Ang konsepto ng isang monomial

Kahulugan ng isang monomial: ang isang monomial ay algebraic expression, na gumagamit lamang ng multiplikasyon.

Pamantayang anyo ng isang monomial

Ano ang karaniwang anyo ng isang monomial? Ang monomial ay nakasulat sa karaniwang anyo, kung ito ay may numerical factor sa unang lugar at ang salik na ito, ito ay tinatawag na coefficient ng monomial, isa lamang sa monomial, ang mga titik ng monomial ay matatagpuan sa pagkakasunud-sunod ng alpabeto at ang bawat titik ay nangyayari nang isang beses lamang.

Isang halimbawa ng isang monomial sa karaniwang anyo:

dito sa unang lugar ay ang numero, ang koepisyent ng monomial, at ang bilang na ito ay isa lamang sa ating monomial, bawat titik ay nangyayari nang isang beses at ang mga titik ay nakaayos sa alpabetikong pagkakasunud-sunod, sa kasong ito ay ang alpabetong Latin.

Isa pang halimbawa ng isang monomial sa karaniwang anyo:

ang bawat titik ay nangyayari nang isang beses lamang, ang mga ito ay nakaayos sa pagkakasunud-sunod ng alpabetikong Latin, ngunit nasaan ang koepisyent ng monomial, i.e. number factor na dapat mauna? Nandito siya katumbas ng isa: 1 adm.

Maaari bang maging negatibo ang monomial coefficient? Oo, marahil, halimbawa: -5a.

Maaari bang maging fractional ang isang monomial coefficient? Oo, marahil, halimbawa: 5.2a.

Kung ang monomial ay binubuo lamang ng isang numero, i.e. ay walang mga titik, paano ito dalhin sa karaniwang anyo? Anumang monomial na isang numero ay nasa karaniwang anyo na, halimbawa: ang numero 5 ay isang karaniwang anyo na monomial.

Pagbawas ng mga monomial sa karaniwang anyo

Paano dalhin ang monomial sa karaniwang anyo? Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Hayaang maibigay ang monomial 2a4b, kailangan nating dalhin ito sa karaniwang anyo. I-multiply natin ang dalawa sa mga numerical factor nito at makakuha ng 8ab. Ngayon ang monomial ay nakasulat sa karaniwang anyo, i.e. ay may isang numerical factor lamang, nakasulat sa unang lugar, bawat titik sa monomial ay nangyayari nang isang beses, at ang mga titik na ito ay nakaayos sa alpabetikong pagkakasunud-sunod. Kaya 2a4b = 8ab.

Ibinigay: monomial 2a4a, dalhin ang monomial sa karaniwang anyo. Pina-multiply namin ang mga numero 2 at 4, ang produkto aa ay pinalitan ng pangalawang kapangyarihan a 2 . Nakukuha namin ang: 8a 2 . Ito ang karaniwang anyo ng monomial na ito. Kaya, 2a4a = 8a 2 .

Mga katulad na monomial

Ano ang mga katulad na monomials? Kung ang mga monomial ay naiiba lamang sa mga coefficient o pantay, kung gayon sila ay tinatawag na magkatulad.

Isang halimbawa ng mga katulad na monomial: 5a at 2a. Ang mga monomial na ito ay naiiba lamang sa mga coefficient, na nangangahulugang magkapareho ang mga ito.

Magkatulad ba ang monomials 5abc at 10cba? Dinadala namin ang pangalawang monomial sa karaniwang anyo, nakakakuha kami ng 10abc. Ngayon ay malinaw na ang monomials 5abc at 10abc ay naiiba lamang sa kanilang mga coefficient, na nangangahulugan na sila ay magkapareho.

Pagdaragdag ng monomials

Ano ang kabuuan ng monomials? Maaari lamang nating isama ang mga katulad na monomial. Isaalang-alang ang halimbawa ng pagdaragdag ng mga monomial. Ano ang kabuuan ng monomials 5a at 2a? Ang kabuuan ng mga monomial na ito ay magiging isang monomial na katulad sa kanila, ang koepisyent nito ay katumbas ng kabuuan ang mga coefficient ng mga termino. Kaya, ang kabuuan ng monomials ay 5a + 2a = 7a.

Higit pang mga halimbawa ng pagdaragdag ng mga monomial:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

muli. Maaari ka lamang magdagdag ng mga katulad na monomial; ang karagdagan ay binabawasan sa pagdaragdag ng kanilang mga coefficient.

Pagbabawas ng monomials

Ano ang pagkakaiba ng monomials? Maaari lamang nating ibawas ang mga katulad na monomial. Isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagbabawas ng mga monomial. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng monomials 5a at 2a? Ang pagkakaiba ng mga monomial na ito ay magiging isang monomial na katulad sa kanila, ang coefficient nito ay katumbas ng pagkakaiba ng mga coefficient ng mga monomial na ito. Kaya, ang pagkakaiba ng monomials ay katumbas ng 5a - 2a = 3a.

Higit pang mga halimbawa ng pagbabawas ng mga monomial:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Pagpaparami ng monomials

Ano ang produkto ng monomials? Isaalang-alang ang isang halimbawa:

mga. ang produkto ng monomial ay katumbas ng monomial na ang mga salik ay binubuo ng mga salik ng orihinal na monomial.

Isa pang halimbawa:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Paano nangyari ang resultang ito? Ang bawat kadahilanan ay may "a" sa antas: sa una - "a" sa antas ng 2, at sa pangalawa - "a" sa antas ng 5. Nangangahulugan ito na ang produkto ay magkakaroon ng "a" sa antas ng 7, dahil kapag nagpaparami ng magkaparehong mga titik, ang kanilang mga exponent ay nagdaragdag ng:

A 2 * a 5 = a 7 .

Ang parehong naaangkop sa salik na "b".

Ang koepisyent ng unang kadahilanan ay katumbas ng dalawa, at ang pangalawa - sa isa, kaya nakakuha kami ng 2 * 1 = 2 bilang isang resulta.

Ito ay kung paano kinakalkula ang resulta 2a 7 b 12.

Ang mga halimbawang ito ay nagpapakita na ang mga coefficient ng monomials ay pinarami, at magkatulad na mga titik ay pinalitan ng mga kabuuan ng kanilang mga kapangyarihan sa produkto.

Ang ratio ng mga lugar ng 2 magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad. Theorem (ang pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok). Kung ang dalawang anggulo ng isang tatsulok ay magkapareho sa dalawang anggulo ng isa pa, kung gayon ang mga tatsulok na ito ay magkatulad. Ang mga magkatulad na tatsulok ay tinatawag, kung saan ang mga anggulo ay pantay, at ang magkatulad na panig ay proporsyonal: , kung saan ang koepisyent ng pagkakatulad.

Para sa mga halimbawa ng aplikasyon ng corollary na ito, tingnan ang mga seksyon sa ibaba: "Mga halimbawa ng magkatulad na tatsulok" at "Mga katangian ng parallelism (anti-parallelism) ng mga gilid ng mga nauugnay na tatsulok." Samakatuwid, halimbawa, ang orthotriangle ng isang orthotriangle at ang orihinal na tatsulok ay magkatulad, tulad ng mga tatsulok na may magkatulad na panig. Ang mga puntong hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, na may anumang pagkakatulad, ay napupunta sa mga puntong hindi nakahiga sa isang tuwid na linya. Ang pagkakatulad ay tinatawag na wasto (hindi wasto) kung ang paggalaw D(\displaystyle D) ay wasto (hindi wasto).

Sa mga katulad na tatsulok mahalagang lugar sinasakop ang konsepto ng ratio ng mga segment. Ang mga tatsulok ay magkatulad sa ilang paraan. Upang maitatag ang pagkakatulad ng mga tatsulok, kinakailangan upang maitatag ang bisa ng anim na pagkakapantay-pantay (anggulo at ratio ng mga panig), ngunit hindi laging posible na gawin ito. Mayroong tatlong pagkakatulad sa kabuuan. Paliwanag: ang lugar ng isang tatsulok ay ang produkto ng dalawang linear na elemento - isang gilid at isang taas.

Ang perimeter ng tatsulok ay ibinibigay sa amin, maaari naming mahanap ang perimeter ng tatsulok, dahil binibigyan kami ng mga haba ng mga gilid nito, kaya makikita namin ang koepisyent ng pagkakapareho at matukoy ang nais na haba ng mga gilid. Ang koepisyent ng pagkakatulad ay nagpapahayag ng proporsyonalidad, ito ang ratio ng mga haba ng mga gilid ng isang tatsulok sa magkatulad na panig ng isa pa: k = AB/A’B’= BC/B’C’ = AC/A’C’.

Hanapin ang ratio ng magkatulad na panig, na magiging coefficient ng pagkakatulad

Halimbawa, sa ibinigay na gawain katulad na mga tatsulok at ang mga haba ng kanilang mga tagiliran ay ibinigay. Dahil ang mga tatsulok ay magkatulad sa mga tuntunin ng kundisyon, hanapin ang kanilang magkatulad na panig. Hatiin ang mga lugar ng magkatulad na tatsulok nang isa-isa at i-extract Kuwadrado na ugat mula sa resulta. Ang ratios ng perimeters, haba ng median, mediatrices na binuo sa magkatulad na panig ay katumbas ng similarity coefficient.

Mga batas ng pagkakatulad - sa aerodynamics

Sa pamamagitan ng sine theorem, para sa anumang tatsulok ng ratio ng mga panig sa mga sine magkasalungat na sulok katumbas ng diameter ng bilog na nakapaligid dito. Gumamit ng katulad na paraan upang mahanap ang koepisyent kung mayroon kang mga bilog na nakasulat sa magkatulad na tatsulok na may alam na radii.

Ang sariling pagkakapareho ay nagpapanatili ng oryentasyon ng mga figure, at hindi wasto - nagbabago ang oryentasyon sa kabaligtaran. Parehong tinukoy ang pagkakatulad (na may pag-iingat sa mga katangian sa itaas) sa 3-dimensional na Euclidean space, gayundin sa n-dimensional na Euclidean at pseudo-Euclidean space. Ang magkatulad na panig sa mga tatsulok ay magkasalungat pantay na anggulo. Ang koepisyent ng pagkakatulad ay matatagpuan iba't ibang paraan. Upang gawin ito, isulat ang mga haba ng mga gilid ng isa at ang isa pa sa pataas na pagkakasunud-sunod.

Maaari mong kalkulahin ang kadahilanan ng pagkakatulad para sa mga tatsulok kung alam mo ang kanilang mga lugar. Kung hahatiin mo ang haba ng mga bisector o taas na iginuhit mula sa parehong mga anggulo, makakakuha ka rin ng koepisyent ng pagkakatulad.

Gamitin ang pag-aari na ito upang mahanap ang koepisyent kung ang mga halagang ito ay ibinigay sa pahayag ng problema

Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay proporsyonal sa tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad. Koepisyent ng pagkakatulad k ay katumbas ng ratio ang kaukulang mga linear na sukat ng mga figure F at samakatuwid ang lugar katulad na mga pigura ay nauugnay bilang mga parisukat ng kani-kanilang mga linear na sukat. Nalaman namin na ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay espesyal na kaso pagkakatulad.

Ay isang . Sa artikulong ito, tutukuyin natin ang mga katulad na termino, alamin kung ano ang tinatawag na pagbabawas ng mga katulad na termino, isaalang-alang ang mga panuntunan kung saan isinasagawa ang pagkilos na ito, at magbibigay ng mga halimbawa ng pagbabawas ng mga katulad na termino sa Detalyadong Paglalarawan mga solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan at mga halimbawa ng magkatulad na termino.

Ang isang pag-uusap tungkol sa mga naturang termino ay bumangon pagkatapos makilala ang mga literal na expression, kapag kinakailangan na magsagawa ng mga pagbabago sa kanila. Ayon sa mga aklat-aralin ng matematika N. Ya. Vilenkin kahulugan ng mga katulad na termino ay ibinigay sa ika-6 na baitang, at mayroon itong sumusunod na mga salita:

Kahulugan.

Mga katulad na termino ay mga terminong may parehong bahagi ng titik.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng kahulugan na ito nang mabuti. Una sa lahat, nag-uusap kami tungkol sa mga termino, at, gaya ng nalalaman, ang mga tuntunin ay mga sangkap na bumubuo mga halaga. Ibig sabihin, parang terms maaari lamang naroroon sa mga expression na kumakatawan sa mga kabuuan. Pangalawa, sa tininigan na kahulugan ng mga naturang termino ay may hindi pamilyar na konsepto ng "literal na bahagi". Ano ang ibig sabihin ng bahagi ng liham? Kapag ang kahulugang ito ay ibinigay sa ikaanim na baitang, ang bahagi ng titik ay tumutukoy sa isang titik (variable) o produkto ng ilang mga titik. Pangatlo, ang tanong ay nananatili: "Ano ang mga terminong ito na may bahagi ng titik"? Ito ang mga termino, na produkto ng isang tiyak na numero, ang tinatawag na numerical coefficient, at ang bahagi ng titik.

Ngayon ay maaari mong dalhin mga halimbawa ng magkatulad na termino. Isaalang-alang ang kabuuan ng dalawang terminong 3·a at 2·a ng anyong 3·a+2·a . Ang mga termino sa kabuuan na ito ay may parehong bahagi ng titik, na kinakatawan ng titik a , samakatuwid, sa kahulugan, ang mga terminong ito ay magkatulad. Ang mga numerical coefficient ng mga katulad na termino ay ang mga numero 3 at 2 .

Isa pang halimbawa: kabuuan 5 x y 3 z+12 x y 3 z+1 magkatulad ang mga terminong 5·x·y 3 ·z at 12·x·y 3 ·z na may parehong literal na bahagi x·y 3 ·z. Tandaan na ang y 3 ay naroroon sa literal na bahagi, ang presensya nito ay hindi lumalabag sa kahulugan ng literal na bahagi na ibinigay sa itaas, dahil ito ay, sa katunayan, ang produkto ng y·y·y .

Hiwalay, tandaan namin na ang mga numerical coefficient 1 at −1 para sa mga naturang termino ay madalas na hindi nakasulat nang tahasan. Halimbawa, sa kabuuan 3 z 5 +z 5 −z 5 lahat ng tatlong termino 3 z 5 , z 5 at −z 5 ay magkatulad, mayroon silang parehong titik na bahagi z 5 at coefficients 3 , 1 at −1 ayon sa pagkakabanggit, ng na 1 at −1 ay hindi malinaw na nakikita.

Mula dito, sa kabuuan na 5+7 x−4+2 x+y, hindi lamang 7 x at 2 x ang magkatulad na termino, kundi pati na rin ang mga terminong walang literal na bahagi 5 at −4 .

Nang maglaon, lumalawak din ang konsepto ng literal na bahagi - sinimulan kong isaalang-alang ang literal na bahagi hindi lamang produkto ng mga titik, kundi isang arbitraryong literal na pagpapahayag. Halimbawa, sa algebra textbook para sa grade 8 na mga may-akda Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov, na-edit ni S. A. Teleyakovsky, ang isang kabuuan ng form ay ibinigay, at sinasabing ang mga termino ng mga bahagi nito ay magkatulad. Ang karaniwang literal na bahagi ng mga katulad na terminong ito ay isang expression na may ugat ng anyo.

Katulad nito, magkatulad na mga termino sa expression 4 (x 2 +x−1/x)−0.5 (x 2 +x−1/x)−1 maaari nating isaalang-alang ang mga termino 4 (x 2 +x−1/x) at −0.5 (x 2 +x−1/x) , dahil mayroon silang parehong bahagi ng titik (x 2 +x−1/x) .

Binubuod ang lahat ng impormasyon sa itaas, maaari naming ibigay ang sumusunod na kahulugan ng mga katulad na termino.

Kahulugan.

Mga katulad na termino ay tinatawag na mga termino sa literal na pagpapahayag, na may parehong literal na bahagi, gayundin ang mga terminong walang literal na bahagi, kung saan ang literal na bahagi ay nauunawaan bilang anumang literal na pagpapahayag.

Hiwalay, sinasabi namin na ang mga katulad na termino ay maaaring magkapareho (kapag ang kanilang mga numerical coefficient ay pantay-pantay), o sila ay maaaring magkaiba (kapag ang kanilang mga numerical coefficient ay magkaiba).

Sa pagtatapos ng talatang ito, tatalakayin natin ang isang napaka banayad na punto. Isaalang-alang ang expression na 2 x y+3 y x . Magkatulad ba ang mga terminong 2 x y at 3 y x? Ang tanong na ito ay maaari ding buuin tulad ng sumusunod: "Ang mga literal bang bahagi x y at y x ng mga ipinahiwatig na termino ay pareho"? Ang pagkakasunud-sunod ng mga literal na salik sa mga ito ay iba, kung kaya't sa katunayan ay hindi sila pareho, samakatuwid, ang mga terminong 2·x·y at 3·y·x sa liwanag ng kahulugang ipinakilala sa itaas ay hindi magkatulad.

Gayunpaman, madalas na ang mga naturang termino ay tinatawag na magkatulad na mga termino (ngunit para sa kapakanan ng mahigpit na mas mahusay na huwag gawin ito). Sa kasong ito, ginagabayan sila ng mga sumusunod: ayon sa permutasyon ng mga salik sa produkto, hindi ito nakakaapekto sa resulta, kaya ang orihinal na expression na 2 x y+3 y x ay maaaring muling isulat bilang 2 x y+3 x y , na ang mga termino ay magkatulad. Iyon ay, kapag pinag-uusapan nila ang mga magkatulad na termino 2 x y at 3 y x sa expression na 2 x y+3 y x , ang ibig nilang sabihin ay ang mga terminong 2 x y at 3 x y sa binagong expression ng form na 2 x y+3 x y .

Pagbawas ng mga katulad na termino, tuntunin, halimbawa

Ang pagbabago ng mga expression na naglalaman ng mga katulad na termino ay nagpapahiwatig ng pagdaragdag ng mga terminong ito. Ang aksyon na ito ay may espesyal na pangalan - pagbabawas ng mga katulad na termino.

Ang pagbabawas ng mga katulad na termino ay isinasagawa sa tatlong yugto:

• una, ang mga termino ay muling inayos upang ang mga katulad na termino ay magkatabi;
• pagkatapos nito, ang literal na bahagi ng mga katulad na termino ay inalis sa mga bracket;
• sa wakas, kinakalkula ang halaga ng numerical expression na nabuo sa mga bracket.

Suriin natin ang mga naitala na hakbang na may isang halimbawa. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa expression na 3 x y+1+5 x y . Una, inayos namin muli ang mga termino upang ang mga katulad na termino na 3 x y at 5 x y ay magkatabi: 3 x y+1+5 x y=3 x y+5 x y+1. Pangalawa, kinuha namin ang literal na bahagi ng mga bracket, nakuha namin ang expression na x·y·(3+5)+1 . Pangatlo, kinakalkula namin ang halaga ng expression na nabuo sa mga bracket: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1 . Dahil kaugalian na isulat ang numerical coefficient bago ang bahagi ng titik, ililipat namin ito sa lugar na ito: x·y·8+1=8·x·y+1. Kinukumpleto nito ang pagbabawas ng mga katulad na termino.

Para sa kaginhawahan, ang tatlong hakbang sa itaas ay pinagsama sa panuntunan para sa pagbabawas ng mga katulad na termino: upang magdala ng mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa bahagi ng titik (kung mayroon man).

Ang solusyon ng nakaraang halimbawa gamit ang panuntunan ng pagbabawas ng mga katulad na termino ay magiging mas maikli. Dalhin natin siya. Ang mga coefficients ng magkatulad na termino 3 x y at 5 x y sa expression na 3 x y+1+5 x y ay ang mga numero 3 at 5, ang kanilang kabuuan ay 8, pina-multiply ito ng letrang bahagi x y , nakukuha natin ang resulta ng pagbabawas ng mga terminong ito ay 8·x·y . Ito ay nananatiling hindi kalimutan ang tungkol sa terminong 1 sa orihinal na expression, bilang isang resulta mayroon kaming 3 x y+1+5 x y=8 x y+1 .

Unang antas

Pagbabago ng ekspresyon. Detalyadong teorya (2019)

Pagbabago ng ekspresyon

Madalas nating marinig ito isang hindi kanais-nais na parirala: "pasimplehin ang expression." Karaniwan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lang!) ordinaryong numero(oo, sa impiyerno sa mga titik na iyon).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Basahin? Kung oo, handa ka na.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimple sa kanila ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Naranasan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan, tulad ng mga termino ay at.

Naalala?

Upang magdala ng mga katulad na termino ay nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.

Ngunit paano natin pagsasama-samahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Saka ano ang expression? Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito:

Upang hindi malito, hayaan iba't ibang titik kumakatawan sa iba't ibang bagay. Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay-pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:

Mga halimbawa:

Magdala ng katulad:

Mga sagot:

2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Ito ang kadalasang pinaka pangunahing bahagi sa pagpapasimple ng mga ekspresyon. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang nagreresultang expression ay dapat na isasaalang-alang, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: pagkatapos ng lahat, upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga detalyadong pamamaraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, lutasin ang ilan mga halimbawa(isasaalang-alang):

Mga solusyon:

3. Pagbabawas ng fraction.

Buweno, ano ang maaaring mas maganda kaysa sa ekis ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Yan ang kagandahan ng abbreviation.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mo:

1) numerator at denominator i-factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan , maaari silang tanggalin.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Gusto kong makatawag pansin sa isa tipikal na pagkakamali kapag binabawasan. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon gupitin- ibig sabihin hatiin numerator at denominator sa parehong numero.

Walang pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.

Halimbawa: kailangan mong gawing simple.

Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

"The smartest" will do this:.

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay nabubulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:

Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tandaan madaling paraan kung paano matukoy kung ang isang expression ay naka-factor:

Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing". Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi factorized (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang ayusin ito, lutasin ito sa iyong sarili ng ilang mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na i-factorize:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Pagdagdag at pagbawas ordinaryong fraction- kilalang kilala ang operasyon: naghahanap kami ng common denominator, pinarami namin ang bawat fraction sa nawawalang factor at idinaragdag / binabawasan ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominator at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Unang bagay dito pinaghalong fraction gawin silang mali, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa simple:

a) Ang mga denominator ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:

ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominator ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng common denominator na walang mga titik:

Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;

Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga simpleng salik:

Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idinaragdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang common denominator.

Balik tayo sa mga letra. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

Binubulok namin ang mga denominator sa mga salik;

tukuyin ang mga karaniwang (magkaparehong) multiplier;

isulat ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang isang beses;

Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

Kaya ang karaniwang denominator ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominador, lahat lamang ng may iba't ibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

hanggang sa

hanggang sa

hanggang sa

sa degree.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan mo ang iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag nagdala ka ng mga fraction sa karaniwang denominador, gamitin lang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Dito at paramihin. At i-multiply sa:

Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementarya na mga kadahilanan". Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.

Paano naman ang expression? Elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang expression na may mga titik ay isang analogue pangunahing mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.

Nakikita natin na ang parehong denominator ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).

Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

ayos! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang mga karaniwang kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang totoo ay:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Ngayon suriin natin.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito dapat nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito:

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Paano kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, pareho! Una sa lahat, gawin natin ito maximum na halaga Ang mga kadahilanan sa mga denominador ay pareho:

Bigyang-pansin: kung babaguhin mo ang mga palatandaan sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga senyales sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay mababaligtad muli. Bilang resulta, siya (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin nang buo ang unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idinagdag namin dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Ibig sabihin, ito ay ganito:

Hmm ... Sa mga fraction, malinaw kung ano ang gagawin. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan mong tiyakin na ang deuce ay magiging isang fraction! Tandaan: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling bigla mong nakalimutan). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na. At nasa unahan natin ang pinakasimpleng, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan sa pagbibilang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, pinaalalahanan kita.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!

Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit hindi iyon katulad ng isang ekspresyon na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Sa halip lamang mga operasyon sa aritmetika kailangan mong gawin ang algebraic, iyon ay, ang mga aksyon na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong gamitin ang i o alisin lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon mayroon tayong pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay i-represent ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idagdag:

Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

Ayan yun. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan. Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas. Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko nang eskematiko ang mga hakbang:

Ngayon ay ipapakita ko ang buong proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon na may pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.

2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang exception ay mga fraction na idinaragdag o ibinabawas mo: kung mayroon sila parehong denominador, pagkatapos ay ang pagbabawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At nangako sa simula pa lang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
• Pagbabawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
  1) numerator at denominator i-factorize
  2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;