Kahulugan 3. Ang katawan ng rebolusyon ay isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura sa paligid ng isang axis na hindi sumasalubong sa pigura at nakahiga sa parehong eroplano kasama nito.

Ang axis ng pag-ikot ay maaari ding mag-intersect sa figure kung ito ang axis ng symmetry ng figure.

Teorama 2.
, aksis
at mga segment ng tuwid na linya
at

umiikot sa paligid ng isang axis
. Pagkatapos ang dami ng resultang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin ng formula

(2)

Patunay. Para sa naturang katawan, ang seksyon na may abscissa ay isang bilog ng radius
, ibig sabihin
at ang formula (1) ay nagbibigay ng nais na resulta.

Kung ang figure ay nalilimitahan ng mga graph ng dalawang tuluy-tuloy na function
at
, at mga segment ng linya
at
, saka
at
, pagkatapos kapag umiikot sa paligid ng abscissa axis, nakakakuha kami ng isang katawan na ang dami

Halimbawa 3 Kalkulahin ang volume ng isang torus na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang bilog na may hangganan ng isang bilog

sa paligid ng x-axis.

R solusyon. Ang tinukoy na bilog ay nililimitahan mula sa ibaba ng graph ng function
, at sa itaas -
. Ang pagkakaiba ng mga parisukat ng mga function na ito:

Ninanais na dami

(ang graph ng integrand ay ang itaas na kalahating bilog, kaya ang integral na nakasulat sa itaas ay ang lugar ng kalahating bilog).

Halimbawa 4 Parabolic segment na may base
, at taas , umiikot sa base. Kalkulahin ang dami ng nagresultang katawan ("lemon" ni Cavalieri).

R solusyon. Ilagay ang parabola tulad ng ipinapakita sa figure. Pagkatapos ang equation nito
, at
. Hanapin natin ang halaga ng parameter :
. Kaya, ang nais na dami:

Teorama 3. Hayaan ang isang curvilinear trapezoid na nakatali ng graph ng tuluy-tuloy na hindi negatibong function
, aksis
at mga segment ng tuwid na linya
at
, saka
, umiikot sa paligid ng isang axis
. Pagkatapos ang dami ng resultang katawan ng rebolusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula

(3)

patunay na ideya. Paghahati sa segment
mga tuldok

, sa mga bahagi at gumuhit ng mga tuwid na linya
. Ang buong trapezoid ay mabubulok sa mga piraso, na maaaring ituring na humigit-kumulang na mga parihaba na may base
at taas
.

Ang silindro na nagreresulta mula sa pag-ikot ng naturang parihaba ay pinutol sa kahabaan ng generatrix at nabuksan. Nakakakuha kami ng "halos" parallelepiped na may mga sukat:
,
at
. Ang dami nito
. Kaya, para sa dami ng isang katawan ng rebolusyon magkakaroon tayo ng tinatayang pagkakapantay-pantay

Upang makakuha ng eksaktong pagkakapantay-pantay, kailangan nating pumasa sa limitasyon sa
. Ang kabuuan na nakasulat sa itaas ay ang integral sum para sa function
, samakatuwid, sa limitasyon ay nakukuha natin ang integral mula sa formula (3). Napatunayan na ang theorem.

Puna 1. Sa Theorems 2 at 3, ang kondisyon
maaaring tanggalin: ang formula (2) ay karaniwang hindi sensitibo sa tanda
, at sa formula (3) ito ay sapat na
pinalitan ng
.

Halimbawa 5 Parabolic segment (base
, taas ) umiikot sa taas. Hanapin ang dami ng nagresultang katawan.

Desisyon. Ayusin ang parabola tulad ng ipinapakita sa figure. At kahit na ang axis ng pag-ikot ay tumatawid sa figure, ito - ang axis - ay ang axis ng simetrya. Samakatuwid, ang kanang kalahati lamang ng segment ang dapat isaalang-alang. Parabola equation
, at
, ibig sabihin
. Mayroon kaming para sa dami:

Puna 2. Kung ang curvilinear na hangganan ng isang curvilinear trapezoid ay ibinibigay ng mga parametric equation
,
,
at
,
pagkatapos ay magagamit ang mga formula (2) at (3) kasama ang kapalit sa
at
sa
kapag nagbago ito t mula sa
dati .

Halimbawa 6 Ang pigura ay nakatali sa unang arko ng cycloid
,
,
, at ang abscissa axis. Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid: 1) ang axis
; 2) mga ehe
.

Desisyon. 1) Pangkalahatang formula
Sa kaso natin:

2) Pangkalahatang formula
Para sa aming figure:

Hinihikayat namin ang mga mag-aaral na gawin ang lahat ng mga kalkulasyon sa kanilang sarili.

Puna 3. Hayaan ang isang curvilinear na sektor na bounded ng tuloy-tuloy na linya
at sinag
,

, umiikot sa paligid ng polar axis. Ang dami ng nagresultang katawan ay maaaring kalkulahin ng formula.

Halimbawa 7 Bahagi ng isang pigura na may hangganan ng isang cardioid
, nakahiga sa labas ng bilog
, umiikot sa paligid ng polar axis. Hanapin ang dami ng nagresultang katawan.

Desisyon. Parehong linya, at samakatuwid ang figure na nililimitahan nila, ay simetriko tungkol sa polar axis. Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang lamang ang bahagi kung saan
. Ang mga kurba ay nagsalubong sa
at

sa
. Dagdag pa, ang figure ay maaaring ituring bilang ang pagkakaiba ng dalawang sektor, at samakatuwid ang volume ay maaaring kalkulahin bilang ang pagkakaiba ng dalawang integral. Meron kami:

Mga gawain para sa isang malayang solusyon.

1. Isang pabilog na bahagi na ang base
, taas , umiikot sa base. Hanapin ang dami ng katawan ng rebolusyon.

2. Hanapin ang volume ng isang paraboloid ng rebolusyon na ang base , at ang taas ay .

3. Figure bounded sa pamamagitan ng isang astroid
,
umiikot sa paligid ng x-axis. Hanapin ang dami ng katawan, na nakuha sa kasong ito.

4. Figure na may hangganan ng mga linya
at
umiikot sa paligid ng x-axis. Hanapin ang dami ng katawan ng rebolusyon.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong Personal na impormasyon sa anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at upang mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang publiko. mahahalagang okasyon.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

mga katawan ng rebolusyon tawag sa mga katawan na nakatali sa alinman sa ibabaw ng rebolusyon, o sa ibabaw ng rebolusyon at isang eroplano (Larawan 134). Sa ilalim ng ibabaw ng rebolusyon ay nauunawaan ang ibabaw na nakuha mula sa pag-ikot ng isang linya ( ABCDE ), patag o spatial, na tinatawag na generatrix, sa paligid ng isang nakapirming linya ( i ) - mga palakol ng pag-ikot.

Larawan 134

Ang anumang punto sa generatrix ng ibabaw ng pag-ikot ay naglalarawan ng isang bilog na matatagpuan sa isang eroplano na patayo sa axis ng pag-ikot - parallel, samakatuwid, ang eroplanong patayo sa axis ng rebolusyon ay laging nag-intersect sa ibabaw ng rebolusyon sa isang bilog. Ang pinakamalaking parallel - ekwador. Ang pinakamaliit na parallel - lalamunan(leeg).

Ang mga eroplano na dumadaan sa axis ng pag-ikot ay tinatawag meridional na eroplano.

Sa isang kumplikadong pagguhit, ang representasyon ng mga katawan ng rebolusyon ay isinasagawa sa pamamagitan ng representasyon ng mga gilid ng mga base at linya ng mga balangkas sa ibabaw.

Tinatawag ang mga linya ng intersection ng meridional planes sa ibabaw meridian.

Ang meridional plane na parallel sa projection plane ay tinatawag pangunahing meridional na eroplano. Ang linya ng intersection nito sa ibabaw - pangunahing meridian.

Tuwid na pabilog na silindro. Ang isang kanang pabilog na silindro (Figure 135) ay isang katawan na napapalibutan ng isang cylindrical na ibabaw ng rebolusyon at dalawang bilog - ang mga base ng silindro na matatagpuan sa mga eroplano na patayo sa axis ng silindro. Cylindrical na ibabaw ng rebolusyon tinatawag na ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang rectilinear generatrix AA 1 sa paligid ng isang nakapirming tuwid na linya na kahanay nito - i (axis ng pag-ikot). Ang mga sukat na nagpapakilala sa isang tuwid na pabilog na silindro ay ang diameter nito Dc at taas l (distansya sa pagitan ng mga base ng silindro).

Larawan 135

Ang isang kanang pabilog na silindro ay maaari ding ituring bilang isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihaba. A B C D sa paligid ng isa sa mga gilid nito, halimbawa, Araw (Larawan 136). Gilid Araw ay ang axis ng pag-ikot, at ang gilid AD - generatrix ng silindro. Ang iba pang dalawang panig ay markahan ang mga base ng silindro.

Larawan 136

Parihaba AB at CD kapag pinaikot, bumubuo sila ng mga bilog - ang mga base ng silindro.

Konstruksyon ng mga projection ng silindro.

Ang pagtatayo ng pahalang at pangharap na mga projection ng silindro ay nagsisimula sa imahe ng base ng silindro, ibig sabihin, dalawang projection ng bilog (tingnan ang Figure 135, b). Dahil ang bilog ay nasa isang eroplano H , pagkatapos ay i-project ito sa eroplanong ito nang walang pagbaluktot. Ang frontal projection ng isang bilog ay isang segment ng isang pahalang na tuwid na linya na katumbas ng diameter ng base na bilog.

Matapos itayo ang base sa frontal projection, dalawa mga generator ng sketch(matinding generator) at ang taas ng silindro ay naka-plot sa kanila. Ang isang segment ng isang pahalang na linya ay iginuhit, na isang frontal projection ng itaas na base ng silindro (Larawan 135, c).

Pagpapasiya ng mga nawawalang projection ng mga puntos A at B na matatagpuan sa ibabaw ng silindro, ayon sa ibinigay na frontal projection sa kasong ito ay hindi nagiging sanhi ng mga paghihirap, dahil ang buong pahalang na projection ng lateral surface ng cylinder ay isang bilog (Figure 137, a). Samakatuwid, ang mga pahalang na projection ng mga puntos PERO at AT ay matatagpuan sa pamamagitan ng pag-swipe mula sa mga ibinigay na puntos A"" at B"" patayong linya ng komunikasyon hanggang sa mag-intersect sila sa bilog sa mga gustong punto A" at B".

Mga projection ng profile ng mga puntos PERO at AT Ang mga ito ay binuo din gamit ang patayo at pahalang na mga linya ng komunikasyon.

Isometric view ng isang silindro gumuhit, tulad ng ipinapakita sa Figure 137, b.

Sa isometric point PERO at AT binuo ayon sa kanilang mga coordinate. Halimbawa, upang bumuo ng isang punto AT mula sa pinanggalingan O kasama ang axis x ipagpaliban ang coordinate ∆x , at pagkatapos ay iguguhit ang isang tuwid na linya sa dulo nito, parallel sa axis sa , hanggang sa mag-intersect ito sa base contour sa punto 2 . Mula sa puntong ito, ang isang tuwid na linya ay iginuhit parallel sa z axis, kung saan ang coordinate ay naka-plot. Z B , puntos AT .

Larawan 137

Diretso pabilog na kono . Ang kanang pabilog na kono (Figure 138) ay isang katawan na napapalibutan ng isang korteng kono na ibabaw ng rebolusyon at isang bilog na matatagpuan sa isang eroplanong patayo sa axis ng kono. korteng kono ibabaw nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang rectilinear generatrix SA (Figure 138, a), na dumaraan nakapirming puntoS sa axis ng pag-ikot i at paggawa ng ilang pare-parehong anggulo sa axis na ito. Dot S tinawag tuktok ng kono, at ang conical surface ay ang lateral surface ng kono. Ang laki ng isang kanang pabilog na kono ay nagpapakilala sa diameter ng base nito D K at taas H .

Larawan 138

Ang isang right circular cone ay maaari ding ituring bilang isang body na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng right triangle SAB sa paligid ng kanyang binti SB (Larawan 139). Sa pag-ikot na ito, inilalarawan ng hypotenuse korteng kono ibabaw, at ang binti AB - bilog, ibig sabihin, ang base ng kono.

Larawan 139

Konstruksyon ng mga projection ng kono.

Ang pagkakasunud-sunod ng pagbuo ng dalawang projection ng kono ay ipinapakita sa Figure 167, b at c. Una, dalawang projection ng base ang itinayo. Ang pahalang na projection ng base ay isang bilog. Ang frontal projection ay magiging isang segment ng isang pahalang na linya na katumbas ng diameter ng bilog na ito (Figure 138, b). Sa frontal projection, ang isang patayo ay itinayo mula sa gitna ng base, at ang taas ng kono ay inilalagay dito (Larawan 138, c). Ang resultang frontal projection ng tuktok ng kono ay konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na linya na may mga dulo ng frontal projection ng base at isang frontal projection ng kono ay nakuha.

Pagbuo ng mga punto sa ibabaw ng isang kono

Kung ang isang point projection ay ibinigay sa ibabaw ng kono PERO (halimbawa, ang frontal projection sa Figure 140), pagkatapos ay ang iba pang dalawang projection ng puntong ito ay tinutukoy gamit ang mga auxiliary na linya - isang generatrix na matatagpuan sa ibabaw ng kono at iginuhit sa pamamagitan ng punto. PERO , o isang bilog na matatagpuan sa isang eroplanong parallel sa base ng kono.

Larawan 140

Sa unang kaso (Figure 140, a) sa pamamagitan ng punto A magsagawa ng frontal projection 1""S"" auxiliary generatrix. Paggamit ng patayong linya ng komunikasyon na iginuhit mula sa punto 1 , na matatagpuan sa frontal projection ng base circle, hanapin ang horizontal projection 1" generatrix na ito, kung saan, sa tulong ng isang linya ng komunikasyon na dumadaan A" , hanapin gustong punto A .

Sa pangalawang kaso (Figure 140, b) isang pantulong na linya na dumadaan sa punto PERO , magkakaroon ng isang bilog na matatagpuan sa isang korteng kono na ibabaw at kahanay sa eroplano H - parallel. Ang frontal projection ng bilog na ito ay inilalarawan bilang isang segment 1""1"" pahalang na tuwid na linya, ang halaga nito ay katumbas ng diameter ng auxiliary circle. Ninanais na pahalang na projection A" puntos PERO ay matatagpuan sa intersection ng linya ng komunikasyon, ibinaba mula sa punto A" , na may pahalang na projection ng auxiliary circle.

Kung ang isang ibinigay na frontal projection 1"" puntos 1 na matatagpuan sa contour (outline) generatrix, kung gayon ang pahalang na projection ng punto ay walang mga pantulong na linya.

AT isometric view punto PERO , na matatagpuan sa ibabaw ng kono, ay binuo sa tatlong mga coordinate (tingnan ang Figure 140, c):  X ,  Y at Z PERO O kasama ang axis X naantalang coordinate  X  Y z Z PERO PERO .

bola. Ang bola (Figure 141) ay isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng kalahating bilog ABC (bumubuo) sa paligid ng diameter nito AC (axis of rotation), at ang ibabaw na inilalarawan ng arc sa kasong ito ABC , ay tinatawag na spherical o spherical. Ang bola ay tumutukoy sa mga katawan na limitado lamang sa ibabaw ng rebolusyon.

Larawan 141

bola(spherical) surface ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang punto O tinawag sentro ng bola. Kung ang bola ay pinutol ng mga pahalang na eroplano, ang mga bilog ay makukuha sa seksyon - mga parallel. Ang pinakamalaking ng mga parallel ay may diameter na katumbas ng diameter ng bola. Ang ganitong bilog ay tinatawag ekwador. Ang mga bilog na nakuha bilang resulta ng mga seksyon ng bola sa pamamagitan ng mga eroplano na dumadaan sa axis ng pag-ikot nito ay tinatawag meridian.

Konstruksyon ng mga projection ng bola at mga punto sa ibabaw nito

Ang mga projection ng bola ay ipinapakita sa Figure 142, a. Pahalang at pangharap na mga projection - mga bilog ng radius na katumbas ng radius ng globo.

Larawan 142

Kung punto PERO matatagpuan sa spherical na ibabaw, pagkatapos ay ang auxiliary line 1"" 2"" , iginuhit sa puntong ito parallel sa axis Oh (parallel), ay naka-project sa horizontal projection plane ng isang bilog. Sa pahalang na projection ng auxiliary circle, ang nais na pahalang na projection ay matatagpuan gamit ang linya ng komunikasyon A" puntos PERO .

Ang halaga ng diameter ng auxiliary circle ay katumbas ng frontal projection 1""2"" .

Axonometric na imahe mga globo (bola) ay ginawa sa anyo ng isang bilog (Larawan 142 b), ang radius nito ay geometrically na tinukoy bilang ang distansya mula sa gitna ng globo hanggang sa projection ng ekwador (ellipse) kasama ang pangunahing axis nito (patayo sa Oz ).

Sa axonometric projection, isang punto PERO , na matatagpuan sa ibabaw ng bola, ay binuo ayon sa tatlong mga coordinate: X PERO ,Y PERO at Z PERO . Ang mga coordinate na ito ay sunud-sunod na naka-plot sa mga direksyon na parallel sa isometric axes. Sa halimbawang isinasaalang-alang, mula sa punto O kasama ang axis X naantalang coordinate X PERO ; ang isang tuwid na linya ay iginuhit mula sa dulo nito na kahanay sa y axis, kung saan naka-plot ang coordinate Y PERO ; mula sa dulo ng segment, parallel sa axis z ang isang tuwid na linya ay iginuhit, kung saan ang coordinate ay naka-plot Z PERO . Bilang resulta ng mga konstruksyon, nakuha namin ang nais na punto PERO .

Thor- isang katawan (Figure 143) na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang bilog o arko nito sa paligid ng isang axis na matatagpuan sa parehong eroplano kasama nito ngunit hindi dumadaan sa gitna ng bilog o arko nito.

Larawan 143

Kung ang axis ng pag-ikot ay hindi bumalandra sa pagbuo ng bilog, kung gayon ang torus ay tinatawag singsing(bukas na torus) (Larawan 143, a). Kung ang axis ng pag-ikot ay intersects ang pagbuo ng bilog, pagkatapos ito ay lumiliko out torus na hugis bariles(closed torus o intersecting torus) (Figure 143, b). Sa huling kaso, ang generatrix ng ibabaw ng torus ay ang arko ABC mga bilog.

Ang pinakamalaki sa mga bilog na naglalarawan sa mga punto ng generatrix ng ibabaw ng torus ay tinatawag ekwador, at ang pinakamaliit lalamunan, o leeg.

Konstruksyon ng torus projection

Ang isang pabilog na singsing (o isang bukas na torus) ay may pahalang na projection sa anyo ng dalawang concentric na bilog, ang pagkakaiba sa radii nito ay katumbas ng kapal ng singsing o ang diameter ng bumubuo ng bilog (Figure 145). Ang frontal projection ay limitado sa kanan at kaliwa ng mga arko ng kalahating bilog ng diameter ng pagbuo ng bilog.

Ang Figure 144, a at b ay nagpapakita ng dalawang uri ng isang saradong torus. Sa unang kaso, ang pagbuo ng arko ng isang bilog ng radius R malayo sa axis ng pag-ikot sa layo na mas mababa sa radius R , at sa pangalawang kaso - higit pa. Sa parehong mga kaso, ang mga frontal projection ng torus ay isang tunay na pagtingin sa dalawang bumubuo ng mga arko ng isang bilog na radius. R matatagpuan simetriko na may paggalang sa frontal projection ng axis ng pag-ikot. Ang mga projection ng profile ng torus ay magiging mga bilog.

Larawan 144

Pagbubuo ng mga punto sa ibabaw ng isang torus

Sa kaso kung saan ang punto PERO nakahiga sa ibabaw ng isang pabilog na singsing at ang isa sa mga projection nito ay ibinigay, upang mahanap ang pangalawang projection ng puntong ito, ginagamit ang isang pantulong na bilog na dumaraan ibinigay na punto PERO at matatagpuan sa ibabaw ng singsing sa isang eroplanong patayo sa axis ng singsing (Figure 145).

Kung nakatakda ang frontal projection A"" puntos PERO nakahiga sa ibabaw ng singsing, pagkatapos ay upang mahanap ang pangalawang projection nito (sa kasong ito, pahalang) sa pamamagitan ng A" magsagawa ng frontal projection ng auxiliary circle - isang segment ng isang pahalang na tuwid na linya 2""2"" . Pagkatapos ay bumuo ng isang pahalang na projection 2"2" ang bilog na ito at sa ibabaw nito, gamit ang isang linya ng komunikasyon, maghanap ng isang punto A" .

Kung ibibigay ang pahalang na projection B" puntos B na matatagpuan sa ibabaw ng singsing na ito, pagkatapos ay upang mahanap ang frontal projection ng puntong ito sa pamamagitan ng 1" magsagawa ng pahalang na projection ng auxiliary circle ng radius R 1 . Pagkatapos ay sa pamamagitan ng kaliwa at kanang mga punto 1" at 1" ng bilog na ito, iginuhit ang patayong mga linya ng komunikasyon hanggang sa mag-intersect ang mga ito sa mga frontal projection ng sketch generatrix ng circle of radius R at makakuha ng mga puntos 1"" at 1"" . Ang mga puntong ito ay konektado sa pamamagitan ng isang pahalang na linya, na isang frontal projection ng auxiliary circle (ito ay makikita). Pagguhit ng patayong linya mula sa isang punto B" sa intersection sa linya 1""1"" makuha ang nais na punto B"" .

Ang parehong mga diskarte sa pagtatayo ay naaangkop sa mga punto na matatagpuan sa ibabaw ng torus.

Larawan 145

Pagbuo ng isang axonometric na imahe Ang torus ay maaaring nahahati sa tatlong yugto (Figure 146). Una, ang isang projection ng radial axial line (ang tilapon ng gitna ng pagbuo ng bilog) ay itinayo sa anyo ng isang ellipse. Pagkatapos ay tinutukoy namin ang radius ng globo na humahawak sa torus kasama ang generatrix (bilog). Upang gawin ito, itinatayo namin ang projection ng frontal sketch generatrix ng torus sa anyo ng isang mas maliit na ellipse. Ang radius ng globo ay tinukoy bilang ang haba ng segment O 1 F mula sa gitna ng ellipse hanggang sa isang punto sa ellipse na iyon na nasa pangunahing axis ng ellipse (perpendicular Oy ). Susunod, bumuo kami ng isang malaking bilang ng mga bilog na may radius R mga globo na may mga sentro sa projection ng radial axial torus O 1 … O n (mas marami, mas tumpak ang tabas ng hinaharap na torus). Sa wakas, iginuhit namin ang contour line ng torus bilang isang line tangent sa bawat bilog ng globo.

Larawan 146

AT axonometric projection punto PERO , na matatagpuan sa ibabaw ng torus, ay itinayo ayon sa tatlong mga coordinate: X PERO ,Y PERO at Z PERO . Ang mga coordinate na ito ay sunud-sunod na naka-plot sa mga direksyon na parallel sa isometric axes.

Ang mga ibabaw ng rebolusyon at ang mga katawan na nakatali sa kanila ay mayroon malawak na aplikasyon sa maraming larangan ng teknolohiya: isang cathode ray tube balloon (Fig. 8.11, a), gitna ng lathe (Larawan 8.11, b) volumetric microwave resonator electromagnetic oscillations(Larawan 8.11, sa), imbakan dewar sisidlan likidong hangin(Larawan 8.11, G), kolektor ng elektron ng isang malakas na aparatong cathode-ray (Larawan 8.11, e), atbp.

Depende sa uri ng generatrix ng surface, ang mga pag-ikot ay maaaring pinasiyahan, non-linear, o binubuo ng mga bahagi ng naturang mga surface.

Ang ibabaw ng rebolusyon ay isang ibabaw na nagreresulta mula sa pag-ikot ng isang generatrix sa paligid ng isang nakapirming linya. straight-axis ibabaw.

Sa mga guhit, ang axis ay kinakatawan ng isang dash-dotted line. Ang linya ng pagbuo ay maaaring pangkalahatang kaso may parehong hubog at tuwid na mga seksyon. Ang ibabaw ng rebolusyon sa pagguhit ay maaaring tukuyin ng generatrix at ang posisyon ng axis. Ipinapakita ng Figure 8.12 ang ibabaw ng rebolusyon, na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng generatrix AlCD (ang kanyang frontal projection a"b"c"d") sa paligid ng axis OO 1 (front projection o"o 1" , patayo sa eroplano N. Sa panahon ng pag-ikot, ang bawat punto ng generatrix ay naglalarawan ng isang bilog, ang eroplano na kung saan ay patayo sa axis. Alinsunod dito, ang linya ng intersection ng ibabaw ng rebolusyon sa pamamagitan ng anumang eroplano na patayo sa axis ay isang bilog. Ang ganitong mga bilog ay tinatawag mga parallel. Ang tuktok na view (Larawan 8.12) ay nagpapakita ng mga projection ng mga bilog na inilarawan ng mga puntos A, B, C at D, dumadaan sa mga projection a B C D. Ang pinakamalaking parallel ng dalawang parallel na katabi nito sa magkabilang panig nito ay tinatawag ekwador, gayundin ang pinakamaliit lalamunan.

Ang eroplanong dumadaan sa axis ng ibabaw ng rebolusyon ay tinatawag meridional ang linya ng intersection nito sa ibabaw ng rebolusyon - meridian. Kung ang axis ng ibabaw ay parallel sa eroplano ng mga projection, kung gayon ang meridian na nakahiga sa isang plane na parallel sa plane ng projection na ito ay tinatawag napangunahing meridian.Ang pangunahing meridian ay inaasahang papunta sa eroplanong ito ng mga projection nang walang pagbaluktot. Kaya, kung ang axis ng ibabaw ng rebolusyon ay parallel sa eroplano V, pagkatapos ay ang prime meridian ay inaasahang papunta sa eroplano V nang walang pagbaluktot, hal. projection a"f"b"c"d". Kung ang axis ng ibabaw ng rebolusyon ay patayo sa eroplano H, pagkatapos ay ang pahalang na projection ng ibabaw ay may isang balangkas sa anyo ng isang bilog.

Ang pinaka-maginhawa para sa paggawa ng mga larawan ng mga ibabaw ng rebolusyon ay mga kaso kapag ang kanilang mga palakol ay patayo sa eroplano H, sa eroplanong V o sa eroplanong W.

Ang ilang mga ibabaw ng rebolusyonay mga espesyal na kaso ng mga ibabaw na isinasaalang-alang sa 8.1, halimbawa, isang silindro ng rebolusyon, isang kono ng rebolusyon. Para sa isang silindro at isang kono ng rebolusyon, ang mga meridian ay mga tuwid na linya. Ang mga ito ay parallel sa axis at equidistant mula dito para sa isang cylinder o intersect ang axis sa parehong punto sa parehong anggulo sa axis para sa isang kono. Ang isang silindro at isang kono ng rebolusyon ay mga ibabaw na walang katapusan sa direksyon ng kanilang mga generator; samakatuwid, sa mga larawan ay nililimitahan sila ng ilang linya, halimbawa, sa pamamagitan ng mga linya ng intersection ng mga ibabaw na ito na may mga projection plane o ng alinman sa mga parallel. Ito ay kilala mula sa solid geometry na ang isang kanang pabilog na silindro at isang kanang pabilog na kono ay nakatali sa ibabaw ng rebolusyon at mga eroplanong patayo sa axis ng ibabaw. Ang meridian ng naturang silindro ay isang parihaba, ang meridian ng isang kono ay isang tatsulok.

Ang nasabing ibabaw ng rebolusyon bilang isang globo ay limitado at maaaring ipakita nang buo sa pagguhit. Ang ekwador at meridian ng globo ay magkapantay na bilog. Sa orthogonal projection sa lahat ng tatlong projection planes, ang mga outline ng globo ay ipino-project sa isang bilog.

Thor. Kapag ang isang bilog (o ang arko nito) ay umiikot sa paligid ng isang axis na nasa eroplano ng bilog na ito, ngunit hindi dumaan sa gitna nito, isang ibabaw na tinatawag na torus ay nakuha. Ipinapakita ng Figure 8.13: isang bukas na torus, o isang pabilog na singsing, - Figure 8.13, a, saradong torus - figure 8.13, b, self-intersecting torus - figure 8.13, c, Tor (Larawan 8.13, d) tinatawag ding lemon. Sa Figure 8.13 sila ay ipinapakita sa isang posisyon kung saan ang axis ng torus ay patayo sa eroplano ng mga projection N. Ang mga sphere ay maaaring nakasulat sa bukas at sarado na tori. Ang torus ay maaaring tingnan bilang isang ibabaw na bumabalot sa magkatulad na mga globo na ang mga sentro ay nasa isang bilog.

Sa mga konstruksyon sa mga guhit, dalawang sistema ng mga pabilog na seksyon ng torus ang malawakang ginagamit: sa mga eroplano na patayo sa axis nito, at sa mga eroplano na dumadaan sa axis ng torus. Kasabay nito, sa flat

Sa mga direksyon na patayo sa axis ng torus, sa turn, mayroong dalawang pamilya ng mga bilog - mga linya ng intersection ng mga eroplano na may panlabas na ibabaw ng torus at mga linya ng intersection ng mga eroplano na may panloob na ibabaw ng torus. Ang torus na hugis lemon (Larawan 8.13, d) ay mayroon lamang unang pamilya ng mga bilog.

Bilang karagdagan, ang torus ay mayroon ding ikatlong sistema ng mga pabilog na seksyon, na namamalagi sa mga eroplano na dumadaan sa gitna ng torus at padaplis dito. loobang bahagi. Ipinapakita ng Figure 8.14 pabilog na mga seksyon may mga sentro o 1r at o 2r sa isang karagdagang projection plane R, nabuo ng front-projecting plane Q(Qv), dumadaan sa gitna ng torus na may mga projection ay" ay at padaplis sa panloob na ibabaw ng torus sa mga puntong may mga projection na 1", 1, 2" 2. Point projection 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 at 10gawing mas madaling basahin ang pagguhit. diameter d mga pabilog na seksyong ito katumbas ng haba pangunahing mga palakol ng mga ellipse kung saan naka-project ang mga pabilog na seksyon pahalang eroplano mga projection: d = 2R.

Mga punto sa ibabaw ng rebolusyon.Ang posisyon ng isang punto sa ibabaw ng rebolusyon ay tinutukoy ng pag-aari ng punto sa linya ng frame sa ibabaw, ibig sabihin, sa tulong ng isang bilog na dumadaan sa puntong ito sa ibabaw ng rebolusyon. Sa kaso ng mga pinasiyahan na ibabaw, ang mga rectilinear generator ay maaari ding gamitin para sa layuning ito.

Ang paggamit ng isang parallel at isang rectilinear generatrix para sa pagbuo ng mga projection ng mga puntos na kabilang sa isang partikular na ibabaw ng rebolusyon ay ipinapakita sa Figure 8.12. Kung ang

ibinigay ang projection t", pagkatapos ay magsagawa ng frontal projection f"f1" parallel at pagkatapos ay radius R gumuhit ng isang bilog - isang pahalang na projection ng isang parallel - at maghanap ng isang projection dito t. Kung ang isang pahalang na projection ay ibinigay t, pagkatapos ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang radius R=om bilog, bumuo ng f "sa punto f" at gumuhit f"f1"- frontal projection ng parallel - at markahan ang isang punto dito sa koneksyon ng projection t". Kung bibigyan ng projection P" sa isang pinasiyahan (konikal) na seksyon ng ibabaw ng rebolusyon, pagkatapos ay isinasagawa ang isang frontal projection d"s" sketch generatrix at sa pamamagitan ng projection n "- frontal projection s "sa" generatrix sa ibabaw ng kono. Pagkatapos ay sa view ng plano sk ang generatrix na ito ay gumagawa ng projection n. Kung ang pahalang na projection n ay ibinigay, pagkatapos ay ang pahalang na projection ay dapat iguhit sa pamamagitan nito sk generatrix, sa pamamagitan ng projection k" at s" (ang pagtatayo nito ay tinalakay sa itaas) bumuo ng isang frontal projection s"sa" at dito sa koneksyon ng projection markahan ang projection n "

Ipinapakita ng Figure 8.15 ang pagbuo ng mga point projection SA, na kabilang sa ibabaw ng torus. Dapat tandaan na ang konstruksiyon ay ginawa para sa nakikitang mga pahalang na pagpapakita sa at front projection sa".

Ipinapakita ng Figure 8.16 ang konstruksiyon ayon sa isang ibinigay na frontal projection t" mga punto sa ibabaw ng isang globo ng pahalang nito t at profile t " projection. Projection t binuo gamit ang isang bilog - isang parallel na dumadaan sa projection m". Ang radius nito ay o-1. Projection m Ang "" ay itinayo gamit ang isang bilog, ang eroplanong kung saan ay parallel sa profile plane ng mga projection na dumadaan sa projection t". Ang radius nito ay humigit-kumulang "2".

Ang pagtatayo ng mga projection ng mga linya sa ibabaw ng rebolusyon ay maaari ding isagawa gamit ang mga bilog - mga parallel na dumadaan sa mga puntong kabilang sa linyang ito.

Ipinapakita ng Figure 8.17 ang pagbuo ng isang pahalang na projection a linya na tinukoy sa pamamagitan ng frontal projection a "b" sa isang ibabaw ng rebolusyon, na binubuo ng mga bahagi ng mga ibabaw ng isang globo, torus, conic. Para sa mas tumpak na pagguhit ng pahalang na projection ng linya, ipinagpapatuloy namin ang frontal projection nito pataas at pababa at markahan ang mga projection 6" at 5" matinding puntos. Mga pahalang na projection 6, 1, 3, 4, 5 binuo gamit ang mga linya ng komunikasyon. Mga projection b, 2, 7, 8, at ginawa gamit ang mga parallel na ang mga frontal projection ay dumadaan sa mga projection b"2", 7", 8", a" mga puntong ito. Dami at lokasyon mga intermediate na puntos pumili batay sa hugis ng linya at ang kinakailangang katumpakan ng konstruksiyon. Pahalang na projection ang linya ay binubuo ng mga seksyon: b-1 - mga bahagi ng ellipse,

Mga halimbawa ng solido ng rebolusyon

• Bola - nabuo sa pamamagitan ng kalahating bilog na umiikot sa diameter ng hiwa
• Cylinder - nabuo sa pamamagitan ng isang parihaba na umiikot sa paligid ng isa sa mga gilid

Para sa lugar ng lateral surface ng cylinder, ang lugar ng pag-unlad nito ay kinuha: Sside = 2πrh.

• Cone - nabuo kanang tatsulok, umiikot sa paligid ng isa sa mga binti

Ang lugar ng pag-unlad nito ay kinuha bilang ang lugar ng lateral surface ng kono: Sside = πrl Area buong ibabaw cones: Scon = πr(l+r)

Kapag ang mga contour ng mga figure ay pinaikot, isang ibabaw ng rebolusyon arises (halimbawa, isang globo na nabuo sa pamamagitan ng isang bilog), habang kapag ang isang puno contour ay umiikot, ang mga katawan lumitaw (tulad ng isang bola na nabuo sa pamamagitan ng isang bilog).

Dami at lugar sa ibabaw ng mga katawan ng rebolusyon

• Ang unang Guldin-Papp theorem ay nagsasaad:

• Ang ikalawang Guldin-Pappa theorem ay nagsasaad:

Panitikan

A.V. Pogorelov. "Geometry. Baitang 10-11» §21. Mga katawan ng pag-ikot. - 2011

Mga Tala

Wikimedia Foundation. 2010 .

Tingnan kung ano ang "Katawan ng rebolusyon" sa iba pang mga diksyunaryo:

detalye na may saradong ungos - mga katawan ng rebolusyon- Bahagi ng bahagi, na ang ibabaw ay limitado sa magkabilang panig ng mga ibabaw ng rebolusyon na may mas malaking diameter. Ang pagkakaroon ng mga saradong hakbang ay hindi nakakaapekto sa kahulugan ng stepping panlabas na ibabaw. Ang mga grooves para sa exit ng tool ay hindi isinasaalang-alang ... ...

shell na may hugis ng katawan ng rebolusyon- - [A.S. Goldberg. English Russian Energy Dictionary. 2006] Mga paksa sa enerhiya sa pangkalahatan EN shell ng rebolusyon ... Handbook ng Teknikal na Tagasalin

banayad na teorya ng katawan Encyclopedia "Aviation"

banayad na teorya ng katawan- Daloy sa paligid ng isang manipis na katawan sa isang non-zero anggulo ng pag-atake. teorya ng manipis na katawan - ang teorya ng spatial irrotational flow perpektong likido malapit manipis na katawan[mga katawan kung saan ang transverse na dimensyon l (kapal, saklaw) ay maliit kumpara sa ... ... Encyclopedia "Aviation"

Ang teorya ng spatial irrotational flow ng isang perpektong likido malapit sa manipis na katawan (mga katawan kung saan ang transverse na dimensyon l (kapal, saklaw) ay maliit kumpara sa longitudinal na dimensyon L: (τ) = l / LEncyclopedia ng teknolohiya

Angular na bilis (asul na palaso) isang unit clockwise Angular velocity (asul na arrow) isa at kalahating unit clockwise Angular velocity (asul na arrow) isang unit counterclockwise Ug ... Wikipedia

Sangay ng pisika na nag-aaral sa istruktura at katangian ng mga solido. Pang-agham na data sa microstructure mga solido at tungkol sa pisikal at mga katangian ng kemikal ang kanilang mga constituent atoms ay kinakailangan para sa pagbuo ng mga bagong materyales at teknikal na kagamitan. Physics ...... Collier Encyclopedia

Ang paggalaw ng isang katawan sa gravitational field ng Earth mula sa simula. bilis, sero. Ang P. t. ay nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng puwersa ng grabidad, na nakasalalay sa distansya r sa gitna ng Earth, at ang puwersa ng paglaban ng daluyan (hangin o tubig), na nakasalalay sa bilis v ng paggalaw. Sa… … Pisikal na Encyclopedia

Isang tuwid na linya na nakatigil na may paggalang sa umiikot sa paligid nito matibay na katawan. Para sa isang matibay na katawan na may nakapirming punto (halimbawa, para sa baby spinning top), isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito, sa pamamagitan ng pag-ikot kung saan gumagalaw ang katawan mula sa ibinigay na ... ... encyclopedic Dictionary

Ang paggalaw ng isang katawan sa gravitational field ng Earth paunang bilis katumbas ng zero. Ang P. t. ay nangyayari sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersa ng gravitational, depende sa distansya r sa gitna ng Earth, at ang puwersa ng paglaban ng daluyan (hangin o tubig), na nakasalalay sa bilis ... ... Great Soviet Encyclopedia

Mga libro

• Isang set ng mga mesa. Mathematics. Polyhedra. mga katawan ng rebolusyon. 11 table + 64 card + methodology,. Pang-edukasyon na album ng 11 sheet (format 68 x 98 cm): - Parallel na disenyo. - Larawan ng mga flat figure. - Hakbang-hakbang na paglalarawan ng patunay ng theorems. - Mutual na pag-aayos ng mga linya at ...
• Integrasyon ng Equilibrium Equation ng isang Elastic Body of Revolution na may Symmetric Distribution ng Volume at Surface Forces Tungkol sa Axis Nito, G.D. Grodsky. Na-reproduce sa orihinal na spelling ng may-akda ng 1934 na edisyon (publishing house `Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR`). SA…