Die Abhängigkeit einer Variablen von einer anderen heißt funktionale Abhängigkeit. Variable Abhängigkeit j aus einer Variablen x genannt Funktion, wenn jeder Wert x entspricht einzige Bedeutung j.

Bezeichnung:

Variable x genannt die unabhängige Variable oder Streit, und die Variable j- abhängig. Sie sagen, dass j ist eine Funktion von x. Bedeutung j dazugehörigen Wert einstellen x, genannt Funktionswert.

Alle Werte, die es braucht x, bilden Funktionsumfang; alle Werte, die es braucht j, bilden Satz von Funktionswerten.

Bezeichnungen:

D(f)- Argumentwerte. E(f)- Funktionswerte. Wenn die Funktion durch eine Formel gegeben ist, dann wird davon ausgegangen, dass der Definitionsbereich aus allen Werten der Variablen besteht, für die diese Formel sinnvoll ist.

Funktionsgraph die Menge aller Punkte auf der Koordinatenebene wird aufgerufen, deren Abszissen gleich den Werten des Arguments sind und deren Ordinaten gleich den entsprechenden Werten der Funktion sind. Wenn etwas Wert x=x0Übereinstimmung mit mehreren Werten (nicht nur einem) j, dann ist eine solche Korrespondenz keine Funktion. Um die Punkte zu setzen Koordinatenebene der Graph einer Funktion ist, ist es notwendig und ausreichend, dass jede gerade Linie parallel zur Oy-Achse den Graphen an nicht mehr als einem Punkt schneidet.

Möglichkeiten, eine Funktion einzustellen

1) Funktion einstellbar analytisch in Form einer Formel. Zum Beispiel,

2) Die Funktion kann durch eine Tabelle mit vielen Paaren definiert werden (x;y).

3) Die Funktion kann grafisch eingestellt werden. Wertepaare (x;y) auf der Koordinatenebene angezeigt.

Funktion Monotonie

Funktion f(x) genannt zunehmend auf einem bestimmten Zahlenintervall, wenn Größerer Wert argument entspricht dem größeren Wert der Funktion. Stellen Sie sich vor, dass sich ein bestimmter Punkt entlang des Diagramms von links nach rechts bewegt. Dann "klettert" der Punkt im Diagramm nach oben.

Funktion f(x) genannt abnehmend auf einem gegebenen numerischen Intervall, wenn ein größerer Wert des Arguments einem kleineren Wert der Funktion entspricht. Stellen Sie sich vor, dass sich ein bestimmter Punkt entlang des Diagramms von links nach rechts bewegt. Dann "rollt" der Punkt sozusagen im Diagramm nach unten.

Eine Funktion, die in einem bestimmten numerischen Intervall nur zunimmt oder nur abnimmt, wird aufgerufen eintönig in diesem Intervall.

Funktionsnullstellen und Konstanzintervalle

Werte X, bei welchem y=0, wird genannt Funktion Nullen. Dies sind die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse.

Solche Wertebereiche x, auf der die Werte der Funktion stehen j entweder nur positiv oder nur negativ genannt werden Intervalle der Vorzeichenkonstanz der Funktion.

Gerade und ungerade Funktionen

Gleiche Funktion
1) Der Definitionsbereich ist symmetrisch in Bezug auf den Punkt (0; 0), dh wenn der Punkt a gehört zum Definitionsbereich, dann der Punkt -a gehört ebenfalls zum Definitionsbereich.
2) Für jeden Wert x f(-x)=f(x)
3) Diagramm gleiche Funktion symmetrisch um die y-Achse.

komische Funktion hat folgende Eigenschaften:
1) Der Definitionsbereich ist symmetrisch zum Punkt (0; 0).
2) für jeden Wert x, die zum Definitionsbereich gehört, der Gleichheit f(-x)=-f(x)
3) Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung (0; 0).

Nicht jede Funktion ist gerade oder ungerade. Funktionen Gesamtansicht sind weder gerade noch ungerade.

Periodische Funktionen

Funktion f heißt periodisch, falls es eine Zahl gibt, so dass für jede x aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(x)=f(x-T)=f(x+T). T ist die Periode der Funktion.

Jede periodische Funktion hat unendlicher Satz Perioden. In der Praxis wird üblicherweise die kleinste positive Periode betrachtet.

Werte periodische Funktion Wiederholen Sie nach einem Intervall gleich der Periode. Dies wird beim Zeichnen von Diagrammen verwendet.

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Viele Aufgaben führen uns dazu, nach einer Menge von Funktionswerten auf einem bestimmten Segment oder auf dem gesamten Definitionsbereich zu suchen. Zu diesen Aufgaben gehören verschiedene Auswertungen von Ausdrücken, die Lösung von Ungleichungen.

In diesem Artikel werden wir den Bereich einer Funktion definieren, Methoden zu ihrer Suche betrachten und die Lösung von Beispielen von einfach bis komplexer analysieren. Alle Materialien werden gestellt grafische Illustrationen zur Klarheit. Dieser Artikel ist also eine ausführliche Antwort auf die Frage, wie man den Wertebereich einer Funktion findet.

Definition.

Die Wertemenge der Funktion y = f(x) auf dem Intervall X bezeichnet die Menge aller Werte der Funktion, die sie beim Iterieren über alle annimmt.

Definition.

Der Wertebereich der Funktion y = f(x) heißt die Menge aller Werte der Funktion, die sie beim Iterieren über alle x aus dem Definitionsbereich annimmt.

Der Bereich der Funktion wird als E(f) bezeichnet.

Der Wertebereich einer Funktion und die Wertemenge einer Funktion sind nicht dasselbe. Diese Konzepte werden als gleichwertig angesehen, wenn das Intervall X beim Auffinden der Wertemenge der Funktion y = f(x) mit dem Funktionsbereich der Funktion übereinstimmt.

Verwechseln Sie auch nicht den Bereich der Funktion mit der Variablen x für den Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung y=f(x) . Region zulässige Werte Variable x für den Ausdruck f(x) - das ist der Definitionsbereich der Funktion y=f(x) .

Die Abbildung zeigt einige Beispiele.

Funktionsgraphen werden mit dicken blauen Linien dargestellt, dünne rote Linien sind Asymptoten, rote Punkte und Linien auf der Oy-Achse zeigen den Bereich der entsprechenden Funktion.

Wie Sie sehen können, wird der Bereich der Funktion erhalten, indem der Graph der Funktion auf die y-Achse projiziert wird. Sie kann die Eine sein Singular(erster Fall), Zahlenmenge (zweiter Fall), Segment (dritter Fall), Intervall (vierter Fall), offener Strahl (fünfter Fall), Vereinigung (sechster Fall) usw.

Was müssen Sie also tun, um den Bereich der Funktion zu finden?

Fangen wir ganz von vorne an einfacher Fall: zeigen, wie man eine Menge von Werten definiert kontinuierliche Funktion y = f(x) auf dem Segment .

Es ist bekannt, dass eine auf einem Segment stetige Funktion darauf ihre Maximal- und Minimalwerte erreicht. Also die Menge der Werte ursprüngliche Funktion Es wird ein Segment auf dem Segment geben . Daher reduziert sich unsere Aufgabe darauf, den größten und kleinsten Wert der Funktion auf dem Intervall zu finden.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Bereich der Arkussinusfunktion finden.

Beispiel.

Geben Sie den Bereich der Funktion y = arcsinx an.

Lösung.

Der Definitionsbereich des Arkussinus ist das Segment [-1; eines] . Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion auf diesem Segment.

Die Ableitung ist für alle x aus dem Intervall (-1; 1) positiv, d. h. die Arkussinusfunktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu. Daher nimmt es den kleinsten Wert bei x = -1 und den größten bei x = 1 an.

Wir haben den Bereich der Arkussinusfunktion .

Beispiel.

Finden Sie die Menge der Funktionswerte auf dem Segment.

Lösung.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion auf dieses Segment.

Lassen Sie uns die Extrempunkte definieren, Zugehörigkeit zum Segment :

Wir berechnen die Werte der ursprünglichen Funktion an den Enden des Segments und an Punkten :

Daher ist die Menge der Werte der Funktion auf dem Segment das Segment .

Nun zeigen wir, wie man die Wertemenge einer stetigen Funktion y = f(x) in den Intervallen (a; b) , findet.

Zuerst bestimmen wir die Extrempunkte, die Extrema der Funktion, die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion in einem bestimmten Intervall. Als nächstes berechnen wir an den Enden des Intervalls und (oder) die Grenzen im Unendlichen (das heißt, wir untersuchen das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Intervalls oder im Unendlichen). Diese Informationen reichen aus, um den Satz von Funktionswerten in solchen Intervallen zu finden.

Beispiel.

Bestimmen Sie den Satz von Funktionswerten im Intervall (-2; 2) .

Lösung.

Lassen Sie uns die Extrempunkte der Funktion finden, die auf das Intervall (-2; 2) fallen:

Punkt x = 0 ist der Maximalpunkt, da die Ableitung beim Durchgang das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert und der Graph der Funktion von steigend nach fallend geht.

ist das entsprechende Maximum der Funktion.

Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion herausfinden, wenn x rechts gegen -2 und wenn x links gegen 2 strebt, d.h. wir finden einseitige Grenzen:

Was wir bekommen haben: Wenn sich das Argument von -2 auf Null ändert, erhöhen sich die Funktionswerte von minus unendlich auf minus ein Viertel (das Maximum der Funktion bei x = 0), wenn sich das Argument von Null auf 2 ändert, die Funktion Werte sinken auf minus unendlich. Somit ist die Menge der Funktionswerte im Intervall (-2; 2) .

Beispiel.

Geben Sie den Wertesatz der Tangentenfunktion y = tgx auf dem Intervall an.

Lösung.

Die Ableitung der Tangensfunktion auf dem Intervall ist positiv , was auf eine Zunahme der Funktion hindeutet. Wir untersuchen das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Intervalls:

Wenn sich also das Argument von zu ändert, steigen die Werte der Funktion von minus unendlich auf plus unendlich, dh die Menge der Tangentenwerte in diesem Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen.

Beispiel.

Finde den Wertebereich einer Funktion natürlicher Logarithmus y = lnx.

Lösung.

Die natürliche Logarithmusfunktion ist für positive Werte des Arguments definiert . In diesem Intervall ist die Ableitung positiv , zeigt dies eine Zunahme der Funktion darauf an. Finden wir die einseitige Grenze der Funktion, wenn das Argument von rechts gegen Null tendiert, und die Grenze, wenn x gegen unendlich geht:

Wir sehen, dass, wenn sich x von null auf plus unendlich ändert, die Werte der Funktion von minus unendlich auf plus unendlich steigen. Daher ist der Wertebereich der Funktion des natürlichen Logarithmus die gesamte Menge der reellen Zahlen.

Beispiel.

Lösung.

Diese Funktion ist für alle reellen x-Werte definiert. Lassen Sie uns die Extrempunkte sowie die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion bestimmen.

Daher nimmt die Funktion bei ab, steigt bei an, x = 0 ist der Maximalpunkt, das entsprechende Maximum der Funktion.

Schauen wir uns das Verhalten der Funktion im Unendlichen an:

Somit nähern sich die Werte der Funktion im Unendlichen asymptotisch Null.

Wir haben herausgefunden, dass, wenn sich das Argument von minus unendlich auf null (Maximalpunkt) ändert, die Werte der Funktion von null auf neun steigen (bis zum Maximum der Funktion), und wenn sich x von null auf plus unendlich ändert, die Werte der Funktion sinken von neun auf null.

Schauen Sie sich die schematische Zeichnung an.

Nun ist klar ersichtlich, dass der Funktionsumfang .

Um den Wertesatz der Funktion y = f(x) in Intervallen zu finden, sind ähnliche Studien erforderlich. Auf diese Fälle gehen wir jetzt nicht im Detail ein. Wir werden sie in den folgenden Beispielen sehen.

Der Definitionsbereich der Funktion y = f(x) sei die Vereinigung mehrerer Intervalle. Beim Finden des Bereichs einer solchen Funktion werden die Wertesätze in jedem Intervall bestimmt und ihre Vereinigung genommen.

Beispiel.

Finden Sie den Wertebereich der Funktion .

Lösung.

Der Nenner unserer Funktion sollte nicht gegen Null gehen, also .

Lassen Sie uns zuerst den Wertesatz der Funktion auf dem offenen Strahl finden.

Ableitung der Funktion auf diesem Intervall negativ ist, d. h. die Funktion nimmt auf ihm ab.

Wir haben festgestellt, dass sich die Werte der Funktion asymptotisch der Einheit nähern, wenn das Argument gegen minus unendlich tendiert. Wenn sich x von minus unendlich auf zwei ändert, verringern sich die Werte der Funktion von eins auf minus unendlich, dh im betrachteten Intervall nimmt die Funktion eine Reihe von Werten an. Wir schließen die Einheit nicht ein, da die Werte der Funktion sie nicht erreichen, sondern nur asymptotisch bei minus unendlich zu ihr tendieren.

Ähnlich verfahren wir für einen offenen Balken.

Auch die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.

Die Menge der Funktionswerte in diesem Intervall ist die Menge .

Somit ist der gewünschte Bereich von Funktionswerten die Vereinigung der Mengen und .

Grafische Darstellung.

Separat sollten wir uns mit periodischen Funktionen befassen. Der Bereich der periodischen Funktionen stimmt mit dem Wertesatz des Intervalls überein, das der Periode dieser Funktion entspricht.

Beispiel.

Finden Sie den Wertebereich der Sinusfunktion y = sinx .

Lösung.

Diese Funktion ist periodisch mit einer Periode von zwei Pi. Nehmen wir ein Segment und definieren den Wertesatz darauf.

Das Segment enthält zwei Extrempunkte und .

Wir berechnen die Werte der Funktion an diesen Punkten und an den Grenzen des Segments, wählen die kleinsten und Höchster Wert:

Folglich, .

Beispiel.

Finde den Wertebereich einer Funktion .

Lösung.

Wir wissen, dass der Bereich des Arkuskosinus das Segment von Null bis Pi ist, d.h. oder in einem anderen Beitrag. Funktion kann von arccosx durch Verschieben und Strecken entlang der x-Achse erhalten werden. Solche Transformationen haben keinen Einfluss auf die Reichweite, daher . Funktion kommt von sich dreimal entlang der Oy-Achse erstreckt, das heißt, . Und die letzte Stufe der Transformation ist eine Verschiebung um vier Einheiten nach unten entlang der y-Achse. Dies führt uns zu einer doppelten Ungleichung

Damit ist der gewünschte Wertebereich gegeben .

Lassen Sie uns eine Lösung für ein anderes Beispiel geben, aber ohne Erklärungen (sie sind nicht erforderlich, da sie völlig ähnlich sind).

Beispiel.

Funktionsumfang definieren .

Lösung.

Wir schreiben die ursprüngliche Funktion in die Form . Wertebereich Machtfunktion ist die Spanne. Also, . Dann

Folglich, .

Um das Bild zu vervollständigen, sollten wir darüber sprechen, den Wertebereich einer Funktion zu finden, die im Definitionsbereich nicht stetig ist. In diesem Fall wird der Definitionsbereich durch Unterbrechungspunkte in Intervalle unterteilt, und wir finden die Wertesätze auf jedem von ihnen. Durch Kombinieren der erhaltenen Wertesätze erhalten wir den Wertebereich der ursprünglichen Funktion. Wir empfehlen, sich zu erinnern

Oft müssen wir im Rahmen der Problemlösung nach einer Reihe von Werten einer Funktion im Definitionsbereich oder auf einem Segment suchen. Dies sollte beispielsweise beim Lösen erfolgen verschiedene Typen Ungleichungen, Ausdrucksbewertungen etc.

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Als Teil dieses Materials erklären wir Ihnen, was der Wertebereich einer Funktion ist, geben die wichtigsten Methoden an, mit denen sie berechnet werden kann, und analysieren die Aufgaben unterschiedliche Grade Schwierigkeiten. Zur Verdeutlichung sind einzelne Positionen grafisch dargestellt. Nachdem Sie diesen Artikel gelesen haben, haben Sie ein umfassendes Verständnis für den Umfang einer Funktion.

Beginnen wir mit grundlegenden Definitionen.

Bestimmung 1

Die Wertemenge der Funktion y = f (x) in einem bestimmten Intervall x ist die Menge aller Werte, die gegebene Funktionübernimmt die Aufzählung aller Werte x ∈ X .

Bestimmung 2

Der Wertebereich einer Funktion y = f (x) ist die Menge all ihrer Werte, die sie beim Iterieren über Werte x aus dem Bereich x ∈ (f) annehmen kann.

Der Bereich einer Funktion wird normalerweise mit E (f) bezeichnet.

Bitte beachten Sie, dass der Begriff der Wertemenge einer Funktion nicht immer identisch mit dem Bereich ihrer Werte ist. Diese Konzepte sind nur dann äquivalent, wenn der Bereich der x-Werte beim Auffinden der Wertemenge mit der Domäne der Funktion übereinstimmt.

Es ist auch wichtig, zwischen Bereich und Bereich der Variablen x für den Ausdruck auf der rechten Seite y = f (x) zu unterscheiden. Der Bereich der akzeptablen Werte x für den Ausdruck f (x) ist der Definitionsbereich dieser Funktion.

Nachfolgend finden Sie eine Abbildung mit einigen Beispielen. Blaue Linien sind Graphen von Funktionen, rote Asymptoten, rote Punkte und Linien auf der y-Achse sind die Bereiche der Funktion.

Offensichtlich kann der Bereich der Funktion erhalten werden, indem der Graph der Funktion auf die Achse O y projiziert wird. Gleichzeitig kann es sich um eine einzelne Zahl oder eine Reihe von Zahlen, ein Segment, ein Intervall, einen offenen Strahl, eine Vereinigung numerischer Intervalle usw. handeln.

Betrachten Sie die wichtigsten Möglichkeiten, um den Wertebereich einer Funktion zu finden.

Beginnen wir damit, den Wertesatz einer kontinuierlichen Funktion y = f (x) auf einem bestimmten Segment zu definieren, das als [ a ; b] . Wir wissen, dass eine auf einem bestimmten Intervall stetige Funktion dort ihr Minimum und Maximum erreicht, also das Maximum m a x x ∈ a ; b f (x) und der kleinste Wert m i n x ∈ a ; b f (x) . Wir erhalten also ein Segment m i n x ∈ a ; bf(x) ; m ein x x ∈ ein ; b f (x) , das die Wertesätze der ursprünglichen Funktion enthalten wird. Dann müssen wir nur noch die angegebenen minimalen und maximalen Punkte auf diesem Segment finden.

Nehmen wir ein Problem, bei dem es notwendig ist, den Wertebereich des Arkussinus zu bestimmen.

Beispiel 1

Bedingung: Finde den Bereich y = a r c sin x .

Lösung

BEI Allgemeiner Fall der Definitionsbereich des Arkussinus liegt auf dem Segment [-1; eines ] . Wir müssen den größten und den kleinsten Wert bestimmen angegebene Funktion auf ihm.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Wir wissen, dass die Ableitung der Funktion für alle x-Werte im Intervall [-1; 1 ] , das heißt, im gesamten Definitionsbereich wird die Arkussinusfunktion zunehmen. Das bedeutet, dass es den kleinsten Wert annehmen wird, wenn x gleich - 1 ist, und den größten - wenn x gleich 1 ist.

m ich n x ∈ - 1 ; 1 ein r c Sünde x = ein r c Sünde - 1 = - π 2 m ein x x ∈ - 1 ; 1 ein r c sin x = ein r c sin 1 = π 2

Somit ist der Bereich der Arkussinusfunktion gleich E (a r c sin x) = – π 2 ; π 2 .

Antworten: E (ar c sin x) \u003d - π 2; π 2

Beispiel 2

Bedingung: Bereich y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 berechnen angegebenen Abschnitt [ 1 ; 4 ] .

Lösung

Alles, was wir tun müssen, ist den größten und kleinsten Wert der Funktion in zu berechnen angegebenen Intervall.

Zur Bestimmung der Extrempunkte müssen folgende Berechnungen durchgeführt werden:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1, 4 und l und 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Jetzt finde die Werte gegebene Funktion an den Enden des Segments und den Punkten x 2 \u003d 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 Jahre (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Dies bedeutet, dass der Satz von Funktionswerten durch das Segment 117 - 165 33 512 bestimmt wird; 32 .

Antworten: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Gehen wir weiter, um den Wertesatz der stetigen Funktion y = f (x) in den Intervallen (a ; b) und a zu finden; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Beginnen wir mit der Definition des größten und kleinster Punkt, sowie Intervalle der Zunahme und Abnahme in einem bestimmten Intervall. Danach müssen wir einseitige Grenzen an den Enden des Intervalls und/oder Grenzen im Unendlichen berechnen. Mit anderen Worten, wir müssen das Verhalten der Funktion unter gegebenen Bedingungen bestimmen. Dazu haben wir alle notwendigen Daten.

Beispiel 3

Bedingung: Berechnen Sie den Wertebereich der Funktion y = 1 x 2 - 4 auf dem Intervall (- 2 ; 2) .

Lösung

Bestimmen Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem bestimmten Intervall

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Wir haben den Maximalwert gleich 0 erhalten, da sich an diesem Punkt das Vorzeichen der Funktion ändert und der Graph abzunehmen beginnt. Siehe Abbildung:

Das heißt, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 wird sein Maximalwerte Funktionen.

Lassen Sie uns nun das Verhalten der Funktion für ein solches x definieren, das gegen -2 s tendiert rechte Seite und k + 2 auf der linken Seite. Mit anderen Worten, wir finden einseitige Grenzen:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Wir haben festgestellt, dass die Funktionswerte von minus unendlich auf -1 4 ansteigen, wenn sich das Argument von -2 auf 0 ändert. Und wenn sich das Argument von 0 auf 2 ändert, nehmen die Werte der Funktion gegen minus unendlich ab. Daher ist der Wertesatz der gegebenen Funktion im benötigten Intervall (- ∞ ; - 1 4 ] .

Antworten: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Beispiel 4

Bedingung: geben Sie den Satz von Werten an y = t g x auf dem gegebenen Intervall - π 2 ; π 2 .

Lösung

Wir wissen, dass im Allgemeinen die Ableitung der Tangente in - π 2; π 2 wird positiv sein, das heißt, die Funktion wird zunehmen. Lassen Sie uns nun definieren, wie sich die Funktion innerhalb der gegebenen Grenzen verhält:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Wir haben eine Erhöhung der Werte der Funktion von minus unendlich bis plus unendlich erhalten, wenn sich das Argument von - π 2 auf π 2 ändert, und wir können sagen, dass die Menge der Lösungen dieser Funktion die Menge aller Realen sein wird Zahlen.

Antworten: - ∞ ; + ∞ .

Beispiel 5

Bedingung: Bestimme den Wertebereich der Funktion des natürlichen Logarithmus y = ln x .

Lösung

Wir wissen, dass diese Funktion für definiert ist positive Werte Argument D (y) = 0 ; +∞ . Die Ableitung für das gegebene Intervall ist positiv: y " = ln x " = 1 x . Dies bedeutet, dass die Funktion darauf zunimmt. Als nächstes müssen wir eine einseitige Grenze für den Fall definieren, wenn das Argument gegen 0 geht (auf der rechten Seite) und wenn x gegen unendlich geht:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Wir haben festgestellt, dass die Werte der Funktion von minus unendlich auf plus unendlich ansteigen, wenn sich die x-Werte von null auf plus unendlich ändern. Das bedeutet, dass die Menge aller reellen Zahlen der Wertebereich der Funktion des natürlichen Logarithmus ist.

Antworten: die Menge aller reellen Zahlen ist der Wertebereich der Funktion des natürlichen Logarithmus.

Beispiel 6

Bedingung: Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion y = 9 x 2 + 1 .

Lösung

Diese Funktion ist unter der Voraussetzung definiert, dass x eine reelle Zahl ist. Berechnen wir die größten und kleinsten Werte der Funktion sowie die Intervalle ihrer Zunahme und Abnahme:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Als Ergebnis haben wir festgestellt, dass diese Funktion abnimmt, wenn x ≥ 0; erhöhen, wenn x ≤ 0 ; es hat einen maximalen Punkt y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, wenn die Variable 0 ist.

Mal sehen, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Aus der Aufzeichnung ist ersichtlich, dass sich die Werte der Funktion in diesem Fall asymptotisch 0 nähern.

Zusammenfassend: Wenn sich das Argument von minus unendlich auf Null ändert, dann steigen die Werte der Funktion von 0 auf 9 . Wenn die Argumentwerte von 0 bis plus unendlich gehen, werden die entsprechenden Funktionswerte von 9 auf 0 verringert. Wir haben dies in der Abbildung dargestellt:

Es zeigt, dass der Bereich der Funktion das Intervall E (y) = (0 ; 9 ]

Antworten: E (y) = (0 ; 9 ]

Wenn wir den Wertesatz der Funktion y = f (x) in den Intervallen [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , dann müssen wir genau die gleichen Studien durchführen. Wir werden diese Fälle noch nicht analysieren: wir werden ihnen später in Problemen begegnen .

Was aber, wenn der Definitionsbereich einer bestimmten Funktion die Vereinigung mehrerer Intervalle ist? Dann müssen wir die Wertesätze für jedes dieser Intervalle berechnen und kombinieren.

Beispiel 7

Bedingung: Bestimmen Sie den Bereich von y = x x - 2 .

Lösung

Da der Nenner der Funktion nicht auf 0 gesetzt werden soll, gilt D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Beginnen wir mit der Definition des Satzes von Funktionswerten auf dem ersten Segment - ∞ ; 2, die ein offener Strahl ist. Wir wissen, dass die Funktion darauf abnehmen wird, das heißt, die Ableitung dieser Funktion wird negativ sein.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

In den Fällen, in denen sich das Argument in Richtung minus unendlich ändert, nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch 1 . Wenn sich die Werte von x von minus unendlich auf 2 ändern, verringern sich die Werte von 1 auf minus unendlich, d.h. die Funktion auf diesem Segment nimmt Werte aus dem Intervall - ∞ ; eines . Wir schließen die Einheit aus unserer Argumentation aus, da die Werte der Funktion sie nicht erreichen, sondern sich ihr nur asymptotisch nähern.

Für Freistrahl 2 ; + ∞ führen wir genau die gleichen Aktionen aus. Die Funktion darauf nimmt ebenfalls ab:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Die Werte der Funktion auf diesem Segment werden durch die Menge 1 bestimmt; +∞ . Dies bedeutet, dass der Wertebereich der Funktion, die in der Bedingung angegeben ist, die wir benötigen, die Vereinigung von Mengen ist - ∞; 1 und 1 ; +∞ .

Antworten: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .

Dies ist auf dem Diagramm zu sehen:

Ein Sonderfall sind periodische Funktionen. Ihr Wertebereich stimmt mit dem Wertesatz in dem Intervall überein, das der Periode dieser Funktion entspricht.

Beispiel 8

Bedingung: Bestimmen Sie den Bereich des Sinus y = sin x .

Lösung

Sinus bezieht sich auf eine periodische Funktion, und ihre Periode ist 2 pi. Wir nehmen ein Segment 0 ; 2 π und sehen Sie, wie der Wertesatz darauf sein wird.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Innerhalb von 0 ; 2 π hat die Funktion Extrempunkte π 2 und x = 3 π 2 . Lassen Sie uns berechnen, welchen Werten die Funktion in ihnen sowie an den Grenzen des Segments gleich sein wird, wonach wir den größten und kleinsten Wert auswählen.

y (0) = Sünde 0 = 0 y π 2 = Sünde π 2 = 1 y 3 π 2 = Sünde 3 π 2 = - 1 y (2 π) = Sünde (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π Sünde x = Sünde 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d Sünde π 2 \u003d 1

Antworten: E (sinx) = - 1 ; eines .

Wenn Sie die Funktionsbereiche wie Exponential, Exponential, Logarithmus, Trigonometrie, Inverse Trigonometrie kennen müssen, empfehlen wir Ihnen, den Artikel über die Hauptfunktionen erneut zu lesen elementare Funktionen. Die hier vorgestellte Theorie erlaubt es uns, die dort angegebenen Werte zu testen. Es ist wünschenswert, sie zu lernen, da sie oft zur Lösung von Problemen benötigt werden. Wenn Sie die Bereiche der Hauptfunktionen kennen, können Sie leicht die Funktionsbereiche finden, die durch eine geometrische Transformation aus elementaren Funktionen erhalten werden.

Beispiel 9

Bedingung: Bestimmen Sie den Bereich y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Lösung

Wir wissen, dass das Segment von 0 bis pi der Bereich des inversen Kosinus ist. Mit anderen Worten, E (ar c cos x) = 0 ; π oder 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Wir können die Funktion a r c cos x 3 + 5 π 7 aus dem Arkuskosinus erhalten, indem wir ihn entlang der O x -Achse verschieben und strecken, aber solche Transformationen werden uns nichts bringen. Daher gilt 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Die Funktion 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 erhält man aus dem inversen Kosinus a r c cos x 3 + 5 π 7 durch Streckung entlang der y-Achse, also 0 ≤ 3 ein r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Die letzte Transformation ist eine Verschiebung entlang der O y -Achse um 4 Werte. Als Ergebnis erhalten wir eine doppelte Ungleichung:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Wir haben festgestellt, dass der benötigte Bereich gleich E (y) = - 4 ist; 3 Pi - 4 .

Antworten: E(y) = -4; 3 Pi - 4 .

Schreiben wir noch ein Beispiel ohne Erklärungen, denn es ist dem vorherigen völlig ähnlich.

Beispiel 10

Bedingung: Berechnen Sie den Wertebereich der Funktion y = 2 2 x - 1 + 3 .

Lösung

Schreiben wir die in der Bedingung angegebene Funktion um als y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . Für eine Potenzfunktion y = x - 1 2 wird der Bereich auf dem Intervall 0 definiert; + ∞ , also x - 1 2 > 0 . In diesem Fall:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Also E (y) = 3 ; +∞ .

Antworten: E (y) = 3 ; +∞ .

Schauen wir uns nun an, wie man den Wertebereich einer Funktion findet, die nicht stetig ist. Dazu müssen wir den gesamten Bereich in Intervalle unterteilen und die Wertesätze für jeden von ihnen finden und dann kombinieren, was wir haben. Um dies besser zu verstehen, empfehlen wir Ihnen, sich die Haupttypen von Funktionshaltepunkten anzusehen.

Beispiel 11

Bedingung: gegeben eine Funktion y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Berechnen Sie seine Reichweite.

Lösung

Diese Funktion ist für alle x-Werte definiert. Analysieren wir es auf Kontinuität mit den Werten des Arguments gleich - 3 und 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Wir haben eine nicht behebbare Diskontinuität der ersten Art mit dem Wert des Arguments -3. Wenn Sie sich ihm nähern, tendieren die Werte der Funktion zu - 2 sin 3 2 - 4 , und wenn x auf der rechten Seite zu - 3 tendiert, tendieren die Werte zu - 1 .

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

An Punkt 3 haben wir eine nicht behebbare Diskontinuität zweiter Art. Wenn die Funktion dazu tendiert, nähern sich ihre Werte - 1, während sie zum gleichen Punkt auf der rechten Seite tendieren - minus unendlich.

Das bedeutet, dass der gesamte Definitionsbereich dieser Funktion in 3 Intervalle unterteilt ist (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Beim ersten haben wir die Funktion y \u003d 2 sin x 2 - 4. Da - 1 ≤ sin x ≤ 1 gilt, erhalten wir:

1 ≤ Sünde x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Das bedeutet, dass auf diesem Intervall (- ∞ ; - 3 ] die Wertemenge der Funktion [- 6 ; 2 ] ist.

In der Halbzeit (- 3 ; 3 ] stellte sich heraus konstante Funktion y = - 1 . Daher ist der gesamte Satz seiner Werte in dieser Fall wird auf eine einzelne Zahl reduziert - 1 .

Im zweiten Intervall 3 ; + ∞ haben wir eine Funktion y = 1 x - 3 . Sie nimmt ab, weil y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Daher ist die Wertemenge der ursprünglichen Funktion für x > 3 die Menge 0 ; +∞ . Kombinieren wir nun die Ergebnisse: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Antworten: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Die Lösung ist in der Grafik dargestellt:

Beispiel 12

Bedingung: Es gibt eine Funktion y = x 2 - 3 e x . Bestimme die Menge seiner Werte.

Lösung

Es ist für alle Argumentwerte definiert, die sind reale Nummern. Lassen Sie uns bestimmen, in welchen Intervallen diese Funktion zunimmt und in welchen sie abnimmt:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Wir wissen, dass die Ableitung 0 wird, wenn x = -1 und x = 3 ist. Wir platzieren diese beiden Punkte auf der Achse und finden heraus, welche Vorzeichen die Ableitung auf den resultierenden Intervallen haben wird.

Die Funktion verringert sich um (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) und erhöht sich um [ - 1 ; 3]. Der minimale Punkt ist -1, maximal -3.

Lassen Sie uns nun die entsprechenden Funktionswerte finden:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Schauen wir uns das Verhalten der Funktion im Unendlichen an:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Zur Berechnung der zweiten Grenze wurde die Regel von L'Hopital verwendet. Lassen Sie uns unsere Lösung in einem Diagramm darstellen.

Es zeigt, dass die Werte der Funktion von plus unendlich auf -2 e sinken, wenn sich das Argument von minus unendlich auf -1 ändert. Wenn es sich von 3 auf plus unendlich ändert, werden die Werte von 6 e - 3 auf 0 verringert, aber 0 wird nicht erreicht.

Somit ist E(y) = [-2e; +∞) .

Antworten: E (y) = [- 2 e; +∞)

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Sehen wir uns an, wie man eine Funktion mithilfe eines Diagramms untersucht. Es stellt sich heraus, dass Sie mit Blick auf die Grafik alles herausfinden können, was uns interessiert, nämlich:

• Funktionsumfang
• Funktionsumfang
• Funktion Nullen
• Perioden des Zu- und Abstiegs
• Höhepunkte und Tiefpunkte
• der größte und kleinste Wert der Funktion im Intervall.

Lassen Sie uns die Terminologie klären:

Abszisse ist die horizontale Koordinate des Punktes.
Ordinate- vertikale Koordinate.
Abszisse - horizontale Achse, am häufigsten als Achse bezeichnet.
Y-Achse- vertikale Achse oder Achse.

Streit ist eine unabhängige Variable, von der die Werte der Funktion abhängen. Meist angegeben.
Mit anderen Worten, wir selbst wählen , ersetzen in der Funktionsformel und erhalten .

Domain Funktionen - die Menge dieser (und nur dieser) Werte des Arguments, für die die Funktion existiert.
Bezeichnung: oder .

In unserer Abbildung ist der Definitionsbereich der Funktion ein Segment. Auf diesem Segment wird der Graph der Funktion gezeichnet. Nur hier gibt es diese Funktion.

Funktionsumfang ist die Menge von Werten, die die Variable annimmt. In unserer Abbildung ist dies ein Segment - vom niedrigsten zum höchsten Wert.

Funktion Nullen- Punkte, an denen der Wert der Funktion gleich Null ist, d.h. In unserer Abbildung sind dies die Punkte und .

Funktionswerte sind positiv wo . In unserer Abbildung sind dies die Intervalle und .
Funktionswerte sind negativ wo . Wir haben dieses Intervall (oder Intervall) von bis.

Schlüssel Konzepte - zunehmende und abnehmende Funktion auf irgendeinem Satz. Als Menge können Sie ein Segment, ein Intervall, eine Vereinigung von Intervallen oder den gesamten Zahlenstrahl nehmen.

Funktion steigt

Mit anderen Worten, je mehr , desto mehr , das heißt, der Graph geht nach rechts und oben.

Funktion abnehmend auf der menge wenn für alle und die gehörigkeit zur menge impliziert die ungleichheit die ungleichheit .

Bei einer abnehmenden Funktion entspricht ein größerer Wert einem kleineren Wert. Der Graph geht nach rechts und unten.

In unserer Abbildung nimmt die Funktion im Intervall zu und im Intervall und ab.

Lassen Sie uns definieren, was ist Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

Höchstpunkt- Dies ist ein interner Punkt des Definitionsbereichs, so dass der Wert der Funktion in ihm größer ist als in allen Punkten, die ihm ausreichend nahe kommen.
Mit anderen Worten, der Maximalpunkt ist ein solcher Punkt, an dem der Wert der Funktion liegt mehr als in benachbarten. Dies ist ein lokaler "Hügel" auf der Karte.

In unserer Abbildung - der maximale Punkt.

Tiefpunkt- ein interner Punkt des Definitionsbereichs, so dass der Wert der Funktion darin kleiner ist als in allen Punkten, die ihm ausreichend nahe kommen.
Das heißt, der Minimalpunkt ist so, dass der Wert der Funktion darin kleiner ist als in benachbarten. In der Grafik ist dies ein lokales „Loch“.

In unserer Abbildung - der Mindestpunkt.

Der Punkt ist die Grenze. Sie ist nicht interner Punkt Definitionsbereich und passt daher nicht zur Definition eines Maximumpunktes. Schließlich hat sie keine Nachbarn auf der linken Seite. Ebenso kann es auf unserem Chart keinen Minimalpunkt geben.

Die maximalen und minimalen Punkte werden gemeinsam aufgerufen Extrempunkte der Funktion. In unserem Fall ist dies und .

Aber was ist, wenn Sie zum Beispiel suchen müssen, Funktion minimal am Schnitt? In diesem Fall lautet die Antwort: Weil Funktion minimal ist sein Wert am Minimalpunkt.

Ebenso ist das Maximum unserer Funktion . Es wird am Punkt erreicht.

Wir können sagen, dass die Extrema der Funktion gleich und sind.

Manchmal in Aufgaben, die Sie finden müssen größte und kleinster Wert Funktionen auf einem bestimmten Segment. Sie fallen nicht unbedingt mit Extremen zusammen.

In unserem Fall kleinster Funktionswert auf dem Intervall gleich dem Minimum der Funktion ist und mit diesem zusammenfällt. Aber sein größter Wert in diesem Segment ist gleich . Er wird am linken Ende des Segments erreicht.

In jedem Fall werden die größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion auf einer Strecke entweder an den Extrempunkten oder an den Enden der Strecke erreicht.