Einführung
1.1 Grundlegende Konzepte und Definitionen
1.3 Cardano-Formel
2. Problemlösung
Fazit
Einführung
Gleichungen. Es kann mit Sicherheit gesagt werden, dass es keine einzige Person gibt, die sie nicht kennen würde. Schon früh beginnen Kinder, „Probleme mit X“ zu lösen. Außerdem. Zwar endet für viele die Bekanntschaft mit Gleichungen mit Schulangelegenheiten. Der berühmte deutsche Mathematiker Courant schrieb: „Mehr als zweitausend Jahre lang war der Besitz einiger, nicht zu oberflächlicher Kenntnisse auf dem Gebiet der Mathematik eine Notwendigkeit Bestandteil im intellektuellen Inventar eines jeden Gebildete Person". Und zu diesem Wissen gehörte die Fähigkeit, Gleichungen zu lösen.
Schon in der Antike erkannten die Menschen, wie wichtig es ist, das Lösen algebraischer Gleichungen der Form zu lernen
a0xn + a1xn - 1 + ... + an = 0
schließlich werden sehr viele und sehr unterschiedliche Fragen der Praxis und Naturwissenschaft auf sie reduziert (hier können wir natürlich sofort davon ausgehen, dass a0 ¹ 0, da sonst der Grad der Gleichung eigentlich nicht n, sondern kleiner ist). Viele kamen natürlich auf die verlockende Idee, Formeln für jede Potenz von n zu finden, die die Wurzeln der Gleichung durch ihre Koeffizienten ausdrücken, d. h. die Gleichung in Radikalen lösen würden. Das „düstere Mittelalter“ erwies sich jedoch in Bezug auf das diskutierte Problem als so düster wie möglich - sieben Jahrhunderte lang fand niemand die erforderlichen Formeln! Erst im 16. Jahrhundert gelang es italienischen Mathematikern, weiter zu gehen - um Formeln für n \u003d 3 und 4 zu finden. Die Geschichte ihrer Entdeckungen und sogar die Urheberschaft der gefundenen Formeln sind bis heute ziemlich dunkel, und wir werden es nicht herausfinden hier komplizierte Beziehung zwischen Ferro, Cardano, Tartaglia und Ferrari, aber sagen wir es besser mathematisches Wesen Angelegenheiten.
Ziel der Arbeit ist es, verschiedene Methoden zur Lösung von Gleichungen dritten Grades zu erforschen.
Um dieses Ziel zu erreichen, ist es notwendig, eine Reihe von Aufgaben zu erfüllen:
-Analyse Wissenschaftliche Literatur;
-Analyse von Schulbüchern;
-Auswahl von Lösungsbeispielen;
-Lösung von Gleichungen mit verschiedenen Methoden.
Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste befasst sich mit verschiedenen Methoden zum Lösen von Gleichungen. Der zweite Teil widmet sich dem Lösen von Gleichungen verschiedene Wege.
1. Theoretischer Teil
1 Grundbegriffe und Definitionen
Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung dritten Grades der Form:
Die Zahl x, die die Gleichung in eine Identität verwandelt, wird Wurzel oder Lösung der Gleichung genannt. Es ist auch die Wurzel eines Polynoms dritten Grades, das sich auf der linken Seite der kanonischen Notation befindet.
Über dem Körper der komplexen Zahlen hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra eine kubische Gleichung immer 3 Wurzeln (unter Berücksichtigung der Vielfachheit).
Da nicht jedes reelle Polynom ist sogar Grad mindestens eine reelle Wurzel hat, sind alle möglichen Fälle der Bildung der Wurzeln einer kubischen Gleichung durch die drei unten beschriebenen erschöpft. Diese Fälle lassen sich leicht anhand der Diskriminante unterscheiden
Es gibt also nur drei mögliche Fälle:
Wenn ein? > 0, dann hat die Gleichung drei verschiedene reelle Wurzeln.
Wenn ein?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
Wenn ein? = 0, dann fallen mindestens zwei Nullstellen zusammen. Dies kann der Fall sein, wenn die Gleichung eine doppelte reelle Wurzel und eine andere reelle Wurzel hat, die sich von ihnen unterscheidet; oder alle drei Wurzeln fallen zusammen und bilden eine Wurzel der Multiplizität 3. Die Resultierende der kubischen Gleichung und ihrer zweiten Ableitung hilft, diese beiden Fälle zu trennen: Das Polynom hat genau dann eine Wurzel der Multiplizität 3, wenn die angegebene Resultierende dies auch ist Null.
Die Wurzeln einer kubischen Gleichung hängen wie folgt mit den Koeffizienten zusammen:
1.2 Methoden zur Lösung kubischer Gleichungen
Die gebräuchlichste Methode zum Lösen kubischer Gleichungen ist die Aufzählungsmethode.
Zuerst finden wir durch Aufzählung eine der Wurzeln der Gleichung. Die Sache ist die kubische Gleichungen immer haben wenigstens ein echte Wurzel, und die ganzzahlige Wurzel der kubischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist ein Teiler des freien Terms d. Die Koeffizienten dieser Gleichungen werden normalerweise so gewählt, dass die gewünschte Wurzel zwischen kleinen ganzen Zahlen liegt, wie z. B.: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Deshalb werden wir die Wurzel zwischen diesen Zahlen suchen und durch Einsetzen überprüfen Die gleichung. Die Erfolgsquote bei diesem Ansatz ist sehr hoch. Nehmen wir diese Wurzel an.
Die zweite Stufe der Lösung ist die Division des Polynoms durch das Binom x - x1. Nach dem Satz von Bezout ist diese Division ohne Rest möglich, und als Ergebnis erhalten wir ein Polynom zweiten Grades, das mit Null gleichgesetzt werden muss. Durch Lösen der resultierenden quadratischen Gleichung werden wir die verbleibenden zwei Wurzeln finden (oder nicht).
Lösung einer kubischen Gleichung mit zwei Termen
Die kubische Gleichung mit zwei Termen hat die Form (2)
Diese Gleichung wird auf die Form reduziert, indem sie durch einen von Null verschiedenen Koeffizienten A dividiert wird. Als nächstes wird die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Kubiksumme angewendet:
Aus der ersten Klammer finden wir heraus, und das Quadrattrinom hat nur komplexe Wurzeln.
Wiederkehrende kubische Gleichungen
Die reziproke kubische Gleichung hat die Form und B-Koeffizienten.
Lass uns gruppieren:
Offensichtlich ist x=-1 die Wurzel einer solchen Gleichung, und die Wurzeln des resultierenden quadratischen Trinoms sind leicht durch die Diskriminante zu finden.
1.3 Cardano-Formel
BEIM Allgemeiner Fall, werden die Wurzeln der kubischen Gleichung durch die Cardano-Formel gefunden.
Für die kubische Gleichung (1) werden die Werte durch die Substitution gefunden: x= (2), und die Gleichung wird auf die Form reduziert:
eine unvollständige kubische Gleichung, in der es keinen Term gibt, der den zweiten Grad enthält.
Wir nehmen an, dass die Gleichung Koeffizienten hat komplexe Zahlen. Diese Gleichung wird immer komplexe Wurzeln haben.
Lassen Sie uns eine dieser Wurzeln bezeichnen: . Wir führen eine Hilfsunbekannte u ein und betrachten das Polynom f(u)=.
Lassen Sie uns die Wurzeln dieses Polynoms durch bezeichnen? und? nach dem Satz von Viette (siehe S. 8):
Ersetzen Sie in Gleichung (3), Ausdruck (4), erhalten wir:
Von der anderen Seite von (5): (7)
Daraus, also aus den Formeln (6), (7), folgt, dass die Zahlen die Wurzeln der Gleichung sind:
Aus der letzten Gleichung:
Die anderen beiden Wurzeln werden durch die Formel gefunden:
1.4 trigonometrische Formel Vieta
Diese Formel findet Lösungen für die reduzierte kubische Gleichung, dh eine Gleichung der Form
Offensichtlich kann jede kubische Gleichung auf eine Gleichung der Form (4) reduziert werden, indem sie einfach durch den Koeffizienten a geteilt wird. Der Algorithmus zum Anwenden dieser Formel lautet also:
Berechnung
2. Berechnen
3. a) Wenn, dann berechne
Und unsere Gleichung hat 3 Wurzeln (reell):
b) Wenn, dann ersetzen trigonometrische Funktionen hyperbolisch.
Berechnung
Dann die einzige Wurzel (echt):
Imaginäre Wurzeln:
C) Wenn, dann hat die Gleichung weniger als drei verschiedene Lösungen:
2. Problemlösung
Beispiel 1. Finden Sie die reellen Wurzeln einer kubischen Gleichung
Wir wenden die Formel zur abgekürzten Multiplikation der Differenz von Kubikzahlen an:
Aus der ersten Klammer erkennen wir, dass das quadratische Trinom in der zweiten Klammer keine echten Wurzeln hat, da die Diskriminante negativ ist.
Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung
Diese Gleichung ist reziprok. Lass uns gruppieren:
ist die Wurzel der Gleichung. Finden der Wurzeln eines quadratischen Trinoms
Beispiel 3. Finden Sie die Wurzeln einer kubischen Gleichung
Lassen Sie uns die Gleichung in die reduzierte umwandeln: multiplizieren Sie mit beiden Teilen und nehmen Sie eine Änderung der Variablen vor.
Das freie Mitglied ist 36. Schreiben wir alle seine Teiler auf:
Wir ersetzen sie der Reihe nach durch Gleichheit, bis wir die Identität erhalten:
So ist die Wurzel. Es passt
Teilen Sie nach Horners Schema.
Polynomkoeffizienten2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0
Wir bekommen
Lassen Sie uns die Wurzeln des quadratischen Trinoms finden:
Offensichtlich ist also seine mehrfache Wurzel.
Beispiel 4. Finden Sie die reellen Wurzeln der Gleichung
ist die Wurzel der Gleichung. Finden Sie die Wurzeln eines quadratischen Trinoms.
Da die Diskriminante weniger als Null, dann hat das Trinom keine wirklichen Wurzeln.
Beispiel 5. Finden Sie die Wurzeln der kubischen Gleichung 2.
Somit,
Wir setzen in die Cardano-Formel ein:
nimmt drei Werte an. Schreiben wir sie auf.
Wenn wir haben
Wenn wir haben
Wenn wir haben
Lassen Sie uns diese Werte in Paare aufteilen, die im Produkt angegeben sind
Das erste Wertepaar und
Das zweite Wertepaar und
Das dritte Wertepaar und
Zurück zur Cardano-Formel
Auf diese Weise,
Fazit
kubische Trinomgleichung
Als Ergebnis der Hinrichtung Seminararbeit verschiedene Methoden zur Lösung von Gleichungen dritten Grades wurden untersucht, wie z. B. die Aufzählungsmethode, die Carano-Formel, die Vieta-Formel, Methoden zur Lösung reziproker Zweiterm-Gleichungen.
Liste der verwendeten Quellen
1)Bronstein I. N., Semendyaev K. A. „Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten technischer Hochschulen“, M., 1986.
2)Kolmogorow A. N. Algebra und die Anfänge der Analysis. Lernhilfe für die 9. Klasse weiterführende Schule, 1977.
)Omeltschenko V.P. Mathematik: Lernprogramm/ V.P. Omelchenko, E. V. Kurbatova. - Rostov n / a.: Phönix, 2005.- 380er.
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Lerne, wie man kubische Gleichungen löst. Es wird der Fall betrachtet, wenn eine Wurzel bekannt ist. Methoden zum Finden von ganzen Zahlen und rationale Wurzeln. Anwendung der Cardano- und Vieta-Formeln zur Lösung beliebiger kubischer Gleichungen.
Hier betrachten wir die Lösung kubischer Gleichungen der Form
(1)
.
Weiter gehen wir davon aus, dass dies der Fall ist reale Nummern.
(2)
,
Wenn wir es dann durch dividieren, erhalten wir eine Gleichung der Form (1) mit Koeffizienten
.
Gleichung (1) hat drei Wurzeln: , und . Eine der Wurzeln ist immer real. Wir bezeichnen die echte Wurzel als . Die Wurzeln und können entweder reell oder komplex konjugiert sein. Echte Wurzeln können mehrere sein. Zum Beispiel, wenn , dann und Doppelwurzeln (oder Wurzeln der Multiplizität 2) sind, und eine einfache Wurzel ist.
Wenn nur eine Wurzel bekannt ist
Teilen Sie uns eine Wurzel der kubischen Gleichung (1) mit. Bezeichnen bekannte Wurzel als . Wenn wir dann Gleichung (1) durch dividieren, erhalten wir eine quadratische Gleichung. Beim Lösen der quadratischen Gleichung finden wir zwei weitere Wurzeln und .
Für den Beweis verwenden wir die Tatsache, dass das kubische Polynom dargestellt werden kann als:
.
Wenn wir dann (1) durch dividieren, erhalten wir eine quadratische Gleichung.
Beispiele für die Division von Polynomen werden auf der Seite vorgestellt
„Division und Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom mit einer Ecke und einer Spalte“.
Die Lösung quadratischer Gleichungen wird auf der Seite betrachtet
"Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung".
Wenn eine der Wurzeln ist
Wenn die ursprüngliche Gleichung lautet:
(2)
,
und seine Koeffizienten , , , ganze Zahlen sind, dann können Sie versuchen, eine ganzzahlige Wurzel zu finden. Wenn diese Gleichung eine ganzzahlige Wurzel hat, dann ist sie ein Teiler des Koeffizienten. Die Methode der Suche nach ganzzahligen Wurzeln besteht darin, dass wir alle Teiler einer Zahl finden und prüfen, ob Gleichung (2) für sie gilt. Wenn Gleichung (2) erfüllt ist, haben wir ihre Wurzel gefunden. Bezeichnen wir es als . Als nächstes dividieren wir Gleichung (2) durch . Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Beim Lösen finden wir zwei weitere Wurzeln.
Beispiele für die Definition ganzzahliger Wurzeln finden Sie auf der Seite
Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen > > > .
Rationale Wurzeln finden
Wenn in Gleichung (2) , , , ganze Zahlen sind und , und es keine ganzzahligen Wurzeln gibt, dann können Sie versuchen, rationale Wurzeln zu finden, das heißt Wurzeln der Form , wobei und ganze Zahlen sind.
Dazu multiplizieren wir Gleichung (2) mit und nehmen die Substitution vor:
;
(3)
.
Als nächstes suchen wir unter den Teilern des freien Terms nach ganzzahligen Wurzeln von Gleichung (3).
Wenn wir eine ganzzahlige Wurzel von Gleichung (3) gefunden haben, erhalten wir, wenn wir zur Variablen zurückkehren, rationale Wurzel Gleichungen (2):
.
Cardano- und Vieta-Formeln zum Lösen einer kubischen Gleichung
Wenn wir keine einzige Wurzel kennen und es keine ganzzahligen Wurzeln gibt, dann können wir die Wurzeln einer kubischen Gleichung mit Cardanos Formeln finden.
Betrachten Sie die kubische Gleichung:
(1)
.
Nehmen wir eine Ersetzung vor:
.
Danach wird die Gleichung auf eine unvollständige oder reduzierte Form reduziert:
(4)
,
wo
(5)
;
.
Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.
G. Korn, Handbuch der Mathematik für Wissenschaftler und Ingenieure, 2012.
Kubische Gleichung - algebraische Gleichung dritter Grad. Gesamtansicht der kubischen Gleichung: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0
Durch Ersetzen von x in dieser Gleichung durch ein neues unbekanntes y, das x durch die Gleichheit x \u003d y - (b / 3a) zugeordnet ist, kann die kubische Gleichung auf eine einfachere (kanonische) Form reduziert werden: y3 + pу + q \u003d 0, wo p \u003d - b2 + c , q = 2b – bc + d
3a2 a 27a3 3a2 a die Lösung dieser Gleichung kann mit der Cardano-Formel erhalten werden.
1.1 Geschichte der kubischen Gleichungen
Der Begriff "kubische Gleichung" wurde von R. Descartes (1619) und W. Outred (1631) eingeführt.
Die ersten Versuche, Lösungen für Probleme zu finden, die sich auf kubische Gleichungen reduzieren, wurden von alten Mathematikern unternommen (z. B. die Probleme der Würfelverdopplung und der Winkeldreiteilung).
Die Mathematiker des Mittelalters des Ostens haben es ganz schön gemacht entwickelte Theorie(in Geometrische Figur) kubische Gleichungen; Am ausführlichsten wird es in der Abhandlung über die Beweise der Probleme der Algebra und Almukabala „Omar Haya“ (um 1070) beschrieben, wo die Frage des Findens positive Wurzeln 14 Arten von kubischen Gleichungen, die nur Terme mit positiven Koeffizienten in beiden Teilen enthalten.
Zum ersten Mal in Europa trigonometrische Form Eine Lösung für einen Fall einer kubischen Gleichung wurde von Viet (1953) angegeben.
Die erste Lösung in Radikalen einer der Arten von kubischen Gleichungen wurde von S. Ferro (um 1515) gefunden, aber nicht veröffentlicht. Die Entdeckung wurde unabhängig von Tartaglia (1535) wiederholt, wobei eine Regel zum Lösen von zwei anderen Arten von kubischen Gleichungen angegeben wurde. Diese Entdeckungen wurden 1545 von G. Cardano veröffentlicht, der die Urheberschaft von N. Tartaglia erwähnte.
Am Ende des XV Jahrhunderts. Professor für Mathematik an den Universitäten Rom und Mailand Luca Pacioli hat in seinem berühmten Lehrbuch „Die Summe des Wissens in Arithmetik, Geometrie, Beziehungen und Proportionalität“ das Problem gefunden allgemeine Methode zum Lösen kubischer Gleichungen stellte er es auf eine Stufe mit dem Problem der Quadratur eines Kreises. Und doch wurde durch die Bemühungen italienischer Algebraiker bald eine solche Methode gefunden.
Beginnen wir mit der Vereinfachung
Wenn die kubische Gleichung Gesamtansicht ax3 + bx2 + cx + d = 0, wobei a ≠ 0, geteilt durch a, dann wird der Koeffizient bei x3 gleich 1. Daher gehen wir in Zukunft von der Gleichung x3 + Px2 + Qx + R = 0 aus. (1)
Dasselbe wie im Herzen der Lösung quadratische Gleichung lautet die Formel für das Quadrat der Summe, die Lösung der kubischen Gleichung basiert auf der Formel für die Kubik der Summe:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Um bei den Koeffizienten nicht durcheinander zu kommen, ersetzen wir hier a durch x und ordnen die Terme um:
(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)
Wir sehen, dass wir das auf eine geeignete Weise b erreichen können, nämlich indem wir b = P/3 nehmen rechter Teil dieser Formel unterscheidet sich von der linken Seite der Gleichung x3 + Px2 + Qx + R = 0 nur durch den Koeffizienten bei x und den freien Term. Wir addieren die Gleichung x3 + Px2 + Qx + R = 0 und (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 und geben ähnliche an:
(x + b)3 + (Q - 3b2)x + R - b3 = 0.
Wenn wir hier die Änderung y = x + b vornehmen, erhalten wir eine kubische Gleichung für y ohne Term mit y2: y3 + py + q = 0.
Wir haben also gezeigt, dass Sie in der kubischen Gleichung x3 + Px2 + Qx + R = 0 durch eine geeignete Substitution den Term loswerden können, der das Quadrat der Unbekannten enthält. Deshalb lösen wir jetzt eine Gleichung der Form x3 + px + q = 0. (3)
1.2 Geschichte der Cardano-Formel
Die Cardano-Formel ist nach J. Cardano benannt, der sie erstmals 1545 veröffentlichte.
Der Autor dieser Formel ist Niccolò Tartaglia. Diese Lösung schuf er 1535 eigens für die Teilnahme an einem mathematischen Wettbewerb, bei dem er natürlich gewann. Tartaglia unter Angabe der Formel (in poetische Form) Cardano, präsentierte nur den Teil der Lösung der kubischen Gleichung, in dem die Wurzel einen (realen) Wert hat.
Die Ergebnisse von Cardano in dieser Formel beziehen sich auf die Betrachtung des sogenannten irreduziblen Falls, in dem die Gleichung drei Werte hat (reale Werte, damals gab es keine imaginären oder gar negativen Zahlen, obwohl es diesbezüglich Versuche gab Richtung). Entgegen der Tatsache, dass Cardano in seiner Veröffentlichung die Urheberschaft von Tartaglia angegeben hat, trägt die Formel den Namen Cardano.
1. 3 Cardano-Formel
Schauen wir uns jetzt noch einmal die Würfelsummenformel an, schreiben sie aber anders:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).
Vergleichen Sie diese Eingabe mit der Gleichung x3 + px + q = 0 und versuchen Sie, einen Zusammenhang zwischen ihnen herzustellen. Setzen Sie in unserer Formel x = a + b ein: x3 = a3 + b3 + 3abx, oder x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0
Jetzt ist schon klar: Um die Wurzel der Gleichung x3 + px + q = 0 zu finden, reicht es aus, das Gleichungssystem a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q oder zu lösen
3ab \u003d - p, a3b3 \u003d - p 3,
3 und nimm als x die Summe von a und b. Durch Änderung von u = a3, v = b3 wird dieses System auf a vollständig reduziert klarer Anblick: und + v = - q und v = - p 3.
Dann können Sie auf unterschiedliche Weise vorgehen, aber alle "Wege" führen zu derselben quadratischen Gleichung. Beispielsweise ist nach dem Vieta-Theorem die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung gleich dem Koeffizienten bei x mit einem Minuszeichen, und das Produkt ist der freie Term. Dies impliziert, dass und und v die Wurzeln der Gleichung t2 + qt – (p/3)3 = 0 sind.
Schreiben wir diese Wurzeln auf: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.
Die Variablen a und b sind gleich den Kubikwurzeln von t1 und t2, und die gewünschte Lösung der kubischen Gleichung x3 + px + q = 0 ist die Summe dieser Wurzeln: x = 3 - q + q 2 + p 3+ 3 - q - q 2 + p 3 .
Diese Formel ist als Cardano-Formel bekannt.
Gleichungen lösen
Bevor wir uns die Cardano-Formel in der Arbeit ansehen, wollen wir erklären, wie man ihre anderen Wurzeln, falls vorhanden, aus einer Wurzel der kubischen Gleichung x3 + px + q = 0 findet.
Lassen Sie uns wissen, dass unsere Gleichung eine Wurzel h hat. Dann kann seine linke Seite in lineare und zerlegt werden quadratische Multiplikatoren. Das geht ganz einfach. Wir ersetzen den Ausdruck des freien Terms durch die Wurzel q \u003d - h3 - ph in der Gleichung und verwenden die Formel für die Differenz der Kubikzahlen:
0 \u003d x3 - h3 + px - ph \u003d (x - h) (x2 + hx + h2) + p (x - h) \u003d (x - h) (x2 + hx + h2 + p).
Jetzt kannst du die quadratische Gleichung x2 + hx + h2 + p = 0 lösen und den Rest der Wurzeln dieser kubischen Gleichung finden.
Wir sind also voll gerüstet und können anscheinend mit jeder kubischen Gleichung fertig werden. Probieren wir es aus.
1. Beginnen wir mit der Gleichung x3 + 6x - 2 = 0
Wir setzen p = 6 und q = -2 in die Cardano-Formel ein und erhalten nach einfachen Reduktionen die Antwort: x = 3√4 - 3√2. Nun, die Formel ist ganz nett. Nur die Aussicht, den Faktor x - (3√4 - 3√2) von der linken Seite der Gleichung zu nehmen und die verbleibende quadratische Gleichung mit "schrecklichen" Koeffizienten zu lösen, um andere Wurzeln zu berechnen, ist nicht sehr inspirierend. Bei genauerer Betrachtung der Gleichung können wir uns jedoch beruhigen: Die Funktion auf der linken Seite ist streng steigend und kann daher nur einmal verschwinden. Das bedeutet, dass die gefundene Zahl die einzige echte Wurzel der Gleichung ist.
y y \u003d x3 + 6x - 2
3√4 – 3√2x
Reis. 1 Der Graph der Funktion y \u003d x3 + 6x - 2 schneidet die x-Achse an einem Punkt - 3√4 - 3√2.
2. Nächstes Beispiel- die Gleichung x3 + 3x - 4 = 0.
Cardanos Formel ergibt x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.
Wie im vorherigen Beispiel sehen wir, dass diese Wurzel eindeutig ist. Aber Sie müssen nicht sehr scharfsinnig sein, um sich die Gleichung anzusehen und ihre Wurzel zu erraten: x = 1. Wir müssen zugeben, dass die Formel die übliche Einheit in einer so bizarren Form lieferte. Übrigens, um diesen umständlichen, aber nicht ohne Eleganz Ausdruck zu vereinfachen algebraische Transformationen scheitert - kubische Irrationalitäten darin sind unvermeidlich.
3. Nehmen wir nun eine Gleichung, die offensichtlich drei reelle Wurzeln hat. Es ist einfach, es zusammenzusetzen - multiplizieren Sie einfach drei Klammern der Form x - b. Sie müssen nur darauf achten, dass die Summe der Wurzeln gleich Null ist, denn gem allgemeiner Satz Vieta, es unterscheidet sich vom Koeffizienten bei x2 nur im Vorzeichen. Die einfachste Menge solcher Wurzeln ist 0, 1 und -1.
Wenden wir die Cardano-Formel auf die Gleichung x (x - 1) (x + 1) = 0 oder x3 - x = 0 an.
Unter der Annahme p = -1 und q = 0 darin erhalten wir x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.
y y \u003d x (x - 1) (x + 1)
Reis. 2 Die Gleichung x (x - 1) (x + 1) \u003d 0 hat drei reelle Wurzeln: -1, 0 und 1. Dementsprechend ist der Graph der Funktion y \u003d x (x - 1) (x + 1) schneidet die x-Achse in drei Punkten.
erschien unter dem Zeichen der Quadratwurzel eine negative Zahl. Dies geschieht auch beim Lösen quadratischer Gleichungen. Aber die quadratische Gleichung hat in diesem Fall keine echten Wurzeln, während die kubische drei davon hat!
Eine genauere Analyse zeigt, dass wir nicht zufällig in diese Falle getappt sind. Die Gleichung x3 + px + q = 0 hat genau dann drei reelle Wurzeln, wenn der Ausdruck Δ = (q/2)2 + (p/3)3 unter Quadratwurzel in der Cardano-Formel ist negativ. Wenn Δ > 0, dann gibt es eine reelle Wurzel (Abb. 3b), und wenn Δ = 0, dann gibt es zwei davon (eine davon ist doppelt), außer im Fall p = q = 0, wenn alle drei sind Wurzeln verschmelzen.
y Δ 0 y \u003d -px - q y \u003d x3
0 x 0 x y \u003d -px - q y \u003d x3 a) b)
Reis. 3 Die kubische Gleichung x3 + px + q = 0 kann dargestellt werden als x3 = -px - q. Dies zeigt, dass die Wurzeln der Gleichung den Abszissen der Schnittpunkte der beiden Graphen entsprechen: y \u003d x3 und y \u003d -px - q. Wenn Δ 0 eins ist.
1.4 Satz von Vieta
Satz von Vieta. Wenn eine ganze Zahl rationale gleichung Grad n reduziert auf Standardform, hat n verschiedene reelle Nullstellen x1, x2,. xn, dann erfüllen sie die Gleichungen: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 x2 xn = (-1)nаn.
Für die Wurzeln der Gleichung dritten Grades a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, wobei a0 ≠ 0, die Gleichungen x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3 sind gültig.
1. 5 Satz von Bezout. Horners Schema
Die Lösung von Gleichungen ist eng mit der Faktorisierung von Polynomen verbunden. Daher ist beim Lösen von Gleichungen alles wichtig, was mit der Auswahl im Polynom zusammenhängt lineare Faktoren, also mit der Division des Polynoms A(x) durch das Binom x - α. Die Grundlage vieler Erkenntnisse über die Division des Polynoms A(x) durch das Binomial x - α ist ein zugehöriger Satz Französischer Mathematiker Etienne Bez (1730-1783) und trägt seinen Namen.
Satz von Bezout. Der Rest der Division des Polynoms A (x) durch das Binom x - α ist gleich A (α) (d. h. dem Wert des Polynoms A (x) bei x = α).
Finden Sie den Rest, nachdem Sie das Polynom A(x) = x4 - 6x3 + 8 durch x + 2 dividiert haben.
Entscheidung. Nach dem Satz von Bezout ist der Rest der Division durch x + 2 A (-2) \u003d (-2) 4 - 6 (-2) 3 + 8 \u003d 72.
Eine bequeme Möglichkeit, die Werte eines Polynoms zu finden, wenn Wert einstellen Die Variable x wurde von dem englischen Mathematiker Williams George Horner (1786-1837) eingeführt. Dieses Verfahren wurde später Horners Schema genannt. Es besteht darin, eine zweizeilige Tabelle auszufüllen. Um beispielsweise A(-2) im vorherigen Beispiel zu berechnen, listen wir in der obersten Zeile der Tabelle die Koeffizienten auf gegebenes Polynom, geschrieben in der Standardform x4 - 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8.
Wir duplizieren den Koeffizienten mit dem höchsten Grad in der untersten Zeile und schreiben davor den Wert der Variablen x = -2, bei der der Wert des Polynoms berechnet wird. Daraus ergibt sich folgende Tabelle:
Wir füllen die leeren Zellen der Tabelle nach folgender Regel aus: Die ganz rechte Zahl der untersten Zeile wird mit -2 multipliziert und zur Zahl über der leeren Zelle addiert. Gemäß dieser Regel enthält die erste leere Zelle die Zahl (-2) 1 + (-6) = -8, die zweite Zelle die Zahl (-2) (-8) + 0 = 16, die dritte Zelle die Zahl (- 2) 16 + 0 = - 32, in letzter Käfig- Zahl (-2) (-32) + 8 \u003d 72. Die nach Horners Schema vollständig ausgefüllte Tabelle sieht folgendermaßen aus:
2 1 -8 16 -32 72
Die Zahl in der letzten Zelle ist der Rest der Division des Polynoms durch x + 2, A(-2) = 72.
Tatsächlich kann man aus der nach Horners Schema ausgefüllten Tabelle nicht nur den Rest, sondern auch den unvollständigen Quotienten aufschreiben
Q(x) \u003d x3 - 8x2 + 16x - 32, da die Zahl in der zweiten Zeile (nicht von der letzten gezählt) die Koeffizienten des Polynoms Q (x) sind - der unvollständige Quotient der Division durch x + 2.
Löse die Gleichung x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0
Wir schreiben alle Teiler des freien Terms der Gleichung aus: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
x=1, x=-2, x=3
Antwort: x = 1, x = -2, x = 3
2. SCHLUSSFOLGERUNG
Ich werde die wichtigsten Schlussfolgerungen über die geleistete Arbeit formulieren.
Während der Arbeit lernte ich die Geschichte der Entwicklung des Problems der Lösung einer Gleichung dritten Grades kennen. Die theoretische Bedeutung der erhaltenen Ergebnisse liegt in der Tatsache, dass sie bei der Lösung einiger Gleichungen dritten Grades bewusst an die Stelle der Cardano-Formel tritt. Ich habe dafür gesorgt, dass die Formel zur Lösung der Gleichung dritten Grades existiert, aber wegen ihrer Umständlichkeit ist sie nicht beliebt und nicht sehr zuverlässig, da sie nicht immer das Endergebnis erreicht.
In Zukunft können wir uns mit solchen Fragen beschäftigen: wie kann man im Voraus herausfinden, welche Wurzeln eine Gleichung dritten Grades hat; kann eine kubische gleichung gelöst werden grafisch wenn möglich, wie; Wie schätzt man ungefähr die Wurzeln einer kubischen Gleichung?
Unterrichtsziele.
- Das Wissen der Studierenden zum Thema „Gleichungen höherer Ordnung lösen“ vertiefen und das Unterrichtsmaterial zusammenfassen.
- Einführung in die Methoden zur Lösung von Gleichungen höheren Grades.
- Den Schülern beibringen, die Teilbarkeitstheorie beim Lösen von Gleichungen höheren Grades anzuwenden.
- Den Schülern beibringen, wie man ein Polynom durch die „Ecke“ in ein Polynom teilt.
- Entwickeln Sie Fähigkeiten und Fertigkeiten, um mit Gleichungen höheren Grades zu arbeiten.
Entwicklung:
- Entwicklung der Aufmerksamkeit der Schüler.
- Entwicklung der Fähigkeit, Arbeitsergebnisse zu erzielen.
- Entwicklung des Interesses am Erlernen der Algebra und selbstständiger Arbeitsfähigkeiten.
Pflege:
- Bewusstsein für Kollektivismus wecken.
- Bildung eines Verantwortungsbewusstseins für das Arbeitsergebnis.
- Bildung bei Studenten ausreichendes Selbstwertgefühl bei der Auswahl einer Note für die Arbeit im Unterricht.
Ausstattung: Computer, Beamer.
Während des Unterrichts
1 Arbeitsschritt. Zeit organisieren.
2 Arbeitsschritte. Motivation und Problemlösung
Gleichung eins von die wichtigsten Begriffe Mathematik. Die Entwicklung von Methoden zur Lösung von Gleichungen, ausgehend von der Geburt der Mathematik als Wissenschaft, lange Zeit war das Hauptfach des Studiums der Algebra.
BEIM Schulkurs Beim Studium der Mathematik wird viel Wert auf die Lösung verschiedener Arten von Gleichungen gelegt. Bis zur neunten Klasse konnten wir nur lineare und quadratische Gleichungen lösen. Gleichungen der dritten, vierten usw. Grade werden Gleichungen höheren Grades genannt. In der neunten Klasse lernten wir zwei grundlegende Methoden kennen, um einige Gleichungen dritten und vierten Grades zu lösen: das Zerlegen eines Polynoms in Faktoren und das Verwenden einer Variablenänderung.
Ist es möglich, Gleichungen höheren Grades zu lösen? Wir werden heute versuchen, eine Antwort auf diese Frage zu finden.
3 Arbeitsschritte. Wiederholen Sie zuvor gelerntes Material. Führen Sie das Konzept einer Gleichung höheren Grades ein.
1) Lösung einer linearen Gleichung.
Linear ist eine Gleichung der Form , wobei per Definition. Diese Gleichung hat nur eine Wurzel.
2) Lösung einer quadratischen Gleichung.
Eine Gleichung der Form 
, wo . Die Anzahl der Wurzeln und die Wurzeln selbst werden durch die Diskriminante der Gleichung bestimmt. Denn die Gleichung hat keine Wurzeln, denn sie hat eine Wurzel (zwei identische Wurzeln)
Aus den betrachteten linearen und quadratischen Gleichungen sehen wir, dass die Anzahl der Wurzeln der Gleichung nicht größer ist als ihr Grad. Im Laufe der höheren Algebra wird bewiesen, dass die Gleichung -ten Grades nicht mehr als n Wurzeln hat. Bei den Wurzeln selbst ist die Situation viel komplizierter. Für Gleichungen dritten und vierten Grades sind Formeln zur Wurzelfindung bekannt. Diese Formeln sind jedoch sehr komplex und umständlich und praktische Anwendung Nicht haben. Für Gleichungen des fünften und höheren Grades allgemeine Formeln existiert nicht und kann nicht existieren (wie im 19. Jahrhundert von N. Abel und E. Galois bewiesen wurde).
Wir nennen die Gleichungen die dritte, vierte usw. Grad durch Gleichungen höheren Grades. Einige Gleichungen hohe Abschlüsse kann mit zwei grundlegenden Techniken gelöst werden: Faktorisieren eines Polynoms in Faktoren oder Verwenden einer Variablenänderung.
3) Lösung der kubischen Gleichung.
Lösen wir die kubische Gleichung
Wir gruppieren die Terme des Polynoms auf der linken Seite der Gleichung und faktorisieren sie. Wir bekommen:
Das Produkt der Faktoren ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Wir erhalten drei lineare Gleichungen:
Diese kubische Gleichung hat also drei Wurzeln: ; ;.
4) Lösung der biquadratischen Gleichung.
Biquadratische Gleichungen sind sehr verbreitet, die die Form haben (d. h. Gleichungen, die in Bezug auf quadratisch sind). Um sie zu lösen, wird eine neue Variable eingeführt.
Wir werden entscheiden biquadratische gleichung.
Lassen Sie uns eine neue Variable einführen und eine quadratische Gleichung erhalten, deren Wurzeln die Zahlen und 4 sind.
Gehen wir zurück zur alten Variablen und erhalten zwei einfache quadratische Gleichungen:
(Wurzeln und ) (Wurzeln und )Diese biquadratische Gleichung hat also vier Wurzeln:
; ;
.
Versuchen wir, die Gleichung mit den oben genannten Methoden zu lösen.
SCHEITERN!!!
4 Arbeitsschritte. Geben Sie einige Aussagen über die Wurzeln eines Polynoms der Form , wo Polynom n Grad
Hier sind einige Aussagen über die Wurzeln eines Polynoms der Form:
1) Ein Polynom 1. Grades hat höchstens Nullstellen (unter Berücksichtigung ihrer Vielfachheiten). Beispielsweise kann ein Polynom dritten Grades nicht vier Nullstellen haben.
2) Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle. Zum Beispiel Polynome der ersten, dritten, fünften usw. Grad haben mindestens eine Wurzel. Polynome geraden Grades können Wurzeln haben oder nicht.
3) Wenn an den Enden des Segments die Werte des Polynoms unterschiedliche Vorzeichen haben (d. h. 
), dann enthält das Intervall mindestens eine Wurzel. Diese Aussage wird häufig zur ungefähren Berechnung der Wurzeln eines Polynoms verwendet.
4) Wenn die Zahl die Wurzel eines Polynoms der Form ist, dann kann dieses Polynom als Produkt dargestellt werden, wobei das Polynom (-ten Grades. Mit anderen Worten, das Polynom der Form kann ohne Rest durch die geteilt werden Binomial Dies ermöglicht es, die Gleichung des ten Grades auf die Gleichung (-ten Grades) zu reduzieren (den Grad der Gleichung reduzieren).
5) Wenn die Gleichung mit allen ganzzahligen Koeffizienten (im Übrigen der freie Term) eine ganzzahlige Wurzel hat, dann ist diese Wurzel ein Teiler des freien Terms. Eine solche Aussage ermöglicht es Ihnen, die ganze Wurzel des Polynoms zu wählen (falls vorhanden).
5 Arbeitsschritte. Zeigen Sie, wie die Teilbarkeitstheorie angewendet wird, um Gleichungen höheren Grades zu lösen. Betrachten Sie Beispiele zum Lösen von Gleichungen höheren Grades, bei denen die linke Seite mit der Methode der Division eines Polynoms durch ein Polynom durch eine „Ecke“ faktorisiert wird.
Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 
.
Damit haben wir die linke Seite der Gleichung tatsächlich in Faktoren zerlegt:
Das Produkt der Faktoren ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Wir erhalten zwei Gleichungen.
Kubische Gleichungen haben die Form Axt 3 + bx 2 + cx + d= 0). Eine Methode zur Lösung solcher Gleichungen ist seit mehreren Jahrhunderten bekannt (sie wurde im 16. Jahrhundert von italienischen Mathematikern entdeckt). Das Lösen einiger kubischer Gleichungen ist ziemlich schwierig, aber mit dem richtigen Ansatz (und gutes Level Theoretisches Wissen) werden Sie in der Lage sein, selbst die komplexesten kubischen Gleichungen zu lösen.
Schritte
Lösung mit einer Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung
- Wenn es einen Schnittpunkt gibt, verwenden Sie eine andere Lösungsmethode (siehe die folgenden Abschnitte).
-
Seit in gegebene Gleichung gibt es keinen freien Term, dann enthalten alle Terme dieser Gleichung eine Variable x (\displaystyle x), die eingeklammert werden können: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).
- Beispiel. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Wenn du es aushältst x (\displaystyle x) Klammern, bekommst du x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).
-
Beachten Sie, dass die Gleichung in Klammern eine quadratische Gleichung der Form ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), die mit der Formel ((- b +/-√ (). Löse eine quadratische Gleichung und du wirst eine kubische Gleichung lösen.
- Ersetzen Sie in unserem Beispiel die Werte der Koeffizienten ein (\displaystyle ein), b (\displaystyle b), c (\ displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) in die Formel: − b ± b 2 − 4 ein c 2 ein (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2 )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
- Lösung 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
- Lösung 2: 2 − 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))
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Denken Sie daran, dass quadratische Gleichungen zwei Lösungen haben, während kubische Gleichungen drei Lösungen haben. Sie haben zwei Lösungen einer quadratischen und damit kubischen Gleichung gefunden. In Fällen, in denen Sie "x" aus Klammern setzen, ist die dritte Lösung immer 0 (\displaystyle 0).
- Dies gilt, weil jede Zahl oder jeder Ausdruck mit multipliziert wird 0 (\displaystyle 0), gleich 0 (\displaystyle 0). Da hast du es ausgehalten x (\displaystyle x) aus Klammern, dann haben Sie die kubische Gleichung in zwei Faktoren zerlegt ( x (\displaystyle x) und eine quadratische Gleichung), von denen eine gleich sein muss 0 (\displaystyle 0) so dass die ganze Gleichung gleich ist 0 (\displaystyle 0).
Finden ganzer Lösungen durch Faktorisierung
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Überprüfe, ob die dir gegebene kubische Gleichung einen Achsenabschnitt hat. Das im vorherigen Abschnitt beschriebene Verfahren ist nicht geeignet, um kubische Gleichungen zu lösen, in denen ein freier Term vorhanden ist. In diesem Fall müssen Sie die in diesem oder dem nächsten Abschnitt beschriebene Methode verwenden.
- Beispiel. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Hier, bewege einen losen Schwanz d = − 6 (\displaystyle d=-6) auf die linke Seite der Gleichung, so dass rechte Seite werden 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).
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Finden Sie Koeffizientenmultiplikatoren ein (\displaystyle ein)(Koeffizient bei x 3 (\displaystyle x^(3))) und kostenloses Mitglied d (\ displaystyle d). Faktoren einer Zahl sind Zahlen, die multipliziert ergeben ursprüngliche Nummer. Zum Beispiel die Faktoren der Zahl 6 (\displaystyle 6) sind die Zahlen 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\times 1) und 2 × 3 (\displaystyle 2\times 3)).
- In unserem Beispiel a = 2 (\displaystyle a=2) und d = 6 (\displaystyle d=6). Multiplikatoren 2 (\displaystyle 2) sind Zahlen 1 (\displaystyle 1) und 2 (\displaystyle 2). Multiplikatoren 6 (\displaystyle 6) sind Zahlen 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), und 6 (\displaystyle 6).
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Koeffizientenmultiplikatoren dividieren ein (\displaystyle ein) durch Faktoren der freien Laufzeit d (\ displaystyle d). Sie erhalten Brüche und ganze Zahlen. Die ganzzahlige Lösung der Ihnen gegebenen kubischen Gleichung ist entweder eine dieser ganzen Zahlen oder der negative Wert einer dieser ganzen Zahlen.
- Dividieren Sie in unserem Beispiel die Faktoren ein (\displaystyle ein) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) nach Faktoren d (\ displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) und bekomme: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) und . Fügen Sie nun zu dieser Zahlenreihe ihre hinzu negative Werte: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) und − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Die ganzzahligen Lösungen der Ihnen gegebenen kubischen Gleichung befinden sich in dieser Zahlenreihe.
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Jetzt kannst du ganzzahlige Lösungen für deine kubische Gleichung finden, indem du ganze Zahlen aus der gefundenen Zahlenreihe einsetzt. Aber wenn Sie keine Zeit damit verschwenden wollen, verwenden Sie. Dieses Schema beinhaltet die Aufteilung von ganzen Zahlen in Werte ein (\displaystyle ein), b (\displaystyle b), c (\ displaystyle c), d (\ displaystyle d) gegebene kubische Gleichung. Wenn der Rest ist 0 (\displaystyle 0), die ganze Zahl ist eine der Lösungen der kubischen Gleichung.
- Horners Teilung ist kein einfaches Thema; bekommen Weitere Informationen folgen Sie dem oben angegebenen Link. Hier ist ein Beispiel dafür, wie Sie eine der Lösungen einer kubischen Gleichung finden, die Ihnen mithilfe der Horner-Division gegeben wird: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Da der Rest 0 (\displaystyle 0), dann ist eine der Lösungen der Gleichung eine ganze Zahl − 1 (\displaystyle -1).
Verwendung der Diskriminante
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Bei dieser Methode arbeiten Sie mit Koeffizientenwerten ein (\displaystyle ein), b (\displaystyle b), c (\ displaystyle c), d (\ displaystyle d). Daher ist es besser, die Werte dieser Koeffizienten im Voraus aufzuschreiben.
- Beispiel. math>x^3-3x^2+3x-1. Hier a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). Vergiss das nicht wann x (\displaystyle x) es gibt keinen Koeffizienten, das bedeutet, dass der Koeffizient gleich ist 1 (\displaystyle 1).
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Berechnung △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). Diese Methode erfordert einige komplizierte Berechnungen, aber wenn Sie sie verstehen, werden Sie in der Lage sein, die komplexesten kubischen Gleichungen zu lösen. Um zu beginnen, berechnen Sie △ 0 (\displaystyle \triangle _(0)), eine von mehreren wichtigen Größen, die wir benötigen, indem wir die entsprechenden Werte in die Formel einsetzen.
- In unserem Beispiel: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\triangle _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\triangle _(1))
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Berechnen Sie Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 a 2 . Berechnen Sie nun die Diskriminante der Gleichung mit den gefundenen Werten von Δ0 und Δ1. Die Diskriminante ist eine Zahl, die Ihnen Informationen über die Wurzeln eines Polynoms gibt (Sie wissen vielleicht bereits, dass die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ist b 2 - 4ac). Im Fall einer kubischen Gleichung hat die Gleichung drei Lösungen, wenn die Diskriminante positiv ist; wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die Gleichung eine oder zwei Lösungen; Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die Gleichung nur eine Lösung. Eine kubische Gleichung hat immer mindestens eine Lösung, weil der Graph einer solchen Gleichung die x-Achse in mindestens einem Punkt schneidet.
- Wenn Sie die entsprechenden Werte der Mengen in diese Formel einsetzen, erhalten Sie mögliche Lösungen die Ihnen gegebene kubische Gleichung. Setzen Sie sie in die ursprüngliche Gleichung ein und wenn Gleichheit erfüllt ist, dann sind die Lösungen richtig. Wenn Sie beispielsweise die Werte in die Formel einsetzen und 1 erhalten, setzen Sie die 1 ein x 3 - 3x 2 + 3x- 1 und 0 erhalten. Das heißt, Gleichheit wird beobachtet, und 1 ist eine der Lösungen der Ihnen gegebenen kubischen Gleichung.
Wie oben erwähnt, haben die kubischen Gleichungen die Form a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), wobei die Koeffizienten c (\ displaystyle c) und d (\ displaystyle d) kann gleich sein 0 (\displaystyle 0), das heißt, eine kubische Gleichung kann nur aus einem Term (mit einer Variablen dritten Grades) bestehen. Überprüfen Sie zuerst, ob die Ihnen gegebene kubische Gleichung einen Achsenabschnitt hat, d.h. d (\ displaystyle d). Wenn kein freier Term vorhanden ist, können Sie diese kubische Gleichung mit der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung lösen.
