संख्या a के पूर्णांक घातांक से, संक्रमण से तर्कसंगत संकेतक. नीचे हम एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित करते हैं, और हम इसे इस तरह से करेंगे कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के सभी गुण संरक्षित हैं। यह आवश्यक है क्योंकि पूर्णांक परिमेय संख्याओं का भाग होते हैं।

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्यासकारात्मक या नकारात्मक के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है सामान्य अंश. हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री को परिभाषित किया है, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें संख्या की डिग्री का अर्थ देना होगा एकसाथ भिन्नात्मक संकेतक मी/एन, कहाँ पे एमएक पूर्णांक है, और एन- प्राकृतिक। हो जाए।

फॉर्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। डिग्री की संपत्ति के लिए वैध रहने के लिए, समानता को धारण करना चाहिए . यदि हम परिणामी समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने nth डिग्री की जड़ कैसे निर्धारित की है, तो यह स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि डेटा के साथ एम, एनतथा एकअभिव्यक्ति समझ में आती है।

यह जांचना आसान है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण इस रूप में मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर अनुभाग में किया जाता है)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि दिया गया हो एम, एनतथा एकअभिव्यक्ति समझ में आती है, तो संख्या की शक्ति एकएक अंश के साथ मी/एनजड़ कहा जाता है एनकी डिग्री एकसीमा तक एम.

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। यह केवल किसके तहत वर्णन करने के लिए बनी हुई है एम, एनतथा एकअभिव्यक्ति समझ में आती है। पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर एम, एनतथा एकदो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

1. सबसे आसान तरीका यह है कि पर प्रतिबंध लगाया जाए एक, स्वीकार करना ए≥0सकारात्मक के लिए एमतथा ए>0नकारात्मक के लिए एम(क्योंकि अत एम≤0डिग्री 0 एमनिर्धारित नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ घात की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

परिभाषा।

एक सकारात्मक संख्या की डिग्री एकएक अंश के साथ मी/एन , कहाँ पे एमएक संपूर्ण है, और एनएक प्राकृतिक संख्या है, जिसे रूट कहा जाता है एन-वें बीच से एकसीमा तक एम, वह है, ।

शून्य की भिन्नात्मक डिग्री को भी एकमात्र चेतावनी के साथ परिभाषित किया गया है कि घातांक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

भिन्नात्मक धनात्मक घातांक के साथ शून्य की घात मी/एन , कहाँ पे एमएक धनात्मक पूर्णांक है, और एनएक प्राकृतिक संख्या है, जिसे के रूप में परिभाषित किया गया है .
जब डिग्री को परिभाषित नहीं किया जाता है, अर्थात भिन्नात्मक के साथ शून्य की डिग्री नकारात्मक संकेतककोई मतलब नहीं है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा के साथ, एक अति सूक्ष्म अंतर है: कुछ नकारात्मक के लिए एकऔर कुछ एमतथा एनअभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने शर्त पेश करके इन मामलों को त्याग दिया ए≥0. उदाहरण के लिए, लिखना समझ में आता है या, और उपरोक्त परिभाषा हमें यह कहने के लिए मजबूर करती है कि डिग्री के रूप के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ अर्थहीन हैं, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

2. भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री निर्धारित करने का एक अन्य तरीका मी/एनजड़ के सम और विषम घातांकों के अलग-अलग विचार शामिल हैं। इस दृष्टिकोण की आवश्यकता है अतिरिक्त शर्त: की उपाधि एक, जिसका सूचक एक कम साधारण अंश है, को एक संख्या की शक्ति माना जाता है एक, जिसका सूचक संगत है अपरिवर्तनीय अंश(इस स्थिति के महत्व को नीचे समझाया जाएगा)। यानी अगर मी/एनएक अपरिवर्तनीय अंश है, तो किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए कडिग्री को प्रारंभिक रूप से प्रतिस्थापित किया जाता है।

एक जैसे के लिए एनऔर सकारात्मक एमअभिव्यक्ति किसी भी गैर-नकारात्मक के लिए समझ में आता है एक(जड़ सम डिग्रीऋणात्मक संख्या से कोई मतलब नहीं है), ऋणात्मक के साथ एमसंख्या एकअभी भी शून्य से भिन्न होना चाहिए (अन्यथा यह शून्य से भाग होगा)। और विषम के लिए एनऔर सकारात्मक एमसंख्या एककुछ भी हो सकता है (किसी के लिए एक विषम रूट परिभाषित किया गया है वास्तविक संख्या), और नकारात्मक . के लिए एमसंख्या एकशून्य से भिन्न होना चाहिए (ताकि शून्य से कोई विभाजन न हो)।

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

होने देना मी/एन- अपूरणीय अंश एमएक संपूर्ण है, और एन- प्राकृतिक संख्या। किसी भी कम करने योग्य साधारण अंश के लिए, डिग्री को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। की उपाधि एकअपरिवर्तनीय भिन्नात्मक घातांक के साथ मी/एन- इसके लिए है

ओ कोई वास्तविक संख्या एक, एक पूर्णांक धनात्मक एमऔर अजीब प्राकृतिक एन, उदाहरण के लिए, ;

o कोई शून्येतर वास्तविक संख्या एक, एक पूर्णांक ऋणात्मक एमऔर अजीब एन, उदाहरण के लिए, ;

o कोई गैर-ऋणात्मक संख्या एक, एक पूर्णांक धनात्मक एमऔर भी एन, उदाहरण के लिए, ;

ओ कोई सकारात्मक एक, एक पूर्णांक ऋणात्मक एमऔर भी एन, उदाहरण के लिए, ;

ओ अन्य मामलों में, भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री परिभाषित नहीं है, उदाहरण के लिए, डिग्री परिभाषित नहीं हैं .a प्रविष्टियाँ हम कोई अर्थ नहीं देते हैं, हम सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए शून्य की डिग्री परिभाषित करते हैं मी/एनकैसे , ऋणात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए, संख्या शून्य की घात परिभाषित नहीं है।

इस अनुच्छेद के अंत में, आइए हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि भिन्नात्मक घातांक को दशमलव भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है या मिश्रित संख्या, उदाहरण के लिए, . इस तरह के भावों के मूल्यों की गणना करने के लिए, आपको घातांक को एक साधारण अंश के रूप में लिखना होगा, और फिर भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा का उपयोग करना होगा। इन उदाहरणों के लिए, हमारे पास है तथा

इस लेख में, हम समझेंगे कि क्या है की उपाधि. यहां हम एक संख्या की डिग्री की परिभाषा देंगे, जबकि विस्तार से सभी संभावित घातांकों पर विचार करते हुए, एक प्राकृतिक घातांक से शुरू होकर एक अपरिमेय पर समाप्त होता है। सामग्री में आपको उत्पन्न होने वाली सभी सूक्ष्मताओं को कवर करने वाली डिग्री के बहुत सारे उदाहरण मिलेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री, एक संख्या का वर्ग, एक संख्या का घन

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं । आगे देखते हुए, मान लें कि डिग्री की परिभाषा के साथ प्राकृतिक संकेतक n a के लिए दिया गया है, जिसे हम कहेंगे डिग्री का आधार, और n , जिसे हम कहेंगे प्रतिपादक. हम यह भी नोट करते हैं कि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री उत्पाद के माध्यम से निर्धारित की जाती है, इसलिए नीचे दी गई सामग्री को समझने के लिए, आपको संख्याओं के गुणन के बारे में एक विचार होना चाहिए।

परिभाषा।

प्राकृतिक घातांक n के साथ संख्या a की शक्ति n रूप का एक व्यंजक है, जिसका मान n कारकों के गुणनफल के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है, अर्थात्।
विशेष रूप से, घातांक 1 वाली संख्या a की घात संख्या स्वयं ही होती है, अर्थात 1 =a।

तुरंत डिग्री पढ़ने के नियमों का उल्लेख करना उचित है। प्रविष्टि a n को पढ़ने का सार्वभौमिक तरीका है: "a to power of n"। कुछ मामलों में, ऐसे विकल्प भी स्वीकार्य हैं: "ए से nth पावर" और "नंबर ए की nth पावर"। उदाहरण के लिए, आइए 8 12 की शक्ति लें, यह "आठ से बारह की शक्ति", या "आठ से बारहवीं शक्ति", या "आठ की बारहवीं शक्ति" है।

किसी संख्या की दूसरी घात के साथ-साथ किसी संख्या की तीसरी घात के अपने-अपने नाम होते हैं। किसी संख्या की दूसरी घात कहलाती है एक संख्या का वर्ग, उदाहरण के लिए, 7 2 को "सात वर्ग" या "सात की संख्या का वर्ग" के रूप में पढ़ा जाता है। किसी संख्या की तीसरी घात कहलाती है घन संख्या, उदाहरण के लिए, 5 3 को "पांच घन" या "संख्या 5 का घन" के रूप में पढ़ा जा सकता है।

यह लाने का समय है भौतिक संकेतकों के साथ डिग्री के उदाहरण. आइए 5 7 की घात से शुरू करें, जहां 5 घात का आधार है और 7 घातांक है। आइए एक और उदाहरण दें: 4.32 आधार है, और प्राकृतिक संख्या 9 घातांक (4.32) 9 है।

कृपया ध्यान दें कि अंतिम उदाहरणडिग्री का आधार 4.32 कोष्ठक में लिखा गया है: विसंगतियों से बचने के लिए, हम प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न डिग्री के सभी आधारों को कोष्ठक में लेंगे। उदाहरण के तौर पर, हम प्राकृतिक संकेतकों के साथ निम्नलिखित डिग्री देते हैं , उनके आधार प्राकृत संख्या नहीं हैं, इसलिए वे कोष्ठकों में लिखे गए हैं। खैर, इस बिंदु पर पूर्ण स्पष्टता के लिए, हम फॉर्म (−2) 3 और −2 3 के रिकॉर्ड में निहित अंतर दिखाएंगे। व्यंजक (−2) 3 प्राकृतिक घातांक 3 के साथ −2 की घात है, और व्यंजक −2 3 (इसे −(2 3) के रूप में लिखा जा सकता है) संख्या से मेल खाती है, घात 2 3 का मान।

ध्यान दें कि a^n फॉर्म के एक्सपोनेंट n के साथ a की डिग्री के लिए एक नोटेशन है। इसके अतिरिक्त, यदि n एक बहुमान प्राकृत संख्या है, तो घातांक को कोष्ठकों में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, 4^9, 4 9 की घात के लिए एक और संकेतन है। और यहां "^" प्रतीक का उपयोग करके डिग्री लिखने के और उदाहरण दिए गए हैं: 14^(21) , (−2,1)^(155) । निम्नलिखित में, हम मुख्य रूप से फॉर्म की डिग्री के अंकन का उपयोग करेंगे a n ।

एक प्राकृतिक घातांक के साथ घातांक के विपरीत समस्याओं में से एक डिग्री का आधार खोजने की समस्या है ज्ञात मूल्यडिग्री और ज्ञात प्रतिपादक। इस कार्य की ओर ले जाता है।

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्या को धनात्मक या ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री को परिभाषित किया है, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या की डिग्री का अर्थ देना होगा, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। हो जाए।

फॉर्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। डिग्री की संपत्ति के लिए वैध रहने के लिए, समानता को धारण करना चाहिए . यदि हम परिणामी समानता और हमारे द्वारा परिभाषित तरीके को ध्यान में रखते हैं, तो यह स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिए गए एम, एन और ए के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आता है।

यह जांचना आसान है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण इस रूप में मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर अनुभाग में किया जाता है)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि दिए गए m, n और a के लिए व्यंजक समझ में आता है, तो भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या a की घात घात m के लिए a की nवीं डिग्री का मूल है।

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। यह केवल वर्णन करने के लिए रहता है जिसके लिए m, n और a व्यंजक समझ में आता है। m , n और a पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर, दो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

a को विवश करने का सबसे आसान तरीका है a≥0 को धनात्मक m के लिए और a>0 को ऋणात्मक m के लिए मान लेना (क्योंकि m≤0 में 0 m की कोई शक्ति नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ घात की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक घातांक m/n . के साथ एक धनात्मक संख्या a की घात, जहाँ m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है, संख्या a के nवें से m के घात का मूल कहलाता है, अर्थात, ।

शून्य की भिन्नात्मक डिग्री को भी एकमात्र चेतावनी के साथ परिभाषित किया गया है कि घातांक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

भिन्नात्मक धनात्मक घातांक m/n . के साथ शून्य की घात, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है, को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है .
जब डिग्री को परिभाषित नहीं किया जाता है, अर्थात भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा के साथ, एक बारीकियां है: कुछ नकारात्मक a और कुछ m और n के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने a≥0 शर्त पेश करके इन मामलों को त्याग दिया। उदाहरण के लिए, लिखना समझ में आता है या, और उपरोक्त परिभाषा हमें यह कहने के लिए मजबूर करती है कि डिग्री के रूप के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ अर्थहीन हैं, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ डिग्री निर्धारित करने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण मूल के सम और विषम घातांक पर अलग से विचार करना है। इस दृष्टिकोण के लिए एक अतिरिक्त शर्त की आवश्यकता होती है: संख्या ए की डिग्री, जिसका घातांक है, को संख्या ए की डिग्री माना जाता है, जिसका घातांक संबंधित इरेड्यूसेबल अंश है (इस स्थिति का महत्व नीचे समझाया जाएगा)। अर्थात्, यदि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, तो किसी भी प्राकृत संख्या k के लिए घात को पहले .

सम n और धनात्मक m के लिए, व्यंजक किसी भी गैर-ऋणात्मक a (ऋणात्मक संख्या से सम अंश की जड़ का कोई अर्थ नहीं है) के लिए समझ में आता है, ऋणात्मक m के लिए, संख्या a अभी भी शून्य से भिन्न होनी चाहिए (अन्यथा वहाँ शून्य से विभाजन होगा)। और विषम n और धनात्मक m के लिए, संख्या a कुछ भी हो सकती है (किसी भी वास्तविक संख्या के लिए विषम घात का मूल परिभाषित होता है), और ऋणात्मक m के लिए, संख्या a शून्य से भिन्न होनी चाहिए (ताकि कोई विभाजन न हो शून्य)।

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

मान लें कि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है। किसी भी कम करने योग्य साधारण अंश के लिए, डिग्री को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एक अपरिवर्तनीय भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ की शक्ति के लिए है



आइए हम बताते हैं कि क्यों एक कम करने योग्य भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री को पहले एक अपरिवर्तनीय घातांक के साथ एक डिग्री से बदल दिया जाता है। यदि हम केवल डिग्री को इस रूप में परिभाषित करते हैं, और अंश m / n की अप्रासंगिकता के बारे में आरक्षण नहीं करते हैं, तो हम निम्नलिखित जैसी स्थितियों का सामना करेंगे: 6/10 = 3/5 के बाद से, समानता , लेकिन , एक ।

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

खस्यानोवा टी.जी.,

गणित शिक्षक

प्रस्तुत सामग्री "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय का अध्ययन करते समय गणित के शिक्षकों के लिए उपयोगी होगी।

प्रस्तुत सामग्री का उद्देश्य: "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय पर एक पाठ आयोजित करने में मेरे अनुभव का प्रकटीकरण कार्यक्रमअनुशासन "गणित"।

पाठ की कार्यप्रणाली इसके प्रकार से मेल खाती है - नए ज्ञान के अध्ययन और प्राथमिक समेकन में एक पाठ। एक अद्यतन किया गया है बुनियादी ज्ञानऔर पिछले अनुभव के आधार पर कौशल; प्राथमिक संस्मरण, समेकन और नई जानकारी का अनुप्रयोग। मेरे द्वारा परीक्षण की गई समस्याओं को हल करने के रूप में नई सामग्री का समेकन और अनुप्रयोग हुआ बदलती जटिलता केविषय में महारत हासिल करने का सकारात्मक परिणाम देना।

पाठ की शुरुआत में, मैंने छात्रों के लिए निम्नलिखित लक्ष्य निर्धारित किए: शैक्षिक, विकासशील, शैक्षिक। कक्षा में, मैंने इस्तेमाल किया विभिन्न तरीकेगतिविधियाँ: ललाट, व्यक्तिगत, स्टीम रूम, स्वतंत्र, परीक्षण। कार्यों को विभेदित किया गया और पाठ के प्रत्येक चरण में, ज्ञान के आत्मसात करने की डिग्री की पहचान करना संभव बना दिया। कार्यों की मात्रा और जटिलता से मेल खाती है उम्र की विशेषताएंछात्र। मेरे अनुभव से, गृहकार्य में हल की गई समस्याओं के समान है कक्षाआपको अर्जित ज्ञान और कौशल को सुरक्षित रूप से समेकित करने की अनुमति देता है। पाठ के अंत में, प्रतिबिंब किया गया था और व्यक्तिगत छात्रों के काम का मूल्यांकन किया गया था।

लक्ष्यों को हासिल कर लिया गया है। छात्रों ने एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा और गुणों का अध्ययन किया, हल करते समय इन गुणों का उपयोग करना सीखा व्यावहारिक कार्य. प्रति स्वतंत्र कामअगले पाठ में ग्रेड की घोषणा की जाती है।

मेरा मानना ​​है कि गणित में कक्षाएं संचालित करने के लिए मेरे द्वारा उपयोग की जाने वाली पद्धति गणित के शिक्षकों द्वारा लागू की जा सकती है।

पाठ विषय: एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री

पाठ का उद्देश्य:

ज्ञान और कौशल के एक परिसर के छात्रों द्वारा महारत के स्तर की पहचान और, इसके आधार पर, आवेदन कुछ निर्णयशैक्षिक प्रक्रिया में सुधार करने के लिए।

पाठ मकसद:

ट्यूटोरियल:एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री निर्धारित करने के लिए बुनियादी अवधारणाओं, नियमों, कानूनों के छात्रों के बीच नया ज्ञान बनाने के लिए, मानक परिस्थितियों में स्वतंत्र रूप से ज्ञान को लागू करने की क्षमता, बदली हुई और गैर-मानक स्थितियों में;

विकसित होना:तार्किक रूप से सोचें और लागू करें रचनात्मक कौशल;

शिक्षक:गणित में रुचि विकसित करें शब्दावलीनई शर्तें, प्राप्त करें अतिरिक्त जानकारीआसपास की दुनिया के बारे में। धैर्य, दृढ़ता, कठिनाइयों को दूर करने की क्षमता पैदा करें।

आयोजन का समय

बुनियादी ज्ञान का अद्यतन

समान आधार से घातों को गुणा करने पर, घातांक जोड़े जाते हैं, और आधार वही रहता है:

उदाहरण के लिए,

2. शक्तियों को समान आधारों से विभाजित करते समय, घातांक घटाए जाते हैं, और आधार वही रहता है:

उदाहरण के लिए,

3. जब किसी घात को डिग्री बढ़ाते हैं, तो घातांक गुणा हो जाते हैं, और आधार वही रहता है:

उदाहरण के लिए,

4. उत्पाद की डिग्री कारकों की शक्तियों के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण के लिए,

5. भागफल की घात भाज्य और भाजक की घातों के भागफल के बराबर होती है:

उदाहरण के लिए,

समाधान अभ्यास

एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

समाधान:

पर ये मामलास्पष्ट रूप में, प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के गुणों में से कोई भी लागू नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सभी डिग्री में है अलग आधार. आइए कुछ अंशों को भिन्न रूप में लिखें:

(उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है);

(जब एक ही आधार से घातों को गुणा किया जाता है, तो घातांक जोड़े जाते हैं, और आधार वही रहता है, जब एक घात को एक डिग्री तक बढ़ाते हुए, घातांक को गुणा किया जाता है, लेकिन आधार वही रहता है)।

तब हमें मिलता है:

पर यह उदाहरणएक प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के पहले चार गुणों का उपयोग किया गया था।

अंकगणित वर्गमूल
- नहीं है एक ऋणात्मक संख्या, जिसका वर्ग हैएक,
. पर
- अभिव्यक्ति
परिभाषित नहीं, क्योंकि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग ऋणात्मक संख्या के बराबर होएक.

गणितीय श्रुतलेख(8-10 मि.)

विकल्प

द्वितीय. विकल्प

1. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

एक)

बी)

1. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

एक)

बी)

2. गणना करें

एक)

बी)

पर)

2. गणना करें

एक)

बी)

में)

आत्म परीक्षण(अंचल बोर्ड पर):

प्रतिक्रिया मैट्रिक्स:

№ विकल्प/कार्य

कार्य 1

टास्क 2

विकल्प 1

ए) 2

बी) 2

ए) 0.5

बी)

में)

विकल्प 2

ए) 1.5

बी)

एक)

बी)

4 पर

II.नए ज्ञान का निर्माण

अभिव्यक्ति के अर्थ पर विचार करें, जहां - सकारात्मक संख्या - भिन्नात्मक संख्या और m-पूर्णांक, n-प्राकृतिक (n>1)

परिभाषा: संख्या की डिग्री a›0 परिमेय घातांक के साथआर = , एम-पूरे, एन- प्राकृतिक ( एन›1) एक संख्या कहलाती है.

इसलिए:

उदाहरण के लिए:

टिप्पणियाँ:

1. किसी धनात्मक a और किसी परिमेय r के लिए, संख्या सकारात्मक रूप से।

2. कब
तर्कसंगत डिग्रीनंबरएकपरिभाषित नहीं।

भाव जैसे
कोई मतलब नहीं।

3. अगर भिन्नात्मक सकारात्मक संख्या
.

यदि एक आंशिक ऋणात्मक संख्या, तब -कोई मतलब नहीं है।

उदाहरण के लिए: - कोई मतलब नहीं है।

एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों पर विचार करें।

चलो एक>0, в>0; r, s - कोई भी परिमेय संख्या। तब किसी भी परिमेय घातांक वाली डिग्री में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1.
2.
3.
4.
5.

III. समेकन। नए कौशल और क्षमताओं का गठन।

टेस्ट के रूप में टास्क कार्ड छोटे समूहों में काम करते हैं।

एमबीओयू "सिदोर्सकाया"

समावेशी स्कूल»

एक योजना-रूपरेखा का विकास खुला सबक

इस विषय पर कक्षा 11 में बीजगणित में:

तैयार और संचालित

गणित शिक्षक

इशाकोवा ई.एफ.

कक्षा 11 में बीजगणित में एक खुले पाठ की रूपरेखा।

विषय : "एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री"।

पाठ प्रकार : नई सामग्री सीखना

पाठ मकसद:

पहले से अध्ययन की गई सामग्री (एक पूर्णांक संकेतक के साथ एक डिग्री) के आधार पर एक तर्कसंगत संकेतक और उसके मुख्य गुणों के साथ एक डिग्री की अवधारणा के साथ छात्रों को परिचित करने के लिए।

कम्प्यूटेशनल कौशल और तर्कसंगत घातांक के साथ संख्याओं को बदलने और तुलना करने की क्षमता विकसित करना।

छात्रों में गणितीय साक्षरता और गणितीय रुचि पैदा करना।

उपकरण : टास्क कार्ड, एक पूर्णांक संकेतक के साथ एक डिग्री पर एक छात्र की प्रस्तुति, एक तर्कसंगत संकेतक के साथ एक डिग्री पर एक शिक्षक की प्रस्तुति, एक लैपटॉप, एक मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, एक स्क्रीन।

कक्षाओं के दौरान:

आयोजन का समय।

अलग-अलग टास्क कार्ड द्वारा कवर किए गए विषय को आत्मसात करने की जाँच करना।

टास्क नंबर 1.

=2;

बी) = एक्स + 5;

सिस्टम को हल करें अपरिमेय समीकरण: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

टास्क नंबर 2.

अपरिमेय समीकरण को हल करें: = - 3;

बी) = एक्स - 2;

अपरिमेय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

पाठ के विषय और उद्देश्यों की प्रस्तुति।

हमारे आज के पाठ का विषय तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री».

पहले अध्ययन किए गए उदाहरण पर नई सामग्री की व्याख्या।

आप पूर्णांक घातांक के साथ घात की अवधारणा से पहले ही परिचित हैं। उन्हें याद रखने में मेरी मदद कौन कर सकता है?

प्रस्तुति के साथ दोहराव पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री».

किसी भी संख्या के लिए a , b और कोई भी पूर्णांक m और n समानताएँ सत्य हैं:

ए एम * ए एन = ए एम + एन;

ए एम: ए एन = ए एम-एन (ए 0);

(एम) एन = एक एमएन;

(ए बी) एन = ए एन * बी एन;

(ए / बी) एन = ए एन / बी एन (बी ≠ 0);

ए 1 = ए; ए 0 = 1 (ए 0)

आज हम किसी संख्या की घात की अवधारणा का सामान्यीकरण करेंगे और उन व्यंजकों को अर्थ देंगे जिनमें भिन्नात्मक घातांक होता है। आइए परिचय परिभाषाएक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री (प्रस्तुति "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री"):

ए की डिग्री > 0 एक परिमेय घातांक के साथ आर = , कहाँ पे एम एक पूर्णांक है, और एन - प्राकृतिक ( एन > 1), नंबर कहा जाता है एम .

तो, परिभाषा के अनुसार, हम पाते हैं कि = एम .

आइए कार्य करते समय इस परिभाषा को लागू करने का प्रयास करें।

उदाहरण 1

मैं एक संख्या के मूल के रूप में व्यंजक व्यक्त करता हूं:

लेकिन) बी) पर) .

आइए अब इस परिभाषा को उल्टा लागू करने का प्रयास करते हैं

II अभिव्यक्ति को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक शक्ति के रूप में व्यक्त करें:

लेकिन) 2 बी) पर) 5 .

0 की शक्ति को केवल सकारात्मक घातांक के लिए परिभाषित किया गया है।

0 आर= 0 किसी के लिए आर> 0.

का उपयोग करते हुए यह परिभाषा, घर परआप #428 और #429 पूरा करेंगे।

आइए अब हम दिखाते हैं कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की उपरोक्त परिभाषा डिग्री के मूल गुणों को बरकरार रखती है जो किसी भी घातांक के लिए सही हैं।

किसी भी परिमेय संख्या r और s और किसी भी सकारात्मक a और b के लिए, समानताएँ सत्य हैं:

1 0 . एक आर एक एस =ए आर+एस ;

उदाहरण: *

बीस । ए आर: ए एस = ए आर-एस;

उदाहरण: :

3 0 . (ए आर) एस = एक रुपये;

उदाहरण: ( -2/3

4 0 . ( अब) आर = एक आर बी आर ; 5 0 . ( = .

उदाहरण: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

एक साथ कई संपत्तियों के उपयोग पर उदाहरण: * : .

फ़िज़्कुल्टमिनुत्का।

हम डेस्क पर पेन लगाते हैं, पीठ सीधी करते हैं, और अब हम आगे बढ़ रहे हैं, हम बोर्ड को छूना चाहते हैं। और अब हम उठे और दाहिनी ओर झुके, बाएँ, आगे, पीछे। उन्होंने मुझे पेन दिखाए, और अब मुझे दिखाओ कि तुम्हारी उंगलियां कैसे नाच सकती हैं।

सामग्री पर काम करें

हम परिमेय घातांक वाली घातों के दो और गुण नोट करते हैं:

60. होने देना आर- परिमेय संख्याऔर 0< a < b . Тогда

एक आर < b आरपर आर> 0,

एक आर < b आरपर आर< 0.

7 0 . किसी भी परिमेय संख्या के लिएआरतथा एसअसमानता से आर> एसउसका अनुसरण करता है

एक आर> एक आरएक > 1 के लिए

एक आर < а आर 0 . पर< а < 1.

उदाहरण: संख्याओं की तुलना करें:

और ; 2 300 और 3 200 .

पाठ सारांश:

आज पाठ में हमने एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों को याद किया, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा और बुनियादी गुणों को सीखा, इस के आवेदन पर विचार किया सैद्धांतिक सामग्रीअभ्यास के दौरान अभ्यास में। मैं इस तथ्य पर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं कि "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय अनिवार्य है कार्य का उपयोग करें. तैयारी में गृहकार्य (नंबर 428 और नंबर 429

वीडियो पाठ "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" में एक दृश्य शामिल है शैक्षिक सामग्रीइस विषय पर पढ़ाने के लिए। वीडियो पाठ में एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा, ऐसी डिग्री के गुणों के साथ-साथ व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए शैक्षिक सामग्री के उपयोग का वर्णन करने वाले उदाहरणों के बारे में जानकारी है। इस वीडियो पाठ का कार्य शैक्षिक सामग्री को स्पष्ट रूप से और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना है, छात्रों द्वारा इसके विकास और याद रखने की सुविधा के लिए, सीखी गई अवधारणाओं का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता बनाना है।

वीडियो पाठ के मुख्य लाभ दृश्य परिवर्तन और गणना करने की क्षमता, सीखने की दक्षता में सुधार के लिए एनीमेशन प्रभावों का उपयोग करने की क्षमता है। आवाज मार्गदर्शन सही विकसित करने में मदद करता है गणितीय भाषण, और शिक्षक के स्पष्टीकरण को प्रतिस्थापित करना भी संभव बनाता है, उसे व्यक्तिगत कार्य के लिए मुक्त करता है।

वीडियो ट्यूटोरियल विषय का परिचय देकर शुरू होता है। लिंकिंग अध्ययन नया विषयपहले अध्ययन की गई सामग्री के साथ, यह याद करने का सुझाव दिया जाता है कि n a को प्राकृतिक n और धनात्मक a के लिए 1/n द्वारा अन्यथा दर्शाया जाता है। यह प्रतिनिधित्वएन-पावर की जड़ स्क्रीन पर प्रदर्शित होती है। इसके अलावा, यह विचार करने का प्रस्ताव है कि अभिव्यक्ति a m / n का क्या अर्थ है, जिसमें a एक सकारात्मक संख्या है, और m / n कुछ अंश है। बॉक्स में हाइलाइट की गई डिग्री की परिभाषा एक परिमेय घातांक के साथ m/n = n a m के रूप में दी गई है। यह ध्यान दिया जाता है कि n हो सकता है प्राकृतिक संख्या, और m एक पूर्णांक है।

एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री का निर्धारण करने के बाद, इसका अर्थ उदाहरणों से पता चलता है: (5/100) 3/7 = 7 (5/100) 3 । एक उदाहरण भी दिखाया गया है जिसमें डिग्री को द्वारा दर्शाया गया है दशमलव, में परिवर्तित हो जाता है अंशमूल के रूप में दर्शाया जाना है: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 (1/7) 17 और उदाहरण सी ऋणात्मक मानडिग्री: 3 -1/8 \u003d 8 3 -1।

डिग्री का आधार शून्य होने पर अलग से, किसी विशेष मामले की एक विशेषता का संकेत दिया जाता है। यह ध्यान दिया जाता है कि यह डिग्री केवल सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के साथ ही समझ में आता है। इस मामले में, इसका मान शून्य के बराबर है: 0 m/n = 0।

परिमेय घातांक के साथ डिग्री की एक और विशेषता नोट की जाती है - कि भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को भिन्नात्मक घातांक के साथ नहीं माना जा सकता है। डिग्री के गलत अंकन के उदाहरण दिए गए हैं: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।

आगे वीडियो पाठ में, एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर विचार किया जाता है। यह नोट किया जाता है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के गुण एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए भी मान्य होंगे। उन संपत्तियों की सूची को वापस बुलाने का प्रस्ताव है जो इस मामले में भी मान्य हैं:

1. समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करते समय, उनके संकेतक जोड़े जाते हैं: a p a q \u003d a p + q।
2. समान आधारों के साथ अंशों का विभाजन किसी दिए गए आधार और घातांक में अंतर के साथ एक डिग्री तक कम हो जाता है: a p:a q =a p-q ।
3. यदि हम डिग्री को एक निश्चित डिग्री तक बढ़ाते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें दिए गए आधार और घातांक के गुणनफल के साथ डिग्री मिलती है: (a p) q =a pq।

ये सभी गुण तर्कसंगत घातांक p, q और धनात्मक आधार a>0 वाली घातों के लिए मान्य हैं। इसके अलावा, कोष्ठक खोलते समय डिग्री परिवर्तन सही रहता है:

1. (एबी) पी = ए पी बी पी - एक तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ दो संख्याओं के उत्पाद को एक निश्चित शक्ति तक बढ़ाना संख्याओं के उत्पाद तक कम हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक को किसी दिए गए शक्ति तक बढ़ाया जाता है।
2. (a/b) p =a p /b p - किसी भिन्न के परिमेय घातांक के साथ घातांक को उस भिन्न में घटाया जाता है जिसका अंश और हर दी गई घात तक बढ़ा दिया जाता है।

वीडियो ट्यूटोरियल उन उदाहरणों के समाधान पर चर्चा करता है जो एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के माने गए गुणों का उपयोग करते हैं। पहला उदाहरण उस व्यंजक का मान ज्ञात करने का प्रस्ताव करता है जिसमें चर x in . शामिल हैं भिन्नात्मक डिग्री: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1)। अभिव्यक्ति की जटिलता के बावजूद, डिग्री के गुणों का उपयोग करके इसे काफी सरलता से हल किया जाता है। कार्य का समाधान अभिव्यक्ति के सरलीकरण के साथ शुरू होता है, जो एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री बढ़ाने के नियम का उपयोग करता है, साथ ही साथ डिग्री को गुणा करता है एक ही आधार. प्रतिस्थापन के बाद मूल्य ते करना x=8 सरलीकृत अभिव्यक्ति x 1/3 +48 में, मान प्राप्त करना आसान है - 50।

दूसरे उदाहरण में, एक ऐसे अंश को कम करना आवश्यक है जिसके अंश और हर में परिमेय घातांक वाली घातें हों। डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम अंतर से कारक x 1/3 का चयन करते हैं, जिसे बाद में अंश और हर में घटाया जाता है, और वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करके अंश को कारकों में विघटित किया जाता है, जो कि अधिक कटौती देता है अंश और हर में समान कारक। इस तरह के परिवर्तनों का परिणाम एक छोटा अंश x 1/4 +3 है।

पाठ के नए विषय को समझाने वाले शिक्षक के बजाय वीडियो पाठ "एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" का उपयोग किया जा सकता है। भी यह मैनुअलपर्याप्त है पूरी जानकारीके लिये स्वयं अध्ययनछात्र। सामग्री दूरस्थ शिक्षा में उपयोगी हो सकती है।