Sa modernong mundo, ang matematika ay nagiging isa sa mga mahalagang kasangkapan para sa kaalaman ng tao sa mundo sa paligid niya. Ang matematika ay ang pangunahing pamamaraan ng teoretikal na pananaliksik at isang praktikal na tool sa natural na agham at teknolohiya, nang walang matematika ay ganap na imposibleng magsagawa ng mga seryosong kalkulasyon sa agham at engineering. Hindi nakakagulat na ang tagapagtatag ng klasikal na pilosopiyang Aleman na si Immanuel Kant (1742 - 1804) ay nagtalo na "sa bawat indibidwal likas na agham ang isang tao ay makakahanap ng tamang agham hangga't ang isa ay makakahanap ng matematika dito. Ang matematika, bilang isang agham, ay lumitaw na may kaugnayan sa pangangailangan na malutas ang mga praktikal na problema: mga sukat sa lupa, nabigasyon, atbp. Bilang resulta, ang matematika ay palaging numerical mathematics, ang layunin nito ay makakuha ng mga solusyon sa mga problema sa anyo ng isang numero. Ang paglikha ng mga computer ay nagbigay ng bagong impetus sa pag-unlad ng matematika, lumitaw ang mga bagong disiplina - "mathematical economics", "mathematical chemistry", "mathematical linguistics", atbp. Ang konsepto ng "mathematical modeling" ay lumitaw. salita" modelo"nagmula sa Latin mode(kopya, larawan, balangkas). Ang pagmomodelo ay ang pagpapalit ng ilang object A (orihinal) ng isa pang object B (modelo).

Ang modelong matematikal ay isang pinasimpleng paglalarawan ng katotohanan gamit ang mga konseptong matematikal. Pagmomodelo ng matematika - ang proseso ng pagbuo at pag-aaral mga modelo ng matematika tunay na proseso at phenomena, i.e. paraan ng pag-aaral ng mga bagay at proseso tunay na mundo sa tulong ng kanilang tinatayang mga paglalarawan sa wika ng matematika - mga modelo ng matematika. Ang pinakamalaking siyentipiko sa nakaraan ay pinagsama sa kanilang mga gawa kapwa ang pagbuo ng isang matematikal na paglalarawan ng mga natural na phenomena (matematika na mga modelo) at ang pananaliksik nito. Ang pagsusuri ng mga kumplikadong modelo ay nangangailangan ng paglikha ng mga bago, bilang panuntunan, numerical na pamamaraan pagtugon sa suliranin.

Ang akademya na si A.A. Samarsky ay wastong itinuturing na tagapagtatag ng domestic mathematical modeling. Ipinahayag niya ang pamamaraan ng pagmomolde ng matematika ng sikat na triad « modelo– algorithm– programa».

Stage 1. modelo. Pinipili o binuo ang isang modelo ng bagay na pinag-aaralan, na nagpapakita ng pinakamahalagang katangian nito sa anyong matematikal. Karaniwan ang mga modelo ng matematika tunay na proseso ay medyo kumplikado at kasama ang mga sistema ng mga non-linear na functional-differential equation. Ang core ng mathematical model, bilang panuntunan, ay mga equation na may partial derivatives. Upang makakuha ng paunang kaalaman tungkol sa bagay, ang itinayong modelo ay pinag-aaralan ng mga tradisyunal na tool sa analytical ng inilapat na matematika.

yugto. Algorithm. Ang isang computational algorithm ay pinili o binuo upang ipatupad ang itinayong modelo sa isang computer, na hindi dapat i-distort ang mga pangunahing katangian ng modelo, ay dapat na naaayon sa mga tampok ng mga gawain na niresolba at ang mga tool sa pag-compute na ginamit. Ang itinayong modelo ng matematika ay pinag-aaralan ng mga pamamaraan ng computational mathematics.

Stage 3. Programa. Ginagawa ang software upang ipatupad ang modelo at algorithm sa isang computer. Ang nilikha na produkto ng software ay dapat isaalang-alang ang pinakamahalagang mga detalye ng pagmomodelo ng matematika, na nauugnay sa pangangailangang gumamit ng isang hanay ng mga modelo ng matematika at ang multivariance ng mga kalkulasyon. Bilang resulta, ang mananaliksik ay tumatanggap ng isang unibersal, nababaluktot at murang tool, na unang na-debug, nasubok at na-calibrate sa solusyon ng set pagsubok na gawain. Pagkatapos ay isinasagawa ang isang malakihang pag-aaral ng modelong matematikal upang makuha ang mga kinakailangang katangian at katangian ng husay at dami at katangian ng bagay na pinag-aaralan. Ang iminungkahing pamamaraan ay binuo sa anyo ng teknolohiya " eksperimento sa computational ". Ang computational experiment ay isang teknolohiya ng impormasyon na idinisenyo upang pag-aralan ang mga phenomena ng nakapaligid na mundo, kapag ang isang buong sukat na eksperimento ay imposible (halimbawa, kapag pinag-aaralan ang kalusugan ng tao), o masyadong mapanganib (halimbawa, kapag nag-aaral ng environmental phenomena), o masyadong mahal at kumplikado (halimbawa, kapag nag-aaral ng astrophysical phenomena). Malawak na aplikasyon Ang mga kompyuter sa pagmomodelo ng matematika, ang binuong teorya at makabuluhang praktikal na mga resulta ay nagbibigay-daan sa amin na magsalita ng isang eksperimento sa computational bilang isang bagong teknolohiya at metodolohiya ng siyentipiko at praktikal na pananaliksik. Ang isang seryosong pagpapakilala ng isang eksperimento sa computational sa mga aktibidad sa engineering ay hindi pa masyadong laganap, ngunit kung saan ito aktwal na nagaganap (sa industriya ng abyasyon at espasyo), ang mga bunga nito ay napakahalaga. Tandaan natin ang ilang mga pakinabang ng eksperimento sa computational kumpara sa natural. Ang isang eksperimento sa computational, bilang panuntunan, ay mas mura kaysa sa pisikal. Ang eksperimentong ito ay maaaring madali at ligtas na pakialaman. Maaari itong ulitin muli kung kinakailangan, at maantala anumang oras. Sa panahon ng eksperimentong ito, maaari mong gayahin ang mga kundisyon na hindi maaaring gawin sa laboratoryo. Sa ilang mga kaso, ang pagsasagawa ng isang buong sukat na eksperimento ay mahirap, at kung minsan ay imposible pa. Kadalasan, ang isang buong sukat na natural na eksperimento ay nauugnay sa nakapipinsala o hindi mahuhulaan na mga kahihinatnan (digmaang nuklear, pag-ikot ng mga ilog ng Siberia) o panganib sa buhay o kalusugan ng tao. Kadalasan ay kinakailangan na pag-aralan at hulaan ang mga sakuna na phenomena (aksidente nuclear reactor NUCLEAR POWER STATION, pag-iinit ng mundo o paglamig ng klima, tsunami, lindol). Sa mga kasong ito, ang isang computational experiment ay maaaring maging pangunahing paraan ng pananaliksik. Sa tulong nito, posible na mahulaan ang mga katangian ng bago, hindi pa nilikha na mga istraktura at materyales sa yugto ng kanilang disenyo. Kasabay nito, dapat tandaan na ang applicability ng mga resulta ng isang computational experiment ay limitado ng framework ng tinatanggap na mathematical model. Hindi tulad ng mga natural na pag-aaral, ang isang eksperimento sa computational ay nagpapahintulot sa isa na maipon ang mga resulta na nakuha sa pag-aaral ng isang tiyak na hanay ng mga problema, at pagkatapos ay epektibong ilapat ang mga ito sa paglutas ng mga problema sa ibang mga lugar. Halimbawa, ang nonlinear heat equation ay naglalarawan hindi lamang mga proseso ng thermal, ngunit din ang pagsasabog ng bagay, ang paggalaw ng tubig sa lupa, gas filtration sa porous media. Ang pisikal na kahulugan lamang ng mga dami na kasama sa equation na ito ay nagbabago. Pagkatapos ng unang yugto ng eksperimento sa computational, maaaring kailanganin na pinuhin ang modelo. Sa ikalawang yugto, ang mga karagdagang epekto at koneksyon sa hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan ay isinasaalang-alang, o nagiging kinakailangan na pabayaan ang ilang mga regularidad at koneksyon. Pagkatapos ang prosesong ito ay paulit-ulit hanggang kami ay kumbinsido na ang modelo ay sapat sa bagay na pinag-aaralan. Karaniwan, bilang karagdagan sa mga propesyonal na mathematician at programmer, ang mga espesyalista sa isang partikular na lugar ng paksa (biology, chemistry, gamot, atbp.) ay lumalahok sa proseso ng pagmomodelo ng matematika at eksperimento sa computational. Ang unang seryosong eksperimento sa computational ay isinagawa sa USSR noong 1968 ng isang pangkat ng mga siyentipiko na pinamumunuan ng mga Academicians na sina A.N. Tikhonov at A.A. Samara. Ito ay ang pagtuklas ng tinatawag na T-layer effect (temperatura kasalukuyang sheet sa plasma na nabuo sa MHD generators) - isang kababalaghan na walang sinuman ang aktwal na naobserbahan. At ilang taon lamang ang lumipas ang T-layer ay nakarehistro sa mga eksperimentong pisikal na laboratoryo, at ang prinsipyo ng pagpapatakbo ng isang MHD generator na may T-layer sa wakas ay naging malinaw sa mga technologist at inhinyero. AT mga nakaraang taon Ang isang bilang ng mga Nobel Prize sa kimika, medisina, ekonomiya, elementarya na particle physics ay iginawad sa mga gawa na ang metodolohikal na batayan ay tiyak na mathematical modeling. Ang mga modelo ng matematika para sa paglalarawan ng mga kababalaghan na pinag-aaralan sa mekanika, pisika at iba pang eksaktong agham ng natural na agham ay ginamit nang mahabang panahon. 3-4 libong taon na ang nakalilipas, nalutas nila ang mga problema ng inilapat na matematika na may kaugnayan sa pagkalkula ng mga lugar at volume, mga kalkulasyon ng pinakasimpleng mekanismo, i.e. na may mga simpleng problema ng arithmetic, algebra at geometry. Ang mga paraan ng pag-compute ay ang kanilang sariling mga daliri, at pagkatapos ay ang abacus. Karamihan sa mga kalkulasyon ay ginawa nang eksakto, nang walang pag-ikot. Noong ika-17 siglo, ganap na inilarawan ni Isaac Newton ang mga pattern ng paggalaw ng planeta sa paligid ng Araw, nalutas ang mga problema ng geodesy, at nagsagawa ng mga kalkulasyon ng mga mekanikal na istruktura. Ang mga problema ay nabawasan sa ordinaryong differential equation, o sa algebraic system na may isang malaking bilang hindi alam, ang mga kalkulasyon ay isinagawa nang may sapat na mataas na katumpakan hanggang sa 8 makabuluhang mga numero. Sa mga kalkulasyon, ginamit ang mga talahanayan ng elementarya, isang pagdaragdag ng makina, isang panuntunan sa slide; sa pagtatapos ng panahong ito, lumitaw ang magagandang keyboard machine na may de-koryenteng motor. Sa oras na iyon, ang mga algorithm para sa mga numerical na pamamaraan ay binuo, na sumasakop pa rin sa isang marangal na lugar sa arsenal ng computational mathematics. Kaya iminungkahi ni Newton ang isang epektibong paraan ng numero para sa paglutas ng mga algebraic equation, at iminungkahi ni Euler ang isang numerical na paraan para sa paglutas ng mga ordinaryong differential equation. Ang isang klasikong halimbawa ng paglalapat ng mga numerical na pamamaraan ay ang pagtuklas ng planetang Neptune. Ang Uranus ay ang planeta sa tabi ng Saturn, na sa loob ng maraming siglo ay itinuturing na pinakamalayong planeta. Sa pamamagitan ng 40s ng XIX na siglo. Ang tumpak na mga obserbasyon ay nagpakita na ang Uranus ay halos hindi nakikitang lumilihis mula sa landas na dapat nitong sundin, na isinasaalang-alang ang mga kaguluhan mula sa lahat. mga kilalang planeta. Iminungkahi ni Le Verrier (sa France) at Adams (sa England) na kung ang mga kaguluhan mula sa mga kilalang planeta ay hindi nagpapaliwanag ng paglihis sa paggalaw ng Uranus, nangangahulugan ito na ang pagkahumaling ng isang hindi pa kilalang katawan ay kumikilos dito. Halos sabay-sabay nilang kinakalkula kung saan sa likod ng Uranus dapat mayroong hindi kilalang katawan na gumagawa ng mga paglihis na ito sa pamamagitan ng pagkahumaling nito. Kinakalkula nila ang orbit hindi kilalang planeta, ang masa nito at ipinahiwatig ang lugar sa kalangitan kung saan dapat naroon ang hindi kilalang planeta sa ibinigay na oras. Ang planetang ito ay natagpuan sa isang teleskopyo sa lugar na ipinahiwatig nila noong 1846. Tinawag itong Neptune. Kinailangan ng Le Verrier ng anim na buwan upang kalkulahin ang trajectory ng Neptune. Ang numerical na solusyon ng mga inilapat na problema ay palaging interesado sa mga mathematician. Ang mga pinakamalaking siyentipiko sa kanilang panahon ay kasangkot sa pagbuo ng mga pamamaraang numerikal: Newton, Euler, Lobachevsky, Gauss, Hermit, Chebyshev, at iba pa.Ang mga pamamaraang numerikal na binuo nila ay nagtataglay ng kanilang mga pangalan. Ang pagbuo ng mga pamamaraang numerikal ay nag-ambag sa patuloy na pagpapalawak ng saklaw ng matematika sa iba pang mga siyentipikong disiplina at inilapat na mga pag-unlad. Ang pagdating ng mga computer ay nagbigay ng isang malakas na puwersa sa isang mas malawak na pagpapakilala ng mga numerical na pamamaraan sa pagsasagawa ng siyentipiko at teknikal na mga kalkulasyon. Ang bilis ng pagsasagawa ng mga pagpapatakbo ng computational ay lumago ng milyun-milyong beses, na naging posible upang malutas ang isang malawak na hanay ng mga problema sa matematika na halos hindi malulutas noon. Ang pagbuo at pananaliksik ng mga computational algorithm, ang kanilang aplikasyon sa paglutas ng mga partikular na problema ay ang nilalaman ng isang malaking seksyon ng modernong matematika - computational mathematics. Ang computational mathematics bilang isang malayang disiplina sa matematika ay nabuo sa simula ng ikadalawampu siglo. Ang computational mathematics ay binibigyang kahulugan sa malawak na kahulugan bilang isang sangay ng matematika na nag-aaral ng malawak na hanay ng mga isyu na may kaugnayan sa paggamit ng mga computer. Sa isang makitid na kahulugan, ang computational mathematics ay tinukoy bilang ang teorya ng mga numerical na pamamaraan at mga algorithm para sa paglutas ng mga problema sa matematika. Sa aming kurso, mauunawaan namin ang computational mathematics sa makitid na kahulugan ng termino. Ang mga makabagong pamamaraang numerical na nakabatay sa computer ay dapat matugunan ang iba't iba at madalas na magkasalungat na mga kinakailangan. Karaniwan, ang pagbuo ng isang numerical na pamamaraan para sa isang ibinigay na modelo ng matematika ay nahahati sa dalawang yugto: discretization ng orihinal problema sa matematika at pagbuo ng computational algorithm na nagbibigay-daan sa paghahanap ng solusyon sa isang discrete na problema. Mayroong dalawang pangkat ng mga kinakailangan para sa mga numerical na pamamaraan. Ang unang grupo ay nauugnay sa kasapatan ng discrete na modelo sa orihinal na problema sa matematika, ang pangalawa - sa pagiging posible ng numerical na paraan sa magagamit na teknolohiya ng computer. Kasama sa unang pangkat ang mga kinakailangan gaya ng convergence ng numerical method, ang katuparan ng discrete analogs ng mga batas sa konserbasyon, at ang qualitatively correct na pag-uugali ng solusyon ng isang discrete na problema. Ipagpalagay natin na ang discrete model ng isang mathematical problem ay isang sistema isang malaking bilang algebraic equation. Karaniwan, mas tumpak na gusto nating makakuha ng solusyon, mas maraming equation ang kailangan nating gawin. Ang isang numerical na paraan ay sinasabing nagtatagpo kung, habang ang bilang ng mga equation ay tumataas nang walang katiyakan, ang solusyon ng discrete na problema ay may gawi sa solusyon ng orihinal na problema. Dahil ang isang tunay na computer ay maaari lamang gumana sa isang limitadong bilang ng mga equation, ang convergence ay karaniwang hindi nakakamit sa pagsasanay. Samakatuwid, napakahalaga na matantiya ang error ng pamamaraan depende sa bilang ng mga equation na bumubuo sa discrete model. Para sa parehong dahilan, sinusubukan nilang bumuo ng isang discrete na modelo sa paraang wastong sumasalamin sa husay na pag-uugali ng solusyon ng orihinal na problema, kahit na may medyo maliit na bilang ng mga equation. Kaya, kapag discretizing problema ng matematikal na pisika, ang isa ay dumating sa pagkakaiba scheme, na kung saan ay mga sistema ng linear o non-linear algebraic equation. Mga Differential Equation Ang matematikal na pisika ay bunga ng mga integral na batas sa konserbasyon. Samakatuwid, natural na hilingin na ang mga analogue ng naturang mga batas sa konserbasyon ay humawak para sa scheme ng pagkakaiba. Ang mga scheme ng pagkakaiba na nakakatugon sa pangangailangang ito ay tinatawag na konserbatibo. Lumalabas na para sa parehong bilang ng mga equation sa isang discrete na problema, ang mga konserbatibong scheme ng pagkakaiba ay mas wastong sumasalamin sa pag-uugali ng solusyon sa orihinal na problema sa pagkakaiba kaysa sa mga di-konserbatibong pamamaraan. Ang convergence ng isang numerical na paraan ay malapit na nauugnay sa kawastuhan nito. Hayaang mabalangkas nang tama ang orihinal na problema sa matematika, i.e. ang solusyon nito ay umiiral, natatangi, at patuloy na nakadepende sa input data. Kung gayon ang discrete model ng problemang ito ay dapat na itayo sa paraang mapangalagaan ang well-posedness property. Dahil dito, ang konsepto ng katumpakan ng isang numerical na pamamaraan ay kinabibilangan ng mga katangian ng natatanging pagkasolvabilidad ng kaukulang sistema ng mga equation at ang katatagan nito. Ang katatagan ay nauunawaan bilang isang patuloy na pag-asa sa data ng pag-input. Ang pangalawang pangkat ng mga kinakailangan para sa mga pamamaraan ng numero ay nauugnay sa posibilidad ng pagpapatupad ng isang naibigay na discrete na modelo sa isang ibinigay na computer, i.e. na may posibilidad na makakuha ng numerical na solusyon sa isang katanggap-tanggap na oras. Karaniwan, ang mga kumplikadong problema sa computational na nagmumula sa pag-aaral ng mga pisikal at teknikal na problema ay nahahati sa isang bilang ng mga elementarya. Maraming mga elementarya na problema ay simple, ang mga ito ay mahusay na pinag-aralan, ang mga pamamaraan para sa numerical na solusyon ay binuo na para sa kanila, at may mga karaniwang programa ng solusyon. Ang layunin ng kabanatang ito ay upang ipakilala ang pamamaraan para sa pagbuo at pagsasaliksik ng mga pangunahing numerical na pamamaraan ng algebra at calculus at ang mga problema na lumitaw sa numerical na solusyon ng mga problema.

Ang pagbuo ng isang modelo ng isang bagay o kababalaghan ay nagsisimula sa pag-highlight sa mga pinakamahalagang katangian at katangian nito at paglalarawan sa mga ito gamit ang mga mathematical na relasyon. Pagkatapos, pagkatapos lumikha ng isang modelo ng matematika, pinag-aaralan ito ng mga pamamaraan ng matematika, i.e. lutasin ang ibinigay na problema sa matematika.

Ang pagtatayo ng isang mathematical na medalya ay isa sa pinakamasalimuot at responsableng yugto sa pag-aaral ng isang bagay. Ang isang matematikal na modelo ay hindi kailanman magkapareho sa bagay na isinasaalang-alang, hindi naghahatid ng lahat ng mga katangian at tampok nito. Ito ay batay sa pagpapasimple, idealisasyon at isang pagtatantya ng paglalarawan ng bagay. Samakatuwid, ang mga resulta na nakuha batay sa modelong ito ay palaging tinatayang. Ang kanilang katumpakan ay tinutukoy ng antas ng pagsusulatan, kasapatan ng modelo at ang bagay. Ang tanong ng katumpakan ay ang pinakamahalaga sa inilapat na matematika. Gayunpaman, hindi ito puro tanong sa math at hindi malulutas sa matematika. Ang pangunahing criterion ng katotohanan ay eksperimento, i.e. paghahambing ng mga resulta na nakuha sa batayan ng modelo ng matematika sa bagay na isinasaalang-alang. Ang pagsasanay lamang ang nagpapahintulot sa amin na ihambing ang iba't ibang mga hypothetical na modelo at piliin ang pinakasimple at maaasahan sa mga ito, ipahiwatig ang mga lugar na naaangkop. iba't ibang modelo at direksyon para sa kanilang pagpapabuti. Isaalang-alang natin ang pagbuo ng modelo sa halimbawa ng kilalang problema sa ballistics ng pagtukoy sa tilapon ng isang katawan na inilabas na may paunang bilis sa isang anggulo. sa abot-tanaw. Una, ipagpalagay natin na ang bilis at maliit ang flight range ng katawan. Pagkatapos ang modelong matematikal ni Galileo batay sa mga sumusunod na pagpapalagay ay magiging wasto para sa problemang ito:

1) Ang Earth ay isang inertial system;

2) free fall acceleration
;

3) Ang lupa ay isang patag na katawan;

4) walang paglaban sa hangin.

Sa kasong ito, ang mga bahagi ng bilis ng katawan kasama ang mga palakol X at sa pantay

at ang kanilang mga paraan

, (6.2)

saan t - oras ng paglalakbay.

Ang pagtukoy ng t mula sa unang equation at pagpapalit nito sa pangalawa, nakuha natin ang equation para sa trajectory ng katawan, na isang parabola

(6.3)

mula sa kondisyon
makuha ang saklaw ng katawan

(6.4)

Gayunpaman, tulad ng ipinapakita ng kasanayan, ang mga resulta na nakuha batay sa modelong ito ay may bisa lamang sa mababang paunang bilis ng katawan. v<30м/с. С увеличением скоростиang hanay ng paglipad ay nagiging mas mababa kaysa sa halagang ibinigay ng formula (6.1).

T Anong pagkakaiba sa pagitan ng eksperimento at ng formula ng pagkalkula (6.1) ang nagpapahiwatig ng hindi kawastuhan ng modelo ng Galileo, na hindi isinasaalang-alang ang paglaban ng hangin.

kanin. 6.1 - Landas ng paglipad ng katawan

Ang karagdagang pagpipino ng ballistic na modelo ng problema sa mga tuntunin ng pagsasaalang-alang sa paglaban ng hangin ay ginawa ni Newton. Ginawa nitong posible na kalkulahin nang may sapat na katumpakan ang mga trajectory ng mga cannonball na nagpaputok sa makabuluhang paunang bilis.

Ang paglipat mula sa makinis na butas sa rifled na mga armas ay naging posible upang mapataas ang bilis, saklaw at taas ng mga projectiles, na nagdulot ng karagdagang pagpipino ng modelo ng matematika ng problema. Sa bagong modelo ng matematika, ang lahat ng mga pagpapalagay na tinanggap sa modelong Galilean ay binago, i.e. Ang daigdig ay hindi na itinuturing na isang patag at inertial na sistema, at ang puwersa ng pagkahumaling sa lupa ay hindi ipinapalagay na pare-pareho.

Ang kasunod na pagpapabuti ng modelo ng matematika ng problema ay nauugnay sa paggamit ng mga pamamaraan ng teorya ng posibilidad. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga parameter ng mga shell, baril, singil at kapaligiran, dahil sa mga pagpapaubaya at iba pang mga kadahilanan, ay hindi nananatiling hindi nagbabago, ngunit napapailalim sa mga random na pagbabagu-bago.

Bilang resulta ng sunud-sunod na mga pagpipino at pagpapabuti, isang modelo ng matematika ang nilikha na pinaka-ganap at tumpak na naglalarawan sa problema ng panlabas na ballistics. Ang paghahambing ng kanyang data sa mga resulta ng pagpapaputok ay nagpakita ng isang magandang tugma.

Ipinapakita ng halimbawang ito ang mga yugto ng paglikha, pag-unlad at pagpipino ng modelo ng matematika ng bagay, na patuloy na sinasamahan ng paghahambing at pag-verify sa pamamagitan ng pagsasanay, i.e. sa aktwal na bagay o phenomenon mismo. Ito ay tiyak na ang hindi sapat na mahusay na pagtutugma ng mga resulta na ibinigay ng modelo sa bagay na nagdudulot ng karagdagang pagpapabuti ng modelo.

1.Pagmomodelo ng matematika at paggamit ng mga kompyuter sa paglutas ng mga inilapat na problema.

Sa modernong agham at teknolohiya, isang mahalagang papel ang ginagampanan ng pagmomodelo ng matematika, na pumapalit sa mga eksperimento sa tunay na mga bagay mga eksperimento sa kanila mga modelo ng matematika.

Mga modelo ng matematika ay isa sa mga pangunahing kasangkapan para sa kaalaman ng tao sa mga phenomena ng nakapaligid na mundo. Sa ilalim ng mga modelong matematikal ay nauunawaan ang mga pangunahing pattern at mga relasyon na likas sa hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan. Ang mga ito ay maaaring mga formula o equation, set ng mga tuntunin o kumbensyon na ipinahayag sa matematikal na anyo. Mula pa noong una, sa matematika, mekanika, pisika at iba pang eksaktong agham ng natural na agham, ginamit ang mga modelong matematika upang ilarawan ang mga penomena na kanilang pinag-aaralan. Kaya, ganap na tinutukoy ng mga batas ni Newton ang mga pattern ng paggalaw ng mga planeta sa paligid ng Araw. Gamit ang mga pangunahing batas ng mekanika, medyo madaling magsulat ng mga equation na naglalarawan sa paggalaw ng isang spacecraft, halimbawa, mula sa Earth hanggang sa Buwan. Gayunpaman, hindi posible na makuha ang kanilang solusyon sa anyo ng mga simpleng formula.

Ang paggamit ng mga computer para sa mathematical modeling ay nagbago sa mismong konsepto ng "paglutas ng isang problema". Bago iyon, nasiyahan ang mananaliksik sa pagsulat ng modelong matematikal. At kung nagawa pa rin niyang patunayan na ang isang solusyon (algorithm) ay umiiral sa prinsipyo, kung gayon ito ay sapat na, kung ang isang priori ay ipinapalagay na ang modelo ay sapat na naglalarawan sa kababalaghan sa ilalim ng pag-aaral. Dahil, bilang isang patakaran, walang mga simpleng formula na naglalarawan sa pag-uugali ng modelo, at, samakatuwid, ang bagay na inilarawan ng modelo, ang tanging paraan ay upang bawasan ang bagay sa mga kalkulasyon, ang paggamit ng mga numerical na pamamaraan para sa paglutas. mga problema.

Sa kasalukuyan, ang isang teknolohiya ay binuo para sa pag-aaral ng mga kumplikadong problema, batay sa pagbuo at pagsusuri ng mga modelo ng matematika ng bagay na pinag-aaralan sa tulong ng isang computer. Ang pamamaraang ito ng pananaliksik ay tinatawag na eksperimento sa computational.

Ang pagmomodelo ng matematika at eksperimento sa computational ay ginagamit ngayon hindi lamang sa mga eksaktong agham at teknolohiya, kundi pati na rin sa mga agham pang-ekonomiya, sosyolohiya at marami pang ibang mga lugar na tradisyonal na itinuturing na malayo sa matematika at mga kompyuter. Bakit kailangan natin ng computational experiment? Ang disenyo ng mga kumplikadong bagay, tulad ng nuclear, espasyo at marami pang iba, ay nangangailangan ng napakalaking halaga ng mga kalkulasyon. Halimbawa, upang malutas ang maraming inilapat na mga problema ng aerodynamics at nuclear physics, kinakailangan na gumanap

higit pang mga aritmetika na operasyon. Ang mga makabagong teknolohiya ay kadalasang gumagamit ng paglilimita sa mga rehimen na nangangailangan ng pagsasaalang-alang ng mga kumplikadong nonlinear na salik. Kadalasan kinakailangan na pag-aralan ang pag-uugali ng isang bagay sa

extreme at emergency na sitwasyon, na halos imposible sa pamamagitan ng isang malawakang eksperimento, halimbawa, kapag nag-aaral ng mga pagsabog ng nuklear, ang mga kahihinatnan ng mga sakuna na gawa ng tao, at sa maraming iba pang mga sitwasyon.

2. Computational experiment at mga yugto nito.

Ang malawakang paggamit ng mga computer sa matematikal na pagmomodelo, isang sapat na makapangyarihang teoretikal at pang-eksperimentong base ay nagpapahintulot sa amin na magsalita ng isang eksperimento sa computational bilang isang bagong teknolohiya at pamamaraan sa siyentipiko at inilapat na pananaliksik.

Eksperimento sa computational - ito ay isang eksperimento sa isang modelo ng matematika ng isang bagay sa isang computer, na binubuo sa katotohanan na ang isa sa mga parameter ng modelo ay ginagamit upang kalkulahin ang iba pang mga parameter nito at, sa batayan na ito, ang mga konklusyon ay iginuhit tungkol sa mga katangian ng phenomenon na inilarawan ng mathematical model.

Ang isang pangkat ng mga mananaliksik, mga espesyalista sa isang partikular na lugar ng paksa, mga mathematician, theoreticians, calculators, mga inilapat na inhinyero, programmer, ay lumalahok sa computational experiment. Ito ay

at pagproseso ng mga resulta. Dito makikita mo ang isang pagkakatulad sa trabaho sa

kontrolin ang mga eksperimento, serial na eksperimento, pagproseso ng pang-eksperimentong data at ang kanilang interpretasyon, atbp. Kaya, ang pagsasagawa ng malakihang kumplikadong mga kalkulasyon ay dapat ituring bilang isang eksperimento na isinasagawa sa isang computer o isang eksperimento sa computational.

Pag-compute				mga dulang eksperimento
karaniwan			eksperimento			pananaliksik
Moderno		hypothesis		halos palagi		may mathematical			paglalarawan,
			magsagawa ng mga eksperimento.
	pagpapakilala ng konseptong ito							i-highlight ang kakayahan
kompyuter		gumanap ng malaki					pag-compute,		nagpapatupad
pananaliksik. Kung hindi					pinapayagan ka ng computer na

Ang pisikal, kemikal, atbp. na eksperimento ay isang computational experiment.

Ang isang computational experiment, kung ihahambing sa isang full-scale, ay mas mura at mas madaling ma-access, ang paghahanda at pagpapatupad nito ay nangangailangan ng mas kaunting oras, madali itong gawing muli, at nagbibigay ito ng mas detalyadong impormasyon. Bilang karagdagan, sa kurso ng eksperimento sa computational, ang mga hangganan

applicability ng mathematical model, na nagbibigay-daan upang mahulaan ang eksperimento sa mga natural na kondisyon. Samakatuwid, ang paggamit ng computational experiment ay limitado sa mga mathematical models na kasangkot sa pag-aaral. Para sa kadahilanang ito, hindi maaaring ganap na mapapalitan ng isang computational experiment ang isang full-scale na eksperimento, at ang paraan ng paglabas sa sitwasyong ito ay nakasalalay sa kanilang makatwirang kumbinasyon. Sa kasong ito, sa pagsasagawa ng isang kumplikadong eksperimento, isang malawak na hanay ng mga modelo ng matematika ang ginagamit: mga direktang problema, kabaligtaran na mga problema, mga problema sa pag-optimize, mga problema sa pagkilala.

Ang paggamit ng computational experiment bilang paraan ng paglutas ng mga kumplikadong inilapat na problema ay may sarili nitong mga partikular na tampok sa kaso ng bawat partikular na gawain at bawat partikular na pangkat ng siyensya. Gayunpaman, ang mga karaniwang katangian na pangunahing tampok ay palaging malinaw na nakikita, na nagpapahintulot sa amin na magsalita ng isang solong istraktura ng prosesong ito. Sa kasalukuyan, ang teknolohikal na cycle ng isang computational experiment ay karaniwang nahahati sa ilang mga teknolohikal na yugto. At bagaman ang naturang dibisyon ay higit na arbitrary, ito ay nagpapahintulot sa amin na mas maunawaan ang kakanyahan ng pamamaraang ito ng pagsasagawa ng teoretikal na pananaliksik.

Kaya, tulad ng anumang eksperimento, ang isang eksperimento sa computational ay sumusunod sa ilang mga panuntunan. Sa eskematiko, ang mga yugto ng eksperimento sa computational ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod:

	Pisikal		mathematical		Numerical na paraan =
					discrete na modelo +
pananaliksik					pagcompute
					algorithm

kanin. B. 1. Scheme ng computational experiment

Ang batayan ng computational experiment ay ang triad: modelo - pamamaraan (algorithm) - programa. Unang binuo na may ilang mga pagpapalagay ang pisikal na modelo ng bagay. Ang pisikal na modelo ay isang hanay ng mga hadlang, pagpapalagay, at pagpapasimple na ipinataw sa hindi pangkaraniwang bagay na isinasaalang-alang. Ang mga sumusunod ay naglalarawan matematikal na modelo. Ang modelo ng matematika ay isang equation, isang sistema ng mga equation o isang set ng mga sistema ng mga equation na naglalarawan ng pisikal na

modelo. Pagkatapos ay kinakailangan upang malutas ang mga sistemang ito ng mga equation. Tulad ng nabanggit na, kadalasan ay kinakailangan na mag-aplay numerical na pamamaraan. Ang numerical na paraan ay nauunawaan bilang set discrete na modelo ipinatupad sa isang computer, at computational algorithm, na nagbibigay-daan sa paglutas ng discretized na problema. Upang ipatupad ang numerical na paraan, kinakailangan na bumuo ng isang programa sa isa sa mga programming language o mag-apply ng isang handa na pakete ng mga inilapat na programa. Sa kasalukuyan, mayroong mga pakete ng software ng application tulad ng MathCAD, Matlab, Maple, Mathematica at iba pa na nagpapahintulot sa paglutas ng karamihan sa mga problemang nakatagpo sa pagsasanay. Gayunpaman, ang isang karampatang pagbabalangkas ng problema, isang makatwirang pagpili ng paraan ng solusyon, at ang tamang interpretasyon ng mga resulta ay nangangailangan ng seryosong kaalaman sa mga numerical na pamamaraan. Pagkatapos ng pag-debug, ang mga programa ay ginawa pag-compute sa isang computer(karaniwan ay kinakailangan na magsagawa ng maraming variant ng mga kalkulasyon, kung saan kinakailangan na magplano ng isang eksperimento sa computational) at pagsusuri ng mga resulta. Pagkatapos makuha ang mga resulta, ang mga sulat ng mga resulta ng computational experiment sa proseso ng paggana ng isang tunay na bagay ay susuriin at, kung kinakailangan, ang mga bahagi ng computational experiment scheme (Fig. B.1) ay pino hanggang sa ang mga kasiya-siyang resulta ay nakuha.

3. Mga Pamamaraang Numerikal

Sa malawak na kahulugan, ang isang numerical na paraan, tulad ng nabanggit sa itaas, ay nauunawaan bilang isang set ng isang discrete model na ipinatupad sa isang computer at isang computational algorithm na nagbibigay-daan sa paglutas ng discretized na problema.

Ang isa at ang parehong modelo ng matematika ay maaaring iugnay sa isang set ng mga discrete na modelo at computational algorithm, ibig sabihin, mga numerical na pamamaraan. Kapag pumipili ng isang numerical na paraan, dalawang grupo ng mga kinakailangan ang dapat isaalang-alang:

ang discrete model ay dapat na sapat sa mathematical model;

ang numerical na paraan ay dapat tama at maipapatupad sa isang computer.

Upang matiyak ang kasapatan, ang isang discrete model ay dapat may mga katangian convergence ng numerical method, pagpapatupad ng discrete analogs of conservation, at qualitatively correct behavior ng solusyon.

Ang convergence ng numerical method, halimbawa, ay nangangahulugan na sa isang pagbaba sa hakbang ng partitioning ang integration interval, ang katumpakan ng numerical integration ay tumataas. Ang iba't ibang modelo ng matematika ay mga pagpapahayag ng mga batas sa pisikal na konserbasyon, kaya para sa isang discrete na modelo, dapat ding matugunan ang mga batas sa konserbasyon. Ang husay na wastong pag-uugali ng isang discrete na modelo ay nangangahulugan na dahil sa discrete na katangian ng pag-uugali ng modelo, ang ilang mga detalye ng pag-uugali ng tunay na sistema ay hindi nawawala.

Katumpakan ng numerical na paraan nangangahulugan na ang discrete na problema ay dapat na natatanging nalulusaw at lumalaban sa mga paunang data error at computational error. Pagpapatupad ng numerical na paraan sa isang computer limitado sa dami ng memorya at bilis ng computer. Ang computational algorithm ay dapat gumawa ng makatwirang mga kahilingan sa mga mapagkukunan ng computer. Halimbawa, ang mathematically correct na paraan ng Cramer para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ay ganap na hindi naaangkop sa paglutas ng mga tunay na problema: kung ipagpalagay natin na ang bawat operasyon ng aritmetika ay isinasagawa sa 10 − 6 s, pagkatapos ay aabutin ng higit sa isang milyong taon upang malutas ang isang system na may 20 hindi alam gamit ang paraan ng Cramer. Kasabay nito, ang sistemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pinakasimpleng pamamaraan ng Gauss sa isang bahagi ng isang segundo.

Sa isang makitid na kahulugan, sa ilalim numerical na pamamaraan maunawaan ang mga pamamaraan para sa tinatayang solusyon ng mga problemang pangmatematika, na binabawasan sa pagsasagawa ng isang may hangganang bilang ng mga elementaryang operasyon sa mga numero. Kasama sa mga elementarya na operasyon ang mga pagpapatakbo ng aritmetika, na karaniwang ginagawa nang humigit-kumulang, pati na rin ang mga pantulong na operasyon - mga talaan ng mga intermediate na resulta, mga seleksyon mula sa mga talahanayan, atbp. Ang mga numero ay ibinibigay ng limitadong hanay ng mga digit sa ilang positional number system (decimal, binary, atbp.). Kaya, sa mga numerical na pamamaraan, ang linya ng numero ay pinapalitan ng isang discrete system ng mga numero (grid); ang pag-andar ng isang tuluy-tuloy na argumento ay pinalitan ng isang talahanayan ng mga halaga nito sa isang grid; ang mga operasyon ng pagsusuri na kumikilos sa tuluy-tuloy na mga pag-andar ay pinalitan ng mga algebraic na operasyon sa mga halaga ng mga pag-andar sa grid.

Ang layunin ng kursong "Numerical Methods" ay pag-aralan ang theoretical foundations at makakuha ng mga praktikal na kasanayan sa paglutas ng mga problema sa computational at pagsasagawa ng computational experiment.

MINIMUM PROGRAM

pagsusulit ng kandidato sa espesyalidad

05.13.18 "Pagmomodelo ng matematika,
numerical na pamamaraan at software packages"

sa kemikal, geological at mineralogical
at biyolohikal na agham

Panimula

Ang programang ito ay batay sa mga sumusunod na disiplina: informatics; Computational Mathematics; mga kompyuter; pamamaraan ng cybernetics sa chemistry at kemikal na teknolohiya; pagsusuri at synthesis ng mga kemikal-teknolohiyang sistema; teorya ng artificial intelligence at hybrid expert system sa kemikal na teknolohiya; pagmomodelo ng matematika ng mga prosesong kemikal-teknolohiya; pagiging maaasahan at kahusayan ng mga teknolohikal na sistema.

Ang programa ay binuo ng ekspertong konseho ng Higher Attestation Commission ng Ministri ng Edukasyon ng Russian Federation sa kimika (sa inorganic chemistry) na may partisipasyon ng Russian University of Chemical Technology. .

1. Mga paraan ng computational mathematics

Pangkalahatang impormasyon mula sa teorya ng mga scheme ng pagkakaiba. Pangunahing konsepto at kahulugan. Pagtataya. Pagbibilang ng Katatagan. Convergence theorem. May hangganan-pagkakaiba analogues ng ilang mga problema ng matematika physics.

Mga pamamaraan para sa pagbuo ng mga scheme ng pagkakaiba para sa paglutas ng mga differential equation. Variational na pamamaraan sa mathematical physics. Pagbuo ng mga pangunahing pag-andar para sa paglutas ng isang-dimensional na mga problema. Konstruksyon ng mga pangunahing pag-andar para sa paglutas ng mga problemang multidimensional. Variational-difference at projection-grid scheme. Pagbuo ng mga scheme para sa hindi nakatigil na mga problema sa pamamagitan ng pamamaraan ng projection-grid.

Interpolation ng mga function ng grid. Non-stationary iterative na pamamaraan. paraan ng paghahati. Mga umuulit na pamamaraan para sa mga system na may mga singular na matrice.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi nakatigil na problema. Mga scheme ng pagkakaiba ng pangalawang pagkakasunud-sunod ng approximation sa mga operator depende sa oras. Inhomogeneous equation ng evolutionary type. Mga pamamaraan ng paghahati para sa mga hindi nakatigil na problema. Multicomponent paghahati ng mga gawain. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng hyperbolic type.

Mga magkakadugtong na equation at mga pamamaraan ng perturbation. Basic at magkadugtong na mga equation. Mga algorithm ng perturbation. Pamamaraan ng teorya ng perturbation para sa mga problema sa eigenvalue. Mga magkadugtong na equation at perturbation theory para sa mga linear functionals.

Pahayag at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng ilang kabaligtaran na problema. Mga pangunahing kahulugan at halimbawa. Solusyon ng kabaligtaran na mga problema sa ebolusyon sa isang pare-parehong operator. Isang kabaligtaran na problema sa ebolusyon sa isang operator na umaasa sa oras. Pahayag ng kabaligtaran na mga problema batay sa mga pamamaraan ng teorya ng perturbation.

2. Numerical na pamamaraan ng mathematical analysis

Mga paraan ng interpolation at numerical differentiation. Pahayag ng problema ng approximation ng mga function. Lagrange interpolation polynomial. Isang pagtatantya para sa natitirang termino ng Lagrange interpolation polynomial. Pinaghiwalay na mga pagkakaiba at ang kanilang mga katangian. Newton's interpolation formula na may mga hinati na pagkakaiba. Hatiin ang mga pagkakaiba at interpolation na may maraming node. Mga equation sa may hangganang pagkakaiba. Mga polynomial ng Chebyshev. Minimization ng pagtatantya ng natitirang termino ng interpolation formula. Tapusin ang mga pagkakaiba. Mga formula ng interpolation para sa mga talahanayan na may pare-parehong hakbang. Pagsasama-sama ng mga talahanayan. Sa error sa rounding sa interpolation. Mga aplikasyon ng interpolation apparatus. reverse interpolation. Numerical differentiation. Sa computational error ng numerical differentiation formula. makatwirang interpolation.

Mga pamamaraan at algorithm para sa numerical integration. Ang pinakasimpleng quadrature formula. Paraan ng hindi tiyak na coefficients. Mga pagtatantya ng error sa quadrature. Mga formula ng quadrature ng Newton-Cotes. Mga orthogonal polynomial. Quadrature formula ng Gauss. Praktikal na pagtatantya ng error ng elementary quadrature formula. Pagsasama-sama ng mabilis na oscillating function. Pagpapabuti ng katumpakan ng pagsasama sa pamamagitan ng paghahati sa segment sa pantay na bahagi. Sa pagbabalangkas ng mga problema sa pag-optimize. Pahayag ng problema sa pag-optimize ng quadrature. Pag-optimize ng pamamahagi ng mga quadrature formula node. Mga halimbawa ng pag-optimize ng pamamahagi ng node. Nangungunang termino ng error. Ang tuntunin ng praktikal na pagtatantya ng error ni Runge. Pagpino ng resulta sa pamamagitan ng interpolation ng mas mataas na pagkakasunud-sunod. Pagkalkula ng mga integral sa hindi regular na kaso. Mga prinsipyo ng pagbuo ng mga karaniwang programa na may awtomatikong pagpili ng hakbang.

Mga pamamaraan ng approximation ng function. Pinakamahusay na pagtatantya sa linear normed space. Ang pinakamahusay na pagtatantya sa espasyo ng Hilbert at mga tanong na nagmumula sa praktikal na pagtatayo nito. trigonometriko interpolation. Discrete Fourier transform. Mabilis na Fourier Transform. Ang pinakamahusay na pare-parehong pagtatantya. Mga halimbawa ng pinakamahusay na pare-parehong pagtatantya. Isang umuulit na paraan para sa pagbuo ng isang polynomial ng pinakamahusay na pare-parehong pagtatantya. Interpolation at approximation sa pamamagitan ng splines. Entropy at e - entropy.

Mga gawaing multidimensional. Paraan ng hindi tiyak na coefficients. Pamamaraan ng least squares at regularization. Mga halimbawa ng regularisasyon. Pagbawas ng mga multidimensional na problema sa one-dimensional na mga problema. Interpolation ng mga function sa isang tatsulok. Pagtatantya ng Error ng Numerical Integration sa Uniform Grid. Lower bound para sa error ng numerical integration. Paraan ng Monte Carlo. Pagtalakay sa pagiging lehitimo ng paggamit ng mga di-deterministikong pamamaraan para sa paglutas ng mga problema. Pagpapabilis ng convergence ng Monte Carlo method.

Numerical na pamamaraan ng algebra. Mga paraan ng sunud-sunod na pagbubukod ng mga hindi alam. paraan ng pagmuni-muni. Simpleng paraan ng pag-ulit. Mga tampok ng pagpapatupad ng paraan ng simpleng pag-ulit sa isang computer. b2-proseso ng praktikal na pagtatantya ng error at acceleration ng convergence. Pag-optimize ng rate ng convergence ng mga umuulit na proseso. Paraan ng Seidel. Pinakamatarik na paraan ng pagbaba ng gradient. Conjugate gradient method. Mga pamamaraang umuulit gamit ang mga operator na katumbas ng spectrally. Ang error ng tinatayang solusyon ng sistema ng mga equation at ang conditionality ng mga matrice. Regularisasyon. Ang problema ng eigenvalues. Paglutas ng kumpletong eigenvalue na problema gamit ang QR algorithm.

Paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation at mga problema sa pag-optimize. Simpleng paraan ng pag-ulit at mga kaugnay na isyu. Paraan ni Newton para sa paglutas ng mga nonlinear na equation. Mga pamamaraan ng pagbaba. Iba pang mga paraan ng pagbabawas ng mga problemang multidimensional sa mga problema ng mas mababang dimensyon. Solusyon sa mga nakatigil na problema sa pamamagitan ng pagtatatag.

Numerical na pamamaraan para sa paglutas ng Cauchy na problema para sa mga ordinaryong differential equation. Paglutas ng problemang Cauchy gamit ang Taylor formula. Mga pamamaraan ng Runge-Kutta. Mga pamamaraan na may kontrol sa error sa hakbang. Mga pagtatantya ng error para sa mga one-step na pamamaraan. Mga pamamaraan ng may hangganang pagkakaiba. Paraan ng hindi tiyak na coefficients. Pagsisiyasat ng mga katangian ng mga paraan ng may hangganang pagkakaiba sa mga problema sa modelo. Pagtatantya ng error ng mga paraan ng may hangganan-pagkakaiba. Mga tampok ng pagsasama ng mga sistema ng mga equation. Mga Paraan para sa Numerical Integration ng Equation ng Second Order.

Mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa boundary value para sa mga ordinaryong differential equation. Ang pinakasimpleng pamamaraan para sa paglutas ng isang problema sa halaga ng hangganan para sa pangalawang pagkakasunud-sunod na equation. Ang function ng Green ng isang problema sa halaga ng hangganan ng grid. Solusyon ng pinakasimpleng problema sa halaga ng hangganan. Mga pagsasara ng mga computational algorithm. Pagtalakay sa pagbabalangkas ng mga problema sa halaga ng hangganan para sa mga linear na sistema ng unang pagkakasunud-sunod. Algorithm para sa paglutas ng mga problema sa halaga ng hangganan para sa mga sistema ng mga equation ng unang pagkakasunud-sunod. Mga problema sa halaga ng nonlinear na hangganan. Mga pagtatantya ng isang espesyal na uri. Mga pamamaraan ng may hangganan na pagkakaiba para sa paghahanap ng mga eigenvalues. Pag-optimize ng pamamahagi ng mga integration node. Pagbuo ng mga numerical na pamamaraan gamit ang variational na prinsipyo. Pagpapabuti ng convergence ng variational na pamamaraan sa hindi regular na kaso. Impluwensya ng computational error depende sa anyo ng finite-difference equation.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng isang partial differential equation. Mga pangunahing konsepto ng teorya ng paraan ng grid. Pagtataya ng pinakasimpleng hyperbolic na problema. Ang prinsipyo ng frozen coefficients. Numerical na solusyon ng mga hindi linear na problema na may mga hindi tuloy-tuloy na solusyon. Mga scheme ng pagkakaiba para sa isang one-dimensional na parabolic equation. Pagkakaiba ng approximation ng elliptic equation. Solusyon ng mga parabolic equation na may ilang variable na espasyo. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga grid elliptic equation.

Numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga integral equation. Paglutas ng mga integral equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng integral ng isang quadrature sum. Paglutas ng mga integral equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng kernel ng isang degenerate. Fredholm integral equation ng unang uri.

3. Mga paraan ng linear programming

Mga pundasyon ng teorya ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Ang pagbabalangkas ng matematika ng mga problema sa linear programming.

Simplex na paraan para sa paglutas ng mga problema sa linear programming. Simplex na pamamaraan. Simplex na paraan sa tabular form. Binagong paraan ng simplex. Dual simplex na pamamaraan.

Itala ang haba at teoretikal na kumplikado ng mga linear inequalities at linear programming.

Dual na paraan, paraan ng pag-aalis at paraan ng pagpapahinga. Direktang dalawahang pamamaraan. Paraan ng pagbubukod ng Fourier-Motzkin. paraan ng pagpapahinga.

Mga karagdagang resulta sa polynomial solvability sa linear programming. Polynomial linear programming algorithm na binuo ni Karmarkar. Malakas na polynomial algorithm. Ang linear algorithm ng Megiddo para sa isang nakapirming dimensyon. Maliit na clipping at rounding ng polytopes.

4. Mga pamamaraan at algorithm ng non-linear programming

Mga paraan ng unconditional optimization. Linear na paghahanap na walang derivatives. Linear na paghahanap gamit ang derivative. Pagkasara ng algorithmic mappings ng linear na paghahanap. Multidimensional na paghahanap na walang derivatives. Multidimensional na paghahanap gamit ang. Mga pamamaraan gamit ang mga direksyon ng conjugate.

Mga pamamaraan ng parusa at mga pag-andar ng hadlang. Ang konsepto ng isang function ng parusa. Paraan ng mga function ng parusa. paraan ng hadlang.

Mga paraan ng posibleng direksyon. Ang pamamaraang Zeutendijk. Pagsusuri ng convergence ng pamamaraang Zeutendijk. Paraan ng projection ng Rosen gradient. Pinababang pamamaraan ng gradient ng Wolfe. Convex simplex na paraan ng Zangwill.

Linear complementarity. Quadratic, separable fractional-linear programming. Problema sa linear complementarity. Quadratic programming. Hiwalay na programming. Fractional linear programming.

5. Mga elemento ng teorya ng posibilidad
at mga istatistika ng matematika

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad. Kaganapan. Ang posibilidad ng isang kaganapan. Direktang pagkalkula ng mga probabilidad. Ang dalas o istatistikal na posibilidad ng isang kaganapan. Random na halaga. Halos imposible at halos tiyak na mga pangyayari. Ang prinsipyo ng praktikal na katiyakan.

Pangunahing theorems ng probability theory. Layunin ng mga pangunahing theorems. Kabuuan at produkto ng mga pangyayari. Ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad. Probability multiplication theorem. Kabuuang Formula ng Probability. Hypothesis theorem (Bayes formula).

Pag-uulit ng mga eksperimento. Isang partikular na teorama sa pag-uulit ng mga eksperimento. Pangkalahatang teorama sa pag-uulit ng mga eksperimento.

Mga random na variable at ang kanilang mga batas sa pamamahagi. Saklaw ng pamamahagi. Pamamahagi polygon. function ng pamamahagi. Probabilidad na matamaan ang isang random na variable sa isang partikular na lugar. Densidad ng pamamahagi. Mga de-numerong katangian ng mga random na variable. Ang kanilang tungkulin at layunin. Mga katangian ng posisyon (pang-matematika na inaasahan, mode, median). Mga sandali. Pagpapakalat. Karaniwang lihis. Ang batas ng pare-parehong density. Batas ni Poisson.

Normal na batas sa pamamahagi. Normal na batas at mga parameter nito. Mga sandali ng normal na pamamahagi. Ang posibilidad na ang isang random na variable na sumusunod sa normal na batas ay nahuhulog sa isang partikular na lugar. Normal na function ng pamamahagi. Malamang (median) paglihis.

Pagpapasiya ng mga batas ng pamamahagi ng mga random na variable sa batayan ng pang-eksperimentong data. Ang mga pangunahing gawain ng mga istatistika ng matematika. Isang simpleng istatistika. Statistical distribution function. Linya ng istatistika. Bar graph. Mga de-numerong katangian ng distribusyon ng istatistika. Paghahanay ng serye ng istatistika. Pamantayan ng Pahintulot.

Limitahan ang theorems ng probability theory. Ang batas ng malalaking numero at ang central limit theorem. Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev. Batas ng malalaking numero (Chebyshev's theorem). Pangkalahatan ang teorama ni Chebyshev. Ang teorama ni Markov. Bunga ng batas ng malalaking numero: Bernoulli at Poisson's theorems. Mass random phenomena at ang central limit theorem. Mga katangiang pag-andar. Central limit theorem para sa magkaparehong mga termino. Mga formula na nagpapahayag ng central limit theorem at nakatagpo sa praktikal na aplikasyon nito.

Pagproseso ng mga eksperimento. Mga tampok ng pagproseso ng limitadong bilang ng mga eksperimento. Mga pagtatantya para sa hindi kilalang mga parameter ng batas sa pamamahagi. Mga pagtatantya para sa mathematical na inaasahan at pagkakaiba. Agwat ng kumpiyansa. Posibilidad ng kumpiyansa. Mga eksaktong pamamaraan para sa pagbuo ng mga pagitan ng kumpiyansa para sa mga parameter ng isang random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas. Pagtataya ng probabilidad ayon sa dalas. Mga pagtatantya para sa mga numerical na katangian ng isang sistema ng mga random na variable. Pagproseso ng pagbaril. Pagpapadulas ng mga pang-eksperimentong dependence sa pamamagitan ng paraan ng hindi bababa sa mga parisukat.

6. Pangkalahatang katangian ng paggamit ng mga teknolohiya ng impormasyon at karaniwang mga pakete ng software para sa paglutas ng mga problema ng pagmomolde ng matematika

Layunin at katangian ng impormasyon CASE-teknolohiya.

Layunin at katangian ng mga teknolohiyang CAPE ng impormasyon.

Layunin at katangian ng mga teknolohiyang CALS ng impormasyon.

Katayuan at mga prospect ng paggamit ng INTERNET para sa paglutas ng mga problema ng mathematical modelling.

Mga Object-oriented na programming language at visual programming tool bilang mga tool para sa paglikha ng mga software complex para sa mathematical modeling.

7. Teoretikal na pundasyon ng matematikal na pagmomodelo ng mga prosesong kemikal-teknolohiya

Pagmomodelo ng matematika ng mga kumplikadong reaksiyong kemikal. Pagsubok ng mga hypotheses tungkol sa mekanismo ng reaksyon at pagtantya ng mga kinetic constant. Pagpino ng mga kinetic na parameter at diskriminasyon ng kinetic hypotheses.

Mga modelong matematikal ng isothermal reactors. Mga modelo ng tubular reactors (plug-flow reactors) at batch reactors. Mga modelo ng mga flow reactor na may stirrer (perpektong mixing reactor). Mga modelo ng tubular flow reactors patungkol sa paghahalo (diffusion type reactor).

Mga modelo ng matematika ng mga non-isothermal na reactor . pseudo-homogeneous na mga modelo. mga modelong biphasic. Pagsusuri ng katatagan ng mga tipikal na rehimen ng reaktor. Pagpapasiya ng pinakamainam na profile ng temperatura ng isang polytropic reactor. Mga modelo ng mga autothermal reactor.

Mga modelo ng matematika ng mga heterogenous na catalytic reactor. Pagpapatunay ng uri ng mga equation ng kinetics ng mga simpleng reaksyon. Paraan ng eksperimentong pagpapatunay ng kasapatan ng mga kinetic equation ng mga simpleng reaksyon.

Experimental-statistical na pamamaraan para sa pagbuo ng matematika mga modelo ng prosesong pisikal at kemikal. Mga paraan ng regression at pagsusuri ng ugnayan. Mga pamamaraan para sa pagpaplano ng pinakamainam na mga eksperimento: buong factorial na eksperimento; fractional replika; orthogonal na mga plano ng pangalawang order; rotatable plan ng pangalawang order; simplex na paraan ng pagpaplano ng mga eksperimento.

Mga pamamaraan para sa pagsuri ng sapat na mga modelo ng matematika . Konstruksyon at pagsusuri ng mga talahanayan, histogram at mga function ng pamamahagi. paraan ng sandali. Pinakamababang parisukat na paraan.

Mga modelo ng matematika ng mga tipikal na proseso ng kemikal-teknolohiya . Mga modelo ng matematika ng mga tipikal na istruktura ng daloy: mga modelo ng perpektong displacement; perpektong mga modelo ng paghahalo; isang-parameter at dalawang-parameter na mga modelo ng pagsasabog; modelo ng cell; pinagsamang modelo. Mga modelong matematikal ng mga tipikal na proseso ng paglipat ng init: Fourier-Kirchhoff convective transfer equation; Fourier heat equation; equation ni Newton; perpektong modelo ng pag-aalis; perpektong modelo ng paghahalo; mga modelo ng cell at diffusion. Mga modelo ng matematika ng mga heat exchanger (pipe sa pipe). Mga modelong matematikal ng mga tipikal na proseso ng paglilipat ng masa: Fick equation para sa molecular at convective transfer; Ang equation ni Newton. Mga modelo ng matematika ng mga proseso ng paghihiwalay ng binary at multicomponent mixtures sa mga column ng distillation. Mga pamamaraan para sa pagsusuri ng pagkakatulad ng mga molekula batay sa teorya ng graph.

8. Mga paraan ng pagmomodelo ng matematika, mga algorithm para sa pagsusuri at synthesis ng mga sistemang kemikal-teknolohiya

Mga prinsipyo ng pagmomodelo ng matematika at pagsusuri ng mga kemikal-teknolohiyang sistema (CTS ). Operator-symbolic mathematical model ng XTS. Mga Direktang Paraan para sa Pagkilala sa Mga Static Mode ng CTS. Ang pagmomodelo ng matematika ay ang pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa disenyo at pagpapatakbo ng CTS. Pahayag at mga prinsipyo ng paglutas ng mga problema ng pagsusuri ng CTS. Mga katangian ng block principle ng CTS analysis. Pangkalahatang pagtingin sa sistema ng mga equation ng mga balanse ng materyal at init ng CES. Paghahanda ng paunang data para sa pag-compile ng mga sistema ng mga equation ng mga balanse ng materyal at init. Mga palatandaan ng pagkakaroon ng isang solusyon sa mga sistema ng mga equation ng mga balanse ng materyal at init. Pagpapasiya ng antas ng kalayaan ng CTS. Mga rekomendasyon para sa pagpili ng kinokontrol at pag-optimize ng mga variable ng impormasyon ng CTS.

Mga prinsipyo ng pagbuo ng mga topological na modelo ng CTS . Pag-uuri at pagtatalaga ng mga topological na modelo ng CTS. Mga Batayan ng teorya ng graph. Matrix na representasyon ng mga graph. Mga flow graph XTS. Parametric flow graphs. Mga graph ng daloy ng materyal. Mga graph ng thermal flow. Mga graph ng daloy ng exergy. Mga graph ng paikot na daloy. Mga graph ng daloy ng impormasyon XTS. Bipartite na mga graph ng impormasyon. mga graph ng impormasyon. Mga graph ng signal XTS. Mga istrukturang graph ng XTS.

Decomposition-topological na pamamaraan ng pagsusuri at pag-optimize ng kumplikadong CTS. Pangkalahatang katangian ng mga numerical na pamamaraan para sa pagsusuri ng CTS. Numerical na pamamaraan at algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng nonlinear equation: simpleng paraan ng pag-ulit at mga pagbabago nito; Paraan ni Newton; quasi-Newtonian na pamamaraan; paraan ng minimization; paraan ng pagkakaiba-iba ng parameter. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear equation: pangkalahatang katangian ng mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation; direktang umuulit na pamamaraan. Kahusayan ng iba't ibang mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng algebraic equation ng KhTS. Ang pagbabalangkas ng matematika ng problema at pag-uuri ng mga pamamaraan para sa pag-optimize ng CTS. Dalawang antas na paraan ng pag-optimize para sa kumplikadong CTS: pangkalahatang diskarte ng dalawang antas na pamamaraan; paraan ng pag-aayos ng mga intermediate variable; paraan ng presyo; pangkalahatang katangian ng mga espesyal na programa para sa digital modeling ng CTS.

9. Mga pamamaraan ng artificial intelligence
at mga prinsipyo ng paglikha ng mga ekspertong sistema

Ang artificial intelligence ay ang siyentipikong batayan para sa paglikha ng mga ekspertong sistema . Mga modernong direksyon ng siyentipikong pananaliksik sa larangan ng artificial intelligence. Mga di-pormal na gawain ng aktibidad na pang-agham at teknikal at pag-uuri ng mga modelo ng representasyon ng kaalaman. Mga di-pormal na problema sa kimika. Mga di-pormal na gawain sa disenyo ng mga kemikal-teknolohiyang sistema. Mga di-pormal na gawain sa pagpapatakbo ng mga kemikal-teknolohiyang sistema. Heuristic programming at awtomatikong pag-aaral.

Pangkalahatang katangian ng mga modelo ng representasyon ng kaalaman at mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga solusyon sa mga hindi pormal na problema. Lohikal at lohikal-linguistic na mga modelo ng representasyon ng kaalaman. Mga modelo ng istruktura-linggwistika ng network ng representasyon ng kaalaman. Pangkalahatang katangian ng mga frame at mga panuntunan sa produksyon. Relasyon sa pagitan ng mga modelo ng representasyon ng kaalaman at mga modelo ng data. Mga pamamaraan at pamamaraan para sa paghahanap ng mga solusyon sa mga di-pormal na problema. Pangkalahatang impormasyon tungkol sa mga modelo ng natural na wika. Ang konsepto ng mga neural network at ang kanilang aplikasyon sa teknolohiyang kemikal.

Malabo na mga modelo ng representasyon ng kaalaman at mga pamamaraan sa paghihinuha ng di-tiyak na desisyon . Ang konsepto ng malabo na kaalaman sa kimika at kemikal na teknolohiya. Mga paraan ng hindi tumpak na pangangatwiran na may hindi mapagkakatiwalaang data. Pangkalahatang impormasyon tungkol sa malabo at probabilistikong lohika. Pangunahing konsepto ng fuzzy set theory. Mga modelo ng representasyon ng kaalaman batay sa teorya ng fuzzy set.

Structural-linguistic na mga modelo ng representasyon ng kaalaman at pamamaraan ng paghinuha ng desisyon . Pag-uuri at mga prinsipyo ng pagbuo ng frame. Mga pangunahing tampok ng mga frame at mga pamamaraan ng hinuha. Mga prinsipyo ng pagtatayo ng iba't ibang klase ng mga semantic network. Mga pamamaraan ng paghihinuha ng solusyon gamit ang mga semantic network.

Mga lohikal na modelo ng representasyon ng kaalaman at mga pamamaraan ng hinuha . Mga modelo ng representasyon ng kaalaman batay sa predicate calculus. Mga pamamaraan ng pormal na inference sa mga deductive system. Mga pamamaraan ng hinuha batay sa prinsipyo ng paglutas. Pagpapatupad ng software ng predicate calculus.

Mga sistema ng produksyon at operasyon para sa pagkontrol sa output ng mga desisyon. Mga pangunahing konsepto ng mga sistema ng produksyon bilang mga sistema ng representasyon ng pormal na kaalaman. Ang functional na istraktura ng mga sistema ng produksyon bilang mga sistema ng programming. Mga diskarte sa paghuhula ng desisyon sa mga sistema ng produksyon. Mga operasyon ng iniutos na limitadong paghahanap para sa mga solusyon.

Arkitektura ng mga dalubhasang sistema at matatalinong wika sa programming . Mga pangunahing katangian ng mga ekspertong sistema. Arkitektura ng mga dalubhasang sistema. Mga mode ng pagpapatakbo at pag-uuri ng mga ekspertong sistema. Ang mga pangunahing yugto ng pag-unlad ng mga sistema ng dalubhasa.

Ang mga artificial intelligence programming language ay mga tool para sa pagbuo ng mga expert system. Mga pangunahing konsepto at pag-uuri ng wika at mga tool sa software. Pangkalahatang katangian ng functional programming language. Pangunahing impormasyon tungkol sa mga logic programming language. Ang konsepto ng object-oriented programming. Mga katangian ng object-oriented programming language.

Pangkalahatang katangian ng mga wikang representasyon ng kaalaman . Frame ng mga wika ng representasyon ng kaalaman. Mga programming language na nakatuon sa produksyon. Ang konsepto ng wika ng grammatical-semantic text processing.

Mga katangian ng mga pangunahing uri ng mga sistema ng dalubhasa sa teknolohiyang kemikal . Mga dalubhasang sistema para sa awtomatikong synthesis ng pinakamainam na sistema ng kemikal-teknolohiya. Pagkonsulta sa mga ekspertong sistema sa teknolohiyang kemikal. Mga dalubhasang sistema para sa awtomatikong kontrol at diagnostic ng mga prosesong kemikal-teknolohiya. Mga dalubhasang sistema sa kimika. Intelligent automated system para sa situational control ng pangunahing transportasyon ng gas. Semantic-mathematical na modelo ng pag-unawa sa kahulugan ng mga teknolohikal na teksto para sa mga expert system.

Mga prinsipyo ng paglikha ng hybrid na sistema ng dalubhasa para sa synthesis ng mga gas fractionation system . Pagbubuo ng isang hindi pormal na problema para sa synthesis ng mga sistema ng fractionation ng gas. Mga Modelo ng Production-Frame ng Knowledge Representation para sa Automated Synthesis ng Gas Fractionation Systems. Decomposition heuristic-production procedure para sa synthesis ng mga gas fractionation system. Production-computing algorithm para sa pagbuo ng pinakamainam na sequence para sa pagpili ng mga target na produkto.

Pag-unlad at aplikasyon ng instrumental hybrid expert system na "Ekran-XTS". Layunin, mga posibilidad at mga paraan ng pagpapatakbo. Arkitektura at pagpapatakbo ng paggana. Matalinong pag-uusap sa pagitan ng user at ng expert system.

Pangunahing panitikan

Marchuk Computational Mathematics: Proc. allowance. Moscow: Nauka, 1989.

Ryaben'kii sa computational mathematics. Moscow: Nauka, 1994.

Mga pamamaraan ng Kobelkov. Proc. allowance. Moscow: Nauka, 1987.

Kahaner D., Moler C., Nash S. Numerical Methods and Software. M.: Mir, 1998.

Pag-optimize ng Timokhov sa mga gawain at pagsasanay. M.: Nauka, 1991.

Shreyver A. Teorya ng linear at integer programming. Sa 2 vols. Per. mula sa Ingles. M.: Mir, 1991.

Bazara M., Shetty K. Nonlinear programming. Teorya at algorithm. Per. mula sa Ingles. M.: Mir, 1982.

Mga sistema ng Meshalkin sa teknolohiyang kemikal. Mga pundasyon ng teorya, karanasan sa pag-unlad at aplikasyon. Moscow: Chemistry, 1995.

Meshalkin at ang synthesis ng mga kemikal-teknolohiyang sistema. Moscow: Chemistry, 1991.

Wentzel probabilities. Proc. para sa mga unibersidad. ika-6 na ed. nabura Moscow: Mas mataas na paaralan, 1999.

Pahina 1

Ang mga pamamaraan ng numerical simulation ay may mahalagang papel sa pagsusuri at pagbuo ng mga teknikal na aparato na nailalarawan sa paglipat ng init at daloy ng likido. Ang ganitong mga pamamaraan, na nakapaloob sa mga maginhawang computational program, ay kumakatawan sa isang tunay na alternatibo sa mga pang-eksperimentong sukat dahil sa kanilang mabilis na pagpapatupad at ekonomiya. Maaaring maglaman ang numerical analysis ng totoong data sa mga geometric na katangian, materyal na katangian, kundisyon ng hangganan, at magbigay ng kumpleto at detalyadong impormasyon tungkol sa mga larangan ng temperatura, bilis at iba pang dami, pati na rin ang mga nauugnay na daloy ng mga ito. Sa pagsasagawa, sa ilang mga kaso, ang pagsusuri at disenyo ng mga device ay maaaring ganap na maisagawa gamit ang isang computer program. Sa mga sitwasyon kung saan kanais-nais na magsagawa ng ilang eksperimental na pananaliksik, ang numerical simulation ay maaaring gamitin sa disenyo at disenyo ng mga eksperimento upang makabuluhang bawasan ang kanilang gastos, gayundin upang palawakin at pagyamanin ang mga resulta.

Ginagaya ng mga pamamaraan ng dynamic na numerical simulation ang pag-uugali ng mga system ng modelo sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon, at sa bagay na ito, ang numerical simulation ay katulad ng isang tunay na eksperimento.

Ang mga pamamaraan para sa numerical modelling ng mga molecular system (numerical na eksperimento) ay lalong ginagamit sa pagsasanay ng pisikal at kemikal na pananaliksik. Gayunpaman, kahit na sa tulong ng pinaka-advanced na teknolohiya ng computer, imposibleng imodelo nang detalyado ang pag-uugali ng mga system na binubuo ng higit sa ilang libong nakikipag-ugnayan na mga particle. Ang pinaka-maginhawang bagay para sa pagmomodelo ay ang mga sistemang binubuo ng medyo maliit na bilang ng mga molekula. Sa papel na ito, tatalakayin natin ang pagmomodelo ng mga kumpol ng mga molekula ng tubig, na ang pangunahing atensyon ay binabayaran sa mga katangian ng istruktura ng naturang mga kumpol.

Ang Kabanata 5 ay nakatuon sa mga pamamaraan ng numerical simulation ng mga daloy sa mga boundary layer, jet at channel.

Binabalangkas ng monograph ang siyentipikong konsepto, mga teknolohiyang computational at mga pamamaraan ng numerical simulation na idinisenyo upang malutas ang mga problema sa pagpapabuti ng kaligtasan at kahusayan ng pagpapatakbo ng mga pangunahing sistema ng pipeline gamit ang mga modernong tagumpay sa computational mechanics at mathematical optimization. Ang materyal na ipinakita sa monograph ay nagpapahintulot sa mambabasa na pag-aralan nang detalyado ang mga iminungkahing batayan ng numerical modeling ng mga pangunahing pipeline.

Ang mga pamamaraan ng numerical simulation ay hindi nakapasok nang kasing lalim sa anumang lugar ng pisika gaya ng sa plasma physics. Ngayon, hindi maiisip na ilarawan ang mga proseso ng plasma nang ganap, umaasa lamang sa mga analytical na pamamaraan ng modernong teoretikal na pisika, nang hindi gumagamit ng mga pamamaraan ng numerical simulation. Ito ay ipinaliwanag, sa isang banda, sa pamamagitan ng pagiging kumplikado at pagkakaiba-iba ng mga proseso ng plasma, at sa kabilang banda, sa pamamagitan ng pagkakaroon ng isang mahusay na itinatag na modelo ng plasma dynamics - ang modelo ng Vlasov-Maxwell, na maaaring magamit upang ilarawan ang dami. ang mga prosesong ito na may anumang antas ng katumpakan. Samakatuwid, upang maiwasan ang engineering na napaka-kumplikado at mamahaling pisikal na mga eksperimento, ang mga mananaliksik sa larangan ng plasma physics ay matagal na, higit sa 25 taon na ang nakalilipas, nagsimulang bumuo ng mga epektibong numerical na pamamaraan para sa pagsusuri ng mga proseso ng plasma batay sa modelo ng Vlasov-Maxwell, at mayroon nakamit ang napakalaking tagumpay sa mga numerical na eksperimento.

Bilang karagdagan sa ipinahiwatig na mga eksperimentong pamamaraan, may mga paraan upang makalkula ang mga koepisyent ng pagsasabog sa sarili sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng numerical simulation. Ang paraan ng molecular dynamics ay lubhang mabunga. At kahit na siya ay nagpapatakbo sa mga sistema ng modelo, ang mga resulta na nakuha ay kapaki-pakinabang para sa elucidating ang mga mekanismo ng molecular mobility at regularities sa impluwensya ng mga parameter ng estado. Sa kaso ng tamang pagpili ng mga intermolecular na potensyal na pag-andar, ang mga resulta na malapit sa mga pang-eksperimento ay nakuha.

Sa panahon ng paghahanda ng aklat na ito, maraming bagong publikasyon ang lumitaw sa print, na nauugnay sa mga pamamaraan ng numerical simulation ng hydrodynamic na mga proseso, init at mass transfer batay sa Navier-Stokes equation. Gagawa lamang kami ng ilang mga karagdagan na pinakamalapit sa mga tanong na isinasaalang-alang dito. Sa gawaing ito, ang alternating-triangular na paraan ay ginagamit upang malutas ang mga nakatigil na problema para sa equation na pang-apat na pagkakasunod-sunod na may kinalaman sa stream function.

Ang mga regularidad ng pag-uugali ng solar radiation fluxes depende sa mga katangian ng mga ulap at ang maulap na kapaligiran ay pinag-aralan ng mga pamamaraan ng numerical simulation (Monte Carlo method), mga numerical na solusyon ng mga transport equation at ang paggamit ng mga asymptotic na relasyon.

Ang aklat ay isinalin ng mga highly qualified na espesyalista na bihasa sa parehong mga pamamaraan ng teorya ng plasma physics at ang mga pamamaraan ng numerical simulation, lalo na ang paraan ng malalaking particle, ang pinakakaraniwan sa plasma physics. Ito ay inilaan para sa isang medyo malawak na hanay ng mga mambabasa, mula sa mga mag-aaral na nag-aaral ng plasma physics hanggang sa mga siyentipiko na makakahanap ng maraming kapaki-pakinabang at kawili-wiling mga bagay sa aklat na ito.

Ito ay ang mga kahinaan ng base ng impormasyon na gumawa ng mga analytical approach na lubos na may kakayahang, sa aming opinyon, isang alternatibo o isang epektibong karagdagan sa mga pamamaraan ng numerical modeling ng mga predictive na problema. Tulad ng para sa pinakamahalagang elemento ng forecast - schematization, dito ang mga analytical na pamamaraan ay karaniwang dapat bigyan ng malinaw na kagustuhan.

Ang koneksyon sa pagitan ng cosmic ray transport equation at realistic hydrodynamics ay unang itinatag gamit ang isang self-similar hydrodynamic solution, ngunit ngayon ang koneksyon na ito ay nakuha sa pamamagitan ng numerical simulation method. Bilang karagdagan, posible na kalkulahin ang isang makatotohanang spectrum ng inaasahang cosmic ray sa ilalim ng pagpapalagay na ang acceleration sa shock wave ay nangyayari sa panahon ng tinatawag na self-similar na Sedov phase, kapag ang enerhiya ng supernova ay natipid at nananatili sa loob ng shock. harap.

Dapat tandaan na ang bilang ng mga particle na ginagaya ang beam ay nasa 102, na dalawang order ng magnitude na mas mababa kaysa sa kinakailangang bilang ng mga particle sa buong numerical simulation method. Kaya, ang pagpapahinga ng isang low-density na monoenergetic electron beam sa isang plasma ay humahantong sa isang medyo mabilis na pagpapalawak ng function ng pamamahagi sa puwang ng tulin sa mga halaga ng vTb na sapat para sa paglalapat ng quasilinear approximation, at ang mga yugto ng alon ay may oras upang maging magulo. .

Narito ito ay lubhang kapaki-pakinabang na gumamit ng mga pamamaraan ng numerical simulation.

Ang mga modelo ng pagbuo ng istraktura ng Uniberso, batay sa teorya ng gravitational instability, sa pangkalahatang mga termino, ay naglalarawan ng pagbuo ng C. Ang isang mas detalyadong pag-aaral ng prosesong ito sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng numerical simulation ay mahirap dahil sa malaking halaga ng mga kalkulasyon .