Oppitunnit 32-33. Käänteinen trigonometriset funktiot

09.07.2015 5917 0

Kohde: harkita käänteisiä trigonometrisiä funktioita, niiden käyttöä ratkaisujen kirjoittamiseen trigonometriset yhtälöt.

I. Viestintä oppituntien aiheesta ja tavoitteista

II. Uuden materiaalin oppiminen

1. Käänteiset trigonometriset funktiot

Aloitetaan tämä aihe seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 1

Ratkaistaan ​​yhtälö: a) sin x = 1/2; b) sin x \u003d a.

a) Aseta ordinaattiselle akselille arvo 1/2 ja piirrä kulmat x 1 ja x2, jolle synti x = 1/2. Tässä tapauksessa x1 + x2 = π, josta x2 = π – x 1 . Trigonometristen funktioiden arvotaulukon mukaan löydämme arvon x1 = π/6, niinOtamme huomioon sinifunktion jaksollisuuden ja kirjoitamme ratkaisut muistiin annettu yhtälö: missä k ∈ Z .

b) On selvää, että yhtälön ratkaisualgoritmi synti x = a on sama kuin edellisessä kappaleessa. Tietenkin nyt a:n arvo piirretään y-akselia pitkin. Kulma x1 on jotenkin määritettävä. Sovimme, että merkitsemme tällaisen kulman symbolilla kaari synti a. Sitten tämän yhtälön ratkaisut voidaan kirjoittaa muodossaNämä kaksi kaavaa voidaan yhdistää yhdeksi: jossa

Muut käänteiset trigonometriset funktiot esitellään samalla tavalla.

Hyvin usein on tarpeen määrittää kulman arvo by tunnettu arvo sen trigonometrinen funktio. Tällainen ongelma on moniarvoinen - on ääretön määrä kulmia, joiden trigonometriset funktiot ovat yhtä suuret kuin sama arvo. Siksi trigonometristen funktioiden monotonisuuteen perustuen yksiselitteinen määritelmä kulmat esittelevät seuraavat käänteiset trigonometriset funktiot.

A:n arksini (arcsin , jonka sini on yhtä suuri kuin a, ts.

Luvun kaarikosini a(arccos a) - sellainen kulma a intervallista, jonka kosini on yhtä suuri kuin a, ts.

Luvun kaaritangentti a(arctg a) - sellainen kulma a väliltäjonka tangentti on a, ts.tg a = a.

Luvun kaaritangentti a(arctg a) - sellainen kulma a väliltä (0; π), jonka kotangentti on yhtä suuri kuin a, ts. ctg a = a.

Esimerkki 2

Etsitään:

Kun otetaan huomioon käänteisten trigonometristen funktioiden määritelmät, saamme:

Esimerkki 3

Laskea

Olkoon kulma a = arcsin 3/5, sitten määritelmän mukaan sin a = 3/5 ja . Siksi meidän on löydettävä cos a. Käyttämällä pää trigonometrinen identiteetti, saamme:Huomioon otetaan, että cos a ≥ 0.

Toiminnon ominaisuudet	Toiminto
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
Verkkotunnus	x ∈ [-1; yksi]	x ∈ [-1; yksi]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Arvoalue	y ∈ [-π/2; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Pariteetti	outo	Ei parillinen eikä outo	outo	Ei parillinen eikä outo
Funktion nollat ​​(y = 0)	Kun x = 0	Jos x = 1	Kun x = 0	y ≠ 0
Vakiovälit	y > 0 x ∈ (0; 1], klo< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 x ∈ [-1; yksi)	y > 0 x ∈ (0; +∞), klo< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 x ∈ (-∞; +∞)
Yksitoikkoinen	Kasvava	Vähenee	Kasvava	Vähenee
Suhde trigonometriseen funktioon	sin y \u003d x	koska y = x	tg y = x	ctg y=x
Ajoittaa

Otetaan toinen sarja tyypillisiä esimerkkejä liittyvät käänteisten trigonometristen funktioiden määritelmiin ja perusominaisuuksiin.

Esimerkki 4

Etsi funktion toimialue

Jotta funktio y voidaan määritellä, on välttämätöntä, että epäyhtälöjoka vastaa epätasa-arvojärjestelmääEnsimmäisen epäyhtälön ratkaisu on väli x∈ (-∞; +∞), toinen - Tämä intervalli ja on ratkaisu epätasa-arvojärjestelmään ja siten funktion alue

Esimerkki 5

Etsi funktion muutosalue

Harkitse funktion käyttäytymistä z \u003d 2x - x2 (katso kuva).

Voidaan nähdä, että z ∈ (-∞; 1]. Koska argumentti z käänteisen tangentin funktio vaihtelee määritetyissä rajoissa, saamme sen taulukon tiedoistaMuutosalue siis

Esimerkki 6

Osoitetaan, että funktio y = arctg x outoa. Anna ollaSitten tg a \u003d -x tai x \u003d - tg a \u003d tg (- a) ja Siksi - a \u003d arctg x tai a \u003d - arctg X. Näin ollen näemme seneli y(x) on pariton funktio.

Esimerkki 7

Ilmaistamme kaikki käänteiset trigonometriset funktiot

Anna olla Se on selvää Sitten siitä lähtien

Otetaan käyttöön kulma Kuten sitten

Vastaavasti siis ja

Niin,

Esimerkki 8

Rakennamme funktion y \u003d kuvaaja cos (arcsin x).

Merkitse sitten \u003d arcsin x Otamme huomioon, että x \u003d sin a ja y \u003d cos a, eli x 2 + y2 = 1 ja x:n rajoitukset (x∈ [-yksi; 1]) ja y (y ≥ 0). Sitten funktion y = kuvaaja cos (arcsin x) on puoliympyrä.

Esimerkki 9

Rakennamme funktion y \u003d kuvaaja arccos (cosx).

Koska toiminto cos x muuttuu segmentissä [-1; 1], niin funktio y on määritelty kokonaisuudessaan numeerinen akseli ja muutokset segmentissä . Pidämme mielessä, että y = arccos (cosx) \u003d x segmentillä; funktio y on parillinen ja jaksollinen jaksolla 2π. Ottaen huomioon, että funktiolla on nämä ominaisuudet cos x, Nyt on helppo piirtää.

Huomaamme joitain hyödyllisiä yhtäläisyyksiä:

Esimerkki 10

Etsi pienin ja suurin arvo toimintoja Merkitse sitten Hanki toiminto Tällä funktiolla on minimiarvo kohdassa z = π/4, ja se on yhtä suuri kuin Toiminnon maksimiarvo saavutetaan pisteessä z = -π/2, ja se on yhtä suuri kuin Siten ja

Esimerkki 11

Ratkaistaan ​​yhtälö

Otamme sen huomioon Sitten yhtälö näyttää tältä:tai missä Arkitangentin määritelmän mukaan saamme:

2. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisu

Kuten esimerkissä 1, voit saada ratkaisuja yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin.

Yhtälö	Päätös
tgx = a
ctg x = a

Esimerkki 12

Ratkaistaan ​​yhtälö

Koska sinifunktio on pariton, kirjoitamme yhtälön muotoonRatkaisut tähän yhtälöön:mistä löydämme

Esimerkki 13

Ratkaistaan ​​yhtälö

Yllä olevan kaavan mukaan kirjoitamme yhtälön ratkaisut:ja löytää

Huomaa, että tietyissä tapauksissa (a = 0; ±1) yhtälöitä ratkaistaessa sin x = a ja cos x = a on helpompi ja kätevämpi käyttää ei yleiset kaavat, ja kirjoittaa ratkaisuja sen perusteella yksikköympyrä:

yhtälölle sin x = 1 ratkaisu

yhtälölle sin x \u003d 0 ratkaisut x \u003d π k;

yhtälön sin x = -1 ratkaisu

yhtälölle cos x = 1 ratkaisut x = 2π k;

yhtälön cos x = 0 ratkaisu

yhtälön cos x = -1 ratkaisu

Esimerkki 14

Ratkaistaan ​​yhtälö

Vuodesta lähtien tämä esimerkki saatavilla erikoistapaus yhtälöt, niin kirjoitamme vastaavan kaavan mukaan ratkaisun:mistä löydämme

III. testikysymykset(etuäänestys)

1. Määrittele ja luettele käänteisten trigonometristen funktioiden pääominaisuudet.

2. Esitä kuvaajat käänteisistä trigonometrisista funktioista.

3. Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisu.

IV. Tehtävä tunneilla

§ 15, nro 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, nro 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, nro 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Kotitehtävät

§ 15, nro 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (d); 16(b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

§ 16, nro 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19 (a, b);

§ 17, nro 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Luovia tehtäviä

1. Etsi funktion laajuus:

Vastaukset:

2. Etsi funktion alue:

Vastaukset:

3. Piirrä funktio:

VII. Oppituntien yhteenveto

Käänteiset trigonometriset funktiot ovat matemaattiset funktiot, jotka ovat trigonometristen funktioiden käänteisarvoja.

Funktio y=arcsin(x)

Luvun α arksini on sellainen luku α väliltä [-π/2; π/2], jonka sini on yhtä suuri kuin α.
Funktiokaavio
Funktio y \u003d sin⁡ (x) välissä [-π / 2; π / 2] on tiukasti kasvava ja jatkuva; siksi hänellä on käänteinen funktio, tiukasti kasvava ja jatkuva.
Käänteisfunktiota funktiolle y= sin⁡(x), jossa x ∈[-π/2;π/2], kutsutaan arcsiniksi ja sitä merkitään y=arcsin(x), missä x∈[-1;1 ].
Joten käänteisfunktion määritelmän mukaan arsinin määritelmäalue on segmentti [-1; 1] ja arvojoukko on segmentti [-π/2; π/2].
Huomaa, että funktion y=arcsin(x), jossa x ∈[-1;1] kuvaaja on symmetrinen funktion y= sin(⁡x) kuvaajalle, missä x∈[-π/2;π /2], suhteessa koordinaattikulmien puolittajaan ensimmäisen ja kolmannen neljänneksen osalta.

Funktion y=arcsin(x) laajuus.

Esimerkki numero 1.

Löytyykö arcsin(1/2)?

Koska funktion arcsin(x) alue kuuluu väliin [-π/2;π/2], vain arvo π/6 on sopiva, joten arcsin(1/2) = π/6.
Vastaus: π/6

Esimerkki #2.
Löytyykö arcsin(-(√3)/2)?

Alueesta lähtien arcsin arvot(x) x ∈[-π/2;π/2], silloin vain arvo -π/3 on sopiva, joten arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Funktio y=arccos(x)

Luvun α arkosiini on luku α väliltä, ​​jonka kosini on yhtä suuri kuin α.

Funktiokaavio

Funktio y= cos(⁡x) välissä on tiukasti laskeva ja jatkuva; siksi sillä on käänteisfunktio, joka on tiukasti laskeva ja jatkuva.
Kutsutaan funktion y= cos⁡x käänteisfunktio, jossa x ∈ kaari kosini ja merkitään y=arccos(x), missä x ∈[-1;1].
Joten käänteisfunktion määritelmän mukaan arkosiinin määritelmäalue on segmentti [-1; 1] ja arvojoukko on segmentti.
Huomaa, että funktion y=arccos(x) kuvaaja, jossa x ∈[-1;1] on symmetrinen funktion y= cos(⁡x) kuvaajalle, jossa x ∈, suhteessa funktion puolittajaan. ensimmäisen ja kolmannen neljänneksen koordinaattikulmat.

Funktion y=arccos(x) laajuus.

Esimerkki #3.

Löytyykö arccos(1/2)?

Koska arccos(x) on x∈, vain arvo π/3 on sopiva, joten arccos(1/2) =π/3.
Esimerkki numero 4.
Löytyykö arccos(-(√2)/2)?

Koska funktion arccos(x) alue kuuluu väliin, niin vain arvo 3π/4 on sopiva, joten arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Vastaus: 3π/4

Funktio y=arctg(x)

Luvun α arctangentti on sellainen luku α väliltä [-π/2; π/2], jonka tangentti on yhtä suuri kuin α.

Funktiokaavio

Tangenttifunktio on jatkuva ja tiukasti kasvava välillä (-π/2; π/2); siksi sillä on käänteisfunktio, joka on jatkuva ja tiukasti kasvava.
Käänteisfunktio funktiolle y= tg⁡(x), missä x∈(-π/2;π/2); kutsutaan arktangentiksi ja merkitään y=arctg(x), missä x∈R.
Joten käänteisfunktion määritelmän mukaan arktangentin määritelmäalue on väli (-∞; +∞) ja arvojoukko on väli
(-π/2;π/2).
Huomaa, että funktion y=arctg(x), jossa x∈R, kuvaaja on symmetrinen funktion y=tg⁡x kuvaajalle, missä x ∈ (-π/2;π/2), suhteessa ensimmäisen ja kolmannen neljänneksen koordinaattikulmien puolittaja.

Funktion y=arctg(x) laajuus.

Esimerkki #5?

Etsi arctg((√3)/3).

Koska alue arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), vain arvo π/6 on sopiva, joten arctg((√3)/3) =π/6.
Esimerkki numero 6.
Löytyykö arctg(-1)?

Koska alue arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), vain arvo -π/4 on sopiva, joten arctg(-1) = - π/4.

Funktio y=arctg(x)

Luvun α arctangentti on sellainen luku α väliltä (0; π), jonka kotangentti on yhtä suuri kuin α.

Funktiokaavio

Välillä (0;π) kotangenttifunktio pienenee tiukasti; lisäksi se on jatkuva tämän aikavälin jokaisessa pisteessä; siksi välissä (0;π) tällä funktiolla on käänteisfunktio, joka on tiukasti laskeva ja jatkuva.
Käänteisfunktiota funktiolle y=ctg(x), jossa x ∈(0;π), kutsutaan kaarikotangentiksi ja sitä merkitään y=arcctg(x), missä x∈R.
Joten käänteisen funktion määritelmän mukaan käänteisen tangentin määritelmäalue on R arvot – intervalli (0; π). Funktio y=arcctg(x), jossa x∈R on symmetrinen funktion y=ctg(x) x∈(0; π) kuvaajalle, jossa suhteessa ensimmäisen ja kolmannen neljänneksen koordinaattikulmien puolittajaan.

Funktion y=arcctg(x) laajuus.

Esimerkki numero 7.
Löytyykö arcctg((√3)/3)?

Koska alue arcctg(x) x ∈(0;π), vain arvo π/3 on sopiva, joten arccos((√3)/3) =π/3.

Esimerkki numero 8.
Löytyykö arcctg(-(√3)/3)?

Koska alue arcctg(x) x∈(0;π), vain arvo 2π/3 on sopiva, joten arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Toimittajat: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Käänteisten trigonometristen funktioiden määritelmät ja niiden kuvaajat on annettu. Sekä käänteisiä trigonometrisiä funktioita koskevia kaavoja, summien ja erojen kaavoja.

Käänteisten trigonometristen funktioiden määritelmä

Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, niiden käänteisfunktiot eivät ole yksiarvoisia. Joten yhtälö y = synti x, sillä annettu , on äärettömän monta juurta. Itse asiassa, sinin jaksoisuudesta johtuen, jos x on tällainen juuri, niin x + 2n(jossa n on kokonaisluku) on myös yhtälön juuri. Täten, käänteiset trigonometriset funktiot ovat moniarvoisia. Heidän kanssaan työskentelyn helpottamiseksi esitellään heidän pääarvonsa käsite. Tarkastellaan esimerkiksi siniä: y = synti x. Jos rajoitamme argumentin x väliin , niin siinä funktio y = synti x kasvaa monotonisesti. Siksi sillä on yksiarvoinen käänteisfunktio, jota kutsutaan arcsiniksi: x = arcsin y.

Ellei toisin mainita, käänteiset trigonometriset funktiot tarkoittavat niiden pääarvoja, jotka määritellään seuraavilla määritelmillä.

Arcsine ( y= arcsin x) on sinin käänteisfunktio ( x= synkkä

Kaaren kosini ( y= arccos x) on kosinin käänteisfunktio ( x= cos y), jolla on määritelmäalue ja joukko arvoja.

Arktangentti ( y= arctg x) on tangentin käänteisfunktio ( x= tg y), jolla on määritelmäalue ja joukko arvoja.

Kaaretangentti ( y= arcctg x) on kotangentin käänteisfunktio ( x= ctg y), jolla on määritelmäalue ja joukko arvoja.

Käänteisten trigonometristen funktioiden kuvaajat

Käänteisten trigonometristen funktioiden kuvaajat saadaan trigonometristen funktioiden kaavioista peilin heijastus suhteessa suoraan y = x . Katso kohdat Sini, kosini, Tangentti, kotangentti.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Peruskaavat

Tässä tulee kiinnittää erityistä huomiota aikaväleihin, joille kaavat ovat voimassa.

arcsin(sin x) = x klo
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x klo
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x klo
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x klo
ctg(arctg x) = x

Käänteisiä trigonometrisia funktioita koskevat kaavat

Summa- ja erotuskaavat

klo tai

klo ja

klo ja

klo tai

klo ja

klo ja

klo

klo

klo

klo

Sin-, cos-, tg- ja ctg-funktioiden mukana on aina arcsini, arkosiini, arktangentti ja arkotangentti. Toinen on seurausta toisesta, ja funktioparit ovat yhtä tärkeitä trigonometristen lausekkeiden kanssa työskentelyssä.

Harkitse yksikköympyrän piirustusta, joka näyttää graafisesti trigonometristen funktioiden arvot.

Jos lasket kaaret OA, arcos OC, arctg DE ja arcctg MK, ne ovat kaikki yhtä suuret kuin kulman α arvo. Alla olevat kaavat kuvaavat trigonometristen pääfunktioiden ja niitä vastaavien kaarien välistä suhdetta.

Jotta ymmärtäisit enemmän arsinin ominaisuuksista, on tarpeen tarkastella sen toimintaa. Ajoittaa on muodoltaan epäsymmetrinen käyrä, joka kulkee koordinaattien keskipisteen kautta.

Arksiinin ominaisuudet:

Jos vertaamme kaavioita synti ja kaari synti, kaksi trigonometristä funktiota voivat löytää yhteisiä kuvioita.

Kaaren kosini

Arccos luvusta a on kulman α arvo, jonka kosini on yhtä suuri kuin a.

Käyrä y = arcos x heijastaa arcsin x:n käyrää, sillä ainoa ero on, että se kulkee pisteen π/2 kautta OY-akselilla.

Harkitse arkosiinifunktiota yksityiskohtaisemmin:

1. Funktio määritellään segmentillä [-1; yksi].
2. ODZ arccosille - .
3. Kaavio sijaitsee kokonaan I ja II neljänneksillä, eikä itse funktio ole parillinen eikä pariton.
4. Y = 0, kun x = 1.
5. Käyrä pienenee koko pituudeltaan. Jotkut kaarikosinin ominaisuudet ovat samat kuin kosinifunktion.

Jotkut kaarikosinin ominaisuudet ovat samat kuin kosinifunktion.

On mahdollista, että tällainen "yksityiskohtainen" tutkimus "kaareista" näyttää tarpeettomalta koululaisille. Muuten kuitenkin alkeellisia tyypillisiä tehtäviä Yhtenäiset valtionkokeet voivat johtaa opiskelijat umpikujaan.

Harjoitus 1. Määritä kuvassa näkyvät toiminnot.

Vastaus: riisi. 1 - 4, kuva 2 - 1.

Tässä esimerkissä painopiste on pienissä asioissa. Yleensä opiskelijat ovat hyvin välinpitämättömiä kaavioiden rakentamisen ja funktioiden ulkoasun suhteen. Todellakin, miksi muistaa käyrän muoto, jos se voidaan aina rakentaa lasketuista pisteistä. Älä unohda, että testiolosuhteissa piirtämiseen käytetty aika yksinkertainen tehtävä tarvitaan monimutkaisempiin tehtäviin.

Arktangentti

Arctg luku a on kulman α sellainen arvo, että sen tangentti on yhtä suuri kuin a.

Jos tarkastelemme arctangentin kuvaajaa, voimme erottaa seuraavat ominaisuudet:

1. Kaavio on ääretön ja se on määritetty välille (- ∞; + ∞).
2. Arktangentti outo toiminto, siksi arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0, kun x = 0.
4. Käyrä kasvaa koko määritelmäalueen yli.

Tässä lyhyt vertaileva analyysi tg x ja arctg x taulukkona.

Kaaren tangentti

Arcctg luvusta a - ottaa väliltä (0; π) sellaisen arvon α, että sen kotangentti on yhtä suuri kuin a.

Arkkikotangenttifunktion ominaisuudet:

1. Funktiomäärittelyväli on ääretön.
2. Alue sallitut arvot on väli (0; π).
3. F(x) ei ole parillinen eikä pariton.
4. Funktion kuvaaja pienenee koko pituudeltaan.

ctg x:n ja arctg x:n vertailu on hyvin yksinkertaista, sinun tarvitsee vain piirtää kaksi piirustusta ja kuvata käyrien käyttäytymistä.

Tehtävä 2. Korreloi kuvaaja ja funktion muoto.

Loogisesti kaaviot osoittavat, että molemmat funktiot kasvavat. Siksi molemmissa kuvissa on jokin arctg-funktio. Arkitangentin ominaisuuksista tiedetään, että y=0, kun x = 0,

Vastaus: riisi. 1 - 1, kuva fig. 2-4.

Trigonometriset identiteetit arcsin, arcos, arctg ja arcctg

Olemme jo aiemmin tunnistaneet kaarien ja trigonometrian päätoimintojen välisen suhteen. Tämä riippuvuus voidaan ilmaista useilla kaavoilla, jotka mahdollistavat esimerkiksi argumentin sinin ilmaisemisen sen arcsinin, arkosinin kautta tai päinvastoin. Tällaisten identiteettien tunteminen voi olla hyödyllistä tiettyjen esimerkkien ratkaisemisessa.

Arctg:lle ja arcctg:lle on myös suhteita:

Toinen hyödyllinen kaavapari asettaa arvon saman kulman arcsin- ja arcos- sekä arcctg- ja arcctg-arvojen summalle.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Trigonometriatehtävät voidaan jakaa neljään ryhmään: laske numeerinen arvo tietty lauseke, rakentaa tämän funktion kaavio, etsi sen määritelmäalue tai ODZ ja suorita analyyttisiä muunnoksia esimerkin ratkaisemiseksi.

Ensimmäisen tyyppisiä ongelmia ratkaistaessa on noudatettava seuraava suunnitelma Toiminnot:

Kun työskentelet funktiokaavioiden kanssa, tärkeintä on niiden ominaisuuksien ja ominaisuuksien tuntemus ulkomuoto kiero. Identiteettitaulukoita tarvitaan trigonometristen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen. Mitä enemmän kaavoja opiskelija muistaa, sitä helpompi on löytää vastaus tehtävään.

Oletetaan, että kokeessa on löydettävä vastaus tyyppiselle yhtälölle:

Jos muutat ilmaisun oikein ja johdat siihen oikeanlaista, sen ratkaiseminen on erittäin helppoa ja nopeaa. Siirretään ensin arcsin x kohtaan oikea puoli tasa-arvo.

Jos muistamme kaavan arcsin (sinα) = α, niin voimme vähentää vastausten etsimistä kahden yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen:

Mallin x rajoitus johtui jälleen arcsinin ominaisuuksista: ODZ x:lle [-1; yksi]. Kun ≠ 0, osa järjestelmästä on toisen asteen yhtälö joiden juuret x1 = 1 ja x2 = - 1/a. Kun a = 0, x on yhtä suuri kuin 1.