay pinag-isa ng isang tanda - isang tanda ng pagkakapareho ng likas na katangian ng pagbabago pisikal na dami sa paglipas ng panahon. Ang mga ito at maraming iba pang mga proseso ng iba't ibang pisikal na kalikasan sa maraming mga kaso ay lumalabas na angkop na isaalang-alang bilang isa espesyal na uri pisikal na phenomena - pagbabagu-bago.

Ang isang karaniwang tampok ng pisikal na phenomena, na tinatawag na oscillations, ay ang kanilang pag-uulit sa oras. Sa ibang pisikal na katangian, maraming mga oscillation ang nangyayari ayon sa parehong mga batas, na ginagawang posible na mag-aplay karaniwang pamamaraan para sa kanilang paglalarawan at pagsusuri.

Harmonic vibrations. Mula sa isang malaking bilang iba't ibang mga oscillations sa kalikasan at teknolohiya, ang mga harmonic oscillations ay karaniwan lalo na. Ang mga Harmonic oscillations ay ang mga nangyayari ayon sa batas ng cosine o sine:

nasaan ang isang halaga na nakakaranas ng mga pagbabago; - oras; - pare-pareho, ang kahulugan nito ay ipapaliwanag sa ibang pagkakataon.

Ang pinakamataas na halaga ng isang dami na nagbabago ayon sa isang harmonic na batas ay tinatawag na amplitude ng mga oscillations. Ang argumento ng cosine o sine para sa mga harmonic oscillations ay tinatawag na phase ng oscillation

Ang yugto ng oscillation sa paunang sandali ng oras ay tinatawag na paunang yugto. Unang bahagi tinutukoy ang halaga ng dami sa unang sandali ng oras

Ang mga halaga ng sine o cosine function ay paulit-ulit kapag ang function argument ay nagbabago sa, samakatuwid, na may harmonic oscillations, ang mga halaga ng magnitude ay paulit-ulit kapag ang oscillation phase ay nagbabago sa . Sa kabilang banda, sa panahon ng isang harmonic oscillation, ang halaga ay dapat tumagal ng parehong mga halaga sa isang agwat ng oras na tinatawag na panahon ng oscillation T. Samakatuwid, ang pagbabago ng bahagi ay nangyayari.

sa pamamagitan ng oscillation period T. Para sa kaso kapag nakuha natin ang:

Mula sa expression (1.2) sumusunod na ang pare-pareho sa equation ng mga harmonic oscillations ay ang bilang ng mga oscillations na nagaganap sa mga segundo. Ang halaga ay tinatawag na cyclic oscillation frequency. Gamit ang expression (1.2), ang equation (1.1) ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng frequency o period T ng oscillations:

Pati na rin ang sa paraang analitikal malawakang ginagamit ang mga paglalarawan ng mga harmonic oscillations mga graphic na paraan kanilang mga presentasyon.

Ang unang paraan ay ang magtakda ng iskedyul ng mga pagbabago Sistema ng Cartesian mga coordinate. Ang oras I ay naka-plot sa kahabaan ng abscissa, at ang halaga ng nagbabagong halaga ay naka-plot sa kahabaan ng ordinate. Para sa mga harmonic oscillations, ang graph na ito ay isang sine o cosine wave (Fig. 1).

Ang pangalawang paraan upang kumatawan sa proseso ng oscillatory ay parang multo. Ang amplitude ay sinusukat kasama ang ordinate axis, at ang dalas ng harmonic oscillations ay sinusukat kasama ang abscissa axis. Ang isang harmonic oscillatory na proseso na may dalas at amplitude ay kinakatawan sa kasong ito ng isang vertical na segment na may tuwid na haba na iginuhit mula sa isang punto na may isang coordinate sa abscissa axis (Fig. 2).

Ang ikatlong paraan upang ilarawan ang mga harmonic oscillations ay ang pamamaraan mga diagram ng vector. Sa paraang ito, ang sumusunod, puro pormal na pamamaraan ay ginagamit upang mahanap anumang oras ang halaga ng isang dami na nagbabago ayon sa isang harmonic na batas:

Pinipili namin sa eroplano ang isang arbitraryong itinuro coordinate axis kung saan bibilangin namin ang halaga ng interes sa amin Mula sa pinanggalingan kasama ang axis gumuhit kami ng isang vector modulus na katumbas ng amplitude ng harmonic oscillation xm. Kung akala natin ngayon na ang vector ay umiikot sa pinanggalingan sa isang eroplano na may pare-pareho ang angular velocity c counterclockwise, kung gayon ang anggulo a sa pagitan ng umiikot na vector at ang axis sa anumang oras ay tinutukoy ng expression.

Mechanical harmonic oscillation- ito ay tuwid hindi pantay na paggalaw, kung saan nagbabago ang mga coordinate ng isang oscillating body (material point) ayon sa batas ng cosine o sine depende sa oras.

Ayon sa kahulugang ito, ang batas ng pagbabago ng coordinate depende sa oras ay may anyo:

Kung saan ang wt ay ang halaga sa ilalim ng cosine o sine sign; w- koepisyent, pisikal na kahulugan na aming ibubunyag sa ibaba; Ang A ay ang amplitude ng mechanical harmonic oscillations.

Ang mga equation (4.1) ay basic kinematic equation mekanikal na harmonic vibrations.

Isipin mo susunod na halimbawa. Kunin natin ang Ox axis (Larawan 64). Mula sa punto 0 gumuhit kami ng isang bilog na may radius R = A. Hayaan ang punto M mula sa posisyon 1 na magsimulang gumalaw sa paligid ng bilog sa isang pare-pareho ang bilis v(o may pare-parehong angular na bilis w, v = wA). Pagkaraan ng ilang oras t, ang radius ay iikot sa isang anggulo f: f=wt.

Sa ganoong paggalaw sa kahabaan ng bilog ng point M, ang projection nito sa x-axis M x ay lilipat kasama ang x-axis, ang coordinate kung saan ang x ay magiging katumbas ng x \u003d A cos f = = A cos wt. Kaya, kung ang isang materyal na punto ay gumagalaw kasama ang isang bilog na radius A, ang gitna nito ay tumutugma sa pinanggalingan, kung gayon ang projection ng puntong ito sa x-axis (at papunta sa y-axis) ay magiging harmonic. mekanikal na panginginig ng boses.

Kung ang halaga ng wt, na nasa ilalim ng cosine sign, at ang amplitude A ay kilala, kung gayon ang x ay maaari ding matukoy sa equation (4.1).

Ang value wt, na nasa ilalim ng cosine (o sine) sign, na natatanging tumutukoy sa coordinate ng oscillating point para sa isang partikular na amplitude, ay tinatawag yugto ng oscillation. Para sa isang puntong M na gumagalaw sa isang bilog, ang halagang w ay nangangahulugan ng angular na bilis nito. Ano ang pisikal na kahulugan ng halaga w para sa puntong M x, na nagsasagawa ng mga mekanikal na harmonic oscillations? Ang mga coordinate ng oscillating point M x ay pareho sa ilang oras t at (T +1) (mula sa kahulugan ng period T), i.e. A cos wt= A cos w (t + T), na nangangahulugang iyon w(t + T) - wt = 2 PI(mula sa periodicity property ng cosine function). Kaya naman sinusunod iyon

Samakatuwid, para sa isang materyal na punto na nagsasagawa ng mga harmonic mechanical oscillations, ang halaga ng w ay maaaring bigyang-kahulugan bilang ang bilang ng mga oscillations para sa isang tiyak na ikot oras na katumbas ng 2l. Samakatuwid, ang halaga w tinawag paikot(o pabilog) dalas.

Kung ang punto M ay magsisimula ng paggalaw nito hindi mula sa punto 1 ngunit mula sa punto 2, ang equation (4.1) ay kukuha ng anyo:

ang halaga f 0 tinawag unang bahagi.

Nahanap namin ang bilis ng point M x bilang isang derivative ng coordinate na may paggalang sa oras:

Tinutukoy namin ang acceleration ng isang point oscillating ayon sa harmonic law bilang isang derivative ng bilis:

Makikita mula sa formula (4.4) na ang bilis ng isang punto na gumaganap ng mga harmonic oscillations ay nagbabago rin ayon sa batas ng cosine. Ngunit ang bilis sa yugto ay nauuna sa coordinate ng PI/2. Ang acceleration sa panahon ng harmonic oscillation ay nagbabago ayon sa cosine law, ngunit nauuna ito sa coordinate sa phase ng P. Ang equation (4.5) ay maaaring isulat sa mga tuntunin ng x coordinate:

Ang acceleration sa panahon ng harmonic oscillations ay proporsyonal sa displacement c kabaligtaran ng tanda. Pina-multiply namin ang kanan at kaliwang bahagi ng equation (4.5) sa masa ng oscillating material point m, nakuha namin ang mga sumusunod na relasyon:

Ayon sa pangalawang batas ni Newton, ang pisikal na kahulugan ng kanang bahagi ng pagpapahayag (4.6) ay ang projection ng puwersa F x , na nagbibigay ng harmonic mekanikal na paggalaw:

Ang halaga ng F x ay proporsyonal sa displacement x at nakadirekta sa tapat nito. Ang isang halimbawa ng gayong puwersa ay ang nababanat na puwersa, ang laki nito ay proporsyonal sa pagpapapangit at nakadirekta nang kabaligtaran dito (batas ni Hooke).

Ang pagiging regular ng dependence ng acceleration sa displacement, na sumusunod sa equation (4.6), na isinasaalang-alang namin para sa mechanical harmonic oscillations, ay maaaring gawing pangkalahatan at mailapat kapag isinasaalang-alang ang mga oscillations ng ibang pisikal na kalikasan (halimbawa, isang pagbabago sa kasalukuyang sa isang oscillatory circuit, isang pagbabago sa singil, boltahe, induction magnetic field atbp.). Samakatuwid, ang equation (4.8) ay tinatawag na pangunahing equation dinamika ng mga harmonic oscillations.

Isaalang-alang ang paggalaw ng spring at mathematical pendulum.

Hayaang ang isang spring (Larawan 63), na matatagpuan nang pahalang at naayos sa punto 0, ay may katawan na may mass m na nakakabit sa isang dulo, na maaaring gumalaw sa kahabaan ng x axis nang walang friction. Hayaang ang spring constant ay katumbas ng k. Hinango natin ang katawan m panlabas na puwersa mula sa posisyon ng balanse at bitawan. Pagkatapos, sa kahabaan ng x axis, tanging ang nababanat na puwersa lamang ang kikilos sa katawan, na, ayon sa batas ni Hooke, ay magiging katumbas ng: F ypr = -kx.

Ang equation ng paggalaw ng katawan na ito ay magiging ganito:

Paghahambing ng mga equation (4.6) at (4.9), gumawa kami ng dalawang konklusyon:

Mula sa mga formula (4.2) at (4.10) nakukuha namin ang formula para sa panahon ng oscillation ng load sa spring:

Mathematical pendulum ay isang katawan ng mass m na nasuspinde sa isang mahabang hindi mapalawak na sinulid ng hindi gaanong masa. Sa posisyon ng equilibrium, ang puwersa ng grabidad at ang nababanat na puwersa ng sinulid ay kikilos sa katawan na ito. Ang mga puwersang ito ay magbabalanse sa isa't isa.

Kung ang thread ay pinalihis sa isang anggulo a mula sa posisyon ng balanse, pagkatapos ay ang parehong mga puwersa ay kumikilos sa katawan, ngunit hindi na nila balanse ang isa't isa, at ang katawan ay nagsisimulang gumalaw kasama ang arko sa ilalim ng pagkilos ng bahagi ng gravity na nakadirekta kasama ang tangent sa arko at katumbas ng mg sin a.

Ang equation ng paggalaw ng pendulum ay nasa anyo:

Ang minus sign sa kanang bahagi ay nangangahulugan na ang puwersa F x = mg sin a ay nakadirekta laban sa displacement. Ang Harmonic oscillation ay magaganap sa maliliit na anggulo ng deviation, ibig sabihin, sa ilalim ng kundisyon isang 2* kasalanan a.

Palitan ang kasalanan at sa equation (4.12), nakukuha natin ang sumusunod na equation.