Panimula

1. Teoretikal na bahagi

1.1 Pangunahing konsepto at kahulugan

1.3 Formula ng Cardano

2. Paglutas ng problema

Konklusyon

Panimula

Mga equation. Masasabing tiyak na wala ni isang tao ang hindi pamilyar sa kanila. Mula sa isang maagang edad, ang mga bata ay nagsisimulang malutas ang "mga problema sa X". At saka. Totoo, para sa marami, ang kakilala sa mga equation ay nagtatapos sa mga gawain sa paaralan. Ang tanyag na Aleman na matematiko na si Courant ay sumulat: “Sa loob ng mahigit dalawang libong taon, ang pagkakaroon ng ilan, hindi masyadong mababaw, ang kaalaman sa larangan ng matematika ay kinakailangan. mahalaga bahagi sa intelektwal na imbentaryo ng bawat isa edukadong tao". At kabilang sa kaalamang ito ay ang kakayahang malutas ang mga equation.

Nasa sinaunang panahon, napagtanto ng mga tao kung gaano kahalaga na matutunan kung paano lutasin ang mga algebraic equation ng form

a0xn + a1xn ​​​​- 1 + ... + an = 0

pagkatapos ng lahat, napakarami at napaka-magkakaibang mga katanungan ng kasanayan at natural na agham ay nabawasan sa kanila (siyempre, dito maaari nating agad na ipalagay na a0 ¹ 0, dahil kung hindi man ang antas ng equation ay talagang hindi n, ngunit mas mababa). Marami, siyempre, ang nakaisip ng mapang-akit na ideya na maghanap ng mga pormula para sa anumang kapangyarihan ng n na magpapahayag ng mga ugat ng equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito, ibig sabihin, ay malulutas ang equation sa mga radical. Gayunpaman, ang "malungkot na Middle Ages" ay naging madilim hangga't maaari na may kaugnayan sa problemang tinatalakay - sa loob ng pitong buong siglo ay walang nakahanap ng kinakailangang mga formula! Noong ika-16 na siglo lamang, ang mga Italian mathematician ay nakagalaw pa - upang makahanap ng mga formula para sa n \u003d 3 at 4. Ang kasaysayan ng kanilang mga pagtuklas at maging ang pag-akda ng mga nahanap na formula ay medyo malabo hanggang sa araw na ito, at hindi natin malalaman. dito kumplikadong relasyon sa pagitan ng Ferro, Cardano, Tartaglia at Ferrari, ngunit ilagay natin ito nang mas mahusay mathematical essence mga usapin.

Ang layunin ng gawain ay upang galugarin ang iba't ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ikatlong antas.

Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan na magsagawa ng isang bilang ng mga gawain:

-Pagsusuri siyentipikong panitikan;

-Pagsusuri ng mga aklat-aralin sa paaralan;

-Pagpili ng mga halimbawa para sa solusyon;

-Solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng iba't ibang pamamaraan.

Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Ang una ay tumatalakay sa iba't ibang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation. Ang ikalawang bahagi ay nakatuon sa paglutas ng mga equation iba't ibang paraan.

1. Teoretikal na bahagi

1 Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang isang cubic equation ay isang equation ng ikatlong antas ng form:

Ang numerong x na nagpapalit ng equation sa isang pagkakakilanlan ay tinatawag na ugat o solusyon ng equation. Ito rin ang ugat ng isang polynomial ng ikatlong antas, na nasa kaliwang bahagi ng canonical notation.

Sa larangan ng kumplikadong mga numero, ayon sa pangunahing teorama ng algebra, ang isang cubic equation ay laging may 3 ugat (isinasaalang-alang ang multiplicity).

Dahil ang bawat tunay na polynomial ay hindi kahit degree ay may hindi bababa sa isang tunay na ugat, lahat ng posibleng kaso ng komposisyon ng mga ugat ng isang cubic equation ay naubos ng tatlong inilarawan sa ibaba. Ang mga kasong ito ay madaling makilala gamit ang discriminant

Kaya mayroon lamang tatlong posibleng mga kaso:

Kung ang? > 0, pagkatapos ang equation ay may tatlong magkakaibang tunay na ugat.

Kung ang?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Kung ang? = 0, pagkatapos ay hindi bababa sa dalawang ugat ay nag-tutugma. Ito ay maaaring kapag ang equation ay may dobleng tunay na ugat at isa pang magkaibang tunay na ugat; o, lahat ng tatlong ugat ay nagtutugma, na bumubuo ng ugat ng multiplicity 3. Ang resulta ng cubic equation at ang pangalawang derivative nito ay nakakatulong upang paghiwalayin ang dalawang case na ito: ang polynomial ay may ugat ng multiplicity 3 kung at kung ang ipinahiwatig na resulta ay din. sero.

Ang mga ugat ng isang cubic equation ay nauugnay sa mga coefficient tulad ng sumusunod:

1.2 Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga cubic equation

Ang pinakakaraniwang paraan para sa paglutas ng mga cubic equation ay ang paraan ng enumeration.

Una, sa pamamagitan ng enumeration, makikita natin ang isa sa mga ugat ng equation. Sa katotohanan ay cubic equation laging may kahit na isa tunay na ugat, at ang integer root ng cubic equation na may integer coefficient ay isang divisor ng libreng term d. Ang mga coefficient ng mga equation na ito ay kadalasang pinipili upang ang nais na ugat ay nasa maliliit na integer, tulad ng: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Samakatuwid, hahanapin natin ang ugat sa mga numerong ito at suriin ito sa pamamagitan ng pagpapalit nito sa ang equation. Ang rate ng tagumpay sa diskarteng ito ay napakataas. Ipagpalagay natin ang ugat na ito.

Ang ikalawang yugto ng solusyon ay ang paghahati ng polynomial ng binomial x - x1. Ayon sa teorama ni Bezout, ang dibisyong ito na walang natitira ay posible, at bilang isang resulta ay nakakakuha tayo ng polynomial ng pangalawang degree, na dapat na katumbas ng zero. Sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang quadratic equation, makikita natin (o hindi) ang natitirang dalawang ugat.

Solusyon ng isang two-term cubic equation

Ang dalawang-matagalang cubic equation ay may anyo (2)

Ang equation na ito ay binabawasan sa anyo sa pamamagitan ng paghahati sa isang non-zero coefficient A. Susunod, ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng kabuuan ng mga cube ay inilapat:

Mula sa unang bracket nakita namin, at ang square trinomial ay mayroon lamang kumplikadong mga ugat.

Mga paulit-ulit na cubic equation

Ang reciprocal cubic equation ay may anyo at B-coefficients.

Mag grupo tayo:

Malinaw, ang x=-1 ay ang ugat ng naturang equation, at ang mga ugat ng nagreresultang square trinomial ay madaling mahanap sa pamamagitan ng discriminant.

1.3 Formula ng Cardano

AT pangkalahatang kaso, ang mga ugat ng cubic equation ay matatagpuan ng Cardano formula.

Para sa cubic equation (1), ang mga halaga ay matatagpuan gamit ang pagpapalit: x= (2), at ang equation ay nabawasan sa anyo:

isang hindi kumpletong cubic equation kung saan walang magiging termino na naglalaman ng pangalawang degree.

Ipinapalagay namin na ang equation ay may mga coefficient kumplikadong mga numero. Ang equation na ito ay palaging magkakaroon ng mga kumplikadong ugat.

Tukuyin natin ang isa sa mga ugat na ito: . Ipinakilala namin ang isang pantulong na hindi kilalang u at isinasaalang-alang ang polynomial f(u)=.

Tukuyin natin ang mga ugat ng polynomial na ito sa pamamagitan ng? at?, ayon sa Viette theorem (tingnan ang p. 8):

Ipalit sa equation (3), expression (4), makuha natin ang:

Mula sa kabilang panig ng (5): (7)

Ito ay sumusunod mula dito, i.e. mula sa mga formula (6), (7), na ang mga numero ay ang mga ugat ng equation:

Mula sa huling equation:

Ang iba pang dalawang ugat ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

1.4 trigonometriko formula Vieta

Ang formula na ito ay nakakahanap ng mga solusyon sa pinababang cubic equation, iyon ay, isang equation ng form

Malinaw, ang anumang cubic equation ay maaaring bawasan sa isang equation ng form (4) sa pamamagitan lamang ng paghahati nito sa coefficient a. Kaya, ang algorithm para sa paglalapat ng formula na ito:

Kalkulahin

2. Kalkulahin

3. a) Kung, pagkatapos ay kalkulahin

At ang aming equation ay may 3 ugat (totoo):

b) Kung, pagkatapos ay palitan trigonometriko function hyperbolic.

Kalkulahin

Pagkatapos ang tanging ugat (tunay):

Mga haka-haka na ugat:

C) Kung, kung gayon ang equation ay may mas mababa sa tatlo iba't ibang solusyon:

2. Paglutas ng problema

Halimbawa 1. Hanapin ang tunay na mga ugat ng isang cubic equation

Inilapat namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga cube:

Mula sa unang bracket nakita namin na ang square trinomial sa pangalawang bracket ay walang tunay na mga ugat, dahil ang discriminant ay negatibo.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation

Ang equation na ito ay reciprocal. Mag grupo tayo:

ay ang ugat ng equation. Paghahanap ng mga ugat ng isang square trinomial

Halimbawa 3. Hanapin ang mga ugat ng isang cubic equation

Ibahin natin ang equation sa pinababang isa: i-multiply sa parehong bahagi at gumawa ng pagbabago ng variable.

Ang libreng termino ay 36. Isulat natin ang lahat ng mga divisors nito:

Pinapalitan natin sila sa pagkakapantay-pantay hanggang sa makuha natin ang pagkakakilanlan:

Kaya, ang ugat. Magkatugma

Hatiin sa pamamagitan ng paggamit ng pamamaraan ni Horner.

Mga polynomial coefficient2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

Nakukuha namin

Hanapin natin ang mga ugat ng square trinomial:

Malinaw, iyon ay, ang maramihang ugat nito ay.

Halimbawa 4. Hanapin ang tunay na mga ugat ng equation

ay ang ugat ng equation. Hanapin ang mga ugat ng isang square trinomial.

Dahil ang discriminant mas mababa sa zero, kung gayon ang trinomial ay walang tunay na ugat.

Halimbawa 5. Hanapin ang mga ugat ng cubic equation 2.

Kaya naman,

Pinapalitan namin ang formula ng Cardano:

tumatagal ng tatlong halaga. Isulat natin ang mga ito.

Kapag meron na tayo

Kapag meron na tayo

Kapag meron na tayo

Hatiin natin ang mga halagang ito sa mga pares, na ibinibigay sa produkto

Ang unang pares ng mga halaga at

Ang pangalawang pares ng mga halaga at

Ang ikatlong pares ng mga halaga at

Bumalik sa formula ng Cardano

kaya,

Konklusyon

cubic trinomial equation

Bilang resulta ng pagbitay term paper ang iba't ibang paraan para sa paglutas ng mga equation ng ikatlong antas ay sinisiyasat, tulad ng paraan ng enumeration, formula ni Carano, formula ni Vieta, mga pamamaraan para sa paglutas ng reciprocal, dalawang-term na equation.

Listahan ng mga mapagkukunang ginamit

1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. "Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral ng mga teknikal na unibersidad", M., 1986.

2)Kolmogorov A.N. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Gabay sa pag-aaral para sa ika-9 na baitang mataas na paaralan, 1977.

)Omelchenko V.P. Matematika: pagtuturo/ V.P. Omelchenko, E.V. Kurbatova. - Rostov n / a.: Phoenix, 2005.- 380s.

Pagtuturo

Kailangan ng tulong sa pag-aaral ng isang paksa?

Ang aming mga eksperto ay magpapayo o magbibigay ng mga serbisyo sa pagtuturo sa mga paksang interesado ka.
Magsumite ng isang application na nagpapahiwatig ng paksa ngayon upang malaman ang tungkol sa posibilidad ng pagkuha ng konsultasyon.

Alamin kung paano lutasin ang mga cubic equation. Ang kaso kapag ang isang ugat ay kilala ay isinasaalang-alang. Mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga integer at makatwirang mga ugat. Application ng Cardano at Vieta formula upang malutas ang anumang cubic equation.

Dito isinasaalang-alang namin ang solusyon ng mga cubic equation ng form
(1) .
Dagdag pa, ipinapalagay namin na ito ay tunay na mga numero.

(2) ,
pagkatapos ay paghahatiin ito sa pamamagitan ng , makakakuha tayo ng isang equation ng form (1) na may mga coefficient
.

Ang equation (1) ay may tatlong ugat: , at . Ang isa sa mga ugat ay palaging totoo. Tinutukoy namin ang tunay na ugat bilang . Ang mga ugat at maaaring maging tunay o kumplikadong conjugate. Ang mga tunay na ugat ay maaaring maramihan. Halimbawa, kung , pagkatapos at ay dobleng ugat (o ugat ng multiplicity 2), at ito ay isang simpleng ugat.

Kung isang ugat lang ang alam

Ipaalam sa amin ang isang ugat ng cubic equation (1). Magpakilala kilalang ugat bilang . Pagkatapos ay hinahati ang equation (1) sa , nakakakuha tayo ng quadratic equation. Ang paglutas ng quadratic equation, nakita namin ang dalawa pang ugat at .

Para sa patunay, ginagamit namin ang katotohanan na ang cubic polynomial ay maaaring katawanin bilang:
.
Pagkatapos, paghahati ng (1) sa , nakakakuha tayo ng isang quadratic equation.

Ang mga halimbawa ng dibisyon ng mga polynomial ay ipinakita sa pahina
"Paghahati at pagpaparami ng isang polynomial sa isang polynomial sa pamamagitan ng isang sulok at isang haligi".
Ang solusyon ng mga quadratic equation ay isinasaalang-alang sa pahina
"Ang mga ugat ng isang quadratic equation".

Kung ang isa sa mga ugat ay

Kung ang orihinal na equation ay:
(2) ,
at ang mga coefficient nito , , , ay mga integer, pagkatapos ay maaari mong subukang maghanap ng integer root. Kung ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng coefficient. Ang paraan ng paghahanap ng mga integer na ugat ay hinahanap natin ang lahat ng mga divisors ng isang numero at suriin kung ang equation (2) ay humahawak para sa kanila. Kung ang equation (2) ay nasiyahan, pagkatapos ay natagpuan natin ang ugat nito. Tukuyin natin ito bilang . Susunod, hinati namin ang equation (2) sa . Kumuha kami ng isang quadratic equation. Ang paglutas nito, nakahanap kami ng dalawa pang ugat.

Ang mga halimbawa ng pagtukoy ng mga integer na ugat ay ibinibigay sa pahina
Mga halimbawa ng factorization ng polynomials > > > .

Paghahanap ng Rational Roots

Kung sa equation (2) , , , ay mga integer, at , at walang mga integer na ugat, maaari mong subukang maghanap ng mga makatwirang ugat, iyon ay, mga ugat ng form , kung saan at mga integer.

Upang gawin ito, i-multiply natin ang equation (2) sa pamamagitan ng at gawin ang pagpapalit:
;
(3) .
Susunod, hinahanap namin ang mga integer na ugat ng equation (3) sa mga divisors ng libreng termino.

Kung nakahanap kami ng integer root ng equation (3), pagkatapos, pagbalik sa variable , makuha namin makatwirang ugat mga equation (2):
.

Mga formula ng Cardano at Vieta para sa paglutas ng isang cubic equation

Kung hindi natin alam ang anumang ugat, at walang integer na ugat, makikita natin ang mga ugat ng isang cubic equation gamit ang mga formula ng Cardano.

Isaalang-alang ang cubic equation:
(1) .
Gumawa tayo ng pagpapalit:
.
Pagkatapos nito, ang equation ay binabawasan sa isang hindi kumpleto o pinababang anyo:
(4) ,
saan
(5) ; .

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics para sa mga siyentipiko at mga inhinyero, 2012.

Cubic Equation - algebraic equation ikatlong antas. Pangkalahatang view ng cubic equation: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0

Ang pagpapalit ng x sa equation na ito ng isang bagong hindi kilalang y na nauugnay sa x ng equality x \u003d y - (b / 3a), ang cubic equation ay maaaring bawasan sa isang mas simple (canonical) form: y3 + pу + q \u003d 0, kung saan p \u003d - b2 + c , q = 2b – bc + d

3a2 a 27a3 3a2 a ang solusyon ng equation na ito ay maaaring makuha gamit ang Cardano formula.

1.1 Kasaysayan ng mga cubic equation

Ang terminong "cubic equation" ay ipinakilala ni R. Descartes (1619) at W. Outred (1631).

Ang mga unang pagtatangka upang makahanap ng mga solusyon sa mga problema na binabawasan sa mga cubic equation ay ginawa ng mga sinaunang mathematician (halimbawa, ang mga problema ng pagdodoble ng isang kubo at pag-trisect ng isang anggulo).

Ang mga mathematician ng Middle Ages of the East ay lumikha ng lubos nabuong teorya(sa geometric na hugis) mga equation ng kubiko; ito ay iniharap sa pinaka-detalye sa treatise sa mga patunay ng mga problema sa algebra at almukabala "Omar Khaya" (circa 1070), kung saan ang tanong ng paghahanap positibong mga ugat 14 na uri ng cubic equation na naglalaman lamang ng mga terminong may positibong coefficient sa parehong bahagi.

Sa unang pagkakataon sa Europa trigonometrikong anyo isang solusyon sa isang kaso ng isang cubic equation ay ibinigay ni Viet (1953).

Ang unang solusyon sa mga radical ng isa sa mga uri ng cubic equation ay natagpuan ni S. Ferro (circa 1515), ngunit hindi ito nai-publish. Ang pagtuklas ay independiyenteng inulit ni Tartaglia (1535), na nagpapahiwatig ng isang panuntunan para sa paglutas ng dalawang iba pang uri ng mga cubic equation. Ang mga pagtuklas na ito ay inilathala noong 1545 ni G. Cardano, na binanggit ang pagiging may-akda ni N. Tartaglia.

Sa pagtatapos ng siglo XV. Propesor ng Matematika sa Unibersidad ng Roma at Milan Luca Pacioli sa kanyang sikat na aklat-aralin "Ang kabuuan ng kaalaman sa aritmetika, geometry, relasyon at proporsyonalidad" ang problema sa paghahanap pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga cubic equation, inilagay niya ito sa isang par sa problema ng pag-squaring ng isang bilog. Gayunpaman, sa pamamagitan ng mga pagsisikap ng mga Italian algebraist, ang gayong pamamaraan ay natagpuan sa lalong madaling panahon.

Magsimula tayo sa pagpapasimple

Kung ang cubic equation pangkalahatang pananaw ax3 + bx2 + cx + d = 0, kung saan ang a ≠ 0, na hinati ng a, pagkatapos ang coefficient sa x3 ay magiging katumbas ng 1. Samakatuwid, sa hinaharap ay magpapatuloy tayo mula sa equation na x3 + Px2 + Qx + R = 0. (1)

Kapareho ng nasa puso ng solusyon quadratic equation ang formula para sa parisukat ng kabuuan, ang solusyon ng cubic equation ay batay sa formula para sa cube ng kabuuan:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Upang hindi malito sa mga coefficient, dito namin palitan ang isang x at muling ayusin ang mga termino:

(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)

Nakikita natin na sa tamang paraan b, ibig sabihin, sa pamamagitan ng pagkuha ng b = P/3, makakamit natin iyon kanang bahagi ng formula na ito ay mag-iiba mula sa kaliwang bahagi ng equation x3 + Px2 + Qx + R = 0 lamang sa pamamagitan ng coefficient sa x at ang libreng term. Idinagdag namin ang equation na x3 + Px2 + Qx + R = 0 at (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 at magbigay ng mga katulad:

(x + b)3 + (Q - 3b2)x + R - b3 = 0.

Kung gagawin natin ang pagbabago dito y = x + b, makakakuha tayo ng cubic equation para sa y na walang term na may y2: y3 + py + q = 0.

Kaya, ipinakita namin na sa cubic equation x3 + Px2 + Qx + R = 0, gamit ang isang naaangkop na pagpapalit, maaari mong alisin ang terminong naglalaman ng parisukat ng hindi alam. Samakatuwid, ngayon ay malulutas natin ang isang equation ng form na x3 + px + q = 0. (3)

1.2 Kasaysayan ng formula ng Cardano

Ang pormula ng Cardano ay ipinangalan kay J. Cardano, na unang naglathala nito noong 1545.

Ang may-akda ng formula na ito ay si Niccolò Tartaglia. Nilikha niya ang solusyon na ito noong 1535 partikular para sa pakikilahok sa isang kumpetisyon sa matematika, kung saan, siyempre, siya ay nanalo. Tartaglia, na nagbibigay ng formula (sa anyong patula) Cardano, ipinakita lamang ang bahaging iyon ng solusyon ng cubic equation kung saan ang ugat ay may isang (tunay) na halaga.

Ang mga resulta ng Cardano sa formula na ito ay tumutukoy sa pagsasaalang-alang ng tinatawag na hindi mababawasan na kaso, kung saan ang equation ay may tatlong halaga (mga tunay na halaga, sa mga araw na iyon ay walang mga haka-haka o kahit na negatibong mga numero, kahit na may mga pagtatangka sa ito. direksyon). Gayunpaman, salungat sa katotohanan na ipinahiwatig ni Cardano sa kanyang publikasyon ang pagiging may-akda ng Tartaglia, ang formula ay tinawag sa pangalan ng Cardano.

1. 3 Cardano Formula

Ngayon tingnan natin muli ang sum cube formula, ngunit isulat ito nang iba:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).

Ihambing ang entry na ito sa equation na x3 + px + q = 0 at subukang magtatag ng koneksyon sa pagitan nila. Palitan sa aming formula x = a + b: x3 = a3 + b3 + 3abx, o x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0

Ngayon ay malinaw na: upang mahanap ang ugat ng equation x3 + px + q = 0, sapat na upang malutas ang sistema ng mga equation a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q, o

3аb \u003d - p, a3b3 \u003d - p 3,

3 at kunin bilang x ang kabuuan ng a at b. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng u = a3, v = b3 ang sistemang ito ay nababawasan ng ganap malinaw na paningin: at + v = - q, at v = - p 3.

Pagkatapos ay maaari kang kumilos sa iba't ibang paraan, ngunit ang lahat ng "mga kalsada" ay hahantong sa parehong quadratic equation. Halimbawa, ayon sa teorama ni Vieta, ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng coefficient sa x na may minus sign, at ang produkto ay katumbas ng libreng termino. Ito ay nagpapahiwatig na at at v ang mga ugat ng equation na t2 + qt – (p/3)3 = 0.

Isulat natin ang mga ugat na ito: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

Ang mga variable na a at b ay katumbas ng mga ugat ng kubo mula sa t1 at t2, at ang nais na solusyon ng cubic equation x3 + px + q = 0 ay ang kabuuan ng mga ugat na ito: x = 3 - q + q 2 + p 3+ 3 - q - q 2 + p 3 .

Ang formula na ito ay kilala bilang ang Cardano formula.

Paglutas ng mga Equation

Bago tingnan ang formula ng Cardano sa trabaho, ipaliwanag natin kung paano hanapin ang iba pang mga ugat nito, kung mayroon man, mula sa isang ugat ng cubic equation x3 + px + q = 0.

Ipaalam na ang ating equation ay may ugat na h. Pagkatapos ang kaliwang bahagi nito ay maaaring mabulok sa linear at square multiplier. Ginagawa ito nang napakasimple. Pinapalitan namin ang pagpapahayag ng libreng termino sa pamamagitan ng ugat q \u003d - h3 - ph sa equation at ginagamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube:

0 \u003d x3 - h3 + px - ph \u003d (x - h) (x2 + hx + h2) + p (x - h) \u003d (x - h) (x2 + hx + h2 + p).

Ngayon ay maaari mong lutasin ang quadratic equation x2 + hx + h2 + p = 0 at hanapin ang natitirang mga ugat ng cubic equation na ito.

Kaya, kami ay ganap na armado at, tila, maaari naming makayanan ang anumang cubic equation. Subukan natin ang ating mga kamay.

1. Magsimula tayo sa equation na x3 + 6x - 2 = 0

Pinapalitan natin ang p = 6 at q = -2 sa formula ng Cardano at pagkatapos ng mga simpleng pagbabawas ay makukuha natin ang sagot: x = 3√4 - 3√2. Well, ang formula ay medyo maganda. Tanging ang pag-asam na kunin ang salik na x - (3√4 - 3√2) mula sa kaliwang bahagi ng equation at paglutas sa natitirang quadratic equation na may "kakila-kilabot" na mga coefficient upang kalkulahin ang iba pang mga ugat ay hindi masyadong nagbibigay inspirasyon. Gayunpaman, kung titingnan ang equation nang mas malapit, maaari tayong huminahon: ang function sa kaliwang bahagi ay mahigpit na tumataas at samakatuwid ay maaaring mawala nang isang beses lamang. Nangangahulugan ito na ang numerong natagpuan ay ang tanging tunay na ugat ng equation.

y y \u003d x3 + 6x - 2

3√4 – 3√2 x

kanin. 1 Ang graph ng function na y \u003d x3 + 6x - 2 ay tumatawid sa x-axis sa isang punto - 3√4 - 3√2.

2. Susunod na halimbawa- ang equation na x3 + 3x - 4 = 0.

Ang formula ng Cardano ay nagbibigay ng x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.

Tulad ng sa nakaraang halimbawa, nakikita natin na ang ugat na ito ay natatangi. Ngunit hindi mo kailangang maging sobrang insightful upang tingnan ang equation at hulaan ang ugat nito: x = 1. Kailangan nating aminin na ibinigay ng formula ang karaniwang yunit sa kakaibang anyo. Sa pamamagitan ng paraan, upang pasimplehin ang masalimuot na ito ngunit hindi walang elegance expression mga pagbabagong algebraic nabigo - kubiko irrationalities sa loob nito ay hindi maiiwasan.

3. Buweno, ngayon ay kumuha tayo ng isang equation na malinaw na may tatlong tunay na ugat. Madali itong buuin - paramihin lamang ang tatlong bracket ng anyong x - b. Kailangan mo lamang mag-ingat na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng zero, dahil, ayon sa pangkalahatang teorama Vieta, ito ay naiiba sa koepisyent sa x2 lamang sa sign. Ang pinakasimpleng hanay ng naturang mga ugat ay 0, 1, at -1.

Ilapat natin ang formula ng Cardano sa equation na x (x - 1) (x + 1) = 0, o x3 - x = 0.

Ipagpalagay na p = -1 at q = 0 sa loob nito, nakukuha natin ang x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.

y y \u003d x (x - 1) (x + 1)

kanin. 2 Ang equation x (x - 1) (x + 1) \u003d 0 ay may tatlong tunay na ugat: -1, 0 at 1. Alinsunod dito, ang graph ng function na y \u003d x (x - 1) (x + 1) bumabagtas sa x-axis sa tatlong punto.

lumitaw sa ilalim ng tanda ng square root isang negatibong numero. Nangyayari rin ito kapag nilulutas ang mga quadratic equation. Ngunit ang quadratic equation sa kasong ito ay walang tunay na mga ugat, habang ang kubiko ay may tatlo sa kanila!

Ang isang mas malapit na pagsusuri ay nagpapakita na hindi kami nahulog sa bitag na ito nang hindi sinasadya. Ang equation na x3 + px + q = 0 ay may tatlong tunay na ugat kung at tanging kung ang expression na Δ = (q/2)2 + (p/3)3 sa ilalim parisukat na ugat sa Cardano formula ay negatibo. Kung Δ > 0, kung gayon mayroong isang tunay na ugat (Larawan 3b), at kung Δ = 0, kung gayon mayroong dalawa sa kanila (isa sa kanila ay doble), maliban sa kaso p = q = 0, kapag ang lahat ng tatlo nagsanib ang mga ugat.

y Δ 0 y \u003d -px - q y \u003d x3

0 x 0 x y \u003d -px - q y \u003d x3 a) b)

kanin. 3 Ang cubic equation na x3 + px + q = 0 ay maaaring katawanin bilang x3 = -px - q. Ipinapakita nito na ang mga ugat ng equation ay tumutugma sa abscissas ng mga intersection point ng dalawang graph: y \u003d x3 at y \u003d -px - q. Kung ang Δ 0 ay isa.

1.4 Ang teorama ni Vieta

Ang teorama ni Vieta. Kung isang integer rational equation degree n nabawasan sa karaniwang view, ay may n natatanging tunay na ugat x1, x2,. xn, pagkatapos ay natutugunan nila ang mga pagkakapantay-pantay: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 x2 xn = (-1)nаn.

Para sa mga ugat ng equation ng ikatlong antas a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, kung saan a0 ≠ 0, ang equalities x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3 ay may bisa.

1. 5 Teorama ni Bezout. pakana ni Horner

Ang solusyon ng mga equation ay malapit na nauugnay sa factorization ng polynomials. Samakatuwid, kapag nilulutas ang mga equation, lahat ng bagay na konektado sa pagpili sa polynomial ay mahalaga linear na mga kadahilanan, ibig sabihin, na may dibisyon ng polynomial A(x) ng binomial x - α. Ang batayan ng maraming kaalaman tungkol sa paghahati ng polynomial A(x) ng binomial x - α ay isang theorem na kabilang sa Pranses na matematiko Etienne Bez (1730-1783) at nagtataglay ng kanyang pangalan.

Ang teorama ni Bezout. Ang natitirang bahagi ng dibisyon ng polynomial A (x) ng binomial x - α ay katumbas ng A (α) (i.e., ang halaga ng polynomial A (x) sa x = α).

Hanapin ang natitira pagkatapos hatiin ang polynomial A(x) = x4 - 6x3 + 8 sa x + 2.

Desisyon. Ayon sa Bezout theorem, ang natitira sa dibisyon sa pamamagitan ng x + 2 ay A (-2) \u003d (-2) 4 - 6 (-2) 3 + 8 \u003d 72.

Isang maginhawang paraan upang mahanap ang mga halaga ng isang polynomial kapag itakda ang halaga Ang variable na x ay ipinakilala ng English mathematician na si Williams George Horner (1786-1837). Ang pamamaraang ito ay tinawag na pamamaraan ni Horner. Binubuo ito sa pagpuno sa ilang talahanayan ng dalawang linya. Halimbawa, upang kalkulahin ang A(-2) sa nakaraang halimbawa, sa tuktok na linya ng talahanayan ay inilista namin ang mga coefficient binigay na polynomial, nakasulat sa karaniwang anyo x4 - 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8.

Doblehin namin ang koepisyent sa pinakamataas na antas sa ilalim na linya, at bago ito isulat namin ang halaga ng variable x = -2, kung saan kinakalkula ang halaga ng polynomial. Nagreresulta ito sa sumusunod na talahanayan:

Pinupunan namin ang mga walang laman na cell ng talahanayan ayon sa sumusunod na panuntunan: ang pinakakanang numero ng hanay sa ibaba ay pinarami ng -2 at idinagdag sa numero sa itaas ng walang laman na cell. Ayon sa panuntunang ito, ang unang cell na walang laman ay naglalaman ng numero (-2) 1 + (-6) = -8, ang pangalawang cell ay naglalaman ng numero (-2) (-8) + 0 = 16, ang ikatlong cell ay naglalaman ng numero (- 2) 16 + 0 = - 32, in huling kulungan- numero (-2) (-32) + 8 \u003d 72. Ang talahanayan na ganap na napunan ayon sa scheme ni Horner ay ganito ang hitsura:

2 1 -8 16 -32 72

Ang numero sa huling cell ay ang natitira sa paghahati ng polynomial sa x + 2, A(-2) = 72.

Sa katunayan, mula sa resultang talahanayan, na napunan ayon sa pamamaraan ni Horner, maaaring isulat ng isa hindi lamang ang natitira, kundi pati na rin ang hindi kumpletong kusyente

Q(x) \u003d x3 - 8x2 + 16x - 32, dahil ang numero sa pangalawang linya (hindi binibilang mula sa huli) ay ang mga coefficient ng polynomial Q (x) - ang hindi kumpletong quotient ng dibisyon ng x + 2.

Lutasin ang equation x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0

Isinulat namin ang lahat ng mga divisors ng libreng termino ng equation: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

x=1, x=-2, x=3

Sagot: x = 1, x = -2, x = 3

2. KONKLUSYON

Bubuo ako ng mga pangunahing konklusyon tungkol sa gawaing ginawa.

Sa proseso ng trabaho, nakilala ko ang kasaysayan ng pag-unlad ng problema ng paglutas ng isang equation ng ikatlong antas. Ang teoretikal na kahalagahan ng mga resultang nakuha ay nakasalalay sa katotohanang sinasadya nitong pumalit sa pormula ni Cardano sa paglutas ng ilang mga equation ng ikatlong antas. Tiniyak ko na ang pormula para sa paglutas ng equation ng ikatlong antas ay umiiral, ngunit dahil sa pagiging kumplikado nito ay hindi ito tanyag at hindi masyadong maaasahan, dahil hindi ito palaging umaabot sa huling resulta.

Sa hinaharap, maaari nating isaalang-alang ang mga naturang katanungan: kung paano malalaman nang maaga kung ano ang mga ugat ng isang equation ng ikatlong antas; maaari bang malutas ang isang cubic equation graphically kung maaari, paano; paano tantyahin ang humigit-kumulang na mga ugat ng isang cubic equation?

Mga layunin ng aralin.

1. Upang palalimin ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksang "Paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas" at ibuod ang materyal na pang-edukasyon.
2. Upang ipakilala ang mga mag-aaral sa mga paraan ng paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas.
3. Upang turuan ang mga mag-aaral na ilapat ang teorya ng divisibility kapag nilulutas ang mga equation ng mas mataas na antas.
4. Upang turuan ang mga mag-aaral kung paano hatiin ang isang polynomial sa isang polynomial sa pamamagitan ng "sulok".
5. Bumuo ng mga kasanayan at kakayahan upang gumana sa mga equation ng mas mataas na antas.

Pagbuo:

1. Pag-unlad ng atensyon ng mag-aaral.
2. Pag-unlad ng kakayahang makamit ang mga resulta ng trabaho.
3. Pag-unlad ng interes sa pag-aaral ng algebra at independiyenteng mga kasanayan sa trabaho.

Pangangalaga:

1. Pagtaas ng pakiramdam ng kolektibismo.
2. Ang pagbuo ng isang pakiramdam ng responsibilidad para sa resulta ng trabaho.
3. Formasyon sa mga mag-aaral sapat na pagpapahalaga sa sarili kapag pumipili ng marka para sa gawain sa aralin.

Kagamitan: computer, projector.

Sa panahon ng mga klase

1 yugto ng trabaho. Oras ng pag-aayos.

2 yugto ng trabaho. Pagganyak at paglutas ng problema

Equation isa sa ang pinakamahalagang konsepto matematika. Ang pagbuo ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation, simula sa pagsilang ng matematika bilang isang agham, matagal na panahon ay ang pangunahing paksa ng pag-aaral ng algebra.

AT kurso sa paaralan ang pag-aaral ng matematika ay binibigyang pansin ang paglutas ng iba't ibang uri ng equation. Hanggang sa ika-siyam na baitang, maaari lamang nating lutasin ang mga linear at quadratic na equation. Mga equation ng ikatlo, ikaapat, atbp. Ang mga degree ay tinatawag na mga equation ng mas mataas na degree. Sa ika-siyam na baitang, nakilala namin ang dalawang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng ilang mga equation ng ikatlo at ikaapat na antas: pag-factor ng polynomial sa mga salik at paggamit ng pagbabago ng variable.

Posible bang malutas ang mga equation ng mas mataas na antas? Susubukan naming makahanap ng sagot sa tanong na ito ngayon.

3 yugto ng trabaho. Repasuhin ang dating natutunang materyal. Ipakilala ang konsepto ng isang equation ng mas mataas na antas.

1) Solusyon ng isang linear equation.

Ang linear ay isang equation ng form , kung saan ayon sa kahulugan. Ang equation na ito ay may isang ugat lamang.

2) Solusyon ng isang quadratic equation.

Isang equation ng form , saan . Ang bilang ng mga ugat at ang mga ugat mismo ay tinutukoy ng discriminant ng equation. Para sa equation ay walang mga ugat, dahil may isang ugat (dalawa magkaparehong ugat)

, dahil may dalawang magkaibang ugat .

Mula sa itinuturing na linear at quadratic equation, makikita natin na ang bilang ng mga ugat ng equation ay hindi hihigit sa antas nito. Sa kurso ng mas mataas na algebra, napatunayan na ang equation ng -th degree ay hindi hihigit sa n mga ugat. Kung tungkol sa mga ugat mismo, ang sitwasyon ay mas kumplikado. Para sa mga equation ng ikatlo at ikaapat na degree, ang mga formula ay kilala sa paghahanap ng mga ugat. Gayunpaman, ang mga formula na ito ay napaka-kumplikado at masalimuot at praktikal na aplikasyon Wala. Para sa mga equation ng ikalimang at mas mataas na degree pangkalahatang mga formula ay hindi umiiral at hindi maaaring umiral (tulad ng pinatunayan noong ika-19 na siglo nina N. Abel at E. Galois).

Tatawagin natin ang mga equation na pangatlo, ikaapat, atbp. degree sa pamamagitan ng mga equation ng mas mataas na degree. Ilang Equation mataas na grado maaaring lutasin gamit ang dalawang pangunahing pamamaraan: pag-factor ng polynomial sa mga salik o paggamit ng pagbabago ng variable.

3) Solusyon ng cubic equation.

Lutasin natin ang cubic equation

Ipangkat namin ang mga termino ng polynomial sa kaliwang bahagi ng equation at i-factor ito. Nakukuha namin:

Ang produkto ng mga kadahilanan ay katumbas ng zero kung ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Nakukuha namin ang tatlong linear equation:

Kaya, ang cubic equation na ito ay may tatlong ugat: ; ;.

4) Solusyon ng biquadratic equation.

Ang mga biquadratic na equation ay napakakaraniwan, na may anyo (ibig sabihin, mga equation na quadratic na may kinalaman sa ). Upang malutas ang mga ito, isang bagong variable ang ipinakilala.

Kami ang magpapasya biquadratic equation.

Magpakilala tayo ng bagong variable at kumuha ng quadratic equation , na ang mga ugat ay ang mga numero at 4.

Bumalik tayo sa lumang variable at kumuha ng dalawang simpleng quadratic equation:

(ugat at ) (ugat at )

Kaya, ang biquadratic equation na ito ay may apat na ugat:

; ;.

Subukan nating lutasin ang equation gamit ang mga pamamaraan sa itaas.

FAIL!!!

4 na yugto ng trabaho. Magbigay ng ilang pahayag tungkol sa mga ugat ng isang polynomial ng anyong , kung saan polynomial nth degrees

Narito ang ilang pahayag tungkol sa mga ugat ng isang polynomial ng anyo:

1) Ang isang polynomial ng ika-degree ay may pinakamaraming mga ugat (isinasaalang-alang ang kanilang mga multiplicity). Halimbawa, ang isang third degree polynomial ay hindi maaaring magkaroon ng apat na ugat.

2) Ang isang polynomial ng kakaibang degree ay may hindi bababa sa isang ugat. Halimbawa, ang mga polynomial ng una, ikatlo, ikalima, atbp. degree ay may hindi bababa sa isang ugat. Ang mga polynomial ng pantay na antas ay maaaring may mga ugat o hindi.

3) Kung sa mga dulo ng segment ang mga halaga ng polynomial ay may iba't ibang mga palatandaan (i.e., ), kung gayon ang pagitan ay naglalaman ng hindi bababa sa isang ugat. Ang pahayag na ito ay malawakang ginagamit para sa tinatayang pagkalkula ng mga ugat ng isang polynomial.

4) Kung ang numero ay ugat ng isang polynomial ng form , ang polynomial na ito ay maaaring katawanin bilang isang produkto , kung saan ang polynomial (-th degree. Sa madaling salita, ang polynomial ng form ay maaaring hatiin nang walang natitira sa pamamagitan ng Binomial. Binibigyang-daan nito ang equation ng th degree na bawasan sa equation (-th degree (bawasan ang degree ng equation).

5) Kung ang isang equation na may lahat ng integer coefficients (bukod dito, ang libreng termino) ay may integer na ugat, kung gayon ang ugat na ito ay isang divisor ng libreng termino. Ang ganitong pahayag ay nagpapahintulot sa iyo na piliin ang buong ugat ng polynomial (kung mayroon ito).

5 yugto ng trabaho. Ipakita kung paano inilapat ang teorya ng divisibility upang malutas ang mga equation ng mas mataas na degree. Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga equation ng mas mataas na degree, kung saan ang kaliwang bahagi ay na-factorize gamit ang paraan ng paghahati ng polynomial sa polynomial sa pamamagitan ng isang "sulok".

Halimbawa 1. Lutasin ang equation .

Kung ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng libreng term (-1), i.e. katumbas ng isa sa mga numero: . Ang tseke ay nagpapakita na ang ugat ng equation ay ang numero -1. Samakatuwid, ang polynomial ay maaaring katawanin bilang isang produkto, i.e. ang isang polynomial ay maaaring hatiin sa isang binomial na walang natitira. Gawin natin ang sumusunod na dibisyon ayon sa "sulok":

Kaya, talagang na-decompose natin ang kaliwang bahagi ng equation sa mga salik:

Ang produkto ng mga kadahilanan ay katumbas ng zero kung ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Kumuha kami ng dalawang equation.

Ang mga cubic equation ay may anyo palakol 3 + bx 2 + cx + d= 0). Ang isang paraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay kilala sa loob ng ilang siglo (ito ay natuklasan noong ika-16 na siglo ng mga Italian mathematician). Ang paglutas ng ilang cubic equation ay medyo mahirap, ngunit may tamang diskarte (at magandang antas teoretikal na kaalaman) magagawa mong lutasin kahit na ang pinakamasalimuot na cubic equation.

Mga hakbang

Solusyon gamit ang isang formula para sa paglutas ng isang quadratic equation

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang mga cubic equation ay may anyo a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), kung saan ang mga coefficient c (\displaystyle c) at d (\displaystyle d) maaaring magkapantay 0 (\displaystyle 0), ibig sabihin, ang isang cubic equation ay maaaring binubuo lamang ng isang termino (na may variable sa ikatlong antas). Una, suriin kung ang cubic equation na ibinigay sa iyo ay may intercept, iyon ay, d (\displaystyle d). Kung walang libreng termino, maaari mong lutasin ang cubic equation na ito gamit ang formula para sa paglutas ng quadratic equation.

• Kung may humarang, gumamit ng ibang paraan ng solusyon (tingnan ang mga sumusunod na seksyon).

1. Since in ibinigay na equation walang libreng termino, kung gayon ang lahat ng termino ng equation na ito ay naglalaman ng variable x (\displaystyle x), na maaaring i-bracket: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

   • Halimbawa. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Kung magtitiis ka x (\displaystyle x) bracket, nakukuha mo x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. Tandaan na ang equation sa mga bracket ay isang quadratic equation ng form ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), na maaaring malutas gamit ang formula ((- b +/-√ (). Lutasin ang isang quadratic equation at malulutas mo ang isang cubic equation.

   • Sa aming halimbawa, palitan ang mga halaga ng mga coefficient a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) sa formula: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2))^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • Solusyon 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12.8 at 6 (\displaystyle (\frac (2+12.8i)(6)))
   • Solusyon 2: 2 − 12.8 at 6 (\displaystyle (\frac (2-12.8i)(6)))

3. Tandaan na ang mga quadratic equation ay may dalawang solusyon, habang ang cubic equation ay may tatlong solusyon. Nakakita ka ng dalawang solusyon sa isang quadratic, at samakatuwid ay isang cubic equation. Sa mga kaso kung saan inilagay mo ang "x" sa labas ng mga bracket, ang pangatlong solusyon ay palaging 0 (\displaystyle 0).

   • Ito ay totoo dahil ang anumang numero o expression na pinarami ng 0 (\displaystyle 0), katumbas 0 (\displaystyle 0). Simula nung nagtiis ka x (\displaystyle x) wala sa mga bracket, pagkatapos ay na-decompose mo ang cubic equation sa dalawang salik ( x (\displaystyle x) at isang quadratic equation), ang isa ay dapat na katumbas ng 0 (\displaystyle 0) upang ang buong equation ay katumbas ng 0 (\displaystyle 0).

   Paghahanap ng buong solusyon gamit ang factorization

   1. Suriin kung ang cubic equation na ibinigay sa iyo ay may intercept. Ang pamamaraang inilarawan sa nakaraang seksyon ay hindi angkop para sa paglutas ng mga cubic equation kung saan mayroong libreng termino. Sa kasong ito, kakailanganin mong gamitin ang paraang inilarawan dito o sa susunod na seksyon.

      • Halimbawa. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Dito, ilipat ang isang maluwag na titi d = − 6 (\displaystyle d=-6) sa kaliwang bahagi ng equation upang kanang bahagi makuha 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. Maghanap ng mga coefficient multiplier a (\displaystyle a)(coefficient sa x 3 (\displaystyle x^(3))) at libreng miyembro d (\displaystyle d). Ang mga kadahilanan ng isang numero ay mga numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay orihinal na numero. Halimbawa, ang mga kadahilanan ng numero 6 (\displaystyle 6) ay ang mga numero 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\beses 1) at 2 × 3 (\displaystyle 2\beses 3)).

      • Sa ating halimbawa a = 2 (\displaystyle a=2) at d = 6 (\displaystyle d=6). Mga multiplier 2 (\displaystyle 2) ay mga numero 1 (\displaystyle 1) at 2 (\displaystyle 2). Mga multiplier 6 (\displaystyle 6) ay mga numero 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), at 6 (\displaystyle 6).

   3. Divide coefficient multipliers a (\displaystyle a) sa pamamagitan ng mga kadahilanan ng libreng termino d (\displaystyle d). Makakakuha ka ng mga fraction at buong numero. Ang integer solution ng cubic equation na ibinigay sa iyo ay isa sa mga integer na ito, o ang negatibong halaga ng isa sa mga integer na ito.

      • Sa aming halimbawa, hatiin ang mga kadahilanan a (\displaystyle a) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) sa pamamagitan ng mga salik d (\displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) at makakuha ng: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) at . Ngayon idagdag sa hanay na ito ng mga numero ang kanilang mga negatibong halaga: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) at − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Ang mga integer na solusyon ng cubic equation na ibinigay sa iyo ay nasa seryeng ito ng mga numero.

   4. Makakahanap ka na ngayon ng mga integer na solusyon sa iyong cubic equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga integer mula sa nahanap na serye ng mga numero dito. Ngunit kung ayaw mong mag-aksaya ng oras dito, gamitin. Ang scheme na ito ay nagsasangkot ng paghahati ng mga integer sa mga halaga a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d) ibinigay na cubic equation. Kung ang natitira ay 0 (\displaystyle 0), ang integer ay isa sa mga solusyon ng cubic equation.

      • Ang paghahati ni Horner ay hindi isang madaling paksa; upang makatanggap karagdagang impormasyon sundan ang link na ibinigay sa itaas. Narito ang isang halimbawa kung paano hanapin ang isa sa mga solusyon sa isang cubic equation na ibinigay sa iyo gamit ang Horner's division: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Dahil ang natitira 0 (\displaystyle 0), kung gayon ang isa sa mga solusyon sa equation ay isang integer − 1 (\displaystyle -1).

   Gamit ang discriminant

   1. Sa pamamaraang ito, gagana ka sa mga halaga ng koepisyent a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d). Samakatuwid, mas mahusay na isulat ang mga halaga ng mga coefficient na ito nang maaga.

      • Halimbawa. matematika>x^3-3x^2+3x-1. Dito a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). Huwag kalimutan na kapag x (\displaystyle x) walang coefficient, nangangahulugan ito na ang coefficient ay katumbas ng 1 (\displaystyle 1).

   2. Kalkulahin △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). Ang pamamaraang ito ay mangangailangan ng ilang kumplikadong mga kalkulasyon, ngunit kung naiintindihan mo ito, magagawa mong lutasin ang pinaka kumplikadong mga cubic equation. Upang magsimula, kalkulahin △ 0 (\displaystyle \triangle _(0)), isa sa ilang mahahalagang dami na kakailanganin natin sa pamamagitan ng pagpapalit ng naaangkop na mga halaga sa formula.

      • Sa aming halimbawa: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\triangle _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\triangle _(1))

   3. Kalkulahin ang Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 a 2 . Ngayon kalkulahin ang discriminant ng equation gamit ang mga nahanap na halaga ng Δ0 at Δ1. Ang discriminant ay isang numero na nagbibigay sa iyo ng impormasyon tungkol sa mga ugat ng isang polynomial (maaaring alam mo na na ang discriminant ng isang quadratic equation ay b 2 - 4ac). Sa kaso ng isang cubic equation, kung ang discriminant ay positibo, ang equation ay may tatlong solusyon; kung ang discriminant ay zero, ang equation ay may isa o dalawang solusyon; kung ang discriminant ay negatibo, ang equation ay mayroon lamang isang solusyon. Ang isang cubic equation ay laging may kahit isang solusyon dahil ang graph ng naturang equation ay nag-intersect sa x-axis sa hindi bababa sa isang punto.

      • Kung papalitan mo ang naaangkop na mga halaga ng mga dami sa formula na ito, makakakuha ka mga posibleng solusyon ang cubic equation na ibinigay sa iyo. Palitan ang mga ito sa orihinal na equation at kung ang pagkakapantay-pantay ay natutugunan, kung gayon ang mga solusyon ay tama. Halimbawa, kung isaksak mo ang mga halaga sa formula at makakuha ng 1, isaksak ang 1 sa x 3 - 3x 2 + 3x- 1 at makakuha ng 0. Iyon ay, ang pagkakapantay-pantay ay sinusunod, at 1 ay isa sa mga solusyon sa cubic equation na ibinigay sa iyo.