Ang pagsasagawa ng USE at GIA noong nakaraang taon ay nagpapakita na ang mga problema sa geometry ay nagdudulot ng kahirapan para sa maraming estudyante. Madali mong makakayanan ang mga ito kung kabisado mo ang lahat mga kinakailangang formula at magsanay sa paglutas ng problema.

Sa artikulong ito, makikita mo ang mga formula para sa paghahanap ng lugar ng isang trapezoid, pati na rin ang mga halimbawa ng mga problema sa mga solusyon. Ang parehong mga ito ay maaaring makita sa iyo sa mga KIM sa mga pagsusulit sa sertipikasyon o sa olympiads. Samakatuwid, tratuhin silang mabuti.

Ano ang kailangan mong malaman tungkol sa trapezoid?

Upang magsimula, tandaan natin iyon trapesiyo tinatawag na quadrilateral na may dalawa magkabilang panig, sila ay tinatawag ding mga base, ay parallel, at ang iba pang dalawa ay hindi.

Sa isang trapezoid, ang taas (patayo sa base) ay maaari ding tanggalin. Ang gitnang linya ay iginuhit - ito ay isang tuwid na linya na parallel sa mga base at katumbas ng kalahati ng kanilang kabuuan. Pati na rin ang mga dayagonal na maaaring mag-intersect, na bumubuo ng matalim at mahinang mga anggulo. O, sa ilang mga kaso, sa tamang anggulo. Bilang karagdagan, kung ang trapezoid ay isosceles, ang isang bilog ay maaaring nakasulat dito. At ilarawan ang isang bilog sa paligid nito.

Mga formula ng lugar ng trapezium

Upang magsimula, isaalang-alang karaniwang mga formula paghahanap ng lugar ng isang trapezoid. Ang mga paraan upang makalkula ang lugar ng isosceles at curvilinear trapezoids ay isasaalang-alang sa ibaba.

Kaya, isipin na mayroon kang isang trapezoid na may mga base a at b, kung saan ang taas h ay ibinaba sa mas malaking base. Ang pagkalkula ng lugar ng isang figure sa kasong ito ay madali. Kailangan mo lamang na hatiin ng dalawa ang kabuuan ng mga haba ng mga base at i-multiply kung ano ang mangyayari sa taas: S = 1/2(a + b)*h.

Kumuha tayo ng isa pang kaso: ipagpalagay na bilang karagdagan sa taas, ang trapezoid ay may median line m. Alam namin ang formula para sa paghahanap ng haba ng midline: m = 1/2(a + b). Samakatuwid, marapat nating gawing simple ang formula para sa lugar ng isang trapezoid ang sumusunod na uri: S = m * h. Sa madaling salita, upang mahanap ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong i-multiply ang midline sa taas.

Isaalang-alang natin ang isa pang pagpipilian: ang mga diagonal d 1 at d 2 ay iginuhit sa isang trapezoid, na hindi bumalandra sa isang tamang anggulo α. Upang kalkulahin ang lugar ng naturang trapezoid, kailangan mong hatiin ang produkto ng mga diagonal at i-multiply ang nakuha mo sa kasalanan ng anggulo sa pagitan nila: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Ngayon isaalang-alang ang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang trapezoid kung walang nalalaman tungkol dito maliban sa mga haba ng lahat ng panig nito: a, b, c at d. Napakalaki nito at kumplikadong pormula, ngunit magiging kapaki-pakinabang para sa iyo na tandaan ito kung sakaling: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Sa pamamagitan ng paraan, ang mga halimbawa sa itaas ay totoo din para sa kaso kapag kailangan mo ang formula ng lugar hugis-parihaba na trapezoid. Ito ay isang trapezoid, ang gilid nito ay magkadugtong sa mga base sa isang tamang anggulo.

Isosceles trapezium

Ang isang trapezoid na ang mga gilid ay pantay ay tinatawag na isosceles. Isasaalang-alang namin ang ilang mga variant ng formula ng lugar isosceles trapezoid.

Unang pagpipilian: para sa kaso kapag ang isang bilog na may radius r ay nakasulat sa loob ng isang isosceles trapezoid, at ang gilid at mas malaking base ay nabuo matalim na sulok a. Ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid sa kondisyon na ang kabuuan ng mga haba ng mga base nito ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid.

Ang lugar ng isang isosceles trapezoid ay kinakalkula tulad ng sumusunod: i-multiply ang parisukat ng radius ng inscribed na bilog sa pamamagitan ng apat at hatiin ang lahat ng ito sa sinα: S = 4r 2 /sinα. Ang isa pang formula ng lugar ay isang espesyal na kaso para sa opsyon kapag ang anggulo sa pagitan ng malaking base at gilid ay 30 0: S = 8r2.

Ang pangalawang pagpipilian: sa oras na ito kumuha kami ng isang isosceles trapezoid, kung saan, bilang karagdagan, ang mga diagonal d 1 at d 2 ay iginuhit, pati na rin ang taas h. Kung ang mga dayagonal ng isang trapezoid ay magkaparehong patayo, ang taas ay kalahati ng kabuuan ng mga base: h = 1/2(a + b). Dahil alam ito, madaling i-convert ang formula ng trapezoid area na pamilyar sa iyo sa form na ito: S = h2.

Ang formula para sa lugar ng isang curvilinear trapezoid

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-unawa: ano ang isang curvilinear trapezoid. Isipin ang isang coordinate axis at isang graph ng tuluy-tuloy at hindi-negatibong function f na hindi nagbabago ng sign sa loob isang ibinigay na segment sa x-axis. Ang isang curvilinear trapezoid ay nabuo sa pamamagitan ng graph ng function na y \u003d f (x) - sa itaas, ang x axis - sa ibaba (segment), at sa mga gilid - mga tuwid na linya na iginuhit sa pagitan ng mga punto a at b at ng graph ng function.

Imposibleng kalkulahin ang lugar ng naturang hindi karaniwang figure gamit ang mga pamamaraan sa itaas. Dito kailangan mong mag-apply pagsusuri sa matematika at gamitin ang integral. Ibig sabihin, ang formula ng Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Sa formula na ito, ang F ay ang antiderivative ng aming function sa napiling interval. At ang lugar curvilinear trapezoid tumutugma sa pagtaas ng antiderivative sa ibinigay na segment.

Mga halimbawa ng gawain

Upang gawing mas mahusay ang lahat ng mga formula na ito sa iyong ulo, narito ang ilang mga halimbawa ng mga problema para sa paghahanap ng lugar ng isang trapezoid. Mas mainam kung susubukan mo munang lutasin ang mga problema sa iyong sarili, at pagkatapos lamang suriin ang sagot na natanggap mo gamit ang handa na solusyon.

Gawain 1: Binigyan ng trapezoid. Ang mas malaking base nito ay 11 cm, ang mas maliit ay 4 cm. Ang trapezium ay may mga dayagonal, ang isa ay 12 cm ang haba, ang isa ay 9 cm ang haba.

Solusyon: Bumuo ng trapezoid AMRS. Gumuhit ng linyang PX sa pamamagitan ng vertex P upang ito ay parallel diagonal MC at tumawid sa linyang AC sa punto X. Makukuha mo ang tatsulok na ARCH.

Isasaalang-alang namin ang dalawang figure na nakuha bilang resulta ng mga manipulasyong ito: ang tatsulok na APX at ang parallelogram CMPX.

Salamat sa paralelogram, nalaman namin na ang PX = MC = 12 cm at CX = MP = 4 cm. Saan natin makalkula ang gilid na AX ng tatsulok na ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Mapapatunayan din natin na ang triangle ARCH ay right-angled (upang gawin ito, ilapat ang Pythagorean theorem - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). At kalkulahin ang lugar nito: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Susunod, kailangan mong patunayan na ang mga tatsulok na AMP at PCX ay pantay sa lugar. Ang magiging batayan ay ang pagkakapantay-pantay ng mga panig na MP at CX (napatunayan na sa itaas). At gayundin ang mga taas na ibinababa mo sa mga panig na ito - sila ay katumbas ng taas ng AMRS trapezoid.

Ang lahat ng ito ay magpapahintulot sa iyo na igiit na S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Gawain #2: Nabigyan ng trapezoid KRMS. Ang mga puntong O at E ay matatagpuan sa mga lateral na gilid nito, habang ang OE at KS ay parallel. Alam din na ang mga lugar ng trapezoid ORME at OXE ay nasa ratio na 1:5. PM = a at KS = b. Kailangan mong maghanap ng OE.

Solusyon: Gumuhit ng linya sa puntong M na kahanay ng RK, at italaga ang punto ng intersection nito sa OE bilang T. A - ang punto ng intersection ng linya na iginuhit sa punto E na kahanay ng RK na may base ng KS.

Ipakilala natin ang isa pang notasyon - OE = x. Pati na rin ang taas h 1 para sa TME triangle at ang taas h 2 para sa AEC triangle (mapapatunayan mo mismo ang pagkakapareho ng mga tatsulok na ito).

Ipagpalagay natin na b > a. Ang mga lugar ng mga trapezoid na ORME at OXE ay nauugnay bilang 1:5, na nagbibigay sa amin ng karapatang iguhit ang sumusunod na equation: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Magbago tayo at makakuha ng: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Dahil magkapareho ang mga tatsulok na TME at AEC, mayroon tayong h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Pagsamahin ang parehong mga entry at makakuha ng: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Kaya, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Konklusyon

Ang geometry ay hindi ang pinakamadali sa mga agham, ngunit tiyak na makakayanan mo mga gawain sa pagsusulit. Kailangan lang ng kaunting pasensya sa paghahanda. At, siyempre, tandaan ang lahat ng kinakailangang mga formula.

Sinubukan naming kolektahin sa isang lugar ang lahat ng mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang trapezoid upang magamit mo ang mga ito kapag naghahanda ka para sa mga pagsusulit at ulitin ang materyal.

Siguraduhing sabihin sa iyong mga kaklase at kaibigan ang tungkol sa artikulong ito sa mga social network. Hayaan magandang grado magkakaroon ng higit pa para sa PAGGAMIT at GIA!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Sa ating buhay, madalas na kailangan nating harapin ang aplikasyon ng geometry sa pagsasanay, halimbawa, sa pagtatayo. Kabilang sa mga pinaka-karaniwang geometric na hugis mayroong isang trapezoid. At upang ang proyekto ay maging matagumpay at maganda, ang isang tama at tumpak na pagkalkula ng mga elemento para sa naturang figure ay kinakailangan.

Ano ang matambok may apat na gilid, na may isang pares ng magkatulad na panig, na tinatawag na mga base ng isang trapezoid. Ngunit may dalawang iba pang panig na nag-uugnay sa mga batayan na ito. Ang mga ito ay tinatawag na lateral. Ang isa sa mga tanong tungkol sa figure na ito ay: "Paano mahahanap ang taas ng trapezoid?" Kaagad na kailangang bigyang-pansin na ang taas ay isang segment na tumutukoy sa distansya mula sa isang base patungo sa isa pa. Mayroong ilang mga paraan upang matukoy ang distansyang ito, depende sa mga kilalang halaga.

1. Ang mga halaga ng parehong mga base ay kilala, tinutukoy namin ang mga ito b at k, pati na rin ang lugar ng trapezoid na ito. Gamit ang mga kilalang halaga, napakadaling mahanap ang taas ng trapezoid sa kasong ito. Tulad ng nalalaman mula sa geometry, ito ay kinakalkula bilang produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at taas. Mula sa formula na ito, madali mong makuha ang nais na halaga. Upang gawin ito, kailangan mong hatiin ang lugar sa kalahati ng kabuuan ng mga base. Sa form ng formula, magiging ganito ang hitsura:

S=((b+k)/2)*h, kaya h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Alam ang haba ng midline, tukuyin natin ito d, at ang lugar. Para sa mga hindi nakakaalam, tinatawag ko ang gitnang linya ng distansya sa pagitan ng mga midpoint ng mga gilid. Paano mahahanap ang taas ng trapezoid sa kasong ito? Ayon sa pag-aari ng trapezoid, ang gitnang linya ay tumutugma sa kalahati ng kabuuan ng mga base, iyon ay, d=(b+k)/2. Muli, ginagamit namin ang formula ng lugar. Ang pagpapalit ng kalahati ng kabuuan ng mga base sa halaga ng midline, nakukuha namin ang sumusunod:

Tulad ng nakikita mo, napakadaling makuha ang taas mula sa resultang formula. Sa pamamagitan ng paghahati ng lugar sa halaga ng midline, makikita natin ang nais na halaga. Isulat natin ang formula na ito:

3. Ang haba ng isang panig (b) at ang anggulo na nabuo sa pagitan ng panig na ito at ang pinakamalaking base ay kilala. Ang sagot sa tanong kung paano hanapin ang taas ng isang trapezoid ay nasa kasong ito din. Isaalang-alang ang isang trapezoid ABCD, kung saan ang AB at CD ay mga gilid, at AB=b. Pinakamalaking dahilan ay AD. Ang anggulo na nabuo ng AB at AD ay ilalarawan ng α. Mula sa punto B ibinababa namin ang taas h hanggang sa base AD. Ngayon isaalang-alang ang nagresultang tatsulok na ABF, na isang tamang tatsulok. Ang side AB ay ang hypotenuse at ang BF ay ang binti. Mula sa pag-aari ng isang tamang tatsulok, ang ratio ng halaga ng binti at ang halaga ng hypotenuse ay tumutugma sa sine ng anggulo sa tapat ng binti (BF). Samakatuwid, batay sa nabanggit, upang makalkula ang taas ng trapezoid, pinarami namin ang halaga kilalang partido at ang sine ng anggulo α. Sa form ng formula, ganito ang hitsura:

4. Katulad nito, ang kaso ay isinasaalang-alang kung ang laki ng gilid at ang anggulo ay kilala, sabihin natin ito sa pamamagitan ng β, na nabuo sa pagitan ng panig na ito at ng mas maliit na base. Kapag nilulutas ang naturang problema, ang anggulo sa pagitan ng kilalang lateral side at ang taas na iginuhit ay magiging 90 ° - β. Mula sa mga katangian ng mga tatsulok - ang ratio ng haba ng binti at ang hypotenuse ay tumutugma sa cosine ng anggulo na matatagpuan sa pagitan nila. Mula sa formula na ito, madaling makuha ang halaga ng taas:

h = b *cos(β-90°)

5. Paano mahahanap ang taas ng isang trapezoid kung alam lamang ang radius ng inscribed na bilog? Mula sa kahulugan ng isang bilog, humahawak ito ng isang punto sa bawat base. Bilang karagdagan, ang mga puntong ito ay nasa parehong linya sa gitna ng bilog. Mula dito sumusunod na ang distansya sa pagitan ng mga ito ay ang diameter at, sa parehong oras, ang taas ng trapezium. Mukhang ganito:

6. Kadalasan may mga problema kung saan kinakailangan upang mahanap ang taas ng isang isosceles trapezoid. Alalahanin na ang isang trapezoid na may pantay na panig ay tinatawag na isosceles. Paano mahahanap ang taas ng isang isosceles trapezoid? Sa patayo diagonal ang taas ay kalahati ng kabuuan ng mga base.

Ngunit paano kung ang mga diagonal ay hindi patayo? Isaalang-alang ang isang isosceles trapezoid ABCD. Ayon sa mga katangian nito, ang mga base ay parallel. Ito ay sumusunod mula dito na ang mga anggulo sa mga base ay magiging pantay din. Gumuhit tayo ng dalawang taas BF at CM. Batay sa naunang nabanggit, maaaring pagtalunan na ang mga tatsulok na ABF at DCM ay pantay, iyon ay, AF = DM = (AD - BC) / 2 = (b-k) / 2. Ngayon, batay sa kondisyon ng problema, tayo magpapasya sa kilalang dami, at pagkatapos lamang namin mahanap ang taas, isinasaalang-alang ang lahat ng mga katangian ng isang isosceles trapezoid.

Trapeze ay tinatawag na quadrilateral dalawa lang ang mga gilid ay parallel sa bawat isa.

Ang mga ito ay tinatawag na mga base ng figure, ang natitira - ang mga gilid. Ang paralelogram ay itinuturing na isang espesyal na kaso ng isang pigura. Mayroon ding curvilinear trapezoid, na may kasamang function graph. Ang mga formula para sa lugar ng isang trapezoid ay kinabibilangan ng halos lahat ng mga elemento nito, at Ang pinakamahusay na desisyon pinili depende sa ibinigay na mga halaga.
Ang mga pangunahing tungkulin sa trapezoid ay itinalaga sa taas at midline. gitnang linya- ito ay isang linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid. taas trapezium ay gaganapin sa tamang mga anggulo mula sa itaas na sulok sa base.
Ang lugar ng isang trapezoid sa pamamagitan ng taas ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga haba ng mga base, na pinarami ng taas:

Kung ang median na linya ay kilala ayon sa mga kondisyon, kung gayon ang pormula na ito ay lubos na pinasimple, dahil ito ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga haba ng mga base:

Kung, ayon sa mga kondisyon, ang mga haba ng lahat ng panig ay ibinigay, maaari nating isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang trapezoid sa pamamagitan ng mga datos na ito:

Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang trapezoid na may mga base a = 3 cm, b = 7 cm at mga gilid c = 5 cm, d = 4 cm. hanapin ang lugar mga hugis:

Lugar ng isang isosceles trapezoid

Ang isang hiwalay na kaso ay isang isosceles o, bilang ito ay tinatawag din, isang isosceles trapezoid.
Ang isang espesyal na kaso ay ang paghahanap din ng lugar ng isang isosceles (isosceles) trapezoid. Hinango ang formula iba't ibang paraan- sa pamamagitan ng mga diagonal, sa pamamagitan ng mga anggulo na katabi ng base at ang radius ng inscribed na bilog.
Kung ang haba ng mga diagonal ay tinukoy ng mga kondisyon at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala, maaari mong gamitin ang sumusunod na formula:

Tandaan na ang mga diagonal ng isang isosceles trapezoid ay katumbas ng bawat isa!

Iyon ay, alam ang isa sa kanilang mga base, gilid at anggulo, madali mong makalkula ang lugar.

Lugar ng isang curvilinear trapezoid

Ang isang hiwalay na kaso ay curvilinear trapezoid. Ito ay matatagpuan sa coordinate axis at limitado sa isang graph ng tuluy-tuloy na positibong function.

Ang base nito ay matatagpuan sa X axis at limitado sa dalawang punto:
Tinutulungan ng mga integral na kalkulahin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid.
Ang formula ay nakasulat tulad nito:

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang curvilinear trapezoid. Ang formula ay nangangailangan ng ilang kaalaman upang gumana sa ilang mga integral. Una, suriin natin ang halaga ng tiyak na integral:

Narito ang F(a) ay ang halaga antiderivative function f(x) sa point a , F(b) ay ang value ng parehong function f(x) sa point b .

Ngayon lutasin natin ang problema. Ang figure ay nagpapakita ng isang curvilinear trapezoid na may hangganan ng isang function. Function
Kailangan nating hanapin ang lugar ng napiling figure, na isang curvilinear trapezoid, na may hangganan sa itaas ng isang graph, sa kanan ay isang tuwid na linya x = (-8), sa kaliwa ay isang tuwid na linya x = ( -10) at ang axis na OX ay nasa ibaba.
Kakalkulahin namin ang lugar ng figure na ito gamit ang formula:

Kami ay binibigyan ng isang function sa pamamagitan ng mga kondisyon ng problema. Ayon sa kanya kami hanapin ang mga halaga antiderivative sa bawat isa sa aming mga punto:


Ngayon
Sagot: ang lugar ng isang naibigay na curvilinear trapezoid ay 4.

Walang mahirap sa pagkalkula ng halagang ito. Tanging ang lubos na pangangalaga sa mga kalkulasyon ang mahalaga.

AT . Ngayon ay maaari nating simulan na isaalang-alang ang tanong kung paano hanapin ang lugar ng isang trapezoid. Ang gawaing ito sa pang-araw-araw na buhay ay nangyayari nang napakabihirang, ngunit kung minsan ito ay lumalabas na kinakailangan, halimbawa, upang mahanap ang lugar ng isang silid sa anyo ng isang trapezoid, na lalong ginagamit sa pagtatayo ng mga modernong apartment, o sa mga proyekto sa disenyo ng pagsasaayos.

Ang trapeze ay geometric na pigura, na nabuo sa pamamagitan ng apat na intersecting na mga segment, dalawa sa mga ito ay parallel sa isa't isa at tinatawag na mga base ng isang trapezoid. Ang iba pang dalawang segment ay tinatawag na mga gilid ng trapezoid. Bilang karagdagan, kakailanganin natin ng isa pang kahulugan sa susunod. Ito ang midline ng trapezoid, na isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid at taas ng trapezoid, na katumbas ng distansya sa pagitan ng mga base.
Tulad ng mga tatsulok, ang isang trapezoid ay may mga partikular na uri sa anyo ng isang isosceles (isosceles) na trapezoid, kung saan ang mga haba ng mga gilid ay pareho, at isang hugis-parihaba na trapezoid, kung saan ang isa sa mga gilid ay bumubuo ng isang tamang anggulo sa mga base.

Ang mga trapezoid ay may ilang mga kagiliw-giliw na katangian:

1. Ang midline ng isang trapezoid ay kalahati ng kabuuan ng mga base at kahanay sa kanila.
   
2. Ang mga isosceles trapezium ay may pantay na panig at anggulo na nabuo sa mga base.
   
3. Ang mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid at ang punto ng intersection ng mga diagonal nito ay nasa parehong tuwid na linya.
   
4. Kung ang kabuuan ng mga gilid ng isang trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga base, kung gayon ang isang bilog ay maaaring nakasulat dito
   
5. Kung ang kabuuan ng mga anggulo na nabuo ng mga gilid ng isang trapezoid sa alinman sa mga base nito ay 90, kung gayon ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base ay katumbas ng kanilang kalahating pagkakaiba.
   
6. Ang isang isosceles trapezoid ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang bilog. At vice versa. Kung ang isang trapezoid ay nakasulat sa isang bilog, kung gayon ito ay isosceles.
   
7. Ang segment na dumadaan sa mga midpoint ng mga base ng isang isosceles trapezoid ay magiging patayo sa mga base nito at kumakatawan sa axis ng symmetry.
   

Paano mahanap ang lugar ng isang trapezoid.

Ang lugar ng isang trapezoid ay magiging kalahati ng kabuuan ng mga base nito na pinarami ng taas nito. Sa anyo ng isang formula, ito ay nakasulat bilang isang expression:

kung saan ang S ay ang lugar ng trapezoid, a,b ay ang haba ng bawat isa sa mga base ng trapezoid, h ay ang taas ng trapezoid.

Maaari mong maunawaan at matandaan ang formula na ito bilang mga sumusunod. Tulad ng sumusunod mula sa figure sa ibaba, ang isang trapezoid gamit ang midline ay maaaring ma-convert sa isang parihaba, ang haba nito ay magiging katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base.

Maaari mo ring i-decompose ang anumang trapezoid sa higit pa mga simpleng figure: isang parihaba at isa o dalawang tatsulok, at kung ito ay mas madali para sa iyo, pagkatapos ay hanapin ang lugar ng trapezoid bilang kabuuan ng mga lugar ng mga nasasakupang figure nito.

May isa pa simpleng formula upang kalkulahin ang lawak nito. Ayon dito, ang lugar ng trapezoid ay katumbas ng produkto ng midline nito at ang taas ng trapezoid at nakasulat bilang: S = m * h, kung saan ang S ay ang lugar, m ay ang haba ng midline, h ay ang taas ng trapezoid. Ang formula na ito mas angkop para sa mga problema sa matematika kaysa sa pang-araw-araw na gawain, dahil sa tunay na kondisyon hindi mo malalaman ang haba ng midline nang walang mga paunang kalkulasyon. At malalaman mo lamang ang mga haba ng mga base at gilid.

Sa kasong ito, ang lugar ng trapezoid ay matatagpuan gamit ang formula:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

kung saan ang S-lugar, a,b-base, c, d-panig trapezoid.

Mayroong ilang higit pang mga paraan upang mahanap ang lugar ng isang trapezoid. Ngunit, ang mga ito ay halos hindi maginhawa gaya ng huling formula, na nangangahulugang walang saysay na pag-isipan ang mga ito. Samakatuwid, inirerekumenda namin na gamitin mo ang unang formula mula sa artikulo at nais mong palaging makakuha ng tumpak na mga resulta.

Ang trapezoid ay isang relief quadrilateral, kung saan ang dalawang magkasalungat na gilid ay parallel at ang iba pang dalawa ay hindi parallel. Kung ang lahat ng magkasalungat na gilid ng isang quadrilateral ay magkapares na magkatulad, kung gayon ito ay isang paralelogram.

Kakailanganin mong

• - lahat ng panig ng trapezoid (AB, BC, CD, DA).

Pagtuturo

1. di-parallel panig trapeze ay tinatawag na lateral sides, at parallel - bases. Ang linya sa pagitan ng mga base, patayo sa kanila - ang taas trapeze. Kung panig panig trapeze pantay, ito ay tinatawag na isosceles. Tingnan muna natin ang solusyon para sa trapeze, na hindi isosceles.

2. Gumuhit ng linyang BE mula sa punto B hanggang sa ibabang base AD parallel sa gilid trapeze CD. Dahil ang BE at CD ay parallel at iginuhit sa pagitan ng mga parallel na base trapeze Ang BC at DA, pagkatapos ay ang BCDE ay isang paralelogram at ang mga magkasalungat nito panig Magkapantay ang BE at CD. BE=CD.

3. Isaalang-alang ang tatsulok na ABE. Kalkulahin ang side AE. AE=AD-ED. Mga pundasyon trapeze Ang BC at AD ay kilala, at sa paralelogram ang BCDE ay kabaligtaran panig Ang ED at BC ay pantay. ED=BC, kaya AE=AD-BC.

4. Ngayon alamin ang lugar ng tatsulok na ABE gamit ang formula ng Heron sa pamamagitan ng pagkalkula ng semi-perimeter. S=ugat(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). Sa formula na ito, ang p ay ang semiperimeter ng tatsulok na ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Upang kalkulahin ang lugar, alam mo ang lahat ng kinakailangang data: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Ipahayag mula sa formula na ito ang taas ng tatsulok, na siyang taas din trapeze. BH=2*S/AE. Kalkulahin ito.

7. Kung ang trapezoid ay isosceles, ang desisyon ay pinapayagan na isagawa sa ibang paraan. Isaalang-alang ang tatsulok na ABH. Ito ay parihaba dahil ang isa sa mga sulok, BHA, ay tuwid.

8. Gumuhit ng taas na CF mula sa vertex C.

9. Suriin ang HBCF figure. HBCF rectangle, mula sa katotohanan na mayroong dalawa nito panig ay ang taas at ang dalawa pa ay ang mga base trapeze, iyon ay, ang mga anggulo ay tama, at kabaligtaran panig ay parallel. Nangangahulugan ito na ang BC=HF.

10. tignan mo kanang tatsulok ABH at FCD. Ang mga sulok sa taas ng BHA at CFD ay tuwid, at ang mga sulok sa gilid panig x BAH at CDF ay pantay-pantay dahil ang trapezoid ABCD ay isosceles, kaya ang mga tatsulok ay magkatulad. Dahil ang taas ng BH at CF ay either lateral panig isosceles trapeze Ang AB at CD ay pantay, at ang mga katulad na tatsulok ay pantay din. Kaya ang kanilang panig Pantay din ang AH at FD.

11. Alamin ang AH. AH+FD=AD-HF. Dahil mula sa isang paralelogram HF=BC, at mula sa mga tatsulok na AH=FD, pagkatapos ay AH=(AD-BC)*1/2.

Ang trapezoid ay isang geometric na pigura, na isang quadrilateral kung saan ang dalawang panig, na tinatawag na mga base, ay parallel, at ang iba pang dalawa ay hindi parallel. Tinatawag silang mga panig. trapeze. Ang segment na iginuhit sa mga midpoint ng mga gilid ay tinatawag na midline. trapeze. Maaaring mayroon ang trapezoid iba't ibang haba panig o magkapareho, kung saan ito ay tinatawag na isosceles. Kung ang isa sa mga gilid ay patayo sa base, kung gayon ang trapezoid ay magiging hugis-parihaba. Ngunit mas praktikal na malaman kung paano matukoy parisukat trapeze .

Kakailanganin mong

• Ruler na may mga dibisyon ng milimetro

Pagtuturo

1. Sukatin ang lahat ng panig trapeze: AB, BC, CD at DA. Isulat ang mga resulta ng iyong mga sukat.

2. Sa segment AB, markahan ang gitnang - point K. Sa segment DA, markahan ang point L, na nasa gitna din ng segment AD. Pagsamahin ang mga puntos na K at L, ang magreresultang segment na KL ang magiging gitnang linya trapeze A B C D. Sukatin ang segment na KL.

3. Mula sa itaas trapeze- pananabik C, ibaba ang patayo sa base nito AD o segment CE. Siya ang magiging taas trapeze A B C D. Sukatin ang segment CE.

4. Tinatawag namin ang segment na KL ang titik m, at ang segment na CE ang titik h, pagkatapos parisukat S trapeze Kalkulahin ang ABCD gamit ang formula: S=m*h, kung saan ang m ay ang midline trapeze ABCD, h - taas trapeze A B C D.

5. May isa pang formula na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin parisukat trapeze A B C D. ibabang base trapeze Tawagan natin ang AD ng letrang b, at ang itaas na base BC - ang letrang a. Ang lugar ay tinutukoy ng formula S=1/2*(a+b)*h, kung saan ang a at b ay mga base trapeze, h - taas trapeze .

Mga kaugnay na video

Tip 3: Paano mahahanap ang taas ng isang trapezoid kung alam mo ang lugar

Ang trapezoid ay isang may apat na gilid kung saan ang dalawa sa apat na gilid nito ay parallel sa isa't isa. Parallel na panig ang batayan nito trapeze, habang ang dalawa pa ay lateral sides ng ibinigay trapeze. matuklasan taas trapeze, kung ang lugar nito ay kilala, ito ay magiging napakadali.

Pagtuturo

1. Kailangan nating malaman kung paano pinapayagan na kalkulahin ang lugar ng paunang trapeze. Mayroong ilang mga formula para dito, depende sa paunang data: S = ((a + b) * h) / 2, kung saan ang a at b ay ang mga haba ng mga base trapeze, at h ang taas nito (Taas trapeze- isang patayo na bumaba mula sa isang base trapeze sa isa pa); S \u003d m * h, kung saan ang m ay ang gitnang linya trapeze(Ang gitnang linya ay isang segment na kahanay ng mga base trapeze at pag-uugnay sa mga gitnang punto ng mga gilid nito).

2. Ngayon, alam ang mga formula para sa pagkalkula ng lugar trapeze, pinapayagan na kumuha ng mga bago mula sa kanila, upang mahanap ang taas trapeze:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Upang maging mas malinaw kung paano lutasin ang mga katulad na problema, pinapayagan na makakita ng mga halimbawa: Halimbawa 1: Ibinigay ang isang trapezoid na ang lawak ay 68 cm ?, na ang average na linya ay 8 cm taas binigay trapeze. Para makapagdesisyon ang gawaing ito, kailangan mong gamitin ang dating nagmula na formula: h \u003d 68/8 \u003d 8.5 cm Sagot: ang taas nito trapeze ay 8.5 cm Halimbawa 2: Hayaan trapeze ang lugar ay 120 cm ?, ang mga haba ng mga base ng isang naibigay trapeze ay 8 cm at 12 cm, ayon sa pagkakabanggit, ito ay kinakailangan upang makita taas ito trapeze. Upang gawin ito, ilapat ang isa sa mga nagmula na formula: h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Sagot: ang taas ng ibinigay trapeze katumbas ng 12 cm

Mga kaugnay na video

Tandaan!
Anumang trapezoid ay may ilang mga katangian: - ang gitnang linya ng trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base nito; - ang segment na nag-uugnay sa mga dayagonal ng trapezoid ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng mga base nito; - kung isang tuwid na linya ay iginuhit sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga base, pagkatapos ay i-intersect nito ang intersection point ng mga diagonal ng trapezoid; - pinapayagan itong mag-inscribe ng isang bilog sa isang trapezoid kung ang kabuuan ng mga base ng trapezoid na ito ay katumbas ng kabuuan nito Gamitin ang mga katangiang ito sa paglutas ng mga problema.

Tip 4: Paano hanapin ang taas ng isang tatsulok na ibinigay sa mga coordinate ng mga puntos

Ang taas sa isang tatsulok ay isang tuwid na bahagi ng linya na nagkokonekta sa tuktok ng figure na may kabaligtaran na bahagi. Ang segment na ito dapat na patayo sa gilid, kaya mula sa anumang vertex pinapayagan na gumuhit ng isa lamang taas. Mula sa katotohanan na mayroong tatlong vertices sa figure na ito, mayroong kasing daming taas dito. Kung ang tatsulok ay ibinigay ng mga coordinate ng mga vertices nito, ang pagkalkula ng haba ng alinman sa mga taas ay maaaring gawin, sabihin, gamit ang formula para sa paghahanap ng lugar at pagkalkula ng mga haba ng mga gilid.

Pagtuturo

1. Batay sa mga kalkulasyon, ang lugar tatsulok katumbas ng kalahati ng produkto ng haba ng bawat panig nito at ang haba ng taas na ibinaba sa panig na ito. Mula sa kahulugan na ito ay sumusunod na upang mahanap ang taas, kailangan mong malaman ang lugar ng figure at ang haba ng gilid.

2. Magsimula sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga haba ng mga gilid tatsulok. Italaga ang mga coordinate ng vertices ng figure tulad ng sumusunod: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) at C(X?,Y?,Z?). Pagkatapos ay maaari mong kalkulahin ang haba ng gilid AB gamit ang formula AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Para sa iba pang 2 panig, ang mga formula na ito ay magiging ganito: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) at AC = ?(( X ?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Sabihin nating para sa tatsulok na may mga coordinate A(3,5,7), B(16,14,19) at C(1,2,13) ​​​​ang haba ng side AB ay ?((3-16)? + (5-14) ? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. Ang haba ng mga gilid BC at AC, na kinakalkula sa parehong paraan, ay magiging katumbas ng? (15? + 12? + 6?) =? 405? 20.12 at ?(2? + 3? + (-6?)) = ?49 = 7.

3. Ang mga kasanayan ng mga haba ng 3 panig na nakuha sa nakaraang hakbang ay sapat na upang makalkula ang lugar tatsulok(S) ayon sa formula ni Heron: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Sabihin, pagkatapos palitan ang mga halaga na nakuha mula sa mga coordinate sa formula na ito tatsulok-halimbawa mula sa nakaraang hakbang, ang formula na ito ay magbibigay ng sumusunod na halaga: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20.12-7)) = ?*?(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ? ?*?75768.55 ? ?*275.26 = 68.815.

4. Batay sa lugar tatsulok, na kinakalkula sa nakaraang hakbang, at ang mga haba ng mga gilid na nakuha sa ikalawang hakbang, kalkulahin ang mga taas para sa bawat isa sa mga gilid. Dahil ang lugar ay katumbas ng kalahati ng produkto ng taas at ang haba ng gilid kung saan ito iginuhit, upang mahanap ang taas, hatiin nang dalawang beses ang lugar sa haba ng nais na panig: H \u003d 2 * S / a. Para sa halimbawang ginamit sa itaas, ang taas na ibinaba sa gilid AB ay magiging 2 * 68.815 / 16.09? 8.55, ang taas sa gilid ng BC ay magkakaroon ng haba na 2 * 68.815 / 20.12? 6.84, at para sa panig ng AC, ang halagang ito ay magiging katumbas ng 2 * 68.815 / 7? 19.66.