Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen werden normalerweise durch Formeln gelöst. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die folgenden trigonometrischen Gleichungen als die einfachsten bezeichnet werden:

sinx = a

cos = a

tgx = a

ctgx = a

x ist der zu findende Winkel,
a ist eine beliebige Zahl.

Und hier sind die Formeln, mit denen Sie die Lösungen dieser einfachsten Gleichungen sofort aufschreiben können.

Für Nebenhöhlen:

Für Kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Für Tangente:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Für Kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Eigentlich ist dies theoretischer Teil Lösungen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Und das Ganze!) Gar nichts. Allerdings überschlägt sich die Zahl der Fehler zu diesem Thema einfach. Vor allem mit einer leichten Abweichung des Beispiels von der Vorlage. Wieso den?

Ja, weil viele Leute diese Briefe aufschreiben, ohne ihre Bedeutung überhaupt zu verstehen! Mit Besorgnis schreibt er auf, egal wie etwas passiert ...) Damit muss umgegangen werden. Trigonometrie für Menschen oder doch Menschen für Trigonometrie!?)

Finden wir es heraus?

Ein Winkel wird gleich sein arccos ein, zweite: -arccos a.

Und so wird es immer funktionieren. Für alle a.

Wenn Sie mir nicht glauben, fahren Sie mit der Maus über das Bild oder berühren Sie das Bild auf dem Tablet.) Ich habe die Nummer geändert a zu etwas negativem. Wie auch immer, wir haben eine Ecke arccos ein, zweite: -arccos a.

Daher kann die Antwort immer als zwei Reihen von Wurzeln geschrieben werden:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Wir kombinieren diese beiden Serien zu einer:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Und alle Dinge. Wir haben eine allgemeine Formel zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichung mit Kosinus erhalten.

Wenn Sie verstehen, dass dies keine Art von superwissenschaftlicher Weisheit ist, sondern nur eine abgekürzte Aufzeichnung von zwei Antwortreihen, Sie und Aufgaben "C" werden auf der Schulter sein. Mit Ungleichungen, mit der Auswahl von Wurzeln aus angegebenen Intervall... Da rollt die Antwort mit Plus/Minus nicht. Und wenn Sie die Antwort sachlich behandeln und in zwei getrennte Antworten aufteilen, ist alles entschieden.) Eigentlich verstehen wir dafür. Was, wie und wo.

In der einfachsten trigonometrischen Gleichung

sinx = a

erhalten Sie auch zwei Reihen von Wurzeln. Ist immer. Und diese beiden Serien können auch aufgenommen werden eine Linie. Nur diese Zeile wird schlauer:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Aber die Essenz bleibt gleich. Mathematiker konstruierten einfach eine Formel, um eine statt zwei Aufzeichnungen von Reihen von Wurzeln zu erstellen. Und alle!

Lassen Sie uns die Mathematiker überprüfen? Und das reicht nicht...)

In der vorherigen Lektion wurde die Lösung (ohne Formeln) der trigonometrischen Gleichung mit einem Sinus im Detail analysiert:

Die Antwort stellte sich als zwei Reihen von Wurzeln heraus:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Wenn wir dieselbe Gleichung mit der Formel lösen, erhalten wir die Antwort:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Eigentlich ist dies eine halbfertige Antwort.) Der Schüler muss das wissen arcsin 0,5 = π /6. Die vollständige Antwort wäre:

x = (-1)n π /6+ πn, n ∈ Z

Hier entsteht Interesse fragen. Antwort per x 1; x 2 (das ist die richtige Antwort!) und durch die Einsamkeit X (und das ist die richtige Antwort!) - dasselbe, oder nicht? Finden wir es jetzt heraus.)

Ersetzen Sie als Antwort mit x 1 Werte n =0; eines; 2; usw., betrachten wir, erhalten wir eine Reihe von Wurzeln:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 usw.

Mit der gleichen Ersetzung als Antwort auf x 2 , wir bekommen:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 usw.

Und jetzt ersetzen wir die Werte n (0; 1; 2; 3; 4...) in die allgemeine Formel für die Einsamen X . Das heißt, wir bauen minus eins ein Null Grad, dann zum ersten, zweiten und so weiter. Und natürlich setzen wir 0 in den zweiten Term ein; eines; 2 3; 4 usw. Und wir denken. Wir bekommen eine Reihe:

x= π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 usw.

Das ist alles, was Sie sehen können.) Allgemeine Formel gibt uns genau die gleichen Ergebnisse das sind die beiden Antworten getrennt. Alles auf einmal, in Ordnung. Mathematiker haben nicht getäuscht.)

Formeln zur Lösung trigonometrischer Gleichungen mit Tangens und Kotangens können ebenfalls überprüft werden. Aber lass uns nicht.) Sie sind so unprätentiös.

Ich habe all diese Substitutionen und Verifikationen absichtlich gemalt. Hier ist es wichtig, einen zu verstehen einfache Sache: es gibt Formeln zum Lösen elementarer trigonometrischer Gleichungen, nur, kurzer Eintrag Antworten. Für diese Kürze musste ich Plus/Minus in die Kosinuslösung und (-1) n in die Sinuslösung einfügen.

Diese Einsätze stören in keiner Weise bei Aufgaben, bei denen Sie nur die Antwort aufschreiben müssen elementare gleichung. Aber wenn Sie eine Ungleichung lösen oder etwas mit der Antwort tun müssen: Wurzeln in einem Intervall auswählen, nach ODZ suchen usw., können diese Einfügungen eine Person leicht verunsichern.

Und was machen? Ja, entweder malen Sie die Antwort in zwei Reihen, oder lösen Sie die Gleichung / Ungleichung in einem trigonometrischen Kreis. Dann verschwinden diese Einlagen und das Leben wird einfacher.)

Sie können zusammenfassen.

Um die einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu lösen, gibt es vorgefertigte Antwortformeln. Vier Stücke. Sie eignen sich gut zum sofortigen Schreiben der Lösung einer Gleichung. Zum Beispiel müssen Sie die Gleichungen lösen:

sin x = 0,3

Leicht: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cos = 0,2

Kein Problem: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tx = 1,2

Leicht: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctg = 3,7

Eins übrig: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Wenn Sie vor Wissen strahlen, schreiben Sie sofort die Antwort:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

dann strahlst du schon, das ... das ... aus einer Pfütze.) Die richtige Antwort lautet: es gibt keine lösungen. Verstehe nicht warum? Lesen Sie, was ein Arkuskosinus ist. Wenn sich auf der rechten Seite der ursprünglichen Gleichung außerdem Tabellenwerte von Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens befinden, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 usw. - Die Antwort durch die Bögen wird unvollendet sein. Bögen müssen in Radiant umgerechnet werden.

Und wenn Sie schon auf eine Ungleichheit stoßen, wie z

dann ist die antwort:

xπn, n ∈ Z

es gibt einen seltenen Unsinn, ja ...) Hier ist es notwendig trigonometrischer Kreis sich entscheiden. Was wir im entsprechenden Thema tun werden.

Für diejenigen, die heldenhaft bis zu diesen Zeilen gelesen haben. Ich kann einfach nicht anders, als Ihre titanischen Bemühungen zu schätzen. Sie einen Bonus.)

Bonus:

Beim Schreiben von Formeln in einer angespannten Kampfsituation geraten selbst hartgesottene Nerds oft ins Wanken PN, und wo 2πn. Hier ist ein einfacher Trick für Sie. Im alle Formeln Pn. Bis auf die einzige Formel mit Arcuscosinus. Es steht da 2πn. Zwei Pien. Stichwort - zwei. In der gleichen einzigen Formel sind zwei am Anfang unterschreiben. Plus und Minus. Hier und da - zwei.

Also wenn du geschrieben hast zwei Vorzeichen vor dem Arkuskosinus, dann kann man sich besser merken, was am Ende passieren wird zwei Pien. Und umgekehrt passiert. Überspringen Sie das Mannzeichen ± , zum Ende kommen, richtig schreiben zwei Pien, ja, und fang es. Vor etwas zwei Schild! Die Person wird zum Anfang zurückkehren, aber sie wird den Fehler korrigieren! So.)

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

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Was werden wir studieren:
1. Was sind trigonometrische Gleichungen?

3. Zwei Hauptmethoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.
4. Homogene trigonometrische Gleichungen.
5. Beispiele.

Was sind trigonometrische Gleichungen?

Leute, wir haben bereits Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens studiert. Betrachten wir nun allgemeine trigonometrische Gleichungen.

Trigonometrische Gleichungen– eine Gleichung, in der die Variable unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion steht.

Wir wiederholen die Form der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen:

1) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung cos(x) = a eine Lösung:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Wenn |а|≤ 1, dann Sündengleichung(x) = a hat eine Lösung:

3) Wenn |a| > 1, dann haben die Gleichungen sin(x) = a und cos(x) = a keine Lösungen 4) Die Gleichung tg(x)=a hat eine Lösung: x=arctg(a)+ πk

5) Die Gleichung ctg(x)=a hat eine Lösung: x=arcctg(a)+ πk

Für alle Formeln ist k eine ganze Zahl

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben die Form: Т(kx+m)=a, T- eine beliebige trigonometrische Funktion.

Beispiel.

Gleichungen lösen: a) sin(3x)= √3/2

Lösung:

A) Lassen Sie uns 3x=t bezeichnen, dann werden wir unsere Gleichung in der Form umschreiben:

Die Lösung dieser Gleichung lautet: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Aus der Wertetabelle erhalten wir: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Kommen wir zurück zu unserer Variablen: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dann ist x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Antwort: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, wobei n eine ganze Zahl ist. (-1)^n - minus eins hoch n.

Weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen.

Lösen Sie die Gleichungen: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lösung:

A) Dieses Mal gehen wir direkt zur Berechnung der Wurzeln der Gleichung über:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dann x/5= πk => x=5πk

Antwort: x=5πk, wobei k eine ganze Zahl ist.

B) Wir schreiben in der Form: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Das wissen wir: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwort: x=2π/9 + πk/3, wobei k eine ganze Zahl ist.

Gleichungen lösen: cos(4x)= √2/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment .

Lösung:

Wir werden uns entscheiden Gesamtansicht unsere Gleichung: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Mal sehen, welche Wurzeln in unserem Segment liegen. Für k Für k=0, x= π/16 sind wir dabei angegebenen Abschnitt.
Mit k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 treffen sie wieder.
Für k=2 ist x= π/16+ π=17π/16, aber hier haben wir nicht getroffen, was bedeutet, dass wir auch für große k nicht treffen werden.

Antwort: x= π/16, x= 9π/16

Zwei Hauptlösungsmethoden.

Wir haben die einfachsten trigonometrischen Gleichungen betrachtet, aber es gibt komplexere. Um sie zu lösen, werden die Methode der Einführung einer neuen Variablen und die Faktorisierungsmethode verwendet. Schauen wir uns Beispiele an.

Lösen wir die Gleichung:

Lösung:
Um unsere Gleichung zu lösen, verwenden wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen, bezeichnet als: t=tg(x).

Als Ergebnis der Ersetzung erhalten wir: t 2 + 2t -1 = 0

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-1 und t=1/3

Dann tg(x)=-1 und tg(x)=1/3, wir haben die einfachste trigonometrische Gleichung, lasst uns ihre Wurzeln finden.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwort: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ein Beispiel für das Lösen einer Gleichung

Gleichungen lösen: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Lösung:

Verwenden wir die Identität: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Unsere Gleichung lautet: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Führen wir die Ersetzung t=cos(x) ein: 2t 2 -3t - 2 = 0

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=2 und t=-1/2

Dann ist cos(x)=2 und cos(x)=-1/2.

Da Cosinus kann keine Werte größer als eins annehmen, dann hat cos(x)=2 keine Wurzeln.

Für cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwort: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische Gleichungen.

Definition: Eine Gleichung der Form a sin(x)+b cos(x) heißt homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades.

Gleichungen der Form

homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades.

Um eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades zu lösen, teilen wir sie durch cos(x): Sie können nicht durch Kosinus dividieren, wenn dies der Fall ist Null, stellen wir sicher, dass es nicht so ist:
Sei cos(x)=0, dann asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aber Sinus und Cosinus sind nicht gleichzeitig gleich Null, wir haben einen Widerspruch, also können wir sicher dividieren um null.

Löse die Gleichung:
Beispiel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Lösung:

Nehmen wir heraus gemeinsamer Faktor: cos(x)(c0s(x) + sin(x)) = 0

Dann müssen wir zwei Gleichungen lösen:

cos(x)=0 und cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 für x= π/2 + πk;

Betrachten Sie die Gleichung cos(x)+sin(x)=0 Dividieren Sie unsere Gleichung durch cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwort: x= π/2 + πk und x= -π/4+πk

Wie löst man homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades?
Leute, haltet euch immer an diese Regeln!

1. Sehen Sie was gleich dem Koeffizienten ist und wenn a = 0, dann nimmt unsere Gleichung die Form cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) an, ein Beispiel für die Lösung davon finden Sie auf der vorherigen Folie

2. Wenn a≠0, müssen Sie beide Teile der Gleichung durch den quadrierten Kosinus dividieren, wir erhalten:

Wir ändern die Variable t=tg(x) und erhalten die Gleichung:

Lösen Sie Beispiel #:3

Löse die Gleichung:
Lösung:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat:

Wir ändern die Variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-3 und t=1

Dann: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwort: x=-arctg(3) + πk und x= π/4+ πk

Lösen Sie Beispiel #:4

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir können solche Gleichungen lösen: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Antwort: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Lösen Sie Beispiel #:5

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir führen die Ersetzung tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ein

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=-2 und t=1/2

Dann erhalten wir: tg(2x)=-2 und tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Antwort: x=-arctg(2)/2 + πk/2 und x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

1) Lösen Sie die Gleichung

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Gleichungen lösen: sin(3x)= √3/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment [π/2; π].

3) Lösen Sie die Gleichung: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lösen Sie die Gleichung: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lösen Sie die Gleichung: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lösen Sie die Gleichung: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

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Beim Lösen vieler Mathe Probleme , insbesondere vor der 10. Klasse, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Solche Probleme umfassen beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, Bruchgleichungen und Gleichungen, die sich auf quadratisch reduzieren. Prinzip erfolgreiche Lösung Jede der genannten Aufgaben ist wie folgt: Es muss festgestellt werden, welche Art von Aufgabe gelöst wird. Denken Sie an die erforderliche Abfolge von Aktionen, die dazu führen erwünschtes Ergebnis, d.h. beantworten und diesen Schritten folgen.

Offensichtlich hängt der Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon ab, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird, wie richtig die Reihenfolge aller Schritte ihrer Lösung wiedergegeben wird. Natürlich ist es notwendig, die Fähigkeiten zu haben, um aufzutreten identische Transformationen und Rechnen.

Eine andere Situation tritt auf mit trigonometrische Gleichungen. Es ist nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Schwierigkeiten ergeben sich bei der Bestimmung der Handlungsabfolge, die zur richtigen Antwort führen würde.

Durch Aussehen Gleichungen manchmal ist es schwierig, ihren Typ zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um die trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen wir versuchen:

1. Bringe alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf "die gleichen Winkel";
2. Bringe die Gleichung auf "die gleichen Funktionen";
3. faktorisiere die linke Seite der Gleichung usw.

In Betracht ziehen grundlegende Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. ausdrücken Trigonometrische Funktion durch bekannte Komponenten.

Schritt 2 Funktionsargument mithilfe von Formeln finden:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ´Z.

Sünde x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3 Finden Sie eine unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n ä Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n ´ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

II. Variable Substitution

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie die Gleichung auf algebraische Form bezüglich einer der trigonometrischen Funktionen.

Schritt 2 Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie gegebenenfalls Einschränkungen für t ein).

Schritt 3 Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4 Führen Sie eine umgekehrte Substitution durch.

Schritt 5 Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 - Sünde 2 (x/2)) - 5 Sünde (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2 erfüllt die Bedingung |t| nicht ≤ 1.

4) Sünde (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ´ Z;

x = π + 4πn, n ´ Z.

Antwort: x = π + 4πn, n ´ Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsschema

Schritt 1. Ersetzen gegebene Gleichung linear, unter Verwendung der Reduktionsformeln dafür:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos2x + cos2x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ´ Z;

x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung in die Form

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogene Gleichung erster Abschluss)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2 Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Schritt 3 Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sei also tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, also

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k ´ Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n ´ Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Verfahren zum Transformieren einer Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Formeln

Lösungsschema

Schritt 1. Mit allen möglichen trigonometrische Formeln, bringen Sie diese Gleichung in die Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst wurde.

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Lösung.

1) (Sünde x + Sünde 3x) + Sünde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) Sünde 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n ´ Z; ab dem zweiten cos-gleichungen x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Antwort: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Die Fähigkeit und Fähigkeiten, trigonometrische Gleichungen zu lösen, sind sehr gut wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl auf Seiten des Schülers als auch des Lehrers.

Viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. hängen mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen zusammen.Der Prozess der Lösung solcher Probleme enthält sozusagen viele Kenntnisse und Fähigkeiten, die beim Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen wichtiger Platz im Prozess des Mathematikunterrichts und der Persönlichkeitsentwicklung im Allgemeinen.

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Komplexere trigonometrische Gleichungen

Gleichungen

Sünde x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

sind die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. In diesem Absatz weiter konkrete Beispiele Wir werden komplexere trigonometrische Gleichungen betrachten. Ihre Lösung reduziert sich in der Regel auf die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Beispiel 1 . löse die Gleichung

Sünde 2 X= cos X Sünde 2 x.

Wenn wir alle Terme dieser Gleichung auf die linke Seite übertragen und den resultierenden Ausdruck in Faktoren zerlegen, erhalten wir:

Sünde 2 X(1 - cos X) = 0.

Das Produkt zweier Ausdrücke ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist und der andere einen beliebigen annimmt numerischer Wert, solange es definiert ist.

Wenn ein Sünde 2 X = 0 , dann 2 X=n π ; X = π / 2n.

Wenn 1 - cos X = 0 , dann cos X = 1; X = 2kπ .

Wir haben also zwei Gruppen von Wurzeln: X = π / 2n; X = 2kπ . Die zweite Gruppe von Wurzeln ist offensichtlich in der ersten enthalten, da für n = 4k der Ausdruck X = π / 2n wird
X = 2kπ .

Daher kann die Antwort in einer Formel geschrieben werden: X = π / 2n, wo n-jede ganze Zahl.

Beachten Sie, dass diese Gleichung nicht durch Reduktion um sin 2 gelöst werden konnte x. In der Tat würden wir nach der Reduktion 1 - cos x = 0 erhalten, woher X= 2k π . So würden wir zum Beispiel einige Wurzeln verlieren π / 2 , π , 3π / 2 .

BEISPIEL 2. löse die Gleichung

Ein Bruch ist nur dann Null, wenn sein Zähler Null ist.
Deshalb Sünde 2 X = 0 , woher 2 X=n π ; X = π / 2n.

Aus diesen Werten X Als irrelevant sollten diejenigen Werte verworfen werden, für die SündeX verschwindet (Brüche mit Nullnenner sind bedeutungslos: Division durch Null ist nicht definiert). Diese Werte sind Zahlen, die Vielfache von sind π . In der Formel
X = π / 2n sie werden sogar erhalten n. Daher sind die Wurzeln dieser Gleichung die Zahlen

X = π / 2 (2k + 1),

wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.

Beispiel 3 . löse die Gleichung

2 Sünde 2 X+ 7 cos x - 5 = 0.

Äußern Sünde 2 X durch cosx : Sünde 2 X = 1 - cos 2x . Dann kann diese Gleichung umgeschrieben werden als

2 (1 - cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 , oder

2 cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

bezeichnet cosx durch bei, kommen wir zu quadratische Gleichung

2 Jahre 2 - 7 Jahre + 3 = 0,

deren Wurzeln die Zahlen 1 / 2 und 3 sind. Daher entweder cos x= 1 / 2 oder cos X= 3. Letzteres ist jedoch unmöglich, da der Kosinus jedes Winkels in absoluter Wert 1 nicht überschreitet.

Das bleibt anzuerkennen cos x = 1 / 2 , wo

x = ± 60° + 360° k.

Beispiel 4 . löse die Gleichung

2 Sünde X+ 3 cos x = 6.

Weil Sünde x und cos x 1 im absoluten Wert nicht überschreiten, dann der Ausdruck
2 Sünde X+ 3 cos x kann keine Werte größer als annehmen 5 . Daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Beispiel 5 . löse die Gleichung

Sünde X+ cos x = 1

Indem wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, erhalten wir:

Sünde 2 X+ 2 Sünde x cos x+ cos2 x = 1,

aber Sünde 2 X + cos 2 x = 1 . Deshalb 2 Sünde x cos x = 0 . Wenn ein Sünde x = 0 , dann X = nπ ; wenn
cos x , dann X = π / 2 + kπ . Diese beiden Gruppen von Lösungen können in einer Formel geschrieben werden:

X = π / 2n

Da wir beide Teile dieser Gleichung quadriert haben, ist es möglich, dass unter den erhaltenen Wurzeln Fremde sind. Aus diesem Grund ist in diesem Beispiel im Gegensatz zu allen vorherigen eine Überprüfung erforderlich. Alle Werte

X = π / 2n lässt sich in 4 Gruppen einteilen

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

Bei X = 2kπ Sünde x+ cos x= 0 + 1 = 1. Daher gilt X = 2kπ sind die Wurzeln dieser Gleichung.

Bei X = π / 2 + 2kπ. Sünde x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ sind auch die Wurzeln dieser Gleichung.

Bei X = π + 2kπ Sünde x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Daher die Werte X = π + 2kπ sind keine Wurzeln dieser Gleichung. Ebenso wird das gezeigt X = 3π / 2 + 2kπ. sind keine Wurzeln.

Somit hat diese Gleichung die folgenden Wurzeln: X = 2kπ und X = π / 2 + 2mπ., wo k und m- beliebige ganze Zahlen.