Vergleichen Sie Größen und Mengen beim Lösen praktische Aufgaben seit der Antike hatte. Gleichzeitig erschienen Wörter wie mehr und weniger, höher und niedriger, leichter und schwerer, leiser und lauter, billiger und teurer usw., die die Ergebnisse des Vergleichs homogener Mengen bezeichnen.

Die Begriffe Mehr und Weniger entstanden im Zusammenhang mit dem Zählen von Gegenständen, dem Messen und Vergleichen von Mengen. Zum Beispiel wussten die Mathematiker des antiken Griechenlands, dass die Seite jedes Dreiecks kleiner ist als die Summe der beiden anderen Seiten und das Gegenteil größeren Winkel Die längste Seite ist im Dreieck. Archimedes fand bei der Berechnung des Umfangs eines Kreises heraus, dass der Umfang jedes Kreises gleich dem Dreifachen des Durchmessers ist, mit einem Überschuss, der weniger als ein Siebtel des Durchmessers, aber mehr als zehn Einundsiebzigsten des Durchmessers beträgt.

Schreiben Sie Beziehungen zwischen Zahlen und Mengen symbolisch mit den Zeichen > und b. Einträge, bei denen zwei Zahlen durch eines der Zeichen verbunden sind: > (größer als), stießen Sie ebenfalls auf numerische Ungleichungen niedrigere Noten. Sie wissen, dass Ungleichheiten wahr sein können oder nicht. Beispielsweise ist \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) richtig numerische Ungleichheit, 0,23 > 0,235 - falsche numerische Ungleichung.

Ungleichungen, die Unbekannte enthalten, können für einige Werte der Unbekannten wahr und für andere falsch sein. Beispielsweise ist die Ungleichung 2x+1>5 wahr für x = 3, aber falsch für x = -3. Für eine Ungleichung mit einer Unbekannten können Sie die Aufgabe stellen: Lösen Sie die Ungleichung. Probleme der Lösung von Ungleichungen werden in der Praxis nicht weniger häufig gestellt und gelöst als Probleme der Lösung von Gleichungen. Zum Beispiel viele Wirtschaftsprobleme auf das Studium und die Lösung linearer Ungleichungssysteme reduziert. In vielen Zweigen der Mathematik sind Ungleichungen häufiger als Gleichungen.

Einige Ungleichheiten sind die einzigen Hilfsmittel, mit dem Sie die Existenz eines bestimmten Objekts beweisen oder widerlegen können, beispielsweise die Wurzel einer Gleichung.

Numerische Ungleichungen

Kann man ganze Zahlen vergleichen? Dezimalstellen. Kenne die Vergleichsregeln gewöhnliche Brüche mit gleichen Nennern, aber unterschiedlichen Zählern; mit den gleichen Zählern, aber verschiedene Nenner. Hier lernst du, wie man zwei beliebige Zahlen vergleicht, indem man das Vorzeichen ihrer Differenz findet.

Der Vergleich von Zahlen ist in der Praxis weit verbreitet. Zum Beispiel vergleicht ein Wirtschaftswissenschaftler geplante Indikatoren mit tatsächlichen, ein Arzt vergleicht die Temperatur eines Patienten mit der normalen, ein Dreher vergleicht die Abmessungen eines bearbeiteten Teils mit einem Standard. In all diesen Fällen werden einige Zahlen verglichen. Durch den Vergleich von Zahlen entstehen numerische Ungleichheiten.

Definition. Nummer a mehr Nummer b wenn Unterschied a-b positiv. Nummer a weniger als Zahl b wenn die Differenz a-b negativ ist.

Wenn a größer als b ist, dann schreiben sie: a > b; ist a kleiner als b, dann schreiben sie: a Die Ungleichung a > b bedeutet also, dass die Differenz a - b positiv ist, d.h. a - b > 0. Ungleichung a Für zwei beliebige Zahlen a und b aus den folgenden drei Relationen a > b, a = b, a Satz. Wenn a > b und b > c, dann a > c.

Satz. Wird auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Zahl addiert, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht.
Folge. Jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung in einen anderen übertragen werden, indem das Vorzeichen dieses Terms in das Gegenteil geändert wird.

Satz. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit dem gleichen multipliziert werden positive Zahl, dann ändert sich das Ungleichheitszeichen nicht. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit dem gleichen multipliziert werden eine negative Zahl, dann wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt.
Folge. Wenn beide Teile der Ungleichung durch dieselbe positive Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Teile der Ungleichung durch dieselbe negative Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung ins Gegenteil.

Wissen Sie, dass numerische Gleichheiten Sie können Term für Term addieren und multiplizieren. Als Nächstes lernen Sie, wie Sie ähnliche Aktionen mit Ungleichungen ausführen. Die Möglichkeit, Ungleichungen Term für Term zu addieren und zu multiplizieren, wird in der Praxis häufig genutzt. Diese Aktionen helfen Ihnen, die Probleme beim Auswerten und Vergleichen von Ausdruckswerten zu lösen.

Bei der Entscheidung mehrere Aufgaben oft muss man Term für Term die linke und rechte Seite der Ungleichungen addieren oder multiplizieren. Es wird manchmal gesagt, dass Ungleichheiten addiert oder multipliziert werden. Wenn zum Beispiel ein Tourist am ersten Tag mehr als 20 km und am zweiten Tag mehr als 25 km gelaufen ist, dann kann man argumentieren, dass er in zwei Tagen mehr als 45 km gelaufen ist. Wenn die Länge eines Rechtecks ​​weniger als 13 cm und die Breite weniger als 5 cm beträgt, kann argumentiert werden, dass die Fläche dieses Rechtecks ​​weniger als 65 cm2 beträgt.

Bei der Betrachtung dieser Beispiele gilt Folgendes Sätze über Addition und Multiplikation von Ungleichungen:

Satz. Wenn wir Ungleichungen mit demselben Vorzeichen addieren, erhalten wir eine Ungleichung mit demselben Vorzeichen: Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d.

Satz. Bei der Multiplikation von Ungleichungen gleichen Vorzeichens, bei denen der linke und rechte Teil positiv sind, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens: Wenn a > b, c > d und a, b, c, d positive Zahlen sind, dann ist ac > bd.

Vorzeichenbehaftete Ungleichungen > (größer als) und 1/2, 3/4 b, c Zusammen mit Vorzeichen strenge Ungleichheiten> und Ebenso bedeutet die Ungleichung \(a \geq b \), dass die Zahl a größer oder gleich b ist, also a nicht kleiner als b ist.

Ungleichungen, die das Vorzeichen \(\geq \) oder das Vorzeichen \(\leq \) enthalten, heißen nicht-strikt. Beispielsweise sind \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) keine strikten Ungleichungen.

Alle Eigenschaften strenger Ungleichungen gelten auch für nicht strenge Ungleichungen. Außerdem, wenn für strenge Ungleichungen die Vorzeichen > entgegengesetzt betrachtet wurden und Sie das wissen, um die Reihe zu lösen angewandte Aufgaben Sie müssen ein mathematisches Modell in Form einer Gleichung oder eines Gleichungssystems erstellen. Als nächstes erfährst du das Mathematische Modelle Viele Probleme zu lösen sind Ungleichungen mit Unbekannten. Wir werden das Konzept der Lösung einer Ungleichung einführen und zeigen, wie man prüft, ob angegebene Nummer Lösung einer bestimmten Ungleichung.

Ungleichungen der Form
\(ax > b, \quad ax wobei a und b gegebene Zahlen sind und x unbekannt ist, heißt Lineare Ungleichungen mit einem Unbekannten.

Definition. Die Lösung einer Ungleichung mit einer Unbekannten ist der Wert der Unbekannten, für den diese Ungleichung zu einer echten numerischen Ungleichung wird. Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.

Sie haben die Gleichungen gelöst, indem Sie sie auf die einfachsten Gleichungen reduziert haben. Ebenso neigt man beim Lösen von Ungleichungen dazu, sie mit Hilfe von Eigenschaften auf die Form einfachster Ungleichungen zu reduzieren.

Lösung von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen

Ungleichungen der Form
\(ax^2+bx+c >0 \) und \(ax^2+bx+c wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und \(a \neq 0 \) aufgerufen werden Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen.

Lösen der Ungleichung
\(ax^2+bx+c >0 \) oder \(ax^2+bx+c \) kann als Finden von Lücken betrachtet werden, wo die Funktion \(y= ax^2+bx+c \) positiv wird oder negative Werte Dazu genügt es zu analysieren, wie sich der Graph der Funktion \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) in der Koordinatenebene befindet: Wo die Zweige der Parabel gerichtet sind - nach oben oder unten , ob die Parabel die x-Achse schneidet und wenn sie sie schneidet, dann an welchen Punkten.

Algorithmus zum Lösen von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen:
1) Finden Sie die Diskriminante des quadratischen Trinoms \(ax^2+bx+c \) und finden Sie heraus, ob das Trinom Wurzeln hat;
2) wenn das Trinom Wurzeln hat, dann markiere diese auf der x-Achse und zeichne schematisch eine Parabel durch die markierten Punkte, deren Äste bei a > 0 nach oben oder bei einer 0 nach unten oder bei a 3) unten gerichtet sind Lücken auf der x-Achse, für die die Punkteparabeln oberhalb der x-Achse (wenn sie die Ungleichung \(ax^2+bx+c >0 \) lösen) oder unterhalb der x-Achse (wenn sie die Ungleichung lösen) liegen
\(ax^2+bx+c Lösung von Ungleichungen nach der Methode der Intervalle

Betrachten Sie die Funktion
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge aller Zahlen. Die Nullstellen der Funktion sind die Zahlen -2, 3, 5. Sie unterteilen den Definitionsbereich der Funktion in Intervalle \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) und \( (5; +\infty) \)

Lassen Sie uns herausfinden, was die Zeichen dieser Funktion in jedem der angegebenen Intervalle sind.

Der Ausdruck (x + 2)(x - 3)(x - 5) ist das Produkt aus drei Faktoren. Das Vorzeichen jedes dieser Faktoren in den betrachteten Intervallen ist in der Tabelle angegeben:

Im Allgemeinen sei die Funktion durch die Formel gegeben
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
wobei x eine Variable ist und x 1 , x 2 , ..., x n ungleiche Zahlen sind. Die Zahlen x 1 , x 2 , ..., x n sind die Nullstellen der Funktion. In jedem der Intervalle, in die der Definitionsbereich durch die Nullstellen der Funktion unterteilt wird, bleibt das Vorzeichen der Funktion erhalten, und beim Nulldurchgang ändert sich ihr Vorzeichen.

Diese Eigenschaft wird verwendet, um Ungleichungen der Form zu lösen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) wobei x 1 , x 2 , ..., x n ungleiche Zahlen sind

Überlegte Methode Das Lösen von Ungleichungen wird Intervallmethode genannt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Lösung von Ungleichungen mit der Intervallmethode geben.

Lösen Sie die Ungleichung:

\(x(0.5-x)(x+4) Offensichtlich sind die Nullstellen der Funktion f(x) = x(0.5-x)(x+4) die Punkte \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Gelten numerische Achse Nullen der Funktion und berechnen Sie das Vorzeichen für jedes Intervall:

Wir wählen die Intervalle aus, in denen die Funktion kleiner oder gleich Null ist, und schreiben das Ergebnis auf.

Antworten:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Viele von allen reale Nummern kann als Vereinigung von drei Mengen dargestellt werden: eine Menge positiver Zahlen, eine Menge negativer Zahlen und eine Menge, die aus einer Zahl besteht - der Zahl Null. Um anzuzeigen, dass die Nummer a Positiv, genieße die Platte a > 0, um eine negative Zahl anzugeben, verwenden Sie einen anderen Datensatz a< 0 .

Auch die Summe und das Produkt positiver Zahlen sind positive Zahlen. Wenn Zahl a negativ, dann die Zahl -a positiv (und umgekehrt). Zu jeder positiven Zahl a gibt es eine positive Rationale Zahl r, was r< а . Diese Tatsachen liegen der Theorie der Ungleichheiten zugrunde.

Per Definition ist die Ungleichung a > b (oder äquivalent b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, das heißt, wenn die Zahl a - b positiv ist.

Beachten Sie insbesondere die Ungleichheit a< 0 . Was bedeutet diese Ungleichheit? Nach der obigen Definition bedeutet es das 0 - a > 0, d.h. -a > 0 oder welche Nummer -a positiv. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn die Zahl a Negativ. Also die Ungleichheit a< 0 bedeutet, dass die Nummer aber negativ.

Häufig wird auch die Notation verwendet ab(oder, was dasselbe ist, ba).
Aufzeichnung ab bedeutet per definitionem entweder a > b, oder a = b. Betrachten wir den Eintrag ab als unbestimmter Satz, dann in der Notation mathematische Logik kann geschrieben werden

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Beispiel 1 Sind die Ungleichungen 5 0, 0 0 richtig?

Ungleichung 5 0 ist Zusammengesetzte Aussage bestehend aus zwei einfache Sprüche durch eine logische Verknüpfung „oder“ (Disjunktion) verbunden. Entweder 5 > 0 oder 5 = 0. Die erste Aussage 5 > 0 ist wahr, die zweite Aussage 5 = 0 ist falsch. Nach der Definition der Disjunktion ist eine solche zusammengesetzte Aussage wahr.

Datensatz 00 wird ähnlich diskutiert.

Ungleichungen der Form a > b, a< b wird streng genannt, und Ungleichungen der Form ab, ab- nicht streng.

Ungleichheiten a > b und c > d(oder a< b und mit< d ) werden gleichbedeutende Ungleichungen und Ungleichungen genannt a > b und c< d - Ungleichungen der entgegengesetzten Bedeutung. Beachten Sie, dass sich diese beiden Begriffe (Ungleichheiten mit gleicher und entgegengesetzter Bedeutung) nur auf die Form der Schreibweise von Ungleichungen beziehen und nicht auf die Tatsachen selbst, die durch diese Ungleichungen ausgedrückt werden. Also in Bezug auf die Ungleichheit a< b Ungleichheit mit< d ist eine Ungleichung der gleichen Bedeutung, und schriftlich d > c(bedeutet dasselbe) - eine Ungleichung mit entgegengesetzter Bedeutung.

Zusammen mit Ungleichheiten der Form a > b, ab es werden sogenannte doppelte Ungleichungen verwendet, also Ungleichungen der Form a< с < b , As< b , a< cb ,
acb. Per Definition der Eintrag

a< с < b (1)
bedeutet, dass beide Ungleichungen gelten:

a< с und mit< b.

Die Ungleichungen haben eine ähnliche Bedeutung acb, ac< b, а < сb.

Die doppelte Ungleichung (1) kann wie folgt geschrieben werden:

(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]

und die doppelte Ungleichung a ≤ c ≤ b kann in folgender Form geschrieben werden:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Lassen Sie uns nun mit der Präsentation der wichtigsten Eigenschaften und Handlungsregeln für Ungleichheiten fortfahren und uns darauf einigen, dass in diesem Artikel die Buchstaben a, b, c reelle Zahlen darstellen, und n bedeutet eine natürliche Zahl.

1) Wenn a > b und b > c, dann a > c (Transitivität).

Nachweisen.

Da je nach Zustand a > b und b > c, dann die Zahlen a - b und b - c sind positiv, und daher die Zahl a - c \u003d (a - b) + (b - c), als Summe positiver Zahlen, ist ebenfalls positiv. Dies bedeutet per Definition, dass a > c.

2) Wenn a > b, dann gilt für jedes c die Ungleichung a + c > b + c.

Nachweisen.

Als a > b, dann die Nummer a - b positiv. Daher die Nummer (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b ist auch positiv, d.h.
a + c > b + c.

3) Wenn a + b > c, dann a > b - c, d.h. jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung auf einen anderen übertragen werden, indem das Vorzeichen dieses Termes in das Gegenteil geändert wird.

Der Beweis folgt aus Eigenschaft 2) ist für beide Teile der Ungleichung ausreichend a + b > c füge eine Zahl hinzu -b.

4) Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d, d.h. das Addieren zweier gleichbedeutender Ungleichungen ergibt eine gleichbedeutende Ungleichung.

Nachweisen.

Durch die Definition der Ungleichung genügt es zu zeigen, dass der Unterschied
(a + c) - (b + c) positiv. Dieser Unterschied lässt sich wie folgt schreiben:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Da durch den Zustand der Nummer a - b und CD sind dann positiv (a + c) - (b + d) ist auch eine positive Zahl.

Folge. Regeln 2) und 4) implizieren nächste Regel Subtraktion von Ungleichungen: if a > b, c > d, dann a - d > b - c(Für den Beweis genügen beide Teile der Ungleichung a + c > b + d füge eine Zahl hinzu - CD).

5) Wenn a > b, dann haben wir für c > 0 ac > bc und für c< 0 имеем ас < bc.

Mit anderen Worten, wenn beide Teile der Ungleichung multipliziert werden, ist keiner von beiden eine positive Zahl, das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten (d. h. es wird eine Ungleichung derselben Bedeutung erhalten), und wenn sie mit einer negativen Zahl multipliziert wird, ändert sich das Ungleichheitszeichen zu das Gegenteil (d.h. es wird eine Ungleichung der entgegengesetzten Bedeutung erhalten.

Nachweisen.

Wenn ein a > b, dann a - b ist eine positive Zahl. Daher das Vorzeichen des Unterschieds ac-bc = Taxi) entspricht dem Vorzeichen der Zahl mit: Wenn mit eine positive Zahl ist, dann die Differenz ac - bc positiv und daher ac > bc, und wenn mit< 0 , dann ist diese Differenz negativ und daher bc - ac positiv, d.h. bc > ac.

6) Wenn a > b > 0 und c > d > 0, dann ist ac > bd, d.h. wenn alle Terme zweier Ungleichungen gleicher Bedeutung positiv sind, dann führt die Term-zu-Term-Multiplikation dieser Ungleichungen zu einer Ungleichung gleicher Bedeutung.

Nachweisen.

Wir haben ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Als c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, dann ac - bd > 0, d.h. ac > bd.

Kommentar. Aus dem Beweis geht hervor, dass die Bedingung d > 0 in der Formulierung von Eigenschaft 6) ist unwichtig: Damit diese Eigenschaft wahr ist, genügen die Bedingungen a > b > 0, c > d, c > 0. Wenn (wenn die Ungleichungen a > b, c > d) Zahlen a, b, c Sind nicht alle positiv, dann die Ungleichheit ac > bd dürfen nicht durchgeführt werden. Wann zum Beispiel a = 2, b =1, c= -2, d= -3 haben wir a > b, c > d, aber die Ungleichheit ac > bd(d.h. -4 > -3) fehlgeschlagen. Daher ist die Anforderung, dass die Zahlen a, b, c in der Vermögensaussage 6) positiv sind, wesentlich.

7) Wenn a ≥ b > 0 und c > d > 0, dann (Division von Ungleichungen).

Nachweisen.

Wir haben Der Zähler des Bruchs auf der rechten Seite ist positiv (siehe Eigenschaften 5), 6)), der Nenner ist ebenfalls positiv. Somit,. Dies beweist Eigenschaft 7).

Kommentar. Wir stellen eine wichtige fest besonderer Fall Regel 7) erhalten, wenn a = b = 1: wenn c > d > 0, dann. Wenn also die Terme der Ungleichung positiv sind, dann beim Übergang zu Gegenseitigkeit wir erhalten eine Ungleichung der entgegengesetzten Bedeutung. Wir bitten die Leser zu überprüfen, ob diese Regel auch in 7) Wenn ab > 0 und c > d > 0, dann (Division von Ungleichungen) gilt.

Nachweisen. dann.

Wir haben oben mehrere Eigenschaften von mit dem Vorzeichen geschriebenen Ungleichungen bewiesen > (mehr). Alle diese Eigenschaften könnten jedoch mit dem Vorzeichen formuliert werden < (weniger), da die Ungleichheit b< а bedeutet per definitionem dasselbe wie die Ungleichheit a > b. Außerdem bleiben die oben bewiesenen Eigenschaften, wie leicht nachzuprüfen ist, auch für nicht-strikte Ungleichungen erhalten. Zum Beispiel wird Eigenschaft 1) für nicht strenge Ungleichungen haben nächste Ansicht: Wenn ab und bc, dann As.

Natürlich sind die allgemeinen Eigenschaften von Ungleichungen nicht auf das oben Gesagte beschränkt. Es gibt noch ganze Linie Ungleichheiten Gesamtansicht verbunden mit der Berücksichtigung von Potenz, Exponential, Logarithmus und trigonometrische Funktionen. Der allgemeine Ansatz zum Schreiben dieser Art von Ungleichungen ist wie folgt. Wenn einige funktionieren y = f(x) steigt auf dem Segment monoton an [a,b], dann haben wir für x 1 > x 2 (wobei x 1 und x 2 zu diesem Segment gehören) f (x1) > f(x 2). Ebenso, wenn die Funktion y = f(x) nimmt auf dem Segment monoton ab [a,b], dann bei x1 > x 2 (wo x 1 und X 2 gehören zu diesem Segment) haben wir f(x1)< f(x 2 ). Natürlich unterscheidet sich das Gesagte nicht von der Definition der Monotonie, aber diese Technik ist sehr praktisch zum Auswendiglernen und Schreiben von Ungleichungen.

Also zum Beispiel für jedes natürliche n die Funktion y = xn auf dem Strahl monoton ansteigend {0} {0} }