Multiplikation gewöhnliche Brüche

Betrachten Sie ein Beispiel.

Auf dem Teller sei $\frac(1)(3)$ Teil eines Apfels. Wir müssen den $\frac(1)(2)$-Teil davon finden. Der benötigte Teil ergibt sich aus der Multiplikation der Brüche $\frac(1)(3)$ und $\frac(1)(2)$. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gemeinsamer Brüche ist ein gemeinsamer Bruch.

Zwei gemeinsame Brüche multiplizieren

Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche:

Das Ergebnis der Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler ist ist gleich dem Produkt Zähler multiplizierter Brüche, und der Nenner ist gleich dem Produkt der Nenner:

Beispiel 1

Multipliziere gewöhnliche Brüche $\frac(3)(7)$ und $\frac(5)(11)$.

Entscheidung.

Wenden wir die Regel der Multiplikation gewöhnlicher Brüche an:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Antworten:$\frac(15)(77)$

Wenn durch das Multiplizieren von Brüchen ein kürzbarer oder unechter Bruch erhalten wird, muss dieser vereinfacht werden.

Beispiel 2

Multipliziere die Brüche $\frac(3)(8)$ und $\frac(1)(9)$.

Entscheidung.

Wir verwenden die Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Als Ergebnis erhalten wir einen reduzierbaren Bruch (auf der Grundlage der Division durch $3$. Teilen Sie Zähler und Nenner des Bruchs durch $3$, erhalten wir:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kurze Lösung:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Antworten:$\frac(1)(24).$

Beim Multiplizieren von Brüchen kannst du die Zähler und Nenner kürzen, um ihr Produkt zu finden. In diesem Fall werden Zähler und Nenner des Bruchs zerlegt Hauptfaktoren, danach werden die wiederholten Faktoren reduziert und das Ergebnis gefunden.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Produkt der Brüche $\frac(6)(75)$ und $\frac(15)(24)$.

Entscheidung.

Verwenden wir die Formel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Offensichtlich enthalten Zähler und Nenner Zahlen, die paarweise um die Zahlen $2$, $3$ und $5$ gekürzt werden können. Wir zerlegen Zähler und Nenner in einfache Faktoren und nehmen die Reduktion vor:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Antworten:$\frac(1)(20).$

Beim Multiplizieren von Brüchen können Sie verwenden Verschiebungsgesetz:

Einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren

Die Regel zum Multiplizieren eines gewöhnlichen Bruchs mit natürliche Zahl:

Das Ergebnis der Multiplikation eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl ist ein Bruch, bei dem der Zähler gleich dem Produkt des Zählers des multiplizierten Bruchs mit der natürlichen Zahl ist und der Nenner gleich dem Nenner des multiplizierten Bruchs ist:

wobei $\frac(a)(b)$ ein gewöhnlicher Bruch ist, $n$ eine natürliche Zahl.

Beispiel 4

Multipliziere den Bruch $\frac(3)(17)$ mit $4$.

Entscheidung.

Wenden wir die Regel an, einen gewöhnlichen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Antworten:$\frac(12)(17).$

Vergessen Sie nicht, das Ergebnis der Multiplikation auf die Kontraktionsfähigkeit eines Bruchs zu überprüfen oder nicht richtiger Bruchteil.

Beispiel 5

Multipliziere den Bruch $\frac(7)(15)$ mit $3$.

Entscheidung.

Verwenden wir die Formel zum Multiplizieren eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Durch das Kriterium der Division durch die Zahl $3$) lässt sich feststellen, dass der resultierende Bruch gekürzt werden kann:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Das Ergebnis ist ein unechter Bruch. Nehmen wir den ganzen Teil:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kurze Lösung:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Es war auch möglich, Brüche zu kürzen, indem man die Zahlen in Zähler und Nenner durch ihre Erweiterungen in Primfaktoren ersetzte. In diesem Fall könnte die Lösung wie folgt geschrieben werden:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Antworten:$1\frac(2)(5).$

Wenn Sie einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren, können Sie das Kommutativgesetz verwenden:

Division gewöhnlicher Brüche

Die Divisionsoperation ist die Umkehrung der Multiplikation und ihr Ergebnis ist ein Bruch, mit dem Sie einen bekannten Bruch multiplizieren müssen, um ihn zu erhalten berühmtes Werk zwei Fraktionen.

Division zweier gemeinsamer Brüche

Die Regel zum Dividieren gewöhnlicher Brüche: Offensichtlich können Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs in einfache Faktoren zerlegt und reduziert werden:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Als Ergebnis haben wir einen unechten Bruch erhalten, aus dem wir den ganzzahligen Teil auswählen:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Antworten:$1\frac(5)(9).$

Im Laufe der durchschnittlichen u weiterführende Schule Die Schüler bearbeiteten das Thema „Brüche“. Allerdings ist dieser Begriff viel weiter gefasst als im Lernprozess vorgegeben. Heutzutage trifft man häufig auf das Konzept eines Bruchs, und nicht jeder kann einen Ausdruck berechnen, z. B. das Multiplizieren von Brüchen.

Was ist ein Bruch?

Es geschah historisch, dass Bruchzahlen aufgrund der Notwendigkeit des Messens auftauchten. Wie die Praxis zeigt, gibt es oft Beispiele für die Bestimmung der Länge eines Segments, des Volumens eines rechteckigen Rechtecks.

Zunächst wird den Studierenden ein solches Konzept als Aktie vorgestellt. Wenn Sie beispielsweise eine Wassermelone in 8 Teile teilen, erhält jeder ein Achtel einer Wassermelone. Dieser eine Teil von acht wird als Aktie bezeichnet.

Ein Anteil, der ½ eines beliebigen Wertes entspricht, wird als Hälfte bezeichnet; ⅓ - Drittel; ¼ - ein Viertel. Einträge wie 5/8, 4/5, 2/4 werden gemeinsame Brüche genannt. Ein gewöhnlicher Bruch wird in einen Zähler und einen Nenner geteilt. Zwischen ihnen befindet sich eine Bruchlinie oder eine Bruchlinie. Ein Bruchstrich kann entweder als horizontale oder als schräge Linie gezeichnet werden. BEIM dieser Fall es steht für das Teilungszeichen.

Der Nenner stellt dar, in wie viele gleiche Anteile der Wert, das Objekt geteilt wird; und der Zähler gibt an, wie viele gleiche Anteile genommen werden. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter.

Es ist am bequemsten, gewöhnliche Brüche anzuzeigen Koordinatenstrahl. Wenn ein einzelnes Segment in 4 gleiche Teile geteilt wird, bezeichnen Sie jeden Anteil Lateinischer Buchstabe, dann können Sie als Ergebnis ein ausgezeichnetes bekommen Bildmaterial. Punkt A zeigt also einen Anteil von 1/4 des gesamten Einheitssegments und Punkt B markiert 2/8 dieses Segments.

Sorten von Fraktionen

Brüche sind gewöhnliche, dezimale und gemischte Zahlen. Außerdem können Brüche in echte und unechte Brüche unterteilt werden. Diese Klassifikation ist besser geeignet für gewöhnliche Fraktionen.

Ein echter Bruch ist eine Zahl, deren Zähler kleiner als der Nenner. Dementsprechend ist ein unechter Bruch eine Zahl, deren Zähler größer als der Nenner ist. Die zweite Art wird normalerweise als gemischte Zahl geschrieben. Ein solcher Ausdruck besteht aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil. Zum Beispiel 1½. ein - ganzer Teil, ½ - gebrochen. Wenn Sie jedoch einige Manipulationen mit dem Ausdruck durchführen müssen (Brüche dividieren oder multiplizieren, kürzen oder umwandeln), wird die gemischte Zahl in einen unechten Bruch umgewandelt.

Der richtige Bruchausdruck ist immer Weniger als eins, und falsch - größer oder gleich 1.

Unter diesem Ausdruck verstehen sie einen Datensatz, in dem eine beliebige Zahl dargestellt wird, deren Nenner der Bruchausdruck durch eine Eins mit mehreren Nullen ausgedrückt werden kann. Stimmt der Bruch, dann der ganze Teil Dezimalschreibweise wird gleich null sein.

Um eine Dezimalzahl zu schreiben, müssen Sie zuerst den ganzzahligen Teil schreiben, ihn durch ein Komma vom Bruch trennen und dann den Bruchausdruck schreiben. Es ist zu beachten, dass der Zähler nach dem Komma so viele Ziffern enthalten muss, wie Nullen im Nenner vorhanden sind.

Beispiel. Stellen Sie den Bruch 7 21 / 1000 in Dezimalschreibweise dar.

Algorithmus zur Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl und umgekehrt

Es ist falsch, einen unechten Bruch in die Lösung der Aufgabe zu schreiben, also muss er in eine gemischte Zahl umgewandelt werden:

• Teilen Sie den Zähler durch den vorhandenen Nenner;
• in konkretes Beispiel unvollständiger Quotient - ganz;
• und der Rest ist der Zähler des Bruchteils, wobei der Nenner unverändert bleibt.

Beispiel. Unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln: 47 / 5 .

Entscheidung. 47: 5. Der unvollständige Quotient ist 9, der Rest = 2. Also 47 / 5 = 9 2 / 5.

Manchmal müssen Sie eine gemischte Zahl als unechten Bruch darstellen. Dann müssen Sie den folgenden Algorithmus verwenden:

• der ganzzahlige Teil wird mit dem Nenner des Bruchausdrucks multipliziert;
• das resultierende Produkt wird zum Zähler addiert;
• das Ergebnis wird in den Zähler geschrieben, der Nenner bleibt unverändert.

Beispiel. Darstellen einer Zahl in Mischform als unechter Bruch: 9 8 / 10 .

Entscheidung. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ist der Zähler.

Antworten: 98 / 10.

Multiplikation gewöhnlicher Brüche

Du kannst verschiedene algebraische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen durchführen. Um zwei Zahlen zu multiplizieren, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Außerdem ist die Multiplikation von Brüchen mit verschiedene Nenner unterscheidet sich nicht vom Produkt der Bruchzahlen mit gleiche Nenner.

Es kommt vor, dass Sie nach dem Finden des Ergebnisses den Bruch reduzieren müssen. BEIM ohne Fehler der resultierende Ausdruck sollte so weit wie möglich vereinfacht werden. Natürlich kann man nicht sagen, dass ein falscher Bruch in der Antwort ein Fehler ist, aber es ist auch schwierig, ihn die richtige Antwort zu nennen.

Beispiel. Finde das Produkt zweier gewöhnlicher Brüche: ½ und 20/18.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, erhält man nach Auffinden des Produkts eine reduzierbare Bruchschreibweise. Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind in diesem Fall durch 4 teilbar, und das Ergebnis ist die Antwort 5 / 9.

Dezimalbrüche multiplizieren

Das Produkt von Dezimalbrüchen unterscheidet sich in seinem Prinzip stark vom Produkt gewöhnlicher Brüche. Das Multiplizieren von Brüchen ist also wie folgt:

• zwei Dezimalbrüche müssen so untereinander geschrieben werden, dass die Ziffern ganz rechts untereinander stehen;
• Sie müssen die geschriebenen Zahlen trotz Kommas multiplizieren, dh als natürliche Zahlen.
• zählen Sie die Anzahl der Ziffern nach dem Komma in jeder der Zahlen;
• in dem nach der Multiplikation erhaltenen Ergebnis müssen Sie rechts so viele Ziffern zählen, wie in der Summe beider Faktoren nach dem Komma enthalten sind, und ein Trennzeichen setzen;
• wenn das Produkt weniger Ziffern enthält, dann müssen so viele Nullen davor geschrieben werden, um diese Zahl abzudecken, ein Komma setzen und einen ganzzahligen Teil gleich Null zuweisen.

Beispiel. Berechne das Produkt zweier Dezimalstellen: 2,25 und 3,6.

Entscheidung.

Multiplikation gemischter Brüche

Das Produkt von zwei berechnen gemischte Fraktionen, müssen Sie die Regel zum Multiplizieren von Brüchen verwenden:

• wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um;
• finde das Produkt von Zählern;
• finden Sie das Produkt der Nenner;
• schreibe das Ergebnis auf;
• Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich.

Beispiel. Finde das Produkt von 4½ und 6 2 / 5.

Eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren (Brüche mit einer Zahl)

Neben dem Finden des Produkts zweier Brüche, gemischter Zahlen, gibt es Aufgaben, bei denen Sie mit einem Bruch multiplizieren müssen.

Also, um die Arbeit zu finden Dezimalbruch und einer natürlichen Zahl benötigen Sie:

• schreibe die Zahl so unter den Bruch, dass die Ziffern ganz rechts übereinander stehen;
• finden Sie die Arbeit trotz des Kommas;
• Trennen Sie im erhaltenen Ergebnis den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma und zählen Sie rechts die Anzahl der Zeichen nach dem Dezimalkomma im Bruch.

Um einen gewöhnlichen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, solltest du das Produkt aus dem Zähler und dem natürlichen Faktor finden. Wenn die Antwort ein reduzierbarer Bruch ist, sollte er umgewandelt werden.

Beispiel. Berechne das Produkt aus 5 / 8 und 12.

Entscheidung. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Antworten: 7 1 / 2.

Wie Sie im vorherigen Beispiel sehen können, war es notwendig, das resultierende Ergebnis zu reduzieren und den falschen Bruchausdruck in eine gemischte Zahl umzuwandeln.

Außerdem gilt die Multiplikation von Brüchen auch für die Suche nach dem Produkt einer Zahl in gemischter Form und einem Naturfaktor. Um diese beiden Zahlen zu multiplizieren, sollten Sie den ganzzahligen Teil des gemischten Faktors mit der Zahl multiplizieren, den Zähler mit demselben Wert multiplizieren und den Nenner unverändert lassen. Gegebenenfalls müssen Sie das Ergebnis so weit wie möglich vereinfachen.

Beispiel. Finden Sie das Produkt von 9 5 / 6 und 9.

Entscheidung. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Antworten: 88 1 / 2.

Multiplikation mit den Faktoren 10, 100, 1000 oder 0,1; 0,01; 0,001

Das folgt aus dem vorigen Absatz nächste Regel. Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000, 10000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie das Komma um so viele Ziffern nach rechts verschieben, wie im Multiplikator nach Eins Nullen stehen.

Beispiel 1. Finden Sie das Produkt von 0,065 und 1000.

Entscheidung. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Antworten: 65.

Beispiel 2. Finden Sie das Produkt von 3,9 und 1000.

Entscheidung. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Antworten: 3900.

Wenn Sie eine natürliche Zahl und 0,1 multiplizieren müssen; 0,01; 0,001; B. 0,0001 usw., sollten Sie im resultierenden Produkt das Komma um so viele Ziffern nach links verschieben, wie Nullen vor Eins stehen. Gegebenenfalls werden einer natürlichen Zahl ausreichend viele Nullen vorangestellt.

Beispiel 1. Finden Sie das Produkt von 56 und 0,01.

Entscheidung. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Antworten: 0,56.

Beispiel 2. Finden Sie das Produkt von 4 und 0,001.

Entscheidung. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Antworten: 0,004.

Also ein Produkt finden verschiedene Fraktionen sollte keine Schwierigkeiten verursachen, außer bei der Berechnung des Ergebnisses; Auf einen Taschenrechner kann man in diesem Fall einfach nicht verzichten.

§ 87. Addition von Brüchen.

Das Addieren von Brüchen hat viele Ähnlichkeiten mit dem Addieren von ganzen Zahlen. Die Addition von Brüchen ist eine Aktion, die darin besteht, dass mehrere gegebene Zahlen (Begriffe) zu einer Zahl (Summe) kombiniert werden, die alle Einheiten und Brüche von Einheiten von Begriffen enthält.

Wir betrachten der Reihe nach drei Fälle:

1. Addition von Brüchen mit gleichem Nenner.
2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Addition von gemischten Zahlen.

1. Addition von Brüchen mit gleichem Nenner.

Betrachten Sie ein Beispiel: 1 / 5 + 2 / 5 .

Nehmen Sie das Segment AB (Abb. 17), nehmen Sie es als Einheit und teilen Sie es durch 5 gleiche Teile, dann ist der Teil AC dieses Segments gleich 1/5 des Segments AB, und der Teil desselben Segments CD ist gleich 2/5 AB.

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass, wenn wir das Segment AD nehmen, es gleich 3/5 AB ist; aber das Segment AD ist genau die Summe der Segmente AC und CD. Wir können also schreiben:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Wenn wir diese Terme und den resultierenden Betrag betrachten, sehen wir, dass der Zähler der Summe durch Addition der Zähler der Terme erhalten wurde und der Nenner unverändert blieb.

Daraus erhalten wir folgende Regel: Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und denselben Nenner belassen.

Betrachten Sie ein Beispiel:

2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Addieren wir Brüche: 3/4 + 3/8 Zuerst müssen sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner gebracht werden:

Mittlere 6 / 8 + 3 / 8 konnte nicht geschrieben werden; Wir haben es hier für mehr Klarheit geschrieben.

Um also Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, musst du sie zuerst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, ihre Zähler und ihr Vorzeichen addieren gemeinsamer Nenner.

Betrachten Sie ein Beispiel ( zusätzliche Multiplikatoren wir überschreiben die entsprechenden Brüche):

3. Addition von gemischten Zahlen.

Addieren wir die Zahlen: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Bringen wir zunächst die Bruchteile unserer Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner und schreiben sie noch einmal um:

Fügen Sie nun der Reihe nach die ganzzahligen und gebrochenen Teile hinzu:

§ 88. Subtraktion von Brüchen.

Die Subtraktion von Brüchen wird genauso definiert wie die Subtraktion von ganzen Zahlen. Dies ist eine Aktion, bei der aus der Summe von zwei Termen und einem von ihnen ein weiterer Term gefunden wird. Betrachten wir der Reihe nach drei Fälle:

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Subtraktion gemischter Zahlen.

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.

Betrachten Sie ein Beispiel:

13 / 15 - 4 / 15

Nehmen wir das Segment AB (Abb. 18), nehmen es als Einheit und teilen es in 15 gleiche Teile; dann ist der AC-Teil dieses Segments 1/15 von AB, und der AD-Teil desselben Segments entspricht 13/15 AB. Lassen Sie uns ein weiteres Segment ED beiseite legen, gleich 4/15 AB.

Wir müssen 4/15 von 13/15 subtrahieren. In der Zeichnung bedeutet dies, dass das Segment ED vom Segment AD subtrahiert werden muss. Infolgedessen bleibt das Segment AE bestehen, was 9/15 des Segments AB entspricht. Wir können also schreiben:

Das von uns gemachte Beispiel zeigt, dass der Zähler der Differenz durch Subtraktion der Zähler erhalten wurde und der Nenner gleich blieb.

Um also Brüche mit gleichem Nenner zu subtrahieren, musst du den Zähler des Subtrahenten vom Zähler des Minuends subtrahieren und denselben Nenner belassen.

2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Beispiel. 3/4 - 5/8

Lassen Sie uns diese Brüche zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen:

Der Zwischenlink 6 / 8 - 5 / 8 wird hier aus Gründen der Übersichtlichkeit geschrieben, kann aber in Zukunft übersprungen werden.

Um also einen Bruch von einem Bruch zu subtrahieren, musst du sie zuerst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, dann den Zähler des Subtrahenten vom Zähler des Minuends subtrahieren und den gemeinsamen Nenner unter ihrer Differenz signieren.

Betrachten Sie ein Beispiel:

3. Subtraktion gemischter Zahlen.

Beispiel. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Bringen wir die Nachkommastellen von Minuend und Subtrahend auf den kleinsten gemeinsamen Nenner:

Wir subtrahieren ein Ganzes von einem Ganzen und einen Bruch von einem Bruch. Aber es gibt Fälle, in denen der Bruchteil des Subtrahends größer ist als der Bruchteil des Minuends. In solchen Fällen müssen Sie eine Einheit aus dem ganzzahligen Teil des reduzierten Teils nehmen, sie in die Teile aufteilen, in denen der Bruchteil ausgedrückt wird, und zum Bruchteil des reduzierten Teils hinzufügen. Und dann wird die Subtraktion auf die gleiche Weise wie im vorherigen Beispiel durchgeführt:

§ 89. Multiplikation von Brüchen.

Wenn wir die Multiplikation von Brüchen untersuchen, werden wir dies berücksichtigen nächste Fragen:

1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.
2. Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl.
3. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch.
4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.
5. Multiplikation gemischter Zahlen.
6. Das Konzept des Interesses.
7. Finden von Prozentsätzen einer gegebenen Zahl. Betrachten wir sie der Reihe nach.

1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.

Das Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl hat dieselbe Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einer ganzen Zahl. Einen Bruch (Multiplikand) mit einer ganzen Zahl (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, die Summe identischer Terme zu bilden, wobei jeder Term gleich dem Multiplikanden und die Anzahl der Terme gleich dem Multiplikator ist.

Wenn Sie also 1/9 mit 7 multiplizieren müssen, können Sie dies folgendermaßen tun:

Wir haben das Ergebnis leicht erhalten, da die Aktion auf das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner reduziert wurde. Somit,

Die Betrachtung dieser Aktion zeigt, dass das Multiplizieren eines Bruchs mit einer Ganzzahl dem Erhöhen dieses Bruchs so oft entspricht, wie es Einheiten in der Ganzzahl gibt. Und da die Erhöhung des Bruchs entweder durch Erhöhen seines Zählers erreicht wird

oder indem man seinen Nenner verringert , dann können wir entweder den Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren oder den Nenner durch sie dividieren, falls eine solche Division möglich ist.

Von hier erhalten wir die Regel:

Um einen Bruch mit einer Ganzzahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dieser Ganzzahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen oder, wenn möglich, den Nenner durch diese Zahl teilen, wobei der Zähler unverändert bleibt.

Beim Multiplizieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

2. Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl. Es gibt viele Aufgaben, bei denen Sie einen Teil einer gegebenen Zahl finden oder berechnen müssen. Der Unterschied zwischen diesen Aufgaben und anderen besteht darin, dass sie die Anzahl einiger Objekte oder Maßeinheiten angeben und Sie einen Teil dieser Nummer finden müssen, der hier auch durch einen bestimmten Bruch angegeben wird. Um das Verständnis zu erleichtern, werden wir zunächst Beispiele für solche Probleme geben und dann die Methode zu ihrer Lösung vorstellen.

Aufgabe 1. Ich hatte 60 Rubel; 1/3 dieses Geldes habe ich für den Kauf von Büchern ausgegeben. Wie viel haben die Bücher gekostet?

Aufgabe 2. Der Zug muss die Strecke zwischen den Städten A und B zurücklegen, die 300 km entspricht. 2/3 dieser Strecke hat er bereits zurückgelegt. Wie viele Kilometer sind das?

Aufgabe 3. Es gibt 400 Häuser im Dorf, 3/4 davon sind aus Backstein, der Rest aus Holz. Wie viele Backsteinhäuser gibt es?

Hier sind einige der vielen Probleme, mit denen wir uns befassen müssen, um einen Bruchteil einer gegebenen Zahl zu finden. Sie werden normalerweise Probleme zum Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl genannt.

Lösung des Problems 1. Ab 60 Rubel. Ich habe 1/3 für Bücher ausgegeben; Um also die Kosten für Bücher zu ermitteln, müssen Sie die Zahl 60 durch 3 teilen:

Problemlösung 2. Die Bedeutung des Problems ist, dass Sie 2 / 3 von 300 km finden müssen. Berechnen Sie das erste 1/3 von 300; Dies wird erreicht, indem 300 km durch 3 geteilt werden:

300: 3 = 100 (das ist 1/3 von 300).

Um zwei Drittel von 300 zu finden, müssen Sie den resultierenden Quotienten verdoppeln, also mit 2 multiplizieren:

100 x 2 = 200 (das sind 2/3 von 300).

Lösung des Problems 3. Hier müssen Sie die Anzahl der Backsteinhäuser bestimmen, die 3/4 von 400 ausmachen. Lassen Sie uns zuerst 1/4 von 400 finden,

400: 4 = 100 (das ist 1/4 von 400).

Für Berechnung von drei Viertel von 400, muss der resultierende Quotient verdreifacht, also mit 3 multipliziert werden:

100 x 3 = 300 (das sind 3/4 von 400).

Basierend auf der Lösung dieser Probleme können wir die folgende Regel ableiten:

Um den Wert eines Bruchs einer gegebenen Zahl zu finden, musst du diese Zahl durch den Nenner des Bruchs dividieren und den resultierenden Quotienten mit seinem Zähler multiplizieren.

3. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch.

Zuvor (§ 26) wurde festgelegt, dass die Multiplikation ganzer Zahlen als Addition identischer Terme zu verstehen ist (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). In diesem Absatz (Absatz 1) wurde festgelegt, dass die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl bedeutet, dass die Summe identischer Terme gleich diesem Bruch ist.

In beiden Fällen bestand die Multiplikation darin, die Summe identischer Terme zu finden.

Jetzt gehen wir dazu über, eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren. Hier werden wir zum Beispiel auf eine solche Multiplikation treffen: 9 2 / 3. Es ist ziemlich offensichtlich, dass die vorherige Definition der Multiplikation auf diesen Fall nicht zutrifft. Das zeigt sich daran, dass wir eine solche Multiplikation nicht durch Addition gleicher Zahlen ersetzen können.

Aus diesem Grund müssen wir die Multiplikation neu definieren, d.h. mit anderen Worten, die Frage beantworten, was unter Multiplikation mit einem Bruch zu verstehen ist, wie diese Aktion zu verstehen ist.

Die Bedeutung der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch ergibt sich aus der folgenden Definition: eine ganze Zahl (Multiplikator) mit einem Bruch (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, diesen Bruchteil des Multiplikators zu finden.

Das Multiplizieren von 9 mit 2/3 bedeutet nämlich, 2/3 von neun Einheiten zu finden. Im vorherigen Absatz wurden solche Probleme gelöst; Es ist also leicht herauszufinden, dass wir am Ende 6 haben.

Aber jetzt gibt es ein interessantes und wichtige Frage: warum so auf den ersten Blick verschiedene Aktivitäten wie man die summe findet gleiche Zahlen und den Bruch einer Zahl zu finden, werden in der Arithmetik dasselbe Wort "Multiplikation" genannt?

Dies geschieht, weil die vorherige Aktion (eine Zahl mit Begriffen mehrmals wiederholen) und eine neue Aktion (einen Bruchteil einer Zahl finden) eine Antwort darauf geben homogene Fragen. Das heißt, wir gehen hier von den Überlegungen aus, dass homogene Fragestellungen bzw. Aufgaben durch ein und dieselbe Handlung gelöst werden.

Um dies zu verstehen, betrachten Sie das folgende Problem: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel kosten 4 m eines solchen Stoffes?

Dieses Problem wird gelöst, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (4) multipliziert wird, d. H. 50 x 4 = 200 (Rubel).

Nehmen wir das gleiche Problem, aber darin wird die Stoffmenge als Bruchzahl ausgedrückt: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel kosten 3/4 m eines solchen Stoffes?

Dieses Problem muss auch gelöst werden, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (3/4) multipliziert wird.

Sie können die darin enthaltenen Zahlen auch mehrmals ändern, ohne die Bedeutung der Aufgabe zu ändern, z. B. 9/10 m oder 2 3/10 m usw.

Da diese Probleme den gleichen Inhalt haben und sich nur in Zahlen unterscheiden, nennen wir die Aktionen, die zu ihrer Lösung verwendet werden, das gleiche Wort - Multiplikation.

Wie wird eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert?

Nehmen wir die Zahlen aus dem letzten Problem:

Gemäß der Definition müssen wir 3 / 4 von 50 finden. Zuerst finden wir 1 / 4 von 50 und dann 3 / 4.

1/4 von 50 ist 50/4;

3/4 von 50 ist .

Somit.

Betrachten Sie ein anderes Beispiel: 12 5 / 8 = ?

1/8 von 12 ist 12/8,

5/8 der Zahl 12 ist .

Somit,

Von hier erhalten wir die Regel:

Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen und den Nenner des gegebenen Bruchs als Nenner signieren.

Wir schreiben diese Regel mit Buchstaben:

Um diese Regel ganz klar zu machen, sei daran erinnert, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 aufgestellten Regel zum Multiplizieren einer Zahl mit einem Quotienten zu vergleichen

Es muss daran erinnert werden, dass Sie vor der Multiplikation (wenn möglich) Folgendes tun sollten: Schnitte, Zum Beispiel:

4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren. Das Multiplizieren eines Bruchs mit einem Bruch hat dieselbe Bedeutung wie das Multiplizieren einer Ganzzahl mit einem Bruch, dh wenn Sie einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, müssen Sie den Bruch im Multiplikator aus dem ersten Bruch (Multiplikator) finden.

Das Multiplizieren von 3/4 mit 1/2 (halb) bedeutet nämlich, die Hälfte von 3/4 zu finden.

Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?

Nehmen wir ein Beispiel: 3/4 mal 5/7. Das bedeutet, dass Sie 5/7 aus 3/4 finden müssen. Finden Sie zuerst 1/7 von 3/4 und dann 5/7

1/7 von 3/4 würde so ausgedrückt werden:

5 / 7 Zahlen 3 / 4 werden wie folgt ausgedrückt:

Auf diese Weise,

Ein weiteres Beispiel: 5/8 mal 4/9.

1/9 von 5/8 ist ,

4/9 Zahlen 5/8 sind .

Auf diese Weise,

Aus diesen Beispielen lässt sich folgende Regel ableiten:

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite Produkt zum Nenner des Produkts machen.

Dies ist die Regel in Gesamtansicht kann so geschrieben werden:

Beim Multiplizieren müssen (wenn möglich) Abstriche gemacht werden. Betrachten Sie Beispiele:

5. Multiplikation gemischter Zahlen. Da gemischte Zahlen leicht durch unechte Brüche ersetzt werden können, macht man sich diesen Umstand meist bei der Multiplikation gemischter Zahlen zunutze. Dies bedeutet in den Fällen, in denen der Multiplikator oder der Faktor oder beide Faktoren ausgedrückt werden gemischte Zahlen, dann werden sie durch unechte Brüche ersetzt. Multiplizieren Sie zum Beispiel gemischte Zahlen: 2 1/2 und 3 1/5. Wir verwandeln jeden von ihnen in einen unechten Bruch und multiplizieren dann die resultierenden Brüche gemäß der Regel, einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren:

Regel. Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, musst du sie zuerst in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel der Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch multiplizieren.

Notiz. Wenn einer der Faktoren eine ganze Zahl ist, kann die Multiplikation nach dem Verteilungsgesetz wie folgt durchgeführt werden:

6. Das Konzept des Interesses. Beim Lösen von Problemen und bei verschiedenen praktischen Berechnungen verwenden wir alle Arten von Brüchen. Aber man muss bedenken, dass viele Größen keine, sondern für sie natürliche Unterteilungen zulassen. Zum Beispiel können Sie ein Hundertstel (1/100) eines Rubels nehmen, es wird ein Penny sein, zwei Hundertstel sind 2 Kopeken, drei Hundertstel sind 3 Kopeken. Sie können 1/10 des Rubels nehmen, es sind "10 Kopeken oder ein Cent. Sie können ein Viertel des Rubels nehmen, d. H. 25 Kopeken, einen halben Rubel, d. H. 50 Kopeken (fünfzig Kopeken). Aber sie ziehen praktisch an Nehmen Sie zum Beispiel nicht 2/7 Rubel, da der Rubel nicht in Siebtel unterteilt ist.

Die Maßeinheit des Gewichts, dh das Kilogramm, erlaubt zunächst Dezimalunterteilungen, zum Beispiel 1/10 kg oder 100 g, und solche Bruchteile eines Kilogramms wie 1/6, 1/11, 1 /13 sind ungewöhnlich.

Im Allgemeinen sind unsere (metrischen) Maße dezimal und erlauben dezimale Unterteilungen.

Es ist jedoch zu beachten, dass es in den unterschiedlichsten Fällen äußerst sinnvoll und bequem ist, die gleiche (einheitliche) Methode zur Unterteilung von Größen zu verwenden. Langjährige Erfahrung hat gezeigt, dass eine solche gut begründete Teilung die „Hundertstel“-Teilung ist. Betrachten wir einige Beispiele, die sich auf die unterschiedlichsten Bereiche menschlicher Praxis beziehen.

1. Der Buchpreis ist um 12/100 des vorherigen Preises gesunken.

Beispiel. Der vorherige Preis des Buches beträgt 10 Rubel. Sie ging um 1 Rubel zurück. 20 Kop.

2. Sparkassen zahlen im Laufe des Jahres 2/100 des eingezahlten Betrags an Sparer aus.

Beispiel. 500 Rubel werden in die Kasse gesteckt, die Einnahmen aus diesem Betrag für das Jahr betragen 10 Rubel.

3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5/100 der Gesamtzahl der Studenten.

BEISPIEL Nur 1.200 Schüler besuchten die Schule, 60 von ihnen absolvierten die Schule.

Das Hundertstel einer Zahl wird Prozent genannt..

Das Wort "Prozent" ist entlehnt Latein und seine Wurzel "cent" bedeutet hundert. Zusammen mit der Präposition (pro centum) bedeutet dieses Wort „für hundert“. Die Bedeutung dieses Ausdrucks ergibt sich daraus, dass zunächst in antikes Rom Zinsen waren das Geld, das der Schuldner „pro Hundert“ an den Verleiher zahlte. Das Wort "Cent" ist in so bekannten Wörtern zu hören: Zentner (einhundert Kilogramm), Zentimeter (sie sagen Zentimeter).

Anstatt beispielsweise zu sagen, dass das Werk im vergangenen Monat 1/100 aller von ihm hergestellten Produkte produziert hat, sagen wir Folgendes: Das Werk hat im vergangenen Monat ein Prozent der Ausschussware produziert. Anstatt zu sagen: Das Werk produzierte 4/100 Produkte mehr als der festgelegte Plan, werden wir sagen: Das Werk übertraf den Plan um 4 Prozent.

Die obigen Beispiele können anders ausgedrückt werden:

1. Der Preis für Bücher ist um 12 Prozent des vorherigen Preises gesunken.

2. Sparkassen zahlen Einlegern jährlich 2 Prozent des angelegten Sparbetrags aus.

3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5 Prozent der Zahl aller Schüler der Schule.

Um den Buchstaben zu verkürzen, ist es üblich, anstelle des Wortes "Prozent" das %-Zeichen zu schreiben.

Es muss jedoch beachtet werden, dass das %-Zeichen normalerweise nicht in Berechnungen geschrieben wird, es kann in die Problemstellung und in das Endergebnis geschrieben werden. Wenn Sie Berechnungen durchführen, müssen Sie mit diesem Symbol einen Bruch mit einem Nenner von 100 anstelle einer ganzen Zahl schreiben.

Sie müssen in der Lage sein, eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol durch einen Bruch mit einem Nenner von 100 zu ersetzen:

Umgekehrt müssen Sie sich daran gewöhnen, anstelle eines Bruchs mit dem Nenner 100 eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol zu schreiben:

7. Finden von Prozentsätzen einer gegebenen Zahl.

Aufgabe 1. Die Schule erhielt 200 Kubikmeter. m Brennholz, wobei Birkenholz 30 % ausmacht. Wie viel Birkenholz war da?

Die Bedeutung dieses Problems ist, dass Birkenbrennholz nur ein Teil des Brennholzes war, das an die Schule geliefert wurde, und dieser Teil wird als Bruchteil von 30 / 100 ausgedrückt. Wir stehen also vor der Aufgabe, einen Bruchteil einer Zahl zu finden. Um es zu lösen, müssen wir 200 mit 30 / 100 multiplizieren (Aufgaben zum Finden des Bruchs einer Zahl werden gelöst, indem eine Zahl mit einem Bruch multipliziert wird.).

Also 30% von 200 sind gleich 60.

Der bei dieser Aufgabe auftretende Bruch 30 / 100 erlaubt eine Reduktion um 10. Diese Reduktion wäre von Anfang an möglich; die Lösung des Problems würde sich nicht ändern.

Aufgabe 2. Im Lager waren 300 Kinder unterschiedlichen Alters. Kinder im Alter von 11 Jahren machten 21 % aus, Kinder im Alter von 12 Jahren 61 % und schließlich 13-Jährige 18 %. Wie viele Kinder jeden Alters waren im Lager?

Bei dieser Aufgabe müssen Sie drei Berechnungen durchführen, dh nacheinander die Anzahl der Kinder im Alter von 11 Jahren, dann 12 Jahren und schließlich 13 Jahren ermitteln.

Hier muss also dreimal ein Bruchteil einer Zahl gefunden werden. Machen wir das:

1) Wie viele Kinder waren 11 Jahre alt?

2) Wie viele Kinder waren 12 Jahre alt?

3) Wie viele Kinder waren 13 Jahre alt?

Nach Lösung der Aufgabe ist es sinnvoll, die gefundenen Zahlen zu addieren; Ihre Summe sollte 300 sein:

63 + 183 + 54 = 300

Beachten Sie auch, dass die Summe der in der Problembedingung angegebenen Prozentsätze 100 beträgt:

21% + 61% + 18% = 100%

Das deutet darauf hin Gesamtzahl Kinder, die im Lager waren, wurde zu 100 % angenommen.

3 a da cha 3. Der Arbeiter erhielt 1.200 Rubel pro Monat. Davon gab er 65 % für Lebensmittel aus, 6 % für Wohnung und Heizung, 4 % für Gas, Strom und Radio, 10 % für Kulturbedarf und 15 % sparte er. Wie viel Geld wurde für die in der Aufgabe angegebenen Bedürfnisse ausgegeben?

Um dieses Problem zu lösen, musst du fünfmal einen Bruchteil der Zahl 1.200 finden.

1) Wie viel Geld wird für Lebensmittel ausgegeben? Die Aufgabe besagt, dass dieser Aufwand 65 % aller Einnahmen ausmacht, also 65/100 der Zahl 1200. Machen wir die Rechnung:

2) Wie viel Geld wurde für eine Wohnung mit Heizung bezahlt? Wenn wir wie die vorherige argumentieren, kommen wir zu folgender Rechnung:

3) Wie viel Geld haben Sie für Gas, Strom und Radio bezahlt?

4) Wie viel Geld wird für kulturelle Zwecke ausgegeben?

5) Wie viel Geld hat der Arbeiter gespart?

Zur Überprüfung ist es sinnvoll, die in diesen 5 Fragen gefundenen Zahlen zu addieren. Der Betrag sollte 1.200 Rubel betragen. Alle Einnahmen werden zu 100 % angenommen, was leicht zu überprüfen ist, indem man die in der Aufgabenstellung angegebenen Prozentsätze addiert.

Wir haben drei Probleme gelöst. Trotz der Tatsache, dass es bei diesen Aufgaben um verschiedene Dinge ging (Lieferung von Brennholz für die Schule, Anzahl der Kinder unterschiedlichen Alters, Ausgaben des Arbeiters), wurden sie auf die gleiche Weise gelöst. Dies geschah, weil bei allen Aufgaben ein paar Prozent der angegebenen Zahlen gefunden werden mussten.

§ 90. Teilung von Brüchen.

Beim Studium der Division von Brüchen werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:

1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.
2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl
3. Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch.
4. Division eines Bruchs durch einen Bruch.
5. Division gemischter Zahlen.
6. Finden einer Zahl in Anbetracht ihres Bruchs.
7. Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes.

Betrachten wir sie der Reihe nach.

1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.

Wie im Abschnitt über ganze Zahlen angedeutet, ist die Division die Handlung, die darin besteht, dass bei gegebenem Produkt zweier Faktoren (dem Dividenden) und einem dieser Faktoren (dem Divisor) ein weiterer Faktor gefunden wird.

Die Division einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl haben wir in der Abteilung für ganze Zahlen betrachtet. Wir trafen dort auf zwei Fälle von Division: Division ohne Rest oder "ganz" (150: 10 = 15) und Division mit Rest (100: 9 = 11 und 1 im Rest). Wir können daher sagen, dass im Bereich der ganzen Zahlen eine exakte Division nicht immer möglich ist, da der Dividende nicht immer das Produkt aus dem Divisor und der ganzen Zahl ist. Nach der Einführung der Multiplikation mit einem Bruch können wir jeden Fall der Division ganzer Zahlen als möglich betrachten (nur die Division durch Null ist ausgeschlossen).

Zum Beispiel bedeutet das Teilen von 7 durch 12, eine Zahl zu finden, deren Produkt mal 12 7 wäre. Diese Zahl ist der Bruch 7/12, weil 7/12 12 = 7. Ein weiteres Beispiel: 14: 25 = 14/25, weil 14/25 25 = 14.

Um also eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl zu teilen, müssen Sie einen Bruch bilden, dessen Zähler gleich dem Dividenden ist und dessen Nenner der Divisor ist.

2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl.

Teilen Sie den Bruch 6 / 7 durch 3. Gemäß der oben gegebenen Definition der Division haben wir hier das Produkt (6 / 7) und einen der Faktoren (3); es ist erforderlich, einen solchen zweiten Faktor zu finden, der sich aus einer Multiplikation mit 3 ergeben würde diese Arbeit 6/7. Offensichtlich sollte es dreimal kleiner sein als dieses Produkt. Das bedeutet, dass die vor uns gestellte Aufgabe darin bestand, den Bruch 6 / 7 um das Dreifache zu verkleinern.

Wir wissen bereits, dass die Kürzung eines Bruchs entweder durch Verringerung seines Zählers oder durch Erhöhen seines Nenners erfolgen kann. Daher kann man schreiben:

In diesem Fall ist der Zähler 6 durch 3 teilbar, also sollte der Zähler um das Dreifache reduziert werden.

Nehmen wir ein anderes Beispiel: 5 / 8 geteilt durch 2. Hier ist der Zähler 5 nicht durch 2 teilbar, was bedeutet, dass der Nenner mit dieser Zahl multipliziert werden muss:

Darauf aufbauend können wir die Regel aufstellen: Um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, musst du den Zähler des Bruchs durch diese ganze Zahl dividieren(wenn möglich), den gleichen Nenner belassen, oder den Nenner des Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den gleichen Zähler belassen.

3. Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch.

Es sei erforderlich, 5 durch 1 / 2 zu dividieren, d.h. eine Zahl zu finden, die nach Multiplikation mit 1 / 2 das Produkt 5 ergibt. Offensichtlich muss diese Zahl größer als 5 sein, da 1 / 2 ein echter Bruch ist, und wenn eine Zahl mit einem echten Bruch multipliziert wird, muss das Produkt kleiner als der Multiplikand sein. Um es klarer zu machen, schreiben wir unsere Aktionen wie folgt: 5: 1 / 2 = X , also x 1 / 2 \u003d 5.

Wir müssen eine solche Zahl finden X , was, wenn es mit 1/2 multipliziert wird, 5 ergeben würde. Da das Multiplizieren einer bestimmten Zahl mit 1/2 bedeutet, 1/2 dieser Zahl zu finden, also 1/2 unbekannte Nummer X ist 5 und die ganze Zahl X doppelt so viel, d. H. 5 2 \u003d 10.

Also 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Lass uns das Prüfen:

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Es sei erforderlich, 6 durch 2/3 zu teilen. Versuchen wir zunächst, anhand der Zeichnung (Abb. 19) das gewünschte Ergebnis zu finden.

Abb.19

Zeichne ein Segment AB, gleich 6 von einigen Einheiten, und teile jede Einheit in 3 gleiche Teile. In jeder Einheit drei Drittel (3/3) im gesamten Segment AB in 6 mal mehr, t. E. 18/3. Wir verbinden mit Hilfe von kleinen Klammern 18 erhaltene Segmente von 2; Es wird nur 9 Segmente geben. Das bedeutet, dass der Bruch 2/3 9 mal in b Einheiten enthalten ist, oder anders ausgedrückt, der Bruch 2/3 ist 9 mal kleiner als 6 ganzzahlige Einheiten. Somit,

Wie erhält man dieses Ergebnis ohne eine Zeichnung, die nur Berechnungen verwendet? Wir argumentieren wie folgt: Es ist erforderlich, 6 durch 2 / 3 zu teilen, d.h. es ist erforderlich, die Frage zu beantworten, wie oft 2 / 3 in 6 enthalten ist. Lassen Sie uns zuerst herausfinden: wie oft ist 1 / 3 in 6 enthalten? In einer ganzen Einheit - 3 Drittel und in 6 Einheiten - 6 mal mehr, d. H. 18 Drittel; Um diese Zahl zu finden, müssen wir 6 mit 3 multiplizieren. Also ist 1/3 18 mal in b Einheiten enthalten und 2/3 ist nicht 18 mal, sondern halb so oft in b enthalten, also 18: 2 = 9. Daher haben wir bei der Division von 6 durch 2 / 3 Folgendes getan:

Von hier aus erhalten wir die Regel zum Teilen einer ganzen Zahl durch einen Bruch. Um eine ganze Zahl durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie diese ganze Zahl mit dem Nenner des gegebenen Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen, indem Sie es durch den Zähler des gegebenen Bruchs dividieren.

Wir schreiben die Regel mit Buchstaben:

Um diese Regel ganz klar zu machen, sei daran erinnert, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 aufgestellten Regel zum Teilen einer Zahl durch einen Quotienten zu vergleichen. Beachten Sie, dass dort dieselbe Formel erhalten wurde.

Beim Teilen sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

4. Division eines Bruchs durch einen Bruch.

Es sei erforderlich, 3/4 durch 3/8 zu teilen. Was bezeichnet die Zahl, die als Ergebnis der Teilung erhalten wird? Es wird die Frage beantworten, wie oft der Bruch 3/8 im Bruch 3/4 enthalten ist. Um dieses Problem zu verstehen, machen wir eine Zeichnung (Abb. 20).

Nehmen Sie das Segment AB, nehmen Sie es als Einheit, teilen Sie es in 4 gleiche Teile und markieren Sie 3 solcher Teile. Das Segment AC entspricht 3/4 des Segments AB. Lassen Sie uns nun jedes der vier Anfangssegmente halbieren, dann wird das Segment AB in 8 gleiche Teile geteilt und jeder dieser Teile wird gleich 1/8 des Segments AB sein. Wir verbinden 3 solcher Segmente mit Bögen, dann ist jedes der Segmente AD und DC gleich 3/8 des Segments AB. Die Zeichnung zeigt, dass das Segment gleich 3/8 genau zweimal in dem Segment gleich 3/4 enthalten ist; Das Ergebnis der Division kann also wie folgt geschrieben werden:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Es sei erforderlich, 15/16 durch 3/32 zu teilen:

Wir können so argumentieren: Wir müssen eine Zahl finden, die nach Multiplikation mit 3 / 32 ein Produkt von 15 / 16 ergibt. Schreiben wir die Berechnungen wie folgt:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 unbekannte Nummer X bilden 15 / 16

1/32 unbekannte Zahl X ist ,

32 / 32 Zahlen X bilden .

Somit,

Um also einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten multiplizieren und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und dem machen zweitens der Nenner.

Schreiben wir die Regel mit Buchstaben:

Beim Teilen sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

5. Division gemischter Zahlen.

Beim Dividieren von gemischten Zahlen müssen diese zunächst in umgewandelt werden unechte Brüche, Teilen Sie dann die resultierenden Brüche gemäß den Regeln zum Teilen von Bruchzahlen. Betrachten Sie ein Beispiel:

Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln:

Jetzt teilen wir uns auf:

Um also gemischte Zahlen zu dividieren, musst du sie in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel zum Dividieren von Brüchen dividieren.

6. Finden einer Zahl in Anbetracht ihres Bruchs.

Unter mehrere Aufgaben Bei Brüchen gibt es manchmal solche, bei denen der Wert eines Bruchteils einer unbekannten Zahl angegeben ist und es erforderlich ist, diese Zahl zu finden. Diese Art von Problem ist umgekehrt zu dem Problem, einen Bruchteil einer gegebenen Zahl zu finden; dort wurde eine Zahl angegeben und es musste ein Bruchteil dieser Zahl gefunden werden, hier wird ein Bruchteil einer Zahl angegeben und es ist erforderlich, diese Zahl selbst zu finden. Diese Idee wird noch deutlicher, wenn wir uns der Lösung dieser Art von Problemen zuwenden.

Aufgabe 1. Am ersten Tag verglasten Glaser 50 Fenster, was 1 / 3 aller Fenster des gebauten Hauses entspricht. Wie viele Fenster hat dieses Haus?

Entscheidung. Die Aufgabe besagt, dass 50 verglaste Fenster 1/3 aller Fenster des Hauses ausmachen, was bedeutet, dass es insgesamt dreimal mehr Fenster gibt, d.h.

Das Haus hatte 150 Fenster.

Aufgabe 2. Der Laden verkaufte 1.500 kg Mehl, das sind 3/8 des gesamten Mehlbestands im Laden. Was war der anfängliche Mehlvorrat des Ladens?

Entscheidung. Aus der Problemstellung ist ersichtlich, dass die verkauften 1.500 kg Mehl 3/8 des Gesamtbestandes ausmachen; das bedeutet, dass 1/8 dieses Bestands dreimal weniger ist, d.h. um ihn zu berechnen, müssen Sie 1500 um das Dreifache reduzieren:

1.500 : 3 = 500 (das ist 1/8 der Aktie).

Offensichtlich wird der gesamte Bestand 8-mal größer sein. Somit,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

Der anfängliche Vorrat an Mehl im Lager betrug 4.000 kg.

Aus der Betrachtung dieses Problems kann die folgende Regel abgeleitet werden.

Um eine Zahl durch einen bestimmten Wert ihres Bruchs zu finden, reicht es aus, diesen Wert durch den Zähler des Bruchs zu dividieren und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs zu multiplizieren.

Wir haben zwei Probleme beim Auffinden einer Zahl in Anbetracht ihres Bruchs gelöst. Solche Probleme werden, wie besonders gut aus dem letzten zu sehen ist, durch zwei Aktionen gelöst: Division (wenn ein Teil gefunden wird) und Multiplikation (wenn die ganze Zahl gefunden wird).

Nachdem wir jedoch die Division von Brüchen studiert haben, können die obigen Probleme in einer Aktion gelöst werden, nämlich: Division durch einen Bruch.

Die letzte Aufgabe kann beispielsweise in einer Aktion wie folgt gelöst werden:

In Zukunft werden wir das Problem lösen, eine Zahl durch ihren Bruch in einer Aktion zu finden - Division.

7. Finden einer Zahl anhand ihres Prozentsatzes.

Bei diesen Aufgaben müssen Sie eine Zahl finden und einige Prozent dieser Zahl kennen.

Aufgabe 1. Am Anfang laufendes Jahr Ich habe 60 Rubel von der Sparkasse bekommen. Einkommen aus dem Betrag, den ich vor einem Jahr gespart habe. Wie viel Geld habe ich bei der Sparkasse angelegt? (Kassen geben Einlegern 2 % des Einkommens pro Jahr.)

Der Sinn des Problems ist, dass ein bestimmter Geldbetrag von mir in eine Sparkasse gelegt wurde und dort ein Jahr lag. Nach einem Jahr erhielt ich von ihr 60 Rubel. Einkommen, das sind 2/100 des Geldes, das ich eingezahlt habe. Wie viel Geld habe ich eingezahlt?

Wenn wir also den Teil dieses Geldes kennen, der auf zwei Arten ausgedrückt wird (in Rubel und in Bruchteilen), müssen wir den gesamten, noch unbekannten Betrag finden. Dies ist ein gewöhnliches Problem, eine Zahl zu finden, wenn ihr Bruch gegeben ist. Folgende Aufgaben werden durch Teilung gelöst:

Also wurden 3.000 Rubel in die Sparkasse gesteckt.

Aufgabe 2. In zwei Wochen erfüllten die Fischer den Monatsplan zu 64 %, nachdem sie 512 Tonnen Fisch zubereitet hatten. Was war ihr Plan?

Aus dem Zustand des Problems ist bekannt, dass die Fischer einen Teil des Plans abgeschlossen haben. Dieser Teil entspricht 512 Tonnen, was 64 % des Plans entspricht. Wie viele Tonnen Fisch laut Plan geerntet werden müssen, wissen wir nicht. Die Lösung des Problems besteht darin, diese Nummer zu finden.

Solche Aufgaben werden gelöst durch Teilen:

Laut Plan müssen Sie also 800 Tonnen Fisch zubereiten.

Aufgabe 3. Der Zug fuhr von Riga nach Moskau. Als er den 276. Kilometer passierte, fragte einer der Passagiere den vorbeifahrenden Schaffner, wie viel von der Strecke sie bereits zurückgelegt hätten. Darauf antwortete der Schaffner: „Wir haben bereits 30 % der gesamten Fahrt zurückgelegt.“ Wie weit ist es von Riga nach Moskau?

Aus dem Zustand des Problems ist ersichtlich, dass 30 % der Strecke von Riga nach Moskau 276 km lang sind. Wir müssen die gesamte Entfernung zwischen diesen Städten finden, d. h. für diesen Teil das Ganze finden:

§ 91. Reziproke Zahlen. Division durch Multiplikation ersetzen.

Nehmen Sie den Bruch 2/3 und ordnen Sie den Zähler an die Stelle des Nenners, wir erhalten 3/2. Wir haben einen Bruchteil, den Kehrwert von diesem.

Um den Kehrwert eines gegebenen Bruchs zu erhalten, musst du seinen Zähler an die Stelle des Nenners setzen und den Nenner an die Stelle des Zählers. Auf diese Weise können wir einen Bruch erhalten, der der Kehrwert eines beliebigen Bruchs ist. Zum Beispiel:

3/4, umgekehrt 4/3; 5/6, umgekehrt 6/5

Man nennt zwei Brüche, die die Eigenschaft haben, dass der Zähler des ersten der Nenner des zweiten und der Nenner des ersten der Zähler des zweiten ist gegenseitig invers.

Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, welcher Bruch der Kehrwert von 1/2 sein wird. Offensichtlich wird es 2 / 1 oder nur 2 sein. Wenn wir nach dem Kehrwert davon suchen, haben wir eine ganze Zahl erhalten. Und dieser Fall ist kein Einzelfall; im Gegenteil, für alle Brüche mit einem Zähler von 1 (eins) sind die Kehrwerte ganze Zahlen, zum Beispiel:

1 / 3, umgekehrt 3; 1/5, rückwärts 5

Da wir beim Finden von Reziproken auch auf ganze Zahlen gestoßen sind, sprechen wir in Zukunft nicht mehr von Reziproken, sondern von Gegenseitigkeit.

Lass uns herausfinden, wie man den Kehrwert einer ganzen Zahl schreibt. Bei Brüchen wird dies einfach gelöst: Sie müssen den Nenner an die Stelle des Zählers setzen. Auf die gleiche Weise können Sie den Kehrwert einer ganzen Zahl erhalten, da jede ganze Zahl einen Nenner von 1 haben kann. Der Kehrwert von 7 ist also 1 / 7, weil 7 \u003d 7 / 1; für die Zahl 10 ist das Gegenteil 1 / 10, da 10 = 10 / 1

Diese Idee kann man auch anders ausdrücken: Den Kehrwert einer gegebenen Zahl erhält man, indem man eins durch dividiert angegebene Nummer . Diese Aussage gilt nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für Brüche. In der Tat, wenn Sie eine Zahl schreiben möchten, die der Kehrwert des Bruchs 5 / 9 ist, dann können wir 1 nehmen und durch 5 / 9 teilen, d.h.

Lassen Sie uns nun auf einen hinweisen Eigentum gegenseitig reziproke Zahlen, die uns nützlich sein werden: das Produkt reziproker Zahlen ist gleich eins. Tatsächlich:

Unter Verwendung dieser Eigenschaft können wir Kehrwerte auf folgende Weise finden. Finden wir den Kehrwert von 8.

Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben X , dann 8 X = 1, also X = 1/8 . Lassen Sie uns eine andere Zahl finden, die Umkehrung von 7/12, bezeichnen Sie sie mit einem Buchstaben X , dann 7 / 12 X = 1, also X = 1:7/12 bzw X = 12 / 7 .

Wir haben hier das Konzept der reziproken Zahlen eingeführt, um die Informationen über die Division von Brüchen etwas zu ergänzen.

Wenn wir die Zahl 6 durch 3 / 5 teilen, gehen wir wie folgt vor:

Zahlen Besondere Aufmerksamkeit zu dem Ausdruck und vergleiche ihn mit dem gegebenen: .

Wenn wir den Ausdruck getrennt nehmen, ohne Verbindung mit dem vorherigen, dann ist es unmöglich, die Frage zu lösen, woher er kommt: von der Division von 6 durch 3/5 oder von der Multiplikation von 6 mit 5/3. In beiden Fällen ist das Ergebnis das gleiche. Also können wir sagen dass die Division einer Zahl durch eine andere durch die Multiplikation des Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors ersetzt werden kann.

Die Beispiele, die wir unten geben, bestätigen diese Schlussfolgerung voll und ganz.

Multiplikation und Division von Brüchen.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Diese Operation ist viel schöner als Addition-Subtraktion! Weil es einfacher ist. Ich erinnere Sie daran: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies wird der Zähler des Ergebnisses sein) und die Nenner (dies wird der Nenner sein) multiplizieren. Also:

Zum Beispiel:

Alles ist sehr einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Brauche ich hier nicht...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, musst du umdrehen zweite(das ist wichtig!) brechen und multiplizieren, also:

Zum Beispiel:

Wenn die Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen abgefangen wird, ist es in Ordnung. Wie bei der Addition machen wir aus einer ganzen Zahl mit einer Einheit im Nenner einen Bruch – und los! Zum Beispiel:

In der High School muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie bringt man diesen Bruch in eine anständige Form? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Division durch zwei Punkte:

Aber vergessen Sie nicht die Teilungsreihenfolge! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil ist es leicht, einen Fehler zu machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Spüre den Unterschied? 4 und 1/9!

Wie ist die Teilungsreihenfolge? Oder Klammern oder (wie hier) die Länge horizontaler Striche. Entwickle ein Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie:

dann dividieren-multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!

Und ganz einfach und wichtiger Trick. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es sich für Sie als nützlich erweisen! Teilen wir die Einheit durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:

Der Schuss ist übergesprungen! Und es passiert immer. Wenn Sie 1 durch einen beliebigen Bruch teilen, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.

Das sind alle Aktionen mit Brüchen. Die Sache ist recht simpel, gibt aber mehr als genug Fehler. Notiz praktische Ratschläge, und sie (Fehler) werden weniger!

Praktische Tipps:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit Bruchausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Es ist nicht gebräuchliche Worte, keine guten Wünsche! Dies ist eine dringende Notwendigkeit! Führen Sie alle Berechnungen in der Prüfung als vollwertige Aufgabe mit Konzentration und Klarheit durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als beim Rechnen im Kopf zu vermasseln.

2. In den Beispielen mit verschiedene Typen Brüche - gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Mehrstöckig Bruchausdrücke wir reduzieren auf gewöhnliche, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

5. Wir teilen die Einheit gedanklich in einen Bruch auf, indem wir einfach den Bruch umdrehen.

Hier sind die Aufgaben, die Sie erledigen müssen. Antworten werden nach allen Aufgaben gegeben. Verwenden Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Ratschläge. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen könnten. Das erste Mal! Ohne Taschenrechner! Und die richtigen Schlüsse ziehen...

Erinnere dich an die richtige Antwort ab dem zweiten (insbesondere dritten) Mal erhalten - zählt nicht! So ist das harte Leben.

So, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens die Vorbereitung auf die Prüfung. Wir lösen ein Beispiel, wir prüfen, wir lösen folgendes. Wir haben alles entschieden - wir haben noch einmal vom ersten bis zum letzten geprüft. Und nur gemäß schau dir die Antworten an.

Berechnung:

Haben Sie sich entschieden?

Suchen Sie nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie eigens in einem Durcheinander aufgeschrieben, weg von der Versuchung sozusagen ... Hier sind sie, die Antworten, mit Semikolon aufgeschrieben.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Und jetzt ziehen wir Schlüsse. Wenn alles geklappt hat - glücklich für dich! Elementares Rechnen mit Brüchen ist nicht dein Problem! Sie können ernsthaftere Dinge tun. Wenn nicht...

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Unkenntnis und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber das lösbar Probleme.

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Gewöhnliche Bruchzahlen begegnen Schulkindern erst in der 5. Klasse und begleiten sie durch ihr ganzes Leben, da es im Alltag oft notwendig ist, einen Gegenstand nicht vollständig, sondern in Einzelteilen zu betrachten oder zu verwenden. Der Beginn des Studiums dieses Themas - teilen. Aktien sind gleiche Teile in die ein Objekt unterteilt ist. Schließlich ist es nicht immer möglich, beispielsweise die Länge oder den Preis eines Produkts als ganze Zahl auszudrücken, man sollte Teile oder Anteile eines beliebigen Maßes berücksichtigen. Gebildet aus dem Verb „zermalmen“ – in Teile teilen, und mit arabischen Wurzeln, tauchte im VIII. Jahrhundert das Wort „Fraktion“ selbst auf Russisch auf.

Bruchausdrücke lange Zeit gilt als der schwierigste Zweig der Mathematik. Als im 17. Jahrhundert die ersten mathematischen Lehrbücher erschienen, wurden sie als „gebrochene Zahlen“ bezeichnet, was für das Verständnis der Menschen sehr schwer darzustellen war.

moderner Look einfache gebrochene Reste, von denen Teile genau durch eine horizontale Linie getrennt sind, wurden zuerst zu Fibonacci - Leonardo von Pisa - beigetragen. Seine Schriften sind auf das Jahr 1202 datiert. Aber der Zweck dieses Artikels ist es, dem Leser einfach und klar zu erklären, wie die Multiplikation von gemischten Brüchen mit unterschiedlichen Nennern erfolgt.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern multiplizieren

Zunächst ist es notwendig, festzustellen Sorten von Brüchen:

• Korrekt;
• falsch;
• gemischt.

Als nächstes musst du dir merken, wie Bruchzahlen mit demselben Nenner multipliziert werden. Die eigentliche Regel dieses Prozesses ist leicht unabhängig zu formulieren: das Ergebnis der Multiplikation einfache Brüche mit gleichem Nenner ist ein Bruchausdruck, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner der gegebenen Brüche ist. Das heißt, der neue Nenner ist anfangs das Quadrat eines der vorhandenen.

Beim Multiplizieren einfache Brüche mit verschiedenen Nennern für zwei oder mehr Faktoren ändert sich die Regel nicht:

a/b * c/d = a * c / b * d.

Der einzige Unterschied ist das gebildete Zahl unter dem Bruchstrich steht das Produkt verschiedener Zahlen und natürlich das Quadrat von Eins numerischer Ausdruck es ist unmöglich, es zu benennen.

Es lohnt sich, die Multiplikation von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern anhand von Beispielen zu betrachten:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

In den Beispielen werden Möglichkeiten zum Reduzieren von Bruchausdrücken verwendet. Sie können die Zählerzahlen nur mit den Nennerzahlen neben kürzen stehende Multiplikatorenüber oder unter dem Bruchstrich kann nicht abgekürzt werden.

Zusammen mit einfach Bruchzahlen, gibt es den Begriff der gemischten Fraktionen. Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil, ist also die Summe dieser Zahlen:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Wie funktioniert die Multiplikation?

Mehrere Beispiele werden zur Betrachtung bereitgestellt.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Das Beispiel verwendet die Multiplikation einer Zahl mit gewöhnlicher Bruchteil, können Sie die Regel für diese Aktion durch die Formel aufschreiben:

a* b/c = a*b /c.

Tatsächlich ist ein solches Produkt die Summe identischer Bruchreste, und die Anzahl der Glieder gibt diese natürliche Zahl an. besonderer Fall:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Es gibt eine weitere Möglichkeit, die Multiplikation einer Zahl mit einem Bruchrest zu lösen. Sie müssen nur den Nenner durch diese Zahl teilen:

d* e/f = e/f: d.

Diese Technik ist sinnvoll, wenn der Nenner durch eine natürliche Zahl ohne Rest oder, wie man so sagt, vollständig dividiert wird.

Wandeln Sie gemischte Zahlen in unechte Brüche um und erhalten Sie das Produkt auf die zuvor beschriebene Weise:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Dieses Beispiel beinhaltet eine Möglichkeit, einen gemischten Bruch als unechten Bruch darzustellen, er kann auch als dargestellt werden allgemeine Formel:

a bc = a*b+ c / c, wobei der Nenner des neuen Bruchs gebildet wird, indem der ganzzahlige Teil mit dem Nenner multipliziert und zum Zähler des Originals addiert wird gebrochener Rest, und der Nenner bleibt gleich.

Dieser Vorgang funktioniert auch in Rückseite. Um den ganzzahligen Teil und den Bruchrest auszuwählen, müssen Sie den Zähler eines unechten Bruchs durch seinen Nenner mit einer „Ecke“ teilen.

Multiplikation unechte Brüche in gewohnter Weise hergestellt. Wann Aufnahme läuft Unter einem einzelnen Bruchstrich müssen Sie bei Bedarf Brüche kürzen, um Zahlen mit dieser Methode zu kürzen, und es ist einfacher, das Ergebnis zu berechnen.

Im Internet gibt es viele Helfer, um auch komplexe Probleme zu lösen. Mathe Probleme in verschiedenen Programmen. Eine ausreichende Anzahl solcher Dienste bieten ihre Hilfe beim Zählen der Multiplikation von Brüchen an verschiedene Nummern in Nennern - die sogenannten Online-Rechner zur Berechnung von Brüchen. Sie sind in der Lage, sich nicht nur zu vermehren, sondern auch alle anderen einfachsten zu produzieren Rechenoperationen mit gemeinsamen Brüchen und gemischten Zahlen. Es ist einfach, damit zu arbeiten, die entsprechenden Felder werden auf der Site-Seite ausgefüllt, das Zeichen wird ausgewählt mathematische Aktion und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Programm zählt automatisch.

Gegenstand Rechenoperationen mit Bruchzahlen ist in der gesamten Ausbildung von Mittel- und Oberschülern relevant. In der High School betrachten sie nicht mehr die einfachste Art, aber ganzzahlige Bruchausdrücke, aber die früher erlangten Kenntnisse der Transformations- und Berechnungsregeln werden in ihrer ursprünglichen Form angewendet. gut verdaut Grundwissen geben volles Vertrauen in gute Entscheidung die meisten herausfordernde Aufgaben.

Abschließend ist es sinnvoll, die Worte von Leo Tolstoi zu zitieren, der schrieb: „Der Mensch ist ein Bruchteil. Es liegt nicht in der Macht des Menschen, seinen Zähler – seine eigenen Verdienste – zu erhöhen, aber jeder kann seinen Nenner – seine Meinung von sich selbst – verringern und durch diese Verringerung seiner Vollkommenheit näher kommen.