अगर गुणा करें संख्याअपने आप में, यह निर्माण को चालू कर देगा वर्ग. यहां तक ​​कि एक प्रथम ग्रेडर भी जानता है कि "दो बार दो चार है।" तीन अंक, चार अंक, आदि। कॉलम में या कैलकुलेटर पर संख्याओं को गुणा करना बेहतर है, लेकिन इलेक्ट्रॉनिक सहायक के बिना दोहरे अंकों की संख्या से निपटें, अपने दिमाग में गुणा करें।

अनुदेश

1. किन्हीं दो-मान का विस्तार करें संख्याघटकों में, इकाइयों की संख्या पर प्रकाश डाला। 96 की संख्या में, संख्या 6 है। इसलिए, इसे लिखने की अनुमति है: 96 \u003d 90 + 6।

2. के लिए बढ़ा वर्गपहली संख्या: 90 * 90 = 8100।

3. दूसरे के साथ भी ऐसा ही करें। संख्यामी: 6 * 6 = 36

4. संख्याओं को एक साथ गुणा करें और कुल को दोगुना करें: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080।

5. दूसरे, तीसरे और चौथे चरण के परिणामों को जोड़ें: 8100 + 36 + 1080 = 9216। यह बढ़ाने का परिणाम है वर्गनंबर 96. कुछ प्रशिक्षण के बाद, आप अपने माता-पिता और सहपाठियों को मारते हुए जल्दी से अपने दिमाग में कदम उठा पाएंगे। जब तक आपको इसकी आदत न हो जाए, पूरे चरण के परिणामों को लिख लें ताकि भ्रमित न हों।

6. प्रशिक्षण के लिए, बढ़ाएँ वर्ग संख्या 74 और कैलकुलेटर पर खुद को जांचें। क्रियाओं का क्रम: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476।

7. दूसरी शक्ति के लिए उठाएँ संख्या 81. आपके कार्य: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561।

8. याद है गैर मानक विधिनिर्माण में वर्ग दो अंकों की संख्या, जो संख्या 5 पर समाप्त होता है। दहाई की संख्या का चयन करें: संख्या 75 में उनमें से 7 हैं।

9. दहाई की संख्या को अगले अंक से गुणा करें संख्यापहली पंक्ति: 7 * 8 = 56।

10. दाईं ओर विशेषता संख्या 25:5625 - निर्माण का परिणाम वर्गसंख्या 75.

11. प्रशिक्षण के लिए दूसरी शक्ति बढ़ाएँ संख्या 95. यह संख्या 5 के साथ समाप्त होता है, इसलिए क्रियाओं का क्रम: 9 * 10 = 90, 9025 - कुल।

12. निर्माण करना सीखें वर्गऋणात्मक संख्याएं: -95 इंच वर्ग 9025 के बराबर है, जैसा कि ग्यारहवें चरण में है। जैसे -74 इंच वर्गई 5476 है, जैसा कि छठे चरण में है। यह इस तथ्य के कारण है कि जब 2 ऋणात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो सही हमेशा प्राप्त होता है। संख्या:-95*-95=9025. नतीजतन, जब तक बढ़ा दिया जाता है वर्गआप माइनस साइन को आसानी से नजरअंदाज कर सकते हैं।

किसी संख्या को घात में बढ़ाना सबसे सरल में से एक है बीजगणितीय संचालन. पर रोजमर्रा की जिंदगीइरेक्शन का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, लेकिन उत्पादन में, गणना करते समय, यह व्यावहारिक रूप से हर जगह होता है, इसलिए यह याद रखना उपयोगी है कि यह कैसे किया जाता है।

अनुदेश

1. कल्पना कीजिए कि हमारे पास कोई संख्या a है, जिसकी घात संख्या n है। किसी संख्या को घात में बनाने का अर्थ है कि आपको संख्या को स्वयं से n गुणा करने की आवश्यकता है।

2. आइए कुछ उदाहरण देखें। संख्या 2 को दूसरी शक्ति में बनाने के लिए, आपको क्रिया करने की आवश्यकता है: 2x2 \u003d 4

3. संख्या 3 को पाँचवीं शक्ति बनाने के लिए, आपको क्रिया करने की आवश्यकता है: 3x3x3x3x3 \u003d 243

4. संख्याओं की दूसरी और तीसरी शक्तियों का आम तौर पर स्वीकृत पदनाम है। वाक्यांश "सेकेंड डिग्री" को आमतौर पर "स्क्वायर" शब्द से बदल दिया जाता है, और "थर्ड डिग्री" वाक्यांश के बजाय वे पारंपरिक रूप से "क्यूब" कहते हैं।

5. जैसा कि उपरोक्त उदाहरणों से देखा जा सकता है, गणना की अवधि और जटिलता संख्या के घातांक के मूल्य पर निर्भर करती है। चौकोर या घन काफी है सरल कार्य; किसी संख्या को पाँचवीं या एक बड़ी शक्ति तक बढ़ाने के लिए गणना में पहले से ही बहुत समय और सटीकता की आवश्यकता होती है। जल्दी करो यह प्रोसेसऔर त्रुटियों के अपवादों को विशेष का उपयोग करने की अनुमति है गणितीय सारणियांया एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर।

एक ही संख्या के गुणनफल के संक्षिप्त रिकॉर्ड के लिए, गणितज्ञ डिग्री के प्रतिनिधित्व के साथ आए। नतीजतन, व्यंजक 16 * 16 * 16 * 16 * 16 अधिक लिखा जा सकता है लघु विधि. यह 16^5 जैसा दिखेगा। व्यंजक 16 से पांचवीं घात के रूप में पढ़ा जाएगा।

आपको चाहिये होगा

• कागज, कलम।

अनुदेश

1. सामान्य रूप में डिग्रीए ^ एन के रूप में लिखा गया। इस प्रविष्टि का अर्थ है कि संख्या a को स्वयं n बार गुणा किया जाता है। व्यंजक a ^ n कहलाता है डिग्रीयू, ए एक संख्या है, डिग्री का आधार, एनएक संख्या है, एक घातांक। कहें a = 4, n = 5, फिर लिखें 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1024

2. n की शक्ति ऋणात्मक संख्या n = -1, -2, -3, आदि हो सकती है। ऋणात्मक गणना करने के लिए डिग्रीसंख्या, इसे हर में कम किया जाना चाहिए। ^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0.125

3. जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, -3 डिग्रीसंख्या 2 से विभिन्न तरीकों से गणना की जा सकती है। 1) सबसे पहले, अंश 1/2 \u003d 0.5 की गणना करें; और उसके बाद निर्माण डिग्री 3, यानी 0.5^3 = 0.5*0.5*0.5 = 0.1252) सबसे पहले हर का निर्माण करें डिग्री 2^3 = 2*2*2 = 8, और उसके बाद भिन्न 1/8 = 0.125 की गणना करें।

4. अब आइए गणना करें -1 डिग्रीएक संख्या के लिए, अर्थात्। एन = -1। ऊपर चर्चा किए गए नियम इस मामले के लिए उपयुक्त हैं। a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/a डिग्री 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.

5. उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाता है कि -1 शक्ति के लिए एक संख्या है पारस्परिकएक संख्या से। मान लेते हैं कि संख्या 5 को भिन्न 5/1 के रूप में, तो 5 ^ (-1) को अंकगणितीय रूप से नहीं गिना जा सकता है, लेकिन तुरंत 5/1 का व्युत्क्रम लिखें, यह 1/5 है। तो, 15 ^ (-1) \u003d 1 /15.6^(-1) = 1/6.25^(-1) = 1/25

टिप्पणी!
किसी संख्या को ऋणात्मक घात में बढ़ाते समय, याद रखें कि संख्या शून्य के बराबर नहीं हो सकती। नियम के अनुसार, हम संख्या को हर में कम करने के लिए बाध्य हैं। और शून्य हर में नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से विभाजित करना असंभव है।

मददगार सलाह
कभी-कभी गणना की सुविधा के लिए घातांक के साथ काम करते समय भिन्नात्मक संख्या-11/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1) की शक्ति के लिए जानबूझकर एक पूर्णांक के साथ प्रतिस्थापित किया गया।

अंकगणित और को हल करते समय बीजीय समस्याकभी-कभी निर्माण करने की आवश्यकता होती है अंशमें वर्ग. हर किसी के लिए ऐसा करना तब आसान होता है जब अंशदशमलव - काफी सामान्य कैलकुलेटर। हालांकि, यदि अंशसाधारण या मिश्रित, फिर ऐसी संख्या को बढ़ाने पर वर्गकुछ कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं।

आपको चाहिये होगा

• कैलकुलेटर, कंप्यूटर, एक्सेल एप्लिकेशन।

अनुदेश

1. दशमलव बनाने के लिए अंशमें वर्ग, लेना इंजीनियरिंग कैलकुलेटर, उस पर टाइप करें में खड़ा किया गया वर्ग अंशऔर घातांक कुंजी दबाएं। अधिकांश कैलकुलेटर पर, इस बटन को "x?" लेबल किया जाता है। एक मानक विंडोज कैलकुलेटर पर, को बढ़ाने के लिए वर्ग"एक्स ^ 2" जैसा दिखता है। हम कहते हैं वर्गदशमलव भिन्न 3.14 बराबर होगा: 3.14? = 9.8596।

2. में निर्माण करने के लिए वर्गदशमलव अंशएक साधारण (लेखा) कैलकुलेटर पर, इस संख्या को अपने आप से गुणा करें। वैसे, कैलकुलेटर के कुछ मॉडलों में, संख्या बढ़ाने की संभावना वर्गभले ही कोई विशेष बटन न हो। इसलिए, के लिए निर्देश पढ़ें विशिष्ट कैलकुलेटर. कभी-कभी, "चालाक" घातांक के उदाहरण पीछे के कवर पर या कैलकुलेटर के बॉक्स पर दिए जाते हैं। मान लीजिए, संख्या बढ़ाने के लिए कई कैलकुलेटरों पर वर्गबस "x" और "=" बटन दबाएं।

3. इरेक्शन के लिए वर्ग साधारण अंश(अंश और हर से मिलकर), तक बढ़ाएँ वर्गइस भिन्न का अंश और हर अलग-अलग। अर्थात्, निम्नलिखित नियम का प्रयोग करें: (h/s)? = एच? / s?, जहाँ h भिन्न का अंश है, s भिन्न का हर है। उदाहरण: (3/4)? = 3?/4? = 9/16।

4. यदि में खड़ा किया गया है वर्ग अंश- मिश्रित (एक पूर्णांक भाग और एक साधारण अंश से मिलकर बनता है), फिर इसे पहले से अपने सामान्य रूप में लाएं। अर्थात्, निम्न सूत्र लागू करें: (c h/s)? \u003d ((सी * एस + एच) / एस)? = (सी * एस + एच)? / एस?, जहां टीएस - पूरा भागमिश्रित भिन्न उदाहरण: (3 2/5)? = ((3*5+2)/5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25।

5. यदि में खड़ा किया गया है वर्गसाधारण (दशमलव नहीं) भिन्नों को लगातार लाया जाता है, फिर एमएस एक्सेल का प्रयोग करें। ऐसा करने के लिए, तालिका के किसी एक कक्ष में निम्न सूत्र दर्ज करें: \u003d DEGREE (A2; 2) जहां A2 उस सेल का पता है जिसमें उठाया जा रहा मान दर्ज किया जाएगा वर्ग अंशकार्यक्रम को सूचित करने के लिए कि इनपुट नंबर को सामान्य माना जाना चाहिए अंश yu (अर्थात इसे दशमलव में न बदलें), पहले टाइप करें अंशवें अंक "0" और चिन्ह "स्पेस"। यानी, 2/3 अंश दर्ज करने के लिए, आपको दर्ज करना होगा: "0 2/3" (और एंटर दबाएं)। इस मामले में, इनपुट लाइन दर्ज किए गए अंश का दशमलव प्रतिनिधित्व प्रदर्शित करेगी। किसी सेल में भिन्न का मान और निरूपण में संग्रहीत किया जाएगा प्रारंभिक रूप. इसके अलावा, आवेदन करते समय गणितीय कार्य, जिसके तर्क साधारण भिन्न हैं, परिणाम भी एक साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत किया जाएगा। फलस्वरूप वर्गभिन्न 2/3 को 4/9 के रूप में दर्शाया जाएगा।

द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करने की विधि का उपयोग बड़े पैमाने पर अभिव्यक्तियों को सुविधाजनक बनाने के साथ-साथ द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। व्यवहार में, इसे पारंपरिक रूप से अन्य तकनीकों के साथ जोड़ा जाता है, जिसमें गुणनखंडन, समूहीकरण आदि शामिल हैं।

अनुदेश

1. द्विपद के पूर्ण वर्ग का चयन करने का तरीका बहुपदों के संक्षिप्त गुणन के लिए 2 सूत्रों के उपयोग पर आधारित है। ये सूत्र द्वितीय डिग्री के लिए द्विपद न्यूटन के विशेष मामले हैं और आपको वांछित अभिव्यक्ति को सरल बनाने की अनुमति देते हैं ताकि आगे कमी या गुणन करना संभव हो: (m + n)² = m² + 2 m n + n²; (m - n)² \u003d m² - 2 m n + n²।

2. इस विधि के अनुसार, प्रारंभिक बहुपद से 2 एकपदी के वर्ग और उनके दोहरे गुणनफल का योग/अंतर निकालना आवश्यक है। इस पद्धति का उपयोग करना समझ में आता है यदि शब्दों की उच्चतम डिग्री 2 से कम नहीं है। कल्पना कीजिए, निम्न अभिव्यक्ति को घटती डिग्री के साथ कारक बनाने का कार्य दिया गया है: 4 y ^ 4 + z ^ 4

3. समस्या को हल करने के लिए, पूर्ण वर्ग के चयन की विधि का उपयोग करना आवश्यक है। यह पता चला है कि अभिव्यक्ति में चर के साथ 2 मोनोमियल होते हैं सम डिग्री. नतीजतन, उनमें से किसी को m और n:m = 2 y² द्वारा निरूपित करने की अनुमति है; एन = जेड 2।

4. अब हमें प्रारंभिक व्यंजक को (m + n)² के रूप में लाने की आवश्यकता है। इसमें इन शब्दों के वर्ग अधिक बारीकी से शामिल हैं, लेकिन दोहरे उत्पाद का अभाव है। आपको इसे अस्वाभाविक रूप से जोड़ना होगा, और फिर घटाना होगा: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² - 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² - 4 y² z²।

5. परिणामी व्यंजक में, आप वर्गों के अंतर के लिए सूत्र देख सकते हैं: (2 y² + z²)² - (2 y z)² = (2 y² + z² - 2 y z) (2 y² + z² + 2 ) y z)।

6. यह पता चला है कि विधि में 2 चरण होते हैं: पूर्ण वर्ग मीटर और एन के मोनोमियल का चयन, उनके दोहरे उत्पाद का जोड़ और घटाव। एक द्विपद के पूर्ण वर्ग को निकालने की विधि का उपयोग न केवल अपने आप में किया जा सकता है, बल्कि अन्य तरीकों के संयोजन में भी किया जा सकता है: सार्वभौमिक कारक को ब्रैकेट करना, एक चर को बदलना, समूहीकरण शब्द आदि।

7. उदाहरण 2: हाइलाइट करें पूर्ण वर्गव्यंजक में: 4 y² + 2 y z + z² हल। 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z) - 2 y z = (2 y + z)² - 2 वाई जेड।

8. जड़ों को खोजने के लिए विधि का उपयोग किया जाता है द्विघात समीकरण. समीकरण का बायाँ पक्ष a y के रूप का त्रिपद है? + b y + c, जहाँ a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और a ? 0.ए वाई? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2) a)) y + b?/(4 a?)) + c - b?/(4 a) = a (y + b/(2 a))? - (बी? - 4 ए सी)/(4 ए)।

9. इन गणनाओं से विवेचक का प्रतिनिधित्व होता है, जो (बी? - 4 ए सी)/(4 ए) के बराबर है, और समीकरण की जड़ें हैं: y_1,2 = ±(बी/(2 ए)) ±? ((बी? - 4 ए सी)/(4 ए))।

इरेक्शन ऑपरेशन डिग्री"बाइनरी" है, यानी इसमें दो अपरिहार्य इनपुट पैरामीटर और एक आउटपुट है। प्रारंभिक मापदंडों में से एक को घातांक कहा जाता है और यह निर्दिष्ट करता है कि गुणा ऑपरेशन को दूसरे पैरामीटर - आधार पर कितनी बार लागू किया जाना चाहिए। कारण सही या नकारात्मक हो सकता है। संख्या .

अनुदेश

1. किसी घात के लिए ऋणात्मक संख्या बढ़ाते समय, इस ऑपरेशन के लिए सामान्य नियमों का उपयोग करें। सकारात्मक संख्याओं के साथ, एक शक्ति को बढ़ाने का अर्थ है प्रारंभिक मूल्य को कई बार गुणा करना, घातांक से एक कम। मान लीजिए, संख्या -2 को चौथी शक्ति में बनाने के लिए, इसे अपने आप से तीन गुना गुणा करना होगा: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16।

2. 2 ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर सदैव प्राप्त होता है सकारात्मक मूल्य, और मात्रा के लिए इस ऑपरेशन का परिणाम विभिन्न संकेतऋणात्मक संख्या होगी। इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि निर्माण के दौरान नकारात्मक मानसम घातांक वाली घात के लिए, एक धनात्मक संख्या निरपवाद रूप से प्राप्त की जानी चाहिए, और विषम घातांक के साथ, परिणाम निरपवाद रूप से होगा शून्य से कम. अपनी गणनाओं की जांच के लिए इस गुण का उपयोग करें। मान लीजिए -2 से पांचवीं घात एक ऋणात्मक संख्या होनी चाहिए -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, और -2 से छठी घात धनात्मक होना चाहिए -2 ?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. किसी ऋणात्मक संख्या को घात में बढ़ाते समय, घातांक को नियमित भिन्न के रूप में दिया जा सकता है - मान लीजिए, -64 घात को?। इस तरह के एक संकेतक का मतलब है कि प्रारंभिक मूल्य अंश के अंश के बराबर शक्ति के लिए बनाया जाना चाहिए, और डिग्री की जड़ को इससे निकाला जाना चाहिए, हर के बराबर. इस ऑपरेशन का एक हिस्सा पिछले चरणों में कवर किया गया था, लेकिन यहां आपको दूसरे पर ध्यान देना चाहिए।

4. जड़ का निष्कर्षण पुराना फंक्शन, यानी नकारात्मक के लिए वास्तविक संख्याइसका उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब घातांक विषम हो। यदि भी, यह कार्य अप्रासंगिक है। नतीजतन, यदि समस्या की स्थितियों में ऋणात्मक संख्या का निर्माण करना आवश्यक है भिन्नात्मक डिग्रीएक सम भाजक के साथ, तो समस्या का कोई हल नहीं है। अन्य मामलों में, पहले 2 चरणों से संक्रियाएँ करें, भिन्न के अंश को घातांक के रूप में उपयोग करते हुए, और फिर हर की डिग्री के साथ रूट निकालें।

किसी संख्या के लिए घात अंकन, आधार को अपने आप से गुणा करने की संक्रिया का संक्षिप्त रूप है। इस फॉर्म में प्रस्तुत संख्या के साथ, इसे किसी भी अन्य संख्याओं के समान संचालन करने की अनुमति है, जिसमें उन्हें ऊपर उठाना भी शामिल है डिग्री. मान लीजिए कि इसे मनमाने ढंग से बनाने की अनुमति है डिग्री वर्गसंख्या और प्रौद्योगिकी के गठन के आधुनिक चरण में कुल का अधिग्रहण कोई कठिनाई नहीं होगी।

आपको चाहिये होगा

• इंटरनेट एक्सेस या विंडोज कैलकुलेटर।

अनुदेश

1. निर्माण के लिए वर्गऔर में डिग्रीतक बढ़ाने के सामान्य नियम का उपयोग करें डिग्रीसंख्या होने से करीब शक्ति घातांक. इस तरह के एक ऑपरेशन के साथ, संकेतक गुणा हो जाते हैं, और आधार पूर्व रहता है। यदि आधार को x के रूप में और प्रारंभिक और अतिरिक्त घातांक को a और b के रूप में निरूपित किया जाता है, तो इस नियम को सामान्य रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है: (x?)?=x??।

2. उपयोगितावादी गणनाओं के लिए, सभी के लिए खोज इंजन का उपयोग करना आसान है गूगल सिस्टम- इसमें एक बहुत ही उपयोग में आसान कैलकुलेटर बनाया गया है। मान लीजिए कि आप पांचवें में निर्माण करना चाहते हैं डिग्री वर्गनंबर 6, सर्च इंजन के मुख्य पेज पर जाएं और उपयुक्त क्वेरी दर्ज करें। इसे इस तरह बनाने की अनुमति है: (6 ^ 2) ^ 5 - यहाँ ^ प्रतीक का अर्थ है डिग्री. और इसे पिछले चरण से सूत्र के अनुसार परिणामी घातांक की स्वतंत्र रूप से गणना करने और क्वेरी को निम्नानुसार तैयार करने की अनुमति है: 6 ^ 10। या निम्नलिखित अनुरोध दर्ज करके Google पर विश्वास करें: 6^(2*5)। इनमें से किसी भी विकल्प के लिए, खोज इंजन कैलकुलेटर एक समान परिणाम देगा: 60,466,176।

3. इंटरनेट एक्सेस के अभाव में, Google कैलकुलेटर को बिल्ट-इन विंडोज कैलकुलेटर से बदला जा सकता है। यदि आप इस ओएस के सेवन या विस्टा संस्करणों का उपयोग करते हैं, तो सिस्टम का मुख्य मेनू खोलें और प्रत्येक के लिए दो अक्षर टाइप करें: "का"। सिस्टम मुख्य मेनू में उन सभी प्रोग्रामों और फाइलों को प्रदर्शित करेगा जिन्हें वह इस संयोजन के साथ जोड़ता है। पहली पंक्ति में "कैलकुलेटर" लिंक होगा - उस पर माउस से क्लिक करें, और एप्लिकेशन लॉन्च हो जाएगा।

4. कुंजी संयोजन Alt + 2 दबाएं, ताकि एप्लिकेशन इंटरफ़ेस में मनमाने ढंग से बढ़ाने के कार्य के साथ एक बटन दिखाई दे डिग्री. उसके बाद, आधार दर्ज करें - उदाहरण में दूसरे चरण से यह संख्या 6 है - और पहले x बटन पर और फिर x बटन पर क्लिक करें। वह घातांक दर्ज करें जिस पर आप निर्माण करना चाहते हैं वर्ग- उपयोग किए गए उदाहरण में, यह संख्या 5 है। एंटर बटन दबाएं, और कैलकुलेटर ऑपरेशन का अंतिम परिणाम प्रदर्शित करेगा।

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मददगार सलाह
ताकि प्रशिक्षण नीरस न हो, मदद के लिए किसी मित्र को बुलाएं। उसे दो अंकों की संख्या लिखने दें, और आप - इस संख्या को चुकता करने का आउटपुट। उसके बाद, स्थान बदलें।

* सैकड़ों तक वर्ग

सूत्र के अनुसार सभी संख्याओं को बिना सोचे समझे वर्ग न करने के लिए, आपको निम्नलिखित नियमों के साथ अपने कार्य को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।

नियम 1 (10 नंबरों को काटता है)

0 से समाप्त होने वाली संख्याओं के लिए।
यदि कोई संख्या 0 पर समाप्त होती है, तो उसे गुणा करना से अधिक कठिन नहीं है एकल अंक. आपको बस कुछ शून्य जोड़ना है।
70 * 70 = 4900.
तालिका लाल रंग में चिह्नित है।

नियम 2 (10 नंबर काटता है)

5 में समाप्त होने वाली संख्याओं के लिए।
5 से समाप्त होने वाली दो अंकों की संख्या का वर्ग करने के लिए, पहले अंक (x) को (x+1) से गुणा करें और परिणाम में "25" जोड़ें।
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
तालिका को हरे रंग में चिह्नित किया गया है।

नियम 3 (8 संख्याओं को काटता है)

40 से 50 तक की संख्या के लिए।
XX * XX = 1500 + 100 * दूसरा अंक + (10 - दूसरा अंक)^2
काफी मुश्किल है, है ना? आइए एक उदाहरण लेते हैं:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
तालिका को हल्के नारंगी रंग में चिह्नित किया गया है।

नियम 4 (8 संख्याओं को काटता है)

50 से 60 तक की संख्या के लिए।
XX * XX = 2500 + 100 * दूसरा अंक + (दूसरा अंक)^2
इसे समझना भी काफी मुश्किल है। आइए एक उदाहरण लेते हैं:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
तालिका को गहरे नारंगी रंग में चिह्नित किया गया है।

नियम 5 (8 संख्याओं को काटता है)

90 से 100 तक की संख्या के लिए।
XX * XX = 8000+ 200 * दूसरा अंक + (10 - दूसरा अंक)^2
नियम 3 के समान, लेकिन विभिन्न गुणांकों के साथ। आइए एक उदाहरण लेते हैं:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
तालिका को गहरे गहरे नारंगी रंग में चिह्नित किया गया है।

नियम #6 (32 नंबर काट देता है)

40 तक की संख्याओं के वर्गों को याद करना आवश्यक है। यह अजीब और कठिन लगता है, लेकिन वास्तव में, 20 तक, अधिकांश लोग वर्गों को जानते हैं। 25, 30, 35 और 40 खुद को सूत्रों के लिए उधार देते हैं। और केवल 16 जोड़े संख्याएँ शेष हैं। उन्हें पहले से ही स्मृतिविज्ञान (जिसके बारे में मैं बाद में बात करना चाहता हूं) या किसी अन्य माध्यम से याद किया जा सकता है। गुणन तालिका की तरह :)
तालिका नीले रंग में चिह्नित है।

आप सभी नियमों को याद कर सकते हैं, या आप चुनिंदा रूप से याद कर सकते हैं, किसी भी स्थिति में, 1 से 100 तक की सभी संख्याएं दो सूत्रों का पालन करती हैं। नियम इन सूत्रों का उपयोग किए बिना, 70% से अधिक विकल्पों की शीघ्र गणना करने में मदद करेंगे। यहाँ दो सूत्र हैं:

सूत्र (24 नंबर शेष)

25 से 50 . तक की संख्या के लिए
एक्सएक्स * एक्सएक्स = 100 (एक्सएक्स - 25) + (50 - एक्सएक्स) ^ 2
उदाहरण के लिए:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

50 से 100 तक की संख्या के लिए
एक्सएक्स * एक्सएक्स = 200 (एक्सएक्स - 50) + (100 - एक्सएक्स) ^ 2
उदाहरण के लिए:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

बेशक, योग के वर्ग के विस्तार के सामान्य सूत्र के बारे में मत भूलना ( विशेष मामलाद्विपद न्यूटन):
(ए+बी)^2 = ए^2 + 2एबी + बी^2। 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136।

अपडेट करें
100 के करीब की संख्या के उत्पाद, और, विशेष रूप से, उनके वर्ग, की गणना "100 तक की कमी" के सिद्धांत के अनुसार भी की जा सकती है:

शब्दों में: पहली संख्या से हम दूसरे के "दोष" को सौ से घटाते हैं और "दोष" के दो अंकों के उत्पाद को विशेषता देते हैं।

वर्गों के लिए, क्रमशः, और भी आसान।
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(सिलोवर द्वारा)

स्क्वायरिंग घर में सबसे उपयोगी चीज नहीं हो सकती है। आपको वह मामला तुरंत याद नहीं रहेगा जब आपको किसी संख्या के वर्ग की आवश्यकता हो सकती है। लेकिन संख्याओं के साथ जल्दी से काम करने की क्षमता, प्रत्येक संख्या के लिए उपयुक्त नियम लागू करना, आपके मस्तिष्क की स्मृति और "कंप्यूटिंग क्षमताओं" को पूरी तरह से विकसित करता है।

वैसे, मुझे लगता है कि सभी हाबरा पाठक जानते हैं कि 64^2 = 4096, और 32^2 = 1024।
संख्याओं के कई वर्ग साहचर्य स्तर पर याद किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, मैंने 88^2 = 7744 को आसानी से याद कर लिया, क्योंकि वही नंबर. निश्चित रूप से हर किसी की अपनी विशेषताएं होंगी।

दो अनोखे सूत्र मुझे पहली बार "13 स्टेप्स टू मेंटलिस्टिज्म" पुस्तक में मिले, जिसका गणित से बहुत कम लेना-देना है। तथ्य यह है कि पहले (शायद अब भी) अद्वितीय कंप्यूटिंग क्षमताएं मंच जादू में संख्याओं में से एक थीं: एक जादूगर ने एक बाइक को बताया कि उसे महाशक्तियां कैसे मिलीं और, इसके प्रमाण के रूप में, तुरंत सौ तक की संख्याएं वर्ग। पुस्तक यह भी बताती है कि कैसे घन करना है, कैसे मूल और घनमूल घटाना है।

यदि त्वरित गणना का विषय दिलचस्प है, तो मैं और लिखूंगा।
कृपया पीएम में त्रुटियों और सुधारों के बारे में टिप्पणी लिखें, अग्रिम धन्यवाद।

आज हम सीखेंगे कि कैलकुलेटर के बिना बड़े भावों को कैसे जल्दी से वर्गाकार किया जाए। बड़े पैमाने पर मेरा मतलब दस और एक सौ के बीच की संख्या से है। वास्तविक समस्याओं में बड़े भाव अत्यंत दुर्लभ हैं, और आप पहले से ही जानते हैं कि दस से कम मूल्यों को कैसे गिनना है, क्योंकि यह एक नियमित गुणन तालिका है। आज के पाठ की सामग्री काफी अनुभवी छात्रों के लिए उपयोगी होगी, क्योंकि नौसिखिए छात्र इस तकनीक की गति और प्रभावशीलता की सराहना नहीं करेंगे।

सबसे पहले, आइए देखें कि क्या है प्रश्न में. उदाहरण के लिए, मैं एक मनमाना निर्माण करने का प्रस्ताव करता हूं संख्यात्मक अभिव्यक्तिजैसा कि हम आमतौर पर करते हैं। मान लीजिए 34. हम इसे एक कॉलम से खुद से गुणा करके बढ़ाते हैं:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 वर्ग 34 है।

समस्या यह विधिदो तरह से वर्णित किया जा सकता है:

1) इसके लिए लिखित पंजीकरण की आवश्यकता है;

2) गणना की प्रक्रिया में गलती करना बहुत आसान है।

आज हम सीखेंगे कि कैलकुलेटर के बिना, मौखिक और व्यावहारिक रूप से त्रुटियों के बिना जल्दी से गुणा कैसे करें।

तो चलो शुरू करते है। काम करने के लिए, हमें योग और अंतर के वर्ग के लिए सूत्र की आवश्यकता होती है। आइए उन्हें लिख लें:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

यह हमें क्या देता है? तथ्य यह है कि 10 और 100 के बीच के किसी भी मूल्य को एक संख्या $a$ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो 10 से विभाज्य है, और एक संख्या $b$ है, जो कि 10 से विभाजन का शेष भाग है।

उदाहरण के लिए, 28 को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]

इसी तरह, हम शेष उदाहरण प्रस्तुत करते हैं:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\शुरू (संरेखित) और ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

हमें ऐसा विचार क्या देता है? तथ्य यह है कि योग या अंतर के साथ, हम उपरोक्त गणनाओं को लागू कर सकते हैं। बेशक, गणना को छोटा करने के लिए, प्रत्येक तत्व के लिए एक अभिव्यक्ति का चयन करना चाहिए सबसे छोटा सेकंडअवधि। उदाहरण के लिए, $20+8$ और $30-2$ विकल्पों में से, आपको $30-2$ विकल्प चुनना चाहिए।

इसी तरह, हम अन्य उदाहरणों के लिए विकल्प चुनते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

\[\शुरू (संरेखित करें)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

\[\शुरू (संरेखित) और ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

\[\शुरू (संरेखित) और ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

\[\शुरू (संरेखित) और ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\ अंत (संरेखित करें)\]

दूसरे कार्यकाल को कम करने का प्रयास क्यों करना चाहिए तेजी से गुणा? यह योग और अंतर के वर्ग की प्रारंभिक गणना के बारे में है। तथ्य यह है कि वास्तविक समस्याओं को हल करते समय प्लस या माइनस टर्म $ 2ab$ की गणना करना सबसे कठिन है। और यदि गुणनखंड $a$, 10 का गुणज, हमेशा आसानी से गुणा किया जाता है, तो गुणनखंड $b$ के साथ, जो एक से दस तक की सीमा में एक संख्या है, कई छात्रों को नियमित रूप से कठिनाइयाँ होती हैं।

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

तो तीन मिनट में हमने आठ उदाहरणों का गुणन किया। यह प्रति व्यंजक 25 सेकंड से कम है। वास्तव में, थोड़े अभ्यास के बाद, आप और भी तेजी से गिनेंगे। किसी भी दो-अंकीय व्यंजक की गणना करने में आपको पाँच या छह सेकंड से अधिक समय नहीं लगेगा।

लेकिन वह सब नहीं है। उन लोगों के लिए जिनके लिए दिखाया गया तकनीक पर्याप्त तेज़ नहीं है और पर्याप्त ठंडा नहीं है, मैं और भी सुझाव देता हूं तेज़ तरीकागुणा, जो, हालांकि, सभी कार्यों के लिए काम नहीं करता है, लेकिन केवल उन लोगों के लिए जो 10 के गुणकों से एक से भिन्न होते हैं। हमारे पाठ में, ऐसे चार मान हैं: 51, 21, 81 और 39।

यह बहुत तेज़ प्रतीत होता है, हम पहले से ही उन्हें सचमुच दो पंक्तियों में गिनते हैं। लेकिन, वास्तव में, इसमें तेजी लाना संभव है, और यह निम्नानुसार किया जाता है। हम मान लिखते हैं, दस का एक गुणक, जो वांछित के सबसे करीब है। उदाहरण के लिए, आइए 51 लेते हैं। इसलिए, आरंभ करने के लिए, हम पचास जुटाएंगे:

\[{{50}^{2}}=2500\]

मान जो दस के गुणज हैं, वर्ग के लिए बहुत आसान हैं। और अब हम मूल व्यंजक में केवल पचास और 51 जोड़ते हैं। उत्तर वही होगा:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

और इसलिए सभी संख्याओं के साथ जो एक से भिन्न होती हैं।

यदि हम जिस मान की तलाश कर रहे हैं, वह हमारे विचार से अधिक है, तो हम परिणामी वर्ग में संख्याएँ जोड़ते हैं। यदि वांछित संख्या कम है, जैसा कि 39 के मामले में है, तो क्रिया करते समय, मान को वर्ग से घटाया जाना चाहिए। आइए कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना अभ्यास करें:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी मामलों में उत्तर समान हैं। आगे, यह तकनीककिसी भी आसन्न मूल्यों पर लागू होता है। उदाहरण के लिए:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]

उसी समय, हमें योग और अंतर के वर्गों की गणना को याद रखने और कैलकुलेटर का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। काम की गति प्रशंसा से परे है। इसलिए, याद रखें, अभ्यास करें और अभ्यास में उपयोग करें।

प्रमुख बिंदु

इस तकनीक से आप किसी का भी गुणा आसानी से कर सकते हैं प्राकृतिक संख्याएं 10 से 100 तक। इसके अलावा, सभी गणना मौखिक रूप से की जाती है, बिना कैलकुलेटर के और बिना कागज के भी!

सबसे पहले, उन मानों के वर्गों को याद रखें जो 10 के गुणज हैं:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ और ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\अंत (संरेखित करें)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\अंत (संरेखित करें)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\अंत (संरेखित करें)\]

और भी तेजी से कैसे गिनें

लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है! इन अभिव्यक्तियों का उपयोग करके, आप तुरंत उन संख्याओं का वर्ग कर सकते हैं जो संदर्भ वाले के लिए "आसन्न" हैं। उदाहरण के लिए, हम 152 (संदर्भ मान) जानते हैं, लेकिन हमें 142 (एक आसन्न संख्या जो संदर्भ से एक कम है) खोजने की आवश्यकता है। चलो लिखते है:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\अंत (संरेखित करें)\]

कृपया ध्यान दें: कोई रहस्यवाद नहीं! संख्याओं के वर्ग जो 1 से भिन्न होते हैं, वास्तव में दो मानों को घटाकर या जोड़कर संदर्भ संख्याओं को स्वयं से गुणा करके प्राप्त किया जाता है:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\अंत (संरेखित करें)\]

ऐसा क्यों हो रहा है? आइए योग (और अंतर) के वर्ग के लिए सूत्र लिखें। $n$ को हमारा संदर्भ मान होने दें। फिर वे इस तरह गिनते हैं:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- यह सूत्र है।

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]

- 1 से बड़ी संख्याओं के लिए एक समान सूत्र।

मुझे आशा है कि यह तकनीक गणित के सभी महत्वपूर्ण परीक्षणों और परीक्षाओं में आपके समय की बचत करेगी। और वह सब मेरे लिए है। फिर मिलते हैं!

बराबरी तीन अंकों की संख्या- मानसिक जादू में कौशल का प्रभावशाली प्रदर्शन। जैसे किसी दो अंकों की संख्या का वर्ग करने पर उसे पूर्णांकित किया जाता है या छोटा पक्ष 10 का गुणज प्राप्त करने के लिए, तीन अंकों की संख्या का वर्ग करने के लिए, आपको 100 का गुणज प्राप्त करने के लिए इसे ऊपर या नीचे गोल करना होगा। आइए संख्या 193 का वर्ग करें।

193 से 200 तक (दूसरा कारक 186 हो गया), 3-बाई-3 समस्या और अधिक हो गई सरल प्रकार"3 बटा 1" क्योंकि 200 x 186 अंत में दो शून्य के साथ सिर्फ 2 x 186 = 372 है। लगभग हो गया! अब आपको केवल 7 2 = 49 जोड़ना है और उत्तर प्राप्त करना है - 37249।

आइए 706 का वर्ग करने का प्रयास करें।

संख्या 706 से 700 तक पूर्णांकित करते समय, आपको 712 प्राप्त करने के लिए उसी संख्या को 6 तक बदलना होगा।

चूँकि 712 x 7 = 4984 (एक साधारण 3-ऑन-1 समस्या), 712 x 700 = 498,400। 62 = 36 जोड़ने पर 498,436 प्राप्त होता है।

नवीनतम उदाहरणवे इतने डरावने नहीं हैं, क्योंकि उनमें जोड़ शामिल नहीं है। इसके अलावा, आप दिल से जानते हैं कि 6 2 और 7 2 बराबर क्या हैं। ऐसी संख्या का वर्ग करना जो 100 के गुणज से 10 इकाई से अधिक दूर हो, अधिक कठिन है। 314 2 के साथ अपना हाथ आजमाएं।

इस उदाहरण में, संख्या 314 को 14 से घटाकर 300 कर दिया गया और 14 से बढ़ाकर 328 कर दिया गया। 328 x 3 = 984 को गुणा करें और अंत में दो शून्य जोड़कर 98,400 प्राप्त करें। फिर 14 का वर्ग जोड़ें। यदि आप तुरंत आते हैं मन में (धन्यवाद स्मृति या तेज़ गणना) कि 14 2 = 196, तो आप अच्छे आकार में हैं। फिर 98,596 का अंतिम उत्तर पाने के लिए बस 98,400 + 196 जोड़ें।

यदि आपको 142 गिनने के लिए समय चाहिए, तो जारी रखने से पहले "98400" को कई बार दोहराएं। अन्यथा, आप 14 2 \u003d 196 की गणना कर सकते हैं और भूल सकते हैं कि उत्पाद को जोड़ने के लिए आपको किस नंबर की आवश्यकता है।

यदि आपके पास एक दर्शक है जिसे आप प्रभावित करना चाहते हैं, तो आप 292 खोजने से पहले जोर से "279,000" कह सकते हैं। लेकिन यह आपके द्वारा हल की जाने वाली हर समस्या के लिए काम नहीं करेगा।

उदाहरण के लिए, 636 का वर्ग करने का प्रयास करें।

अब आपका दिमाग सच में काम कर रहा है, है न?

1296 पाने के लिए सामान्य तरीके से 36 का वर्ग बनाते समय अपने आप को "403200" दोहराना याद रखें। सबसे कठिन हिस्सा 1296 + 403200 जोड़ना है। यह एक अंक एक बार में, बाएं से दाएं करें, और आपको उत्तर मिल जाएगा 404496 मैं आपको अपना वचन देता हूं कि एक बार जब आप दो अंकों की संख्याओं के वर्ग से परिचित हो जाते हैं, तो तीन अंकों की समस्याएं बहुत आसान हो जाएंगी।

यहाँ और है जटिल उदाहरण: 863 2 .

पहली समस्या यह तय करना है कि किन संख्याओं को गुणा करना है। निस्संदेह, उनमें से एक की संख्या 900 होगी, और दूसरी की संख्या 800 से अधिक होगी। लेकिन कौन सा? इसकी गणना दो तरह से की जा सकती है।

1. मुश्किल रास्ता: 863 और 900 के बीच का अंतर 37 है (63 के लिए पूरक), 863 से 37 घटाएँ और 826 प्राप्त करें।

2. आसान तरीका: संख्या 63 को दुगुना करने पर 126 मिलता है, अब हम इस संख्या के अंतिम दो अंकों को 800 की संख्या में जोड़ते हैं, जो अंततः 826 देगा।

यहां देखिए यह कैसे काम करता है आसान तरीका. चूँकि दोनों संख्याओं में 863 की संख्या के साथ समान अंतर है, इसलिए उनका योग संख्या 863 के दोगुने के बराबर होना चाहिए, अर्थात 1726। इनमें से एक संख्या 900 है, इसलिए दूसरी 826 के बराबर होगी।

फिर हम निम्नलिखित गणना करते हैं।

अगर आपको 37 का वर्ग करने के बाद 743,400 याद करने में परेशानी होती है, तो निराश न हों। निम्नलिखित अध्यायों में, आप स्मृति विज्ञान प्रणाली सीखेंगे और सीखेंगे कि ऐसी संख्याओं को कैसे याद किया जाए।

अब तक के सबसे कठिन कार्य में अपना हाथ आजमाएं - संख्या 359 का वर्ग करना।

318 प्राप्त करने के लिए, या तो 359 से 41 (59 का पूरक) घटाएँ, या 2 x 59 = 118 गुणा करें और अंतिम दो अंकों का उपयोग करें। इसके बाद, 400 x 318 = 127,200 गुणा करें। इस संख्या में 412 = 1681 जोड़ने पर कुल 128,881 प्राप्त होंगे। बस! अगर आपने पहली बार सब कुछ सही किया, तो अच्छा किया!

आइए इस बड़े खंड को समाप्त करें, लेकिन आसान कार्य: 987 2 की गणना करें।

एक व्यायाम: वर्ग तीन-डिजिटल संख्या

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

दरवाजे नंबर 1 के पीछे क्या है?

1991 का गणितीय प्रतिबंध, जिसने सभी को चकित कर दिया, परेड पत्रिका में मर्लिन सावंत - दुनिया में सबसे अधिक आईक्यू वाली महिला (जो गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में दर्ज है) का एक लेख था। इस विरोधाभास को "मोंटी हॉल समस्या" के रूप में जाना जाने लगा है और यह इस प्रकार है।

आप मोंटी हॉल के शो लेट्स मेक ए डील के प्रतिभागी हैं। मेजबान आपको तीन दरवाजों में से एक को चुनने का अवसर देता है, जिनमें से एक के पीछे एक बड़ा पुरस्कार है, अन्य दो बकरियों के पीछे। मान लीजिए आप दरवाजा नंबर 2 चुनते हैं। लेकिन उस दरवाजे के पीछे क्या है, यह दिखाने से पहले, मोंटी दरवाजा नंबर 3 खोलता है। एक बकरी है। अब, अपने चिढ़ाने के तरीके में, मोंटी आपसे पूछता है: क्या आप दरवाजा नंबर 2 खोलना चाहते हैं या यह देखने की हिम्मत करते हैं कि दरवाजे के नंबर 1 के पीछे क्या है? तुम्हे क्या करना चाहिए? यह मानते हुए कि मोंटी आपको यह बताने जा रहा है कि भव्य पुरस्कार कहाँ नहीं है, वह हमेशा "सांत्वना" के दरवाजे खोलेगा। यह आपको एक विकल्प देता है: एक बड़ा पुरस्कार के साथ एक दरवाजा, और दूसरा एक सांत्वना के साथ। अब आपके मौके 50/50 हैं, है ना?

लेकिन कोई नहीं! संभावना है कि आपने इसे पहली बार सही किया है, अभी भी 3 में 1 है। बड़े पुरस्कार के दूसरे दरवाजे के पीछे होने की संभावना 2/3 तक बढ़ जाती है क्योंकि संभावनाएं 1 तक जुड़नी चाहिए।

इस प्रकार, अपनी पसंद को बदलकर, आप जीतने की संभावना को दोगुना कर देंगे! (समस्या मानती है कि मोंटी खिलाड़ी को हमेशा ऐसा करने का अवसर देगा नया विकल्प, "गैर-विजेता" दरवाजा दिखा रहा है, और जब आपकी पहली पसंद सही है, तो यादृच्छिक रूप से "गैर-विजेता" दरवाजा खुल जाएगा।) दस दरवाजों वाले खेल के बारे में सोचें। अपनी पहली पसंद के बाद सूत्रधार को आठ "गैर-विजेता" दरवाजे खोलने के लिए कहें। यहां, आपकी प्रवृत्ति के लिए आपको दरवाजा बदलने की आवश्यकता हो सकती है। लोग आमतौर पर यह सोचने की गलती करते हैं कि अगर मोंटी हॉल को पता नहीं है कि शीर्ष पुरस्कार कहां है और दरवाजा #3 खोलता है, जो एक बकरी के साथ समाप्त होता है (हालांकि पुरस्कार हो सकता है), तो दरवाजे # 1 में 50 प्रतिशत मौका है सही होने का। इस तरह के तर्क विरोधाभास व्यावहारिक बुद्धिहालांकि, मर्लिन सावंत को (कई वैज्ञानिकों और यहां तक ​​कि गणितज्ञों से) पत्रों के ढेर मिले, जिसमें कहा गया था कि उन्हें गणित के बारे में नहीं लिखना चाहिए था। बेशक, ये सभी लोग गलत थे।

अब द्विपद के वर्ग पर विचार करें और, अंकगणितीय दृष्टिकोण को लागू करते हुए, हम योग के वर्ग के बारे में बात करेंगे, अर्थात (a + b)² और दो संख्याओं के अंतर का वर्ग, अर्थात (a - b)² .

चूँकि (a + b)² = (a + b) (a + b),

तब हम पाते हैं: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², अर्थात्।

(ए + बी)² = ए² + 2ab + बी²

इस परिणाम को उपरोक्त समानता के रूप में और शब्दों में याद रखना उपयोगी है: दो संख्याओं के योग का वर्ग वर्ग के बराबर हैपहली संख्या और दूसरी संख्या के पहली संख्या के गुणा के गुणनफल के साथ-साथ दूसरी संख्या का वर्ग।

इस परिणाम को जानने के बाद, हम तुरंत लिख सकते हैं, उदाहरण के लिए:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

आइए इन उदाहरणों में से दूसरे पर एक नज़र डालें। हमें दो संख्याओं के योग का वर्ग करना होगा: पहली संख्या 3ab है, दूसरी 1 है। यह निकलनी चाहिए: 1) पहली संख्या का वर्ग, यानी (3ab)², जो 9a²b² के बराबर है; 2) पहली और दूसरी संख्या से दो का गुणनफल, यानी 2 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) दूसरी संख्या का वर्ग, यानी 1² \u003d 1 - इन तीनों शब्दों को एक साथ जोड़ा जाना चाहिए।

इसी तरह, हमें दो संख्याओं के अंतर का वर्ग करने का सूत्र मिलता है, अर्थात (a - b)² के लिए:

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²।

(ए - बी)² = ए² - 2ab + बी²,

अर्थात्, दो संख्याओं के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर है, पहली संख्या और दूसरी से दो के गुणनफल को घटाकर दूसरी संख्या का वर्ग।

इस परिणाम को जानने के बाद, हम अंकगणित की दृष्टि से दो संख्याओं के अंतर को निरूपित करने वाले द्विपदों का वर्गकरण तुरंत कर सकते हैं।

(एम - एन)² = एम² - 2 एमएन + एन²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(ए एन-1 - ए) 2 \u003d ए 2एन-2 - 2 ए एन + ए 2, आदि।

आइए दूसरा उदाहरण समझाएं। यहाँ हमारे पास कोष्ठक में दो संख्याओं का अंतर है: पहली संख्या 5ab 3 और दूसरी संख्या 3a 2 b। परिणाम होना चाहिए: 1) पहली संख्या का वर्ग, यानी (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) पहली और दूसरी संख्या से दो का गुणनफल, यानी 2 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 बी 4 और 3) दूसरी संख्या का वर्ग, यानी (3 ए 2 बी) 2 = 9 ए 4 बी 2; पहले और तीसरे शब्दों को एक प्लस के साथ लिया जाना चाहिए, और दूसरा माइनस के साथ, हमें 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 मिलता है। चौथे उदाहरण को स्पष्ट करने के लिए, हम केवल यह नोट करते हैं कि 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... घातांक को 2 और 2 से गुणा किया जाना चाहिए) दो का गुणनफल पहली संख्या से और दूसरा = 2 ए एन -1 ∙ ए = 2 ए एन।

यदि हम बीजगणित के दृष्टिकोण को लें, तो दोनों समानताएँ: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² और 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² एक ही बात व्यक्त करते हैं, अर्थात्: द्विपद का वर्ग पहले पद के वर्ग के बराबर होता है, साथ ही संख्या का गुणनफल (+2) पहले पद और दूसरे के गुणनफल के साथ-साथ दूसरे पद का वर्ग होता है। यह स्पष्ट है, क्योंकि हमारी समानताएं इस प्रकार लिखी जा सकती हैं:

1) (ए + बी)² = (+ए)² + (+2) ∙ (+ए) (+बी) + (+बी)²
2) (ए - बी)² = (+ए)² + (+2) ∙ (+ए) (-बी) + (-बी)²

कुछ मामलों में, प्राप्त समानता की इस तरह व्याख्या करना सुविधाजनक है:

(-4a - 3b)² = (-4a)² + (+2) (-4a) (-3b) + (-3b)²

यहाँ द्विपद वर्ग है, जिसका पहला पद = -4a और दूसरा एक = -3b है। तब हम प्राप्त करते हैं (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² और अंत में:

(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

ट्रिनोमियल, क्वाड्रिनोमियल और सामान्य तौर पर किसी भी बहुपद का वर्ग करने के लिए सूत्र प्राप्त करना और याद रखना भी संभव होगा। हालाँकि, हम ऐसा नहीं करेंगे, क्योंकि हमें शायद ही कभी इन सूत्रों का उपयोग करना पड़ता है, और यदि हमें किसी बहुपद (एक द्विपद को छोड़कर) को वर्ग करने की आवश्यकता है, तो हम मामले को गुणा तक कम कर देंगे। उदाहरण के लिए:

31. प्राप्त 3 समानताएं लागू करें, अर्थात्:

(ए + बी) (ए - बी) = ए² - बी²
(ए + बी)² = ए² + 2ab + बी²
(ए - बी)² = ए² - 2ab + बी²

अंकगणित को।

इसे 41 39 होने दें। फिर हम इसे (40 + 1) (40 - 1) के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं और मामले को पहली समानता तक कम कर सकते हैं - हमें 40² - 1 या 1600 - 1 \u003d 1599 मिलता है। इसके लिए धन्यवाद , 21 19 जैसे गुणा करना आसान है; 22 18; 31 29; 32 28; 71 69 आदि।

41 41 हो; यह 41² या (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681 के समान है। साथ ही 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225। यदि आपको 37 ∙ 37 की आवश्यकता है, तो यह (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369 के बराबर है। इस तरह के गुणन (या दो अंकों की संख्याओं का वर्ग) कुछ कौशल के साथ, मन में करना आसान है।