Lektionen 32-33. Umkehren trigonometrische Funktionen

09.07.2015 5917 0

Ziel: Betrachten Sie inverse trigonometrische Funktionen, ihre Verwendung zum Schreiben von Lösungen trigonometrische Gleichungen.

I. Vermittlung von Thema und Zielen des Unterrichts

II. Neues Material lernen

1. Inverse trigonometrische Funktionen

Beginnen wir dieses Thema mit dem folgenden Beispiel.

Beispiel 1

Lösen wir die Gleichung: a) sin x = 1/2; b) Sünde x \u003d a.

a) Legen Sie auf der Ordinatenachse den Wert 1/2 beiseite und tragen Sie die Winkel ein x 1 und x2, wofür Sünde x = 1/2. In diesem Fall ist x1 + x2 = π, also x2 = π – x 1 . Gemäß der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen finden wir dann den Wert x1 = π/6Wir berücksichtigen die Periodizität der Sinusfunktion und schreiben die Lösungen auf gegebene Gleichung: wobei k ∈ Z .

b) Es ist offensichtlich, dass der Algorithmus zum Lösen der Gleichung Sünde x = a ist dasselbe wie im vorigen Absatz. Natürlich ist jetzt der Wert von a entlang der y-Achse aufgetragen. Es besteht die Notwendigkeit, den Winkel x1 irgendwie zu bezeichnen. Wir haben uns darauf geeinigt, einen solchen Winkel mit dem Symbol zu kennzeichnen Bogensünde a. Dann können die Lösungen dieser Gleichung geschrieben werden alsDiese beiden Formeln können zu einer kombiniert werden: dabei

Andere inverse trigonometrische Funktionen werden ähnlich eingeführt.

Sehr oft ist es notwendig, den Wert des Winkels durch zu bestimmen bekannter Wert seine trigonometrische Funktion. Ein solches Problem ist mehrwertig - es gibt unendlich viele Winkel, deren trigonometrische Funktionen denselben Wert haben. Ausgehend von der Monotonie trigonometrischer Funktionen, z eindeutige Definition Winkel führen die folgenden inversen trigonometrischen Funktionen ein.

Der Arkussinus von a (Arkussin , dessen Sinus gleich a ist, also

Arkuskosinus einer Zahl ein (Arccos a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervall, dessen Kosinus gleich a ist, d.h.

Arkustangens einer Zahl ein (Arktg a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervalldessen Tangens a ist, d.h.tg a = a.

Arkustangens einer Zahl ein (Arktg a) - ein solcher Winkel a aus dem Intervall (0; π), dessen Kotangens gleich a ist, d.h. ctg a = a.

Beispiel 2

Lass uns finden:

Angesichts der Definitionen von inversen trigonometrischen Funktionen erhalten wir:

Beispiel 3

Berechnen

Sei Winkel a = arcsin 3/5, dann per Definition sin a = 3/5 und . Deshalb müssen wir finden cos a. Verwenden der wichtigsten trigonometrische Identität, wir bekommen:Es wird berücksichtigt, dass cos a ≥ 0 ist. Also

Funktionseigenschaften	Funktion
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
Domain	x ∈ [-1; ein]	x ∈ [-1; ein]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Wertebereich	y ∈ [-π/2 ; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Parität	seltsam	Weder gerade noch ungerade	seltsam	Weder gerade noch ungerade
Funktionsnullstellen (y = 0)	Wenn x = 0	Für x = 1	Wenn x = 0	y ≠ 0
Konstanzintervalle	y > 0 für x ∈ (0; 1], beim< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 für x ∈ [-1; ein)	y > 0 für x ∈ (0; +∞), beim< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 für x ∈ (-∞; +∞)
Monoton	Zunehmend	Sinkt	Zunehmend	Sinkt
Zusammenhang mit der trigonometrischen Funktion	Sünde y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
Plan

Nehmen wir eine andere Serie typische Beispiele im Zusammenhang mit den Definitionen und grundlegenden Eigenschaften von inversen trigonometrischen Funktionen.

Beispiel 4

Finde den Definitionsbereich der Funktion

Damit die Funktion y definiert werden kann, ist es notwendig, dass die Ungleichungwas dem Ungleichungssystem entsprichtDie Lösung der ersten Ungleichung ist das Intervall x∈ (-∞; +∞), die zweite - Dieses Intervall und ist eine Lösung für das System der Ungleichungen und damit der Bereich der Funktion

Beispiel 5

Finden Sie den Änderungsbereich der Funktion

Betrachten Sie das Verhalten der Funktion z \u003d 2x - x2 (siehe Abbildung).

Man sieht, dass z ∈ (-∞; 1). Da das Argument z Die Funktion des umgekehrten Tangens variiert innerhalb der angegebenen Grenzen, aus den Daten in der Tabelle erhalten wir diesAlso der Bereich der Veränderung

Beispiel 6

Beweisen wir, dass die Funktion y = arctg x ungerade. LassenDann tg a \u003d -x oder x \u003d - tg a \u003d tg (- a) und Daher - a \u003d arctg x oder a \u003d - arctg X. So sehen wir dasd.h. y(x) ist eine ungerade Funktion.

Beispiel 7

Wir drücken in Bezug auf alle inversen trigonometrischen Funktionen aus

Lassen Es ist klar, dass Dann seit

Lassen Sie uns einen Winkel einführen Als dann

Also ähnlich und

So,

Beispiel 8

Lassen Sie uns ein Diagramm der Funktion y \u003d erstellen cos (Arkussin x).

Bezeichnen Sie dann a \u003d arcsin x Wir berücksichtigen, dass x \u003d sin a und y \u003d cos a, d.h. x 2 + y2 = 1, und Beschränkungen auf x (x∈ [-ein; 1]) und y (y ≥ 0). Dann der Graph der Funktion y = cos (Arkussin x) ist ein Halbkreis.

Beispiel 9

Lassen Sie uns ein Diagramm der Funktion y \u003d erstellen arccos(cosx).

Da die Funktion cos x ändert sich auf dem Segment [-1; 1], dann ist die Funktion y insgesamt definiert numerische Achse und Änderungen auf dem Segment . Wir werden uns merken, dass y = arccos(cosx) \u003d x auf dem Segment; die Funktion y ist gerade und periodisch mit einer Periode von 2π. In Anbetracht dessen, dass die Funktion diese Eigenschaften hat cos x , Jetzt ist es einfach zu plotten.

Wir stellen einige nützliche Gleichungen fest:

Beispiel 10

Finden Sie die kleinste und größten Wert Funktionen Bezeichnen dann Holen Sie sich eine Funktion Diese Funktion hat an der Stelle ein Minimum z = π/4, und es ist gleich Der Maximalwert der Funktion wird an der Stelle erreicht z = -π/2, und es ist gleich So und

Beispiel 11

Lösen wir die Gleichung

Das berücksichtigen wir Dann sieht die Gleichung so aus:oder wo Durch Definition des Arcustangens erhalten wir:

2. Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Ähnlich wie in Beispiel 1 erhalten Sie Lösungen für die einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Die gleichung	Entscheidung
tgx = a
ctgx = a

Beispiel 12

Lösen wir die Gleichung

Da die Sinusfunktion ungerade ist, schreiben wir die Gleichung in der FormLösungen dieser Gleichung:wo finden wir

Beispiel 13

Lösen wir die Gleichung

Nach obiger Formel schreiben wir die Lösungen der Gleichung:und finde

Beachten Sie, dass in bestimmten Fällen (a = 0; ±1) beim Lösen der Gleichungen sin x = a und cos x = a ist einfacher und bequemer nicht zu verwenden allgemeine Formeln, und schreiben Sie Lösungen basierend auf Einheitskreis:

für die Gleichung sin x = 1 Lösung

für die Gleichung sin x \u003d 0 Lösungen x \u003d π k;

für die Gleichung sin x = -1 Lösung

für die Gleichung cos x = 1 Lösungen x = 2π k;

für die Gleichung cos x = 0 Lösungen

für die Gleichung cos x = -1 Lösung

Beispiel 14

Lösen wir die Gleichung

Seit in dieses Beispiel erhältlich besonderer Fall Gleichungen, dann schreiben wir nach der entsprechenden Formel die Lösung:wo finden wir

III. Testfragen(Frontumfrage)

1. Definieren und listen Sie die Haupteigenschaften inverser trigonometrischer Funktionen auf.

2. Geben Sie Graphen von inversen trigonometrischen Funktionen an.

3. Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

IV. Aufgabe im Unterricht

§ 15 Nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16 Nr. 4 (a, b); 7(a); 8(b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17 Nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9(b); 10 (a,c).

V. Hausaufgaben

§ 15 Nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8(b); 12(a); 13(b); 15 (d); 16(b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

§ 16 Nr. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19 (a, b);

§ 17 Nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Kreative Aufgaben

1. Ermitteln Sie den Umfang der Funktion:

Antworten :

2. Finden Sie den Bereich der Funktion:

Antworten:

3. Stellen Sie die Funktion graphisch dar:

VII. Zusammenfassung der Lektionen

Inverse trigonometrische Funktionen sind mathematische Funktionen, die die Umkehrung trigonometrischer Funktionen sind.

Funktion y=arcsin(x)

Der Arkussinus der Zahl α ist eine solche Zahl α aus dem Intervall [-π/2;π/2], deren Sinus gleich α ist.
Funktionsgraph
Die Funktion y \u003d sin⁡ (x) im Intervall [-π / 2; π / 2] ist streng steigend und stetig; deshalb hat sie Umkehrfunktion, streng ansteigend und kontinuierlich.
Die Umkehrfunktion für die Funktion y= sin⁡(x), wobei x ∈[-π/2;π/2], heißt Arkussinus und wird als y=arcsin(x) bezeichnet, wobei x∈[-1;1 ].
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkussinus also das Segment [-1; 1], und die Wertemenge ist das Segment [-π/2; π/2].
Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arcsin(x), wobei x ∈[-1;1]., symmetrisch zum Graph der Funktion y= sin(⁡x) ist, wobei x∈[-π/2;π]. /2], bezogen auf die Winkelhalbierende der Koordinatenwinkel erstes und drittes Viertel.

Der Gültigkeitsbereich der Funktion y=arcsin(x).

Beispiel Nummer 1.

arcsin(1/2) finden?

Da der Wertebereich der Funktion arcsin(x) zum Intervall [-π/2;π/2] gehört, ist nur der Wert π/6 geeignet, also arcsin(1/2) = π/6.
Antwort: π/6

Beispiel #2.
arcsin(-(√3)/2) finden?

Da die Gegend Arcsin-Werte(x) x ∈[-π/2;π/2], dann ist nur der Wert -π/3 geeignet, also arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Funktion y=arccos(x)

Der Arkuskosinus einer Zahl α ist eine Zahl α aus dem Intervall, dessen Kosinus gleich α ist.

Funktionsgraph

Die Funktion y= cos(⁡x) auf dem Intervall ist streng fallend und stetig; Daher hat es eine umgekehrte Funktion, die streng abnehmend und kontinuierlich ist.
Die Umkehrfunktion zur Funktion y= cos⁡x, mit x ∈, wird aufgerufen Arkuskosinus und bezeichnet y=arccos(x), wobei x ∈[-1;1].
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkuskosinus also das Segment [-1; 1], und die Wertemenge ist das Segment.
Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arccos(x), mit x ∈[-1;1], symmetrisch zum Graphen der Funktion y= cos(⁡x), mit x ∈, in Bezug auf die Winkelhalbierende von ist Koordinatenwinkel des ersten und dritten Viertels.

Der Geltungsbereich der Funktion y=arccos(x).

Beispiel #3.

arccos(1/2) finden?

Da der Wertebereich von arccos(x) gleich x∈ ist, ist nur der Wert π/3 geeignet, also arccos(1/2) =π/3.
Beispiel Nummer 4.
arccos(-(√2)/2) finden?

Da der Wertebereich der Funktion arccos(x) zum Intervall gehört, ist nur der Wert 3π/4 geeignet, also arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Antwort: 3π/4

Funktion y=arctg(x)

Der Arkustangens einer Zahl α ist eine solche Zahl α aus dem Intervall [-π/2;π/2], deren Tangens gleich α ist.

Funktionsgraph

Die Tangensfunktion ist stetig und streng steigend auf dem Intervall (-π/2; π/2); daher hat es eine Umkehrfunktion, die kontinuierlich und strikt ansteigend ist.
Die Umkehrfunktion für die Funktion y= tg⁡(x), wobei x∈(-π/2;π/2); wird Arkustangens genannt und mit y=arctg(x) bezeichnet, wobei x∈R.
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion ist der Definitionsbereich des Arkustangens also das Intervall (-∞; +∞), und die Wertemenge ist das Intervall
(-π/2;π/2).
Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arctg(x), wobei x∈R, symmetrisch zum Graphen der Funktion y=tg⁡x ist, wobei x ∈ (-π/2;π/2), in Bezug auf die Winkelhalbierende der Koordinatenwinkel des ersten und dritten Viertels.

Der Geltungsbereich der Funktion y=arctg(x).

Beispiel #5?

Finde arctg((√3)/3).

Da der Wertebereich von arctan(x) x ∈(-π/2;π/2) ist nur der Wert π/6 geeignet, also arctg((√3)/3) =π/6.
Beispiel Nummer 6.
arctg(-1) finden?

Da der Wertebereich von arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) ist, ist nur der Wert -π/4 geeignet, also arctg(-1) = - π/4.

Funktion y=arctg(x)

Der Arkustangens einer Zahl α ist eine solche Zahl α aus dem Intervall (0; π), deren Kotangens gleich α ist.

Funktionsgraph

Auf dem Intervall (0;π) nimmt die Kotangensfunktion strikt ab; außerdem ist es an jedem Punkt dieses Intervalls kontinuierlich; daher hat diese Funktion auf dem Intervall (0;π) eine Umkehrfunktion, die streng abnehmend und kontinuierlich ist.
Die Umkehrfunktion für die Funktion y=ctg(x) mit x ∈(0;π) heißt Bogenkotangens und wird mit y=arcctg(x) bezeichnet, wobei x∈R.
Gemäß der Definition der Umkehrfunktion wird der Definitionsbereich des Umkehrtangens also sein R Werte – Intervall (0; π) Der Graph der Funktion y=arcctg(x), wobei x∈R symmetrisch zum Graph der Funktion y=ctg(x) x∈(0; π), mit ist bezüglich der Winkelhalbierenden der Koordinatenwinkel des ersten und dritten Viertels.

Der Geltungsbereich der Funktion y=arcctg(x).

Beispiel Nummer 7.
arcctg((√3)/3) finden?

Da der Wertebereich von arcctg(x) x ∈(0;π) ist, ist nur der Wert π/3 geeignet, also arccos((√3)/3) =π/3.

Beispiel Nummer 8.
arcctg(-(√3)/3) finden?

Da der Wertebereich von arcctg(x) x∈(0;π) ist, ist nur der Wert 2π/3 geeignet, also arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Herausgeber: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Es werden Definitionen von inversen trigonometrischen Funktionen und ihren Graphen gegeben. Sowie Formeln zu inversen trigonometrischen Funktionen, Formeln für Summen und Differenzen.

Definition von inversen trigonometrischen Funktionen

Da trigonometrische Funktionen periodisch sind, sind die zu ihnen inversen Funktionen nicht einwertig. Also, die Gleichung y = Sünde x, denn gegeben , hat unendlich viele Wurzeln. In der Tat, aufgrund der Periodizität des Sinus, wenn x eine solche Wurzel ist, dann x + 2n(wobei n eine ganze Zahl ist) ist auch die Wurzel der Gleichung. Auf diese Weise, inverse trigonometrische Funktionen sind mehrwertig. Um die Arbeit mit ihnen zu erleichtern, wird das Konzept ihrer Hauptwerte eingeführt. Betrachten Sie zum Beispiel den Sinus: y = Sünde x. Beschränken wir das Argument x auf das Intervall , dann darauf die Funktion y = Sünde x steigt monoton an. Daher hat es eine einwertige Umkehrfunktion, die Arkussinus genannt wird: x = arcsin y.

Sofern nicht anders angegeben, bedeuten inverse trigonometrische Funktionen ihre Hauptwerte, die durch die folgenden Definitionen definiert sind.

Arkussinus ( y= arcsin x) ist die Umkehrfunktion des Sinus ( x= siny

Arkuskosinus ( y= arccos x) ist die Umkehrfunktion des Kosinus ( x= lauschig), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat.

Arkustangens ( y= arctg x) ist die Umkehrfunktion des Tangens ( x= tg y), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat.

Arcustangens ( y= arcctg x) ist die Umkehrfunktion des Kotangens ( x= ctg y), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat.

Graphen von inversen trigonometrischen Funktionen

Graphen inverser trigonometrischer Funktionen werden aus Graphen trigonometrischer Funktionen erhalten Spiegelbild relativ zur Geraden y = x . Siehe Abschnitte Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Grundlegende Formeln

Dabei ist besonders darauf zu achten, für welche Intervalle die Formeln gelten.

arcsin(sin x) = x beim
sin(Arkussin x) = x
arccos(cosx) = x beim
cos(arcos x) = x

arctg(tg x) = x beim
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x beim
ctg(arctg x) = x

Formeln zu inversen trigonometrischen Funktionen

Summen- und Differenzenformeln

bei oder

bei und

bei und

bei oder

bei und

bei und

beim

beim

beim

beim

Die Funktionen sin, cos, tg und ctg werden immer von Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens begleitet. Das eine folgt aus dem anderen, und Funktionspaare sind ebenso wichtig für die Arbeit mit trigonometrischen Ausdrücken.

Betrachten Sie das Zeichnen eines Einheitskreises, der die Werte trigonometrischer Funktionen grafisch darstellt.

Wenn Sie die Bögen OA, arcos OC, arctg DE und arcctg MK berechnen, sind sie alle gleich dem Wert des Winkels α. Die folgenden Formeln spiegeln die Beziehung zwischen den wichtigsten trigonometrischen Funktionen und ihren entsprechenden Bögen wider.

Um mehr über die Eigenschaften des Arkussinus zu verstehen, ist es notwendig, seine Funktion zu betrachten. Plan hat die Form einer asymmetrischen Kurve, die durch den Koordinatenmittelpunkt verläuft.

Arcussinus-Eigenschaften:

Wenn wir Diagramme vergleichen Sünde und Bogensünde, können zwei trigonometrische Funktionen gemeinsame Muster finden.

Arkuskosinus

Arccos der Zahl a ist der Wert des Winkels α, dessen Kosinus gleich a ist.

Kurve y = Bogen x spiegelt den Plot von arcsin x wider, mit dem einzigen Unterschied, dass er durch den Punkt π/2 auf der OY-Achse verläuft.

Betrachten Sie die Arkuskosinusfunktion genauer:

1. Die Funktion wird auf dem Segment [-1; ein].
2. ODZ für arccos - .
3. Der Graph befindet sich vollständig in den Vierteln I und II, und die Funktion selbst ist weder gerade noch ungerade.
4. Y = 0 für x = 1.
5. Die Kurve nimmt über ihre gesamte Länge ab. Einige Eigenschaften des Arkuskosinus sind die gleichen wie bei der Kosinusfunktion.

Einige Eigenschaften des Arkuskosinus sind die gleichen wie bei der Kosinusfunktion.

Es ist möglich, dass ein solches „detailliertes“ Studium der „Bögen“ Schulkindern überflüssig erscheint. Ansonsten aber einiges elementar typische Aufgaben Einheitliche Staatsexamen können Studenten in eine Sackgasse führen.

Übung 1. Geben Sie die in der Abbildung gezeigten Funktionen an.

Antworten: Reis. Abb. 1 - 4, Abb. 2 - 1.

In diesem Beispiel liegt die Betonung auf den kleinen Dingen. Normalerweise sind die Schüler sehr unaufmerksam gegenüber der Konstruktion von Graphen und dem Auftreten von Funktionen. In der Tat, warum sich die Form der Kurve merken, wenn sie immer aus berechneten Punkten aufgebaut werden kann. Vergessen Sie nicht, dass unter Testbedingungen die Zeit für das Zeichnen aufgewendet wird eine einfache Aufgabe für komplexere Aufgaben erforderlich.

Arkustangens

Arctg die Zahl a ist ein solcher Wert des Winkels α, dass seine Tangente gleich a ist.

Betrachten wir den Plot des Arkustangens, so können wir folgende Eigenschaften unterscheiden:

1. Der Graph ist unendlich und auf dem Intervall (- ∞; + ∞) definiert.
2. Arkustangens komische Funktion, also arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 für x = 0.
4. Die Kurve steigt über den gesamten Definitionsbereich an.

Hier ist eine kurze vergleichende Analyse tg x und arctg x als Tabelle.

Bogentangente

Arcctg der Zahl a - nimmt einen solchen Wert von α aus dem Intervall (0; π), dass sein Kotangens gleich a ist.

Eigenschaften der Arcus-Cotangens-Funktion:

1. Das Funktionsdefinitionsintervall ist unendlich.
2. Region zulässige Werte ist das Intervall (0; π).
3. F(x) ist weder gerade noch ungerade.
4. Über seine gesamte Länge nimmt der Graph der Funktion ab.

Der Vergleich von ctg x und arctg x ist sehr einfach, Sie müssen nur zwei Zeichnungen zeichnen und das Verhalten der Kurven beschreiben.

Aufgabe 2. Korrelieren Sie den Graphen und die Form der Funktion.

Logischerweise zeigen die Grafiken, dass beide Funktionen zunehmen. Daher zeigen beide Figuren eine arctg-Funktion. Aus den Eigenschaften des Arcustangens ist bekannt, dass y=0 für x = 0,

Antworten: Reis. 1 - 1, Abb. 2-4.

Trigonometrische Identitäten arcsin, arcos, arctg und arcctg

Zuvor haben wir bereits die Beziehung zwischen Bögen und den Hauptfunktionen der Trigonometrie identifiziert. Diese Abhängigkeit kann durch eine Reihe von Formeln ausgedrückt werden, die es ermöglichen, beispielsweise den Sinus eines Arguments durch seinen Arcussinus, Arkuskosinus oder umgekehrt auszudrücken. Die Kenntnis solcher Identitäten kann beim Lösen spezifischer Beispiele nützlich sein.

Es gibt auch Verhältnisse für arctg und arcctg:

Ein weiteres nützliches Formelpaar legt den Wert für die Summe der arcsin- und arcos- und arcctg- und arcctg-Werte desselben Winkels fest.

Beispiele für Problemlösungen

Trigonometrie-Aufgaben lassen sich in vier Gruppen einteilen: Berechnen numerischer Wert einen bestimmten Ausdruck, erstellen Sie einen Graphen dieser Funktion, finden Sie ihren Definitionsbereich oder ODZ und führen Sie analytische Transformationen durch, um das Beispiel zu lösen.

Bei der Lösung der ersten Art von Problemen ist es notwendig, sich daran zu halten nächsten Plan Aktionen:

Bei der Arbeit mit Funktionsgraphen geht es vor allem um die Kenntnis ihrer Eigenschaften und Aussehen krumm. Identitätstabellen werden benötigt, um trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen zu lösen. Je mehr Formeln sich der Schüler merken kann, desto einfacher ist es, die Antwort auf die Aufgabe zu finden.

Angenommen, in der Prüfung muss die Antwort für eine Gleichung des Typs gefunden werden:

Wenn Sie den Ausdruck richtig transformieren und zu führen die richtige Sorte, dann ist es sehr einfach und schnell zu lösen. Lassen Sie uns zuerst arcsin x verschieben rechte Seite Gleichberechtigung.

Wenn wir uns an die Formel erinnern arcsin (sinα) = α, dann können wir die Suche nach Antworten auf die Lösung eines Systems aus zwei Gleichungen reduzieren:

Die Beschränkung auf das Modell x ergab sich wiederum aus den Eigenschaften von arcsin: ODZ für x [-1; ein]. Wenn a ≠ 0 ist, ist ein Teil des Systems quadratische Gleichung mit Wurzeln x1 = 1 und x2 = - 1/a. Bei a = 0 ist x gleich 1.